Rangkuman Materi Struktur Aljabar

Rangkuman Materi
Mata Kuliah :Struktur Aljabar

Dosen Pengampu : Linda Rosmery T, M.Si
Disusun oleh
Kelompok 7

Faris Mawanto 2003020019
Heryansyah 2003020060
Zamaludin 2003020044

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI TANJUNG

PINANG
2022

Pertemuan 9

Grup Permutasi

A. Fungsi-fungsi
a. Fungsi KOMPOSISI

Jika f dan g adalah suatu fungsi dengan : → dan : → , maka
terdapat suatu fungsi yang memetakan A ke C, artinya kita dapat
memetatakan A ke C melalui B dengan menggunakan fungsi f dan g.

Fungsi yang memetakan A ke C ini disebut Fungsi Komposit dan dapat
dituliskan sebagai ( ( )) =c

Dalam konteks terstruktur aljabar, kita menyebutkan fungsi ini sebagai
operasi perkalian fungsi, atau operasi komposisi fungsi. Komposisi
fungsi g dan f ini biasanya dinotasikan dengan ( dibaca g bundaran
f).

Teorema 2.1

Jika f dan g adalah fungsi bijektif dengan : → dan : → , maka
komposisi g dengan f , yaitu gf adalah suatu fungsi bijektif dari A ke C.

b. INVERS DARI FUNGSI

Jika : → adalah suatu fungsi. Invers dari elemen b di B dinotasikan
dengan −1( ), yaitu elemen x di A sehingga ( ) = .

Invers dari fungsi : → adalah −1: → dimana −1( ) = jika
dan hanya jika ( ) = .

Teorema 2.2

Jika : → adalah bijektif, maka invers dari f juga bijektif.

B. Permutasi
Definisi

Suatu permutasi pada A adalah suatu fungsi bijektif pada A. Untuk setiap
hhimpunan A, fungsi : → jelas suatu permutasi. Permutasi satuan ini
disebut juga permutasi trivial.

Setiap permutasi : → akan mempunyai invers −1: → yang juga
suatu permutasi karena setiap perutasi adalah fungsi bijektif.

Jika = { 1, 2, 3, . . . , }, maka suatu permutasi pada A dinotasikan
sebagai

1 1 … 1
= ( 1 2 … ),

Dimana ( 1, 2, … , ) suatu permutasi himpunan indeks {1,2, … , } dari
elemen A, dan ( ) = . untuk = 1,2, … ,

Untuk selanjutnya, agar lebih ringan dalam penulisan, simbol x dihilangkan

saja, sehingga himpunan indeks A ditulis {1,2, … , } dan permutasi pada

S daoat dituliskan sebagai:

= ( (11) 2 …
(2) … ( ) ),

Dimana ( (1), (2), … , ( )) merupakan suatu permutasi dari himpunan

{1,2, … , }.

Contoh 1 :

Permutasi pada himpunan A={1,2,3,4,5} dengan

1 → 4 1→4

2 → 3 2→3

3 → 2 cukup ditulis 3 → 2

4 → 1 4→1

5 → 5 4→1

Sehingga permutasi dapat disajikan sebagai

= ( (11) 2 3 4 5 )=( 1 2 34 5 ).
(2) (3) (4) (5) 4 3 21 5

Misalkan menyatakan himpunan semua permutasi pada himpunan A.
Karena setiap permutasi adalah fungsi bijektif, menurut teorema 2.1,
setiap komposisi dua permutasi juga bijektif, yang artinya setiap
komposisi dua permutasi di juga merupakan permutasi.

Oleh karena itu, operasi komposit adalah suatu operasi biner pada ,
Selanjutnya kita mengatakan operasi ini sebagai operasi perkalian dua
permutasi.

Contoh 2: Misalkan A= {1,2,3,4,5} dan didefinisikan permutasi dan
sebagai berikut:

= (41 2 3 4 5 ). = (1 2 3 4 5 ).
2 5 3 1 3 5 421

Ini berarti bahwa

(1) = 4, (2) = 2, (3) = 5, (4) = 3, (5) = 1

Dan

(1) = 3, (2) = 5, (3) = 4, (4) = 2, (5) = 1
Oleh karena itu,

( )(1) = ( (1)) = (3) = 5

Jadi, : 1 → 5

= (41 2 34 5 ) (1 2 3 4 5 )= (1 2 3 4 5
2 53 1 3 5 4 2 1 5 1 3 2 4 ).

Contoh 3: Misalkan A= {1,2,3}, maka semua permutasi pada A adalah

sebagai berikut:

123 123 123

1 = ( ) , 2 = ( ), 3 = ( )

123 231 321

123 123 123

1 = ( ) , 2 = ( ), 3 = ( )

132 321 231

Maka diperoleh himpunan = { 1, 2, 3, 1, 2, 3 }
Kemudian perhatikan permutasi 2 dan 3, maka diperoleh:

123 123 123

2 3 = ( ) ( ) = ( )

231 231 321

Operasi biner secara lengkap dapat disajikan dengan tabel Ceyley
berikut:

1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 1 2 3
2 2 3 1 3 1 2
3 3 1 2 2 3 1
1 1 2 3 1 2 3
2 2 3 1 3 1 2
3 3 1 2 2 3 1

( 2 3) 1 = 2 1= 3
2( 3 1) = 2 2 = 3

Jika adalah himpunan permutasi pada suatu himpunan. Dari beberapa
fakta diatas, kita menemukan beberapa hal, yaitu:

• Operasi komposit adalah suatu operasi biner pada , yang bersifat
asosiatif.

• Permutasi satuan pada A merupakan elemen identitas terhadap
operasi komposi

• Setiap permutasi memiliki invers.
• bersama operasi komposit memenuhi semua aksioma grup,

sehingga membentuk sebuah grup.

D. Grup Permutasi
Definisi

Grup permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu himpunan
permutasi dari A yang membentuk grup terhadap komposisi fungsi.

Teorema 2.3

Misalkan A adalah himpunan tak kosong. Jika adalah himpunan semua
permutasi pada A, maka membentuk grup terhadap operasi perkalian
permutasi(operasi komposit).

Bukti:

Misalkan A suatu himpunan tak kososng dan himpunan semua permutasi
pada A. Kita sudah mengetahui bahwa perkalian permutasi pada A
merupakan operasi biner pada . Selain itu, kita mengetahui bahwa
komposisi fungsi bersifat asosiatif.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa memiliki unsur identitas.

