142 Problems resulting from violations of homogeneity of variance assumption can be corrected (see Jane Superbrain Box 10.2).” Andy Field (2009:388) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “Test for homogeneity of variance using Levene’s test. Find the table with this label: if the value in the column labelled Sig. is less than .05 then the assumption is violated. If this is the case go to the table labelled Robust Tests of Equality of Means. If homogeneity of variance has been met (the significance of Levene’s test is greater than .05) go to the table labelled ANOVA. In the table labelled ANOVA (or Robust Tests of Equality of Means – see above), look at the column labelled Sig. if the value is less than .05 then the means of the groups are significantly different.” Berikut disajikan hasil dari uji perbandingan berganda dengan menggunakan Games-Howell (Gambar 9.23). Gambar 9.23 Hasil Uji Games-Howell Uji Games-Howell digunakan bilamana asumsi kesamaan varians populasi tidak dipenuhi (Andy Field , 2009:374). Diketahui berdasarkan hasil uji kesamaan varians populasi dengan uji Levene sebelumnya, asumsi kesamaan varians populasi tidak dipenuhi, sehingga perhatikan hasil uji perbandingan berganda dengan menggunakan uji Games-Howell. Diketahui: Tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan matematika dan akuntansi (P-Value 0,996 > tingkat signifikansi 0,05).
143 Tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan matematika dan kedokteran (P-Value 0,957 > tingkat signifikansi 0,05). Tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan akuntansi dan kedokteran (P-Value 0,986 > tingkat signifikansi 0,05). 9.9 Penyelesaian dengan STATCAL (Uji Kruskal-Wallis) Uji Kruskal-Wallis merupakan metode alternatif dari analisis varians. Pada uji Kruskal-Wallis tidak dikenai asumsi normalitas dan kesamaan varians. Paul H. Kvam dan Brani Vidakociv (2007:141-142) dalam bukunya yang berjudul “Nonparametric Statistics with Applications to Science and Engineering” menyatakan sebagai berikut. “The KW test is the analogue to the F-test used in the one-way ANOVA. While analysis of variance tests depend on the assumption that all populations under comparison are independent and normally distributed, the Kruskal-Wallis test places no such restriction on the comparison.” Input data Tabel 9.2 dalam STATCAL seperti pada Gambar 9.24. Gambar 9.24 Input Data dalam STATCAL
144 Pada Gambar 9.25 pilih Statistics => Test of More than Two Populations. Gambar 9.25 Pada Gambar 9.26 pilih Analysis of Variance and Kruskal-Wallis. Pindahkan variabel IPK dan Jurusan ke kotak sebelah kanan. Hasilnya dapat dilihat pada bagian Result. Gambar 9.26 Gambar 9.27 merupakan hasil berdasarkan uji Kruskal-Wallis. Berdasarkan hasil uji KruskalWallis, diketahui: Nilai statistik Kruskal-Wallis 1,407. Nilai kritis chi-square dengan derajat bebas 2 dan tingkat signifikansi 5% adalah 5,9915. Diketahui nilai statistik Kruskal-Wallis 1,407 < nilai kritis chi-square 5,9915, maka tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan di antara jurusan matematika, akuntansi
145 dan kedokteran, dan pengujian perbandingan berganda (Multiple Comparisons) seharusnya tidak dilakukan (berhenti sampai pada uji Kruskal-Wallis saja). Cara lain, diketahui nilai P-Value 0,4948 > tingkat signifikansi 0,05, maka tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan di antara jurusan matematika, akuntansi dan kedokteran. Gambar 9.27 Hasil Uji Kruskal-Wallis Namun sebagai contoh untuk ilustrasi, akan dilanjutkan ke pengujian perbandingan berganda. Selanjutnya akan diuji: Apakah terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan matematika dan akuntansi? Apakah terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan matematika dan kedokteran? Apakah terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan akuntansi dan kedokteran? Pengujian dapat dilakukan dengan menggunakan uji Mann-Whitney (Andy Field, 2009:572). Gambar 9.28 disajikan hasil berdasarkan uji Mann-Whitney.
146 Gambar 9.28 Andy Field (2009:572) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “The Kruskal–Wallis test compares several conditions when different participants take part in each condition and the resulting data violate an assumption of one-way independent ANOVA. Look at the row labelled Asymp. Sig. If the value is less than .05 then the groups are significantly different. You can follow up the main analysis with Mann–Whitney tests between pairs of conditions, but only accept them as significant if they’re significant below .05/number of tests. Andy Field (2009:572) menyatakan uji Mann-Whitney dapat digunakan sebagai uji lanjutan dari uji Kruskal-Wallis, namun dengan sedikit melakukan koreksi terhadap tingkat signifikansi. Koreksi terhadap tingkat signifikansi yang akan diperbandingkan dihitung dengan rumus = ℎ = 0.05 3 = 0,0167 Sebagai contoh, diketahui: Tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan matematika dan akuntansi (P-Value 0,13559 > tingkat signifikansi koreksi 0,0167). Tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan matematika dan kedokteran (P-Value 0,59843 > tingkat signifikansi 0,05).
