เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ (สื่อประเด็นท้าทาย)_ครูพรทิพย์

ก เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์ 6 รหัสวิชา ค33102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 บทที่ 3 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ l เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ I ครูผู้สอน ครูพรทิพย์ โสพัง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนนิคมวิทยา อ.นิคมพัฒนา จ.ระยอง สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาชลบุรี ระยอง สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน ชื่อ - สกุล...........................................................ชั้น ม.6/........ เลขที่ ......... คลิปวิดีโอประกอบเอกสาร

ก คำนำ เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์ 6 รหัสวิชา ค33102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 บทที่ 3 กาวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติจัดทำขึ้นเพื่อเป็นสื่อในการเรียนรู้ที่ช่วย ส่งเสริมความเข้าใจ และพัฒนาการเรียนรู้ของผู้เรียนในการเรียนทั้งแบบ ONLINE และแบบ ON-SITE ผู้เรียน สามารถศึกษาค้นคว้าด้วยตนเองควบคู่กับสื่อคลิปวิดีโอการสอนที่ครูประจำวิชาจัดทำขึ้น และฝึกทำโจทย์จนเกิด ทักษะการเรียนรู้อย่างถูกวิธี สามารถเรียนรู้และทำความเข้าใจได้อย่างรวดเร็ว มีความคงทนในการเรียนรู้และนำ ความรู้ที่ได้รับไปประยุกต์ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับที่สูงขึ้นหรือในวิชาอื่น ๆ ได้อย่างเหมาะสม ผู้จัดทำได้รวบรวมและเรียบเรียงเนื้อหาเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกทักษะการคำนวณจากง่ายไปยาก อีกทั้ง ปรับปรุงเนื้อหาให้มีความกระชับและมีความเหมาะสมกับการสถานการณ์การจัดการเรียนรู้ในปัจจุบัน ดังนั้นจึง จัดทำเอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้ เรื่อง ค่าวัดทางสถิตินี้ขึ้น ประกอบด้วย 1) ค่ากลางของข้อมูล 2) ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล 3) ค่าวัดการกระจาย ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าเอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์ 6 รหัสวิชา ค33102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 บทที่ 3 กาวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติจะก่อให้เกิด ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้และผู้ที่สนใจ ให้มีความรู้ ความเข้าใจ ความชำนาญ และส่งเสริมพัฒนาผลสัมฤทธิ์ ทางการเรียนของผู้เรียนต่อไป และขอขอบคุณผู้ให้การช่วยเหลือสนับสนุน และให้คำปรึกษาในการจัดทำเอกสาร ประกอบการจัดการเรียนรู้เล่มนี้สำเร็จลุล่วงด้วยดี พรทิพย์ โสพัง ตุลาคม 2565

ข สารบัญ หน้า คำนำ ก สารบัญ ข บทที่ 3 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ ⚫ ค่ากลางของข้อมูล 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก 1 มัธยฐาน และฐานนิยม 9 ⚫ ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล 15 ควอไทล์ 16 เปอร์เซ็นไทล์ 18 ⚫ ค่าวัดการกระจาย 23 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ 24 การวัดการกระจายสัมพัทธ์ 31

1 บทที่ 3 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ ➢ ค่ากลางของข้อมูล ➢ ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล ➢ ค่าวัดการกระจาย ค่ากลางของข้อมูล ใบความรู้ เรื่อง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลที่มี ให้ 1 2 3 N x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร เขียนแทนด้วย μ (อ่านว่า มิว) หาได้จาก N x x x ... x μ 1 + 2 + 3 + + N = ให้ 1 2 3 n x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ n แทนขนาดตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง เขียนแทนด้วย x (อ่านว่า เอ็กซ์บาร์) หาได้จาก n x x x ... x 1 + 2 + 3 + + n x = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เหมาะสำหรับใช้ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน ให้ 1 2 3 N x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร และให้ 1 2 3 N w , w , w , ..., w แทนน้ำหนักของข้อมูล 1 2 3 N x , x , x , ..., x ตามลำดับ จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก 1 2 3 N 1 1 2 2 3 3 N n w w w ... w w x w x w x ... w x + + + + + + + + = = = = N i 1 i N i 1 i i w w x

2 ตัวอย่างที่ 1 ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 15, 17, 20, 18 และ 10 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ ลิมิตของฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 2 ตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของเด็กที่เรียนว่ายน้ำของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นดังนี้ อายุของเด็กที่เรียนว่ายน้ำ (ปี) ความถี่ (คน) 6 5 7 10 8 15 9 10 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กกลุ่มนี้เป็นเท่าใด ตัวอย่างที่ 3 กำหนดแผนภาพ ต้น - ใบ ของข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 จงหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้

3 ตัวอย่างที่ 4 ตารางแจกแจงความถี่แสดงจำนวนนักเรียนในช่วงอายุต่างๆของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ ช่วงอายุ(ปี) ความถี่ (คน) 1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 4 9 2 5 อายุเฉลี่ยของนักเรียนกลุ่มนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 9 ปี 2. 9.5 ปี 3. 10 ปี 4. 10.5 ปี ตัวอย่างที่ 5 ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เป็นดังนี้ รหัสวิชา ค33101 ค33102 ค33205 ค33206 จำนวนหน่วยกิต 1 1 1.5 1.5 เกรด 3.5 4 2 3 เกรดเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เท่ากับเท่าใด

