diktat mtk 12

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT atas ridlo-Nya penulis dapat
menyelesaikan dan menyusun diktat pembelajaran ini. Penulisan diktat pembelajaran
yang berjudul Diktat Pembelajaran Matematika Peminatan XII dimaksudkan untuk
membantu peserta didik dalam memahami konsep dan materi pembelajaran
matematika peminatan sekaligus sebagai salah satu unsur pengembangan keprofesian
berkelanjutan (PKB) untuk pengajuan angka kredit jabatan.

Diktat ini terdiri dari 2 bab, yaitu bab tentang limit fungsi trigonometri dan turunan
fungsi trigonometri, sebagai kelanjutan materi pembelajaran matematika peminatan di
kelas XI MIPA.

Diktat ini terwujud atas dukungan dari berbagai pihak. Penulis menyampaikan
ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga penyusunan
diktat ini berjalan dengan lancar.

Penulis menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna dan masih banyak
kesalahan-kesalahan, saran membangun sangatlah diharapkan melalui e-mail:
[email protected] atau melalui 085760304868 (WA/Telegram/line).

Batam, Januari 2021
Penulis

ii

DAFTAR ISI

Judul ........................................................................................................ i
Kata Pengantar ........................................................................................ ii
Daftar Isi ................................................................................................... iii
Penjelasan Tujuan Diktat ......................................................................... iv
BAB I. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI ................................................ 1
1
A. Penjelasan Tujuan Bab ......................................................... 1
B. Isi Bab ................................................................................... 2
C. Penjelasan Teori ................................................................... 16
D. Sajian Contoh ........................................................................ 22
E. Soal Latihan .......................................................................... 25
BAB II. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI ........................................ 25
A. Penjelasan Tujuan Bab ......................................................... 25
B. Isi Bab ................................................................................... 25
C. Penjelasan Teori ................................................................... 29
D. Sajian Contoh ........................................................................ 33
E. Soal Latihan .......................................................................... 39
Latihan Soal Penilaian Tengah Semester ................................................ 44
Latihan Soal Penilaian Akhir Semester .................................................... 45
Daftar Pustaka .........................................................................................

iii

PENJELASAN TUJUAN DIKTAT

Diktat Pembelajaran Matematika Peminatan XII semester Ganjil
SMA Negeri 8 Batam tahun pelajaran 2020/2021 ini disusun dengan tujuan :

1. Membantu peserta didik memahami materi pelajaran matematika peminatan
kelas XII semester ganjil yaitu limit fungsi trigonometri dan turunan fungsi
trigonometri.

2. Melengkapi materi yang tidak terdapat pada buku paket yang ada.

iv

BAB I
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

A. Penjelasan Tujuan Bab
3.1 Menjelaskan dan menentukan limit fungsi trigonometri
3.2 Menjelaskan dan menentukan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri
4.1 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
4.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan eksistensi limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

B. Isi Bab
Kompetensi dasar yang ada diuraikan menjadi indikator pencapaian kompetensi
yang diharapkan menjadi capaian peserta didik dan diuraikan dalam penjabaran
materi, yaitu:
1. Rumus-rumus trigonometri
2. Pengertian Limit fungsi trigonometri
3. Limit fungsi trigonometri untuk x → 0
4. Limit fungsi trigonometri untuk x → suatu sudut () atau nilai (c)
5. Sifat-sifat limit fungsi trigonometri
6. Limit fungsi aljabar untuk x → 
7. Limit fungsi trigonometri untuk x → 
8. Limit fungsi Eksponensial (Materi pengayaan)
9. Kekontinuitas dan diskontinuitas (Materi Pengayaan)

C. Penjelasan Teori

1. Rumus-rumus Trigonometri

Pengetahuan awal (prasyarat) dalam mempelajari limit fungsi trigonometri

antara lain materi fungsi dan trigonometri.

 Rumus Perbandingan

o sin = 1

csc

o cos = 1

sec

o tan = 1
ctg

1

o tan = sin

cos

o = cos

sin

 Rumus Identitas
o 2 + 2 = 1
o 1 + 2 = 2
o 1 + 2 = 2

 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
o sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
o sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
o cos ( + ) = cos cos − sin sin
o cos ( − ) = cos cos + sin sin
o tan ( + ) = tan + tan

1− tan tan

o tan ( − ) = tan − tan

1 − tan tan

 Rumus Sudut Rangkap

o sin 2 = 2 sin cos

o cos 2 = 2 − 2

= 1 − 2 2

= 2 2 − 1

o tan 2 = 2 tan
1 − 2

o sin = 2 tan (12 )
1 + 2 (21 )

o cos = 1 − 2 (21 )
1 + 2 (12 )

 Rumus Sudut Pertengahan

o sin 1 = ±√1 − cos ; (+) kuadran I, II ; (-) kuadran III, IV

22

o cos 1 = ±√1+ cos ; (+) kuadran I, IV ; (-) kuadran II, III

2 2

2

o tan 1 = ±√1 − cos ; (+) kuadran I, III ; (-) kuadran II, IV

2 1+ cos

o tan 1 = sin = 1 − cos
2 1 + cos sin

 Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Dua Sudut

o sin + sin = 2 sin 1 ( + ) cos 1 ( − )

22

o sin − sin = 2 cos 1 ( + ) sin 1 ( − )

22

o cos + cos = 2 cos 1 ( + ) cos 1 ( − )

22

o cos − cos = −2 sin 1 ( + ) sin 1 ( − )

22

o tan + tan = tan( + )(1 − tan tan )

= 2 sin ( + )
cos ( + ) + cos ( − )

o tan − tan = tan( − )(1 + tan tan )

= 2 sin ( − )
cos ( + ) + cos ( − )

 Rumus Perkalian
o 2 sin cos = sin ( + ) + sin ( − )
o −2 sin sin = cos ( + ) − cos ( − )
o 2 cos sin = sin ( + ) − sin ( − )
o 2 cos cos = cos ( + ) + cos ( − )

2. Pengertian limit fungsi trigonometri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat pada suatu sudut fungsi trigoometri.

Perhitungan limit fungsi ini bisa dilakukan secara langsung atau

disubstitusikan seperti pada limit fungsi aljabar, namun ada fungsi trigonometri

yang harus diubah dahulu menggunakan rumus identitas trigonometri atau

teorema trigonometri lainnya untuk limit bentuk tak tentu. Untuk menentukan

nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang digunakan

yaitu:

(1) metode langsung atau substitusi,
(2) metode turunan (L’Hospital),

(3) Perkalian dengan sekawan,

(4) Pemfaktoran.

3

3. Limit Fungsi Trigonometri untuk x mendekati 0

Misalkan dalam radian dan
0 < < /2 , maka :
BC = r sin x dan AD = r tan x

Untuk mencari luas sektor AOB

Luas sektor AOB x
Luas seluruh lingkaran = 2π

Luas sektor AOB x
2 = 2π

Sehingga luas sektor AOB = x . 2 = 1 2

2π 2

Dari bangun di atas, diperoleh:

Luas AOB < luas juring AOB < luas AOD

1 . OA . BC < 1 2 < 1 . OA . AD

2 22

1 r . r . sin x < 1 2 < 1 . r . r . tan x

2 22

1 2 sin x < 1 2 < 1 2 tan x
2 2 2

sin x < x < tan x ……………………….. (i)

dari (i) diperoleh: 1< x < 1
sin x cos x
x1
lim 1≤ lim ≤ lim
sin x cos x
→0 →0 →0

1≤ lim x ≤1

→0 sin x

Jadi, lim x = 1

→0 sin x

Dari sini dapat dikembangkan menjadi lim sin = lim 1 = lim 1 = 1
x
→0 →0 x →0 1

sin

Untuk lim tan = lim sin
→0 x →0 x cos

sin 1 lim sin 1
lim × = × lim
x cos →0 cos x
→0 →0

= 1×1 = 1

Demikian juga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa lim x = 1

→0 tan x

4

Kesimpulan:

Teorema A 3. lim tan = 1

1. lim sin = 1 →0 x

→0 4. lim x =1
tan
2. lim x = 1 →0

→0 sin x

 Menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung fungsi
trigonometri sin (sinus) dan tan (tangens)

 Menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung fungsi
trigonometri cosinus
Beberapa hal yang harus dipahami, yaitu :
a) Nilai cos x untuk x mendekati 0, tidak mempengaruhi nilai, karena
tidak menyebabkan bentuk tak tentu 0

0

5

b) Jika cos x menyebabkan bentuk tak tentu, maka gunakan rumus

trigonometri sudut rangkap

cos2 A − sin2 A
cos 2A = { 1 − 2 sin2 A

2 cos2 A − 1

c) Kalau ada :

i. maka ubah menjadi (1 − 2 2 1 ) dan 2 menjadi
2

(1 − 2 )

ii. cot menjadi 1

tan

iii. menjadi (1 − 1 − 2 1 12 )
2
cos

iv. menjadi 1

sin

 Cara cerdas

6

4. Limit fungsi trigonometri untuk x → suatu sudut () atau suatu nilai (c)

Limit fungsi trigonometri ( ) untuk mendekati suatu sudut tertentu ()

adalah nilai fungsi ( ) untuk mendekati  baik dari kiri maupun dari kanan,

dan ditulis sebagai berikut:

lim ( ) =

→

Pada setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi, berlaku:

Teorema B

1. lim sin = sin 5. lim csc = csc

→ →

2. lim cos = cos 6. lim sec = sec

→ →

3. lim tan = tan 7. lim cot = cot

→ →

Biasanya pada soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya
berupa sudut istimewa, yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana.

