Equipe Académique Mathématiques
Magazine des sujets bac de 2008 à 2017
Mathématiques
Bac économie & gestion
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2008 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Principal EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 24’ 4 Points
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse vaut 0 point.
I- Soit la fonction f dérivable sur IR et définie par f (x) x²ex
1°) La limite de f (x) lorsque x tend vers est égale à
a , b 0, c .
2°) La fonction dérivée f ' de f est définie sur IR par
a f '(x) 4x ex , b f '(x) x²ex , c f '(x) (2x x²) ex .
II- Une expérience aléatoire est représentée par l’arbre pondéré ci-contre où A et B sont deux évènements et A
et B sont leurs évènements contraires respectifs.
1°) La probabilité de l’évènement A ² B est égale à
a 0,12, b 0,7 c 0,3 .
2°) La probabilité de l’évènement B est égale à
a 0,4 , b 0,18 c 0,03 .
2 Exercice 30’ 5 Points
Soit les suites (un ) et (vn ) définies sur IN par :
u0 0 1 un e 1 et vn un e .
un1 e
1°) a) Démontrer que (vn ) est une suite géométrique de raison 1 .
e
b) Exprimer vn en fonction de n.
1
c) Déterminer la limite de la suite (vn ).
2°) En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.
3 Exercice 30’ 5 Points
Soit le graphe G ci-contre
1°) a) Donner le degré du sommet B du graphe G.
b) G admet-il un cycle eulérien ? Justifier.
2°) a) Prouver que G admet au moins une chaine eulérienne.
b) Donner un exemple de chaine eulérienne.
3°) Les sommets sont écrits dans l’ordre alphabétique. Donner la matrice M associée au graphe G.
4 Exercice 36’ 6 Points
1°) On a représenté ci-dessous le tableau de variation de la fonction g définie sur 0,
par g(x) x² 1 ln x
Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
2°) On considère la fonction f définie sur 0, par f ( x) x 1 ln x .
x
On désigne par (c )la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i, j .
(l’unité graphique est 1cm)
a) Calculer lim f (x)et interpréter graphiquement le résultat.
x 0
b) Calculer lim f (x) (x 1) et interpréter graphiquement le résultat.
x
3°) a) Démontrer que pour tout x 0, , f '(x) g( x )
x² .
b) Dresser le tableau de variation de f.
4°) a) Etudier la position relative de la courbe (c )et de la droite D d’équation y x 1 .
b) Tracer D et (c ).
c) Calculer en cm², l’aire de la partie du plan limitée par la droite D, la courbe (c ) et les droites
d’équations respectives x 1 et x e .
2
2008 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Contrôle EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 18’ 3 Points
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse vaut 0 point.
1°) La limite de la suite (un ) définie sur IN par un 0,1 (0,5)n est égale à
a 0,1, b 0,6, c .
2°) La limite de la suite (vn ) définie sur IN par vn ln(1 n) est
a croissante, b décroissante, c constante.
3°) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O,u,v . Soient A et B les points d’affixes
respectives zA 2 et zB 3i .
L’affixe du point C tel que OABC soit un rectangle est
a zC 2 3i , b zC 3 2i , c zC 2 3i .
2 Exercice 36’ 6 Points
Le plan est muni d’un repère orthonormé
O,i, j
La courbe (c ) ci-dessous est celle d’une
fonction f définie et dérivable sur IR.
1
● La droite D d'équation y 3 est une asymptote à (c ) au voisinage de .
● (c ) admet, au voisinage de , une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.
● (c ) admet une tangente horizontale.
1°) Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes :
a) Détermine f (0) .
b) Déterminer lim f (x) et lim f (x) .
x
x x
c) Dresser le tableau de variation de f.
2°) On pose pour tout réel x, f (x) e2x 4ex 3 .
a) Démontrer que la fonction F définie sur IR par F ( x ) 1 e 2x 4ex 3x est une primitive de f sur IR.
2
b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (c ), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées
et les droite d’équation x ln3
3 Exercice 30’ 5 Points
Le tableau suivant indique les dépenses annuelles en énergie électrique d’une usine de 2001 à 2007.
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Rang de l’année : xi 1 2 3 4 5 6 7
Dépense en milliers de
DT : yi 18 24 33 48 72 96 126
1°) Compléter le nuage de points, donné en annexe, de la série (xi ,yi ).
2
2°) Le nuage obtenu permet d’envisager un ajustement exponentiel.
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis à 102 prés)
xi 1 2 345 67
zi=ln(yi) 2,89 3,87 4,84
b) Donner une équation de la droite de régression de z en x.
c) Exprimer alors y en fonction de x.
d) Estimer, à l’aide de cet ajustement, la dépense en 2008 à mille dinars près.
4 Exercice 36’ 6 Points
5x 7 y 9z 235
1°) On considère le système (S) : x 2 y 3z 65
2x 2 y 3z 80
a) Déterminer la matrice M du système (S).
b) Démontrer que la matrice est inversible et vérifier que sa matrice inverse est la matrice
0 1 1
1 1 2
M1 4
2 3
3 1
c) Résoudre alors le système (S).
2°) le tableau suivant indique les frais de fabrication en matière premier , main d’œuvre et frais
divers pour chaque unité des différents types de produits A, B et C.
Types de produit Unité de type A Unité de type B Unité de type C
Frais de fabrication 5 7 9
1 2 3
Matière première en DT 2 2 3
Main d’œuvre en DT
Frais divers en DT
Les frais de tous les produits fabriqués en une journée donnes sont les suivant :
Matière première : 235 DT
Main d’œuvre : 65 DT
Frais divers : 80 DT
Déterminer le nombre de produits fabriquer en celle journée de chaque type A , B , C.
3
2009 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Principal EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 18’ 3 Points
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n 'est demandée.
Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse vaut 0 point.
1°) Les nombres complexes z1 et z2 tels que z1 z2 2i et z1 z2 1 i sont les solutions de l’équation :
a z²i z 1i 0 , b z² (1 i)z 2i 0 , c z² 2i z 1 i 0 .
2°) Soit x un réel. Le nombre complexes Z défini par Z x i a pour module :
xi
a x 1 , b 1, c x² 1 .
x 1 x² 1
3°) On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f définie sur l’intervalle 0, . Soit (un ) la
suite définie par uu0n1 1 f (un ), pour tout n IN.
a décroissante,
b croissante,
c ni croissante ni décroissante.
4°) Soit (un ) la suite définie pour tout nIN par un 2n 3 . La suite (vn ) définie par vn eun :
a est arithmétique, b est arithmétique, c ni arithmétique ni géométrique.
2 Exercice 42’ 7 Points
Soit la fonction f définie sur 0, par f (x) x 3 3ln x .
x
1
On désigne par (c ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j (l’unité graphique est
1cm).
1°) Montrer que lim f (x) et lim f (x) 1 . Interpréter graphiquement ces résultats.
x 0 x
2°) a) Montrer que pour tout x 0, , f '( x ) 3ln x .
x²
b) Dresser le tableau de variation de f.