4 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก 1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 10, 12, 15, 13 และ 10 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ 2. จากตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของเด็กที่เรียนว่ายน้ำของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นดังนี้ อายุของเด็กที่เรียนว่ายน้ำ (ปี) ความถี่ (คน) 5 4 6 5 7 2 8 5 9 4 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กกลุ่มนี้เท่ากับเท่าใด 3. แผนภาพ ต้น - ใบ ของน้ำหนักในหน่วยกรัมของไข่ไก่ 10 ฟอง เป็นดังนี้ 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 จงหาค่าเฉลี่ยของน้ำหนักไข่ไก่นี้เป็นเท่าใด 4. ในการทดสอบความถนัดของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มีตารางแจกแจงความถี่ของผลการสอบ ดังนี้ ช่วงคะแนน ความถี่ (คน) 0-4 5-9 10-14 15-19 4 5 4 7 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบนี้เป็นเท่าใด 5. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เป็นดังนี้ รหัสวิชา ค33101 ค33102 ค33205 ค33206 จำนวนหน่วยกิต 1.0 1.0 1.5 1.5 เกรด 2.5 3 3.5 2 เกรดเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เท่ากับเท่าใด

5 ตัวอย่าง การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ตัวอย่างที่ 6 อายุเฉลี่ยของคนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 31 ปีถ้าอายุเฉลี่ยของผู้หญิงในกลุ่มนี้เท่ากับ 35 ปีและอายุเฉลี่ยของ ผู้ชายในกลุ่มนี้เท่ากับ 25 ปีแล้ว อัตราส่วนระหว่างจำนวนผู้หญิงต่อจำนวนผู้ชายในกลุ่มนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2: 3 2. 2:5 3. 3:2 4. 3:5 ตัวอย่างที่ 7 ส่วนสูงของพี่น้อง 2 คน มีพิสัยเท่ากับ 12 เซนติเมตรมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 171 เซนติเมตร จงหาส่วนสูงของพี่หรือน้องสองคนนี้ 1. 167 เซนติเมตร 2. 172 เซนติเมตร 3. 175 เซนติเมตร 4. 177 เซนติเมตร ตัวอย่างที่ 8 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของพนักงานของบริษัทหนึ่งเท่ากับ 48.01 กิโลกรัม บริษัทนี้มีพนักงานชาย 43 คน และพนักงานหญิง 57 คน ถ้าค่าเฉลี่ยของน้ำหนักพนักงานหญิงเท่ากับ 45 กิโลกรัม แล้วน้ำหนักของ พนักงานชายทั้งหมดรวมกันเท่ากับเท่าใด 1. 2,236 กิโลกรัม 2. 2,279 กิโลกรัม 3. 2,322 กิโลกรัม 4. 2,365 กิโลกรัม

6 ตัวอย่างที่ 9 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 50 คน มีตารางแจกแจงความถี่ ดังนี้ ช่วงคะแนน จำนวนนักเรียน (คน) 1 - 20 3 21 - 40 5 41 - 60 13 61 - 80 20 81 - 100 9 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบนี้เท่ากับเท่าใด ตัวอย่างที่ 10 ในการสำรวจน้ำหนักตัว ของนักเรียนในชั้นเรียนที่มีนักเรียน 30 คน เป็นดังนี้ น้ำหนัก (กิโลกรัม) ความถี่สะสม 30 - 49 10 50 - 69 26 70 - 89 30 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักตัวของนักเรียนในชั้นเรียนนี้เท่ากับกี่กิโลกรัม ตัวอย่างที่ 11 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก 10 จำนวน ดังนี้ 5, 6, 9, 6, 10, 5, 9, 8, x, y ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้คือ 7.2 แล้วมัธยฐานเท่ากับเท่าใด

7 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งเป็น 43 คะแนน ถ้าคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของคะแนนสอบของนักเรียนชายและหญิงแยกกันจะได้เป็น 45 และ 40 คะแนน ตามลำดับ แล้วอัตราส่วนจำนวน นักเรียนชายต่อนักเรียนหญิงเป็นเท่าใด 2. นักเรียนห้องหนึ่งมี18 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนัก 40 กิโลกรัม ต่อมามีนักเรียนเข้ามาเพิ่มอีก 2 คน รวมน้ำหนัก 2 คนเท่ากับ 90 กิโลกรัม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ของนักเรียนห้องนี้เป็นเท่าใด 3. ในการสำรวจน้ำหนักตัวของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง ซึ่งมี 3 ห้อง มีจำนวนนักเรียน 44, 46 และ 42 ตามลำดับ ปรากฏว่ามีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 กิโลกรัม แต่พบว่าเครื่องชั่งที่ใช้สำหรับ นักเรียนห้องแรกมีความคลาดเคลื่อนทำให้ชั่งน้ำหนักได้ตัวเลขสูงเกินจริงคนละ 1 กิโลกรัม ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิต ที่ถูกต้องของน้ำหนักตัวของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 นี้เท่ากับกี่กิโลกรัม 1. 2. 3. 4. 3 1 49 2 1 49 3 2 49 4 3 49