147 Tidak terdapat perbedaan IPK yang signifikan antara jurusan akuntansi dan kedokteran (P-Value 0,83229 > tingkat signifikansi 0,05).
148 BAB 10 REPEATED-MEASURES ANOVA & UJI FRIEDMAN 10.1 Contoh Data dan Contoh Kasus Repeated-Measures ANOVA & Uji Friedman Misalkan diberikan data berat badan dari 10 responden pada saat sebelum mengkonsumsi obat diet merek ABCD, setelah mengkonsumsi minggu pertama, minggu kedua, minggu ketiga dan minggu keempat. 10 responden tersebut mengkonsumsi obat diet merek ABCD selama 4 minggu. Data disajikan pada Tabel 10.1. Tabel 10.1 Data Berat Badan dari 10 Responden Nama Berat Badan Sebelum Mengkonsumsi Minggu Pertama Minggu Kedua Minggu Ketiga Minggu Keempat A 89.43 85.54 80.45 78.65 75.45 B 85.33 82.34 79.43 76.55 71.35 C 90.86 87.54 85.45 80.54 76.53 D 91.53 87.43 83.43 80.44 77.64 E 90.43 84.45 81.34 78.64 75.43 F 90.52 86.54 85.47 81.44 78.64 G 87.44 83.34 80.54 78.43 77.43 H 89.53 86.45 84.54 81.35 78.43 I 91.34 88.78 85.47 82.43 78.76 J 88.64 84.36 80.66 78.65 77.43 Rata-Rata 89.505 85.677 82.678 79.712 76.709 Berdasarkan data pada Tabel 10.1, diketahui: Terdapat 5 sampel berpasangan (paired sample), yakni sampel berat badan sebelum mengkonsumsi obat diet merek ABCD, setelah mengkonsumsi obat diet merek ABCD minggu pertama, kedua, ketiga dan keempat. Data pada Tabel 10.1 berskala rasio atau numerik. Sebagai contoh, responden bernama A, berat badan awalnya adalah 89,43. Kemudian setelah mengkonsumsi obat diet merek ABCD, berat badannya pada minggu pertama
149 turun menjadi 85,54. Pada minggu kedua turun menjadi 80,45, minggu ketiga turun menjadi 78,65 dan minggu keempat turun menjadi 75,45. Secara rata-rata terjadi penurunan berat badan, mulai dari kondisi awal, minggu pertama, minggu kedua, minggu ketiga dan minggu keempat. Apakah penurunan tersebut signifikan secara statistika? Apakah secara statistika (menggunakan uji statistika), terdapat pengaruh yang signifikan dari obat diet merek ABCD dalam hal menurunkan berat badan? Alat atau uji statistika yang dapat digunakan adalah repeated-measures ANOVA atau uji Friedman. Data pada Tabel 10.1 jika diinput dalam SPSS seperti pada Gambar 10.1. Gambar 10.1 Data Tabel 10.1 Diinput dalam SPSS 10.2 Beberapa Kutipan Isi Buku Mengenai Repeated-Measures ANOVA dan Uji Friedman Andy Field (2009:459) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “Over the last three chapters we have looked at a procedure called ANOVA which is used for testing differences between several means. So far we’ve concentrated on situations in which different people contribute to different means; put another way, different people take part in
150 different experimental conditions. …I’ve put it off long enough, and now I’m going to take you through what happens when we do ANOVA on repeated-measures data. Repeated-measures is a term used when the same participants participate in all conditions of an experiment.” Andy Field (2009:460) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “SPSS produces a test known as Mauchly’s test, which tests the hypothesis that the variances of the differences between conditions are equal.” Andy Field (2009:479) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “ The one-way repeated-measures ANOVA compares several means, when those means have come from the same participants; for example, if you measured people’s statistical ability each month over a year-long course. In repeated-measures ANOVA there is an additional assumption: sphericity. This assumption needs to be considered only when you have three or more repeated-measures conditions. Test for sphericity using Mauchly’s test. Find the table with this label: if the value in the column labelled Sig. is less than .05 then the assumption is violated. If the significance of Mauchly’s test is greater than .05 then the assumption of sphericity has been met. The table labelled Tests of Within-Subjects Effects shows the main result of your ANOVA. If the assumption of sphericity has been met then look at the row labelled Sphericity Assumed. If the assumption was violated then read the row labeled Greenhouse-Geisser (you can also look at Huynh-Feldt but you’ll have to read this chapter to find out the relative merits of the two procedures). Having selected the appropriate row, look at the column labelled Sig. if the value is less than .05 then the means of the groups are significantly different. For contrasts and post hoc tests, again look to the columns labelled Sig. to discover if your comparisons are significant (they will be if the significance value is less than .05).” Andy Field (2009:471-472) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “Not only does sphericity create problems for the F in repeated-measures ANOVA, but also it causes some amusing complications for post hoc tests (see Jane Superbrain Box 13.2)5 . If you don’t want to worry about what these complications are then the take-home message is that when sphericity is violated, the Bonferroni method seems to be generally the most robust of the univariate techniques, especially in terms of power and control of the Type I error rate. When sphericity is definitely not violated, Tukey’s test can be used. In either case, the Games–Howell procedure, which uses a pooled error term, is preferable to Tukey’s test.” Paul H. Kvam dan Brani Vidakociv (2007:145) dalam bukunya yang berjudul “Nonparametric Statistics with Applications to Science and Engineering” menyatakan sebagai berikut.
