Bab 2-Pemfaktoran dan Ungkapan Algebra

BAB 2
PEMFAKTORAN DAN UNGKAPAN ALGEBRA

2.1 Kembangan
2.1.1 Kembangan ungkapan algebra

• Kembangan ungkapan algebra bermaksud hasil pendaraban satu
atau dua ungkapan dalam kurungan.

2.1.2 Kembangan dua ungkapan algebra

• Apabila melakukan Kembangan ungkapan algebra, setiap sebutan
dalam tanda kurungan mesti didarabkan dengan sebutan di luar
kurungan.

1

CONTOH 1 Kena Ingat!!!!!

Kembangkan setiap ungkapan berikut. (+)(+) = (+)
(+)(−) = (−)
(a) 6(3 + 4w) (b) 3r (r − 2s) (−)(+) = (−)
(−)(−) = (+)
(c) −5b(a + 3) (d) − 2y (9y − 3z + 6x)

Penyelesaian: 3

2

+6(+3 + 4w) 1. Tentukan (+) atau (-)

= +18+24w (+)(+) = (+)

= 18 + 24w 2. Darabkan nombor

6 3 = 18

1. Tentukan (+) atau (-)

(+)(+) = (+)

2. Darabkan nombor

6 4 = 24

3. Darabkan pemboleh ubah
• tiada pendaraban pemboleh ubah sebab
hanya ada satu pemboleh ubah iaitu w

3

+3r (+r − 2s) 1. Tentukan (+) atau (-)

= +3r 2 − 6rs (+)(+) = (+)

= 3r2 − 6rs 2. Darabkan nombor

31 = 3

3. Darabkan pemboleh ubah

rr = r2

1. Tentukan (+) atau (-)

(+)(−) = (−)

2. Darabkan nombor

32 = 6

3. Darabkan pemboleh ubah

r  s = rs

4

−5b(a + 3) − 2y (9y − 3z + 6x)

=−5ab −15b 3

= −6 y2+2 yz−4xy

➢ Tekan kalkulator untuk cari nilai

29 , 23 , 26
333

5

CONTOH 2 Kena Ingat!!!!!

Kembangkan setiap ungkapan berikut. (+)(+) = (+)
(+)(−) = (−)
(a) ( y +1)( y − 3) (b) (4 + 3r )(2 + r ) (−)(+) = (−)
(−)(−) = (+)
(c) (3r + 4s)(r − 2s) (d) (3 p + 2)2

Penyelesaian:

6

( y +1)( y − 3) tekan kalkulator

−3 +1 = −2 −3 +1 = −2

= y2 −3y + y −3 y2 −3y + y −3

= y2 − 2y −3 Sebutan serupa
(mempunyai pemboleh
ubah yang sama)
• sebutan ini boleh

diselesaikan
(tambah@tolak)

7

(4 + 3r )(2 + r ) tekan kalkulator

4 + 6 = 10 4 + 6 = 10

= 8 +4r +6r +3r2 8 +4r+6r +3r2

= 8 +10r + 3r2 Sebutan serupa
Susun Semula (mempunyai pemboleh
Sebutan ubah yang sama)
• sebutan ini boleh
= 3r2 +10r + 8
diselesaikan
(tambah@tolak)

8

(3r + 4s)(r − 2s) (3p + 2)2

−6 + 4 = −2 = (3p + 2)(3p + 2)

= 3r2 −6rs+4sr −8s2 6 + 6 = 12

sebutan serupa = 9 p2+6 p +6 p +4

= 3r2 − 2rs − 8s2 = 9 p2 +12 p + 4

9

2.1.3 Gabungan operasi termasuk kembangan

CONTOH 3
Permudah.

(a) (3w − 2)(4w −1) −10w

(b) (r − 3t )2 + 4rt

(c) ( x + y)( x − y) + x( x − 2y)

Penyelesaian:

10

(3w − 2)(4w −1) −10w

= 12w2 − 3w −8w + 2−10w tekan kalkulator

−3 − 8 −10 = −21 11

= 12w2 − 3w − 8w −10w + 2

= 12w2 − 21w + 2

(r − 3t )2 + 4rt = (r − 3t )(r − 3t ) + 4rt

= r2 − 3rt −3rt + 9t2 +4rt

−3 − 3 + 4 = −2

= r2 + 9t2 − 3rt − 3rt + 4rt
= r2 + 9t2 − 2rt

12

(x+ y)(x− y)+ x(x−2y)

= x2 − xy +xy − y2+x2 − 2xy

1+1= 2 −1+1− 2 = −2

= x2 + x2 − y2 − xy + xy − 2xy

= 2x2 − y2 − 2xy 13

2.1.4 Penyelesaian masalah

CONTOH 4

Puan Maria mempunyai sebidang permaidani yang panjangnya (3r − 2) meter

dan lebarnya ialah (r +1) meter. Hitung luas permaidani Puan Maria.