8 4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง เป็นดังตารางแจกแจงความถี่ ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบนี้เป็นเท่าใด 5. ในการแข่งขันกีฬามหาวิทยาลัยโลกครั้งหนึ่ง ซึ่งประเทศไทยเป็นเจ้าภาพ มีการส่งรายชื่อนักกีฬาจากประเทศ ไทย 379 คน มีอายุเฉลี่ย 22 ปีถ้ามีการถอนตัวนักกีฬาไทยออก 4 คน ซึ่งมีอายุ24, 25, 25 และ 27 ปี และมีการ เพิ่มนักกีฬาไทยอีก 5 คน ซึ่งอายุเฉลี่ย 17 ปีแล้ว อายุเฉลี่ยของนักกีฬาจากประเทศไทยจะเป็นเท่าใด 6. ความสัมพันธ์ระหว่างกำไร (y) และราคาทุน (x) ของสินค้าในร้านแห่งหนึ่งเป็นไปตามสมการ y = 2x – 30 ถ้าราคาทุนของสินค้า 5 ชนิดคือ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกำไรในการขายสินค้า 5 ชนิดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 25 บาท 2. 30 บาท 3. 35 บาท 4. 40 บาท คะแนน ความถี่ 20 – 29 7 30 – 39 10 40 – 49 6 50 – 59 7 60 – 69 6 70 – 79 8 80 – 89 6

9 ใบความรู้ เรื่อง ค่ากลางของข้อมูล (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลที่มี ให้ 1 2 3 n x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ n แทนขนาดตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง เขียนแทนด้วย x (อ่านว่า เอ็กซ์บาร์) หาได้จาก n x x x ... x 1 + 2 + 3 + + n x = มัธยฐาน เมื่อนำข้อมูลทั้งหมดมาเรียงลำดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย จะเรียกค่าที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลว่า มัธยฐาน ถ้าข้อมูลมีn ตัว การหามัธยฐานทำได้โดยเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมากหรือจากมาก ไปน้อย จะได้มัธยฐานอยู่ในตำแหน่งที่ 2 n + 1 นั่นคือ • ถ้า n เป็นจำนวนคี่ มัธยฐาน คือ ข้อมูลที่อยู่กึ่งกลาง • ถ้า n เป็นจำนวนคู่ มัธยฐาน คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองตัวที่อยู่กึ่งกลาง ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีจำนวนครั้งของการเกิดซ้ำกันมากที่สุดหรือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด ที่มากกว่า 1 ตัวอย่างที่ 1 ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนหญิงจำนวน 11 คน แสดงได้ดังนี้ 164 158 167 160 163 159 162 161 155 170 168 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ ลิมิตของฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 2 ระยะเวลา (นาที) ที่ใช้ในการเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนของนักเรียน 6 คน แสดงได้ดังนี้ 32 15 45 12 90 25 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้

10 ตัวอย่างที่ 3 อายุ (ปี) ของนักเรียนที่มาเข้าค่ายคณิตศาสตร์ จำนวน 15 คน แสดงได้ดังนี้ 5 8 7 6 7 8 12 11 10 11 8 6 8 7 8 จงหาฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ ตัวอย่างที่ 4 เงินเดือน (บาท) ของพนักงานแผนกหนึ่งในบริษัทแห่งหนึ่งจำนวนทั้งหมด 7 คน แสดงได้ดังนี้ 15,300 16,600 13,450 15,300 14,400 15,300 71,000 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ตัวอย่างที่ 5 นักเรียนคนหนึ่งได้คะแนนสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ จำนวน 5 ครั้ง ซึ่งแต่ละครั้งมี คะแนนเต็มเท่ากัน ดังนี้ 17 17 17 19 20 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

11 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง ค่ากลางของข้อมูล (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม) 1. แผนภาพ ต้น - ใบ ของน้ำหนักในหน่วยกรัมของไข่ไก่ 10 ฟอง เป็นดังนี้ 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ข้อสรุปใดเป็นเท็จ 1. ฐานนิยมของน้ำหนักของไข่ไก่มีเพียงค่าเดียว 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของน้ำหนักของไข่ไก่มีค่าเท่ากัน 3. มีไข่ไก่ 5 ฟองที่น้ำหนักน้อยกว่า 70 กรัม 4. ไข่ไก่ที่มีน้ำหนักสูงกว่าฐานนิยม มีจำนวนมากกว่า ไข่ไก่ที่มีน้ำหนักเท่ากับฐานนิยม 2. กำหนดแผนภาพ ต้น - ใบ ของข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 สำหรับข้อมูลชุดนี้ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. มัธยฐาน < ฐานนิยม < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. มัธยฐาน < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม 3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม 3. แผนภาพต้นใบของข้อมูลชุดหนึ่งเป็นดังนี้ 2 0 0 3 5 8 3 1 4 4 6 7 4 3 3 5 7 5 1 2 2 2 6 3 5 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม ข. มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 40 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

