révision bac math

Lyc´ ee Bir Lahmar
[ S´erie: R´evision 1 \
Ann´ ee Scolaire 2016 / 2017 4°Math


Exercice 1

1. On consid` ere dans Z × Z l’´ equation (E) : 32x + 97y = 1.

a) Justifier que (E) admet des solutions dans Z × Z.

b) Montrer que les solutions de (E) sont les couples (x,y) tel que : x = −3+97k et y = 1−32k,
avec k ∈ Z

c) R´ esoudre alors dans Z × Z l’´ equation 32x + 97y = 5

x ≡ 8(mod 32)
2. R´ esoudre dans Z le syst` eme (S) .
x ≡ 13(mod 97)
∗
3. Soit l’ensemble (Γ) = {n ∈ N ; n ≤ 96}.
a) Soit a un entier naturel. Montrer que :


2
a ≡ 1(mod 97) ⇐⇒ a ≡ 1(mod 97)oua ≡ −1(mod 97)


b) En d´ eduire que 1 et 96 sont les seuls entiers de (Γ) ´ egaux ` a leurs inverses modulo 97.

c) Montrer que : 96! ≡ −1(mod 97).


Exercice 2

1. On consid` ere dans Z × Z l’´ equation (E) : 6x + 7y = 57.

a) Montrer que si (x,y) est une solution de (E) alors x ≡ −1[7] .

b) R´ esoudre alors l’´ equation (E) dans Z × Z

6x + 7y = 57
c) R´ esoudre dans Z × Z le syst` eme :(S)
2
x ≡ y − 1[5]

− → −→ −→
2. L’espace E est muni d’un rep` ere orthonorm´ e direct O, ı ,  , k .
On consid` ere le plan P d’´ equation cart´ esienne : 6x + 7y + 8z = 57.

− → −→
Montrer qu’un seul des points d’intersection du plan P et le plan O, ı ,  a pour coor-
donn´ ees des entiers naturels. D´ eterminer les coordonn´ ees de ce point.

3. On se propose de d´ eterminer l’ensemble Γ des points M(x,y,z) du plan P ` a coordonn´ ees des
entiers naturels.

a) Soit M(x,y,z) un point de Γ . Montrer que : y = 2p + 1 avec p ∈ N.

b) Montrer alors que : p + z ≡ 1[3].

c) On suppose que : p + z = 3q + 1 avec q ∈ N. Montrer que x + p + 4q = 7. En d´ eduire que
q ∈ {0;1}.

d) D´ eterminer alors Γ.







Arithm´ etique et Espace - 1/2 - Prof : Kadri Wassim

Lyc´ ee Bir Lahmar
[ S´erie: R´evision 1 \
Ann´ ee Scolaire 2016 / 2017 4°Math



Exercice 3

− → −→ −→
L’espace est muni d’un rep` ere orthonorm´ e O, ı ,  , k . Soit les points A(−2,1,1), B(2,0,−2)
et C(2,1,−1).

−−→ −−→
1. a) D´ eterminer le vecteur AB ∧ AC .
b) En d´ eduire qu’une ´ equation cart´ esienne de P = (ABC) est x − 2y + 2z + 2 = 0.

2
2
2
2. Soit S = M(x,y,z)/x + y + z − 2x + 4y + 4z + 5 = 0 .
a) Montrer que S esy une sph` ere dont on pr´ ecisera le centre I et le rayon R.
b) Montrer que S ∩ P est un cercle que l’on caract´ erisera.

3. Soit h l’application de l’espace dans lui-mˆ eme, qui ` a tout point M(x,y,z) associe le point :

′
 x = −2x + 3


′
′
M (x ,y ,z ) tel que : y = −2y − 6 .
′
′
′

 ′
z = −2z − 6

a) Montrer que h est une homoth´ etie de centre I dont on d´ eterminera le rapport.
b) Donner une ´ equation cart´ esienne du plan P image de P par h.
′
′
c) Quel est la position relative de P et S.
d) Calculer le volume du t´ etra` edre ABCI et en d´ eduire le volume de son image par h.














































Arithm´ etique et Espace - 2/2 - Prof : Kadri Wassim



2016/2017
[ S´erie R´evision N°2 \
Lyc´ ee Bir Lahmar 4° Maths



Exercice 3

une entreprise d’autocars dessert une r´ egion montagneuse. En chemin les v´ ehicules peuvent ˆ etres
bloqu´ es par des incidents ext´ erieurs comme es chutes de pierres, la pr´ esence de troupeaux sur la route,

etc... Un autocar de son entrepˆ ot, on note D la variable al´ eatoire qui mesure la distance en kilom` etre

que l’autocar va parcourir jusqu’a ce qu’il survienne un incident.On admet que D suit la loi exponen-
ln2
tielle de paam` etre λ = .
50
On donnera les r´ esultats sous forme exacte.

