ชุดกิจกรรม คณิตศาสตร์ เรื่อง พหุนาม

dกกdddกกกddddก1

คำนำ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ชดุ น้ี เป็นชดุ การเรยี นคณิตศาสตร์ เรื่อง พหุนาม ซง่ึ เปน็ ชดุ กจิ กรรมทจี่ ดั ทำขึ้นเพื่อ
ใช้ประกอบการจดั การเรยี นรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 2 ค20202 สำหรับนักเรยี นระดบั ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 1
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พ้นื ฐานพุทธศักราช 2551 ฉบบั ปรับปรงุ
2560 การจัดทำชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ในคร้งั นี้ ผจู้ ดั ได้วเิ คราะห์หลักสตู รมาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ช้ีวดั และสาระ
การเรียนรู้แกนกลาง โดยมุ่งหวังให้ผู้เรียนเกิดทักษะการเรยี นรู้ การมสี ่วนร่วมในการเรยี นรู้ และไดฝ้ กึ ปฏบิ ตั ิตาม
กจิ กรรมท่ีกำหนด เพอื่ ใหเ้ กิดความรแู้ ละทักษะที่สามารถนำไปใชใ้ นชีวติ ประจำวันได้

สาระสำคญั ในชุดการเรยี นคณิตศาสตร์ เรื่อง พหนุ าม ชุดน้ี ประกอบด้วยคำช้ีแจงเกี่ยวกับชุดกจิ กรรม
แผนผงั ขนั้ ตอนการใชช้ ุดกจิ กรรม คำช้แี จงการใช้ ชดุ กจิ กรรมสำหรบั ครู และนักเรยี น แบบทดสอบประเมนิ ตนเอง
กอ่ นเรียน ใบความรู้ ใบกจิ กรรม และใบเฉลยกิจกรรม แบบทดสอบประเมนิ ตนเองหลงั เรยี น

ผูจ้ ัดทำหวังเปน็ อยา่ งย่ิงวา่ ชุดการเรยี นคณติ ศาสตร์ เรื่อง พหุนาม ชุดน้ี จะเปน็ ประโยชนส์ ำหรับนกั เรียน
ครูผสู้ อนและผู้สนใจทั่วไป ทจี่ ะนำไปใชใ้ นการศึกษาและจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ใหม้ ีประสทิ ธภิ าพตามเจตนารมณ์
ของหลักสูตร

นวพร งามขำ

สารบัญ dกกdddกกกdddd2
ข
เรอื่ ง
ก
คำนำ ข
สารบญั 1
คำช้ีแจงการใชช้ ุดกจิ กรรมสำหรบั ครู 1
คำชแี้ จงการใช้ชุดกจิ กรรมสำหรับนกั เรียน 2
สาระสำคญั 3
แบบทดสอบประเมนิ ตนเองก่อนเรยี น 4
เฉลยแบบทดสอบประเมนิ ตนเองก่อนเรียน 5
ใบความรู้ท่ี 1 เร่ือง การบวกและการลบเอกนาม 6
ใบกิจกรรมท่ี 1 เร่ือง การบวกและการลบเอกนาม 7
เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1 เรือ่ ง การบวกและการลบเอกนาม 8
ใบความร้ทู ี่ 2 เร่ือง การบวกและลบพหุนาม 10
ใบกจิ กรรมท่ี 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหนุ าม 11
เฉลยใบกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหนุ าม 12
ใบความรทู้ ี่ 3 เรื่อง การคณู พหนุ าม 14
ใบกิจกรรมท่ี 3 เร่ือง การคูณพหนุ าม 15
เฉลยใบกิจกรรมท่ี 3 เร่อื ง การคูณพหุนาม 16
ใบความรทู้ ี่ 4 เร่ือง การหารพหุนามดว้ ยเอกนาม 18
ใบกจิ กรรมท่ี 4 เรอื่ ง การหารพหุนามด้วยเอกนาม 19
เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 4 เรื่อง การหารพหนุ ามดว้ ยเอกนาม 20
แบบทดสอบประเมินตนเองหลังเรียน 21
เฉลยแบบทดสอบประเมินตนเองหลังเรียน