12 4. ข้อมูลสองชุดเป็นดังนี้ ชุดที่ 1: 1 3 3 6 8 9 ชุดที่ 2: 2 3 4 5 5 5 ข้อใดผิด 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 มากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 2 อยู่ 0.2 2. ข้อมูลทั้งสองชุดมีมัธยฐานเท่ากัน 3. ฐานนิยมของข้อมูลสองชุดนี้ต่างกันอยู่ 2 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากับ 4.5 5. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 เท่ากับฐานนิยมของข้อมูลชุดที่ 2 5. จากแผนภาพต้น – ใบ ของข้อมูลชุดหนึ่งเป็นดังนี้ 0 7 8 9 1 0 1 5 7 2 1 2 2 3 0 2 ข้อใดต่อไปนี้เป็นข้อสรุปที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 16 และ มัธยฐาน = 16 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 16.5 และ มัธยฐาน = 17 3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 17 และ มัธยฐาน = 17 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 17 และ มัธยฐาน = 16 5. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 17.5 และ มัธยฐาน = 16

13 ตัวอย่างที่ 6 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปมากดังนี้ a 11 15 18 25 b 36 41 47 53 ถ้าข้อมูลชุดนี้มีมัธยฐานเท่ากับ 28 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 28.5 แล้ว พิสัยของข้อมูล ชุดนี้เท่ากับเท่าใด ตัวอย่างที่ 7 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 ค่า เรียงจากน้อยไปมาก ดังนี้ 74 78 80 80 a 90 90 b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ 18 และมัธยฐานเท่ากับ 85 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับเท่าใด ตัวอย่างที่ 8 ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก 4 จำนวน ถ้าฐานนิยมเท่ากับ 6 มัธยฐานเท่ากับ 5 และ พิสัยเท่ากับ 4 แล้วผลบวกของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 1. 15 2. 18 3. 19 4. 20 5. 24

14 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง ค่ากลางของข้อมูล (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม) 1. ถ้าคะแนนสอบแข่งขันของนักเรียน 5 คน คือ 12, 14, 20, 15 และ 14 สำหรับข้อมูลชุดนี้ ข้อความใดต่อไปนี้ เป็นจริง 1. มัธยฐานมากกว่า 14 2. ฐานนิยมน้อยกว่า 14 3. ฐานนิยมมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากกว่า 14 2. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้เป็น 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 30 และ 40 ตามลำดับ แล้วค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เป็นเท่าใด 3. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากมากไปน้อยดังนี้ 98 100 101 104 a 109 110 111 b ถ้าพิสัยและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 14 และ 106 ตามลำดับ แล้วมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็น เท่าใด

15 ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล การวัดตำแหน่งที่ของข้อมูลเป็นการพิจารณาตำแหน่งที่ของข้อมูลตัวหนึ่ง เมื่อเปรียบเทียบกับข้อมูลตัว อื่น ๆ ที่อยู่ในชุดข้อมูลเดียวกัน ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูลที่นิยมใช้กันมาก คือ ควอร์ไทล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ควอร์ไทล์มีทั้งหมดสามค่า ได้แก่ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1 ) ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2 ) และควอไทล์ที่ 3 (Q3 ) โดยควอร์ไทล์จะแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 4 ส่วน เท่า ๆ กัน ควอร์ไทล์ที่ i (Qi ) เมื่อ i {1, 2, 3} เป็นค่าที่มีจำนวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ i ส่วน และมีจำนวนข้อมูลที่มีค่ามากกว่าค่านี้ อยู่ประมาณ 4 − i ส่วน ให้n แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด และ i {1, 2, 3} การหาควอร์ไทล์ที่ i (Qi ) ทำได้โดยเรียงลำดับข้อมูล n ตัว จากน้อยไปมาก จากนั้นจะได้ว่า Qi อยู่ในตำแหน่งที่ ( ) 4 i n + 1 เปอร์เซ็นไทล์ประกอบด้วย เปอร์เซ็นไทล์ที่ 1, 2, 3, …, 99 โดยเปอร์เซ็นไทล์ที่ i เมื่อ i {1, 2, 3, …, 99} แทนด้วยสัญลักษณ์Pi หมายความว่าเมื่อแบ่งข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมากออกเป็น 100 ส่วน เท่า ๆ กัน เปอร์เซ็นไทล์ที่ i (Pi ) เมื่อ i {1, 2, 3, …, 99} จะเป็นค่าที่มีจำนวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ i ส่วน หรือร้อยละ i ของข้อมูลทั้งหมด และมีจำนวนข้อมูลที่มีค่ามากกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 100 − i ส่วน หรือร้อยละ 100 − i ของข้อมูลทั้งหมด ให้n แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด และ i {1, 2, 3, …, 99} การหาเปอร์เซ็นไทล์ ที่ i (Pi ) ทำได้โดย เรียงลำดับข้อมูล n ตัว จากน้อยไปมาก จากนั้นจะได้ว่า Pi อยู่ในตำแหน่งที่ ( ) 100 i n + 1 พิจารณาสถานการณ์ ดังต่อไปนี้ สถานการณ์ที่ 1 8 10 11 13 14 15 15 15 16 17 17 18 19 20 20 สถานการณ์ที่ 2 6 7 7 9 10 10 10 11 11 12 12 13 15 16 19 ความหมายของควอร์ไทล์(Quartile)

