livre_eco

 Les capacités hebdomadaires, exprimées en heures, des machines , et sont
respectivement 110, 120 et 75 (ce qui correspond au cas où les machines
travaillent à plein temps).

 On note respectivement , et le nombres hebdomadaires (exprimés en
dizaines) de pièces , et fabriquées quand les trois machines , et
travaillent à plein temps.

a) Montrer que le triplet ( , , ) vérifie le système ( ) donné en 1) c).
b) Déterminer alors , et .
c) Déterminer le bénéfice hebdomadaire gagné par l’entreprise quand les trois machines

, et travaillent à plein temps.

4 Exercice 36’ 6 Points

Soit la fonction définie sur ℝ par ( ) = −2 et (C) sa courbe représentative dans le plan
1+

rapporté à un repère ( , ⃗ , ⃗ ).

1) a) Calculer (0).

b) Calculer lim ( ) et lim ( ) puis interpréter graphiquement les résultats obtenus.
→−∞ →+∞

2) a) Montrer que pour tout réel , ′( ) = 2 .
(1+ )2

b) Dresser le tableau de variation de .

c) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

d) Tracer dans le repère ( , ⃗ , ⃗ ), la tangente (T) et la courbe (C).

3) a) Montrer que réalise une bijection de ℝ sur un intervalle que l’on précisera.

b) Tracer dans le repère ( , ⃗ , ⃗ ) la courbe Γ représentative de la fonction réciproque
−1 de .

4) a) Montrer que = ∫0ln 2 = ln 23.
1+

b) Vérifier que pour tout ∈ ℝ, ( ) = − 2 .
1+

c) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) de , l’axe des abscisses et
les droites d’équations = 0 et = ln 2.

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Annexe
Feuille à rendre avec la copie

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2015 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Contrôle
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie

1 Exercice 24’ 4Points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

0 1 1 0 1
 
 1 0 1 1 1 

I. Soit (G) un graphe non orienté dont la matrice associée est M= 1 1 0 0 0 
 
 0 1 0 0 0 

1 1 0 0 0 

1) L’ordre du graphe (G) est égal à :

a) 5 b) 6 c)12

2) Le graphe (G) :

a) est complet b) admet chaine eulérienne c)admet cycle eulérien

II. Soit ( ) la suite réelle définie sur ℕ par = −1 + (0.99)
1) La suite ( ) est :

a) Croissante b) décroissante c) n’est pas monotone
c)+∞
2) l→im+∞ :

a) −1 b) 0

2 Exercice 30’ 5 Points

1 2 1  7 6 1  1 0 0
A  2     0
On considère les matrices: 3 2  , B   4 2 0  et I   0 1

3 4 5  1 2 1 0 0 1

1) Calculer le déterminant de la matrice A et en déduire qu’elle est inversible.

2) a) Montrer que + 2 = 0 où 0 désigne la matrice nulle d’ordre 3.
b) En déduire que −1 = − 1 où −1 désigne la matrice inverse de .

2

1

+ 2 + = −2
3) Soit dans ℝ3 le système ( ): {2 + 3 + 2 = 4

3 + 4 + 5 = 8

a) Donner l’écriture matricielle du système (S).

b) En déduire l’ensemble des solutions du système (S).

3 Exercice 30’ 5 Points

Le tableau ci-dessous donne les pourcentages des chômeurs en Tunisie pendant neuf

trimestre successifs à compter du premier trimestre de l’année 2012.

: rang du trimestre 1 234 5 6 7 8 9
: pourcentage des chômeurs 18.1 17.6 17 16.7 16.5 15.9 15.7 15.3 15.2

Source : I.N.S

1) Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage des points de la série statistique (xi,yi)
Dans la suite, les résultats seront données à 10−2 près par excès.

2) a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre et .

b) Justifier l’existence d’un ajustement affine entre et .

3) a) Donner une équation de la droite de régression de en par la méthode des

moindres carrés.

b) Estimer le pourcentage des chômeurs en Tunisie pendant le deuxième trimestre de

l’année 2015.

4 Exercice 36’ 6 Points

Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[par f (x)  1  ln x .
x

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé

(O,i, j )

1°) a) Calculer lim f (x)=0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

x0

b) En remarquant que ( ) = 1 + ln , calculer lim f (x) et interpréter graphiquement le

x 

résultat obtenu.