1. Calculer la probabilite que la distance parcourue sans incident soit :


a) Comprise entre 50 et 100 km.

b) Sup´ erieure ` a 300 Km

2. Sachant que l’autoca a d´ eja parcouru 350 kilom` etres sans incident, quelle est la probabilit´ e qu’il

n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilom` etres.

3. L’entreprise poss` ede 24 autocars. Les distances parcourues par chacun des autcars entre l’entrepot et

le lieu ou survient un incident sont des variables al´ eatoires deux ` a deux ind´ ependantes et de mˆ eme
ln2
loi exponentielle de paam` etre λ = . On note X la variable al´ eatoire ´ egale au nombre d’autocars
50
n’ayant subi aucun incident apr` es avoir parcourus 100 kilom` etres.

a) Donner la loi de probabilit´ e de X.


b) Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident apr` es avoir parcouru 100 ki-
lom` etres.






































Arithm´ etique-Espace-Probabilit´ e - 2/2 - Prof : Kadri Wassim

Ann´ ee Scolaire Section : Bac
[ S´erie R´evision N°3 \
2016/2017 Sections Scientifiques


Exercice 1


− → −→
Ci contre, figurent la courbe repr´ esentative C dans un rep` ere orthonorm´ e O, ı ,  , d’une fonc-
f
tion f d´ efinie et d´ eivable sur R ainsi son asymptote (D) et sa tangente (T) au point d’abscisse 0.
On sait que le point J(0,1) est le centre de sym´ etrie de la
courbe C , que l’asymptote (D) passe par les points K(−1,0)
f
et J, et que la tangente (T) a pour ´ equation : y = (1 − e)x + 1.
1. D´ eterminer une ´ equation de (D).

2. On suppose qu’il existe deux r´ eel m , p et une fonction ϕ
d´ efinie sur R telle que, pour tout r´ eel x, f(x) = mx+p+ϕ(x) 4
avec lim ϕ(x) = 0.
(T 3 ) (D)
x→+∞
a) D´ emontrer que m = p = 1.

b) Montrer que pour tout r´ eel x, on a : f(x) + f(−x) = 2. 2 C f

c) En d´ eduire, apr` es avoir expimer f(x) et f(−x), que la 1 J b
fonction ϕ est impaire.
d) D´ eduire de la question b) que f d´ eriv´ ee de f, est paire. −4 −3 −2 −1 1 2
′
3. On suppose maintenant que, pour tout r´ eel x on a −1
ϕ(x) = (ax + b)e −x 2 o` u a et b sont des r´ eels.
−2
a) En utilisant la parit´ e de ϕ d´ emontrer que b = 0.
−3
b) Calcuer f (x).
′
c) En utilisant le co´ efficient directeur de (T), d´ emontrer

que a = −e.
2
d) D´ emontrer que f(x) = x + 1 − xe −x +1 .

Exercice 2



− → −→
(I) Ci-dessous, on a repr´ esenter dans un rep` ere orthonorm´ e O, ı ,  la courbe C de la fonction
logarithme n´ ep´ erien ”ln” ainsi que la courbe C de la fonction f d´ efinie sur R par f(x) = xe −x+2 .
f
√
1. a) Placer les points de C d’abscisses e et e.
b) Calculer f(1) puis donner le signe de f (x) sur R.
′
2. On consid` ere la fonction g d´ efinie sur [1,+∞[ par : g(x) = ln(x) − f(x).

a) Montrer que g est strictement croissante sur [1,+∞[.

b) Dresser le tableau de variation de g.
c) Montrer que l’´ equation f(x) = ln(x) admet une unique soluion α dans [1,+∞[.

V´ erifier que 3 < α < 3,1.
d) En d´ eduire le signe de g sur [1,+∞[.