Permutasi satuan

: →

Merupakan elemen identitas di karena setiap permutasi di dan ∈
, berlaku

( )( ) = [ ( )] = ( ) = [ ( )] = ( )( ),

Sehingga

= =
Selanjutnya, andaikan ∈ , didefinisikan −1: → dengan −1( ) =
sehingga ( ) = seperti diperlihatkan pada gambar berikut.

A A

xa
−1

Oleh karena itu, untuk setiap ∈ , terdapat x∈ , sehingga −1( ) =
dan ( ) = .

Maka

−1( ) = [ −1( )] = ( ) = = ( )

( −1 )( ) = −1[ ( )] = −1( ) = = ( ).

Karena itu, −1 = = −1

Menurut teorema 2.2 , −1 ∈ . Dengan demikian, lengkap berlaku
aksioma untuk grup. Jadi, membentuk grup terhadap operasi perkalian
permutasi.

Contoh 4 :

Misalkan = {1,2,3}. Maka menurut Teorema 2.3,

= { 1, 2, 3, 1, 2, 3} membentuk sebuah grup, berdasarkan tabel 2.1,
jelas terlihat bahwa 1 merupakan elemen identitas, 2 3 saling
invers satu sama lain, dan setiap , inversnya adalah dirinya sendiri.
Selain itu, grup permutasi tidak abelian.

Tabel 2.1
1 2 3 1 2
2 3 1 3 1 2
3 1 2 2 3 1
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 1 2
3 1 2 2 3 1

1. Siaft-sifat grup permutasi
• Sifat refleksi : jika ≡ = 0 =
• Sifat simetris : jika ≡ =
. , − ℎ =
− ≡
• Sifat transitif : jiak ≡ ≡ =
. = = ( ) = ( + ), ≡

2. Grup Simetri

Misalkan A adalah himpunan berhingga = {1,2, … , }. Grup dari
semua permutasi pada A, yaitu , disebut grup simetri derajatn,
dinotasikan dengan . Grup memiliki n! elemen, dimana:

n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1).
Contoh 8 :
Jika = {1,2,3}, maka 3 adalah grup simetri derajat 3 yang
memiliki 3! = 6 elemen, yaitu 1, 2, 3, 1, 2, 3

3. Pangkat Permutasi
Misalkan grup permutasi. Jika ∈ , maka juga memuat
yang dinotasikan dengan 2, secara umum, memuat untuk
∈ +, dimana



= … = ( )
Selanjutnya, tentu memuat −1, sehingga −1 −1, yang
dinotasikan dengan −2, lebih lanjut, memuat



− = −1 −1 −1 … −1 = ( −1)

Untuk setiap ∈ +.

Misalkan 1 identitas di , didefinisikan 0 = 1 = −1 =

−1 , sehingga secara umum dapat dikatakan bahwa, jika suatu

grup memuat elemen , maka juga memuat untuk setiap

∈ .

Contoh 9 :

Misalkan = (13 2 3 4 ), maka
1 2 4
3 = (13213244) (13213244) (13213244) = (12233144) (13213244)
1234
=( )
1234

4. Notasi Putaran/lingkaran (Cycle Notation)

Selain notasi matriks seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya,

permutasi dapat dinyatakan dalam notasi putaran (cycle notation).

Perhatikan permutasi berikut:

= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 )
3 7 6 1 8 4 2 5

Di 8 ℎ

Oleh karenanya dapat ditulis sebagai

= (1,3,6,4)(2,7)(5,8)
Notasi dalam bentuk barisan seperti (1,3,6,4)(2,7) (5,8) sesebut
sebagai notasi lingkaran

Contoh 5:

Notasi lingkaran = (1,4,6,8) di 8 berarti memetakan 1 ke 4, 4 ke 6,

6 ke 8 dan 8 ke 1, dan memetakan unsur yang lain kedirinya sendiri.

Sehingga dapat ditulis menjadi

= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 )
4 2 3 6 5 8 7 1

Contoh 6:

Tulislah

= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 )
3 4 5 6 1 8 7 2

Di 8 dalam notasi lingkaran
Perhatikan bahwa oleh permutasi

Jadi = (1,3,5)(2,4,6,8)(7)
Catatan:

• Bila setiap unsur dari A = {1,2,…,n} hanya terdiri dari satu digit,
maka lingkaran ( 1, 2,…, ) ditulis ( 1 2 … ) tanpa memakai tanda
koma.

• Bila terdapat satu 1-lingkaran dalam penulisan biasanyadihilangkan
. Sebagai contoh = (135)(2468)(7) ditulis menjadi
(135) (2468) saja. Jadi bila terdapat satu unsur yang tidak muncul
dalam notasi lingkaran, maka hal itu berqrti unsur tersebut dipetakan
ke dirinya sendiri.

5. Mencari Invers
Contoh 7 :
Tulislah unsur kebalikan dari = (147)(265) di 9 dalam notasi
lingkaran

= (147)(265)

= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
4 6 3 7 2 5 1 89

ℎ

−1= ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
7 5 3 1 6 2 4 89

= (174) (256)

Untuk lebih ringkasnya, perhatikan bahwa
= (147)(265) berarti

Pertemuan 10
Koset dan Teorema Lagrange

A. Koset

Bila H subgrup dalam grup G, untuk sebarang a dalam G, maka himpunan =
{ ℎ /ℎ } disebut koset kanan dari H dalam G. Koset kiri dinyatakan dengan =
{ ℎ/ℎ } yaitu unsur h dikatakan dari kiri dengan a.

B. Lemma Sifat-sifat dari Koset

Misalkan H adalah subgrup dari G, dan misalkan dan ∈ . Maka,

1. ∈
2. = jika dan hanya jika ∈
3. ( ) = ( ) dan ( ) = ( )
4. = jika dan hanya jika ∈
5. = atau ∩ ≠ ∅
6. = jika dan hanya jika −1 ∈
7. | | = | |
8. = jika dan hanya jika = −1
9. adalah subgrup dari G jika dan hanya jika ∈

C. Teorema Lagrange

Misalkan G sebarang grup berhingga dan S subgrup dari G, maka orde dari S membagi
habis orde dari G.