2°) a) Montrer que pour tout ∈]0; +∞[, on a f '( x )   ln x et calculer ′(1).

x 2

2

b) Dresser alors le tableau de variation de f.
c) Montrer que l’équation ( ) = 0 admet une solution unique que l’on précisera.
d) Tracer la courbe (C).
3°) Soit la fonction définie sur ]0; +∞[ par ( ) = 1 (2 + ln ) ln .

2

a) Montrer que est une primitive de sur ]0; +∞[ .
b) Soit ℛ la région du plan délimitée par la courbe (C) , l’axe des abscisses et les droites
d’équations = −1 et = 1. Hachurer cette région et calculer son aire.

3

2016 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Principale
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie
4.5Points
1 Exercice 27’

On considère le graphe orienté G ci-contre.

1°) Recopier et compléter le tableau suivant.

ABCD
d+ 2
d-

2°) Répondre par « Vrai » ou « Faux », en justifiant la réponse à chacune des affirmations
suivantes :

a) Le graphe G admet une chaine orientée eulérienne.

b) Le graphe G admet un cycle orienté eulérien.

c) La matrice associée au graphe G en considérant ses sommets dans l’ordre alphabétique

est

0111

(01 0 0 01)
1 0

1010

2 Exercice 27’ 4.5 Points

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du chiffre annuel (en milliards de dinars) de
l’exportation de la Tunisie des produits électriques et mécaniques de l’année 2008 jusqu’à
l’année 2014.

Année 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Rang xi de l’année
Chiffre annuel yi 123456 7
(en milliard de dinars)
6.2 6 8.1 9.3 9.7 10.4 11.6

1

1) Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage des points de la série statistique
( , ) .

Dans la suite, on arrondira au centième les résultats des calculs.

2) Calculer les coordonnées du points moyen G associé à la série ( , ), puis placer ce
point sur le graphique.

3) Justifier que le nuage des points permet d’envisager un ajustement affine.
4) a) Déterminer par la méthode des moindres carrées une équation de la droite de

régression de en .
b) En utilisant cet ajustement, estimer en milliards de dinars le chiffre de l’exportation de
la Tunisie des produits électriques et mécaniques en l’année 2017.

3 Exercice 30’ 5 Points

25 12 8
 
On donne la matrice A   4 3 2 
1 1 1

1°) a) Calculer le déterminant de la matrice A.

b) En déduire que la matrice A est inversible.

 1 4 0 
 18 
2°) Soit la matrice B   2 17

 1 13 27 

Calculer × et en déduire la matrice −1 inverse de .

3°) Un artisan fabrique trois type de jouets en bois : voitures, camions et bateaux.

Le tableau ci-dessous donne la quantité de bois en kilogrammes et le nombre d’heures de
travail nécessaires pour la fabrication d’un jouet de chaque type.

Type de jouet voiture camion bateau
Quantité de bois (en kg) 2.5 1.2 0.8
Heures de travail pour la fabrication
d’un jouet 4 heures 3 heures 2 heures

2

Après 204 heures de travail et en utilisant 96 Kg de bois, l’artisan a fabriqué au total 76 jouets.

On se propose de déterminer le nombre de jouets fabriqués de chaque type.

a) Montrer que la situation se traduit par le système :

2.5 + 1.2 + 0.8 = 96

( ): {4 + 3 + 2 = 204

+ + = 76

960

b) Montrer que le système ( ) est équivalent à = où = ( ) et = (204)

76

c) Déterminer le nombre de voitures, le nombre de camions et le nombre de bateaux

fabriqués.

4 Exercice 36’ 6 Points

Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par ( ) = − 1 − ln( ).

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé

(O,i, j )

1°) Calculer lim f (x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

x0

2°) a) Montrer que lim f (x)   .
x

b) Calculer lim f (x) et lim ( f (x)  x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x
x  x 

3°) a) Montrer que pour tout ∈]0; +∞[, ′( ) = −1


b) Dresser le tableau de variation de .

4°) Tracer la courbe (C) .

5°) Soit la fonction définie sur ]0, +∞[ par ( ) = ln .

a) Vérifier que pour tout ∈]0; +∞[ , ′( ) = 1 + ln .

b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les

droites d’équations : = 1 et = .