3°) a) Montrer que l’équation f (x) 0 , admet, dans 0, , une unique solution et que 0,32 0,34 .
b) Tracer la courbe (c )dans le repère O,i, j .
4°) Une usine fabrique chaque jour x objets On suppose que son bénéfice B. exprimé en milliers de
dinars, est une fonction de x définie sur 100,6000 par B(x) f x .
1000
a) Déterminer le nombre d'objets à fabriquer pour que l’usine réalise un bénéfice maximal et donner
en dinars ce bénéfice
b) Déterminer, au dinar prés, le bénéfice réalisé pour une fabrication de 4000 objets
3 Exercice 30’ 5 Points
Une usine fabrique en grande série de climatiseurs susceptibles de présenter deux défauts a et b.
Une étude statistique de la production conduit aux résultats suivants
● 3 % des climatiseurs présentent le défaut a.
● Parmi les climatiseurs présentant le défaut a, 8% présentent le défaut b
● Parmi les climatiseurs ne présentant pas le défaut a, 2% présentent le défaut b.
On prélève au hasard un climatiseur dans la production. On désigne par A et B les événements suivants :
A : « Le climatiseur présente le défaut a »
B : « Le climatiseur présente le défaut b »
1°) L'arbre pondéré ci-contre représente cette situation.
Recopier et compléter cet arbre.
2°) Pour cette question, on donnera les résultats à quatre chiffres après
la virgule.
a) Quelle est la probabilité que ce climatiseur présente à la fois les deux défaut a
et b ?
b) Quelle est la probabilité que le climatiseur présente le défaut b ?
c) Quelle est la probabilité que le climatiseur ne présente aucun défaut ?
2
4 Exercice 30’ 5 Points
Un facteur doit, dans sa journée, prendre le courrier du central C et se rendre à six localités de le ville qu'on
note A1, A2. A3 A4. A5 et A6. Les tronçons de route qu'il peut emprunter sont représentés par les arêtes du
graphe G ci-contre.
Sur chaque arête est indiquée la longueur, en mètres, du tronçon correspondant.
1°) Préciser le degré de chacun des sommets de G.
2°) Montrer qu'il est possible d'emprunter tous les tronçons de route en parcourant une et une seule
fois chacun d'eux
3°) Le facteur peut-il partir du central C et d'y revenir en empruntant une fois et une seule tous les
tronçons de route ?
4°) Déterminer le plus court chemin menant du central C a la localité A5.
3
2009 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Contrôle EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 18’ 3 Points
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse vaut 0 point.
1°) Les nombres complexes 1 2i et 1 2i sont les solutions de l’équation
a z² 2z 5 0 , b z² 5z 2 0 , c z² 2i z 5 0 .
2°) A et B sont deux points d’affixes respectives zA 1 i et zB 2 3i .
La distance AB est égale à
a 5, b 5, c 2 5.
3°) Soit f la fonction définie sur IR par f (x) e3x 1 et c sa courbe représentative dans un repère O,i, j
Une équation de la tangente à c au point d’abscisse 0 est
a y 3x 1 , b y 3x , c y x 1.
4°) On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée f ' d’une fonction f.
Le tableau donnant le sens de variation de f est :
1
a bc
2 Exercice 36’ 6 Points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle I 0, par f ( x) 1 x² 1 2ln x .
4
On désigne par (c ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j (l’unité graphique est
1cm).
1°) a) Montrer que lim f (x) , lim f (x) et lim f (x) .
x 0 x
x x
Interpréter graphiquement ces résultats.
b) Montrer que pour tout x de I, f '( x ) (x 2)( x 2) .
2x
c) Dresser le tableau de variation de f sur I.
2°) a) Montrer que l’équation f (x) 0 , admet exactement deux solutions et dans l’intervalle I et que
0,5 0,7 et 3,7 3,9 .
b) Tracer la courbe (c ).
3°) a) Montrer que la fonction F définie sur I par F(x) 1 x 3 x 2x ln x est une primitive de f sur I.
12
b) Soit A l’aire, exprimé en cm², de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (c )et les
droites d’équations x et x .
Donner une valeur approchée de A en prenant 0,6 et 3,8 .
3 Exercice 30’ 5 Points
Une usine fabrique des téléviseurs, des lecteurs DVD et des chaines stéréo. Elle utilise dans la
fabrication de ces appareils trois types de composants électroniques notés A, B et C.
● Le production d’un téléviseur nécessaire 1 composant électronique de type A, 4 de type B et 2 de type C.
● La production d’un lecteur DVD nécessite 2 composants électroniques de type A, 5de type B et 4 de
type C.
● La production d’une chaine stéréo nécessite 2 composants électroniques de type A, 2de type B et 5 de
type C.
La consommation journalière en composants électroniques est de 150 de type A, de 300 de type B et de 330
de type C.
On désigne par a, b et c respectivement le nombre de téléviseurs, de » lecteurs DVD et de chaines stéréo
que produit l’usine en un jour.
2
x 2 y 2z 150
1°) Montrer que (a,b,c) vérifier le système (S ): 4x 5 y 2z 300
2x 4 y 5z 330
2°) Ecrire la matrice M du système (S).
1 17 2 8
3 16 1
3°) Soit la matrice N 6 0 6 .
3
Calculer M N . En déduire que M est inversible et donner sa matrice inverse.
4°) Déterminer alors a, b et c.
4 Exercice 36’ 6 Points
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du prix d'un quintal, exprimé en dinar, d'un produit agricole :
Année 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Rang xi 012345
Prix yi du 52,1 58,5 66,4 74,7 84,6 96
quintal
1°) a) Représenter le nuage de points associe à la série statistique (xi , yi ) dans un repère orthogonal
(unités graphiques : 2 cm pour une année et 1 cm pour 10 dinars)
b) Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série (xi , yi ) et le placer sur le graphique.
2°) On admet dans cette question que le nuage de points suggère un ajusteront affine
a) Vérifier qu'une équation de la droite d’ajustement par la méthode de Mayer de ce nuage est
y 8,7x 50,3 .
b) Déterminer, à l'aide de cet ajustement, le prix du quintal en 2009.
3°) En réalité, le prix du quintal an 2009 de ce produit s'est élevé à 106,8 dinars. On a alors intérêt à
changer d'ajustement On considère l'ajustement défini par f : x f (x) 52,1 e0,12x .
a) Recopier et compléter le tableau suivant :
Rang xi 01 2 3 4 56
Prix yi du quintal 52,1 58,5 66,4 74,7 84,6 96 106,8
8,6xi+50,3
52,1 e0,12xi
b) Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ?
c) Quel serait alors, d'après cet ajustement f, le prix du quintal de ca produit an 2010 ?
3
2010 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Principal EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 18’ 3 Points
Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par «Vrai» ou par «Faux».
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0,5 point et une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point.