Keterangan:

i. Himpunan dan dinamakan koset kiri dari S.
ii. Dinamakan koset kiri karena anggota a dan b berada di kiri. Dengan definisi
= { | dalam }.

iii. Karena = maka berarti S merupakan koset kiri juga.
iv. Jika ≠ maka tidak mengandung identitas e.

v. Di samping itu juga terdapat koset kanan = { | dalam }.
Dalam notasi penjumlahan, koset kiri ditulis sebagai + = { + | dalam }.
Teorema (Teorema Lagrange)
Jika G grup terhingga dan H subgroup dari G maka |H| membagi |G|.
Selain itu, jumlah koset kiri (kanan) H dalam G yang berbeda adalah |G| / |H|.
Bukti:
Misalkan _1 , _2 , … . . , _ menunjukkan koset kiri yang berbeda dari H dalam G.
Kemudian, Untuk setiap a di G, kita peroleh Af = 1 untuk suatu i. berdasarkan sifat 1 dari
lemma, . Dengan demikian, setiap anggota G mempunyai salah satu dari koset 1 . Dapat
disimbolkan,

= 1 … . .
Sekarang, sifat 5 dari sifat lemma menunjukkan bahwa gabungan disjoint, sehingga

| | = | 1 | + | 2 | + ⋯ + | |.
Karena | | = | | untuk setiap I, maka |G| = r|H|.

Corollary 1 |G:H| = |G|/|H|
Jika G adalah grup berhingga dan H adalah subgroup dari G, maka |G:H| = |G|/|H|.

Corollary 2 |a| membagi |G|

Dalam grup berhingga, order setiap elemen grup membagi order grup.

Bukti:
Ingatlah bahwa order dari suatu elemen adalah order dari subgrup yang dihasilkan oleh elemen
tersebut.

Corollary 3 Groups of Prime Order Are Cyclic
Suatu grup dari order prima adalah siklik

Bukti:

Andaikan G memiliki order prima. Misalkan dan ≠ . Selanjutnya, |(a)| membagi |G| dan
|(a)| ≠ 1. Jadi, |(a)| = |G| dan akibatnya mengikut.
Corollary 4 | | = e

Misalkan G adalah suatu grup berhingga, dan misalkan . Maka, | | = e.

Bukti:
Berdasarkan corollary 2, |G| = |a|k untuk beberapa bilangan bulat positif k. maka, | | =
| | = = e

Corollary 5 Fermat’s Little Theorem
Untuk setiap bilangan bulat a dan setiap bilangan prima p, = .

Bukti:

Berdasarkan algoritma pembagian, a = pm + r, dimana 0 ≤ < . Jadi, = , dan itu sudah
cukup untuk membuktikan bahwa = . Jika r = 0, hasilnya trival, jadi kita dapat
berasumsi bahwa ( ). Kemudian, berdasarkan corollary sebelumnya, −1 = 1 dan
oleh karena itu, = .

Teorema | | = | || |/| ∩ |

Untuk dua subgrup berhingga H dan K dari suatu grup, mendefinisikan suatu himpunan =
{ℎ |ℎ ∈ , ∈ }. Sehingga | | = | || |/| ∩ |

Bukti:
Meskipun himpunan HK memiliki | || | hasil kali, tidak semua hasil kali ini perlu

mewakili elemen kelompok yang berbeda. Artinya, kita mungkin punya ℎ = ℎ′ ′ dimana ℎ ≠ ℎ′
dan ≠ ′. Untuk menentukan | |, kita harus menemukan sejauh mana ini terjadi. Untuk setiap
t di ∩ , hasil kali ℎ = (ℎ )( −1 ), sehingga setiap elemen grup di HK diwakili oleh setidaknya
| ∩ | hasil kali di HK. Tetapi ℎ = ℎ′ ′ menunjukan = ℎ−1ℎ′ = ′−1 ∈ ∩ , sehingga ℎ′ =
ℎ dan ′ = −1 . Dengan demikian, setiap elemen di HK diwakili oleh tepat | ∩
| hasil kali. Jadi, | | = | || |/| ∩ |.

Teorema Classification of Groups of Order 2p

Misalkan G grup dari order 2p, dimana p adalah bilangan prima lebih besar dari 2. Kemudian G
adalahisomorfik hingga 2 atau .

Bukti:

Kita asumsikan bahwa G tidak memiliki elemen dari order 2p dan menunjukkan bahwa
≈ . Kita mulai dengan terlebih dahulu menunjukkan bahwa G harus memiliki unsur dari order
p. Berdasarkan asumsi dan Teorema Lagrange, setiap elemen non-identitas G harus memiliki order
2 atau p. Dengan demikian, untuk membuktikannya, kita dapat mengasumsikan bahwa setiap
elemen non-identitas G memiliki order 2. Dalam hal ini, kita memperoleh untuk semua a dan b
dalam grup = ( )−1 = −1 −1 = , sehingga G adalah Abelian. Kemudian, untuk elemen
non-identitas , ∈ dengan ≠ , himpunan {e, a, b, ab} tertutup dan oleh karena itu merupakan
subgrup dari G order 4. Karena ini bertentangan dengan Teorema Lagrange, kita telah
membuktikan bahwa G harus memiliki elemen dari order p; yang disebut a.

Sekarang misalkan b menjadi elemen apa pun yang tidak ada dalam ⟨ ⟩. Kemudian
berdasarkan Teorema Lagrange dan asumsi bahwa G tidak memiliki elemen order 2p, kita peroleh
| | = 2 atau p. Karena |⟨ ⟩ ∩ ⟨ ⟩| membagi |⟨ ⟩| = dan ⟨ ⟩ ≠ ⟨ ⟩ kita peroleh |⟨ ⟩ ∩ ⟨ ⟩| = 1.
Tetapi setelah itu | | = 2, sebaliknya, berdasarkan Teorema 7.2 |⟨ ⟩⟨ ⟩| = | || | = 2 > 2 =
| |, yang tidak mungkin. Jadi, setiap elemen G yang tidak dalam ⟨ ⟩ memiliki order 2.

Pertimbangkan berikutnya adalah ab. Karena ∉ ⟨ ⟩, argumen di atas menunjukkan
bahwa | | = 2. Kemudian = ( )−1 = −1 −1 = −1. Selain itu, relasi ini sepenuhnya

menentukan tabel perkalian untuk G.[Misalnya, 3( )4 = 2( ) 4 = 2( −1) 4 =
( ) 3 = ( −1) 3 = ( ) 2 = ( −1) 2 = ]. Karena tabel perkalian untuk semua grup non-
siklik order 2p secara unik ditentukan oleh hubungan = −1, semua grup non-siklik order2p
harus saling isomorfik. Tapi tentu saja, , grup dihedral order 2p, adalah salah satu grup tersebut.