dกกdddกกกdddd3

คำชี้แจงการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับครู

ชุดกิจกรรมการเรยี นรชู้ ดุ น้ี เป็นชุดการเรยี นคณติ ศาสตร์ เรื่อง พหุนาม รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2
สำหรับนักเรยี นระดบั ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 1 ก่อนการนำชดุ กิจกรรมนี้ไปใช้ครคู วรเตรียมความพร้อมและปฏบิ ตั ิ
ดงั ต่อไปนี้
1. ครูควรศกึ ษาและทำความเขา้ ใจวธิ กี ารใชช้ ุดกิจกรรมและปฏิบัติตามขนั้ ตอนในการใช้ชดุ กจิ กรรมให้ถูกต้อง
ตามลำดบั ขัน้ ตอนการดำเนนิ กจิ กรรมการใชส้ ือ่ และอุปกรณ์รวมถึงวธิ กี ารวดั และประเมินผลใหช้ ัดเจน
2. ศกึ ษาแผนการจดั การเรียนรู้และปฏบิ ัตกิ ิจกรรมตามแผนการจัดการเรียนรู้ให้ครบทุกข้ันตอน
3. เตรยี มส่ืออปุ กรณ์ให้พรอ้ มและครบถว้ นตามจำนวนนกั เรียนในชน้ั เรียน
4. ก่อนจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ครคู วรชแ้ี จงให้นกั เรียนเข้าใจบทบาทของตนเองแนะนำข้ันตอนการใชช้ ดุ กจิ กรรม
แนวปฏิบัตใิ นการดำเนนิ กจิ กรรมการเรยี นรู้
5. ขณะทีน่ ักเรยี นทำกจิ กรรมครคู อยใหค้ วามชว่ ยเหลือแนะนำกระตุ้นให้นกั เรียนทำกจิ กรรมอยา่ งกระตือรือร้นและ
ตอบข้อสงสยั ต่างๆพร้อมทั้งสังเกตและประเมินพฤติกรรมการทำงานของนักเรียน
6. เมือ่ นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมครบถ้วนให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบประเมนิ ตนเองหลงั เรียนแลว้ นำผลการทดสอบ
ประเมินตนเองหลังเรียนแจ้งใหน้ กั เรียนทราบความก้าวหน้าทางการเรียน
7. การวดั และประเมนิ ผลประเมนิ จากแบบทดสอบและประเมนิ ตนเองหลงั เรยี นสังเกตพฤตกิ รรมการปฏิบตั ิงาน
กลมุ่ ประเมินผลจากการปฏิบัติ
8. ถ้านักเรยี นศึกษาชุดกิจกรรมแลว้ ไมเ่ ข้าใจครูควรแนะนำเพ่มิ เติมอาจให้นักเรยี นไดป้ ฏบิ ัติกจิ กรรมทั้งในและนอก
เวลาเรยี นจะทำให้นกั เรียนมที ักษะและมีความรคู้ วามเขา้ ใจมากยง่ิ ขึ้นเมื่อสน้ิ สดุ การปฏิบัติกจิ กรรมการเรยี นรคู้ รใู ห้
นกั เรียนตรวจสอบและเก็บชุดกิจกรรมให้เรียบร้อยเพื่อความสะดวกในการใชค้ ร้ังต่อไป

dกกdddกกกdddd4

คำช้แี จงการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับนกั เรยี น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรชู้ ุดนี้ เป็นชดุ การเรียนคณิตศาสตร์ เรื่อง พหุนาม รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 2
สำหรับนักเรียนระดบั ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 1 ให้นักเรยี นปฏบิ ัติตามขั้นตอนดว้ ยความซ่อื สัตยแ์ ละตง้ั ใจ ดงั ต่อไปน้ี
1. อ่านคำชีแ้ จงการใชช้ ดุ กจิ กรรมสำหรบั นักเรียนใหเ้ ข้าใจ
2. ทำแบบทดสอบประเมินตนเองก่อนเรยี นจำนวน 10 ข้อโดยใชเ้ วลา 10 นาทีเพอ่ื ประเมนิ ความรู้เดิมของนกั เรยี น
3. ศกึ ษาขอบขา่ ยเนอ้ื หาสาระสำคญั ผลการเรียนรู้และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้
4. ศกึ ษาชุดกิจกรรมจากใบความรทู้ ่คี รเู ตรยี มไวด้ ว้ ยความตง้ั ใจ
5. เมอ่ื ศึกษาใบความรู้เสร็จเรียบร้อยใหน้ ักเรยี นทำใบกิจกรรมหากนกั เรยี นไม่เข้าใจใหน้ ักเรยี นศกึ ษาใบความรู้อกี
ครง้ั เพื่อใหเ้ กิดความเขา้ ใจมากยง่ิ ขนึ้
6. ทำแบบทดสอบประเมินตนเองหลงั เรียนเพื่อตรวจสอบความก้าวหนา้ ในการเรียนของนกั เรียนถ้าได้คะแนนไมถ่ ึง
รอ้ ยละ 70 ให้กลบั ไปทบทวนความรู้ในชดุ กิจกรรมอีกครั้งจนกวา่ จะทำได้ไม่ตำ่ กว่ารอ้ ยละ 70
7. การเรียนจากชดุ กจิ กรรมจะชว่ ยให้นักเรยี นประสบความสำเร็จไดต้ ้องมีความซอ่ื สตั ยม์ ีวนิ ัยและความรบั ผดิ ชอบ
ตอ่ ตนเองคาบเรียน

dกกdddกกกdddd5

ชุดกจิ กรรมคณิตศาสตร์
เรอ่ื ง พหนุ าม

สาระสำคัญ

สัมประสิทธแิ์ ละดกี รขี องเอกนาม
นพิ จนท์ ่ีสามารถเขียนให้อยูใ่ นรูปการคณู ของค่าคงตัวกับตัวแปรตงั้ แตห่ น่ึงตวั ขึ้นไป และเลขชก้ี ำลงั ของตัว
แปรแตล่ ะตวั เป็นศนู ยห์ รือจำนวนเต็มบวก เรยี กว่า เอกนาม (monomial)
คา่ คงตัวเรียกว่า สัมประสิทธ์ิของเอกนาม (coefficient of monomial) และผลบวกของเลขชีก้ ำลงั ของ
ตัวแปรแต่ละตวั ในเอกนาม เรียกวา่ ดีกรีของเอกนาม (degree of monomial)
เอกนามสองเอกนามคลา้ ยกนั กต็ อ่ เมอ่ื 1) เอกนามท้ังสองมีตวั แปรชุดเดียวกนั