Penyelesaian:

Luas = panjang  lebar

= (3r − 2)(r +1)

= 3r2 + 3r − 2r − 2
= 3r2 + r − 2

( )Maka, luas permaidani ialah 3r2 + r − 2 meter persegi

14

BAB 2
PEMFAKTORAN DAN
UNGKAPAN ALGEBRA

2.2 Pemfaktoran

2.2.1 Konsep faktor dan pemfaktoran

• Pemfaktoran ialah proses mengenal pasti faktor sebutan dan ungkapan
algebra dan apabila didarabkan akan menghasilkan ungkapan asal.

• Pemfaktoran merupakan proses songsangan kepada kembangan.
• Misalnya, faktor bagi 3p

13p 3 p

• Maka, faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p.

16

Faktor, Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi hasil darab
ungkapan algebra

• Faktor sepunya ialah faktor bagi sebutan algebra yang membahagi dengan tepat dua atau
lebih sebutan lain.

• Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor
sepunya.

• Perhatikan ungkapan,

4x + 2 = 2(2x +1)

2 ialah faktor sepunya bagi sebutan 4x dan 2.

17

CONTOH 5 ' 1 ' ialah faktor bagi
semua sebutan algebra
Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap sebutan berikut.

(a) 6h, 4gh (b) 9c2d, 3d 2e dan 6def

6h = 1 6h 9c2d = 1 3 3 c  c  d
2 3h 3d 2e = 1 3 d  d  e
6def = 1 2 3 d  e f
3 2h
Faktor sepunya bagi 9c2d, 3d 2e dan 6def
h6 ialah 1, 3, d dan 3d. 3d ialah faktor sepunya
kerana boleh membahagi semua sebutan
4gh = 1 4gh di atas dengan tepat.
4 gh
2 2gh
2g  2h
g  4h
h  4g

Maka, faktor sepunya bagi 6h dan 4gh ialah 1, 2, h dan 2h. 18

2.2.2 Pemfaktoran ungkapan algebra

Menggunakan FSTB

• Ungkapan algebra boleh difaktorkan dengan mencari Faktor Sepunya Terbesar (FSTB).

• Misalnya, 4x ialah FSTB

8x

12x2

• Maka, ungkapan algebra bagi 8x +12x2 boleh ditulis sebagai hasil darab dua faktor
seperti,

4x(2 + 3x)

Ini dinamakan pemfaktoran.

19

CONTOH 6

1. Tentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi setiap sebutan

(a) 6h, 4gh (b) 9c2d, 3d 2e dan 6def

2 6h , 4gh FSTB = 2 h 3 9c2d , 3d 2e , 6def FSTB = 3 d
h 3h , 2gh = 2h = 3d
d 3c2d , d 2e , 2def
3 2g 3c2 de 2ef

2. Faktorkan setiap ungkapan berikut. (b) 7m + 21m2

(a) 3x +15 7 7m + 21m2

3 3x +15 m m + 3m2

x+5 FSTB = 7m

FSTB = 3 Maka, 7m(1+ 3m)

Maka, 3( x + 5)

20

Menggunakan beza antara dua sebutan kuasa dua sempurna
• x2 − y2 ialah sebutan beza kuasa dua.
• x2 − y2 boleh difaktorkan dengan beza kuasa dua sempurna.
• Kaedah ini hanya boleh digunakan jika kedua-dua sebutan algebra tersebut ialah kuasa

dua sempurna.
• Perhatikan,

x2 − 4 = x2 − 22

= (x + 2)(x − 2)

21

CONTOH 7 (b) 9m2 −100

Faktorkan setiap ungkapan berikut. = (3m)2 −102

(a) b2 −1 = (3m +10)(3m −10)

= b2 −12

= (b +1)(b −1)