Contoh
Misalkan = {0, 3, 6} dalam Z9 terhadap penjumlahan. Dalam kasus ini operasi grup adalah
penjumlahan, kita gunakan notasi + sebagai pengganti dari aH. Maka koset dari H dalam Z9
adalah

0 + = {0,3,6}
1 + = {1,4,7}
2 + = {2,5,8}
3 + = {3,6,9} = {3,6,0} = {0,3,6}
4 + = {4,7,10} = {4,7,1} = {1,4,7}
5 + = {5,8,11} = {5,8,2} = {2,5,8}
6 + = {6,9,12} = {6,0,3} = {0,3,6}
7 + = {7,10,13} = {7,1,4} = {1,4,7}
8 + = {8,11,14} = {8,2,5} = {2,5,8}
Maka hal ini sama dengan,
0 + = {0,3,6} = 3 + = 6 +
1 + = {1,4,7} = 4 + = 7 +
2 + = {2,5,8} = 5 + = 8 +H

Pertemuan 11
Koset dan Teorema Lagrange

A. Koset

Suatu jenis kompleks dari suatu grup disebut koset dari suatu subgrup dalam grupnya.

Definisi 8.1:
Misalkan H suatu subgrup dari grup G dan a suatu elemen dari G, maka:

i. = {ℎ |ℎ } disebut koset kanan dari H dalam G.
ii. = { ℎ |ℎ } disebut koset kiri dari H dalam G.

Karena H suatu subgrup dari G, maka (e elemen identitas), sehingga = {ℎ |ℎ } = dan
= { ℎ |ℎ } = . Ini berarti H merupakan suatu koset kanan atau koset kiri dari H. Demikian
pula, karena , maka yaitu dan , yaitu . Ini berarti aH maupun Ha
memuat sekurang-kurangnya satu elemen. Dengan kata lain, tak ada koset kiri atau koset kanan yang
merupakan himpunan kosong. Apabila G suatu grup abelian, maka mudah dimengerti bahwa setiap
koset kiri dari suatu subgrup merupakan koset kanan dari subgrup itu.

Contoh :

1. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi perkalian mod 7 adalah suatu grup dan = {1, 6}
merupakan subgrup dari G. Koset kanan-koset kanan dari H dalam G adalah 1 = 6 = ,

2 = {1 2, 6 2} = {2, 5} = 5 dan
3 = {1 3, 6 3} = {3, 4} = 4

Jadi koset kanan-koset kanan dari H dalam G adalah H, H2 dan H3. Tampak disini bahwa H, H2, dan
H3 membentuk suatu partisi pada G, yaitu ∪ 2 ∪ 3 = dan irisan setiap dua koset kanan
itu adalah suatu himpunan kosong.

2. 3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, yaitu grup simetri tingkat 3 dan = {(1), (2 3)}
adalah subgrup dari 3. Koset kanan-koset kanan dari H dalam 3 adalah
(1) = (2 3) =
(1 2) = {(1) ∘ (1 2), (2 3) ∘ (1 2)} = {(1 2), (1 3 2)} = (1 3 2)
(1 3) = {(1) ∘ (1 3), (2 3) ∘ (1 3)} = {(1 3), (1 2 3)} = (1 2 3)
Jadi koset kanan-koset kanan dari H dalam 3 adalah H, H(1 2) dan H(1 3). Perhatikan bahwa
koset kanan-koset kanan dari H dalam 3 ini membentuk suatu partisi pada 3.
Sedangkan koset kiri-koset kiri dari H dalam 3 adalah
(1) = (2 3) =
(1 2) = {(1 2) ∘ (1), (1 2) ∘ (2 3)} = {(1 2), (1 2 3)} = (1 2 3)
(1 3) = {(1 3) ∘ (1), (1 3) ∘ (2 3)} = {(1 3), (1 3 2)} = (1 3 2)
jadi koset kiri-koset kiri dari H dalam 3 adalah H, (1 2)H, dan (1 3)H. Koset kiri- koset kiri dari
H dalam 3 inipun membentuk suatu partisi pada 3. Perhatikan bahwa (1 2) ≠ (1 2)
dan (1 3) ≠ (1 3) . Hal ini karena 3 bukan grup abelian.

3. Misalkan (B,+) adalah grup bilangan bulat dengan penjumlahan dan = {4 | } =
{… , −8, −4, 0, 4, 8, … } adalahan suatu subgrup dari B, maka koset kanan- koset kanan dari M
dalam B adalah
+ 0 = {4 + 0 | } = = + 4 = + 8 = + (−4) = ⋯
+ 1 = {4 + 1 | } = {… , −7, −3, 1, 5, 9, … } = + (−3) = + 5 = ⋯
+ 2 = {4 + 2| } = {… , −6, −2, 2, 6, 10, … } = + (−2) = + 6 = ⋯
+ 3 = {4 + 3 | } = {… , −5, −1, 3, 7, 11, … } = + (−1) = + 7 = ⋯

Jadi koset kanan-koset kanan dari M dalam B adalah M, M + 1, M + 2, dan M +3. Koset kanan-koset
kanan dari Mdalam B inipun membentuk suatu partisi dalam B.

Pada contoh-contoh diatas, apabila suatu elemen diambil dari subgrup, maka koset kanan atau koset
kiri dari subgrup untuk elemen itu sama dengan subgrup itu pula. Hal ini dinyatakan dalam teorema
berikut ini.

Teorema 8.1:

Jika H subgrup dari G, maka ∀ berlaku jika dan hanya jika = .

Bukti:

Dibuktikan jika , maka =

Ambil sembarang , maka = ℎ untuk suatu h . Karena dan ℎ serta H subgrup
dari G, maka ℎ . Sehingga . Hal tersebut menunjukkan ⊂ .

Ambil sembarang , karena dan H subgrup, maka −1 sehingga −1 . Akibatnya
( −1) = . Jadi ⊂ .

Dengan demikian terbukti = .

Sebaliknya karena H suatu subgrup, maka sehingga = . Selanjutnya, karena =
, maka .

Perhatikan lagi tiga contoh 8.1 diatas. Jika suatu elemen merupakan anggota dari suatu koset kanan,
maka koset kanan untuk elemen tersebut sama dengan koset kanan itu sendiri. Hal ini dinyatakan
sebagai teorema berikut ini.

Teorema 8.2:

Jika H subgrup dari grup G, maka ∀ , berlaku

⟺ = ⟺ −1

Bukti:

Untuk membuktikan teorema ini ditempuh 3 tahap pembuktian, yaitu:

(1) ⟺ =
Karena maka = ℎ untuk suatu ℎ .
Ambil sembarang , maka
= ℎ1 untuk suatu ℎ1
= ℎ1(ℎ ) karena b = ha

= (ℎ1ℎ)
Karena h, ℎ1 , dan H subgrup, maka ℎ1ℎ , sehingga (ℎ1ℎ) atau . Hal ini

menunjukkan bahwa ⊂ .
Ambil sembarang , maka
= ℎ2 untuk suatu ℎ2
= ℎ2(ℎ−1 ) karena b = h, maka ℎ−1 =

= (ℎ2ℎ−1)
Karena ℎ dan H subgrup, maka ℎ−1 dan karena ℎ2 , maka ℎ2ℎ−1 ∈ , sehingga

(ℎ2ℎ−1) ∈ atau ∈ . Uraian ini menunjukkan bahwa ⊂ .
Karena ⊂ dan ⊂ maka = .