Int´ egrale-Logarithme-Exponentielle - 1/3 - Prof : Kadri Wassim

Ann´ ee Scolaire Section : Bac
[ S´erie R´evision N°3 \
2016/2017 Sections Scientifiques


g(x)
e) Calculer lim . Interpr´ eter graphiquement le r´ esultat.
x→+∞ x
f) Tracer C g
3
Z
2 −2x
(II) On pose I = x e dx.
0
1 25
−6
`
1. A l’aide d’une double int´ egration par partie montrer que I = − e .
4 4
2. On d´ efinit le solide S obtenu par r´ evolution autour de l’axe des abscisses de la courbe y = f(x) pour
0 ≤ x ≤ 3.
Exprimer le volume V du solide S en fonction de I. D´ eterminer alors la valeur exacte de V en unit´ e
de volume.




3
b
C
2


1
C f


−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1


−2

−3

−4





Exercice 3



1. Soit f la fonction d´ efinie sur [0,+∞[ par f(x) = xe −x .
On d´ esigne par C sa courbe repr´ esentative dans un ep` ere orthogonal.

a) Dresser le tableau de variation de f.
´
b) Ecrire une ´ equation de la tangente T ` a C au point d’abscisse 0.
´
c) Etudier la position de C et T.

U = 1

0
2. On consid` ere la suite U d´ efinie sur N par : .
 U n+1 = U e −U n
n
a) Montrer que pour tout n ∈ N on a : 0 < U ≤ 1.
n
b) Montrer que la suite U est d´ ecroissante.

c) En d´ eduire que U est convergente et calculer sa limite.




Int´ egrale-Logarithme-Exponentielle - 2/3 - Prof : Kadri Wassim

Ann´ ee Scolaire Section : Bac
[ S´erie R´evision N°3 \
2016/2017 Sections Scientifiques


3. Soit, pour tout n ∈ N on a : W = ln(U ).
n
n
a) Montrer que pour tout n ∈ N on a : W − W n+1 = U .
n
n
n−1
X
b) On pose , pour n ≥ 1; S = U . Montrer que, pour tout n ≥ 1; S = −W .
k
n
n
n
k=0
c) D´ eterminer la limite de la suite S .
n
Exercice 4

x
Z
2
1. La fonction f d´ efinie sur R par f(x) = ln(1 + t )dt est :
0
a) Croissante sur R

b) D´ ecroissante sur R
c) Constante sur R
1 e − e −t
t
Z
2. dt = .
t
−1 e + e −t

a) 2ln e − e −1
b) 0

c) 2ln e + e −1

















































Int´ egrale-Logarithme-Exponentielle - 3/3 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017
[ S´erie R´evision N°4 \
Lyc´ ee Bir Lahmar 4° Maths


Exercice 1



1. R´ esoudre dans Z × Z l’´ equation (E) : 3x − 2y = 1.

2. Soit n un entier naturel non nul.

a) Montrer que le couple (14n + 3 , 21n + 4) est une solution de (E).


b) En d´ eduire que pgcd (14n + 3 , 21n + 4) = 1.

3. Soit d le plus grand commun diviseur de 2n + 1 et 21n + 4.

a) Montrer que d = 1 ou d = 13.

b) Montrer que n ≡ 6(mod13) ⇐⇒ d = 13.


4. Pour tout entier naturel n sup´ erieur ou ´ egal ` a 2, on pose :
2
3
2
A = 21n − 17n–4 et B = 28n –8n − 17n–3.
a) Montrer que A et B sont divisibles par n–1 dans Z .

b) D´ eterminer en fonction de n, le pgcd de A et B.


Exercice 2


Soit ABCDEFGH un cube d’arˆ ete 1. On d´ esigne par P le centre de gravit´ e du triangle HGF et Q le centre
−−→ −−→ −→
de gravit´ e du triangle FBG et on muni l’espace du rep` ere orthonorm´ e direct (A, AB , AD , AE ).

1. a) Donner une repr´ esentation param´ etrique de la droite (BH).


b) Montrer qu’une ´ equation cart´ esienne du plan (ACF) est −x + y + z = 0.
11
c) D´ eterminer les points W de la droite (BH) tel que le volume de t´ etra` edre ACFW est ´ egale ` a .
6
1
2. Soit K le milieu de [FG] et h l’homoth´ etie de centre K et de rapport .
3
a) Montrer que h(H) = P et h(B) = Q.

b) Donner l’expression analytique de h.
1
3. Soit le plan (R) : −x + y + z − = 0.
3
a) Montrer que (R) l’image du plan (ACF) par h.


b) V´ erifier que (BH) est perpendiculaire ` a (ACF) en un point N que l’on d´ eterminera les coor-
donn´ ees.