(c) 3y2 −147 (d) 5k 2 − 80
= 5(k2 −16)
= 3( y2 − 49) FSTB 3 dan 147 FSTB 5 dan 80

ialah 3 ialah 5

( )= 3 y2 − 72 3 3 147 ( )= 5 k 2 − 42 5 5 80

= 3( y + 7)( y − 7) 1 49 = 5(k + 4)(k − 4) 1 16

22

Menggunakan pendaraban silang

Perhatikan contoh di bawah berserta penerangannya untuk pemfaktoran ungkapan algebra x2 + 6x + 8

Langkah 1 : Bandingkan pekali Langkah 4 : Lakukan darab silang seperti di
bawah

Langkah 2 : Faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. Langkah 5 : Faktor x2 + 6x + 8 ialah
2 dan 4 dipilih kerana menepati
, iaitu (x + 2)(x + 4).

Langkah 3 : 2 dan 4 dipilih kerana menepati 23
, iaitu

CONTOH 8 Pendaraban faktor 9 :
Faktorkan setiap ungkapan berikut.
19 1+ 9 = 10
(a) x2 − 6x + 9
33 3+3 = 6
x −3 −3x
( −1)  ( −9) (−1) + (−9) = (−10)
() () (+)
( −3)  ( −3) (−3) + (−3) = (−6)
x −3 −3x

x2 +9 −6x

Maka, x2 − 6x + 9 = ( x − 3)( x − 3)

24

(b) m2 − 2m − 8 1 ( −8) 1+ (−8) = (−7)
2  ( −4) 2 + (−4) = (−2)
m +2 2m 4  ( −2) 4 + (−2) = 2 Boleh pilih
( −1)  8 (−1) + 8 = 7 mana-mana
() () (+) (−2) 4 (−2) + 4 = 2 satu….jawapan
(−4) 2 (−4) + 2 = (−2) akan tetap sama
m −4 −4m
m2 −8 −2m 25

Maka, m2 − 2m − 8 = (m + 2)(m − 4)

CONTOH 9 1 6
Faktorkan ungkapan berikut. 23

2m2 + 7m + 6

Cubaan pertama: Cubaan kedua:

2m 1 1m 2m 3 3m

() () (+) () () (+)

m 6 12m m 2 4m
+6 13m +6 7m
2m2 2m2

Maka, 2m2 + 7m + 6 = (2m + 3)(m + 2) 26

CONTOH 10 −2 y +1 +1y
Faktorkan ungkapan berikut.
() () (+)
(a) −2 y2 − 9 y + 5
y +5 −10y
2y −1 +1y
−2 y2 +5 −9 y
() () (+)
Maka, − 2 y2 − 9 y + 5 = (−2 y +1)( y + 5)
−y −5 −10y

−2 y2 +5 −9 y

Maka, − 2 y2 − 9 y + 5 = (2 y −1)(− y − 5)

27

(b) −3x2 − 8x − 5

3x +5 −5x

() () (+)

x −1 −3x

−3x2 −5 −8x

Maka, − 3x2 − 8x − 5 = (3x + 5)(−x −1)

28

Menggunakan faktor sepunya dalam empat sebutan algebra

CONTOH 11
Faktorkan setiap ungkapan berikut.

(a) pq + qr + ps + rs Gabungkan sebutan (b) 2 px + 6qy − 4 py − 3qx
yang ada = 2 px − 4 py − 3qx + 6qy
= ( pq + qr ) + ( ps + rs)
= q(p+r)+s(p+r) faktor sepunya di = (2 px − 4 py) − (3qx − 6qy)
= (q+ s)( p+r) dalam satu = 2 p( x − 2y) − 3q ( x − 2y)
kurungan = (2 p − 3q)( x − 2y) ATAU

Faktor sepunya ( x − 2y)(2 p − 3q)

29

BAB 2
PEMFAKTORAN
DAN PECAHAN

ALGEBRA

2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum
Operasi Asas Aritmetik

2.3.1 Penambahan dan penolakan ungkapan algebra

CONTOH 12 (b) 4w(w − 2) − 5

Permudah.

