349 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ เวกเตอร์ ➢ ระบบพิกัดฉาก 1.1 ระบบพิกัดฉาก 2 มิติ (ระนาบ) จุดแต่ละจุดที่อยู่บนระนาบ แทนด้วยคู่อันดับ ( x y, ) 1.2 ระบบพิกัดฉาก 3 มิติ (ปริภูมิ) จุดแต่ละจุด แทนด้วยคู่อันดับ ( x y z , , ) จตุภาคที่ 2 จตุภาคที่ 1 จตุภาคที่ 3 จตุภาคที่ 4 +++ กฎมือขวา +++ ➢ แกน +Z จะมีทิศทางไปตามนิ้วหัวแม่มือ ➢ แกน +X จะมีทิศทางไปตามหน้ามือ ➢ แกน +Y จะมีทิศทางไปตามแขนหวา
350 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ ➢ สูตรระยะทางระหว่างจุด แบบ 2 มิติ ให้จุด P x y ( 1 1 , ) และ Q x y ( 2 2 , ) จะได้ ( ) ( ) 2 2 PQ x x y y = − + − 2 1 2 1 แบบ 3 มิติ ให้จุด P x y ( 1 1 1 , , z ) และ Q x y z ( 2 2 2 , , ) จะได้ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 PQ x x y y z z = − + − + − 2 1 2 1 2 1 ➢ ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantity) คือ ปริมาณที่มีขนาดอย่างเดียว เช่น มวล ความสูง ความยาว พื้นที่ อัตราเร็ว ฯลฯ ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity) คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว ความเร่ง เป็นต้น ขนาดของเวกเตอร์เขียนแทนด้วย AB ซึ่งจะเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ตัวอย่าง เวกเตอร์ AB เวกเตอร์ที่เท่ากัน เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้ง 2 มีขนาดเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ที่ เท่ากันสามารถใช้แทนกันได้ และไม่จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้นที่เดียวกัน B A
351 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ นิเสธของเวกเตอร์ นิเสธของ u คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ u แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ u นิเสธของ u เขียนแทนด้วย −u นิเสธของ AB เขียนแทนด้วย −AB หรือเขียนเป็น BA การขนานกันของเวกเตอร์ ถ้า u 0 และ v 0 จะได้ u ขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ u และ v มีทิศทางเดียวกัน หรือทิศทาง ตรงกันข้าม ➢ การบวกและการลบเวกเตอร์ โดยทั่วไปจะอาศัยสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน ซึ่งมี u และ v เป็นด้านประกอบของสี่เหลี่ยมและมุมระหว่าง เวกเตอร์ทั้งสอง สรุปได้เป็น 3 กรณี มุมแหลม มุมฉาก มุมป้าน u v u v + − u v u v + = − u v u v + − ➢ ทฤษฎีบทของเวกเตอร์ ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า u 0 และ v 0 จะได้ว่า u และ v ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ u av = เมื่อ a 0 ผลที่ได้ ถ้า a 0 จะได้ u และ v มีทิศทางเดียวกัน ถ้า a 0 จะได้ u และ v มีทิศทางตรงข้ามกัน u v u u v v
352 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า u 0 , v 0 และรู้ว่า u กับ v ไม่ขนานกันแล้ว ถ้า au bv + = 0 แล้ว จะได้ a = 0 และ b = 0 ➢ เวกเตอร์ในระบบแกนมุมฉาก แบบสองมิติ ถ้า A x y B x y ( 1 1 2 2 , , , ) ( ) แล้วจะได้ 2 1 2 1 x x AB y y − = − แบบสามมิติ ถ้า A x y z B x y z ( 1 1 1 2 2 2 , , , , , ) ( ) แล้วจะได้ 2 1 2 1 2 1 x x AB y y z z − = − − เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ u คือ u u เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ u แต่มีขนาดเท่ากับ v คือ u v u โพรเจกชันของเวกเตอร์ v บนเวกเตอร์ u คือ ( ) ( ) u v u u u ➢ ผลคูณของเวกเตอร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ในเวกเตอร์ 2 มิติ นิยาม ถ้า 1 1 u x i y j = + และ 2 2 v x i y j = + แล้ว ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v เขียนแทนด้วย u v โดยที่ 1) 1 2 1 2 u v x x y y = + 2) u v u v = cos เมื่อ คือ มุมระหว่าง u และ v 3) 2 2 2 2 2 u v u u v v u u v v = + = + 2 2 cos i คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศทางตามแนวแกน X j คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศทางตามแนวแกน Y