151 “The Friedman Test is a nonparametric alternative to the randomized block design (RBD) in regular ANOVA. It replaces the RBD when the assumptions of normality are in question or when variances are possibly different from population to population. This test uses the ranks of the data rather than their raw values to calculate the test statistic. Because the Friedman test does not make distribution assumptions, it is not as powerful as the standard test if the populations are indeed normal. Milton Friedman published the first results for this test, which was eventually named after him. He received the Nobel Prize for Economics in 1976 and one of the listed breakthrough publications was his article “The Use of Ranks to Avoid the Assumption of Normality Implicit in the Analysis of Variance”, published in 1937. Recall that the RBD design requires repeated measures for each block at each level of treatment. Let , represent the experimental outcome of subject (or “block”) with treatment , where = 1, . . . , , and = 1. . . . . .” Gambar 10.2 Dikutip dari Buku Paul H. Kvam dan Brani Vidakociv (2007:145) yang Berjudul “Nonparametric Statistics with Applications to Science and Engineering” Andy Field (2009:573) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “15.6. Differences between several related groups: Friedman’s ANOVA In Chapter 13 we discovered a technique called one-way related ANOVA that could be used to test for differences between several related groups. Although, as we’ve seen, ANOVA can be robust to violations of its assumptions, there is another alternative to the repeated-measures case: Friedman’s ANOVA (Friedman, 1937). As such, it is used for testing differences between conditions when there are more than two conditions and the same participants have been used in all conditions (each case contributes several scores to the data). If you have violated some assumption of parametric tests then this test can be a useful way around the problem” Andy Field (2009:577-578) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “15.6.5. Post hoc tests for Friedman’s ANOVA In normal circumstances we wouldn’t do any follow-up tests because the overall effect from Friedman’s ANOVA was not significant. However, in case you get a result that is significant we will have a look at what options you have. As with the Kruskal–Wallis test, there are two ways to do nonparametric post hoc procedures, which are in essence the same. The first is to use Wilcoxon signed-rank tests (section 15.4) but correcting for the number of tests we do (see sections 10.2.1 and 15.5.5 for the reasons why). The way we correct for the number of tests is to accept something as significant only if its significance is less than /number of comparisons (the Bonferroni correction). In the social sciences this usually means .05/number of comparisons. In this example, we have only three groups, so if we compare all of the groups we simply get three comparisons:
152 Test 1: Weight at the start of the diet compared to at one month. Test 2: Weight at the start of the diet compared to at two months. Test 3: Weight at one month compared to at two months. Therefore, rather than use .05 as our critical level of significance, we’d use .05/3 = .0167. In fact we wouldn’t bother with post hoc tests at all for this example because the main ANOVA was nonsignificant, but I’ll go through the motions to illustrate what to do. The second way to do post hoc tests is very similar to what we did for the Kruskal–Wallis test in section 15.5.5 and is, likewise, described by Siegel and Castellan (1988). Again, we take the difference between the mean ranks of the different groups and compare these differences to a value based on the value of z (corrected for the number of comparisons being done) and a constant based on the total sample size, N (10 in this example) and the number of conditions, k (3 in this case). The inequality is: |̅ ̅ | ≥ (−1) √ ( + 1) 6 10.3 Repeated-Measures ANOVA dan Uji Friedman Berdasarkan uraian pada 10.2, maka dapat ditarik informasi sebagai berikut. Repeated-measures ANOVA dapat digunakan untuk menguji apakah terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan berdasarkan lebih dari 3 kelompok berpasangan. Jika terdapat 2 kelompok berpasangan, maka dapat digunakan uji t berpasangan (pendekatan parametrik) atau uji Wilcoxon (pendekatan nonparametrik) (Andy Field , 2009:479-573). Paul H. Kvam dan Brani Vidakociv (2007:145) uji Friedman adalah alternatif nonparametrik terhadap repeated-measures ANOVA. Uji Friedman dapat digunakan sebagai alternatif dari repeated-measures ANOVA bilamana asumsi normalitas dipertanyakan atau ketika varians-varians populasi berbeda. Uji Friedman menggunakan data ranking daripada data mentah, untuk menghitung nilai statistik uji Friedman. Oleh karena itu uji Friedman tidak membuat asumsi distribusi, dan kekuatannya tidak sekuat repeated-measures ANOVA jika memang populasipopulasinya berdistribusi normal.