2) เลขชี้กำลังของตวั แปรเดียวกันในแตล่ ะเอกนามเท่ากัน
การบวกและการลบเอกนาม มีหลักการดังน้ี
1.เอกนามที่จะนำมาบวกหรือลบกนั จะต้องเปน็ เอกนามทคี่ ล้ายกนั
2.ผลลพั ธท์ ่ีได้มาจากการนำสัมประสทิ ธข์ิ องเอกนามมาบวกหรือลบกนั ส่วนตัวแปรยงั เป็นชุดเดิม
การหาผลบวกของพหนุ าม ทำได้โดย นำพหนุ ามมาเขยี นในรูปการบวก และถ้ามพี จนท์ ่ีคลา้ ยกนั ใหบ้ วก
พจนท์ ีค่ ลา้ ยกันเขา้ ด้วยกัน
การลบพหุนาม ทำได้โดยการบวกพหุนามที่เปน็ ตัวตัง้ ดว้ ยจำนวนตรงข้ามของพหุนามท่ีเป็นตวั ลบ
การหาผลคูณเอกนามกับเอกนาม ทำได้โดย นำสัมประสิทธิ์ในแต่ละเอกนามมาคูณกันและนำตัวแปรใน
แตล่ ะเอกนามมาคณู กันตามหลักการคูณเลขยกกำลงั
การคณู เอกนามกับพหนุ าม ทำไดโ้ ดยนำเอกนามไปคูณกบั ทกุ ๆ พจน์ของพหุนาม แลว้ นำผลคูณ
เหล่านนั้ มารวมกัน
การคูณพหนุ ามกบั พหนุ าม ทำได้โดยการคณู แต่ละพจน์ของพหุนามหน่ึงกับทุกๆพจน์ ของอกี พหุนาม
หนงึ่ แล้วนาํ ผลคณู เหลา่ น้ันมาบวกกนั
การหารเอกนามด้วยเอกนาม แบง่ เป็น 2 สว่ นคือ

- สว่ นที่ 1 นำคา่ คงตวั ในเอกนามมาหารกนั ตามหลกั การหารเลขทัว่ ๆ ไป

- สว่ นที่ 2 ให้นำตวั แปรในแต่ละเอกนามมาหารกนั โดยใชส้ มบตั ิของเลขยกกำลัง

การหารพหุนามด้วยเอกนามทำได้โดยนำตวั หารทเ่ี ป็นเอกนามไปหารแตล่ ะพจน์ของพหุนาม แล้วจึงนำ

ผลหารเหลา่ น้นั มาบวกกนั ถ้าผลหารทไี่ ดเ้ ปน็ พหุนาม จะกล่าวได้ว่าเปน็ การหารลงตวั

การหารพหุนามดว้ ยเอกนาม ในการหารพหนุ ามด้วยเอกนามนน้ั จะหารแต่ละพจน์ของพหนุ ามดว้ ย
เอกนามแล้วนำผลหารเหลา่ น้ันมาบวกกนั และถ้าผลหารเป็นพหนุ ามจะกลา่ ววา่ การหารนน้ั เปน็ การหารลงตัว

dกกdddกกกdddd6

แบบทดสอบประเมินตนเองก่อนเรียน เร่อื ง พหนุ าม

ตอนท่ี 1 ให้นักเรียนเขียนเครื่องหมายกากบาท () โดยพิจารณาเลือกท่ีถูกต้องทสี่ ดุ เพียงข้อละตัวเลือก

ผลการเรยี นรู้ หาผลบวกและผลลบของเอกนามและพหนุ ามได้
หาผลคณู และผลหารของเอกนามและพหุนามได้

1. 3a + 2a เท่ากบั ข้อใด

ก. 2a ข. 3a ค. 4a ง. 5a

2. 5yz – (–yz) เทา่ กบั ข้อใด

ก. 6yz ข. –6yz ค. 4yz ง. –4yz

3. (3x – 4) + (x + 5) เทา่ กับขอ้ ใด

ก. x + 3 ข. x – 3 ค. 4x + 1 ง. 4x – 1

4. (10x + 7) – (3x + 7) เทา่ กบั ข้อใด

ก. 9x + 12 ข. 7x ค. 15x + 12 ง. 15x

5. ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง

ก. a+2a+5 = 3a ข. 3+(–2m)+1 = 4 ค. 2x–(3x + 6) = –x + 6 ง. (3x–6)–(3x–6) = 0

6. (2x) (5xy) เทา่ กับข้อใด

ก. 10 x2y ข. 10 x2y2 ค. –10 x3y2 ง. –10 x2y2

7. (x2) (10x+2) เทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. 10x3 ข. 10x3+2x2 ค.10x3+2x3 ง. 12x3