En d´ eduire que (R) est perpendiculaire ` a (PQ) en un point N que l’on d´ eterminera les coor-
′
donn´ ees.





Arithm´ etique-Espace-Probabilit´ e - 1/2 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017
[ S´erie R´evision N°4 \
Lyc´ ee Bir Lahmar 4° Maths


c) Donner une ´ equation cart´ esienne de la sph` ere S tangente aux plans (R) et (ACF) et dont le centre

appartient ` a la droite (NN ).
′

Exercice 3


Un quincaillier ach` ete des ampoules ` a trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20% au pre-
mier fournisseur, 50% au deuxi` eme fournisseur et 30% au troisi` eme fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 97% d’ampoules sans d´ efaut, le deuxi` eme fournisseur fabrique 98%

d’ampoules sans d´ efaut, le troisi` eme fournisseur fabrique 95% d’ampoules sans d´ efaut.

1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note :

D l’´ ev´ enement ≪ l’ampoule est d´ efectueuse ≫

1
F l’´ ev´ enement ≪ l’ampoule provient du premier fournisseur ≫
F l’´ ev´ enement ≪ l’ampoule provient du deuxi` eme fournisseur ≫
2
F l’´ ev´ enement ≪ l’ampoule provient du troisi` eme fournisseur ≫
3
a) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev´ enement D, not´ ee P(D).

b) Sachant que l’ampoule choisie est d´ efectueuse, quelle est la probabilit´ e P(F /D) qu’elle pro-
1
vienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approch´ ee ` a 10 −3 pr` es de P(F /D).
1
2. On suppose que la probabilit´ e qu’une ampoule soit sans d´ efaut est de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilit´ e R qu’une ampoule au plus soit d´ efectueuse.
On donnera une valeur approch´ ee ` a 10 −3 pr` es de R.


3. La dur´ ee de vie en heures d’une ampoule, not´ ee T, suit une loi de dur´ ee de vie sans vieillissement
1
−5
(ou loi exponentielle) de param` etre λ = = 2.10 .
50000
a) Quelle est la probabilit´ e P qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ? Donner la valeur exacte
1
de P .
1
b) Quelle est la probabilit´ e P qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ? Donner la valeur exacte
2
de P .
2
c) Quelle est la probabilit´ e P qu’une ampoule dure plus de 50000 heures, sachant qu’elle a d´ ej` a
3
dur´ e 25000 heures ? Donner la valeur exacte de P .
3













Arithm´ etique-Espace-Probabilit´ e - 2/2 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°5 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths


Exercice N° 1 ( Statistiques)


Le tableau ci-dessous donne l’´ evolution du pourcentage des logiciels pirat´ es en Tunisie de 2000 ` a 2008.

X d´ esigne le rang de l’ann´ ee et Y le pourcentage des logiciels pirat´ es.

Ann´ ee 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Rang de l’ann´ ee X 0 1 2 3 4 5 7 8 9

Pourcentage Y 85 78 73 66 57 51 47 44 43

1. Repr´ esenter le nuage de points associ´ e ` a la s´ erie statistique (X,Y) dans un rep` ere orthogonal.

2. Calculer le coefficient de corr´ elation r. Un ajustement affine est-il fiable? Si oui, d´ eterminer la droite

de r´ egression y en x .Donner une estimation du pourcentage de logiciels pirates en 2012.

3. Les experts cherchent a modaliser cette ´ evolution par une fonction dont la courbe est voisine du

nuage de points, pour cela, on pose z = ln(y).

a) D´ eterminer une ´ equation de la droite de r´ egression de z en x .En d´ eduire l’expression de y en

fonction de x.

b) Donner une estimation du pourcentage de logiciels pirates en 2012.

4. On admet que la fonction f d´ efinie sur [0,+∞[ par f(t) = 85e −0,093t est une modalisation satisfaisante

de l’´ evolution du pourcentage de logiciels pirates depuis 2000.