1°) La représentation graphique de la fonction f définie sur 0, par f ( x ) x 2 e x 3 1
admet pour asymptote au voisinage de la droite d’équation y x 2 .
2°) La suite (Un ) définie sur IN par Un (1)n est convergente.
n² 1
3°) ln(36) 2 (ln2 ln3) .
4°) On pose f (x) 2x . La valeur moyenne de f sur 0,2 est égale à 2.
5°) e(1 ln x)dx 0 .
1
1 3 3 1 3 6
12 .
6°) La matrice 3 7 6 est l’inverse de la matrice 6 8
3 3 5 3 3 4
2 Exercice 36’ 6 Points
On considère un graphe G de sommet A, B, C et D dont la matrice associée est :
0 1 0 1
0
M 1 0 1 1
1 0 0
0
0 0 1
1°) Justifier que G est un graphe orienté.
2°) a) Recopier et compléter le tableau suivant où d et d représentent respectivement le nombre
1
d’arêtes sortantes et le nombre d’arêtes rentrantes.
b) Le graphe G admet-il un cycle orienté eulérien ?
c) Justifier que G admet une chaine orienté eulérienne.
d) Représenter le graphe G et donner un exemple d’une chaine orientée eulérienne.
2 1 0 3
3°) On donne M3 1 1 3 1 .
2 0 2
1
0 1 1 1
a) Combien de chaines orientées de longueur 3 relient-elles le sommet B au sommet C ?
b) Donner toutes les chaines orientées de longueur 3 reliant B à C.
3 Exercice 30’ 5 Points
Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i, j . La courbe c ci-dessous est celle d’une fonction f définie et
dérivable sur IR.
● La tangente à la courbe c au point A(1,1) a pour équation y x .
● La courbe c admet seulement deux tangentes horizontales, l’une à l’origine et l’autre au point B 2, 4 .
e
● c admet au voisinage de une branche parabolique celle de l’axe des ordonnées.
● La droite d’équation y 0 est une asymptote à c au voisinage de .
2
1°) Par lecture graphique :
a) Déterminer lim f (x) , lim f (x) et lim f (x) .
x
x x x
b) Déterminer les réels x vérifiant f (x) x .
2°) Soit F la fonction défine sur IR par F(x) (x 1) e1x et I 2 x e1x dx .
0
Calculer F '(x) et en déduire la valeur de I.
3°) On admet que l’expression de la fonction f est f (x) x²e1x .
On désigne par A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe c , l’axe des abscisses et les
droites d’équations x 0 et x 2.
a) En utilisant une intégration par partie, montrer que A 4 2I .
e
b) En déduire une valeur approchée de A par excés à 102 près.
4 Exercice 30’ 5 Points
Lors d’un séminaire, on a constaté que 70% des participants parlent l’anglais, 63% parlent le français et
42% parlent à la fois l’anglais et le français.
Un journaliste veut interviewer au hasard l’un des participants à ce séminaire.
On désigne par A et F les évènements suivants :
A : « Le participant choisi pour l’interview parle l’anglais »
F : « Le participant choisi pour l’interview parle le français »
1°) Justifier que p(F A) 0,6 . En déduire la valeur de p(F A).
2°) Justifier que p(F A) 0,21 .
3°) Recopier et completer l’arbre pondéré suivant :
4°) Quelle est la probabilité que le participant interviewé ne parle ni l’anglais ni le français ?
3
2010 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Contrôle EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 24’ 4 Points
Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou par « FAUX ».
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0,5 point et une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point.
On donne ci-dessous les variations d’une fonction f définie et dérivable sur IR.
1°) L’équation f(x) 0 admet dans IR exactement quatre solution.
2°) L’inéquation f (x) 1 n’admet pas de solution dans IR.
3°) Pour tout réel x, f (x) 2 .
4°) La fonction f est paie.
5°) Pour tout x appartenant à 2; , f (x) 0.
6°) f (1) 0.
7°) lim e f (x) .
x
8°) lim 1 .
f (x)
x
2 Exercice 24’ 4 Points
Soit la fonction f définie sur 0; par f (x) 20 3e0,05x .
1°) a) Déterminer f (0) et lim f (x).
x
b) Vérifier que pour tout réel x 0; ; f (x) 0,15e0,05x .
c) Dresser le tableau de variation de f.
d) Résoudre l’équation f(x) 0.
2°) On admet que l’expression f (n) 20 3e0,05n représente la quantité stockée, exprimée en tonnes, d’un
produit en fonction du temps n, exprimé en mois.
La mise en vente de ce produit a débuté le 1er janvier 2008.
1
a) Déterminer le nombre maximum de mois avant qu’il ait une rupture du stock.
b) En déduire le mois et l’année correspondant à la rupture du stock.
3 Exercice 36’ 6 Points
Un fournisseur d’accès à l’internet souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour les années à
venir.
Le tableau ci-dessous indique le nombre de ses abonnés pour les années 2001 à 2007.
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Rang xi de l’année 1234567
Nombre d’abonnées yi (exprimés en millers) 2,6 3 3,6 4,2 5 5,7 7
On pose zi ln ( yi ).
1°) a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs au centième.
Rang xi de 12 3456 7
l’année
zi =ln(yi)
b) déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de z en x
(on arrondira les résultats numériques à 10-2 près).
c) Estimer le nombre d’abonnés pour l’année 2011.
2°) Sachant que la capacité du serveur de ce fournisseur est de quinze mille abonnés, déterminer l’année en
laquelle ce fournisseur devrait remplacer ce serveur afin de répondre à l’augmentation de sa clientèle.
4 Exercice 36’ 6 Points
Une chaîne hôtelière gère des hôtels, tous de même catégorie, dans les villes de Tabarka, Sousse et Zarzis.
Les prix (en dinars) en pension complète d’une journée et par personne, dépendent de la saison du séjour
et sont donnés dans le tableau suivant :
Villes Tbarka Sousse Zarzis
Périodes
100 140 60
Haute saison 80 80 60
Moyenne 40 40 40
saison
Base saison
2
100 140 60
6400 .
Soit la matrice P 80 80
40 40
1 2 8 9
80 2 4
1°) Vérifier que P 1 0 4 3
8
2°) Un client choisit d’effectuer un séjour de 14 jours dans les différents hôtels de cette chaîne, composé
de la façon suivante :
Quatre jours à Tabarka, quatre jours à Sousse et six jours à Zarzis.
3
2011 Épreuve Mathématiques République Tunisienne
EXAMEN DU BACCALAUREAT
Principale Section : Bac Économie
COEFFICIENT : 2
(2h)
Exercice : N◦ 01 27’ 4.5 Points
Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant
à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0.75 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut
0 point.