Langkah penyelesaian :
• Langkah awal dalam menentukan penyelesaian dari limit di suatu titik

adalah substitusi langsung. Jika hasil substitusi langsung tersebut tidak
diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu (seperti 0 , ∞ , 0 .  ,    , 00 , ∞∞)

0∞

maka nilai itu menunjukkan nilai limit yang bersangkutan.
• Jika hasil substitusi langsung diperoleh nilai bentuk tak tentu, maka kita

harus memfaktorkan atau menggunakan rumus trigonometri yang tepat
untuk menyelesaikannya sehingga bentuknya menjadi bukan bentuk tak
tentu
• Langkah alternatif yang lain adalah dengan mengalikan bentuk sekawan

7

5. Sifat-sifat limit fungsi trigonometri

Jika n bilangan bulat positif, konstanta, dan adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai limit untuk x mendekati , berlaku :

a) lim =

→

b) lim =

→

c) lim ( ) = lim ( )
→ →

d) lim( ( ) ± ( )) = lim ( ) ± lim ( )
→ → →

e) lim( ( ) × ( )) = lim ( ) × lim ( )
→ → →

f) lim ( ) = lim ( ) lim ( ) ≠ 0

; →
→ ( ) lim ( ) →

→

g) lim( ( )) = (lim ( ))

→ →

h) lim √ ( ) = √ l i→m ( )

→

6. Limit fungsi aljabar untuk x → 
Perhatikan fungsi ( ) = , x → 0 yang domainnya semua bilangan real
yang tidak nol. Jika kita cari nilai-nilai fungsi dekat dengan 0.

Apabila x suatu bilangan baik positip maupun negatif yang sangat kecil maka
nilai menjadi sangat besar, semakin dekat x dengan nol, maka nilai menjadi
semakin besar sekali, sehingga dikatakan .

Catatan :
Simbol ∞ dibaca “tak hingga” digunakan untuk melambangkan bilangan yang
sangat besar yang tak dapat ditentukan besarnya, tetapi simbol ini tidak
menunjuk suatu bilangan real yang manapun.

Pengertian ketakhinggaan sebagaimana dipaparkan secara intuitif di atas
secara formal didefinisikan sebagai berikut :

8

Definisi :
Fungsi ( ) mendekati tak hingga untuk x → c
apabila untuk setiap bilangan positip M betapapun
besarnya, adalah mungkin menemukan bilangan 
> 0 sedemikian hingga untuk setiap x selain c jika
dipenuhi |x – c| <  akan berakibat | ( )| > M dan
ditulis lim ( ) = ∞

→

Menyelesaikan limit fungsi aljabar untuk x mendekati takhingga menggunakan
beberapa metode, yaitu:

1) Langsung atau substitusi
2) Pembagian pangkat tertinggi
3) Pembagian dengan sekawan
 Cara cerdas

9

7. Limit fungsi trigonometri untuk x → 

Menyelesaikan limit fungsi trigonometri untuk x mendekati ketakhinggaan

melalui tahap-tahap berikut:

1) Substitusikan langsung.

2) Jika hasilnya bentuk tak tentu dilanjutkan dengan memisalkan 1 =



sehingga = 1 , untuk mendekati tak hingga maka mendekati 0.



3) Selesaikan hasil dari langkah 2 menggunakan limit fungsi trigonometri

untuk mendekati 0.

Untuk memudahkan dan menambah pemahaman
tentang limit fungsi trigonometri di ketakhinggaan
silahkan dicermati video tutorial ini
1. https://www.youtube.com/watch?v=YVvDWoBFu3U
2. https://www.youtube.com/watch?v=Q00FVXseRnI

8. Limit fungsi Eksponensial
Biografi Leonhard Euler. Tokoh satu ini
dikenal sebagai salah satu ilmuwan yang
banyak menyumbangkan pemikiran
pemikiran yang bermanfaat bagi
kemajuan ilmu pengetahuan, Leonhard
Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss.
Dia diterima masuk Universitas Basel
tahun 1720 tatkala umurnya baru
mencapai tiga belas tahun. Mula-mula
dia belajar teologi, tetapi segera pindah
ke mata pelajaran matematika. Dia

peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel
pada umur tujuh belas tahun dan tatkala umurnya baru dua puluh tahun dia
terima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi
Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Di umur dua puluh tiga tahun dia jadi

10

mahaguru fisika di sana dan ketika umurnya dua puluh enam tahun dia
menggantikan korsi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang
matematikus masyhur Daniel Bernoulli. Dua tahun kemudian penglihatan
matanya hilang sebelah, namun dia meneruskan kerja dengan kapasitas
penuh, menghasilkan artikel-artikel yang brilian.

Tahun 1741 Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk Euler
agar meninggalkan Rusia dan memintanya bergabung ke dalam Akademi Ilmu
Pengetahuan di Berlin. Dia tinggal di Berlin selama dua puluh lima tahun dan
kembali ke Rusia tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa
melihat lagi. Bahkan dalam keadaan tertimpa musibah macam ini, tidaklah
menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki kemampuan spektakuler
dalam hal mental aritmatika, dan hingga dia tutup usia (tahun 1783 di St.
Petersburg –kini bernama Leningrad– pada umur tujuh puluh enam tahun), dia
terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang matematika. Euler
kawin dua kali dan punya tiga belas anak, delapan diantaranya mati muda.

Semua penemuan Euler bisa saja dibuat orang bahkan andaikata
dia tidak pernah hidup di dunia ini. Meskipun saya pikir, kriteria yang layak
digunakan dalam masalah ini adalah mengajukan pertanyaan-pertanyaan:
apa yang akan terjadi pada dunia modern apabila dia tidak pernah berbuat
apa-apa? Dalam kaitan dengan Leonhard Euler jawabnya tampak jelas sekali:
pengetahuan modern dan teknologi akan jauh tertinggal di belakang, hampir
tak terbayangkan, tanpa adanya formula Euler, rumus-rumusnya, dan
metodenya. Sekilas pandangan melirik indeks textbook matematika dan fisika
akan menunjukkan penjelasan-penjelasan ini sudut Euler (gerak benda keras);
kemantapan Euler (deret tak terbatas); keseimbangan Euler (hydrodinamika);
keseimbangan gerak Euler (dinamika benda keras); formula Euler (variabel
kompleks); penjumlahan Euler (rentetan tak ada batasnya), curve polygonal
Eurel (keseimbangan diferensial); pendapat Euler tentang keragaman fungsi
(keseimbangan diferensial sebagian); transformasi Euler (rentetan tak
terbatas); hukum Bernoulli-Euler (teori elastisitis); formula Euler-Fourier
(rangkaian trigonometris); keseimbangan Euler-Lagrange (variasi kalkulus,
mekanika); dan formula Euler-Maclaurin (metode penjumlahan) itu semua
menyangkut sebagian yang penting-penting saja.

11

Hasil matematika dan ilmiah Euler betul-betul tak masuk akal. Dia
menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-
ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Orang bilang,
kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri dari lebih 70 jilid! Kegeniusan Euler
memperkaya hampir segala segi matematika murni maupun matematika siap
pakai, dan sumbangannya terhadap matematika fisika hampir tak ada
batasnya untuk penggunaan.

Euler khusus ahli mendemonstrasikan bagaimana hukum-hukum
umum mekanika, yang telah dirumuskan di abad sebelumnya oleh Isaac
Newton, dapat digunakan dalam jenis situasi fisika tertentu yang terjadi
berulang kali. Misalnya, dengan menggunakan hukum Newton dalam hal
gerak cairan, Euler sanggup mengembangkan persamaan hydrodinamika.
Juga, melalui analisa yang cermat tentang kemungkinan gerak dari barang
yang kekar, dan dengan penggunaan prinsip-prinsip Newton. Dan Euler
berkemampuan mengembangkan sejumlah pendapat yang sepenuhnya
menentukan gerak dari barang kekar. Dalam praktek, tentu saja, obyek benda
tidak selamanya mesti kekar. Karena itu, Euler juga membuat sumbangan
penting tentang teori elastisitas yang menjabarkan bagaimana benda padat
dapat berubah bentuk lewat penggunaan tenaga luar.