´
a) Etudier le sens de variation de f sur [0,+∞[ et construire sa courbe C dans le mˆ eme rep` ere.
f
8
Z
b) Calculer I = f(t)dt. En d´ eduire le pourcentage moyen durant les ann´ ees de 2000 ` a 2008.
0

´
Exercice N° 2 ( Equations diff´erentielles )


1. D´ eterminer l’ensemble des solutions d´ efinies sur R, de l’´ equation diff´ erentielle suivante :



(E) : y" + y = 0



1

∗
∗
2. Soit g une fonction deux fois d´ erivable sur R . On d´ efinit la fonction f de R sur R par :f(x) = xg .
x
1

Exprimer f"(x) ` a l’aide de g" .
x
1
′
3. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle : (E ) : y" = − y.
x 4
′
Montrer que la fonction g est solution de (E ), si et seulement si, la fonction f d´ efinie pour tout r´ eel
1

non nul x par f(x) = xg est solution de (E).
x
Diff´ erentielle-Statistique-Analyse - 1/2 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°5 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths


′
4. En d´ eduire toutes les solutions de (E ) d´ efinies sur chacun des intervalles ] − ∞,0[ et ]0,+∞[.

′
5. Soit g une solution de l’´ equation (E ) d´ efinie sur ]0,+∞[.
1
g(x).
a) D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes une primitive de la fonction :x 7−→
x 4
Z 2
1
π 1
b) Calculer la valeur de l’int´ egrale sin dx.
1 x 3 x
π
Exercice N° 3 ( Analyse )


x e t
Z
n ´ etant un entier naturel tel que n ≥ 2. Pour tout r´ eel x > 0, on pose : F (x) = dt.
n
1 t n
′
1. a) Montrer que F est d´ erivable sur ]0,+∞[ puis calculer F (x) pour x > 0.
n
n
´
b) Etudier le sens de variation de F .
n
e t
′
c) x et t sont deux r´ eels tels que 1 ≤ t ≤ x. Montrer que : ≤ F (t).
n
x n
x
e − e
Puis d´ eduire que pour tout r´ eel x ≥ 1, ≤ F (x).
n
x n
F (x)
Calculer alors lim F (x) puis lim n .
n
x→+∞ x→+∞ x
d) x et t sont deux r´ eels tels que 1 ≤ t ≤ x.
1 e t
Montrer que : ≤ puis d´ eduire que pour tout x ∈]0;1], on a F (x) ≤ ln(x).
n
t t n
Calculer alors lim F (x).
n
x→0 +
2. Pour tout entier n ≥ 2, on pose U = F (2).
n
n
e 2
a) montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a : 0 ≤ U ≤ , puis calculer lim U .
n
n
n − 1 x→+∞
`
b) A l’aide d’une int´ egration par partie montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a :
e 2
U − nU n+1 = − e
n
2 n
c) Calculer lim nU .
n
x→+∞




















Diff´ erentielle-Statistique-Analyse - 2/2 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°6 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths


´
Exercice N° 1 ( Equation diff´erentielle)

′
′
On consid` ere les ´ equations diff´ erentielles (E ) : y − y = 0 et (E) : y − y = x.
0
1. R´ esoudre dans R l’´ equation (E ).
0
2. a) D´ eterminer les r´ eels a et b pour que la fonction g d´ efinie sur R par : g(x) = ax + b soit une

solution de l’´ equation diff´ erentielle (E).

b) Soit f une fonction d´ erivable sur R .

Montrer que f est une solution de (E) si et seulement si (f − g) est une solution de (E ).
0
c) R´ esoudre alors dans R l’´ equation (E).

x
3. Soit f la fonction d´ efinie par : f(x) = e − x − 1.
´
a) Etudier les variations de f.

b) Montrer que l’´ equation f(x) = x admet une solution unique non nulle α et que 1 < α < 2.

4. Soit h la restriction de f ` a [0 ; +∞[.


a) Montrer que h r´ ealise une bijection de [0 ; +∞[ sur un intervalle J que l’on pr´ ecisera.