8. (x + 2) (x + 6) เทา่ กับข้อใด

ก. x2 + 8x – 12 ข. x2 – 8x – 12 ค. x2 – 8x + 12 ง. x2 + 8x + 12

9. (10x2) ÷ (2x) เทา่ กับขอ้ ใด

ก. 5 ข. 5x ค. 5x2 ง. 5x3

10. ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกต้อง

ก. (25xy) ÷ (5xy) = 5 ข. (16x2y) ÷ (– 4y) = – 4xy
ง. (3x+6) ÷ (3x+6) = 0
ค. (4y – 8y2) ÷ 2y = 1 – 4y

dกกdddกกกdddd7

เฉลยแบบทดสอบประเมนิ ตนเองก่อนเรียน เร่ือง พหนุ าม

ตอนท่ี 1 ให้นักเรยี นเขยี นเครื่องหมายกากบาท () โดยพิจารณาเลือกท่ีถูกต้องทสี่ ดุ เพยี งข้อละตัวเลือก

ผลการเรียนรู้ หาผลบวกและผลลบของเอกนามและพหนุ ามได้
หาผลคณู และผลหารของเอกนามและพหนุ ามได้

1. 3a + 2a เท่ากบั ขอ้ ใด

ก. 2a ข. 3a ค. 4a ง. 5a

2. 5yz – (–yz) เทา่ กบั ข้อใด

ก. 6yz ข. –6yz ค. 4yz ง. –4yz

3. (3x – 4) + (x + 5) เท่ากับขอ้ ใด

ก. x + 3 ข. x – 3 ค. 4x + 1 ง. 4x – 1

4. (10x + 7) – (3x + 7) เท่ากับข้อใด

ก. 9x + 12 ข. 7x ค. 15x + 12 ง. 15x

5. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

ก. a+2a+5 = 3a ข. 3+(–2m)+1 = 4 ค. 2x–(3x + 6) = –x + 6 ง. (3x–6)–(3x–6) = 0

6. (2x) (5xy) เท่ากับข้อใด

ก. 10 x2y ข. 10 x2y2 ค. –10 x3y2 ง. –10 x2y2

7. (x2) (10x+2) เทา่ กับขอ้ ใด

ก. 10x3 ข. 10x3+2x2 ค.10x3+2x3 ง. 12x3

8. (x + 2) (x + 6) เท่ากับข้อใด

ก. x2 + 8x – 12 ข. x2 – 8x – 12 ค. x2 – 8x + 12 ง. x2 + 8x + 12

9. (10x2) ÷ (2x) เท่ากับข้อใด

ก. 5 ข. 5x ค. 5x2 ง. 5x3

10. ข้อใดต่อไปนถ้ี ูกตอ้ ง

ก. (25xy) ÷ (5xy) = 5 ข. (16x2y) ÷ (– 4y) = – 4xy
ง. (3x+6) ÷ (3x+6) = 0
ค. (4y – 8y2) ÷ 2y = 1 – 4y

dกกdddกกกdddd8

ใบความรูท้ ่ี 1 เรอ่ื ง การบวกและการลบเอกนาม

สัมประสทิ ธแ์ิ ละดกี รขี องเอกนาม

นิพจนท์ ่ีสามารถเขยี นให้อย่ใู นรปู การคณู ของค่าคงตวั กับตวั แปรตัง้ แต่หนงึ่ ตวั ขึน้ ไป และเลขชก้ี ำลังของตวั
แปรแตล่ ะตวั เปน็ ศนู ยห์ รือจำนวนเตม็ บวก เรียกวา่ เอกนาม (monomial)

ค่าคงตวั เรียกวา่ สมั ประสทิ ธิ์ของเอกนาม(coefficient of monomial) และผลบวกของเลขชีก้ ำลังของตัว
แปรแตล่ ะตวั ในเอกนาม เรียกว่า ดกี รขี องเอกนาม (degree of monomial)

เอกนามสองเอกนามคล้ายกันกต็ ่อเมอ่ื 1) เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน
2) เลขช้กี ำลงั ของตัวแปรเดยี วกันในแตล่ ะเอกนามเท่ากัน

ตวั อย่างของเอกนามท่คี ลา้ ยกัน
-x คลา้ ยกันกับ 0.5x
4ab คล้ายกันกบั -ba

ตวั อย่างของเอกนามทไี่ มค่ ลา้ ยกัน
2x ไมค่ ล้ายกับ 2y เพราะตัวแปรไม่เปน็ ชดุ เดียวกัน
5ab ไมค่ ล้ายกับ 2a2b2 เพราะเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เท่ากัน

การบวกและการลบเอกนาม มหี ลักการดังนี้

1.เอกนามท่จี ะนำมาบวกหรือลบกันจะต้องเปน็ เอกนามท่ีคล้ายกัน
2.ผลลพั ธ์ท่ไี ดม้ าจากการนำสัมประสทิ ธ์ิของเอกนามมาบวกหรือลบกัน ส่วนตัวแปรยังเป็นชดุ เดิม

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาผลลพั ธข์ อง 4xy + 7x2 + 5xy

วธิ ที ำ 4xy + 7x2 + 5xy = (4 + 5 ) + 7 2

= (4 + 5) + 7 2
= 9 + 7 2

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลลัพธ์ของ 8 3 4 − (−2 3 4)

วิธีทำ 8 3 4 − (−2 3 4) = 8 3 4 + 2 3 4

= (8 + 2) 3 4
= 10 3 4

dกกdddกกกdddd9

ใบกิจกรรมที่ 1 เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม

ช่ือ-สกุล........................................................................................................ชนั้ ...................เลขท.่ี ..........