16 ขั้นตอนการหาค่าควอไทล์ของข้อมูล ขั้นที่ 1 : เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ขั้นที่ 2 : ค านวณหาต าแหน่งควอไทล์ โดยตำแหน่งควอไทล์ที่ i คือ ( 1) 4 i n + เมื่อ i {1, 2, 3} ขั้นที่ 3 : พิจารณาหาค่าควอไทล์ของข้อมูล จะอยู่ในตำแหน่งที่คำนวณได้ในขั้นที่ 2 ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลชุดหนึ่งมี11 จำนวนประกอบจำนวนต่อไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25, 30 ควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด ลิมิตของฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 17 คน เมื่อเรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 13, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 19, 20 ควอร์ไทล์ที่ 1 และควอไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด ตัวอย่างที่ 3 น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 8 คน เรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 43 44 46 47 48 50 53 54 ควอร์ไทล์ที่ 1 และควอไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด

17 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง ควอไทล์ 1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มี 7 คน เมื่อเรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 13 15 16 17 19 19 20 ควอร์ไทล์ที่ 2 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 2. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จำนวน เรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 จงหาควอไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้ 3. น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 13 คน ดังนี้ 51 53 55 56 58 60 62 62 63 64 65 66 67 ควอร์ไทล์ที่ 1 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่สุ่มตัวอย่างมาจากนักเรียนห้องหนึ่ง จำนวน 6 คน เป็นดังนี้ 18 19 13 17 16 15 ควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 5. น้ำหนักไข่ไก่ (กรัม) จำนวน 10 ฟอง เป็นดังนี้ 57 58 67 68 69 70 74 74 77 81 จงหาควอไทล์ที่ 1 ของข้อมูลชุดนี้

18 ขั้นตอนการหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูล ขั้นที่ 1 : เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ขั้นที่ 2 : ค านวณหาต าแหน่งเปอร์เซ็นไทล์โดยตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ i คือ ( 1) 100 i n + เมื่อ i {1, 2, 3, …, 99} ขั้นที่ 3 : พิจารณาหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูล จะอยู่ในตำแหน่งที่คำนวณได้ในขั้นที่ 2 ตัวอย่างที่ 4 ข้อมูลชุดหนึ่งมี11 จำนวนประกอบจำนวนต่อไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25, 30 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด ตัวอย่างที่ 5 น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 8 คน เรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 41 44 45 47 48 51 53 55 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด

19 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง เปอร์เซ็นไทล์ 1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มี 7 คน เมื่อเรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 13 15 16 17 19 19 20 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 2. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จำนวน เรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 ของข้อมูลชุดนี้ 3. น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 13 คน ดังนี้ 51 53 55 56 58 60 62 62 63 64 65 66 67 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 30 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่สุ่มตัวอย่างมาจากนักเรียน ห้องหนึ่งจำนวน 6 คน เป็นดังนี้ 18 18 12 15 16 19 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 5. น้ำหนักไข่ไก่ (กรัม) จำนวน 10 ฟอง เป็นดังนี้ 56 57 66 67 70 71 73 75 75 79 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ของข้อมูลชุดนี้

20 ตัวอย่าง โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับควอไทล์และเปอร์เซ็นไทล์ ตัวอย่างที่ 6 พิจารณาข้อมูลต่อไปนี้ 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 จงหา P80 ตัวอย่างที่ 7 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งแสดงด้วยแผนภาพต้น-ใบ ได้ดังนี้ 3 0 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1 เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 ของคะแนนสอบนี้เท่ากับคะแนนเท่าใด ตัวอย่างที่ 8 ข้อมูลชุดหนึ่งมี5 จำนวน ถ้าควอไทล์ที่ 1 ควอไทล์ที่ 2 และ ควอไทล์ที่ 3 เท่ากับ 18, 25 และ 28 ตามลำดับ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด ตัวอย่างที่ 9 ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง (เรียงจากน้อยไปมาก) เป็นดังนี้ 29, 35, 36, 40, 41, 43, 47, 50, 56, 59, 60, 61, 63, 65, 72, 72, 74, 75, 75, 78 78, 78 ,80, 80, 81, 82, 84, 87, 88, 89, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 95, 95, 95, 97 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 70 ของคะแนนสอบนี้เท่าใด ตัวอย่างที่ 10 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปมากดังนี้ 5 10 12 20 x 26 30 42 47 y ถ้าข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ 45 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 26.4 แล้วควอไทล์ที่สองของ ข้อมูลชุดนี้เป็นเท่าใด