1. L’ensemble de définition de la fonction f définie par : f (x) = ln ( 1 ) est :
x + 5
(a) ]0 ; +∞[ (b) ]−5 ; +∞[ (c) ]−∞ ; −5[
2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = ln(x2 + 5x + 10), sa fonction dérivée g′(x)
a pour expression :
(a) (2x + 5) ln(x2 + 5x + 10) (b) 1 (c) 2x + 5
x2 + 5x + 10
:x2 + 5x + 10
3. La matrice associé au système 2x − y + z = 2
3x − y + 2z = 2
x + y + z = −1
2 3 1 2 −1 1 1 2 −1 1
(a) −1 −1 1 (b) 3 −1 2 2 (c) 3 −1 2
1 2 1 ) 1 1 1 −1 1 1 1
(
4. La matrice inverse de 2 1 est :
11
() (1 ) ()
12 1 1 −1
(a) 11 (b) 2 1 (c) −1 2
1
5. La matrice associée au graphe ci-contre est :
1
AB
DC
1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
(a) 0 0 1 0 (b) 1 0 0 0 (c) 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1
6. Une série statistique est donnée par le tableau ci-dessous :
Valeur xi du caractère 0 1 2 3 4
Effectif ni correspondant 4 8 10 18 25
La moyenne de cette série est égale à :
(a) 2.8 (b) 3.9 (c) 1.4
Exercice : N◦ 0 2 27’ 4.5 Points
On considère la matrice A = 2 2 1
−1 −1 −1
1 2 2
1. (a) Montrer que A est inversible.
(b) Calculer la matrice M = 2I3 − A où I3 = 1 0 0
0 1 0
0 0 1
(c) Calculer A × M et en déduire la matrice inverse de A.
2. Soit le système 2x + 2y + z = 5
−x − y − z = −2
x + 2y + 2z = 3
(a) Donnez l’écriture matricielle du système (S).
(b) Résoudre alors le système (S).
2
Exercice : N◦ 03 33’ 5.5 Points
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la dépense annuelle moyenne par personne,
exprimée en dinars, tous les cinq ans entre 1970 et 2005.
Période [1970 ; 1975[ [1975 ; 1980[ [1980 ; 1985[ [1985 ; 1990[ [1990 ; 1995[ [1995 ; 2000[ [2000 ; 2005[
Rang de la période x 1 2 3 4 5 6 7
Dépense moyenne y 147 248 471 716 966 1329 1820
Le nuage de points ci-dessous associé à la série statistique (x, y) dans un repère ortho-
gonal du plan suggère un ajustement exponentiel.
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
1234567
On pose z = ln y
1. (a) Copier et compléter le tableau suivant de la série statistique (x, z).
x 1234567
z = ln y
(On donnera les valeurs arrondies au centième près)
(b) Déterminer les moyennes x et z respectives de x et z.
(c) Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série (x, z)
et placer le point moyen G(x, z) .
(d) Donner une équation de la droite de régression linéaire (D) de z en x obtenue
par la méthode des moindres carrés. (les coefficients a et b de cette droite seront
arrondis au centième)
2. (a) Vérifier que y = αeβx avec α = 114.43 et β = 0.42.
(b) Déterminer une estimation de la dépense moyenne, exprimée en dinars, par
personne et par an pendant la période [2010 ; 2015[ .
3
Exercice : N◦ 04 33’ 5.5 Points
Une entreprise de fabrication de produits pharmaceutiques vend chaque journée un ar-
ticle en quantité x exprimée en centaines. Pour des raisons techniques et commerciales,
le nombre d’unités fabriquées et vendues de cet article est compris entre 150 et 500
(x est donc compris entre 1.5 et 5).
(O ; #ı» , #ȷ»)est un repère orthonormé du plan. Le graphique ci-dessous représente une
fonction f définie et dérivable sur [1.5 ; 5] qui modélise le solde journalier (bénéfice ou
perte), en milliers de dinars, réalisé par cette entreprise.
3A
2B
1
⃗j
C
−1 ⃗i 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
La courbe de f passe par les points A(3, e), B(4, 2) et C(2, 0).
1. Utiliser le graphique ci-dessus pour déterminer :
(a) Le solde journalier réalisé sur la vente de 400 unités.
(b) La quantité journalière fabriquée et vendue pour réaliser un bénéfice maximum.
(c) La quantité journalière fabriquée et vendue à partir de laquelle l’entreprise ne
vend pas à perte.
2. On suppose, dans la suite, que pour tout réel x de l’intervalle [1.5 ; 5].
f (x) = (ax + b)e−x+4 ou a et b sont deux réels
{
4a + b = 2
(a) Justifier que les réels a et b vérifient le système 2a + b = 0
(b) Déterminer alors a et b.
(c) :PSrmou=ve72r( que −le4es)oledteenmdoyoennneernumneilvliaelresudr eapdpinroacrhs,éeréàal1is0é−3enpruèns.e journée est
1 e 5
2
2
4
2011 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Contrôle EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 27’ 4.5 Points
Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0,75 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point.
1°) Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) e5x2 .
Une primitive F de la fonction f sur IR a pour expression
a F(x) 5e5x2 , b F(x) e5x2 , c F( x ) 1 e 5x 2 ,
5
2°) La limite lorsque x tend vers de la fonction : x ex 1
ex 2 est égale à
a 1 , b 0, c .
x y z 2
3°) Le système 2x y z 1 admet dans IR3 .
3x 2 y 3
a trois solutions, b une seule solution, c une infinité de solutions.
4°) La matrice inverse de la matrice 1 1 est
2 3
1 1 , 1 1 , 1 1 .
a 2 2 3
3 b 2 3 c
5°) Le nombre chromatique du graphe représenté ci- contre est
a 6, b 2, c 3.
1
0 0 0 1 1
1
0 0 1 1
6°) La matrice 0 1 0 1 0 est associée au graphe
1
1 1 1 0
1 1 0 1 0
ab c
(Les sommets étant écrits dans l’ordre alphabétique)
2 Exercice 36’ 6 Points
Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i, j .
La courbe (c) ci-dessous est celle d’une fonction f définie et dérivable sur IR.
La courbe (c) admet une tangente horizontale au point A (0, 2).
La droite d’équation y 1 est une asymptote horizontale à (c) au voisinage de .
(c) admet au voisinage de une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.
1°) En utilisant le graphique et les données ci-dessus :
a) Déterminer f (0) , f '(0) , lim f (x) et lim f (x).
x x
b) Dresser le tableau de variations de f.
c) Justifier que l’équation f (x) 0 admet dans IR une solution unique comprise entre 1 et 2.
2°) On suppose dans la suite que f est définie sur IR par : f (x) 1 (1 x) ex .
2
a) Vérifier que e 1 .
1
b) On pose I x exdx .
0
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que I 2.
c) Soit A l’aire de la partie du plan limité par la courbe (c), l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
Montrer que A ( 2)² .
1
3 Exercice 27’ 4.5 Points
Le coefficient budgétaire, en pourcentage, d’une dépense d est égal à d 100 où D représente la dépense totale.
D
Le tableau suivant donne l’évolution du coefficient budgétaire, donné en pourcentage, des dépenses
consacrées au transport et aux communications des ménages tunisiens.