(2) = ⟺ −1
H subgrup, maka , sehingga = dan karena = , maka . Ini berarti ada

suatu ℎ3 , sedemikian hingga
= ℎ3
−1 = (ℎ3 ) −1
−1 = ℎ3
Selanjutnya karena ℎ3 , maka −1 .

(3) −1 ⟹
Jika −1 , maka −1 = ℎ3, ntuk suatu ℎ3 .
Perhatikan bahwa

−1 = ℎ3
ℎ3−1( −1) = ℎ3−1ℎ3
(ℎ3−1 )( −1 ) = (ℎ3−1ℎ3)
ℎ3−1 =
Karena ℎ3 dan H subgrup, maka ℎ3−1 , sehingga ℎ3−1 dan karena
ℎ3−1 = maka .
Definisi 8.2:

Misalkan H subgrup dari grup G dan a,bϵG, a ≡ b (mod H) dibaca “a kongruen dengan b modulo H”
jika dan hanya jika a b-1ϵ H.

Definisi ini merupakan definisi perluasan dari kekongruenan modulo m untuk bilangan-bilangan
bulat, yaitu: Jika m suatu bilangan bulat positif a,bϵG dan, maka a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika
(a - b) suatu kelipatan dari m atau a – b = km untuk sustu bilangan bulat k.

Dalam teori Bilangan relasi kekongruenan itu telah dibuktikan merupakan relasi ekuivalen sehingga
mengakibatkan terbentuknya partisi himpunan dalam bilangan bulat B. Dengan definisi 8.2 diatas kita
akan menunjukan bahwa relasi kongruen tersebut juga merupakan relasi ekuivalen yang
mengakibatkan terbentuknya partisi dalam grup G.

Karena H subgrup dari grup G, maka ∀a ϵ G, aa-1 = e ϵ H. Ini berarti a ≡ a (mod H). Jadi relasi ini
memenuhi sifat refleksif.

Jika a ≡ b (mod H), yaitu ab-1ϵ H dan H subgrup dari G, maka ( ab-1)-1ϵ H dan karena ( ab-1)-1 = ba-1,
maka ba-1ϵ H yang berarti b ≡ a (mod H). Jadi relasi ini memenuhi sifat simetrik.

Jika a ≡ b (mod H) dan b ≡ c (mod H), yaitu ab-1ϵ H dan bc-1ϵ H, dan karena H subgrup dari G, maka
( ab-1) ( bc-1) ϵ H dan karena ( ab-1) ( bc-1) =a( b-1b) c-1 =ac-1, maka ac-1ϵ H yang berarti a ≡ c (mod H).
Jadi relasi “≡” memenihi sifat transitif.

Karena memenuhi tiga sifat tersebut, maka relasi kongruen mod H dalam G merupakan relasi
ekuivalen. Akibatnya terbentuk partisi dalam grup G, yang setiap himpunan bagian dari G oleh partisi
itu merupakan kelas ekuivalensi. Selanjutnya kita akan menunjukan bahwa kelas ekuivalen [a], yaitu
himpunan elemen – elemen G yang kongruen modulo H dengan a, sama dengan koset kanan dari H
untuk a, yaitu Ha.

[ ] = { | ≡
( )}

= { ℎ | ℎ }, harus dibuktikan bahwa [a] = Ha

Ambil sembarang x ϵ [a], maka x ≡ a (mod H), yaitu xa-1 ϵ H . Sehingga xa-1 = h, untuk suatu h ϵ H.
Karena xa-1 = h, maka x = ha. Ini berarti x ϵ Ha.

Uraian itu menunjukan bahwa [a] ⊂ Ha.

Ambil sembarang y ϵ Ha, maka y = ka untuk suatu k ϵ H. Sehingga ya-1 = k. Ini berarti bahwa ya-1 ϵ
H, yang berarti y ≡ a (mod H). Jadi y ϵ [a]. Hal ini menunjukan Ha ⊂ [a] . Akhirnya disimpulkan
bahwa [a] = Ha.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa koset kanan – koset kanan dari H dalam grup G
membentuk suatu partisi dalam G. Berarti gabungan dari semua koset kanan dari H sama dengan G
dan irisan dari setiap dua koset kanan sama dengan himpinan kosong.

Selanjutnya, kita akan menunjukan bahwa ada korespondensi satu – satu antara dua koset kanan
sembarang. Misalkan H subgrup dari grup G dan a,b ϵ G. Ha dan Hb adalah dua koset kanan dari H
dalam G. Kita akan menunjukan bahwa Ha ∼ Hb.

Dibentuk pemetaan f :Ha → Hb yang didefinisikan oleh f(ha) = hb, untuk setiap h ϵ H. Pemetaan ini
satu-satu, sebab jika h1a, h2a ϵ Ha, sedemikian hingga f(h1a) = f(h2a), maka h1b =h2b, sehingga h1 = h2
dan h1a = h2a. Jika hb ϵ Hb, maka h ϵ H sehingga ha ϵ Ha dan menurut definisi f(ha) =hb.Ini berarti
f suatu pemetaan onto. Jadi f suatu korespondensi satu-satu. Karena Ha∼Hb dan jika G suatu grup
finite (berhingga), maka ◦ (Ha) = ◦ (Hb), yaitu banyaknya elemen Ha sama dengan banyaknya elemen
Ha. Hal ini mengarahkan kita pada teorema berikut ini.

B. TEOREMA LAGRANGE

Teorema 8.3: (Teorema Lagrange)

Apabila H subgrup dari grup berhingga G, maka ◦ (H)|◦ (G).

Bukti :

Karena H subgrup dari grup berhingga G, maka H suatu himpunan berhingga pula, karena G
berhingga, maka banyaknya koset kanan dari H berhingga pula, misalkan k, katakan koset kanan-
koset kanan dari H tersebut adalah Ha1, Ha2, Ha3,...Hak.

Koset kanan – koset kanan ini membentuk partisi dalam G, yaitu G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ ... ∪ Hak dan Hai
∩ Haj =Ǿ untuk i ≠ j.

