XI Nogle figurer i rummet - ef.praxis.dk

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 ©Nyt Teknisk Forlag. XI Figurer i rummet
Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 1

XI Nogle figurer i rummet

Cylindre

Der gælder følgende:

CK01 En cylinders volumen (rumfang) er givet ved
V = π ⋅ r2 ⋅ h,

og arealet af den krumme overflade er
A=2π⋅r⋅h

hvor r er radius i endefladen og h er cylinde-
rens højde.

CK02 Overvej, at de formler i CK01 er korrekte.

CK03 a) Bestem arealet af den krumme overflade samt rumfanget af en cylinder med
radius 3 og højde 10.
b) Isolér h i hver af de to formler i CK01.
c) Bestem en formel til beregning af A ud fra V og r.
d) Bestem en formel til beregning af V ud fra A og r.

CK04 Udfyld et skema som følgende
r 222
h5
A5
V5

CK05 a) Bestem rumindholdet af en 14 m høj cylinderformet tank med radius er 0,9 m
b) Bestem radius i en cylinderformet tank der er 10 m høj og rummer 20 m3.
c) Bestem højden af en cylinderformet tank der har radius 3 m og rummer 20 m3.

CK06 En cylinder har rumfang 10 og højde 3. Bestem cylinderens radius.

CK07 En konservesdåse er cylinderformet og har rumfanget 0,50 L = 0,50 dm3.
a) Bestem dåsens radius når højden er 0,90 dm.
b) Bestem det samlede overfladeareal af dåsen.
c) Bestem sidelængde og overfladeareal af en terningformet dåse med samme rumfang.
d) Bestem radius og overfladeareal af en kugleformet beholder med samme rumfang.

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 ©Nyt Teknisk Forlag. XI Figurer i rummet
Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 2

Kegler h
r
CK08 Betragt en kegle med grundfladeradius r og
højde h, se figuren til højre.
a) Overvej at arealet af den krumme overflade
er lig med arealet af et cirkeludsnit (en del af
en cirkelskive begrænset af t o radier) med
radius r 2 + h2 .
b) Bevis at arealet af keglens krumme overfla-
de er π⋅ r ⋅ r 2 + h2 .

Der gælder følgende:

CK09 En kegles volumen (rumfang) er givet ved

V= 1 πr2h,
3

hvor r er radius i grundfladen, og h er keglens højde.

CK10 En vaffel til softice har en højde på 10 cm og diameteren i toppen af vaflen er 7 cm.

a) Hvor meget softice kan der være nede i vaflen?
b) Vaflen leveres med en top der med tilnærmelse er en kegle med højden 5 cm.
c) Hvor stort et volumen softice får man når man køber en vaffel med top?
d) Hvor mange vafler med top skal m an spise før man har fået over 1 liter

softice?

CK11 Den kegleformede del af en tragt skal kunne rumme 2 liter. Grundfladediameteren skal være
lige så stor som højden.
Hvor stor skal højden af keglen være?

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 ©Nyt Teknisk Forlag. XI Figurer i rummet
Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 3

CK12 Keglestub

Figuren viser at for kegler med fast "vinkel", kan højden y af en kegle med radius x skrives som y =
a··x når k eglen har toppu nkt i koordinats ystemets begyndelsespunkt og y–aksen som

symmetriakse.

Som vist fremkommer en keglestub ved at k appe

toppen af en kegle.

Keglestubben karakteriseres af r adius i den store

cirkel–endeflade x2, radius i de n lille cirkel–

endeflade x1 og af stubbens højde h.
a) Vis ved hjælp af f ormlen for en kegles

rumfang, at keglestubbens rumfang V kan skrives

på følgende måde.

V= 1 πa(x23 – x13)
3

b) Vis ved at gange parenteserne sammen at

V= 1 πa(x2 – x1) (x22 + x1x2 + x12)
3

c) Vis at V = 1 πh(x22 + x1x2 + x12)
3

d) Bestem indholdet i et keglestubformet

isbæger når dets højde er 1 0cm, og dets radius i

bund og top er henholdsvis 7 cm og 9 cm.

CK13 Kegleformet regnmåler

En regnmåler har form som en kegle med indvendig højde 15 cm og radius 4 cm.

a) Bestem regnmålerens rumfang.
b) Vis at regnmåleren for hver mm nedbør vil opfange 5,03 cm3 regnvand.

Det er nok klogt at have regnet opgave CK12, før du går videre.

c) Et vandret snit gennem regnmåleren har form som en cirkel. Vis at der for radius x i et

sådant snit og snittets højde y over keglespidsen, gælder følgende sammenhæng: x = 4 ⋅ y .
15

d) Vis at når det opsamlede regnvand står i højden y over keglespidsen, så er det opsamlede

rumfang V givet ved V = π ⋅ 16 ⋅ y3 .
675

e) Udfyld en tabel som nedenstående. De skal vise hvor højt over keglespidsen stregerne for

5 mm regn, 10 mm regn og så videre skal sættes.

Nedbør i mm 5 10 15 20 25 30
Streghøjde

f) Betragt en kegleformet regnmåler hvor den indvendige radius og højde hedder henholds-
vis r og h. Opstil en formel der angiver regnvandets højde y i regnmåleren når der er faldet n
mm regn.

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 ©Nyt Teknisk Forlag. XI Figurer i rummet
Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 4

Kugler r

Der gælder følgende:

CK14 Hvis en kug le har radius r, er

rumfanget (volumenet) V af kuglen

V= 4 πr3
3

og overfladearealet O er
O = 4πr2.

CK15 I denne opgave betragtes Jorden som en ku gle med r adius 6,37⋅106 m. (Det er en ret god
tilnærmelse).
a) Beregn Jordens overfladeareal.
b) Beregn Jordens volumen.
c) Den gennemsnitlige massefylde (middeldensiteten) af Jorden er cirka 5,5⋅103
kg/m3. Beregn Jordens masse.

CK16 Grønlands indlandsis rummer ca. 2,7 millioner km3 is.
a) Hvis man forestiller sig at denne is fordeles i et jævnt lag over hele jordoverfladen,
hvor tykt et lag ville det så blive?
b) Når is smelter og bliver til vand kommer det til at fylde ca. 8 % mindre. Oceanerne
udgør nu ca. 71% af jordens overflade. Hvis man forestiller sig at Grønlands
indlandsis smeltede og fordeltes over det nuværende oceanareal, hvor meget ville
vandet så stige?
c) Hvis vi, helt urealistisk, forestillede os at Grønlands indlandsis kunne placeres
ovenpå Fyn, hvor langt ville det så nå op?
Fyns areal er 2984 km2.

CK17 En kugleformet gasbeholder skal kunne rumme 25 m3 gas.
a) Hvilken radius skal beholderen have?
b) Hvilket overfladeareal får beholderen?
c) Beholderen skal fremstilles af stål med en tykkelse på 4 mm. Massefylden af stålet
er 7,7⋅103 kg/m3. Bestem en omtrentlig masse for beholderen.