คำช้ีแจง จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้

1) 2 + 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) 6 + 2 + 3 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3) 3 4 + 4 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) −3 5 − 4 5
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5) 14 3 − 3 3 − 7 3
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

dกกdddกกกdddd10

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1 เรือ่ ง การบวกและการลบเอกนาม

คำชแ้ี จง จงเขยี นพหุนามในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนโ้ี ดยเรยี งพจน์ของพหนุ ามจากดีกรีมากไปดีกรนี ้อย

1) 2 + 3 = (2 + 3)
= 5

2) 6 + 2 + 3 3 = (6 + 2) + 3 3
= 8 + 3 3

3) 3 4 + 4 3 = (1 + 1) 3 4
= 2 3 4

4) −3 5 − 4 5 = (−3 − 4) 5
= −7 5

5) 14 3 − 3 3 − 7 3 = (14 − 7) 3 − 3 3
= 7 3 − 3 3

dกกdddกกกdddd11

ใบกจิ กรรมที่ 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

การหาผลบวกของพหุนาม ทำไดโ้ ดย นำพหนุ ามมาเขยี นในรปู การบวก และถา้ มีพจน์ท่ีคลา้ ยกนั ใหบ้ วกพจน์ท่ี
คลา้ ยกันเขา้ ด้วยกนั

วธิ ีการท่ี 1 การบวกแนวนอน

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลบวกของ (3 − 8) + (−4 + 9)

วธิ ที ำ (3 − 8) + (−4 + 9) = (3 − 4 ) + (−8 + 9)

= − + 1

ดังนนั้ ผลบวก คือ − + 1

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลบวกของ (5 2 − 8 ) + (6 + 5)

วธิ ที ำ (5 2 − 8 ) + (6 + 5) = 5 2 + (−8 + 6 ) + 5

= 5 2 − 2 + 5

ดังนนั้ ผลบวก คือ 5 2 − 2 + 5

วธิ ีการท่ี 2 การบวกแนวต้ัง

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลบวกของ (4 2 − 5 − 7) + (2 2 + 8 − 9)

วธิ ีทำ (4 2 − 5 − 7)

+
(2 2 + 8 − 9)

(6 2 + 3 − 16)

ดังนั้น ผลบวก คอื (6 2 + 3 − 16)
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลบวกของ (6 2 − 20 + 7) + (5 2 − 5)

วธิ ที ำ (6 2 − 20 + 7)

+

(5 2 − 5)

(11 2 − 20 − 2)

ดังนัน้ ผลบวก คือ (11 2 − 20 − 2)

dกกdddกกกdddd12

การลบพหนุ าม ทำไดโ้ ดยการบวกพหนุ ามทเี่ ป็นตัวตงั้ ด้วยจำนวนตรงข้ามแตล่ ะพจน์ของพหนุ ามท่เี ปน็ ตัวลบ
วิธกี ารท่ี 1 การลบแนวนอน
ตวั อย่างท่ี 1 จงหาผลลบของ (5 + 8) − (3 + 2)

พหนุ ามตวั ต้ัง – พหุนามตัวลบ = พหนุ ามตัวตั้ง + พหุนามตรงขา้ มของพหนุ ามตัวลบ

(5 + 8) - (3 + 2) = (5 + 8) + [−(3 + 2)]

๙๙

พหุนาม พหุนาม พหุนาม พหุนามตรงขา้ ม
ตวั ต้งั ตวั ลบ ตวั ต้งั ของพหุนามตวั ลบ

วิธที ำ (5 + 8) − (3 + 2) = (5 − 3 ) +(8 − 2)
= (2 ) +(6)

ดงั นัน้ ผลลบ คอื 2 + 6

วธิ ีการท่ี 2 การลบแนวตั้ง

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลลบของ (4 2 − 5 − 7) + (2 2 + 8 − 9)

วิธที ำ (4 2 − 5 − 7)

-
(2 2 + 8 − 9)

(2 2 − 13 + 2)

ดังน้ัน ผลลบ คอื (2 2 − 13 + 2)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบของ (6 2 − 20 + 7) + (5 2 − 5)

วิธีทำ (6 2 − 20 + 7)

(5 2 -
− 5)

( 2 − 20 + 12)

ดังนั้น ผลลบ คอื ( 2 − 20 + 12)

dกกdddกกกdddd13

ใบกิจกรรมท่ี 2 เร่ือง การบวกและการลบพหนุ าม

ชอื่ -สกุล........................................................................................................ชัน้ ...................เลขที่...........