153 10.4 Asumsi Normalitas dan Kesamaan Varians (Sphericity) pada Repeated-Measures ANOVA Pada repeated-measures ANOVA dikenai asumsi normalitas (Andy Field, 2009:479-575). Yakni sampel-sampel yang diperoleh berasal dari populasi-populasi yang berdistribusi normal. Andy Field (2009:573) menyatakan pada repeated-measures ANOVA masih memberikan hasil yang valid, ketika terjadi pelanggaran asumsi (meaning that the assumption can be a little violated and still provide valid results). Meskipun demikian terdapat metode alternatif lain (nonparametrik), yakni uji Friedman. Selain asumsi normalitas, terdapat asumsi kesamaan varians (sphericity), yakni varians populasi untuk masing-masing kelompok sama (variances of the differences between conditions are equal). Untuk menguji asumsi kesamaan varians, dapat digunakan uji Mauchly. 10.5 Contoh Kasus Penyelesaian dengan SPSS (Repeated-Measures ANOVA) Input data Tabel 10.1 dalam SPSS seperti pada Gambar 10.1. Pertama kita akan melakukan uji asumsi normalitas untuk kelima sampel. Uji Shapiro-Wilk digunakan untuk menguji asumsi normalitas. Pilih Analyze -> Descrpitive Statistics => Explore (Gambar 10.3). Gambar 10.3 Pada Gambar 10.4, pindahkan kelima sampel ke kotak Dependent List. Kemudian pilih Plots.
154 Gambar 10.4 Pada Gambar 10.5, pilih Normality plots with tests. Gambar 10.5 Selanjutnya pilih Continue dan OK. Hasilnya diperlihatkan pada Tabel 10.2.
155 Tabel 10.2 Hasil Uji Asumsi Normalitas dengan Uji Shapiro-Wilk Tests of Normality Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Sebelum .211 11 .185 .895 11 .161 Minggu Pertama .110 11 .200* .981 11 .973 Minggu Kedua .174 11 .200* .883 11 .114 Minggu Ketiga .187 11 .200* .958 11 .743 Minggu Keempat .191 11 .200* .834 11 .026 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. Berdasarkan hasil uji asumsi normalitas pada Tabel 10.2, diketahui asumsi normalitas tidak dipenuhi pada data berat badan minggu keempat, yakni Sig. 0,026 < tingkat signifikansi 0,05. Meskipun demikian, repeated-measures ANOVA tetap dapat digunakan dikarenakan pada repeated-measures ANOVA masih memberikan hasil yang valid, ketika terjadi pelanggaran asumsi (meaning that the assumption can be a little violated and still provide valid results) (Andy Field, 2009:573). Berikut langkah-langkah untuk melakukan repeated-measures ANOVA. Pilih Analyze => General Linear Model => Repeated Measures (Gambar 10.6). Gambar 10.6 Pada Gambar 10.7, pada kotak Within-Subject Factor Name: isi dengan waktu. Pada kotak Number of Levels: isi dengan 5 (sebelum, minggu pertama, kedua, ketiga dan keempat).
