Magazines_premier_trimestre

Bac Siences Techniques

∑Magazines : Premier Trimèstre
∫
Prof : Kadri Wassim

MATHÉMATIQUES (C exp)

e iπ+ 1 = 05

4

3 (Cln)

7

26

5

1 2 e ≃3 2.71 4

1
0

−1

−2 −1
−3
z

−2

−3

Lycée Bir Lahmar 2 y

x

Année Scolaire 2018-2019

01 Analyse

Magazine Limites et continuité

Exercice : N◦ 01 25’ 4 Points

Trouver les limites suivantes :

x3 − 8 √
x2 − 3x + 5. lim x + 1 − 1
1. lim 2 x→0 x

x→2

−x2 + x + 2 6. lim x √ x+1−6
x3 − 3x2 − x + x−3
2. lim 3 x→3

x→−1 √

x−2 √√
4x − 3 7. lim x + 1 − x
3. lim x→+∞
√
x→+∞

√ 8. lim x2 x−2
4. lim x − 2 x − 5x + 4
x→+∞ x→4

Exercice : N◦ 02 30’ 4 Points

Trouver les limites suivantes :

(√ ) 5. lim √1 − 1
1. lim x2 + x + 1 − 2x x x
x→0+
x→+∞
√ x+1−2
(√ ) x−3
2. lim x2 + 4x + 3 + x 6. lim (√ )

x→−∞ x→3

√ 7. lim x2 + x − x + 1
3. lim √ x2 + x √+ 1 − 1 x→+∞

x→0 x + 2 − 3x + 2 (√ √ √ )
√ 8. lim x + x − x
x→+∞
4. lim √x − 1 − 2
x→5 x + 4 − 3

Exercice : N◦ 03 20’ 3 Points

Trouver les limites suivantes en utilisant la définition du nombre dérivé :

1. x4 + x3 − 7x2 + 8x − 12 4. lim cos x
x−2
lim x→ π x − π
2 2
x→2

2. lim x2016 − 1 5. lim 2 sin x − 1
x−1
x→1 x→ π 6x − π
6 √
√
3. lim 5 + x − 2 6. lim x x+1−6
x→−1 x + 1 x−3
x→3

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Exercice : N◦ 04 20’ 3 Points
Trouver les limites suivantes en utilisant lim sin x = 1 ,la définition du nombre dérivé
x→0 x

ou un changement de variable :

1. lim sin 3x 4. lim 1 − cos 2x
sin 5x x2
x→0 x→0

2. lim sin 4x 5. lim tan x − √1
x x→ π 2 cos x − 2
x→0 4

3. lim x sin x 6. lim sin(x − 2)
1 − cos x sin 3(2 − x)
x→0 x→2

Exercice : N◦ 05 20’ 4 Points

1. Soit f la fonction définie sur R \ { 1} par : f (x) = 2x − sin x .
− 3 3x + 1

(a) Montrer que pour tout réel positif x on a : 2x − 1 ≤ f (x) ≤ 2x + 1.
3x + 1 3x + 1

(b) En déduire la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement le résultat.

2. Soit g la fonction définie sur [2, +∞[ par : g(x) = 3x + sin x .
x−1

(a) Montrer que pour tout x ≥ 2 on a : |g (x) − 3| ≤ x 4 .
− 1

(b) Déduire lim g(x).
x→+∞

Exercice : N◦ 06{ 15’ 3 Points

Soit f la fonction définie par : f (x) = 2x + b si x > 1
f (x) = x2 + x si x ≤ 1

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f .

2. Déterminer b pour que f soit continue en x0 = 1.

Exercice : N◦ 07 20’ 4 Points
x2 − 4
Soit f la fonction définie par f (x) = x−1 et Cf sa courbe représentative.

1. Déterminer les réels a , b et c tel que f (x) = ax + b + x c.
−1

2. Dresser le tableau de variation de f .

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3. Déterminer la position relative de Cf par rapport à la droite D : y = ax + b.

4. Déterminer l’image des intervalles suivants par f : ] − ∞, 0]; ]1, +∞[; ] − 1, 1[.

Exercice : définiNe p◦ar0:8ff (x) = 30’ ( π ) + 1 5 Points
(x) = x
Soit f la fonction x2 sin si x < 0

√ si x ≥ 0
2−√x
2+ x

1. (a) Montrer que pour tout x < 0 on a : −x2 + 1 ≤ f (x) ≤ x2 + 1.