353 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ ➢ ผลคูณเชิงสเกลาร์ในเวกเตอร์ 3 มิติ นิยาม ให้ u a b c = 111 , , และ v a b c = 222 , , ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v เขียนแทนด้วย u v โดยที่ 1) 1 2 1 2 1 2 u v a a b b c c = + + 2) u v u v = cos เมื่อ คือ มุมระหว่าง u และ v 3) 2 2 2 2 2 u v u u v v u u v v = + = + 2 2 cos ➢ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ นิยาม ให้ u a b c = 111 , , และ v a b c = 222 , , ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ u และ v เขียนแทนด้วย u v โดยที่ 1) 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 u v b c b c c a c a a b a b = − − − [ , , ] 2) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 b c a c a b u v i j k b c a c a b = − + 3) u v u v = = sin พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u และ v เป็นด้านประชิด ➢ สิ่งที่ควรทราบผลคูณเชิงเวกเตอร์ ให้ และ เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของทั้งคู่ จะเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ ระนาบที่สัมผัสกับเวกเตอร์ และ
354 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ ➢ สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคูณเชิงเวกเตอร์ กำหนดให้ u v w , , เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไมีใช่เวกเตอร์ศูนย์ในสามมิติ และ k เป็นสเกลาร์ จะสรุปได้ว่า 1. u v v u = 2. u v w u v u w + = + ( ) ( ) ( ) 3. k u v ku v u kv ( = = ) ( ) ( ) 4. 000 = = u u 5. 2 u u u = 6. i i j j k k = = = 1 7. i j i k j k = = = 0 8. ถ้า เป็นมุมระหว่าง u กับ v ซึ่ง 0 180 o o แล้ว u v u v = cos (มุมระหว่างเวกเตอร์ หมายถึง มุมที่ไม่ใช่มุมกลับ ซึ่งมีแขนของมุมเป็นรังสีที่ขนาน และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง) 9. u ตั้งฉากกับ v ก็ต่อเมื่อ u v = 0 10. u v v u = − ( ) 11. u v w u v u w + = + ( ) ( ) ( ) หรือ ( v w u v u w u + = + ) ( ) ( ) 12. k u v ku v u kv ( = = ) ( ) ( ) 13. u u = 0 14. i j k j k i k i j = = = , , 15. (u v w v w u w u v = = ) ( ) ( ) 16. u v u v = sin เมื่อ เป็นมุมระหว่าง u กับ v ซึ่ง 0 180 o o 17. ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ ซึ่งไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์และไม่ขนานกัน จะได้ว่า u v ตั้งฉากกับ u และ v 18. ถ้า u v w , , อยู่บนระนาบเดียวกัน จะได้ว่า ( u v w v w u w u v = = = ) ( ) ( ) 0 19. 2 2 2 u v u u v v + = + + 2 20. 2 2 2 u v u u v v − = − + 2 21. ( ) 2 2 2 2 u v u v u v + + − = + 2 22. 2 2 u v u v u v + − − = 4 23. 2 2 2 u v u u v v + = + + 2 cos 24. 2 2 2 u v u u v v − = − + 2 cos 25. 2 2 u v u v u v + − − = 4 cos
355 ยุทธพงษ์ชัยติวเตอร์และติวอีสานดอทคอม ติวภาค ข วิชาเอกคณิตศาสตร์ By…แก็บติวเตอร์ ➢ การใช้เวกเตอร์หาพื้นที่ และปริมาตร 1. พื้นที่สี่ด้านขนาน = ฐาน สูง = u v sin = u v 2. พื้นที่สามเหลี่ยม 1 2 = u v 3. ปริมาตรรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานทรงตัน = ( v w u ) *** ข้อสังเกต (u v w v w u w u v = = ) ( ) ( ) ตัวอย่างกำหนดให้ AB i j k = + + 3 4 และ AD i j k = − + 3 2 แล้วพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เท่ากับกี่ตารางหน่วย วิธีทำ จะได้ว่า AB AD i j k = + − 11 11 11 และ ( ) 2 2 2 11 11 11 11 3 AB AD = + + − = ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เท่ากับ 11 3 ตารางหน่วย ตัวอย่างกำหนดให้ u i j v j k w i k = + = + = + , , เป็นด้านของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วปริมาตร ของรูปทรงนี้เท่ากี่ลูกาศก์หน่วย วิธีทำ จะได้ว่า u v i j k = − + และ (u v r = = ) 2 2 ดังนั้น รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานมีปริมาตรเท่ากับ 2 ลูกบาศก์หน่วย