′
b) Tracer C et C des courbes repr´ esentatives respectives de f et h −1 dans un rep` ere orthonorm´ e

− → −→
O, i , j .
′
c) Soit A(α) l’aire de la partie du plan limit´ ee par les courbes C , C et les droites d’´ equations x = 0
2
et x = α. Montrer que A(α) = 2(α − α)
x+1
Z
5. Soit ϕ la fonction d´ efinie sur R par :ϕ(x) = f(t)dt.
x
a) Soit n ∈ N, montrer que f(n) ≤ ϕ(n) ≤ f(n + 1).

b) Montrer qu’il existe un unique r´ eel u de [n , n + 1] v´ erifiant ϕ(n) = f(u ).
n
n
c) On consid` ere la suite v d´ efinie sur N par : v = u − n.
n
n
i. V´ erifier que la suite v est born´ ee.

v 1
´
ii. Etablir que pour tout n ∈ N, on a : e v n = e − 1 + n − .
e n 2e n
En d´ eduire que la suite v converge vers un r´ eel que l’on pr´ ecisera.


Exercice N° 2 ( Probabilit´e )



Un groupe de personne d´ ecide d’aller au cin´ ema deux samedis de suite pour voir deux films A et B.
er
Le 1 samedi , 40% des personnes vont voir le film A et les autres le film B.



Diff´ erentielle-Probabilit´ e-Arithm´ etique - 1/3 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°6 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths



Le 2 eme Samedi :
Parmi les personnes qui ont vu le film A , 55% d´ ecident de revoir le film A.

Parmi les personnes qui ont vu le film B , 85% d´ ecident de revoir le film B.

On interroge au hasard une personne de ce groupe. On consid` ere les ´ ev` enements suivants :

er
A : La personne a vu le film A le 1 samedi .
1
er
B : La personne a vu le film B le 1 samedi .
1
A : La personne a vu le film A le 2 eme samedi .
2
B : La personne a vu le film B le 2 eme samedi .
2
1. a) Mod´ eliser cette situation par un arbre de probabilit´ e.

b) Calculer p(A ∩ A ) et p(B ∩ A ). En d´ eduire que p(A ) = 0,31.
1
1
2
2
2
c) Le 2 eme Samedi, la personne est en train de voir le film B.
er
Calculer alors la probabilit´ e qu’elle ait vu le film A le 1 samedi
d) On note l’´ ev` enement A : La personne a vu le film A . Calculer p(A).

D
D
2. Le prix du billet pour le film A est de 3 et 2 de pour le film B. On appelle X la variable al´ eatoire
´ egale au coˆ ut total des s´ eances de cin´ ema pour une personne.


a) D´ eterminer la loi de probabilit´ e de X .

b) Calculer E(X) et V(X).


3. On choisit d’une mani` ere ind´ ependante un ´ echantillon de 15 personnes de ce groupe.

On note Y l’al´ ea num´ erique prenant pour valeur le nombre de personne qui a vu le film A ,le 2 eme
samedi .


a) D´ efinir la loi de probabilit´ e de Y .

b) Calculer ` a 10 −3 pr´ es la probabilit´ e de Y d’avoir au moins une personne qui a vu le film A ,le 2 eme

samedi.


c) D´ eterminer le nombre moyen des personnes qui ont vu le film A le 2 eme samedi.


Exercice N° 3 ( arithm´etique )




1. On consid` ere dans Z × Z l’´ equation (E) : 4x − 5y = 1.

a) V´ erifier que (−1,−1) est une solution de (E).





Diff´ erentielle-Probabilit´ e-Arithm´ etique - 2/3 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017 Section
[ S´erie R´evision N°6 \
Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths


b) R´ esoudre alors dans Z × Z l’´ equation (E).


2. Soit a, b et n trois entiers naturels tels que : a = 4n + 3 et b = 3n + 1, on pose d = a ∧ b.

a) D´ eterminer les valeurs possibles de d.


b) Montrer que d = 5 si et seulement si n ≡ 3(mod5)

n
3. a) D´ eterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n, les restes modulo 5 de 2 .
b
n
a
b) Montrer que ∀n ∈ N, on a : 2 + 3 ≡ 3(1 + 2 )(mod5).

a ∧ b = 5

c) D´ eterminer le plus petit entier naturel n ≥ 2013 tels que :
2 + 3 ≡ 0(mod5)
 a b

































































Diff´ erentielle-Probabilit´ e-Arithm´ etique - 3/3 - Prof : Kadri Wassim

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Lyc´ ee BIR LAMAR 4° Maths


Exercice N° 1 ( Similitude)


−→ −→
Le plan complexe est rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e O, u , v . L’unit´ e graphique est 4 cm. On
π √ √ π
i 3 3 3 −i
consid` ere les points A,B,C et D d’affixes respectives : a = 1 ; b = e 3 ; c = + i ; d = e 6
2 2 2
1. a) Donner la forme exponentielle de c et la forme alg´ ebrique de d.


b) Repr´ esenter les points A,B,C et D .