1°) Déterminer les moyennes x et y . (Source : Institut national des statistiques)
2°) Représenter le nuage de points de la série statistique (xi ,yi) et placer le point moyen G.
3°) La forme du nuage de points suggère un ajustement affine.
Déterminer l’équation de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
4°) D’après cet ajustement, quel serait le coefficient budgétaire des dépenses consacrées au transport et
aux communications des ménages tunisiens en 2015 ? En 2030 ?
4 Exercice 30’ 5 Points
1 1 1 3 3 1
1°) On considère les matrices A 1 1,5 .
2 4 et B 2,5 4
1 3 9 0,5 1 0,5
a) Montrer que A est inversible.
b) Effectuer le produit A B .
c) En déduire la matrice inverse de A.
2°) Les employés d’une entreprise sont répartis en trois équipes.
3
Le tableau suivant donne la composition de chaque équipe et le salaire mensuel total qui lui est attribué :
Sachant que les employés d’une même catégorie touchent le même salaire, on se propose de
déterminer le salaire de chacune d’elles.
a) Ecrire le système d’équations qui traduit la situation décrite ci-dessus.
b) Résoudre ce système et conclure.
4
2012 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Principale EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 27’ 4.5 Points
Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i, j .
La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie et dérivable sur IR.
(C) passe par les points A1;e et B0;2
(C) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses uniquement au point A.
La tangente à (C) au point B passe par le point D2;0 .
(C) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de .
L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de .
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie, si elle est vraie ou fausse.
1°) f '1 0 .
2°) f '0 1 .
3°) 2 f (x)dx 3 f (x)dx .
12
4°) 0 f '(x) dx 2.
2
5°) lim f (x) .
x
6°) lim f (x ) .
x
x
1
7°) La fonction g définie par g(x) ln f (x) admet pour ensemble de définition l’intervalle 2; .
8°) L’équation f (x) 0,1 admet dans IR exactement deux solutions.
2 Exercice 27’ 4.5 Points
Soit Un la suite définie sur par : UU0n1 40 Un 30 ; pour n .
0,75
1°) a) Montrer que pour tout n , Un 120
b) Montrer que Un est croissante
c) En déduire que Un est convergente et déterminer sa limite
2°) Soit Vn la suite définie sur par : Vn Un 120
a) Montrer que Vn est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.
b) Exprimer Vn en fonction de n.
c) Déduire que, pour tout n , U n 120 80(0,75)n
3°) Une salle de sport compte 40 abonnés pour l’année 2011, on estime que chaque année, il y a 30
nouveaux abonnés et que d’une année à l’autre, 75% des abonnés renouvellent leurs abonnements.
Dans combien d’années, le nombre d’abonnés sera-t-il supérieur à 100 ?
3 Exercice 33’ 5.5 Points
On considère la matrice A 1 2 et B 3 2 ; où a désigne un nombre réel.
4 4
3 a
1°) Déterminer a pour que A B 11 I2 où I2 désigne la matrice 1 0 .
0 1
2°) On considère le système (S) : x 2y 5
4x 3y 13
a) Donner l’écriture matricielle du système S.
b) Résoudre le système S.
x y z 6
3°) On considère le système (S’) : 2x y z 1
3x 2 y z 7
z 6 x y
Montrer que le système S’ est équivalent au système (S’’) : x 2 y 5
4x 3 y 13
2
4°) En déduire l’ensemble des solutions du système (S’).
4 Exercice 30’ 5 Points
Une usine de fabrication de pièces mécanique comporte deux ateliers de production A1 et A2 . Une étude
statistique de la production mensuelle conduit aux résultats suivants :
La production est de 20000 pièces.
60% de la production est assurée par l’atelier A2 .
200 pièces fabriquées sont défectueuses.
50 pièces défectueuses proviennent de l’atelier A1 .
1°) Recopier et compléter le tableau suivant :
2°) On prélève une pièce au hasard et on désigne par A et D les événements suivants :
A : « le pièce prélevée provient de l’atelier A1 »
D : « la pièce prélevée est défectueuse »
a) Quelle est la probabilité pour que la pièce soit défectueuse ?
b) Quelle est la probabilité pour que la pièce soit défectueuse sachant qu’elle provienne de A1 ?
c) Quelle est la probabilité pour que la pièce soit défectueuse sachant qu’elle provienne de A2 ?
d) Quelle est la probabilité pour que la pièce provienne de l’atelier A2 sachant qu’elle est
défectueuse ?
3°) La vente de ces pièces se fait par lots de dix pièces. Un client achète un lot
Déterminer la probabilité pour que le lot acheté ne contienne aucune pièce défectueuse.
3
2012 Epreuve Mathématique République Tunisienne
Contrôle EXAMEN DU BACALAUREAT
(2h) Section : Bac Economie
COEFFICIENT : 2
1 Exercice 24’ 4Points
Pour chaque des questions suivantes une seule des réponses proposées est exacte
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse correcte vaut 0,5 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut zéro point.
1°) Le nombre –3 est solution de l’équation :
a ln(x) ln3 , b ln(ex ) 3 , c eln(x ) 3 .
2°) ln( 5 2) ln( 5 2) est égale à : b 2ln5, c 0.
a ln9 ,
3°) Soit f une fonction définie sur IR. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,i, j).
On désigne par (C) sa courbe représentative et par (C’) celle de (–f ).
Les courbes (C) et (C’) sont symétriques par rapport à :
a L’origine du repère b l’axe des ordonnées c l’axe des abscisses
4°) Si F et G sont deux primitives d’une même fonction définie sur IR telles que
F(0) 1 et G(0) 1 , alors :
a F(1) G(1) , b F(1) G(1), c F(1) G(1) .
5°) On lance deux fois de suite un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
La probabilité d’obtenir deux nombres pairs est égale à :
a 1 , b 1 , c 3 .
4 2 4
6°) Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et avec remise deux boules de
l’urne. la probabilité d’obtenir deux boules noires est égale à :
a 25 , b 9 , c 3 .
64 64 28
7°) Le nombre chromatique du graphe représenté ci-dessous est :
1
a 4, b 3, c 2.
8°) La matrice associée au graphe ci-dessous est :
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1
1 1
1 0 1 1 , 1 0 0 1 , 0 1 1 .
1 0 0 0
a 1 b 1 1 c 0 1 0 1
0 11 0 1 1 1 0 1 1 1 0
2 Exercice 36’ 6 Points
Soit g la fonction définie sur IR par : g(x) (x 1) ex 1
Le tableau suivant donne les variations de la fonction g.
1°) a) Calculer g(0).
b) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
2°) Soit f la fonction définie sur IR par f (x) x xex .
a) Calculer lim f (x) et lim f (x) .
x x
2
b) Montrer que pour tout réel x, f ’(x) = g(x).
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur IR.
3°) On désigne par (C f ) la représentation graphique de f dans le plan muni d’un repère orthonormé
(O,i, j).
a) Calculer lim f (x ) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x x
b) Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote à (C f ) au voisinage de .
c) Étudier suivant les valeurs de x la position de la droite et de la courbe (C f ).
d) Tracer la courbe (C f ) et la droite .