156 Pada kotak Measure Name: isi dengan berat. Kemudian pilih Add. Hasilnya seperti pada Gambar 10.8. Kemudian pilih Define, sehingga muncul kotak seperti pada Gambar 10.9. Gambar 10.7 Gambar 10.8
157 Gambar 10.9 Pada Gambar 10.10, tandai seluruh kelompok, kemudian pindahkan ke kotak sebelah kanan. Hasilnya seperti pada Gambar 10.11. Gambar 10.10 Gambar 10.11
158 Selanjutnya pilih Plots. Pada Gambar 10.12, pindahkan waktu ke kotak Horizontal Axis: dan pilih Add. Kemudian pilih Continue. Gambar 10.12 Selanjutnya pilih Options, sehingga muncul kotak seperti pada Gambar 10.13. Pada Gambar 10.13, pindahkan waktu ke kotak Display Means for:. Pilih Compare main Effects dan pilih Bonferroni. Kemudian pilih Descriptive statistics. Selanjutnya pilih Continue dan OK. Pindahkan waktu ke kotak Horizontal Axis: dan pilih Add.
159 Gambar 10.13 Tabel 10.3 merupakan hasil SPSS Descriptive Statistics. Tabel 10.3 Statistik Deskriptif Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N Sebelum 89.5050 1.83410 11 Minggu Pertama 85.6770 1.93315 11 Minggu Kedua 82.6780 2.30769 11 Minggu Ketiga 79.7120 1.71227 11 Minggu Keempat 76.6899 2.11697 11 Berdasarkan Tabel 10.3, diketahui rata-rata berat badan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD adalah 89.5050, dengan standar deviasi 1,83410. Rata-rata berat badan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama adalah 85,67770, dengan standar deviasi 1,93315, dan seterusnya. Gambar 5.12 disajikan grafik garis rata-rata berat badan, mulai dari sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sampai dengan minggu keempat. Pilih Compare main Effects dan pilih Bonferroni.
160 Gambar 10.14 Grafik Rata-Rata Berat Badan Sebelum, Minggu Pertama, Kedua, Ketiga dan Keempat Berdasarkan Gambar 10.14, secara rata-rata, terjadi penurunan berat badan, mulai dari kondisi awal, minggu pertama, minggu kedua, minggu ketiga dan minggu keempat. Apakah penurunan tersebut signifikan secara statistika? Tabel 10.4 merupakan hasil untuk uji asumsi kesamaan varians (uji asumsi sphericity). Tabel 10.4 Uji Asumsi Kesamaan Varians (Uji Asumsi Sphericity) Mauchly's Test of Sphericityb Measure:berat Within Subjects Effect Mauchly's W Approx. ChiSquare df Sig. Epsilona GreenhouseGeisser Huynh-Feldt Lower-bound waktu .121 17.790 9 .041 .601 .805 .250 Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables is proportional to an identity matrix. a. May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-Subjects Effects table. b. Design: Intercept Within Subjects Design: waktu Berdasarkan hasil pada Tabel 10.4, diketahui nilai Sig. adalah 0,041 < tingkat signifikansi 0,05, maka asumsi kesamaan varians (asumsi sphericity) tidak dipenuhi (assumption of sphericity has been violated). Tabel 10.5 merupakan hasil dari repeated-measures ANOVA.
161 Tabel 10.5 Repeated-Measures ANOVA Tests of Within-Subjects Effects Measure:berat Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. waktu Sphericity Assumed 1101.147 4 275.287 330.977 .000 Greenhouse-Geisser 1101.147 2.405 457.787 330.977 .000 Huynh-Feldt 1101.147 3.221 341.910 330.977 .000 Lower-bound 1101.147 1.000 1101.147 330.977 .000 Error(waktu) Sphericity Assumed 33.270 40 .832 Greenhouse-Geisser 33.270 24.054 1.383 Huynh-Feldt 33.270 32.206 1.033 Lower-bound 33.270 10.000 3.327 Field (2009:479) menyatakan: Jika asumsi kesamaan varians (asumsi sphericity) dipenuhi, maka lihat hasil pada baris Sphericity Assumed. Jika asumsi kesamaan varians (asumsi sphericity) tidak dipenuhi, maka lihat hasil koreksi pada baris Greenhouse-Geisser. Oleh karena asumsi sphericity tidak dipenuhi, maka lihat hasil pada baris GreenhouseGeisser. Diketahui nilai Sig. adalah 0,000 < tingkat signifikansi 0,05, maka terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan (secara statistika) dari berat badan, sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sesudah mengkonsumsi obat diet ABCD minggu pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Dengan kata lain, obat diet ABCD memberi pengaruh yang signifikan untuk menurunkan berat badan, pada tingkat signifikansi 5%. Tabel 10.6 disajikan hasil SPSS uji Bonferroni (Pairwise Comparisons). Tabel 10.6 Uji Bonferroni (Pairwise Comparisons) Pairwise Comparisons Measure:berat (I) waktu (J) waktu Mean Difference (I-J) Std. Error Sig.a 95% Confidence Interval for Differencea Lower Bound Upper Bound 1 2 3.828* .272 .000 2.854 4.802 3 6.827* .458 .000 5.188 8.466
162 4 9.793* .337 .000 8.586 11.000 5 12.815* .479 .000 11.098 14.532 2 1 -3.828* .272 .000 -4.802 -2.854 3 2.999* .327 .000 1.828 4.170 4 5.965* .231 .000 5.139 6.791 5 8.987* .494 .000 7.216 10.758 3 1 -6.827* .458 .000 -8.466 -5.188 2 -2.999* .327 .000 -4.170 -1.828 4 2.966* .271 .000 1.997 3.935 5 5.988* .532 .000 4.082 7.894 4 1 -9.793* .337 .000 -11.000 -8.586 2 -5.965* .231 .000 -6.791 -5.139 3 -2.966* .271 .000 -3.935 -1.997 5 3.022* .353 .000 1.759 4.285 5 1 -12.815* .479 .000 -14.532 -11.098 2 -8.987* .494 .000 -10.758 -7.216 3 -5.988* .532 .000 -7.894 -4.082 4 -3.022* .353 .000 -4.285 -1.759 Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the .05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. Berdasarkan hasil pada Tabel 10.6 diketahui: Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu kedua (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu ketiga (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu keempat (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05).