Euler juga menggunakan bakatnya dalam hal analisa matematika
tentang permasalahan astronomi, khusus menyangkut soal “tiga-badan” yang
berkaitan dengan masalah bagaimana matahari, bumi, dan bulan bergerak di
bawah gaya berat mereka masing-masing yang sama. Masalah ini –suatu
masalah yang jadi pemikiran untuk abad ke-21– belum sepenuhnya
terpecahkan. Kebetulan, Euler satu-satunya ilmuwan terkemuka dari abad ke-
18 yang (secara tepat, seperti belakangan terbukti) mendukung teori
gelombang cahaya.

Buah pikiran Euler yang berhamburan tak hentinya itu sering
menghasilkan titik tolak buat penemuan matematika yang bisa membuat
seseorang masyhur. Misalnya, Joseph Louis Lagrange, ahli fisika matematika
Perancis, berhasil merumuskan serentetan rumus (“rumus Lagrange”) yang
punya makna teoritis penting dan dapat digunakan memecahkan pelbagai
masalah mekanika. Rumus dasarnya diketemukan oleh Euler, karena itu
sering disebut rumus Euler-Lagrange. Matematikus Perancis lainnya, Jean

12

Baptiste Fourier, umumnya dianggap berjasa dengan penemuan teknik
matematikanya, terkenal dengan julukan analisa Fourier. Di sini pun, rumus
dasarnya pertama diketemukan oleh Leonhard Euler, dan dikenal dengan
julukan formula Euler- Fourier. Mereka menemukan penggunaan yang luas
dan beraneka macam di bidang fisika, termasuk akustik dan teori
elektromagnetik.

Dalam urusan matematika, Euler khusus tertarik di bidang kalkulus,
rumus diferensial, dan ketidakterbatasan suatu jumlah. Sumbangannya dalam
bidang ini, kendati amat penting, terlampau teknis dipaparkan di sini.
Sumbangannya di bidang variasi kalkulus dan terhadap teori tentang
kekompleksan jumlah merupakan dasar dari semua perkembangan
berikutnya di bidang ini. Kedua topik itu punya jangkauan luas dalam bidang
penggunaan kerja praktek ilmiah, sebagai tambahan arti penting di bidang
matematika murni.

Formula Euler, menunjukkan adanya hubungan antara fungsi
trigonometrik dan jumlah imaginer, dan dapat digunakan menemukan
logaritma tentang jumlah negatif. Ini merupakan satu dari formula yang paling
luas digunakan dalam semua bidang matematika. Euler juga menulis sebuah
textbook tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting dalam
bidang geometri diferensial dan geometri biasa.

Kendati Euler punya kesanggupan yang hebat untuk penemuan-
penemuan matematika yang memungkinkannya melakukan praktek-praktek
ilmiah, dia hampir punya kelebihan setara dalam bidang matematika murni.
Malangnya, sumbangannya yang begitu banyak di bidang teori jumlah, tetapi
tidak begitu banyak yang bisa dipaparkan di sini. Euler juga orang pemula
yang bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematika yang punya arti
penting di abad ke-20.

Akhirnya, Euler memberi sumbangan penting buat sistem lambang
jumlah matematik masa kini. Misalnya, dia bertanggung jawab untuk
penggunaan umum huruf Yunani untuk menerangkan rasio antara keliling
lingkaran terhadap diameternya. Dia juga memperkenalkan banyak sistem
tanda yang cocok yang kini umum dipakai di bidang matematika.
(https://www.biografiku.com/biografi-leonhard-euler/) .

13

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli,

misalkan diberikan fungsi ( ) = (1 + 1) dengan bilangan asli. Rumus



fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan ekspansi Newton,

yaitu :

(1 + 1 = 0 + 1 ( 1 ) + 2 22 + 3 33 + ⋯
) ( ) ( )

= 1 + (1) + ( −1) + ( −1)( −2) + ⋯
2! . 2 3! . 3


Untuk n → , ditulis :

(1 1 1 1 1
lim + ) = 1 + 1 + 2! + 3! + 4! + ⋯

→∞

= 2 + 0,5 + 0,166 … + 0,041666 … + ⋯

= 2,7172818 …

Bilangan irasional 2,7172818⋯ selanjutnya dikenal sebagai bilangan
euler dan dinotasikan dengan huruf e. Bilangan ini
merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus.

Asal Usul Bilangan e
» Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun 1918, seorang

ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep
logaritma.
» Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola
persegi Panjang. Saint – Vincent berusaha merumuskan hubungan antara
daerah di bawaah hiperbola persegi Panjang dengan logaritma hasil
penelitian John Napier.
» Pada tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi
Panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secara eksplisit hubungan
antara daerah di bawah persegi Panjang hiperbola yx = 1 dan logaritma.
» Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di
bawah hiperbola persegi Panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama
dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e.

14

» Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majemuk kontinyu.

Bernoulli mencoba untuk menemukan batas dari suatu fungsi ( ) =
(1 + 1) untuk x cenderuang membesar dan menuju tak hingga



» Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas

dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan

pendekatan atas bilangan e pertama kalinya.

» Jacob Bernoulli juga merupakan orang bertama kali memahami bahwa

fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.

» Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens dan memberikan

suatu notasi atas konstanta dari penelitian Huygens yakni b (dan bukan e).

» Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun 1731 sampai akhirnya

notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada

Goldbach dan pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya

fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysin infinitorum yang

menunjukkan = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = lim (1 + 1)
1! 2! 3! →∞

Konsep limit bilangan e

Teorema

SUMBER BELAJAR

Anda bingung ?
Simak video tentang limit bilangan
euler. Tetap semangat untuk masa

depan!

15

8. Kontinuitas dan Diskontinuitas
Fungsi ( ) dikatakan kontinu pada titik = , jika memenuhi syarat-syarat:
1) ( ) ada (tertentu)
2) lim ( ) ada

→

3) lim ( ) = ( )

→

Sebuah fungsi kontinu pada sebuah domain jika fungsi ini kontinu pada setiap
titik dari domain tersebut.

Sebuah fungsi ( ) dikatakan diskontinu pada = , jika salah satu dari
syarat-syarat kekontinuan fungsi ( ) di atas tidak dipenuhi.

D. Sajian Contoh

Perhatikan contoh-contoh berikut dengan seksama!

No Butir Soal Penyelesaian

1 sin 7 = lim sin 7 7 77
lim × 2 = 1 × 2 = 2
2 →0 7
→0

Cara cerdas:

lim sin 7 7
=2
→0 2

2 3 5 2 5 tan 5
lim = lim ×
(21 (10 )2 sin (21 )
→0 (10 )2 sin ) →0

= lim ( tan 5 5 2 tan 5 × (12 ) × 5
× 10 ) × 5 sin (21 ) (12 )
→0 5

52 5
= (1 × 10) × 1 × 1 × (12)

12
= (2) × 10

5
=2

16

3 lim sin 4 + 5 − tan = lim sin 4 + lim sin 5 − lim tan

→0 2 →0 2 →0 2 →0 2

451
=2+2−2

=4

4 tan ( − 1) sin(1 − √ ) = tan ( − 1) sin(1 − √ )
lim 2 − 2 + 1 lim −(1 − )( − 1)

→0 →0

= lim tan ( − 1) sin(1 − √ )
→0 −( − 1)(1 − √ )(1 + √ )

= lim tan ( − 1) sin (1 − √ ) 1
. lim . lim
→0 −( − 1) →0 (1 − √ ) →0 (1 + √ )

= (−1) . (1) . ( 1 )
1 + √0

= −1

5 ( 2 − 1) tan 6 = lim ( 2 − 1) tan 6 = lim ( − 1)( + 1) tan 6
lim
2 + 3 2 + 3 →0 2 + 3 2 + 3 →0 (2 + 3 + 2)
→0

= lim ( − 1)( + 1) tan 6

→0 ( + 1)( + 2)

= lim ( + 1) . lim tan 6 . lim ( − 1)

→0 ( + 1) →0 →0 ( + 2)

−1
= 1 . 6. ( 2 ) = −3

6 lim tan − sin = lim tan − sin = lim tan (1 − cos )

→0 cos →0 cos →0 cos

= lim tan . lim (1 − cos )

→0 →0 cos

1−1 0
= 1 . ( 1 ) = 1. (1) = 0

7 lim cot cos sin
= lim ( sin ) . (1 − sin )
→0 − 1
→0

= lim 1 (1 1 0) = 1

→0 −

8 lim 1 − cos 4 Cara 1.