4°) Soit un réel strictement positif.
a) Calculer en fonction de , l’aire A() de la partie du plan limitée par la courbe(C f ), la droite
et les droites d’équations x = 0 et x = .
b) Calculer lim A() .
3 Exercice 30’ 5 Points
Un bijoutier fabrique pendant une semaine 12 bracelets en or, en trois modèles B1 ,B2 et B3
Il dispose de 150g d’or pour la fabrication de ces bracelets d’un coût total de 7900 DT.
De plus, la masse et le coût de fabrication d’un bracelet de chacun des trois modèles sont donnés dans le
tableau suivant :
On se propose de déterminer le nombre de bracelets fabriqués de chaque modèle.
1°) Justifier que le problème revient à résoudre le système suivant
500x 600 y 1000z 7900
(S ):10x 10 y 20z 150
x y z 12
2°) On pose :
500 600 1000 1 40 200
A 10 10 B 1
20 et 50 0
1 1 1 0 10 100
a) Calculer AB, en déduire la matrice A1 inverse de A.
b) On pose U et V les matrices colonnes suivantes :
3
7900 x
U 150 et V y
12 z
Vérifier que AV U est équivalente à V 1 B.U
100
c) Déterminer alors le nombre de bracelets fabriqués pour chacun des modèles B1 ,B2 et B3 .
4 Exercice 30’ 5 Points
Le nombre de postes de télévision vendus dans un magasin au cours d’une semaine définit un aléa numérique
X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
1°) Calculer l’espérance mathématique de X.
2°) Le bénéfice réalisé pour la vente d’un poste est 80 dinars.
On désigne par Y l’aléa numérique donnant le bénéfice réalisé par le magasin, pendant une semaine, pour la
vente de postes de télévision.
a) Donner la loi de probabilité de Y.
b) Quel est le bénéfice moyen réalisé par le magasin pour la vente de postes de télévision pendant
une semaine ?
3°) Tous les postes de télévision sont garantis deux ans. La probabilité pour qu’un poste de télévision
n’est pas de panne pendant la période de garantie est 0,9.
On suppose, durant une semaine, que les cinq postes de télévision sont vendus.
Calculer la probabilité qu’un seul poste tombe en panne pendant la période de garantie.
4
2013 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Principale
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie
1 Exercice 27’ 4.5Points
On considère le graphe pondéré G ci-contre, dont les sommets sont
A, B, C, D et E pris dans cet ordre.
Répondre à chacune des questions suivantes par Vrai ou Faux,
en justifiant à chaque fois la réponse.
1°) Le graphe G est complet.
2°) La matrice associée au graphe G est :
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
M 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 1 1 0
3°) Le graphe G admet un cycle eulérien.
4°) Le graphe G admet une chaîne eulérienne.
5°) Le nombre chromatique du graphe G est égal 4.
6°) La longueur du chemin le plus court du sommet A au sommet C est égale 11.
2 Exercice 33’ 5.5 Points
Dans une ville 20% des habitants possèdent un ordinateur.
• 90% des individus possédant un ordinateur utilisent l'Internet.
• 60% des individus n'ayant pas d'ordinateur utilisent l'Internet.
On choisit au hasard un individu de cette ville et on désigne par A et B les événements suivants
A : « L'individu choisi possède un ordinateur » et B : « L'individu choisi utilise l'Internet».
1
(Dans la suite, les résultats seront donnés à 102 près)
1°) Donner les probabilités suivantes :
p(A) ; p( A) ; p(B); p(B / A)et p(B / A).
2°) a) Calculer p(B A) et p(B A) .
b) En déduire p(B).
3°) Sachant que l'individu choisi utilise l'Internet, qu'elle est la probabilité pour qu'il possède un
ordinateur ?
3 Exercice 24’ 4 Points
2 5 3 2 4 1
A 1 2 1 1
On donne les matrices A et B ci-contre: 3 et B 0
1 2 2 1 1 1
1°) a) Calculer le déterminant de la matrice A.
b) En déduire que la matrice A est inversible.
c) Calculer B A.
d) En déduire que B est la matrice inverse de A.
2°) Un concessionnaire d'automobiles expose trois modèles M1, M2 et M3.
Le tableau suivant indique les commandes de trois sociétés :
Modèle M1 Société 1 Société 2 Société 3
Modèle M2
Modèle M3 2 1 1
Prix total en milliers de dinars 5 3 2
tunisiens 3 2 2
270 165 140
Déterminer, en milliers de dinars tunisiens, les prix unitaires des modèles M1, M2 et M3
2
4 Exercice 36’ 6 Points
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) x e1x .
On désigne par c sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé
(O,i, j )
1°) a) Justifier que lim f (x) =0 et interpréter graphiquement ce résultat.
x
b) Calculer lim f (x) et lim f (x ) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x
x x
2°) a) Soit f ' la fonction dérivée de f. Montrer que pour tout réel x, on a f '(x) (1 x) e1x .
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) En déduire que pour tout réel x dans [0,1], on a 0 f (x) 1 .
3°) Tracer la courbe c.
4°) On considère la suite réelle ( un ) définie sur IN par : u0 a avec 0 a 1 .
un1 f (un ) pour tout nIN
a) Montrer par récurrence que pour tout nIN, on a 0 un 1.
b) Justifier que pour tout n IN, on a, e1un 1 .
c) Montrer que la suite ( un ) est croissante.
d) En déduire qu'elle est convergente et déterminer sa limite.
3
2013 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Contrôle
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie
1 Exercice 26’ 4Points
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte. Le
candidat indiquera sur sa copie le numéro de la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
1) Soit la fonction définie sur ]0; +∞[ par ( ) = −1 + ln .
Si est une primitive de qui s’annule en alors pour tout ∈]0; +∞[, on a :
a) ( ) = ln − b) ( ) = ln − 2 + c) ( ) = ln −
2) Soit un e fonction dérivable sur ℝ telle que ′( ) = 1 + .
Si est la fonction définie sur ℝ par ( ) = (2 ), alors on a :
a) ′( ) = 1 + 2 b) ′( ) = 2 c) ′( ) = 2 + 2 2
3) La suite ( ) ∈ℕ définie par = ∫0 −
a) est croissante b) est décroissante c) n’est pas monotone
4) On considère un graphe orienté de sommet A,B,C,D et E, dans cet ordre, dont la matrice
0 11 01
0 01 10
associé est 0 0 0 1 0
1 00 01
(1 1 0 0 0)
Le graphe peut être schématisé par :
a) b) c)
1
2 Exercice 33’ 5.5 Points
3 1 1 1 0 0
0
On donne les deux matrices: A 2 0 1 et I 3 0 1
2 1 0 0 0 1
1°) a) Calculer le déterminant de la matrice A.
b) En déduire que la matrice A est inversible.