(b) En déduire lim f (x).

x→0+

(c) Montrer que f est continue en 0.

2. Calculer lim f (x) et montrer que lim f (x) = −1
x→−∞ x→+∞

3. Montrer qu’il existe un réel x0 ∈] − 2, −1[ tel que f (x0) = 0.

4. (a) Vérifier que pour tout x ≥ 0 on a : f (x) = −1 + 4√ .
2+ x

(b) En déduire que f est strictement décroissante sur [0, +∞[

(c) Déterminer alors l’image de l’intervalle [0, +∞[ par la fonction f .

(d) En étudiant la fonction φ : [0 ; +∞[→ R
. x −→ f (x) − x
Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α ∈]0; 1[, donner
un encadrement de α d’amplitude 10−1 .

Exercice : N◦ 09 20’ 4 Points
√ 1.
Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par : x + 1 − x

1. (a) Montrer que f est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[ .

(b) Déterminer f (]0, +∞[). ][

2. (a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α ∈ 1 , 1 .
][ 2

(b) En déduire le signe de f sur 1 , 1 .
2
[]
(c) Soit g la fonction définie sur 1 , 1 \{α} par g (x) = 1.
2 f (x)

g est-elle prolongeable par continuité en α.

Exercice : N◦ 10 f 30’(x) = x√3xx2+2++121+x2x+ 5 Points

Soit la fonction f définie sur R par 1 si x > 0
si x ≤ 0

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1. (a) Montrer que pour tout x≥ 0 : 0 ≤f (x) ≤ 3x + 1 .
√ √ √ x2 + 1
(Indication : comparer a + b et a + b pour a et b deux réels positifs)

(b) Déduire lim f (x).

x→+∞

2. Etudier la continuité de f en 0.

3. (a) Etudier les variations de f sur ] − ∞, 0].

(b) Monter que l’équation f (x) = 0 admet dans ]−∞, 0] une unique solution α puis
vérifier que −0, 5 ≤ α ≤ −0, 4.

4. La courbe Cg ci dessous est la représentation graphique d’une fonction g définie
sur R.

Cg admet la droite D : y = −1 comme droite asymptote horizontale au voisinage
de (+∞).

Calculer les limites suivantes : lim g ◦ f (x), lim f ◦ g(x) et lim f ◦ g(x).
x→+∞ x→−∞ x→+∞

Cg 3

2
1

−3 −2 −1 1 2 3 y4= −15
−1

−2

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02 Géométrie

Magazine Nombres Complexes

Exercice : N◦ 01 15’ 4 Points

Dans P on cons√idère les point√s A, B, C et√D d’affixes respective√s :
zA = 1 + i ; zB = 3 − i ; zC = ( 3 + 1) + i( 3 − 1) et zD = 1 + i 3.

1. Ecrire zA , zB et zD sous forme exponentielle.

2. (a) Vérifier que zA.zC = 2zD.

(b) En déduire la forme exponentielle de zC. ( π ) ( π )
(c) Déterminer alors les valeurs exactes de cos sin .
et
12 12

3. (a) Montrer que le triangle OBD est isocèle en O.

(b) Montrer que le quadrilatère OBCD est un losange.

Exercice : N◦ 02 15’ 3 Points

Dans P , on considère les points I et A d’affixes respectives 1 et i. iz
−1
Soit z ∈ C\{1}, on désigne par M le point d’affixe z et par M′ le point d’affixe z′ = z .

1. Déterminer l’ensemble des points M pour les quels z′ = z.

2. Déterminer l’ensemble Γ des points M tel que les vecteurs −−−→ et O−−−M−→′ sont
OM

colinéaires.

3. Montrer que AM′ × IM = 1, puis déterminer l’ensemble des points M′ lorsque M
décrit le cercle de centre I et de rayon 1.

Exercice : N◦ 03 25’ 5 Points

Dans P on donne A(1) et B(3 + 2i). On appelle f l’application qui, à tout point M

distinct de A et d’affixe z , associe le point M′ d’affixe z définie par z′ = z − 1 + 2i .
z−1

1. Calculer les affixes des points O′ et B′, images respectives des points O et B par

f . Placer les points A, O′, B et B′ dans le plan.

2. (a) Pour tout nombre complexe z différent de 1, Calculer, le produit (z1)(z1).

(b) En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :
( −A−−M→) ( A−−−M−→′ )
AM × AM ′ = 2 et →−u , + →−u , = π + 2kπ avec k ∈ Z.

2

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3. Démontrer que, si M appartient au cercle C de centre A passant par O, alors M

appartient à un cercle C ′.

En précisera le centre et le rayon. Construire C et C ′.

4. (a) Déterminer une mesure de l’angle ( A−−→B ).
→−u ,

(b) Démontrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite (∆) d’origine
A, passant par B, alors M appartient à une demi-droite que l’on précisera.

5. On appelle P le point d’intersection du cercle C et de la demi-droite (∆). Placer
son image P sur la figure.

Exercice : N◦ 04 30’ 4 Points

Dans P on considère le point A d’affixe 1, C le cercle de diamètre [OA] sur lequel on

désigne un point M distinct de A et O, les points K et L sont tel que OMKL soit un

carré . On pose ZM ,ZL et ZK les affixes respectives de M, L et K.

N

1 P

K
M

L

O A

1

1. (a) Calculer le module et un argument de ZL .
ZM

(b) Donner l’écriture exponentielle de ZL .
ZM

(c) En déduire que ZL = iZM

(d) Déterminer l’affixe du point K en fonction de celui de M.

2. On désigne par M et P deux points tel que MAP N soit un carré.
On donne ZP = −iZM + 1 + i et ZN = (1 − i)ZM + i les affixes respectives de P et N .

(a) Déterminer l’affixe de Ω le milieu du segment [P L].
(b) Vérifier que Ω est un point fixe sur le cercle C lorsque M varie.

3. (a) Montrer que ZK − ZΩ = (1 + i)(ZM − 1 ) et que ZN − ZΩ = (1 − i)(ZM − 1 ).
2 2

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(b) Comparer les distances ΩN et ΩK.

(c) Montrer que aff( −−−→ = i.
ΩK )

aff( −−−→
ΩN )

(d) En déduire la nature du triangle ΩN K.

Exercice : N◦ 05 25’ √ 5 Points
sDoaitnséqPuiloantécraolnesiddièrreectl,ecp’eositn-tà-Adidre’a(ffO−i−x−→Ae a, −O=−→B5)−=i 3, le point B tel que le triangle OAB
k ∈ Z et Q le milieu de
π + 2kπ avec
3
[OB].
√
1. (a) Démontrer que B à pour affixe b = 4 + 2i 3 . En déduire l’affixe q de Q.

(b) Déterminer l’affixe ZK du point K tel ABQK que soit un parallélogramme .

(c) Démontrer que ZK − a est imaginaire pur. Que peut-on déduit pour le triangle
ZK
OK A.

2. Soit C le point d’affixe c = 2a . Calculer ZK − b .
Que 3 BZ,KC−ect K
peut-on en déduire pour les points ? Placer sur la figure.
C

Exercice : N◦ 06 25’ 5 Poi√nts √

Dans P on considère les points A et B d’affixes respectifs zA = 3 + i et zB = −1 + i 3.

1. (a) Ecrire sous forme exponentielle de zA et zB.

(b) Placer les points A et B dans le repère.
(c) Ecrire zB sous forme exponentielle.

zA
(d) Déduire que OAB est un triangle rectangle et isocèle en O .

(e) Déterminer l’affixe du point C pour que le quadrilatère OACB soit un carré.
[ [
2. Soit un point M d’affixe zM = 1 + e2iθ où θ ∈ 0, π .
2

(a) Montrer que zM = 2 cos θeiθ , puis vérifier que c’est son écriture sous forme
exponentielle.

(b) Déterminer la valeur de θ pour que M appartient au cercle C de centre O et
de rayon 1 .

(c) Déterminer la valeur θ de pour que les points O, A et M soient alignés.

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Exercice : N◦ 07 30’ 5 Points

Dans P on considère les points A, B, C et E d’affixes respectives :
zA = 1 − i ; zB = 3i ; zC = −3 − 2i et zE = −i.

1. (a) Montrer que : ABC est un triangle isocèle et rectangle.

(b) Déterminer l’affixe de D tel que : ABDC soit un carré.

2. Soit f l’application du plan dans le plan définie par :

f : P\{O} −→ P

M(z) −→ M′(z′)

tel que z′ = z − 3i .
iz

(a) Déterminer l’ensemble (E1) des points M(z) tel que z soit réel.
(b) Montrer que pour tout z 0 on a : iz(z + i) = −3i.

(c) En déduire que si M appartient au cercle de centre O et de rayon 6 alors M
appartient à un cercle que l’on précisera.

3. On suppose que : z = 3ie2iθ où θ ∈ [0, π[.

(a) Montrer que : z′ = 2 sin θe−iθ .
(b) Déterminer θ pour que M soit sur le cercle trigonométrique.

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03 ANALYSE

Magazine Dérivabilité

Exercice : N◦ 01 : f 10’ x√3x+−x12 3 Points

Soit f la fonction définie sur R par (x) = − x + 1 si x < 1
+ 2 si x ≥ 1

1. Monter que f est continue en 1.

2. (a) Étudier la dérivabilité de f à droite en 1.
(b) Interpréter graphiquement le résultat.

Exercice : N◦ 02 : f 20’ √−xx32 −1 4 Points
+ 3x
Soit f la fonction définie sur R par (x) = +3 si x ≤ −1
si x > −1

1. Étudier la continuité de f à droite et à gauche en -1.

2. (a) Étudier la dérivabilité de f à gauche en -1.
(b) Interpréter graphiquement le résultat.

3. Montrer que f est dérivable sur R\{−1} et calculer f ′(x)

4. Montrer que le point I(0, 3) est un point d’inflexion de Cf .
5. Ecrire une équation de la tangente à Cf au point I.
6. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution α ∈]2; 3[.

Exercice : N◦ 03 20’ 4√ Points

Soit f la fonction définie sur ] − ∞; 1[ par f (x) = (1 + x) (1 − x. →− )
Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé →−
O; i ; j

1. Calculer lim f (x).

x→+∞

2. (a) Étudier la dérivabilité de f à gauche en 1.
(b) Montrer que f est dérivable sur ] − ∞; 1[ et que f ′(x) = −√3x + 1 .
2 1−x

3. Dresser le tableau de variation de f .

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4. Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse -1.
5. Montrer que l’équation f (x) = −2 admet une solution α ∈] − 3; −2[.

Exercice : N◦ 04 25’ 5 Points

Soit g la fonction définie sur [1; +∞[ par g(x) = x3 − x − 1.

1. (a) Dresser le tableau de variation de g.

(b) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans [1; +∞[ une unique solution α et

que 1, 3 < α <√1, 4.
α+
(c) Montrer que α 1 = α.

√

2. Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par f (x) = x +1.
x

(a) Mont√rer que f est dérivable sur [1; +∞[ et que pour tout x ∈ [1; +∞[ ; f ′(x) =
1 x.
− 2x2 x+1

(b) Montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[ on a : −1 ≤ f ′(x) ≤ 0.
2

(c) En déduire que pour tout x ∈ [α; +∞[ on a : − x + 3 α ≤ f (x) ≤ α.
2 2

Exercice : N◦ 05 25’ 5 Points

Soit f la fonction définie par : f (x) = 1 − √ x
1 − x2

1. (a) Montrer que Df =] − 1; 1[.

(b) Calculer lim f (x) et lim f (x).
x→(−1)+ x→1−

(c) Montrer que pour tout x ∈] − 1; 1[ on a : f ′(x) = −√1 .
(1 − x2) 1 − x2

(d) Déterminer f (] − 1; 1[). ][

2. (a) Montrer que l’équation f (x) = x admet dans 0; 1 une solution unique .
(b) 2 √ α|.
(c)
[] ′(x)| 83
Montrer que pour tout x ∈ 0; 1 , on a : |f ≤ 9 .
2
√
[] a : |f (x) − α| ≤ 893|x −
En déduire que pour tout x ∈ 0; 1 , on
2

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Exercice : N◦ 06 (x) = 30’2153x+++x3√2√2xs1x2i+n+3(42πxx )2 6 Points

Soit la fonction f définie par : f si x ≤ 0
si 0 < x < 1

si x ≥ 1

1. (a) Calculer lim f (x).

x→−∞

(b) Montrer que f est continue en 0.

(c) Étudier la dérivabilité de f en 0.

(d) Montrer que f est strictement croissante sur ] − ∞; 0].

2. (a) Montrer que f est continue en 1.
(b) Étudier la dérivabilité de f à gauche en 1.
(c) Justifier que f est dérivable sur ]0; 1[ puis calculer f ′(x).

3. Soit g la fonction définie sur [1; +∞[ par g(x) = f (x) + 2.

(a) Dresser le tableau de variation de g.

(b) Montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[ on a : |g′(x)| ≤ 1.
4

(c) Montrer que l’équation g(x) = x admet dans ]4; 5[ une solution unique α.

(d) Montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[ on a : |g(x) − α| ≤ 1 |x − α|.
4

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04 Géométrie

Magazine Equations complexes

Exercice : N◦ 01 25’ 5 Points

1. Résoudre dans C l’équation : z2 − 4(1 + i)z + 6i = 0.

2. Dans P, on considère les points A, B et C d’affixes respectives :
zA = 2 ; zB = 1 + i et zC = 3 + 3i.

(a) Écrire zB et zC sous forme exponentielle.
(b) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
(c) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un rectangle.

3. Pour tout point M( B) d’affixe z on associe le point M′ d’affixe z′ tel que :

z′ = 2iz + 3 − i.

(a) Montrer que z′ − zB = 2ei π .
z − zB 2

(b) En déduire la nature du triangle BMM′.

Exercice : N◦ 02 25’ 5 Points

1. Résoudre dans C l’équation (E) : z2 − 3z + 3 − i = 0.
2. Soit dans C l’équation (E′) : z3 − 2z2 − iz + 3 − i = 0.

(a) Vérifier que -1 est une solution de (E).
(b) Trouver les nombres complexes a, b et c tel que :

z3 − 2z2 − iz + 3 − i = (z + 1)(az2 + bz + c).
(c) Résoudre alors dans C l’équation (E′).

3. Soient les points A, B et C d’affixes respectives : −1, 1 − i et 2 + i.

(a) Placer les points A, B et C.
(b) Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
(c) Déterminer l’affixe du point D pour que ABCD soit un carré.

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Exercice : N◦ 03 20’ 4 Points

Soit P (z) = z3 + (1 − 2i)z2 − (1 + 6i)z − 5 = 0 ; z ∈ C.

1. (a) Montrer que P (z) = 0 admet une unique solution imaginaire que l’on détermi-
nera.

(b) Trouver les nombres complexes a, b et c tel que :
P (z) = (z − i)(az2 + bz + c).

(c) Résoudre alors l’équation : P (z) = 0.

2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
zA = i ; zB = 1 + 2i et zC = −2 − i.

(a) Placer les points A, B et C.
(b) Montrer que les points A, B et C sont alignés.

3. (a) Montrer que OBC est un triangle isocèle.

(b) Déterminer l’affixe zD du point D pour que OABC soit un losange.

Exercice :] π [N◦ 04 25’ − 2(i − 5 Points = 0.

Soit θ un réel de 0, 2 et (E) l’équation : z2 cos θ )z − 2i cos θ

1. (a) Résoudre dans C l’équation (E).

(b) Écrire chacune des solutions de (E) sous forme exponentielle.

2. Dans P, on considère les points A, M1 et M2 d’affixes respectives :
zA = i ; z1 = i − eiθ et z2 = i − e−iθ.

(a) tDeértvearlmlei]n0e,rπet[.construire l’ensemble des points M1 et M2 lorsque θ décrit l’in-
2

(b) Mont]rer πqu[.e la droite (M1M2) garde une direction fixe lorsque θ décrit l’inter-
valle 0,
2

(c) Déterminer le réel θ pour que le quadrilatère OM1M2A soit un parallélo-

gramme.

Exercice : N◦ 05 25’ 5 Points

1. Résoudre dans C l’équation z2 − 2z +1 + e2iθ = 0, avec θ ∈ ] π , π [
− .
22

2. Soit l’équation (E) : z3 − 4z2 + (5 + e2iθ) − 2(1 + e2iθ) = 0.

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(a) Vérifier que 2 est une solution de (E).
(b) Résoudre dans C l’équation (E).

3. Dans P, on considère les points M1, M2 et M3 d’affixes respectives :
z1 = 1 − ieiθ ; z2 = 1 + ieiθ et z3 = 2.
( ) (θ )
θ π e( θ − π ) 2 π e( θ π ).
(a) Montrer que z1 = 2 sin 2 + 2 4 et z2 = 2 cos + 2 + 4

4 4

(b) Montrer que OM1M3M2 est un rectangle.

(c) Déterminer θ pour que OM1M3M2 soit un carré.

Exercice : N◦ 06 30’ 5 Points

Soit (E) l’équation dans C définie par z2 − 2iz − (1 + a2) = 0 avec a désigne un nombre

complexe non nul.

1. (a) Résoudre dans C l’équation (E). On note z1 et z2 les solutions de (E).
(b) Montrer que : |z1| = |z2| ⇐⇒ a ∈ R∗.

2. Dans P, on considère les points A, B, M et N d’affixes respectives :
1 ; − 1 + 2i ; i + a et i − a.

(a) Montrer que les points M et N sont symétriques par rapport à un point fixe I
que l’on précisera.

(b) Lorsque M n’appartient pas à (AB), donner la nature du quadrilatère AMBN .

3. On suppose que a = eiθ − 2i avec θ ∈ [0; 2π].

(a) Montrer que M décrit un cercle fixe C que l’on précisera lorsque θ décrit [0; 2π].

(b) En déduire l’ensemble C ′ des points N lorsque θ décrit [0; 2π].

Exercice : N◦ 07 25’ 7 Points

√
1. Résoudre dans C l’équation z2 + 3z + 1 = 0.

√√
2. Soit dans C l’équation (E) : z3 + ( 3 − i)z2 + (1 − i 3)z − i = 0.

(a) Vérifier que i Eest une solution de (E) .
(b) Déter√miner α et β tel√que :

z3 + ( 3 − i)z2 + (1 − i 3)z − i = (z − i)(z2 + αz + β).
(c) Résoudre dans C l’équation (E) .

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3. On donne dans√le plan complexe√les points A, B et C d’affixe respectives :
− 3+i − 3−i.
zA = i ; zB = 2 et zB = 2

(a) Déterminer la forme exponentielle de zA, zB et zC .

(b) Placer les points A, B et C.
(c) Déterminer le module et un argument du quotient : zC − zB .

zA − zB

(d) En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice : N◦ 08 25’ 5 Points

Choisir la bonne réponse :

1. On considère dans C l’équation : z2 − 2mz − 1 = 0 avec m ∈ C\{−1; 1}, on désigne
par z′ et z′′ les solutions de (E) alors :
(a) arg(z′) + arg(z′′) = 0 + (b) arg(z′) + arg(z′′) = π + (c) arg(z′) + arg(z′′) =

2kπ 2kπ arg(m) + 2kπ

2. Pour tout réel θ l’équation : iz2 − eiθz + 2 = 0 admet dans C deux solutions z1 et

z2, on a donc :

(a) z1 + z2 = ieiθ (b) z1 + z2 = eiθ (c) z1.z2 = ieiθ

3. L’équation z2 = −16 admet dans l’ensemble C exactement :

(a) Une solution (b) Deux solutions (c) Quatre solutions

4. Un argument du nombre complexe (1 + i)2019 est :

(a) π (b) π (c) 3π √
2 4 4

5. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de −1 +i 3 est :
(b) z
(a) −π 2π 2π
3 +θ 3 + θ (c) 3 − θ

6. le nombre complexe 1 + i est une racine cubique de :

(a) 2i (b) 2i − 2 (c) 3 + 3i

7. Soient A, B et C trois points distincts vérifiant zC − zA = 7i(zB − zA) alors :

(a) A, B et C sont alignés (b) AB = 7AC (c) Le triangle ABC est

rectangle en A.

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05 ANALYSE

Magazine Fonction réciproque

Exercice : N◦ 01 15’ 4 Points
x2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 + 2.
+1

1. (a) Dresser le tableau de variation de f. ] 3 [.
(b) Montrer que f (x) = x admet dans R 1;
une solution unique α ∈ 2

2. Soit g la restriction de f sur [0; +∞[.

(a) Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 définie sur ]1; 2].
(b) Écrire l’expression de g−1(x) pour x ∈]1; 2].

Exercice : N◦ 02 25’ 5 Poin√ts

(A) Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par : f (x) = x2 − 1 + x2 + x et soit Cf sa

courbe représentative.

1. Montrer que f est continue sur [0, +∞[.

2. (a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter géométriquement le
résultat obtenu .

(b) Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer f ′(x) .
(c) En déduire que f ′(x) > 0 pour tout x ∈]0, +∞[.

3. (a) Dresser le tableau de variation de f .
(b) Montrer que f est une bijection de [0, +∞[ sur [−1, +∞[.

4. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet dans [0, +∞[ une unique solution α et que
α ∈]0; 1[.

(B) Soit f −1 la fonction réciproque de f .

1. Donner le sens de variation de f −1.

2. (a) Montrer que f −1 est continue et dérivable sur [−1, +∞[.
√ ( −1)′ √
(b) Calculer f −1( 2) et f ( 2).

3. Construire C ′ la courbe représentative de f −1.

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Exercice : N◦ 03 : f 25’ −x 2+x23 + √5 Points
−
Soit f la fonction définie sur R par (x) = x2 − x si x ≤ 0
3x2 + 2 si x > 0

1. (a) Montrer que f est continue en 0.
(b) Calculer lim f (x).

x→−∞

(c) Étudier la dérivabilité de f à gauche en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2. Soit g la restriction de f sur ]0; +∞[.

(a) Montrer que g réalise une bijection de ]0, +∞[ sur ] − ∞; 2[.

(b) M]12o;n1t[r.er que l’équation g(x) = 0 admet dans [0, +∞[ une unique solution α ∈

3. (a) Montrer que g−1 est dérivable sur ] − ∞; 2[ .
( −1)′
(b) Montrer que g (0) = 1 .
−6α(α + 1)
( −1)′
(c) Calculer g (1) et g (−3).

(d) Écrire l’équation de la tangente à la courbe de g−1 au point d’abscisse (-3).

Exercice : N◦ 04 30’ 2 6 Points
x
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 1+ et soit Cf sa courbe représentative.

1. (a) Étudier les variations de f .

(b) Montrer que f réalise une bijection de ]0; +∞[ sur un intervalle J que l’on
déterminera.

(c) Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ par g(x) = f (x) − x.
Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α et que α = 2.

2. (a) Montrer que ∀x ∈ [2; +∞[ on a : |f ′(x)| ≤ 1.
2

(b) En déduire que ∀x ∈ [2; +∞[ on a : |f (x) − 2| ≤ 21|x − 2|.

3. Soit f −1 la fonction réciproque de f et soit C ′ sa courbe représentative.

(a) Montrer que f −1 est continue et dérivable sur J.
( −1)′
(b) Calculer f −1(3) et f (3).

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(c) Dresser le tableau de variation de f −1.
( −1)′
(d) Calculer f (x) pour tout x ∈ J.

(e) Calculer f −1(x) pour tout x ∈ J.

Exercice : N◦ 05 35’ √ 6 Points

Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par f (x) = x2 − 1 − x + 1 et soit Cf sa courbe
représentative.

1. (a) Montrer que ∀x ∈]1; +∞[ on a : f (x) = √x + 1 − 1.
x−1 x−1

(b) Étudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter le résultat graphiquement.
√
x − x2 − 1.
(c) Vérifier que ∀x ∈]1; +∞[ on a : f ′(x) = √
x2 − 1

2. (a) Montrer que lim f (x) = 1.

x→+∞

(b) Dresser le tableau de variation de f .

(c) Montrer que f réalise une bijection de [1; +∞[ sur un intervalle J que l’on
déterminera.

3. (a) Justifier graphiquement que f −1 est dérivable à droite en 0.

(b) Donner le tableau de variation de f −1.
√
4. (a) Calculer f ( 5).
√
(b) Montrer que f −1 est dérivable en√3 − 5 et donner l’équation de la tangente à
Cf −1 en son point d’abscisse 3 − 5.

5. (a) Montrer que ∀x ∈J on a : f −1(x) = −x2 + 2x − 2.
√ 2(x − 1)

(b) Résoudre alors l’équation f (x) = 2.
2

Exercice : N◦ 0[ 6 ] 35’ 6 Points

Soit f la fonction définie sur 0; π par f (x) = 1 − 2 sin x et soit Cf sa courbe représen-
2
tative.
[]
1. (a) Dresser le tableau de variation de f sur 0; π .
[
(b) Montrer que f réalise une bijection de 0; π ]2 sur un intervalle J que l’on déter-
2
minera.

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][
(c) Montrer que l’équation f (x) = x admet sur 0; π une unique solution α .
2

2. (a) Montrer que l’équation f ′(x) = − 4 admet au moins une solution sur ] [ .
(b) π 2|x − α|. 0;
(c) π
∀∈x]0∈;]π20;[πon[ 2

Montrer que ∀x a: |f ′(x)| ≤ 2.
En déduire que on
2 a : |f (x) − α| ≤

3. (a) Déterminer f −1(0) ( −1)′
f
(b) Montrer que f −1 est dérivable en 0 et déterminer (0).

(c) Montrer que f −1 est dérivable sur ] − 1; 1[ et que : ∀x ∈] − 1; 1[.

( −1)′ (x) = √ −1
f
4 − (1 − x2)

.

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06 Géométrie

Magazine Droites et plans dans l’espace

Exercice : N◦ 01 25’ 5 Points

A tout réel m on associe le plan Pm dont une équation cartésienne est :

mx + 2y − m2z + 3 = 0

1. (a) Déterminer les plans Pm passant par le point A(2, 0, 1).
(b) Déterminer l’intersection des plans P−4 et P1.
(c) Montrer que tout les plans Pm passent par un point fixe B dont on précisera les
coordonnées.

(d) Déduire, suivant les valeurs de m, la position relative de (AB) et Pm.
2. Soit ∆ la droite passant par B et de vecteur directeur →−u = →−i + →−j + →−k .

(a) Montrer que les droites (OA) et ∆ ne sont pas coplanaires.

(b) Soit Q le plan contenant la droite (OA) et parallèle à ∆. Déterminer une équa-
tion cartésienne du plan Q.

(c) Déterminer m pour que les plans Q et Pm soient parallèles.

Exercice : N◦ 02 25’ 5 Points

Dans E , on considère les points A(1, 1, −2) ; B(0, 2, 1) ; C(−1, 2, 3) et D(0, 3, 2).

1. Vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés. On désigne par P le plan
(ABC).

2. Montrer que le point D appartient au plan P.

3. Soit F(1−m, m, m+1), où m est un paramètre réel. Déterminer m pour que la droite

(AF) soit contenue dans le plan P.

4. On considère les vecteurs : →−e1 = →− + →−j + →− , →−e2 = →−j + →− et →e−3 = →−i + 2→−j .
(a) Montrer que ( →e−1 , →−e2 , 3i 2k E. 2k
→−e3 )
R′ = A, est un repère de

(b) Déterminer les coordonnées du point B dans le repère R′ .

Exercice : N◦ 03 20’ 4 Points

DDa:ns E , on considère les droites D et DD′′=déyxfin−+ie32szz par :
x = 2+α R et =
−1 = 0 .
y = 3 + 2α ; α ∈ −1 0

z= 1+α

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1. Montrer que les droites D et D′ sont sécantes et déterminer les coordonnées de
leur point d’intersection A.

2. Donner une équation cartésienne du plan P contenant D et D′.

3. Soit Q le plan d’équation cartésienne : 2x − y − 5 = 0.

(a) Montrer que les plans P et Q sont sécantes suivant une droite ∆ dont on
donnera une représentation paramétrique.

(b) Montrer que les droites ∆ et D sont strictement parallèles.

Exercice : N◦ 04 25’ 5 Points

On considère les points A(−1, 0, 2) ; B(3, 2, −4) ; C(1, −4, 2) et D(5, 2, 4).
B−→J = −B−→C .
Soit les points I, J et K définies par I = A ∗ B ; K =C∗D et 1
4

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. (a) Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés.
(b) Justifier qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x + 9y + 5z − 12 = 0.
(c) Déterminer une représentation paramétrique du plan (IJK).

3. (a) Déterminer une représentation paramétrique du la droite (AD).
(b) Donner un système d’équations cartésiennes de la droite (AD).

4. (a) Montrer que la droite (AD) et le plan (IJK) sont sécants en un point .

(b) Montrer que −A−→L = 1 A−−−→D .
4

Exercice : N◦ 05 30’ 6 Points

On considère les points A(0, 1, −5) ; B(−1, −2, −1) et C(1, 0, −5).

1. (a) Montrer que les points A, B et C déterminent un plan P.

(b) Justifier qu’une équation cartésienne du plan P est : x + y + z + 4 = 0.

(c) Déterminer une représentation paramétrique du plan P.

2. Soit D : x= 1−α ; α ∈ R.
y= 2 + 3α
z= −4 + α

(a) Montrer que le plan P et la droite D sont sécants.
(b) Déterminer les coordonnées du point I intersection du P et D.

3. Soit le plan Q : 2x − y + 3z − 1 = 0 .

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(a) Montrer que les plans P et Q sont sécants.

(b) Soit ∆ l’intersection de P et Q, donner une représentation paramétriques de
∆.

(c) Etudier la position relative de D et ∆ .

Exercice : N◦ 06 20’ 5 Points

On considère les points A(1, −2, −1) ; B(3, −3, −2) et C(0, −3, 1).

1. (a) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) .
(b) Donner un système d’équations cartésiennes de la droite (AB).

2. (a) Montrer que les points A, B et C forment un plan P .
(b) Donner une représentation paramétrique de P .
(c) Donner une équation cartésienne de P .

3. Donner une équation cartésienne du plan Q parallèle à P et passant par D(1, 1, 1)

4. Soit le plan P′ : −x + 2y − 2z + 4 = 0 . Montrer que P et P′ sont sécants et donner
une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.

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