21 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง ควอไทล์และเปอร์เซ็นไทล์ 1. ข้อมูลชุดหนึ่งมี10 จำนวนประกอบจำนวนต่อไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอร์ไทล์ที่สามของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด 2. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จำนวน ต่อไปนี้ 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทล์ที่ 3 มีค่าต่างจากเปอร์เซ็นไทล์ที่ 45 เท่าใด 3. คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งจำนวน 119 คน เป็นดังนี้ คะแนนที่ได้ จำนวนนักเรียน (คน) 52 13 55 12 57 17 60 9 62 10 65 6 70 14 75 14 78 7 80 10 82 7 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 56 4. คะแนนสอบของผู้เข้าสอบ 15 คน เป็นดังนี้ 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถ้าเกณฑ์ในการสอบผ่าน คือ ต้องได้คะแนนไม่ต่ำกว่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 60 แล้วคะแนนต่ำสุดของผู้ที่สอบผ่านมี ค่าเท่าใด

22 5. จากแผนภาพต้น – ใบ ของข้อมูลชุดหนึ่งเป็น ดังนี้ 2 0 2 5 5 6 7 7 8 9 9 3 1 3 3 3 4 4 5 8 8 9 4 0 0 0 1 2 2 3 3 4 7 5 0 1 1 2 3 4 5 6 7 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 86 ของข้อมูลนี้เท่ากับเท่าใด 6. บริษัทขนส่งพัสดุแห่งหนึ่งได้บันทึกระยะทาง (หน่วย : กิโลเมตร) ในการขนส่งของในแต่ละวัน เป็นเวลา 30 วัน เมื่อเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก ดังนี้ 33 37 43 44 44 55 58 65 65 66 71 74 75 75 78 78 81 81 82 84 86 86 87 89 89 92 93 92 93 95 แล้วเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 ของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับเท่าใด 7. คะแนนสอบปลายภาคเรียนของนักเรียน จำนวน 25 คน เป็นดังต่อไปนี้ 60 65 65 67 70 71 73 75 76 76 79 81 83 84 85 85 88 89 90 92 95 96 99 100 100 ให้ 25 เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 และ 75 เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 แล้ว 75 − 25 มีค่าเท่าใด 8. คุณครูกำหนดว่าจะให้ระดับคะแนน 4 แก่นักเรียนที่สอบได้คะแนนสูงกว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 85 ผลการสอบของ นักเรียนจำนวน 49 คน ปรากฏดังแผนภาพต้น – ใบ 3 4 5 5 8 4 0 5 6 7 8 8 5 0 1 2 3 4 5 6 6 7 7 6 2 2 2 5 5 5 8 8 9 9 7 0 5 5 5 6 8 8 9 8 0 2 3 3 4 5 7 9 0 3 4 5 จากผลการสอบนี้ นักเรียนในกลุ่มที่ได้ระดับคะแนน 4 ได้คะแนนต่ำสุดกี่คะแนน

23 ค่าวัดการกระจาย ค่าวัดการกระจาย การวัดการกระจายของข้อมูลแบ่งได้เป็น 2 วิธีคือ 1. การกระจายสัมบูรณ์(absolute variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่มี หน่วยเช่นเดียวกับข้อมูลหรือเป็นกำลังสองของหน่วยของข้อมูล เพื่อใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่าง กันมากหรือน้อยเพียงใด ในที่นี้จะศึกษาค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์4 ชนิด คือ 1) พิสัย 2) พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ 3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4) ความแปรปรวน 2. การกระจายสัมพัทธ์คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่ไม่มีหน่วย ซึ่งเป็นค่าที่ใช้ในการเปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลมากกว่า 1 ชุด ในที่นี้จะศึกษาค่าวัดการกระจาย สัมพัทธ์เพียงชนิดเดียว คือ สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

24 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ 1) พิสัย (range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลชุดหนึ่ง โดยคำนวณจากผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ของข้อมูลชุดนั้น กำหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมีxmax และ xmin เป็นค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ตามลำดับ พิสัย = xmax – xmin 2) พิสัยระหว่างควอร์ไทล์(interquartile range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคำนวณจากผลต่าง ระหว่างควอร์ไทล์ที่สามและควอร์ไทล์ที่หนึ่ง เขียนแทนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ด้วย IQR ให้Q1 และ Q3 เป็นควอร์ไทล์ที่หนึ่งและควอร์ไทล์ที่สามของข้อมูลชุดหนึ่ง ตามลำดับ จะได้ IQR = Q3 –Q1 3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยเฉลี่ยประมาณเท่าใด สูตรของส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานมีดังนี้ ให้ 1 2 3 N x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร และให้ μ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เขียนแทนด้วย σ (อ่านว่าซิกมา) หาได้จาก ( ) N μ σ N i 1 2 i x = − = ให้ 1 2 3 n x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ n แทนขนาดตัวอย่าง และให้ x แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง เขียนแทนด้วย s หาได้จาก ( ) n-1 n i 1 2 i x = − = x s