163 Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu kedua (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu ketiga (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu keempat (Sig. 0,000 < tingkat signifikansi 0,05), dan seterusnya. 10.6 Contoh Kasus Penyelesaian dengan SPSS (Uji Friedman) Input data Tabel 10.1 dalam SPSS seperti pada Gambar 10.1. Gambar 10.15 Uji Friedman merupakan uji nonparametrik, sehingga tidak memerlukan uji asumsi normalitas dan kesamaan varians (sphericity). Pada Gambar 10.15 pilih Analyze =>
164 Nonparametric Tests => K Related Samples. Pada Gambar 10.16, pindahkan seluruh variabel ke kotak Test Variables:. Kemudian pilih Statistics dan pilih Descriptive. Selanjutnya pilih Continue dan OK. Gambar 10.16 Hasil dari uji Friedman diperlihatkan pada Tabel 10.8. Tabel 10.7 Statistik Deskriptif Descriptive Statistics N Mean Std. Deviation Minimum Maximum Sebelum 11 89.5050 1.83410 85.33 91.53 Minggu Pertama 11 85.6770 1.93315 82.34 88.78 Minggu Kedua 11 82.6780 2.30769 79.43 85.47 Minggu Ketiga 11 79.7120 1.71227 76.55 82.43 Minggu Keempat 11 76.6899 2.11697 71.35 78.76 Berdasarkan Tabel 10.7, diketahui rata-rata berat badan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD adalah 89.5050, dengan standar deviasi 1,83410. Rata-rata berat badan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama adalah 85,67770, dengan standar deviasi 1,93315, dan seterusnya. Gambar 5.12 disajikan grafik garis rata-rata berat badan, mulai dari sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sampai dengan minggu keempat.
165 Tabel 10.8 Hasil Uji Friedman Test Statisticsa N 11 Chi-Square 44.000 df 4 Asymp. Sig. .000 a. Friedman Test Berdasarkan hasil uji Friedman Tabel 10.8, diketahui nilai Sig. adalah 0,000 < tingkat signifikansi 0,05, maka terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan (secara statistika) dari berat badan, sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sesudah mengkonsumsi obat diet ABCD minggu pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Dengan kata lain, obat diet ABCD memberi pengaruh yang signifikan untuk menurunkan berat badan, pada tingkat signifikansi 5%. Selanjutnya akan diuji apakah terdapat perbedaan berat badan yang signifikan antara: 1. Sebelum v/s minggu pertama. 2. Sebelum v/s minggu kedua. 3. Sebelum v/s minggu ketiga. 4. Sebelum v/s minggu keempat. 5. Pertama v/s minggu kedua. 6. Pertama v/s minggu ketiga. 7. Pertama v/s minggu keempat. 8. Kedua v/s minggu ketiga. 9. Kedua v/s minggu keempat. 10. Ketiga v/s minggu keempat. Pengujian dapat dilakukan dengan menggunakan uji Wilcoxon (Andy Field, 2009:577-578). Berikut langkah-langkah untuk melakukan uji Wilcoxon. Pilih Analyze => Nonparametric Tests => 2 Related Samples (Gambar 10.17).