→0 2 1 − cos 4 1 − (1 − 2 22 )

lim 2 = lim 2

→0 →0

= lim 1 − 1 + 2 22

→0 2

= lim 2 22 = 2.2.2= 8

→0 2

17

Cara 2. Cara cerdas

1 − cos 4 42
lim = 2.1 = 8
2
→0

9 1 − 2( − 1) 2( − 1) 1 sin( − 1) 2 1 1
lim lim = (lim ( − 1) ) = 4 × 1 = 4
4 ( 2 − 2 + 1) 4 ( − 1)2 4
→0 →0 →0

10 lim tan 3 − tan 3 cos 2 = lim tan 3 (1 − cos 2 )

→0 4 3 →0 4 . 2

= lim tan 3 × lim 1 − cos 2

→0 4 →0 2

11 1 − 2 − cos 2 (1 − 2 ) − cos 2
lim = lim
4 4
→0 →0

= lim 2 − cos 2

→0 4

= lim 2 (1 − cos )

→0 4

= lim 2 (1 − cos )

→0 2 2

= lim 2 × lim (1 − 2 )

→0 2 →0 2

= 1 × 1 =

2

12 lim cos 4 − 1 Rumus trigonometri yang digunakan untuk

→0 cos 5 − cos 3 menyelesaikan soal ini adalah:

(1) rumus sudut rangkap
cos 2 = 1 − 2 2

cos 4 = cos 2(2 ) = 1 − 2 2(2 )

(2) rumus pengurangan dua sudut

cos − cos = −2 sin 1 ( + ) sin 1 ( − )
2 2

11
cos 5 − cos 3 = −2 sin 2 (8 ) sin 2 (2 )

= −2 sin 4 sin

Maka:

= lim 1 − 2 2 − 1

→0 −2 sin 4 sin

= lim − sin 2 × sin 2

→0 −2 sin 4 × sin

1 sin 2 sin 2
=2 lim × lim
sin 4 sin
→0 →0

12 1
=2×4×2=2

18

13 lim sin (2 + ) − sin 2 Rumus trigonometri yang digunakan
11
→0
sin − sin = 2 cos 2 ( + ) sin 2 ( − )

= 2 cos 1 (2 + + 2 ) sin 1 (2 + − 2 )
lim 2 2

→0

= 2 cos 1 (4 + ) sin 1 ( )
lim 2 2

→0

= 2 lim cos 1 (4 + ) × lim sin 1
2
→0 →0
2

1
= 2 cos 2 × 2 = cos 2

14 1 1 1 1
l i→m 6 2 cos 12 = l i→m 6 2 cos 12 (6) = 2 × 1 = 2

15 lim ( 2 + − 6) sin ( + 3) = lim ( 2 + − 6) sin ( + 3)

→−3 (2 2 + 7 + 3)2 →−3 ((2 + 1)( + 3))2

= lim ( + 3)( − 2) sin ( + 3)

→−3 (2 + 1)2 ( + 3)2

= lim ( − 2) × lim ( + 3) × lim sin ( + 3)

→−3 (2 + 1)2 →−3 ( + 3) →−3 ( + 3)

(−3 − 2)
= (2(−3) + 1)2 × 1 × 1

−5 1
= 25 = − 5

16 Buktikan bahwa Untuk membuktikan itu berarti untuk setiap M > 0

lim (1 1 = +∞ yang diberikan betapapun besarnya adalah mungkin
− )2
→1

menemukan  > 0 sedemikian hingga untuk setiap x

yang memenuhi |x – 1| <  akan diperoleh 1 > M
(1−x)2

Dari berarti 1 > M . berarti (1 − x)2 < 1
(1−x)2
M

Sehingga |1 − x| < 1 .

√M

Jika diambil  = 1 , berarti untuk setiap x pada
√M

|x − 1| < 1 akan dipenuhi

√M

 (x − 1)2 < 1

M

19

 (1 − x)2 < 1

M

 1 > M
(1−x)2

Dari pertidaksamaan terakhir ini menunjukkan bahwa

lim 1 = +∞

→1 (1 − )2

17 5 + 2 − 1 5 + 2 − 1 5+0+0
1 − 3 1 −  1−0−0 = 5
lim 3 = lim 2 =
5 2 5 3
→∞ − x→∞  −
2

18 3 − 2 2 − 5 3 − 2 2 − 5 1 − 2 − 5
lim 3 3 1
2 3 − = lim = lim = 2
→∞ 2 3 − 1
→∞ 3 →∞
2−
2

19 lim √2 2 + 2 − 3 − √2 2 − 2 − 3 = lim (√2 2 + 2 − 3 − √2 2 − 2 − 3)
→ ∞ → ∞

√2 2 + 2 − 3 + √2 2 − 2 − 3
×( )

√2 2 + 2 − 3 + √2 2 − 2 − 3

(2 2 + 2 − 3) − (2 2 − 2 − 3)
= lim

→ ∞ √2 2 + 2 − 3 + √2 2 − 2 − 3

4
= lim

→∞ √2 2 + 2 − 3 + √2 2 − 2 − 3

4

= lim

→∞ √2 2 + 2 − 3 + √2 2 − 2 − 3
2 2

= lim 44 = √2
= = lim
→∞ √2 + √2 →∞ 2√2

Cara cerdas

− 2 − (−2) 4
== = = √2
2√ 2√2 2√2

20 lim (√ 2 − 5 − − 2) = lim (√ 2 − 5 − √( + 2)2)

→ ∞ → ∞

= lim √ 2 − 5 − √ 2 + 4 + 4

→∞

= lim (√ 2 − 5 − √ 2 + 4 + 4)

→∞

(√ 2 − 5 + √ 2 + 4 + 4)
×

(√ 2 − 5 + √ 2 + 4 + 4)

( 2 − 5 ) − ( 2 + 4 + 4)
= lim

→∞ √ 2 − 5 + √ 2 + 4 + 4

−9 − 4

= lim

→∞ √ 2 − 5 + √ 2 + 4 + 4
2 2

20

−9 − 0 9
= √1 − 0 + √1 + 0 + 0 = − 2

21 52 Misalkan 1 =  = 1
lim tan csc

→∞
= lim tan 5 csc 2
1
→∞

= lim tan 5 . sin1

→0 2

5
=2

22 2 2

lim (1 + ) 2 2

→∞ lim (1 + ) = lim (1 + 1 = 2
[ (2 ))
→∞ →∞

]

23 1 +5 1 +5
lim (1 + ) lim (1 + ) =

→∞ →∞ substitusi

1 1 5
lim (1 + ) × lim (1 + ) = × 1 =

→∞ →∞

24 + 3 + 3 − 1 4
lim ( 1) lim ( 1) = lim ( 1 + 1)
− − − −
→∞ →∞ →∞

= (1 + 4 ( −1)+1
lim 1)
−
→∞

= lim (1 + 4 ( −1) 4 1

→∞ − 1 ) × lim (1 + − 1) = 4
→∞

25 Selidiki apakah fungsi ( ) = Untuk menyelidiki kekontiuan fungsi, kita gunakan

− 2, ∈ bilangan real ketiga syarat tersebut, yaitu:

kontinu di = 2 1) (2) = 2 − 2 = 0 (ada)

2) lim ( ) = lim( − 2) = 0 (ada)
→2 →2

3) Tampaklah lim ( ) = (2) = 0

→2

Jadi, ketiga syarat dipenuhi, maka ( ) = − 2

kontinu pada = 2

26 Diketahui fungsi • (1) = 3 ada

( ) = ( +5)( −1) ; Jika ≠ 1 • lim ( ) = lim( + 5) = 6 ada
→1 →1
{ −1
3 ; jika = 1
• lim ( ) = lim( + 5) = 6 ≠ (1) = 3
→1 →1
selidiki apakah fungsi ( )
Jadi, syarat ketiga tidak terpenuhi sehingga fungsi
kontinu di = 1
( ) diskontinu di = 1

21

E. Soal Latihan

Untuk memperkuat pemahaman terhadap konsep limit fungsi trigonometri,

silahkan soal-soal berikut dikerjakan dengan teliti.