3

2016 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Contrôle
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie

1 Exercice 26’ 4Points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

I. Une expérience aléatoire est modélisée par l’arbre pondérée
ci-contre où et sont deux évènements et ̅ et ̅ leurs

évènements contraires respectifs.
1) La probabilité de l’évènement ∩ est égale à :

a) 0.06 b) 0.5 c)0.3

2) La probabilité de l’évènement ̅ est égale à :

a) 0.14 b) 0.48 c)0.62

II. est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres = 5 et = 0.3
1) L’espérance mathématique de est égale à :

a) 2.1 b) 1.5 c)1.05

2) La variance de égale à :

a) 1.05 b) 1.5 c)0.45

2 Exercice 30’ 5 Points

Un commerçant commande chaque semaine ses besoins auprès de l’un des deux fournisseurs
1 et 2.

Le choix de l’un des deux fournisseurs d’une semaine à l’autre

est modélisé par le graphe probabiliste (G) ci-contre où :

Website : www.TakiAcademy.com (G)

1

 Le sommet 1 désigne l’état : « La commande est passée auprès du fournisseur 1 ».
 Le sommet 2 désigne l’état : « La commande est passée auprès du fournisseur 2 ».
1) a) Lorsque la commande est passé auprès du fournisseur 1 , quelle est la probabilité

qu’elle le soit encore la semaine suivante ?

b) Recopier et compléter la matrice de transition = (0.…85 ……) de ce graphe en
prenant les sommets 1 et 2 dans cet ordre.

2) Pour tout entier naturel non nul , on désigne par :

 la probabilité de l’évènement : « la semaine la commande est passé auprès
du fournisseur 1 ».

 la probabilité de l’évènement : « la semaine la commande est passé auprès
du fournisseur 2 ».

 = ( ) la matrice ligne décrivant l’état probabiliste pour la semaine .

Vérifier que la matrice = ( 4 3) traduit l’état stable de la situation.
7
7

3) On donne 1 = (3 4) et on admet que pour tout entier naturel non nul .

7 7 1 3(0.65) 3(0.65)
7 4(0.65) 4(0.65)
= (44 + 3 − )
− 3 +

a) Montrer que pour tout entier naturel non nul ,

7 1 −1 = (4 − (0.65) −1 3 + (0.65) −1)

b) En déduire que pour tout entier naturel non nul , − = 1−2(0.65) −1.

7

c) Déterminer le rang de la semaine où, pour la première fois, la probabilité que le

commerçant commande ses fournitures auprès du fournisseur 1 dépasse la
probabilité que le commerçant commande ses fournitures auprès du fournisseur 2

3 Exercice 36’ 6 Points

Dans la feuille annexe jointe (à rendre avec la copie), (C) est la courbe dans un repère
orthonormé ( , ⃗ , ⃗ ) d’une fonction définie sur ℝ.

L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de−∞.

La courbe (C) admet une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées au
voisinage de +∞.

La courbe (C) admet une unique tangente horizontale et ce au point (0; −1).

1) a) Donner (0), ′(0), lim ( ) et lim ( ).
→−∞ →+∞

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b) Dresser le tableau de variation de .
2) Soit la restriction de à l’intervalle [0, +∞[.

a) Montrer que réalise une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle que l’on précisera
(On note −1 la fonction réciproque de )

b) Tracer dans le même repère de la feuille annexe la courbe (C’) de la fonction −1.
3) On admet que pour tout réel de [0, +∞[, ( ) = ( − 1)

a) Montrer que pour tout de [0, +∞[, ( ) = ′( ) − où ′ est la fonction dérivée
de .

b) Montrer que ∫01 ( ) = 2 −
4) a) Hachurer la partie (S) du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses, l’axe des

ordonnées et la droite d’équation = 1.

b) Calculer l’aire de (S).

4 Exercice 30’ 5 Points

On considère la suite ( ) définie sur ℕ par :
0 = 5

{ +1 = 1 + 2, ∈ ℕ
3
1) a) Calculer 1 et 2.

b) Montrer que ( ) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , > 3.

3) Soit la suite ( ) définie sur ℕ par : +1 = ln( − 3).

a) Montrer que pour tout entier naturel , +1 = − ln 3.

b) En déduire que pour tout entier naturel , = ln 2 − ln 3.
c) Montrer que pour tout entier naturel , = 3 − 32 .

d) Calculer l→im+∞ .