166 Gambar 10.17 Lakukan pengaturan seperti pada Gambar 10.18. Kemudian pilih Wilcoxon dan OK. Gambar 10.18 Hasil dari uji Wilcoxon diperlihatkan pada Tabel 10.9.
167 Tabel 10.9 Uji Wilcoxon Test Statisticsb Minggu Pertama - Sebelum Minggu Kedua - Sebelum Minggu Ketiga - Sebelum Minggu Keempat - Sebelum Minggu Kedua - Minggu Pertama Minggu Ketiga - Minggu Pertama Minggu Keempat - Minggu Pertama Minggu Ketiga - Minggu Kedua Minggu Keempat - Minggu Kedua Minggu Keempat - Minggu Ketiga Z -2.936a -2.934a -2.934a -2.936a -2.934a -2.936a -2.934a -2.934a -2.934a -2.936a Asymp. Sig. (2-tailed) .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 a. Based on positive ranks. b. Wilcoxon Signed Ranks Test Andy Field (2009:577-578) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “15.6.5. Post hoc tests for Friedman’s ANOVA In normal circumstances we wouldn’t do any follow-up tests because the overall effect from Friedman’s ANOVA was not significant. However, in case you get a result that is significant we will have a look at what options you have. As with the Kruskal–Wallis test, there are two ways to do nonparametric post hoc procedures, which are in essence the same. The first is to use Wilcoxon signed-rank tests (section 15.4) but correcting for the number of tests we do (see sections 10.2.1 and 15.5.5 for the reasons why). The way we correct for the number of tests is to accept something as significant only if its significance is less than /number of comparisons (the Bonferroni correction). In the social sciences this usually means .05/number of comparisons. In this example, we have only three groups, so if we compare all of the groups we simply get three comparisons: Test 1: Weight at the start of the diet compared to at one month. Test 2: Weight at the start of the diet compared to at two months. Test 3: Weight at one month compared to at two months. Therefore, rather than use .05 as our critical level of significance, we’d use .05/3 = .0167. In fact we wouldn’t bother with post hoc tests at all for this example because the main ANOVA was nonsignificant, but I’ll go through the motions to illustrate what to do. Andy Field (2009:577-578) menyatakan uji Wilcoxon dapat digunakan sebagai uji lanjutan dari uji Friedman, namun dengan sedikit melakukan koreksi terhadap tingkat signifikansi. Koreksi terhadap tingkat signifikansi yang akan diperbandingkan dihitung dengan rumus = ℎ = 0.05 10 = 0,005 Sebagai contoh, diketahui:
168 Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama (Sig. 0,003 < tingkat signifikansi koreksi 0,005). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu kedua (Sig. 0,003 < tingkat signifikansi koreksi 0,005), dan seterusnya. 10.7 Contoh Kasus Penyelesaian dengan STATCAL (Repeated-Measures ANOVA) Input data Tabel 10.1 dalam STATCAL seperti pada Gambar 10.19. Gambar 10.19 Pada Gambar 10.20, pilih Statistics => Test of More than Two Populations. Gambar 10.20
169 Pada Gambar 10.21, pilih Repeated-Measures Analysis of Variance. Pindahkan seluruh variabel ke kotak sebelah kanan. Hasilnya dapat dilihat pada bagian Result. Gambar 10.21 Gambar 10.22 diperlihatkan hasil STATCAL untuk descriptive statistics. diketahui rata-rata berat badan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD adalah 89.5055, dengan standar deviasi 1,8341. Rata-rata berat badan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama adalah 85,6773, dengan standar deviasi 1,9331, dan seterusnya. Gambar 10.23 disajikan grafik garis rata-rata berat badan, mulai dari sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sampai dengan minggu keempat. Gambar 10.22 Statistik Deskriptif
170 Gambar 10.23 Grafik Garis Rata-Rata Berat Badan Sebelum Mengkonsumsi Obat Diet ABCD, Setelah Mengkonsimsi Minggu Pertama, Kedua, Ketiga dan Keempat Gambar 10.24 disajikan grafik garis berat badan dari 10 responden pada saat sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, setelah mengkonsumsi minggu pertama, kedua, ketiga dan keempat. Terlihat bahwa terjadi penurunan berat badan dari 10 responden tersebut, setelah mengkonsumsi obat diet ABCD. Gambar 10.24 Grafik Berat Badan dari 10 Responden pada Saat Sebelum Mengkonsumsi Obat Diet ABCD, Setelah Mengkonsumsi Minggu Pertama, Kedua, Ketiga dan Keempat