1. lim ( 2 − 1) tan 6 23. lim 3 3 2
2 + 3 2 + 3 →0 5
→0

2. lim 24. lim ( 3 5 tan 5 −
→0 2
→0 2

3. lim (sin 2 − sin 5 ) 2 2 2 3 )

→0 sin 8 − sin 3 32

4. lim sin 25. lim 2 − 2 cos 2
sin +cos
→0 →0 4 . tan 5

5. lim sin 2 26. lim (5 tan 4 − sin 3 + 2 2 22 )

→0 3 − √2 + 9 →0

6. lim tan ( 2 − 1) 27. lim 1 − cos 2
. tan (52 )
→0 sin 2 →0

7. lim 1 − cos 2 28. lim (csc − 2) tan 2
tan (12 )
→0 →0

8. lim ( 1 − 2 ) 29. lim 1 − cos 4
2
→0 tan sin →0

9. lim sin 2 cot 30. lim 1 − √cos 2
2
→0 →0

10. lim tan − sin 31. lim 1 − 2( −1)
4 ( 2−2 +1)
→0 cos →0

11. lim tan − sin 32. lim ( sin 2 + 1 − cos )
2 tan
→0 →0 1 − cos x 1 − cos 2

12. lim − cos + 1 − cos 33. lim tan 3 − tan 3 cos 2
2 4 3
→0 →0

13. lim 2 2 2 34. lim 1 − 2 − cos 2
4
→0 csc →0

14. lim cot 1 35. lim 3
csc −
→0 →0 tan − sin

15. lim 2 √4 − 3 36. lim cos − cos 3
2 √4 −
→0 cos − cos 3 →0

16. lim 1 ( 32 + sin 2 cos 2 ) 37. lim sin (− − ) sin
3 3
→0 cos 2
→0

17. lim ( + 2) tan 38. lim 2 + 2 3
sin (2 2 )
→0 ( +1)(1 − cos 2 ) →0

18. lim cos − cos sin cos
2 2 + 4 2 − 6
→0 39. lim √1 − 2 2 + . . .

19. lim sin →0

→0 1 − cos 2 40. lim cos (2 + 3 + ℎ) − cos (2 + 3)
ℎ
20. lim cos 4 − 1 ℎ→0

→0 tan 2 41. Tentukan nilai yang

21. lim 8 − 3 sin 2 memenuhi

→0 2 + 2 sin 3 (lim cos − cos )
2 −
22. lim 2 3 lim →0 = 2

→0 1 − cos 2 →0

22

42. Temukan nilai a dan b yang 59. lim √ 2 − + 2
2 − + 2
memenuhi kesamaan limit →−∞

berikut. 60. lim [ ( + 2) − 3 ]
2 +
→∞ + 1 1

a) lim sin + = −1 61. lim 3√(3 − √3 )(√ +2)
→∞ 8 − 4
→0 cos − 1

b) l i→m 2 (2 − ) cos + = 1
sin − 1
62. Buktikan bahwa :

43. l i→m 8 2 2 − 2 2 a) lim (3√ + 1 − 3√ ) = 0
sin 2 − cos 2
→∞

( 2 − 1) tan (2 − 2) b) lim (3√ 3 + 2 + + −
2 ( − 1)
→∞

44. lim ) = 1

→1 3

45. lim cos 2 c) lim (3√ + 2 −
sin − cos
→ 4 →∞

46. lim sin ( − ) 3√ ) 3√ 2 = 2
( − 1) 3
→1

47. l i→m 2 ( − 2 )3 d) lim √ (√ − −
− sin ) cos
→∞

(1 √ + 4) = −4

48. lim sin − sin e) > > > jika
− 4
→ 4
4 { ( + 2) 3
2 +
49. lim sin = lim + 1 − }

→ 1 + cos →∞ 1

− 9 = lim 3√(3 − √ )(√ + 2)
50. lim ( − 2√ − 3) →∞ 8 − 4

→9 sin = lim (2 − 3))4

51. lim 2 −2 cos ( + 2) →∞ 3 + 7
2 + 4 + 4
→−2 = lim 4√1 + 2

l i→m 2 4 ( − ) 2 { →∞ √1 + 2
( − 2 ) tan ( −
52. 2 )

( − 1 ) cos ( − 1 ) 63. lim (√ + √ − √ − √ )
( 2 − 1)
→∞

53. lim 2 sin 64. lim √2014 − √2014 −

→1 →∞

54. lim tan − tan − √2014 + √2014
(1 − ) tan tan
→ 1 +

55. lim tan − tan 65. lim (√ + 3 − √ − 1 ) √

→ 1− (1 + tan tan ) →∞

66. lim (√9 + 1 − √9 ) √36 + 1
56. lim ( − 4)2( 2 + 1)
4 4 − 3 + 1 →∞
→∞
67. lim (√9 + 5 − √9 − 4)
57. lim (2 − 3)( 3 + 1)
4 2 − 3 + 1 →∞
→∞

58. lim (2 − )( 2 + 4 + 1) 68. lim √12 2 − 4 + 1 + 2
8− 3
→∞ →∞ − 2014

69. lim 2 +
√ 4 − 3 2
→∞

23

70. lim (5 − 2 − √9 2 + 18 + 1 − 89. lim ( − 5)2 − 3

→∞ →∞ + 3

√4 2 − 8 + 3) 5

90. lim (√1 + 3)
71. lim (√25 2 + 10 + 2 − →∞

→∞ 5

√9 2 − 18 + 3 − 3 + 1 + 91. lim (1 + 4 + 4 2)

→∞

√ 2 + 2 + 3) 92. lim (1 + 3 + 5)3
2 +
72. lim cot 3 −1 sin −1 →∞ 4

→ ∞ 93. lim (1 + 8)√ 6+2 4 − √ 6− 2 4

73. lim tan 5 csc 2 →∞

→∞ 2 5 + 4 + 3

74. lim (1 − cos 1 ) 94. lim ( )3 + 1 (2 − 1)2( − 2)2
→ ∞ √
→∞ 3 − 5

75. lim sin 3 95. lim(1 − sin )5

→∞ 1 2 ) →0
2 sin (1 − cos
4
76. lim 2
2 − 5 96. lim(1 − tan ) 2
→∞
→0

2 2 97. Buktikan bahwa :

77. lim 2 cot − 3 cot lim tan + 1 2)

→∞ 5 2 − 2 →2 − 2 lim (1 + = + 1

→∞

78. lim (1 − 1) − 1 98. Tunjukkan bahwa: lim(cos 6 = 1
→∞ 3
→0 ) 2

79. lim (1 + 1 3 99. Tentukan pada interval manakah

→∞ 2 )

2 3) 3 − 3 fungsi ( ) diskontinu

80. lim (1 + a. ( ) = − 1
2 + −
→∞ 6

81. lim (1 − 3 4 + 3 4 − 2
− √ 2 +
→∞ 2 + 3 ) b. ( ) =

3 5

82. lim ( + 3)5 c. ( ) = 2 8
3 −
→∞ + 2

83. lim ( + 6) + 4 100. Buktikan bahwa :

→∞ − 1

84. lim (1 + 5 2 a) fungsi ( ) = 1 diskontinu pada
+ – 3
→∞ )

3

( 22++4 ++31) + 5 = 3

85. lim

→∞ 2 − 27 ; untuk ≠ 3
b) ( ) = { − 3
( 22++72 +−132)4 + 5

86. lim

→∞

−5 9 ; untuk = 3

87. lim (√ − 2) diskontinu di = 3
→∞

88. lim (1 + 1 7

→∞ 2 )

24

BAB II
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

A. Penjelasan Tujuan Bab
3.3 Menggunakan prinsip turunan ke fungsi trigonometri sederhana
4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi
trigonometri
3.4 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan
nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi,
kemiringan
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum, nilai
minimum, selang kemonotonan fungsi, dan kemiringan garis singgung
serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri

B. Isi Bab
1. Definisi turunan
2. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
3. Teorema Turunan
4. Titik Stasioner Suatu Fungsi dan Jenis Ekstrim Fungsi
5. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
6. Persamaan Garis Singgung dan Gradien Garis Normal Sebuah Kurva
7. Kemonotonan Fungsi
8. Turunan Fungsi Siklometri (Materi Pengayaan)
9. Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma (Materi Pengayaan)

C. Penjelasan Teori

1. Definisi Turunan

Misalkan fungsi = ( ) yang terdefinisi (diferensiabel) untuk nilai dalam daerah

asal = { | ∈ } , maka turunan fungsi ( ) terhadap ditentukan oleh rumus:

′( ) = lim ( +ℎ)− ( ) atau ′( ) = lim ( ) − ( )
ℎ→0 ℎ
→ −

jika nilai limit ini ada.

2. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
a. ( ) = sin → ′( ) = cos
b. ( ) = cos → ′( ) = −sin
c. ( ) = tan → ′( ) = 2

25

d. ( ) = ctg → ′( ) = − 2
e. ( ) = sec → ′( ) = sec tan
f. ( ) = csc → ′( ) = − csc

3. Teorema Turunan

Jika adalah konstanta, dan adalah fungsi yang terdefinisi (diferensiabel), maka:

a. = → ′ = ′

b. = ± → ′ = ′ ± ′

c. = × → ′ = ′ + ′

d. = → ′ = ′ − ′
2

→ ′ = . −1. ′
e. =

4. Titik Stasioner Suatu Fungsi dan Jenis Ekstrim Fungsi
Kurva suatu fungsi (lengkung) = ( ) mempunyai tiga jenis ekstrim fungsi, yaitu
maksimum, minimum, dan belok. Titik stasioner kurva fungsi itupun ada tiga, yaitu titik
maksimum, titik minimum, dan titik belok. Titik stasioner (titik kritis/titik balik/merupakan
titik dalam keadaan diam dari suatu fungsi.