คำชี้แจง จงหาผลลัพธ์การบวกและการลบพหนุ ามให้ถกู ตอ้ ง
1. (2x + 3x) + ( x – 3x) = ……………………………………………..
2. (2x2 + 5x2) + ( 3x2 + x) = ……………………….…………………….
3. (2yz – 3yz) + (3x2 + 1) = ………………………..……….....
4. (10mn – 9mn) – 5mn = ……………………..…
5. (7x4 – 3x2) – (– 2x4) = ………………………...….
6. (12x + 15) + 5x = ………………………..……….
7. (9y – 4) + (2y + 2) = …………………….….…..
8. (3z2 + 3z) + (4z2 – 2z) = ………….…….….…
9. 6x – (4x + 6) = …………………………..…………
10. (7xy – st) – (– 10st + 3xy) = ………………..

dกกdddกกกdddd14

ใบกจิ กรรมท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหนุ าม

ช่ือ-สกุล........................................................................................................ชั้น...................เลขที่...........

คำชี้แจง จงหาผลลัพธ์การบวกและการลบพหุนามให้ถูกตอ้ ง
1. (2x + 3x) + ( x – 3x) = 3x
2. (2x2 + 5x2) + ( 3x2 + x) = 10x2 + x
3. (2yz – 3yz) + (3x2 + 1) = – yz + 3x2 + 1
4. (10mn – 9mn) – 5mn = – 4mn
5. (7x4 – 3x2) – (– 2x4) = 9x4– 3x2
6. (12x + 15) + 5x = 17x + 15
7. (9y – 4) + (2y + 2) = 11y – 2
8. (3z2 + 3z) + (4z2 – 2z) = 7z2 + z
9. 6x – (4x + 6) = 2x – 6
10. (7xy – st) – (– 10st + 3xy) = 4xy + 9st

dกกdddกกกdddd15

ใบความรู้ที่ 3 เรอ่ื ง การคูณพหนุ าม

การหาผลคูณเอกนามกับเอกนาม ทำได้โดย นำสัมประสิทธิ์ในแต่ละเอกนามมาคูณกันและนำตัวแปรใน
แต่ละเอกนามมาคูณกันตามหลกั การคณู เลขยกกำลัง

am  an = am+n

ตวั อย่าง 1 (2x)(3x2 ) = 2  3 x1+2
= 6x3

ตัวอย่าง 2 (−4x5 )(6x2 ) = −24 x5+ 2
= −24x7

ตัวอย่าง 3 (−3xy)(−2xy2 ) = (−3)(−2)x1+1 y1+2
= 6x2 y3

ตวั อยา่ ง 4 (18x4)(−4x3) = (18)(−4) x 4+3

= −72x7

การคูณเอกนามกบั พหนุ าม ทำได้โดยนำเอกนามไปคูณกบั ทุก ๆ พจน์ของพหุนาม แลว้ นำผลคณู

เหลา่ นน้ั มารวมกนั

a(b + c) = ab + ac

ตัวอยา่ งท่ี 1 (3a)(a + b) = (3a)(a) + (3a) + (b)
= 3a2 + 3ab

ตัวอยา่ งท่ี 2 (−4x)(x2 − x) = (−4x)(x2) − (−4x)(x)

= −4x3 − (−4x2)
= −4x3 + 4x2

ตัวอยา่ งท่ี 3 (−7m)(m + n) = (−7m)(m) + (−7m)(n)
= −7m2 − 7mn

dกกdddกกกdddd16

การคณู พหุนามกบั พหุนาม ทาํ ไดโ้ ดยการคณู แต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกบั ทุกๆพจน์ ของอกี พหนุ าม
หนง่ึ แล้วนาํ ผลคณู เหลา่ น้นั มาบวกกัน

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลคูณของ (3 − 2)(2 + 1)
วิธที ำ = [(3 − 2)(2 )] + [(3 − 2)(1)]

= [(3 + (−2))(2 )] + [(3 + (−2))(1)]
= (3 )(2 ) + (−2)(2 ) + (3 )(1) + (−2)(1)
= 6 2 − 4 + 3 − 2
= 6 2 − − 2

ดงั น้ัน ผลคูณ คอื 6 2 − − 2

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาผลคณู ของ ( 2 − 3)( − 1)
วิธที ำ = [( 2 − 3)( )] − [( 2 − 3)(1)]

= [( 2)( ) + (−3)( )] − [( 2)(1) + (−3)(1)]
= 3 − 3 − 2 − 3
= 3 − 2 − 3 − 3

ดังน้ัน ผลคูณ คอื 3 − 2 − 3 − 3
ตัวอย่างท่ี 3 จงหาผลคณู ของ ( 3 − 2)(2 + )
วิธีทำ = [( 3 − 2)(2 )] + [( 3 − 2)( )]

= ( 3)(2 ) + (−2)(2 ) + ( 3)( ) + (−2)( )
= 2 4 − 4 + 4 − 2
= 3 4 − 6

ดงั นัน้ ผลคณู คือ 3 4 − 6

ใบกจิ กรรมที่ 3 dกกdddกกกdddd17
การคูณพหนุ าม
ชื่อ-สกลุ ....................................................................
ช้ันม.1/...... เลขที่.......

คำชี้แจง จงหาผลคณู ของพหุนามตอ่ ไปน้ี

1. ( 2 − 9)(− − 11)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. ( − 4)( 2 − 3 − 2)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3. ( 2 + − 1)( 2 − 4 + 11)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. ( + 1)( 2 − 5 + 9)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5. ( − )( 2 − + 2)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

dกกdddกกกdddd18

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 3
การคูณพหุนาม

คำช้แี จง จงหาผลคูณของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี

1. ( 2 − 9)(− − 11)
− 3 − 11 2 + 9 + 99

2. ( − 4)( 2 − 3 − 2)
3 − 3 2 − 2 − 4 2 − 12 + 8

3. ( 2 + − 1)( 2 − 4 + 11)
2 3 − 4 2 2 + 11 2 + 3 − 5 2 + 15 − 11

4. ( + 1)( 2 − 5 + 9)
3 − 5 2 + 9 + 2 − 5 + 9

5. ( − )( 2 − + 2)
3 − 2 2 + 2 2 − 3

dกกdddกกกdddd19

ใบความรู้ท่ี 4 เรอ่ื ง การหารพหุนามดว้ ยเอกนาม

การหารเอกนามด้วยเอกนาม แบ่งเปน็ 2 ส่วนคือ
- ส่วนท่ี 1 นำค่าคงตวั ในเอกนามมาหารกัน ตามหลักการหารเลขทัว่ ๆ ไป
- สว่ นที่ 2 ให้นำตวั แปรในแตล่ ะเอกนามมาหารกนั โดยใชส้ มบัติของเลขยกกำลัง

การหารพหุนามดว้ ยเอกนามทำได้โดยนำตัวหารทเ่ี ป็นเอกนามไปหารแต่ละพจน์ของพหุนาม แล้วจึงนำ
ผลหารเหลา่ นน้ั มาบวกกัน ถ้าผลหารทไ่ี ดเ้ ปน็ พหนุ าม จะกล่าวไดว้ า่ เป็นการหารลงตวั

ตัวหาร  ผลหาร = ตัวตงั้

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลหาร −10x2

5x

วิธที ำ −10x2 = −10  x2−1

5x 5

= −2x

ดังนนั้ ผลหาร คือ −2x

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลหาร (8y4)  (4 y2)

วธิ ีทำ (8 y4 )  (4 y2 ) = (8  4)( y4  y2 )

= 2 y4−2

= 2y2

ดังนัน้ ผลหาร คือ 2y2

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาผลหารของ 4 3 ÷ 2

วิธีทำ 4 3 ÷ 2 = 4 3
2

= 4−2 3−1

= 2 2

ดงั นั้น ผลหาร คือ 2 2

dกกdddกกกdddd20

การหารพหนุ ามดว้ ยเอกนาม ในการหารพหุนามด้วยเอกนามน้ัน จะหารแตล่ ะพจน์ของพหนุ ามด้วยเอกนามแล้ว
นำผลหารเหล่านั้นมาบวกกัน และถา้ ผลหารเป็นพหุนามจะกล่าววา่ การหารน้ันเปน็ การหารลงตวั

ดังน้ัน การหารพหนุ ามดว้ ยเอกนาม เมือ่ ไดผ้ ลหารเปน็ พหุนาม เราสามารถตรวจสอบผลหาร
โดยนำตัวหารคณู กับผลหาร ถา้ มผี ลลัพธเ์ ท่ากบั ตวั ตงั้ แสดงวา่ ผลหารนนั้ ถกู ตอ้ ง

ตวั หาร × ผลหาร = ตัวต้ัง

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาร 14x2 − 7 ดว้ ย 7

วธิ ีทำ 14x2 − 7 = 14x2 + −7

7 77

= 2x2 + (−1)
= 2x2 −1
ตรวจสอบผลหาร (7)( 2x2 −1) = 14x2 − 7
ดังนัน้ ผลหาร คือ 2x2 −1

ตวั อย่างที่ 2 จงหาร (−12x2 − 28x) ด้วย (−4x)

วิธที ำ −12x2 − 28x = (−12x2) + (−28x)
−4x −4x −4x

= 3x + 7

ตรวจสอบผลหาร (−4 )(3x + 7 ) = (−12x2 − 28x)
ดังนน้ั ผลหาร คือ 3x + 7

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาร 5a3 −10a2 +15a ด้วย 5a

วิธที ำ 5a3 −10a2 +15a = 5a3 + (−10a2 ) + 15a
5a 5a 5a 5a

= a2 + (−2a) + 3

= a2 − 2a + 3

ตรวจสอบผลหาร (5 )( a2 − 2a + 3 ) = 5a3 −10a2 +15a
ดงั นัน้ ผลหาร คือ a2 − 2a + 3

dกกdddกกกdddd21

ใบกจิ กรรมท่ี 4 ช่ือ-สกลุ ....................................................................
การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม ช้ันม.1/...... เลขที่.......

1. จงหาผลหารแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1. (−2x2+4x4) ÷ 2x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

2. (18x3−24x2) ÷ 3x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

3. (6x2+4x4 + 2 ) ÷ 2x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

4. (−117x7−51x2) ÷ (−13x2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

5. (−2 2)5 + 2 23 ÷ (−2x2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

dกกdddกกกdddd22

เฉลยใบกิจกรรมที่ 4
การหารพหุนามด้วยเอกนาม

1. จงหาผลหารแต่ละขอ้ ต่อไปนี้

2. (−2x2+4x4) ÷ 2x2
−1 + 2x2

3. (18x3−24x2) ÷ 3x2
6x − 8

4. (6x2+4x4 + 2 ) ÷ 2x2

2x2 + 1 + 3


5. (−117x7−52x2) ÷ (−13x2)
9 5 + 4

6. (−2 2)5 + 2 23 ÷ (−2x2)
16x8 − 6

dกกdddกกกdddd23

แบบทดสอบประเมนิ ตนเองหลงั เรียน เรอ่ื ง พหุนาม

ตอนที่ 1 ใหน้ ักเรียนเขียนเครอ่ื งหมายกากบาท () โดยพจิ ารณาเลือกท่ีถูกต้องทีส่ ดุ เพยี งข้อละตัวเลือก

ผลการเรยี นรู้ หาผลบวกและผลลบของเอกนามและพหนุ ามได้
หาผลคณู และผลหารของเอกนามและพหนุ ามได้

1. 3a + 2a เท่ากับข้อใด

ก. 2a ข. 3a ค. 4a ง. 5a

2. 5yz – (–yz) เทา่ กบั ข้อใด

ก. 6yz ข. –6yz ค. 4yz ง. –4yz

3. (3x – 4) + (x + 5) เทา่ กับขอ้ ใด

ก. x + 3 ข. x – 3 ค. 4x + 1 ง. 4x – 1

4. (10x + 7) – (3x + 7) เท่ากบั ข้อใด

ก. 9x + 12 ข. 7x ค. 15x + 12 ง. 15x

5. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง

ก. a+2a+5 = 3a ข. 3+(–2m)+1 = 4 ค. 2x–(3x + 6) = –x + 6 ง. (3x–6)–(3x–6) = 0

6. (2x) (5xy) เทา่ กับข้อใด

ก. 10 x2y ข. 10 x2y2 ค. –10 x3y2 ง. –10 x2y2

7. (x2) (10x+2) เท่ากับขอ้ ใด

ก. 10x3 ข. 10x3+2x2 ค.10x3+2x3 ง. 12x3

8. (x + 2) (x + 6) เท่ากบั ข้อใด

ก. x2 + 8x – 12 ข. x2 – 8x – 12 ค. x2 – 8x + 12 ง. x2 + 8x + 12

9. (10x2) ÷ (2x) เทา่ กับข้อใด

ก. 5 ข. 5x ค. 5x2 ง. 5x3

10. ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกต้อง

ก. (25xy) ÷ (5xy) = 5 ข. (16x2y) ÷ (– 4y) = – 4xy
ง. (3x+6) ÷ (3x+6) = 0
ค. (4y – 8y2) ÷ 2y = 1 – 4y

dกกdddกกกdddd24

เฉลยแบบทดสอบประเมนิ ตนเองหลังเรยี น เรอื่ ง พหุนาม

ตอนที่ 1 ให้นักเรียนเขียนเครื่องหมายกากบาท () โดยพิจารณาเลือกที่ถูกต้องทส่ี ุดเพียงข้อละตัวเลือก

ผลการเรียนรู้ หาผลบวกและผลลบของเอกนามและพหุนามได้
หาผลคูณและผลหารของเอกนามและพหนุ ามได้

1. 3a + 2a เทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. 2a ข. 3a ค. 4a ง. 5a

2. 5yz – (–yz) เท่ากับขอ้ ใด

ก. 6yz ข. –6yz ค. 4yz ง. –4yz

3. (3x – 4) + (x + 5) เท่ากับข้อใด

ก. x + 3 ข. x – 3 ค. 4x + 1 ง. 4x – 1

4. (10x + 7) – (3x + 7) เท่ากับข้อใด

ก. 9x + 12 ข. 7x ค. 15x + 12 ง. 15x

5. ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง

ก. a+2a+5 = 3a ข. 3+(–2m)+1 = 4 ค. 2x–(3x + 6) = –x + 6 ง. (3x–6)–(3x–6) = 0

6. (2x) (5xy) เท่ากับข้อใด

ก. 10 x2y ข. 10 x2y2 ค. –10 x3y2 ง. –10 x2y2

7. (x2) (10x+2) เทา่ กบั ข้อใด

ก. 10x3 ข. 10x3+2x2 ค.10x3+2x3 ง. 12x3

8. (x + 2) (x + 6) เท่ากบั ข้อใด

ก. x2 + 8x – 12 ข. x2 – 8x – 12 ค. x2 – 8x + 12 ง. x2 + 8x + 12

9. (10x2) ÷ (2x) เท่ากับข้อใด

ก. 5 ข. 5x ค. 5x2 ง. 5x3

10. ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง

ก. (25xy) ÷ (5xy) = 5 ข. (16x2y) ÷ (– 4y) = – 4xy
ง. (3x+6) ÷ (3x+6) = 0
ค. (4y – 8y2) ÷ 2y = 1 – 4y