2. D´ eterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude plane directe s de centre O qui transforme A

en C.

3. On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respectivement. Montrer que

les points F, C et G sont align´ es.

4. On consid` ere la transformation ϕ qui, ` a tout point M d’affixe z, associe le point M d’affixe z telle
′
′
2π √
−i 3 3
′
que : z = e 3 z + + i .
2 2
Pour toute droite δ du plan, on notera σ , la sym´ etrie axiale d’axe δ.
δ
′
a) Soit r la transformation qui, ` a tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z telle que :
′
1
1
1
1
2π √
−i 3 3
z = e 3 z + + i .
′
1
1
2 2
D´ eterminer la nature de r et donner ses ´ el´ ements caract´ eristiques.
Exprimer r sous sa forme complexe simplifi´ ee en faisant apparaˆ ıtre l’affixe de son centre.
b) Exprimer ϕ sous la forme d’une compos´ ee de deux transformations que l’on d´ eterminera.
c) D´ eterminer deux points invariants de ϕ et en d´ eduire la nature de ϕ.
d) D´ eterminer graphiquement ϕ(C).


Exercice N° 2 ( Conique )



− → −→
Le plan est rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e R O, i , j .
2
2
Soit (E) l’ensemble des points M(x,y) tel que : 4x + y − 16x + 12 = 0.
1. a) Montrer que (E) est une ellipse dont on pr´ ecisera le centre O ,les sommets et les foyers.
′

b) Tracer (E).
p
2
2. Soit f une fonction d´ efinie par f(x) = 2 −x + 4x − 3 .
On d´ esigne par (Γ) la courbe repr´ esentative de f.

a) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de f.




Similitude-Conique-Analyse - 1/2 - Prof : Kadri Wassim

2016/2017 Section
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− →
b) Montrer que (E) = (Γ) ∪ (Γ) tel que (Γ) est le sym´ etrie de (Γ) par apport ` a O, i .
′
′
Z
2 p
2
c) On d´ esigne par A l’aire de l’ellipse . Montrer que A = 8 −x + 4x − 3dx (ua).
1
Z
2+cosx p
2
3. On pose F(x) = −t + 4t − 3dt.
1
2
a) Montrer que F est d´ erivable sur [0,π] et que F (x) = −sin x.
′
b) En d´ eduire l’expression de F(x) sur [0,π].
c) Calculer alors A.


Exercice N° 3 ( Analyse )


2e x
Soit f la fonction d´ efinie sur R par : f(x) = .
1 + e 2x

− → −→
On d´ esigne par C la courbe repr´ esentative de f dans un rep` ere orthonorm´ e O, i , j du plan (unit´ e :
3cm).

´
1. a) Etudier la variation de f.
b) Tracer C.

2. Soit g la restriction de f dur [0,+∞[.

a) Montrer que g r´ ealise une bijection de [0,+∞[ sur un intervalle J que l’on pr´ ecisera.

−1
b) Explicit´ e g (x) pour tout x ∈ J.
− → −→
c) Tracer la courbe C de g −1 dans O, i , j .
′
Z
π
ln(tanx)
3. Soit F la fonction d´ efinie sur I = 0 ; par : F(x) = f(t)dt.
2 0
a) Montrer que F est d´ erivable sur I et calculer F (x).
′
π
b) En d´ eduire que pour tout x de I on a : F(x) = x − .
2
√
1 2
Z  
 1 + 1 − x 
c) Soit l’int´ egrale I =  dx.



√ ln
3  x 
2
√ √
π − 3 3ln( 3)
Donner une interpr´ etation graphique de I. En d´ eduire que I = .
6
√
ln( 3) 2e x
Z
4. Soit n ∈ N , on pose U = dx.
∗
n
n
0 1 + e 2x
´
a) Etudier la monotonie de la suite U. En d´ eduire que U est convergente.
√
3 − 1
∗ . Calculer lim U .
b) Montrer que ∀n ∈ N , on a : U ≤ n
n
2 n−1 n→+∞
Similitude-Conique-Analyse - 2/2 - Prof : Kadri Wassim