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Annexe
Feuille à rendre avec la copie

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2017 Épreuve Mathématiques République Tunisienne
EXAMEN DU BACCALAUREAT
Principale Section : Bac Économie
COEFFICIENT : 2
(2h)

Exercice : N◦ 01 27’ 4.5 Points

Une chaîne de production d’une usine fabrique des carreaux céramique pour le carrelage

de sols.

Une étude statistique a montré que :

✓ 15% des carreaux de céramique fabriqués ont un défaut d’aspect.

✓ Parmi les carreaux de céramique ayant un défaut d’aspect 20% ont un défaut de
calibrage.

✓ Parmi les carreaux de céramique n’ayant pas un défaut d’aspect 8% ont un défaut
de calibrage.

On appelle A l’événement ” le carreau de céramique fabriqué présente un défaut d’as-
pect”.
On appelle C l’événement ” le carreau de céramique fabriqué présente un défaut de
calibrage ”.
Le directeur de la qualité choisit au hasard un carreau de céramique dans un lot de
carreau produit.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

C

A

C

C

A
C

2. (a) Quel est la probabilité pour que le carreau de céramique choisi ait un défaut
d’aspect et un défaut de calibrage ?

(b) Calculer p(C).

1

(c) Les évènements A et C sont-ils indépendants ? justifier.

3. Le directeur de l’usine affirme que 78% du produit fabriqué ne présente aucun
défaut.
Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.

Exercice : N◦ 0 2 30’  5 Points
 1 1 1   −5 −1 4 
On donne les matrices : A = 1 3 −1 et B = 4 2 −2
3 2 1 7 −1 −2

1. (a) Calculer le déterminant de A. En déduire que A est inversible.
(b) Calculer A × B.
(c) En déduire la matrice inverse A−1 de A.

2. Les tarifs d’entrée au musée du Bardo sont :

✓ 12 dinars pour les visiteurs étrangers.
✓ 8 dinars pour les tunisiens moins de 60 ans.
✓ 4 dinars pour les tunisiens âgés de plus de 60 ans.

Les renseignements suivants concernant la visite du musée pendant une journée :

✓ Le nombre total des visiteurs est 300 personnes.

✓ Le nombre de visiteurs tunisiens âgés de plus de 60 ans est égal au total du
nombre de visiteurs étrangers augmenté du triple de visiteurs tunisiens de moins
de 60 ans.

✓ La recette de la journée est de 2040 dinars.

(a) Montrer que la situation se traduit par le système (S ) :  x + y + z = 300
x + 3y − z = 0
3x + 2y + z = 510

(b) Donner l’écriture matricielle de (S).

(c) Déterminer alors le nombre de visiteurs étrangers, le nombre de visiteurs tu-
nisiens de moins de 60 ans et le nombre de visiteurs tunisiens âgés plus de 60
ans.

Exercice : N◦ 03 27’ 4.5 Points

A fin de maximiser la recette hebdomadaire, un artisan a effectué une étude statistique
pour établir le prix de vente unitaire le plus adapté.
Les résultats sont donnés dans ce tableau.

2

Prix de vente unitaire xi (en dinars) 1 1.5 2 2.5 3.5 4 4.5 5

Nombre d’objets vendus yi 123 110 90 80 68 50 39 21

1. (a) Représenter le nuage de points de la série statistique double (xi, yi) dans un
repère orthogonal du plan.

(b) Ce nuage permet-il d’envisager un ajustement affine ? Justifier votre réponse.

2. Écrire une équation cartésienne de la droite (D) de régression y en x obtenue par
la méthode des moindres carrées (les coefficients sont arrondis à l’unité)

3. On suppose que cet ajustement reste bien valable.

(a) Montrer que la recette hebdomadaire en dinars est donnée par la fonction g
définie par g(x) = −24x2 + 144x, où x est le prix unitaire de vente en dinars.

(b) Déterminer alors le prix unitaire de vente qui permet de réaliser une recette

maximale.

Exercice : N◦ 04 36’ 6 Points

Soit f la fonction définie sur [1, +∞[ par f (x) = (4 − x)ex − 5.

1. Calculer lim f (x)

x→+∞

2. (a) Montrer que pour tout x ∈ [1, +∞[, f ′(x) = (3 − x)ex.
(b) Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3. (a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet dans [1, +∞[ une unique solution α et
vérifier que 3.89 < α < 3.90.