2°) a) Calculer ( − 2 3).
1 1 1
A1 1
b) En déduire que −1 = 2 3 − , puis vérifier que 2 2
2 1 2
− + − = 1
3°) a) Résoudre dans ℝ3, le système ( ): {−2 + 2 − = −1
2 − + 2 = 1
b) Déterminer les valeurs des trois réels strictement positifs , et vérifiant le système
suivant :
− ln + ln − ln = 1
2
ln ( 2 ) = −1
2
{ ln ( 2 ) = 1
3 Exercice 37’ 5.5 Points
Le tableau suivant donne le pourcentage des familles tunisiennes possédant au moins un
ordinateur.
Année i 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Rang de l’année 123456
Pourcentage des familles 7.2 7.9 9.6 11.8 14.4 16.4
Source : I.N.S
(Les valeurs demandées seront données à 10−2 près)
2
1) Déterminer ̅ , ̅ et .
2) Le nuage des points de la série statistique ( , )
représenté ci-contre suggère un ajustement
exponentielle. On pose alors, = ln , pour tout
∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
a) La droite de régression de en , obtenu par
la méthode des moindres carrées à pour
équation : = + .
Donner les expression de et en fonction de
cov( , ), , ̅ , ̅.
b) Completer le tableau suivant :
1 2 3 4 5 6
2.26 2.80
c) Donner les valeurs de ̅ et cov( , ) et en déduire les valeurs de et .
3) a) Déterminer et ( , ). Justifier alors, le choix de l’ajustement linéaire de en .
b) Vérifier que = . (on donnera une valeur approché à 10−2 près pour chacun des
réels , )
c) D’après cet ajustement, quel serait le pourcentage des familles tunisiennes ayant au
moins un ordinateur en 2015 ?
4 Exercice 30’ 5 Points
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( , ⃗ , ⃗ )
On donne dans l’annexe ci-jointe (feuille à rendre avec la copie) la courbe représentative (C)
d’une fonction dérivable sur ℝ.
3
est l’unique réel tel que ( ) = .
La courbe (C) admet :
Une asymptote d’équation = 1 au voisinage de −∞.
4
Une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞
Une seule tangente horizontale à l’origine du repère.
1) Par lecture graphique donner :
a) (0) et ′(0)
b) lim ( ) , lim ( ) et lim ( ) .
→−∞ →+∞ →+∞
2) Soit la fonction définie sur [0; +∞[ par ( ) = ( ).
a) Montrer que réalise une bijection de [0; +∞[ vers [0; +∞[.
On note −1 la fonction réciproque de .
b) Tracer sur l’annexe la courbe représentative (C’) de −1.
3) Dans la suite on suppose que ( ) = ( −1)2
2
a) Vérifier que pour tout réel on a : − ( ) = 1 (4 − 1 + 2 − 2 ).
4
b) Calculer en fonction de , l’aire de la région du plan limitée par (C), (C’) et les
droites d’équations = 0 et = .
4
Epreuve : Mathématiques Section : Economie & Gestion
Annexe (Feuille à rendre avec la copie)
5
2014 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Principale
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie
1 Exercice 27’ 4.5Points
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte. Le
candidat indiquera sur sa copie le numéro de la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
A) Une classe est constituée de 18 filles et 12 garçons. Le tiers des garçons et la moitié des Filles
aiment les mathématiques. On choisit au hasard un élève de la classe. On note F L’évènement
≪ l’élève est une fille ≫ et M l’évènement ≪ l’élève aime les mathématiques ≫. On a alors :
1) a) p(F)= 2 b) p(F)= 3 c) p ( F ) = 2 .
3 5 5
2) L’élève choisi est un garçon. La probabilité qu’il aime les mathématiques est égale à :
a) 1 b) 2 c) 1 .
2 3 3
3) a) p(M)= 3 b) p(M)= 13 c) p(M)= 5 .
10 30 6
4)On constate que l’élève choisi aime les mathématiques. La probabilité qu’il s’agisse d’une fille
est égale à
a) 1 b) 3 c) 9 .
2 10 13
B) 1) Soit f la fonction définie sur ] 0 , +∞ [ , par f(x)= 2x + 1 .
2x
Une primitive F de la fonction f sur] 0, +∞ [a pour expression :
a) F ( x ) = x + 1 lnx b) F ( x ) = x2 + x c) F ( x ) = x + ln ( 2x ) .
2 x2
2) La valeur de l’intégrale I= 1 x ex² dx est égale à :
1
a) e b) 1 ( e - 1 ) c) 0 .
2 e
1
2 Exercice 27’ 4.5 Points
Soit ( un ) la suite définie sur ℕ par u0 = 0 et pour tout n ∈ ℕ , un+1 = un - 1 .
un + 3
1) a) Montrer par récurrence que un > -1.
b) Montrer que la suite ( un ) est décroissante .
c) Déduire que la suite ( un ) est convergente.
2) Soit ( vn ) la suite définie sur ℕ par vn = 1 .
un + 1
a) Montrer que ( vn ) est une suite arithmétique de raison 1 et donner son premier terme
2
v0 .
b) Exprimer vn puis un en fonction de n .
c) Déterminer la limite de la suite ( un ) .
3 Exercice 36’ 6 Points
On a représenté ci-contre la courbe ∁f,
dans un repère orthonormé du plan, de la
fonction f définie sur] -1, +∞ [par :
f ( x ) = 7 ln ( x + 1 ) + 4 -2x.
2
1) Donner graphiquement le nombre de
solutions dans] -1 , +∞ [ de l’équation f ( x ) = 2 .
2) Vérifier que f ( 4, 7 ) < f ( 1 ) < f ( 4, 6 ) .
3) a) Montrer que pour tout réel x dans ] -1 , +∞ [ , f ‘ ( x ) = 5 2x .
x 1
2
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
c) Déterminer alors la valeur du maximum de la fonction f.
4) Une entreprise fabrique des objets. On désigne le bénéfice en milliers de dinars, réalisé par
la vente de ces x objets.
a) Calculer le bénéfice de cette entreprise si elle fabrique et vend 10 objets.
b) Déterminer dans qu’elle intervalle peut varier le nombre d’objets à fabriquer et à vendre pour
que le bénéfice soit supérieur ou égal à deux mille dinars.
c) Déterminer le nombre d’objets à fabriquer et à vendre pour que l’entreprise réalise un bénéfice
maximal. Quel est le montant arrondi en dinars de ces bénéfices ?
4 Exercice 30’ 5 Points
On considère le graphe pondéré ci-contre de sommets B, K, N, S et T.
1) a) Recopier et compléter le tableau suivant :
Sommet B K N S T
Degré
b) Justifier que ce graphe admet au moins une chaine eulérienne
et donner un exemple.
2) Déterminer la matrice A associée à ce graphe, en respectant l’ordre B – K – N – S – T.
01124
12256
3) On admet que A3 = 1 2 2 5 6 .