25 4) ความแปรปรวน (variance) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคำนวณจากกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน จะได้สูตรของความแปรปรวน ดังนี้ ให้ 1 2 3 N x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร และให้ μ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ ความแปรปรวนของประชากร หาได้จาก ( ) N N i 1 2 i 2 x = − = μ σ ให้ 1 2 3 n x , x , x , ..., x แทนข้อมูล เมื่อ n แทนขนาดตัวอย่าง และให้ x แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ ความแปรปรวนของตัวอย่าง หาได้จาก ( ) n-1 n i 1 2 i 2 x = − = x s ตัวอย่างที่ 1 ผลผลิตน้ำตาลใน พ.ศ. 2561/62 ของจีน สหรัฐอเมริกา ไทย อินเดีย ออสเตรเลีย และ บราซิล แสดงได้ดังนี้ ประเทศ จีน สหรัฐอเมริกา ไทย อินเดีย ออสเตรเรีย บราซิล ผลผลิต (ล้านตัน) 10.60 8.12 14.19 33.07 4.90 29.50 จงหาพิสัยของข้อมูลชุดนี้ ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนจำนวน 11 คน เป็นดังนี้ 10 70 70 72 73 75 75 76 77 78 100 จงหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดนี้

26 ตัวอย่างที่ 3 น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักวอลเลย์บอลหญิงของโรงเรียนแห่งหนึ่งจำนวนทั้งหมด 10 คน แสดงได้ดังนี้ 51 52 54 57 52 56 55 53 47 53 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของน้ำหนักนักวอลเลย์บอลหญิงนี้ วิธีทำ ตัวอย่างที่ 4 ร้านค้าจำหน่ายและรับติดตั้งประตูอัตโนมัติแห่งหนึ่งเก็บข้อมูลตัวอย่างเกี่ยวกับเวลา (นาที) ที่ใช้ ในการติดตั้งประตูแต่ละบาน ได้ข้อมูลดังนี้ 29 32 24 46 44 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของเวลาที่ใช้ในการติดตั้งประตู วิธีทำ

27 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง การวัดการกระจายสัมบูรณ์ 1. ข้อมูลชุดหนึ่งมี11 จำนวนประกอบจำนวนต่อไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25, 30 พิสัยของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 2. น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 8 คน เรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 43 44 46 47 48 50 53 54 พิสัยของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด 3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 17 คน เมื่อเรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 13, 15, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 19, 20 จงหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดนี้ 4. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จำนวน เรียงจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 จงหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดนี้ 5. ร้านค้าจำหน่ายและรับติดตั้งประตูอัตโนมัติแห่งหนึ่งเก็บข้อมูลตัวอย่างเกี่ยวกับเวลา (นาที) ที่ใช้ในการติดตั้ง ประตูแต่ละบาน ได้ข้อมูลดังนี้ 28 32 24 46 44 40 54 38 32 42 36 จงหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดนี้

28 6. ครอบครัวหนึ่งประกอบด้วยพ่อ แม่ และลูกอีก 3 คน มีอายุ 45, 42, 20, 17 และ 16 ปี ตามลำดับ จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้และจงหาว่าในอีก 5 ปี ข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของสมาชิกในครอบครัวนี้จะเป็นอย่างไร

29 7. จากการรายงานของศูนย์ข้อมูลอุบัติเหตุ เพื่อเสริมสร้างวัฒนธรรมความปลอดภัยทางท้องถนน พบว่า จำนวน ผู้บาดเจ็บรวม (ราย) ตั้งแต่ พ.ศ. 2556 – 2558 ในแต่ละวันของช่วง 7 วันอันตรายของเทศกาลปีใหม่ แสดงได้ดังนี้ (ข้อมูลที่กำหนดให้ในโจทย์เป็นข้อมูลของประชากร) วันที่1 วันที่ 2 วันที่ 3 วันที่ 4 วันที่ 5 วันที่ 6 วันที่ 7 1,236 1,633 1,664 1,458 1,506 1,423 870 1) จงหาพิสัยของข้อมูลชุดนี้ 2) จงหาควอไทล์ที่ 1 ข้อมูลชุดนี้ 3) จงหาควอไทล์ที่ 3 ข้อมูลชุดนี้ 4) จงหาพิสัยระหว่างควอไทล์ของข้อมูลชุดนี้ 5) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้(ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 6) จงหาค่าความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้(ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 7) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)

30 8. ร้านค้าแห่งหนึ่งต้องการวิเคราะห์ข้อมูลการขายสินค้าของร้าน จึงได้บันทึกจำนวนสินค้า (ชิ้น) ที่ขายได้ในหนึ่ง วัน โดยสุ่มเก็บข้อมูลเพียง 11 วัน ในหนึ่งเดือนที่ผ่านมาได้ข้อมูลดังนี้ (ข้อมูลที่กำหนดให้ในโจทย์เป็นข้อมูลของ ตัวอย่าง) 85 125 30 75 80 65 90 75 78 92 67 1) จงหาพิสัยของข้อมูลชุดนี้ 2) จงหาควอไทล์ที่ 1 ข้อมูลชุดนี้ 3) จงหาควอไทล์ที่ 3 ข้อมูลชุดนี้ 4) จงหาพิสัยระหว่างควอไทล์ของข้อมูลชุดนี้ 5) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้(ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 6) จงหาค่าความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้(ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 7) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)