Misalkan suatu bilangan pada daerah asal fungsi
, maka ( ) adalah nilai stasioner fungsi pada
= dan koordinat titik stasionernya ( , ( )).

Untuk memeriksa kondisi bahwa nilai stasioner suatu fungsi adalah nilai ekstrim fungsi
dapat dilakukan dengan strategi berikut:
1) Strategi Uji Turunan Pertama untuk Menentukan Jenis Ekstrim

a) Jika ′( ) > 0 untuk < dan ′( ) < 0 untuk > maka mempunyai
nilai balik maksimum pada = . Nilai balik maksimumnya adalah ( ).

b) Jika ′( ) < 0 untuk < dan ′( ) > 0 untuk > maka mempunyai
nilai balik minimum pada = . Nilai balik maksimumnya adalah ( ).

c) Jika ′( ) mempunyai tanda yang sama untuk < dan > untuk > ,
maka tidak mempunyai maksimum atau minimum pada = , sehingga
( ) bukan nilai ekstrim.

Tafsiran geometri dari uji turunan pertama pada penentuan jenis ekstrim dapat
dinyatakan sebagai berikut:

26

2) Strategi Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Jenis Ekstrim
Misalkan fungsi ( ) terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka , artinya
turunan pertama dan turunan keduanya ada dalam interval , maka:
a) Jika ′′( ) < 0 maka ( ) adalah nilai balik maksimum fungsi .
b) Jika ′′( ) > 0 maka ( ) adalah nilai balik minimum fungsi .
c) Jika ′′( ) = 0 maka belum dapat disimpulkan, fungsi mungkin mencapai nilai
balik maksimum, nilai balik minimum, atau tidak mencapai nilai ekstrim. Dalam
kasus ini penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji
turunan pertama

5. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
• Definisi
Misalkan fungsi ( ) kontinu dan diferensiabel pada nilai-nilai pada derah interval
tertutup dan ∈ . Kita katakan bahwa:
1) ( ) adalah nilai maksimum pada jika ( ) ≥ ( ) untuk semua di

2) ( ) adalah nilai minimum pada jika ( ) ≤ ( ) untuk semua di

27

3) ( ) adalah nilai ekstrim pada jika ( ) adalah nilai maksimum atau
nilai minimum.

• Teorema Eksistensi Maksimum Minimum
Misalkan fungsi ( ) kontinu pada daerah asal . Jika interval tertutup [ , ]
berada pada maka fungsi mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

• Teorema Titik Kritis
Andaikan didefinisikan pada interval yang memuat titik . Jika ( ) adalah nilai
ekstrim maka haruslah suatu titik kritis berupa salah satu dari:

1) Titik ujung interval ;
2) Titik stasioner dari ( ′( ) = 0); atau
3) Titik singular dari ( ′( ) )

• Langkah menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f
pada interval tertutup I, sebagai berikut:
1) Tentukan ′( )
2) Tentukan semua titik kritis pada interval tertutup [ , ], yaitu
3) Hitunglah nilai fungsi pada semua titik kritis yang diperoleh pada langkah
2) kemudian bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar
menjadi nilai maksimum mutlak dari fungsi dan yang terkecil akan menjadi
minimum mutlak dari fungsi .

6. Persamaan Garis Singgung dan Gradien Garis Normal Sebuah Kurva

Persamaan garis singgung suatu kurva dan garis normal suatu kurva berpedoman pada

persamaan garis lurus, yaitu :

a) Persamaan garis lurus yang bergradien dan melalui titik ( 1, 2) ditentukan

oleh: − = ( − )

b) Persamaan garis lurus melalui sebuah titik ( 1, 2) dan tegak lurus terhadap garis:

 + + = 0 dengan gradiennya 1 = − maka 1 . 2 = −1 adalah −



= ( − )

 = + dengan gradiennya 1 = maka 1 . 2 = −1 adalah − =

( − )

Gradien sebuah kurva = ( ) pada sebuah titik ( 1, 2) ditentukan oleh

28

= ′( 1) = tan
( ) = 1

7. Kemonotonan Fungsi

Fungsi didefinisikan pada interval dikatakan monoton jika memenuhi salah satu dari

sifat berikut:

1) Fungsi dikatakan naik pada jika dan hanya jika untuk setiap dua titik sembarang

1, 2 ∈ dengan 1 < 2 mengakibatkan ( 1) < ( 2)
2) Fungsi dikatakan turun pada jika dan hanya jika untuk setiap dua titik

sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 < 2 mengakibatkan ( 1) > ( 2) setiap
3) Fungsi dikatakan tidak turun pada jika dan hanya jika untuk

dua titik sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 < 2 mengakibatkan ( 1)  ( 2)

4) Fungsi dikatakan tidak naik pada jika dan hanya jika untuk setiap

dua titik sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 < 2 mengakibatkan ( 1) ≥ ( 2)

8. Turunan Fungsi Siklometri (Invers Trigonometri)

Sebagaimana fungsi trigonometri, invers fungsi trigonometri juga diferensiabel (dapat

diturunkan).

• = sin  ′ = √1 1 2 pembuktiannya ada di sajian contoh.
−

• = cos  ′ = −1
√1 − 2

Catatan: arc (dibaca arcus) atau fungsi kebalikan atau invers fungsi

D. Sajian Contoh

No Butir Soal Penyelesaian

1 Diketahui fungsi ( ) = cos . ′( ) = lim ( + ℎ) − ( )
Buktikan bahwa turunan ℎ
ℎ→0

fungsi f(x) adalah = lim ( + ℎ) − cos
′( ) = − sin
ℎ→0 ℎ

= lim −2 sin ( + 1 ℎ) sin 1 ℎ
2 2
ℎ→0
ℎ

= −2 lim sin( + 1 ℎ) × lim sin 1 ℎ
2
ℎ→0 ℎ→0
2 ℎ

1
= −2 . sin . 2

= − sin (terbukti)

2 Tentukan turunan dari

( ) = 3 sin − 5 cos ′( ) = 3 cos + 5 sin

29

3 Tentukan turunan dari Soal bentuk = × → ′ = ′ + ′

= 2 tan Misalkan

= 2 → ′ = 2
= tan → ′ = 2

maka
′ = 2 tan + 2 2

4 Tentukan turunan dari Soal bentuk = → ′ = ′ − ′
( ) = 3 2

sin = 3 → ′ = 3 2

= sin → ′ = cos

′( ) = 3 2 sin − 3 cos
2

5 Carilah turunan pertama • Menggunakan aturan rantai

dari fungsi = 4
= ×
Misalkan : = sin  = cos



Soal menjadi = 4  = 4 3 maka




= ×

= 4 3 × cos

= 4 3 cos

• Menggunakan rumus = 

′ = −1 . ′
= 4  ′ = 4 3 cos

6 Carilah turunan pertama • Menggunakan aturan rantai

dari fungsi = sin(cos ) Misalkan = cos  = − sin



= sin(cos ) = sin


= cos = cos(cos )


= ×

= cos (cos ) × (− sin )

= − sin cos(cos )
• Menggunakan rumus = 

′ = −1 . ′

= cos(cos ) (cos )
= cos(cos ) × (− sin )

= − sin cos (cos )

30

7 (Penerapan turunan dalam
penentuan nilai maksimum dan

nilai minimum fungsi dalam ( ) = 4 cos + cos 2

interval tertutup) ′( ) = −4 sin − 2 sin 2

Tentukan nilai maksimum = −4 sin − 2 (2 sin cos )

dan nilai minimum dari = −4 sin − 4 sin cos

( ) = 4 cos + cos 2 = −4 sin (1 + cos )

untuk 0 ≤ ≤ 2

Syarat stasioner ′( ) = 0
−4 sin (1 + cos ) = 0

−4 sin = 0 atau 1 + cos = 0
sin = 0 atau cos = 1
 = 0, , 2

Uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstim

fungsi ′′(0) = −4 cos 0 − 4 cos 0 = −8 < 0

berarti memiliki nilai maksimum, yaitu:

= 0  ( ) = 4 cos 0 + cos 0 = 4 + 1 = 5
Titik balik maksimum (0, 5)

=  ( ) = 4 cos + cos 2
= −4 + 1 = 3

Uji turunan keduanya ( ′′( ) = 0)menyatakan bahwa

titik ( , 3) merupakan titik belok

= 2  ( ) = 4 cos 2 + cos 4

=4+1=5

Uji turunan keduanya ( ′′(2 ) = −8 < 0) menyatakan

bahwa titik (2 , 5) merupakan titik balik

maksimum

8 (Penerapan turunan dalam Kurva = 1 + 2 2
penentuan laju perubahan nilai
Turunan = 4 sin cos
fungsi)