Misal ◦ (H) = n dan telah dibuktikan di atas bahwa Hai ∼ Haj, maka ∀i = 1,2,...,k, ◦ (Hai) = n.Sehingga
◦ (G) = kn atau ◦ (G) = k ◦ (H) .

Jadi ◦ (H)|◦ (G).

Definisi 8.3:

Misalkan H subgrup dari G, maka banyaknya koset kanan (kiri) dari H dalam G disebut indeks dari H
dalam G dan dinyatakan dengan simbol iG(H). Himpunan semua koset kanan (kiri) dari H dalam G
dinyatakan dalam simbol G/H.

Contoh soal :

1. Misalkan S3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, yaitu grup simetrik tingkat 3 dan H = {(1), (1
2)} subgrup dari S3. Tuliskan semua elemen dari 3⁄ dan berapakah indeks dari H dalam S3 ?

2. Pertanyaan seperti no 1 untuk H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}.

Jawaban :

1. (1) = (1 2) =
(1) = {(1) ∘ (1), (1 2) ∘ (1)} = {(1), (1 2)} = (1 2)
(1 2) = {(1) ∘ (1 2), (1 2) ∘ (1 2)} = {(1 2), (1 2)} = (1 2)

Jadi elemen dari 3⁄ adalah H, H(1) dan H(1 2)
Dan indeks dari H dalam 3 adalah 3.

2. (1) = (1 2 3) = (1 3 2) =
(1) = {(1) ∘ (1), (1 2 3) ∘ (1), (1 3 2) ∘ (1)} = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} =
(1 2) = {(1) ∘ (1 2), (1 2 3) ∘ (1 2), (1 3 2) ∘ (1 2)} = {(1 2), (1 3 2), (1 2 3)} =
(1 3) = {(1) ∘ (1 3), (1 2 3) ∘ (1 3), (1 3 2) ∘ (1 3)} = {(1 3), (1 2 3), (1 3 2)} =

Jadi elemen dari 3⁄ adalah H, H(1), H(1 2) dan H(1 3)
Dan indeks dari H dalam 3 adalah 4.

Contoh soal :

1.
Bukti :

Jika a sebarang anggota G maka mempunyai orde membagi p karena p prima maka a mempunyai orde 1
atau p.

Tetapi karena hanya anggota identitas yang mempunyai orde 1 maka untuk ≠ .

Berarti G itu siklik

Karena G siklik dan memunyai orde p maka ≡

2. − 4

Penyelesaian:

4 = {0,1,2,3} , merupakan grup terhadap penjumlahan modulo 4.
Grup bagian yang dibangun oleh elemen − elemen dalam Z4 adalah

(0) = { . 0 | ∈ } = {0}

{0.0} = 0

{1.0} = 0

{2.0} = 0

{3.0} = 0

(1) = { . 0 | ∈ } = {0,1,2,3}

{0 . 1} = 0

{1 . 1} = 1

{2 . 1} = 2

{3 . 1} = 3

(2) = { . 2| ∈ } = {0,2}

{2 . 0} = 0
{2 . 1} = 2
{2 . 2} = 4 → 0

{2 . 3} = 6 → 2

(3) = { . 3| ∈ } = {0,3,2,1)

{3 . 0 } = 0

{3 . 1} = 3

{3 . 2} = 6 → 2

{3 . 3} = 9 → 1

Hal itu berarti bahwa elemen mempunyai order 1, elemen 1 dan 3 mempunyai order 4 dan elemen 2
mempunyai 2 order sehingga grup tersebut siklik karena ada elemen dalam Z4 yang mempunyai 4 order
yaitu elemen 1 dan 3. Grup bagian dari {0}, {0,2} dan Z4 yang berturut-turut mempunyai order 1,2 dan
4.

Pertemuan 12
Subgrup Normal

A. Definisi sub grup normal
Pertama : Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup
normal dari G bila ℎ −1 ∈ untuk setiap ∈ dan ℎ ∈ .

Kedua: Misalkan H adalah suatu grup normal dari grup G, maka setiap koset kiri dari H
dalam G juga merupakan koset kanannya ( = ).

Dari definisi di atas dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu subrup H adalah
subgrup normal dari grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset kiri dan H dalam
G sama dengan koset-koset kanan dari H dalam G ( = ).

B. Teorema-teorema
a. Teorema 1
Apabila H subgrup dari G, maka ∆ jika dan hanya jika untuk setiap ∈ dan
untuk setiap ℎ ∈ , ℎ −1 ∈ .
Bukti:
Misalkan ∆ maka = , untuk setiap ∈ , sehingga ℎ −1 = .
Apabila ℎ ∈ , maka ℎ −1 ∈ ℎ −1, sehingga ℎ −1 ∈ , untuk setiap
∈ . Sebaliknya, apabila untuk setiap ∈ dan untuk setiap ℎ ∈ ,
ℎ −1 ∈ , maka ℎ −1 ( ) ∈ , yaitu ℎ ∈ . Karena ℎ ∈ , maka
ℎ < . Dari ℎ −1 ∈ , untuk setiap ∈ , karena −1 ∈ , maka
−1ℎ ∈ , sehingga g( −1ℎ ) ∈ , yaitu ℎ ∈ . Tetapi, karena
ℎ ∈ , maka < . Jadi = .

b. Teorema 2

Apabila H subgrup dari G, maka ∆ jika dan hanya jika hasil kali setiap dua koset

kanan (kiri) dan H dalam G merupakan koset kanan (kiri) dan H dalam G juga.

Bukti:

Misalkan ∆ , maka = dan = ℎ, untuk setiap , ∈ .

( )( ) = ( )

=

= ( )

= , karena H subgrup dari G

Karena , ∈ , maka ∈ . Sehingga ∈ / , yaitu suatu koset

karena dari H dalam G. sebaliknya ambil sembarang (ℎ1 )(ℎ2 ) ∈ ( )( )

dengan ℎ1, ℎ2 ∈ dan (ℎ1 )(ℎ2 ) = (ℎ1 ℎ2 −1) = ℎ3 , maka ℎ2 −1 ∈

untuk ∈ , ini berarti H subrup normal dari G.

c. Teorema 3
Jika G suatu grup berhingga dan H subgrup dari G , maka o ( / ) =o /o .
Bukti:
o ( / ) = i ( ), yaitu banyaknya koset kanan dari H dalam G. Menurut
teorema langrange, karena G grup berhingga dan H subgrup dari G, maka
o ( )| o ( ), maka o ( / ) =o /o .