31 การวัดการกระจายสัมพัทธ์ ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป เพื่อพิจารณาว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมาก ข้อมูลชุดใดมี การกระจายน้อย ถ้านำค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ของข้อมูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกันโดยตรง อาจ ให้ข้อสรุปที่คลาดเคลื่อนไปจากความเป็นจริง เช่น ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 10 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.2 และข้อมูลอีกชุดหนึ่งมีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60.5 ถ้าพิจารณาเฉพาะส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของข้อมูลทั้งสองชุด อาจทำให้เข้าใจว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีการกระจายน้อยกว่าข้อมูลชุดที่สองซึ่งอาจไม่ ถูกต้องนัก เพราะค่าของข้อมูลสองชุดนี้ต่างกันมาก ค่ากลางและค่าวัดการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดย่อมต่างกัน มากเช่นกัน เพื่อให้การเปรียบเทียบมีความหมาย จึงนิยมหาอัตราส่วนของค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ กับค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ๆ แล้วจึงนำอัตราส่วนที่หาได้มาเปรียบเทียบกัน ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะสัมประสิทธิ์ การแปรผัน (coefficient of variation) โดยมีสูตรดังนี้ สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร = เมื่อ μ ≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง = x s เมื่อ x ≠ 0 โดยที่สัญลักษณ์ a แทนค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a สัมประสิทธิ์ของการแปรผันอาจเขียนในรูปเปอร์เซ็นต์ ได้ดังนี้ สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร = 100% เมื่อ μ ≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง = x s 100% เมื่อ x ≠ 0 ตัวอย่างที่ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชา ภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งครูประจำชั้นสุ่มตัวอย่างนักเรียนห้องนี้มา จำนวน 10 คน ซึ่งมีคะแนนเต็ม วิชาละ 100 คะแนน เป็นดังนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ 76.70 10.06 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ 77.70 8.22 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สุ่มตัวอย่าง มา 10 คนนี้ พร้อมทั้งเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบทั้งสองวิชาของนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้ ลิมิตของฟังก์ชัน

32 ตัวอย่างที่ 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วยเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จำนวน 2 ห้องเรียน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน เป็นดังนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ห้อง 1 73.20 4.8 ห้อง 2 52.40 3.6 ตัวอย่างที่ 3 เวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของครอบครัว 2 ครอบครัว ซึ่งมีสมาชิกใน ครอบครัวครอบครัวละ 5 คน แสดงได้ดังนี้ (ข้อมูลที่กำหนดให้ในโจทย์เป็นข้อมูลของ ประชากร) ครอบครัวที่ 1 20 30 42 55 28 ครอบครัวที่ 2 40 57 13 30 60 จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ วิธีทำ

33 โจทย์ฝึกหัด เรื่อง การวัดการกระจายสัมพัทธ์ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ำสุด (องศาเซลเซียส) ของจังหวัด ขอนแก่น ตั้งแต่ พ.ศ. 2549 – 2558 เป็นดังนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อุณหภูมิสูงสุด 40.13 1.07 อุณหภูมิต่ำสุด 12.02 1.36 จงตอบคำถาม ข้อ 1.1 – 1.3 1.1 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิสูงสุด (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.2 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิต่ำสุด (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.3 จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ โดยพิจารณาข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง ก. อุณหภูมิต่ำสุดของจังหวัดขอนแก่น ตั้งแต่ พ.ศ. 2549 – 2558 มีการกระจายมากกว่า อุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแก่น ข. อุณหภูมิสูงสุดของจังหวัดขอนแก่น ตั้งแต่ พ.ศ. 2549 – 2558 มีการกระจายมากกว่า อุณหภูมิต่ำสุดของจังหวัดขอนแก่น

34 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียน 2 ห้องเรียน ที่สุ่มมาจำนวนห้องละ 10 คน เป็นดังนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ห้อง 1 35.40 26.14 ห้อง 2 50.10 35.27 จงตอบคำถาม ข้อ 2.1 – 2.3 2.1 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 1 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 2.2 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 2 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 2.3 จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ โดยพิจารณาข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง ก. เวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 1 เกาะกลุ่มมากกว่า เวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 2 ข. เวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 2 เกาะกลุ่มมากกว่า เวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 1

35 3. เวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียน 2 ห้องเรียน ซึ่งมีจำนวนทั้งหมดห้องเรียนละ 10 คน แสดงได้ดังนี้ (ข้อมูลที่กำหนดให้ในโจทย์เป็นข้อมูลของประชากร) ห้อง 1 0 20 30 42 35 82 54 28 0 63 ห้อง 2 45 40 62 10 24 15 30 60 95 120 1.1 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 1 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.2 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 2 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.3 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 1 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.4 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 2 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.5 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 1 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.6 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลา (นาที) ที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนห้อง 2 (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 1.7 จงเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ โดยพิจารณาข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง ก. เวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 2 มีการกระจาย มากกว่าเวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 1 ข. เวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 1 มีการกระจาย มากกว่าเวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คน จากห้อง 2

36