Diberikan = 1 + 2 2

untuk 0 ≤ ≤ dan nilai Lajur pertambahan terhadap

bertambah pada laju 0,2
= 0,2 rad/s

rad/s. Berapa laju Laju perubahan terhadap , menggunakan

perubahan terhadap aturan rantai, diperoleh:
waktu saat =
= ×
3

31

= (4 sin cos )(0,2)

Saat =  ( ) = 3 = (4 sin cos ) (0,2)
3
3 3

= 0,8 (1 √2) (1) = 1 √3 unit/s
5
2 2

9 (Penerapan turunan dalam
= 6  y = 2 sin (6) − 1 = 1 − 1 = 0
penentuan persamaan garis

singgung dan garis normal)
(6 , 0)
Tentukan persamaan garis

singgung dan garis normal Gradien ( 1) diperoleh dari turunan fungsi di
dari kurva = 2 sin − 1 di titik berabsis =
titik berabsis = 6

6
1 = 2 cos (6) = √3

Persamaan garis singgung kurva adalah


− 0 = √3 ( − 6)

√3
= √3 − 6

Karena garis singgung tegak lurus dengan

garis normal maka gradien garis normalnya

adalah 2 = − 1 di titik ( , 0). Persamaan
√3
6

garis normalnya adalah:

1
− 0 = − √3 ( − 6 )

1
= − +

√3 6√3

√3
= − 3 √3 + 18

10 Buktikan bahwa = sin , artinya = sin

= mempunyai Untuk =  ′ = = cos



turunan pertamanya 1 1
cos −
′ = 1 ′ = = = √1 2
−
√1 2

Terbukti.

Perhatikan gambar.

32

11 Carilah turunan pertama = artinya =
dari =
′ = = − sin


′ = = −1 = −1
sin √1 − 2

2 + 2 = 1  2 = 1 − 2
= 1 − 2

sin = √1 − 2

E. Soal Latihan

 Pilihlah jawabah yang Benar dari Soal-Soal berikut.

1. Turunan pertama fungsi ( ) = sin ( + ) 2 ( + ) adalah….

22
′( ) = −2 2 ( + ) cos ( + ) + 2 ( + )
a. 22 2

b. ′( ) = −2 2 ( + ) cos ( + ) + 3 ( + )
22 2

c. ′( ) = 2 sin ( + ) cos ( + ) + 3 ( + )
22 2
d. ′( ) = 2 sin ( + ) cos2 ( + ) + 3 ( + )
22 2
e. ′( ) = 2 2 ( + ) cos ( + ) + 3 ( + )
22 2

2. Diketahui ( ) = √sin 2 . Nilai ′ ( ) adalah….

1 12
2
a. − √6

b. − 1 √3
2

c. √3

d. 1 √3
2
1
e. 2 √6

3. Jika ( ) = cos maka ′ ( + ) = ….
2
a. − sin − x cos + cos
b. − sin − x cos − 2 cos
c. − sin + x cos − 2 cos
2
d. sin + x cos +
cos
cos + x sin + 2 sin
e.
2

4. Turunan dari ( ) = 3√ 2 (3 2 + 5 ) adalah ′( ) = ….
a. 2 −1(3 2 + 5 ) sin (3 2 + 5 )

3

b. 2 (6 + 5) −1(3 2 + 5 )

3

c. − 2 −13(3 2 + 5 ) sin(3 2 + 5 )

3

d. − 2 (6 + 5) tan(3 2 + 5 ) 3√ 2 (3 2 + 5 )

3

e. 2 (6 + 5) tan(3 2 + 5 ) 3√ 2 (3 2 + 5 )

3

33

5. Diketahui ( ) = (1 + sin )2(1 + )4 dan adalah turunan pertama ( ) . Nilai

dari ′ ( ) = ….

2

a. – 20
b. – 16
c. – 12
d. – 8
e. – 4

6. Turunan kedua dari fungsi ( ) = sin (cos ) adalah….

a. ′′( ) = 2 cos (sin ) − 2 sin(sin )
b. ′′( ) = cos cos (cos ) + sin sin(sin )

c. ′′( ) = − cos cos (cos ) − 2 sin(cos )

d. ′′( ) = − cos cos(cos ) + 2 sin(cos )
e. ′′( ) = −cos cos (cos ) − sin sin(sin )

7. Jika ( ) = sin + cos , turunan kedua ( ) pada = adalah….

a. – 2 2

b. – 1

c. 0

d. 1

e. 2

8. Turunan kedua fungsi ( ) = 2 3 − sin 2 pada = 3 adalah….
32 2

a. 6 − 2

b. 6 + 2

c. 3 − 1

d. 6

e. 3

9. Diketahui ( ) = 2 2(3 2 − ). Jika ′( ) = ( + ) ( 2 + ), nilai ( + +
+ ) = ….
a. – 12
b. – 10
c. – 8

d. 8

e. 12

10. Diketahui fungsi ( ) = 4 cot . Garis singgung dari grafik ( ) pada = akan

memotong sumbu_Y di titik (0, ) jika nilai = …. 2

a. 2

b.
c.
2
d. −
2
2 + 2
e.
2

11. Persamaan garis singgung pada kurva = 5 pada titik yang berabsis
3
adalah….

a. = 5√3 ( − ) + 5

2 32

b. = 2√3 ( − ) + 2

5 35

34

c. = − 2√3 ( − ) + 2

5 35

d. = − 2√3 ( − ) + 5

5 32

e. = − 5√3 ( − ) + 5

2 32

12. Gradien kurva = + 3 pada = adalah….
4
1
a. − 2 √2

b. −√2

c. 1 + √2

d. 1 √2
2

e. √2

13. Persamaan garis singgung pada kurva = sin pada titik yang berabsis

1 + cos 3

adalah…

a. = 2 − √3 − 3

3 24

b. = 3 − √3 − 2

2 39

c. = 2 − √3 − 3

3 34

d. = 2 + √3 − 2

3 39

e. = 2 + 2√3 + 2

3 39

14. Kurva berikut yang mempunyai garis singgung yang saling sejajar dengan garis

singgung kurva = 1 sec pada titik ( , 1) adalah….
2
( 3

a. = tan 2 pada titik 6 , √3)

b. = 2 sin pada titik ( , √3)

3
(
c. = − cos 2 pada titik , √3)
6
d. = 2 pada titik ( , 1)

42
(
e. = 2 tan pada titik , 2√3)
3

15. Fungsi ( ) = cos 2 − 5 untuk 0 < < 360 naik pada interval ….
a. 0 < < 90 atau 180 < < 270

b. 0 < < 90 atau 270 < < 360
c. 90 < < 180 atau 270 < < 360
d. 180 < < 270

e. 180 < < 360

16. Diketahui fungsi ( ) = sin ( − ) dengan 0 < < 2 . Kurva fungsi ( ) akan

3

cekung ke bawah pada interval….

a. 0 < <

3

b. 0 < < atau 4 < < 7

3 33

c. 0 < <

35

d. < < 4

33

e. < < 4 atau 5 < < 2

33 3

17. Diketahui fungsi ( ) = 2 + 2 dengan 0 < < 2 . Salah satu koordinat titik
stasioner dari fungsi tersebut adalah….
a. ( , 5)

42

b. ( , 11)

34

c. ( , 2)
d. (4 , 11)

34

e. (11 , 9)

64

18. Nilai pada titik stasioner fungsi ( ) = + cos untuk 0 < < 2 adalah….

a. 1

4

b. 1

3

c. 1
2

d. 3

4

e. 4

5

19. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi ( ) = 2 sin(3 + 5) + 1 adalah….
a. 2 dan 1
b. 2 dan - 1
c. 3 dan 1
d. 3 dan - 1
e. 4 dan - 1

 Turunkan setiap ekspresi di bawah ini terhadap x.
1. ( ) = − 2 sin

5

2. ( ) = 3 sin − 1 cos

5

3. ( ) = √ − cos + 2 sin

4. ( ) = √ 2 − 2 + 8 csc

 Turunkan setiap ekspresi di bawah ini terhadap x.

36

1. = 2 cos

2. = √ cot
3. = (sin − cos ) + 2 sin
4. = (2 + 2 ) cos

 Turunkan setiap ekspresi di bawah ini terhadap x.