25546
(4 6 6 6 4)
a) Combien de chaines de longueur 3 reliant S à B ?
b) Combien de chaines de longueur 3 reliant S à T ?
4) Une entreprise vient de s’installer en Tunisie dont la direction administrative à Tunis,
3
l’atelier à Sfax et les points de distribution autres que les deux villes citées sont à Béja,
à Kairouan et à Nabeul. On donne les distances approximatives en Km de : Tunis à Nabeul (70)
Tunis à Kairouan (150), Tunis à Béja (100), Tunis à Sfax (270), Sfax à Nabeul (220) et Sfax à
Kairouan (130).
Déterminer les chemins reliant Sfax à Béja passant exactement par deux autres villes.
5) Déterminer le chemin le plus court entre Sfax et Béja.
4
2014 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Contrôle
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie
6Points
1 Exercice 36’
On a représenté ci-contre la courbe
Représentative Cf., dans un repère
Orthogonal, d’une fonction f définie
Et dérivable sur ℝ.
● La courbe Cf. passe par les points
( 0 , 0 ) ( 1 , 2 ) .
● La droite (OA), où A (1, 2), est la
Tangente à (Cf.) en O .
● La tangente à (Cf. )au point d’abscisse −1
Est parallèle à l’axe des abscisses.
I) 1) a) Déterminer les valeurs de ( 0 ) et de ( 1 ) .
b) Justifier que ′( 0 ) = 2 ′( −1 ) = 0.
2) Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente
la fonction dérivée f ' de f . Déterminer laquelle en justifiant la réponse.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
II) La fonction f précédente est , en fait , la fonction définie par : ( ) = 2 .
1) a) Déterminer la valeur exacte du minimum de f.
b) Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions dans ℝ de l’équation : ( ) = − 0,7.
1
2) Soit I = ∫01 f (x )dx .
a) Interpréter graphiquement l’intégrale .
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que = 2.
c) Déduire en unités d’aire, l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe Cf.,
L’axe des ordonnées et la droite d’équation = 2 .
2 Exercice 36’ 6 Points
On considère la suite ( )définie sur ℕ par : { u0 = 0
un+1 = 6− un , pour tout n ∈ ℕ.
4− un
1) a) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ ; on a un < 2.
b) Montrer que pour tout n ∈ ℕ ; un+1 - un = ( un 2 ) ( un 3 ) .
4 un
c) Montrer alors que la suite ( ) est croissante.
d) Déduire que ( ) est convergente.
2) Soit la suite ( ) définie sur ℕ par : vin = 2un 6 .
un 2
a) Montrer que ( )est une suite géométrique de raison 2.
b) Exprimer ( ) en fonction de n.
6(1 ( 1 )n )
3 2( 2
c) Déduire que , pour tout n ∈ ℕ , vn = 1 .
2
)n
d) Calculer alors n lim un .
3 Exercice 24’ 4 Points
On considère un graphe G, de sommets A, B, C, D et E, dont la matrice associée est donnée par :
00001
00101
01011
00101
(1 1 1 1 0)
1) a) Justifier que G est un graphe non orienté.
2
b) Représenter le graphe G et donner son ordre.
2) Compléter le tableau suivant : Sommet A B C D E
Degré
3) a) Donner un sous graphe complet d’ordre 3.
b) On note γ (G) le nombre chromatique du graphe G. Justifier que : 3 ≤ γ (G) ≤ 5.
c) Après avoir classé les sommets dans l’ordre de degré décroissant, colorier le graphe G
Et en déduire le nombre chromatique γ (G).
4 Exercice 24’ 4 Points
L’évolution de la population active en Tunisie de 2006 à 2012 est donnée par le tableau suivant :
Année 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
0 1 2 3 4 5 6
Rang de l’année
( xi ) 3435 3522 3604 3689 3769 3845 3923
Source : Institut National de la Statistique (I N S)
Population active
( en milliers)
( yi )
1) a) Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi, yi)
Dans un repère orthogonal du plan.
b) Ce nuage permet- il d’envisager un ajustement affine ?
2) a) Ecrire une équation de la droite D de régression de y e n x o b t e n u e par la
méthode des moindres carrées. (Les coefficients seront arrondis à l’unité).
b) Tracer D.
c) En utilisant cet ajustement, estimer la population active de la Tunisie
En l’an 2015.
3
2015 Epreuve Mathématique République Tunisienne
EXAMEN DU BACALAUREAT
Principale
COEFFICIENT : 2
(2h) Section : Bac Economie
4Points
1 Exercice 26’
On considère la suite ( ) définie sur ℕ par :
0 = 1
{ +1 = 1 , ∈ ℕ
+ 2
1) a) Calculer 1 et 2.
b) Montrer par récurrence que pour tout ∈ ℕ, > 0.
2) Montrer que pour tout ∈ ℕ, +1 − = −2 .
1+2
a) En déduire que la suite ( ) est décroissante.
b) Prouver alors, que la suite ( ) est convergente.
3) a) Calculer le réel tel que, = 1+ 2 .
b) En déduire la limite de la suite ( ).
2 Exercice 26’ 4 Points
Une compagnie d’assurance propose deux formules et d’assurance autos.
Au bout d’une année, chaque affilé peut garder la même formule ou changer de formule
l’année suivante.
La probabilité qu’un affilé à la formule change de formule, vers la formule ,l’année
suivante est égale à 0.2
Le graphe G ci-contre est le graphe probabiliste
décrivant l’évolution du choix de l’affilé d’une
année à l’autre.
Website : www.TakiAcademy.com 1
Soit = (00..18 00..92) la matrice de transition associé augraphe G.
1) Recopier et compléter le graphe G.
2) Donner :
a) La probabilité qu’un affilé à la formule garde la même formule l’année suivante.
b) La probabilité qu’un affilé à la formule change de formule, vers la formule l’année
suivante.
3) Soit 0 = (0.3 0.7) la matrice ligne qui décrit l’état initial. Donner la matrice 1
décrivant l’état probabiliste après une année.
4) Montrer que la matrice = (1 1) traduit l’état stable de la situation.
3 2
3 Exercice 36’ 6 Points
142 −1 6 −8
On considère les matrices = (3 2 3) et = ( 0 2 −3)
212 1 −7 10
1) a) Calculer le déterminant de , en déduire que est inversible.
b) Calculer la matrice × , en déduire la matrice inverse −1 de .
+ 4 + 2 = 110
c) Résoudre dans ℝ3 le système ( ): {3 + 2 + 3 = 120
2 + 2 + 2 = 75
2) Un atelier fabrique trois sortes de pièces mécanique , et .
Les bénéfices unitaires sont : 60 Dinars pour , 50 Dinars pour et 40 Dinars pour
.
L’atelier utilise trois machine , et pour fabriquer le pièces , et .
Le temps unitaire (exprimé en heures) de passage de chaque pièce sur ces
machines est donné par le tableau suivant :
Pièce
Machine
1 4 2
3 2 3
2 1 2
Website : www.TakiAcademy.com 2
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