(a) 2x2 − 2(4x + 5)

2x2 − 2(4x + 5) = 2x2 − 8x −10 4w(w − 2) − 5 = 4w2 − 8w − 5

= 2(x2 − 4x −5) = (2w − 5)(2w +1)

x −5 −5x = 2( x − 5)( x +1) 2w −5 −5w

() () (+) () () (+)

x +1 1x 2w +1 1w

x2 −5 −4x 4w2 −5 −4x

31

Menambah atau menolak pecahan algebra dengan penyebut yang sama

CONTOH 13 (b) y − 3y (c) x + 2 − x − 5
Permudah setiap yang berikut. 2x 2x 5w 5w

(a) 4a + 3a = y −3y = x + 2 −(x −5)
55 2x
5w
= 4a + 3a = −1122 y
5 x = x+2−x+5
5w
= 7a
5 = x−x+2+5
5w
=−y
x =7
5w

32

Menambah atau menolak pecahan algebra yang penyebutnya tidak sama

➢ Salah satu daripada penyebutnya ialah gandaan bagi penyebut lain

CONTOH 14
Permudah setiap ungkapan berikut.

(a) 3 − 1 2 = 3 − 2 (b) 4 − 2r r = 4 − 2r2
4y 2y 2 4y 4y rs s r rs rs

= 3−2 = 4 − 2r2
4y rs

Samakan =1
penyebutnya 4y

33

➢ Penyebut pecahan tersebut tidak mempunyai faktor sepunya

CONTOH 15
Permudah setiap ungkapan berikut.

(a) 5x − 3x = 5x 2 − 3x 3 (b) 2a + b = 2a 2c + b 3
3 2 3 2 2 3 3 2c 3 2c 2c 3
= 10x − 9x
66 = 4ac + 3b
= 10x − 9x 6c 6c
6
=x = 4ac + 3b
6 6c

34

➢ Penyebut pecahan mempunyai faktor sepunya (b) m − 5m = m 7s − 5m 2
4r 14rs 4r 7s 14rs 2
CONTOH 16 = 7ms − 10m
Permudah setiap ungkapan berikut. 28rs 28rs
= 7ms −10m
(a) 1 + 4 = 1 3 + 4 2 28rs
4 p 6 p 4 p 3 6 p 2
= 3+8 35
12 p 12 p
= 3+8
12 p

= 11
12 p

2.3.2 Pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra

▪ Untuk mendarab dan membahagi ungkapan algebra, anda perlu memfaktorkan ungkapan
tersebut, kemudian memansuhkannya sekiranya terdapat faktor sepunya pada pengangka
dan penyebutnya.

▪ Misalnya,

▪ Proses ini memerlukan kemahiran pemfaktoran yang telah anda pelajari.

36

CONTOH 17 a2 −1 = a2 −12
Permudah.
= (a +1)(a −1)
(a) a2 −1  b2
2ab 1+ a

= ( a + 1) ( a −1)  b(b)
(1+ a)
2ab

= b(a −1)

2a

37

(h + k )(h + k )

(b) (h + k )2  6k − 3h 3(2k − h)

2k − h h2 − k 2 (h + k )(h − k )

= (h + k )(h + k )  3(2k − h)
(h + k )(h − k
2k − h )

= 3(h + k)

h−k

38

(c) 5a  2ab 3(a + 2b)
a + 2b 3a + 6b
= 5a  3a + 6b 39
a + 2b 2ab

= 5a  3(a + 2b)

a + 2b 2ab

= 15
2b

( )(d) a2 − b2  a − b 2 (a +b)(a −b)

10a − 5b 8a − 4b 4(2a − b)

= a2 − b2  8a − 4b (a −b)(a −b)
10a − 5b 5(2a − b)
(a − b)2
40
= ( a +b)(a −b )  4(2a − b)
5(2a − b) a −b)(a −b
( )

= 4(a + b)
5(a + b)

2.3.3 Gabungan operasi ungkapan algebra

CONTOH 18
Selesaikan gabungan operasi berikut.

(a) 2 (15a + 25b) + a 9k 2 −12k + 4 3k −2 −6k

5b b (b) (3k + 2)(3k − 2) () () (+)

= 6a + 10b + a = (3k − 2) (3k − 2) 3k −2 −6k
b bb (3k + 2) (3k − 2) 9k 2 +4 −12k

= 6a + a +10b = 3k − 2 41
b 3k + 2

= 7a +10b
b

(c) 6 12m −18m2 (d) a − b  (a − b)2

12m −18m2  n m 2m − 3m2 3a + b 6a + 2b
4n2 −16n m 2 − 3m
= a−b  6a + 2b
4 4n2 −16n 3a + b
(a − b)2
n n2 − 4n
=3264mn((2n−−34m) )  n a−b 2(3a + b)
m n−4 3a + b (a −b)(a −b)

= 

= 3(2 − 3m) =2
2(n − 4) a−b

42