1. ( ) = cos
2

2. ( ) = 1 − sin

1 + sin

3. ( ) = − 1

cot

4. ( ) = √

sec

 Turunkan setiap ekspresi di bawah ini terhadap x.
1. = 4
2. = 3√sin
3. = sin ( − 2)
4. = 3√ 5

5. = csc √ 2 + 1
6. = cos (sin )

 Diberikan fungsi trigonometri ( ) = sin sin dengan + ≠ 0. Buktikan
+ cos

bahwa 2 . ′( ) − 2( ) = 0

 Diketahui ( ) = 7 sin 2 . Jika ′( ) = cos 2 + maka tentukan nilai
− 2 (7 − cos 2 )2

+

 Diberikan fungsi = √sin 2 . Buktikan bahwa ′ = cos 2

 Jika ( ) = √sin + √sin + √sin + . . . buktikan bahwa ′( ) = cos

2 − 1

 Variabel dan dihubungkan oleh persamaaan = 2 2 ( − ) untuk 0 < <

6

. Jika bertambah dengan laju 0,3 / tentukan laju perubahan terhadap waktu

2

ketika = .
3

 Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut.

a. = sin (4 + 5)

b. = cos (3 2 + 1)

c. = 3 sin ( 2 + 2)

+ 3

d. = csc (5 2 + 2)

37

e. = cot ( 2 + 2)

 Buktikan pernyataan-pernyataan berikut.

a. Jika = maka = 1
1 + 2


b. Jika = maka = −1
1 + 2


c. Jika = maka = 1
√ 2 − 1


d. Jika = maka = −1
√ 2 − 1


e. Jika = sin ( ) maka = 1 untuk − < <
√ 2 − 2


38

Latihan Soal Penilaian Tengah Semester

Pilihlah jawaban yang benar !

1. lim (1 − cos 1 ) = . . . .
→∞ √

A. 1

B. 1

2

C. 1

3

D. 1

5

E. 1

6

2. lim cos 4 + cos 2 sin 3 − cos 4 sin 3 − cos 2 =....
√
→∞
2 1 − cos 2 +1


A. – 2

B. – 1

C. 0
D. 1

2

E. 1

3. lim sin 3 =. . . .

→∞
2 (1 −cos 2 ) sin 1


A. 0

B. 2

3

C. 1

D. 1 1

2

E. 3

4. lim 2 sin 1 tan 1 = . . . .
→∞

A. – 1

B. 0

C. 1
2

D. 1

E. 2

5. lim (1 − 1 ) (1 − 1 ) (1 − 412) . . . (1 − 1 ) = . . . .
22 32 2
→∞

A. 

B. 2

C. 1

D. 1
2
1
E. 4

6. lim √5( − 1) + 2√4 2 − 23 − 6 = . . . .

→∞

A. 

B. 1

C. 0
D. – 1
E. – 2

7. lim (3 − + 2 − 2 ) = . . . .
→∞ + 5

A. – 4

39

B. – 3
C. – 2

D. 0

E. 

8. lim 5 − 2 − √9 2 + 18 + 1 − √4 2 − 8 + 3 = . . . .

→∞

A. – 5
B. – 3
C. 0

D. 1
E. 2

9. lim 4 ( − sin (32 − )) csc (2 − ) =....
sec (2 − )
→0

A. – 4

B. – 2

C. – 1

D. 0

E. 4

10. lim sin 3 − sin 7 = . . . .

→0 4 cos 2

A. − 5

2

B. −1
C. − 1

2

D. 1

E. 5

2

11. lim 1 ( 3 2 + sin 2 cos 2 ) = . . . .

→ 0 cos 2

A. 0

B. 1
2

C. 1

D. 2

E. 

12. lim √2 2 − √(1 + cos ) 4 = . . . .

→ 0

A. √2

B. 1 √2
2
1
C. 4 √2

D. 1 √2
8

E. 1

13. lim √1 + cos 2 − √2 =....
2
→0

A. √2 − 1

B. 2(√2 − 1)

C. 2(1 − √2)

D. 2
E. 1

40

14. lim 1 − 2 cos + cos 2 = . . . .
2
→ 0
A. – 2

B. – 1

C. 0

D. 1

E. 2

15. lim cos 2 =.. ..

→ −
4 4

A. – 2

B. – 1

C. 1

2

D. 1

4

E. 1

16. l i→m 4 (1 − tan ) sec 2 = . . . .

A. √2

B. 1 √2
2

C. 1

D. 1
2
1
E. 4 √2

17. lim + tan = . . . .
2 1 + sec
→

A. 1

B. 3

2

C. 2

D. 1

4

E. 1

2

18. lim sin tan(2 − ) =. .. .
2 2 − 4
→

A. − 1
2
B. 1
2

C. 1

D. 1 √3
3

E. √3

19. l i→m 4 sin ( − ) tan ( + ) = . . . .

2 4

A. 2

B. 1

C. 0
D. – 1
E. – 2

20. lim 1 − 2 2 − 3 2 = . . . .
5 2
→ 0
4
A. 25

41

B. 2
5
3
C. 5

D. 4
5

E. 1

21. Jika ( ) = tan + , ′ ( 4 ) = 3 , dan ′ ( 3 ) = 9 maka + = ….
A. 0

B. 1
C.

2

D. 2

E.

22. Turunan dari fungsi ( ) = √ sin adalah ….
A. ′( ) = 1

2 √ sin

B. ′( ) = 1 + cos

√ sin

C. ′( ) = − cos + sin

2 √ sin

D. ′( ) = 1 + cos

2 √ sin

E. ′( ) = cos + sin

2 √ sin

23. Jika = cos (3) maka = ….



A. −3 sin (3)



B. − 3 sin (3)
2


C. − 3 sin (3)



D. 3 sin (3)
2


E. 3 sin (3)



24. Turunan pertama dari = 2 2 adalah ….
A. ′ = 2 cos (cos − sin )
B. ′ = 2 2 + 2 2 cos − sin
C. ′ = 2 (cos 2 − sin )
D. ′ = 2 2 − 2 sin 2
E. ′ = 2 (cos 2 + sin 2 )

25. Turunan pertama dari fungsi = cos (2 3 − 2) adalah….
A. ′ = sin (2 3 − 2)
B. ′ = −sin (2 3 − 2)
C. ′ = (6 2 − 2 ) cos (2 3 − 2)
D. ′ = (6 2 − 2 ) sin (2 3 − 2)
E. ′ = −(6 2 − 2 ) sin (2 3 − 2)

26. Fungsi ( ) = cos (3 − ) untuk 0 < < 2 naik pada interval….

2

A. 0 < < atau < < 5

6 26
0 < < 5 < < 7
B. atau
6 66

42

C. < < atau 5 < < 7
6 2 6 6
5
D. 6 < < 2 atau 6 < <

E. < < atau 5 < <

32 6

27. Diketahui fungsi ( ) = 2 cot . Garis singgung dari grafik ( ) pada = akan memotong
2
sumbu-Y di titik (0, ) jika nilai = ….

A. 
B.

2

C. −1 +

2

D. −2 −

2

E. 2 +

2

28. Nilai maksimum dari ( ) = 2 2 − 7 cos + 3 adalah….
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
E. 18

29. Nilai minimum fungsi ( ) = 1 − 2 adalah….
2 2

A. 0

B. 1

2

C. 1

D. 2

E. 3

43

Latihan Soal Penilaian Semester

= lim − 9
sin( − 2√ − 3)
→0

1. Jika diketahui: = lim √4 2 − 6 1 − (2 + 1)
+7
→∞

= l i→m 4 sin − sin
4

{ − 4

Apa yang dapat kamu simpulkan dari nilai , , dan ?

2. Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut ini.
a. ( ) = 2 √
b. ( ) = 3 (sin )
c. ( ) = cos {sin (sin )}
d. ( ) = 3 ( 2 + 5)

e. ( ) = 4√1 + tan (1 + √ )

3. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva fungsi berikut pada

titik yang ditunjukkan.

a. = 2 tan 1 pada =
2
2

b. = 4 sin 2 − 1 2 pada = 1
22 2

4. Hitunglah nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ( ) = + cos pada
interval [− , ]

5. Tentukan interval di mana kurva cekung ke bawah dan cekung ke atas untuk
0 < < 2 serta koordinat titik belok dari fungsi ( ) = sin 2 + cos 2 .

6. Jika ( ) = sec buktikan bahwa ′′( ) + ( ) − 2[ ( )]3 = 0 .

44

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri, B.K. 2020. Matematika 3 untuk SMA/MA. Jakarta: Erlangga
Sukino. 2020. Matematika 3 Kelompok Peminatan SMA/MA. Jakarta: Erlangga
Sembiring, Suwah. 2019. Cerdas Menjawab Soal Matematika SMA/MA/SMK.

Bandung: Yrama Widya
Pinem, Mhd. Daud. 2017. Kalkulus. Bandung: Rekayasa Sains
Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok

Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga
Sukino. 2013. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI kelompok MIPA. Jakarta:

Erlangga
Gazali, Wikaria, Soedadyatmodjo. 2005. Kalkulus. Yogyakarta: Graha Ilmu
Tampomas, Husein. 2007. Seribu Pena Matematika SMA Kelas XI. Jakarta:

Erlangga
https://www.biografiku.com/biografi-leonhard-euler/ didownload pada hari Minggu

28 Juli 2019 jam 21.05 wib
www.m4th-lab.net
www.youtube.com/m4thlab

45