(b) Déterminer le signe de f (x) sur [1, +∞[.
∫4

4. Soit F la fonction définie sur [1, +∞[ par F(x) = (5 − x)ex − 5x et I = f (x)dx.

1

Vérifier que F est une primitive de f sur [1, +∞[. En déduire la valeur de I.

5. Une entreprise produit chaque jour x centaines d’objets (1 ≤ x ≤ 5).
Le bénéfice réalisé en milliers de dinars est égale à f (x).

(a) Combien d’objets l’entreprise doit-elle produire par jours pour réaliser un bé-
néfice maximal ? Préciser alors ce bénéfice à un dinar près.

(b) Quel est le nombre maximal d’objets produits par jours pour ne pas perdre ?

(c) L’entreprise envisage une production journalière entre 100 et 400 objets.
Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice (On donnera le résultat à un
dinar près).

3

2017 Épreuve Mathématiques République Tunisienne
EXAMEN DU BACCALAUREAT
Contrôle Section : Bac Économie
COEFFICIENT : 2
(2h)

Exercice : N◦ 01 30’ 5 Points
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; #ı» , #ȷ»).

La courbe C ci-dessus est celle d’une fonction f définie et dérivable sur R.

* La tangente T à la courbe C au point A(0, 4) passe par le point B(4, 0).

* La droite D d’équation y = 1 est une asymptote horizontale à C au voisinage de +∞.

4A

3

C

2

D

1

−3 −2 −1 BT
−1
12345

1. En utilisant les données et le graphique,déterminer :

(a) f (0) et f ′(0).
(b) Une équation de la tangente T .
(c) La limite de la fonction f en +∞.
(d) Un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire A , de la partie du plan

limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et
x = 2.

2. On suppose dans la suite que la fonction f est définie sur R par :
f (x) = 1 + (ax + b)e−x, où a et b sont deux nombres réels.

1

(a) Vérifier que f ′(x) = (−ax + a − b)e−x, pour tout réel x.
(b) Montrer alors que f (x) = 1 + (2x + 3)e−x,pour tout réel x.
(c) Vérifier que la fonction F définie sur R par F(x) = x−(2x+5)e−x est une primitive

de f sur R.

(d) Déterminer alors, en unité d’aire, la valeur exacte de A .

Exercice : N◦ 02 30’ 5 Points

La matrice M =  0 0 1 0 1  est associé à un graphe G de sommets A, B, C, D et
1 0 0 1 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 0

E dans cet ordre.

1. (a) Recopier et completer le tableau suivant où d+ et d− représente respectivement
le nombre d’arêtes sortantes et le nombre d’arêtes entrantes.

ABC D E
d+
d−

(b) Le graphe G admet-il un cycle eulerien ? Expliquer.

(c) Vérifier que G admet une chaine eulerienne.

(d) Représenter le graphe G et donner un exemple d’une chaine eulerienne.

 0 1 0 1 0 
2. On donne M2 = 1 0 1 0 2
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0

Combien y a t-il de chaines de longueur 2 reliant le sommet B au sommet E?

Exercice : N◦ 03 30’ 5 Points

On donne les matrices A, B, et C telles que :

 −1   29 
=  2   2 
A 1 1 2 A = 3 −7 −11 et C =A+B
1 −5
2 3 1 2 1 9
0 1 2 −5

1. Déterminer la matrice C.

2

2. (a) Calculer le déterminant du matrice A. En déduire que A est inversible.

(b) Justifier que C est la matrice inverse de A.

3. Soit dans R3 le système : (S ) : 2x + 2y − z + 4 = 0
x + 6y + 4z − 8 = 0
2y + 2z − 6 = 0

(a) Le triplet (−2 ; 1 ; 2) est-il solution de (S)? Expliquer.   
(b) Montrer que : A  a   −2 
b = 4
a, b, c est une solution de (S) si et seulement si c 3

(c) Résoudre alors le système (S).

Exercice : N◦ 04  30’ 5 Points

Soit U la suite définie sur N par : U0 = 2e 1 e), pour tout n ∈
2
Un+1 = (Un + N.

1. Calculer U1 et U2.

2. (a) Montrer, par récurrence, que pour tout n ∈ N, Un > e.
(b) Montrer que la suite U est décroissante.

(c) En déduire que la suite U est convergente.

3. Soit la suite V définie sur N par Vn = Un − e.

(a) Montrer que V est une suite géométrique de raison 1.
2

(b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

(c) Déterminer alors la limite de Un quand n tend vers +∞.

3