Bahan Ajar OBE

OPERASI BARIS ELEMENTER

(OBE)

PENGGUNAAN OBE

PENGAJAR : DIAN DWI ARDIANSYAH

PENGGUNAAN OPERASI BARIS ELEMENTER

1. Untuk Mencari Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks dapat kita tentukan dengan menggunakan Operasi Baris
Elementer (OBE). Secara sederhana, determinan suatu matriks merupakan hasil kali setiap
unsur diagonal pada suatu matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Akan tetapi,
dalam kenyataannya tidak semua matriks berbentuk matriks segitiga atas atau bawah.
Dengan menggunaan Operasi Baris Elementer (OBE), kita dapat menentukan determinan
dari suatu matriks merubah suatu matriks menjadi matriks segitiga atas atau matriks
segitiga bawah terlebih dahulu.

Pengaruh OBE terhadap Nilai Determinan :

 Jika matriks A’ berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris,

maka Det (A) = - Det (A’) atau Det (A) = (-1).Det (A’)

 Jika matriks A’ berasal dari matriks A dengan mengalikan satu baris A dengan k,

maka Det (A) = 1 . Det (A’)

 Jika matriks A’ berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta

tidak nol lalu dijumlahkan pada baris lain, maka Det (A) = Det (A’)

Matriks Segitiga Atas  Angka-angka dibawah diagonal utamanya adalah nol.
Contoh :

Matriks Segitiga Bawah  Angka-angka diatas diagonal utamanya adalah nol.
Contoh :

Contoh Soal :

210
Tentukan determinan dari matriks A = 1 2 1 !

012

Jawab:

Tukar baris ke-1 dengan baris ke-2

121
A12 = 2 1 0

012

Jumlahkan baris ke-2 dengan (-2) kali baris ke-1 (-2b1 + b2)

12 1
A21(-2) = 0 −3 −2

01 2

11
Jumlahkan baris ke-3 dengan 3 kali baris ke-2 (3b2 + b3)

12 1

A23 = 0 −3 −2
0 0 4

3

4
Det (A) = (-1).(1).(-3).( 3 ) = 4

Ket: dikali (-1) di depan dikarenakan dalam proses OBE mengalami pertukaran baris sekali.

2. Untuk Mencari Invers Matriks

Invers dari suatu matriks dapat kita tentukan dengan menggunakan Operasi Baris
Elementer (OBE) dengan cara mereduksi Matriks A menjadi Matriks Identitas.

Langkah Penyelesaian :
 Gabungkan matriks identitas ke sebelah kanan matriks A

[A I]

 Lakukan Operasi Baris Elementer, sehingga [ A I ] menjadi [ I A-1 ]

Contoh Soal :

210
Tentukan invers dari matriks A = 4 3 1

122

Jawab :

( )[ A I ] =
210 100 1/2.b1
431 010

122 001

( )1 1/2 0 b2 – 4b1
431 b3 – b1
122
1/2 0 0
0 10
0 01

( )1 1/2 0 1/2 0 0 b1 – 1/2.b2
0 1 1 −2 1 0
0 3/2 2 −1/2 0 1 b3 – 3/2.b2

( )1 0 −1/2 3/2 −1/2 0 2b3
0 1 1 −2 1 0
0 0 1/2 5/2 −3/2 1

( )1 0 −1/2 b1 + 1/2.b3
01 1 b2 – b3
00 1
3/2 −1/2 0
−2 1 0
5 −3 2

( )1 0 0 4 −2 1 = [ I A-1 ]
0 1 0 −7 4 −2
0 0 1 5 −3 2

( )A-1 =
4 −2 1
−7 4 −2

5 −3 2

3. Untuk Menyelesaikan Masalah SPL

SPL adalah suatu himpunan berhingga dari persamaan yang peubahnya berpangkat
satu, bukan merupakan hasil kali atau akar peubah dan bukan sebagai argument fungsi
trigonometri, fungsi logaritma atau fungsi eksponensial. Sistem Permasalahan Linear bisa
kita cari menggunakan Operasi Baris Elementer. Penerapan OBE dalam menyelesaikan
SPL dikenal dengan nama Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan.

Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris (MEB) jika terpenuhi:

1. Jika membuat baris tak nol, maka entri tak nol paling kiri adalah 1, selanjutnya
elemen tersebut (angka 1) kita disebut sebagai elemen pivot.

2. Untuk sebarang dua baris tak nol yang berurutan, elemen pivot baris lebih bawah
terletak lebih kanan.

3. Jika memuat baris-baris nol, maka semuanya terletak dibagian bawah matriks.

Contoh Soal:

1. Diberikan SPL sebagai berikut:
3x−y+z=4
−2x+2y+3z =11
x+ 3y − 2z=1
Tentukan nilai dari x, y, dan z!

Jawab: 4 B3 -> B1
11
3 −1 1 1
−2 2 3
1 3 −2

1 3 −2 1 B2 + 2B1
−2 2 3 11 B3 – 3B1
3 −1 1 4

13 −2 1 B2x(1/8)
08 −1 13

0 −10 7 1 B3 +B2

1 3 −2 1
0 1 −1/8 13/8
0 0 46/8 138/8

(46/8)z = 138/8
Z= 3

y – (1/8)z = 13/8
y-3/8 = 13/8

y = 13/8 + 3/8 = 2

X + 3y – 2z = 1
X + 6 -6 = 1
X=1

MATEMATIKA ASIK

OBE2021

MATRIKS

Pendidikan Matematika
Fakultas Pendidikan dan Keguruan
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa