หลักการนับเบื้องต้น

หลักการนับเบื้องต้น

จัดทำโดย
นาย กรณW์Eว'RศิE EกXCนิIตTEศD รTีบOำWเEพL็CญOMเEลขที่26
นางสาว อYOริUสBรAาCKมTาOพ
OรU้อR มSALONSเ!ลขที่34



AS WE OPERATE AT LIMITED

CAPACITY TO ENSURE

EVERYONE'SเสSAนFอETY, WE ARE
อาจาOรANยNL์DYนOBงFLOFลัEWกRDIษRNYGณ์SHEARอIV่RIำCCสUุEพTSSรรณ

UNTIL FURTHER NOTICE.

รายงานเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของ
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

ค30202

ภาคเรียนที่2 ปีการศึกษา 2564
โรงเรียนตลุกดู่

คำนำ

รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา
คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่5 เพื่อให้
ได้ศึกษาอย่างเข้าใจเพื่อเป็นประโยชน์กับการเรียน
ผู้จัดทำหวังว่า รายงานเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้
อ่าน หรือนักเรียนที่กำลังศึกษาหาข้อมูลเรื่องนี้อยู่
ไม่มากก็น้อย
หากผิดพลาดประการใดต้องขออภัย มา ณ ที่นี้ด้วย

ผู้จัดทำ
นายกรณ์วศิ กนิตศรีบำเพ็ญ

นางสาวอริสรา มาพร้อม

สารบัญ

เรื่อง หน้า
1-3
1 หลักการบวก 4-6
2 หลักการคูณ 7-11
3 การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น
4 การจัดหมู่ 12-13
5 เอกสารอ้างอิง
14

หลักการบวก (Addition principle)

ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่าง

แรกทำได้วิธี งานอย่างที่สองได้วิธี และงานทั้งสอง

อย่างที่ไม่สามารถทำพร้อมๆกันได้แล้ว จำนวนวิธีที่จะ

เลือกทำงานทั้งหมดจะเท่ากับ วิธี

ดังนั้นถ้ามีงานมากกว่า 2 งาน สมมุติว่าเป็น

ที่สามารถทำได้ วิธี จำนวนวิธีที่

จะเลือกทำงานจากงานทั้งหมดเท่ากับ

1

ตัวอย่างที่ 1
นักศึกษาสามารถที่จะเลือกทำโปรเจ็ค

คอมพิวเตอร์ได้จาก 3 หัวข้อหลักและแต่ละหัวข้อ
ประกอบด้วยหัวข้อย่อย 23 15 และ 19 ตามลำดับ ดั้ง
นั้นจะมีโปรเจคทั้งหมดที่นักศึกษาสามารถเลือกทำได้กี่
หัวข้อ
วิธีทำ
นักศึกษาสามารถเลือกทำโปรเจค
จากหัวข้อแรกได้ 23 หัวข้อ
จากหัวข้อที่สองได้ 15 หัวข้อ
จากหัวข้อที่สามได้ 19 หัวข้อ
ดังนั้น นักศึกษามีหัวข้อโปรเจ็คให้เลือกได้ทั้งหมด
23 + 15 + 19 = 57 หัวข้อ

2

ตัวอย่างที่ 2
บี้ต้องการเดินทางไปเชียงใหม่ ซึ่งสามารถไปได้โดยขึ้นรถ
ทัวร์รถไฟ และเครื่องบิน ถ้าในวันหนึ่ง ๆ มีรถทัวร์ไป
เชียงใหม่ 5 เที่ยว รถไฟ 3 เที่ยว และเครื่องบิน 2 เที่ยว บี้มี
วิธีในการเดินทางไปเชียงใหม่ได้แตกต่างทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ
โจทย์ข้อนี้ต้องหาวิธีการเดินทางไปเชียงใหม่โดยรถทัวร์
รถไฟ และเครื่องบิน
ดังนั้น การทำงานในข้อนี้มี 3 วิธี
คือ เดินทางโดยรถทัวร์, เดินทางโดยรถไฟ หรือเดินทาง
โดยเครื่องบิน
เลือกเดินทางโดยรถทัวร์ได้ 5 วิธี (มี5 เที่ยว)
เลือกเดินทางโดยรถไฟได้ 3 วิธี (มี3 เที่ยว)
เลือกเดินทางโดยเครื่องบินได้ 2 วิธี (มี2 เที่ยว)
ดังนั้น จำนวนวิธีการในการเดินทางไปเชียงใหม่มีทั้งหมด
5+3+2 = 10 วิธี

3

หลักการคูณ (Multiplication Principle)

ถ้าต้องการการทำงาน 2 อย่างโดยที่งานอย่างแรก

ทำได้วิธีและในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่

ทำงานอย่างที่ 2 ได้ วิธี จํานวนวิธีที่จะ เลือกทํางาน

ทั้งสองอย่างเท่ากับ วิธี

ดังนั้นถ้าเราต้องทํางาน k อย่างโดยที่งาน

อย่างแรกมีทางเลือกทําได้ แบบ และในแต่ละแบบก็

เลือกทํางานอย่างที่สองได้ แบบและในแต่ละแบบ ...

(ไปเรื่อยๆ) จะมีจํานวนวิธีเลือกทํางานจนครบทุกอย่าง

เท่ากับ วิธี

4

ตัวอย่างที่ 1
โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันโดยให้นักเรียนเลือก

อาหารคาวและขนมได้หนึ่งอย่าง ถ้าโรงเรียนจัดอาหารคาว 4 อย่าง
และขนม 3 อย่าง นักเรียนจะมีวิธีเลือกทานอาหารกลางวันได้
ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทํา

การเลือกอาหารกลางวันจะต้องเลือกอาหารคาว 1 อย่าง
จาก 4 อย่างและ เลือกขนม 1 อย่างจากขนม 3 อย่างดังนั้นการ
เลือกอาหารกลางวันเป็นการทํางาน 2 อย่างโดยที่
มีวิธีในการเลือกอาหารคาวได้ 4 วิธี และแต่ละวิธีที่เลือกอาหารคาว
จะเลือกขนมหวานได้อีก 3 วิธี
ดังนั้นจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกอาหารกลางวันเท่ากับ
3 × 4 = 12 วิธี

5

ตัวอย่างที่ 2

การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ เหรียญอาจขึ้นหัวหรือ

ก้อยก็ได้ ถ้าชายคนหนึ่งโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกัน 1

ครั้งจะได้ผลต่างๆ กันทั้งหมด กี่วิธี

วิธีทำ

การทำงานในกรณีนี้ คือการโยนเหรียญ 3 เหรียญ พร้อมกัน 1

ครั้ง มีการทำงาน 3 ขั้นตอนดังนี้

-ขั้นตอนที่ 1 การโยนเหรียญอันที่ 1 จะเลือกได้ 2 วิธี

คือ หัวหรือก้อย

-ขั้นตอนที่ 2 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันที่ 1 เหรียญ

อันที่ 2 จะเลือกได้อีก 2 วิธี

-ขั้นตอนที่ 3 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันที่ 1 และ โยน

เหรียญอันที่ 2 เหรียญอันที่ 3 จะเลือกได้อีก 2 วิธี

ดังนั้นชายคนนี้โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง จะได้

ผลต่างๆ กันทั้งหมด 2 ×2 ×2 = 8 วิธี

6

แฟกทอเรียล (Factorial)

การคำนวณโดยใช้กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จะพบว่า คำ
ตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกชุดหนึ่ง ซึ่งถ้าคำตอบเกิด
จากการคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n

บทนิยาม
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบกแล้ว ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1
ถึง n ดังนี้
1•2•3• … •n
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n! อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็น
แฟกทอเรียล
นั่นคือ n! = 1•2•3• … •n หรือ n! = n•(n-1)•(n-2)• … •2•1

และเพื่อให้คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n จึงต้อง
กำหนดค่า 0! เพิ่มเติม โดยการแทน n=1 ใน (1) จะได้
1! = 1(1-1)!
1! = 1 • 0!
เพราะว่า 1! = 1 และ 1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ จะได้ว่า
1 = 0!

7

ตัวอย่างเช่น
1! = 1
2! = 2•1 = 2
3! = 3•2•1 = 6
4! = 4•3•2•1 = 24
5! = 5•4•3•2•1 = 120
6! = 6•5•4•3•2•1 = 720
7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5,040
8! = 8•7! , 7! = 7•6!
6! = 6•5! , 5! = 5•4!
4! = 4•3! , 3! = 3•2! , 2! = 2•1!

ตัวอย่าง จงหาค่าของ

วิธีทำ =
=
=

8

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดย
คำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บท
นิยามที่ว่า "ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n
โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น
สามารถเเบ่งได้เป็น 2 เเบบคือ
1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดย
หากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา
จะได้ Pn.r วิธีโดย

Pn,r = n!

(n - r)!

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกัน

ทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น

โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของ

ในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ*

จำนวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!

n1!n2!n3!....nk!

9

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกัน
ทั้งหมด
1. มีหนังสือที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เล่มเพื่อ
จัดเรียงเป็นเเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี
วิธีทำ

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด
1. จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคำว่า "PROBABLY" ที่เเตกต่างกัน โดยไม่
คำนึงถึงความหมาย

วิธีทำ

10

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่ง
จะเท่ากับ
(n-1)! วิธี
ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
1. หากต้องการจัดนักเรียน 5 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 5 ที่
นั่งนั้นได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ

2. กำหนดให้นักเรียน 6 คนนั้นนั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ที่นั่งโดยมีชาย 3
คน เเละหญิง 3 คน ถ้ากำหนดว่า ชายเเละหญิงต้องนั่งสลับกัน จะนั่งได้
ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ

11

วิธีการจัดหมู่

วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกมาเป็นหมู่
หรือชุดโดยไม่คำนึงเเต่อย่างใดว่าจะได้สิ่งใดออกมาก่อนหรือหลัง

กำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งนั้น
โดยเลือกคราวละ r สิ่ง (โดย 10≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา
จะได้ Cn.r วิธีโดย
Cn,r = n!

(n - r)!r!
หรือ

12

ตัวอย่างของวิธีการจัดหมู่
1. จงหาว่าจำนวนวิธีเลือกนักเรียน 4 คนจากกลุ่มนักเรียน 12 คนนั้นมี
ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ

2. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลทั้งหมด 9 ลูก ลูกบอลเเต่ละลูกเเตกต่างกันเป็น
ลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีเเดง 2 ลูกเเละสีดำ 2 ลูก ถ้าต้องการจะหยิบลูกบอล
จำนวน 2 ลูกพร้อมกันจากกล่องใบนี้ จะหยิบลูกบอลที่จะได้ลูกบอกสีเเดงอ
ย่างน้อย 1 ลูก
วิธีทำ

13

เอกสารอ้างอิง

https://sites.google.com/a/tupr.ac.th/maths-thai-04/unit3/unit3-2
http://119.46.166.126/self_all/selfaccess11/m5/math5_2/more/item2
_1.php
https://www.trueplookpanya.com/knowledge/conten
t/63639/-blo-edu-otherknowledge-

14

Thyoaun!k