Contoh Soal:
1. Misalkan ( , +) = 6 = {0,1,2,3,4,5} adalah suatu grup dan = {0,2,4} adalah

merupakan subgrup dari G. Tunjukkan apakah H termasuk subgrup normal dari G
atau bukan?
Jawab:

( , +) = 6 = {0,1,2,3,4,5}, generatornya 0,1,2,3,4 5
Koset kiri:

0 + = 0 + {0,2,4} = {0,2,4}
1 + = 1 + {0,2,4} = {1,3,5}
2 + = 2 + {0,2,4} = {2,4,0}
3 + = 3 + {0,2,4} = {3,5,1}
4 + = 4 + {0,2,4} = {4,0,2}
5 + = 5 + {0,2,4} = {5,1,3}
Koset kanan:
+ 0 = {0,2,4} + 0 = {0,2,4}
+ 1 = {0,2,4} + 1 = {1,3,5}
+ 2 = {0,2,4} + 2 = {2,4,0}
+ 3 = {0,2,4} + 3 = {3,5,1}
+ 4 = {0,2,4} + 4 = {4,0,2}
+ 5 = {0,2,4} + 5 = {5,1,3}
Sehingga:
0 + = + 0 = {0,2,4}
1 + = + 1 = {1,3,5}
2 + = + 2 = {2,4,0}
3 + = + 3 = {3,5,1}
4 + = + 4 = {4,0,2}
5 + = + 5 = {5,1,3}

Maka: koset kiri = koset kanan

Sehingga: subgrup dari H = {0,2,4} merupakan subgrup normal

2. < , +> merupakan grup, dapat ditunjukkan bahwa < 3 , +> subgrup normal
dari < , +>

Jawab:
Koset-koset kiri dari 3 adalah :
0 + 3 = {⋯ , −6, −3,0,3,6, ⋯ } = 3
1 + 3 = {⋯ , −5, −2,1,4,7, ⋯ }
2 + 3 = {⋯ , −4, −1,2,5,8, ⋯ }
3 + 3 = {⋯ , −6, −3,0,3,6, ⋯ } = 0 + 3 = 3
(−1) + 3 = {⋯ , −4, −1,2,5,8, ⋯ } = 2 + 3

Dan seterusnya sehingga hanya ada 3 koset kiri yaitu 0 + 3 ; 1 + 3 ; dan 2 +3z atau = {0 + 3 ,
3

1 + 3 , 2 + 3 } =Himpunan semua bilangan modulo 3.

Pertemuan 13
Subgrup Normal

1.1 DEFINISI SUBGROUP NORMAL
❖ Definisi 1
Suatu Subgrup H dari Grup G disebut Subgrup Normal, jika = , ∀ ∈ , yakni jika
Koset Kiri dan Kanan dari H sama.

Contoh 1:
< , +> merupakan grup, tunjukkan bahwa < 3 , +> subgrup normal dari < , +>.

Penyelesaian:
Koset-koset kiri dari 3 adalah:

0 + 3 = {… , −6, −3, 0, 3, 6, … } = 3
1 + 3 = {… , −5, −2, 1, 4, 7, … }
2 + 3 = {… , −4, −1, 2, 5, 8, … }

3 + 3 = {… , −6, −3, 0, 3, 6, … } = 0 + 3 = 3
1 + 3 = {… , −5, −2, 1, 4, 7, … }

(−1) + 3 = {… + −4, −1, 2, 5, 8, … } = 2 + 3

Dan seterusnya sehingga hanya ada 3 koset kiri yaitu 0 + 3 ; 1 + 3 ; dan 2 + 3 atau =
3

{0 + 3 , 1 + 3 , 2 + 3 } = Himpunan semua bilangan bulat modulo 3.

Contoh 2:
Misalkan = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dengan perkalian 7 adalah grup.
Dan = {1, 2, 4} adalah subgrup dari .
Carilah semua koset kanan dan kiri dalam serta tentukan apakah subgrup normal

dari atau bukan?

Penyelesaian:
Koset kiri:

1 = 1. {1, 2, 4} = {1, 2, 4}

2 = 2. {1, 2, 4} = {2, 4, 1}
3 = 3. {1, 2, 4} = {3, 6, 5}
4 = 4. {1, 2, 4} = {4, 1, 2}
5 = 5. {1, 2, 4} = {5, 3, 6}
6 = 6. {1, 2, 4} = {6, 5, 3}

Koset kanan:

1 = {1, 2, 4}. 1 = {1, 2, 4}
2 = {1, 2, 4}. 2 = {2, 4, 1}
3 = {1, 2, 4}. 3 = {3, 6, 5}
4 = {1, 2, 4}. 4 = {4, 1, 2}
5 = {1, 2, 4}. 5 = {5, 3, 6}
6 = {1, 2, 4}. 6 = {6, 5, 3}

Sehingga:

1 = 1 = {1, 2, 4}
2 = 2 = {2, 4, 1}
3 = 3 = {3, 6, 5}
4 = 4 = {4, 1, 2}
5 = 5 = {5, 3, 6}
6 = 6 = {6, 5, 3}

Karena koset kiri = koset kanan, maka: Subgrup = {1, 2, 4} merupakan Subgrup Normal
dari .

❖ Teorema 1
Suatu Subgrup N dari G merupakan subgrup normal dari G jika dan hanya jika −1 =
, ∀ ∈ .
Ada dua pernyataan di atas yang perlu dibuktikan yaitu:

1. Jika N subgrup normal dari grup G maka −1 = , ∀ ∈ .
2. Jika −1 = , ∀ ∈ , maka N subgrup normal dari grup G.

Bukti:
1. Jika N subgrup normal dari grup G maka −1 = , ∀ ∈ .
N subgrup normal dari G menurut definisi subgrup normal maka = , ∀ ∈ .
Dari = berarti = , ∀ ∈

= , ∀ ∈
−1 = −1, ∀ ∈

−1 = , ∀ ∈
−1 = , ∀ ∈
−1 = , ∀ ∈

Terbukti jika N subgroup normal dari grup G maka −1 = , ∀ ∈

2. Jika −1 = , ∀ ∈ , maka N subgrup normal dari grup G.
−1 =

−1 =
=

= ( = , ∀ ∈ = = , ∀ ∈

Karena = , ∀ ∈ , maka N merupakan subgroup normal dari grup G.
Terbukti jika −1 = , ∀ ∈ , maka N subgrup normal dari grup G.
Dari Teorema di atas −1 = dapat diartikan −1ϲ dan ϲ −1.

Contoh 3:
Dari contoh sebelumnya G himpunan semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan

biasa, dan N himpunan semua bilangan bulat genap, diperoleh bahwa N merupakan
subgrup dari G. apakah N subgrup normal dari G?

Penyelesaian:
Akan ditunjukkan ∀ ∈ , dan ∀ ∈ berlaku −1 ∈ .
Ambil ∈ dan ∈ sebarang
Kita ketahui bahwa dengan operasi penjumlahan invers dari g yaitu −1 = − .

Kita perhatikan −1
−1 = + + −1
= + + (−g)
= ∈

−1 ∈ , karena pengambilan g dan n sebarang maka terbukti −1 ∈ , ∀ ∈ dan
∈ .

1.2 SIFAT-SIFAT SUBGROUP NORMAL
Teorema 1. Misal G sebuah grup dan N adalah subgrupnya. Pernyataan berikut merupakan
pernyataan yang ekivalen.

a. N merupakan subgrup normal dari G.
b. Untuk semua ∈ berlaku −1 ⊂ .
c. Untuk semua ∈ berlaku −1 =

Untuk membuktikan Teorema 1 digunakan langkah-langkah:

( ) ⇒ , ( ) ℎ , ( ) ℎ .

Bukti:

(a)⇒ (b). Karena merupakan subgrup normal maka berlaku = untuk semua ∈
. Dengan demikian untuk setiap ∈ dan ∈ berlaku = 1 suatu 1 ∈ . Dengan
demikian −1 = 1 ∈ . −1 ⊂ .
( ) ⇒ ( ). Untuk membuktikan bahwa −1 = tinggal dibuktikan ⊂ −1 = karena
−1 ⊂ sudah diketahui. Ambil ∈ dan sebarang ∈ −1 ( −1 )−1 ∈ . Dengan
demikian −1 = 1 suatu 1 ∈ . Dengan kata lain = 1 −1 ∈ −1 . Jadi ⊂
−1 . Terbukti bahwa −1 =

( ) ⇒ ( ). Untuk membuktikan N subgrup normal maka harus ditunjukkan bahwa = untuk
semua ∈ ∈ . Untuk membuktikan = maka harus dintukkan ⊂ dan
sebaliknya ⊂ . Diketahui −1 = . Dengan demikian untuk semua ∈ ∈
−1 ∈ . Berarti ada 1 ∈ sehingga −1 = 1. Dengan mengalikan kedua

ruas dengan g di sebelah kanan maka diperoleh = 1 . Hal ini berarti ⊂ . Dengan cara
yang sama diperoleh ⊂ .

Misal sebuah grup dan merupakan subgrup normalnya. Dengan memperhatikan teorema-
teorema sebelumnya jelas bahwa grup tersebut terpartisi oleh koset-kosetnya. Karena merupakan
subgrup normal maka koset kiri sama dengan koset kanan. Himpunan semua koset-koset di dengan
subgrup normal dinotasikan dengan / . Selanjutnya didefinisikan suatu operasi, sebut dengan
” ∗ ”, yaitu ∗∶ / × / → / ( ) ∗ ( ) = . Mengamati teorema koset
terdahulu dapat disimpulkan bahwa operasi tersebut merupakan operasi biner.
Teorema 2. Struktur (G/N, ∗) membentuk grup dengan order [G : N]. Grup tersebut dinamakan
grup faktor.
Bukti. Ditinggalkan sebagai latihan.
Untuk mendalami materi tersebut perhatikan kembali grup bilangan bulat Z (tentunya terhadap
operasi penjumlahan). Karena grup tersebut merupakan grup komutatif maka semua subgrupnya
merupakan subgrup normal. Sekarang, fokuskan pada subgrup normal 3Z. Koset-kosetnya adalah:

0 + 3 , 1 + 3 , 2 + 3 , 3 + 3
Dari tabel di bawah ini mudah dilihat bahwa / merupakan grup.

Hasil di atas dapat diperumum untuk grup bilangan bulat dengan subgrupnya , ∈ . Grup
faktornya adalah / .
Contoh lain juga bisa dilihat kembali pada grup 3 = { , , , , , } dengan subgrup normalnya
= { , , }. Grup faktornya yaitu 3/ .
Contoh Soal:

1. Misalkan dan adalah subgroup normal dari grup . Buktikan bahwa ∩ adalah
subgroup normal dari .
Penyelesaian:

Misalkan dan adalah subgroup normal dari grup . Irisan dua subgroup adalah

subgroup, sehingga ∩ subgroup dari .

Misalkan ∈ dan ∈ ∩ . Untuk membuktikan ∩ subgroup normal dari , kita
akan menunjukkan −1 ∈ ∩ .

Berdasarkan definisi irisan, ∈ ∩ berakibat ∈ dan ∈ . Karena ∈ , ∈ ,

dan subgroup normal, maka berdasarkan Teorema diperoleh
−1 ∈

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh −1 ∈ . Akibatnya
−1 ∈ ∩

Berdasarkan Teorema, ∩ adalah subgroup normal dari . (Terbukti)

2. Misalkan dan subgroup normal dari grup . Buktikan bahwa = .
Penyelesaian:

Misalkan dan subgroup normal dari grup . Untuk membuktikan = , kita akan

menunjukkan ⊆ dan ⊆ HK.

Misalkan ℎ ∈ , dimana ℎ ∈ dan ∈ . Karena subgroup normal dan ℎ ∈ ⊆ G,
maka ℎ = ℎ. Artinya, ℎ = ′ℎ, untuk suatu ′ ∈ .

Akibatnya ℎ = ′ℎ ∈ , sehingga

⊆ KH (1)

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa

⊆ HK (2)

Berdasarkan (1) dan (2), dapat disimpulkan bahwa = . (Terbukti)

3. Misalkan dan subgroup normal dari grup . Buktikan bahwa subgroup normal dari
.
Penyelesaian:

Misalkan dan subgroup normal dari grup . Berdasarkan pembahasan soal no 3,

diperoleh = . Akibatnya subgroup dari .

Misalkan ∈ dan ℎ ∈ , dimana ℎ ∈ dan ∈ . Untuk membuktikan
subgroup normal dari , kita akan menunjukkan (ℎ ) −1 ∈ .

Perhatikan bahwa

(ℎ ) −1 = ( ℎ −1)( −1)

Karena ∈ , ℎ ∈ , dan subgroup normal, maka ℎ −1 ∈ . Dengan cara yang sama
diperoleh −1 ∈ .

Akibatnya
(ℎ ) −1 = ( ℎ −1)( −1) ∈

Berdasarkan Teorema, adalah subgroup normal dari . (Terbukti)