171 Gambar 10.25 Hasil Uji Asumsi Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov Gambar 10.25 merupakan hasil uji asumsi normalitas dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Data dari 5 kelompok, yakni sebelum mengkonsumsi, minggu pertama, kedua, ketiga dan keempat memenuhi asumsi normalitas dengan seluruh nilai P-Value > 0,05 (seluruh nilai P-Values of KS > 0,05). Gambar 10.26 merupakan hasil untuk uji asumsi kesamaan varians (uji asumsi sphericity). Gambar 10.26 Uji Asumsi Kesamaan Varians (Uji Asumsi Sphericity) Berdasarkan pada Gambar 10.26, diketahui nilai P-Value adalah 0,041 < tingkat signifikansi 0,05, maka asumsi kesamaan varians (asumsi sphericity) tidak dipenuhi (assumption of
172 sphericity has been violated). Gambar 10.27 merupakan hasil dari repeated-measures ANOVA. Gambar 10.27 Repeated-Measures ANOVA Field (2009:479) menyatakan: Jika asumsi kesamaan varians (asumsi sphericity) dipenuhi, maka lihat hasil pada baris Sphericity Assumed. Jika asumsi kesamaan varians (asumsi sphericity) tidak dipenuhi, maka lihat hasil koreksi pada baris Greenhouse-Geisser. Oleh karena asumsi sphericity tidak dipenuhi, maka lihat hasil pada baris GreenhouseGeisser. Diketahui nilai P-Value adalah 0,000 < tingkat signifikansi 0,05, maka terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan (secara statistika) dari berat badan, sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sesudah mengkonsumsi obat diet ABCD minggu pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Dengan kata lain, obat diet ABCD memberi pengaruh yang signifikan untuk menurunkan berat badan, pada tingkat signifikansi 5%. Gambar 10.28 disajikan hasil uji Bonferroni (Multiple Comparisons).
173 Gambar 10.28 Uji Bonferroni (Pairwise Comparisons) Berdasarkan hasil pada Gambar 10.28 diketahui: Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama (PValue 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu kedua (PValue 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu ketiga (PValue 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu keempat (P-Value 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu kedua (P-Value 0,000 < tingkat signifikansi 0,05). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu ketiga (P-Value 0,000 < tingkat signifikansi 0,05).
174 Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu keempat (P-Value 0,0001 < tingkat signifikansi 0,05), dan seterusnya. 10.8 Contoh Kasus Penyelesaian dengan STATCAL (Uji Friedman) Input data Tabel 10.1 dalam STATCAL seperti pada Gambar 10.29. Gambar 10.29 Pada Gambar 10.30, pilih Statistics => Test of More than Two Populations. Gambar 10.30
175 Pada Gambar 10.31, pilih Friedman Test. Pindahkan seluruh variabel ke kotak sebelah kanan. Hasilnya dapat dilihat pada bagian Result. Gambar 10.31 Gambar 10.32 diperlihatkan hasil dari uji Friedman. Gambar 10.32 Hasil Uji Friedman Berdasarkan hasil uji Friedman, diketahui: Nilai statistik Friedman (berdistribusi chi-square) adalah 44. Derajat bebas (degree of freedom) 4. Nilai kritis chi-square dengan derajat bebas 4 adalah 9,4877. Diketahui nilai statistik Friedman 44 > nilai kritis chi-square 9,4877, maka terdapat perbedaan yang signifikan dari berat badan, sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sesudah mengkonsumsi obat diet ABCD minggu pertama, kedua, ketiga, dan keempat.
176 Dengan kata lain, obat diet ABCD memberi pengaruh yang signifikan untuk menurunkan berat badan, pada tingkat signifikansi 5%. Cara lain, diketahui nilai P-Value < 0,0001 yang berarti < tingkat signifikansi 0,05 (5%), maka terdapat perbedaan yang signifikan dari berat badan, sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD, sesudah mengkonsumsi obat diet ABCD minggu pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Dengan kata lain, obat diet ABCD memberi pengaruh yang signifikan untuk menurunkan berat badan, pada tingkat signifikansi 5%. Selanjutnya akan diuji apakah terdapat perbedaan berat badan yang signifikan antara: 11. Sebelum v/s minggu pertama. 12. Sebelum v/s minggu kedua. 13. Sebelum v/s minggu ketiga. 14. Sebelum v/s minggu keempat. 15. Pertama v/s minggu kedua. 16. Pertama v/s minggu ketiga. 17. Pertama v/s minggu keempat. 18. Kedua v/s minggu ketiga. 19. Kedua v/s minggu keempat. 20. Ketiga v/s minggu keempat. Pengujian dapat dilakukan dengan menggunakan uji Wilcoxon (Andy Field, 2009:577-578). Hasil dari uji Wilcoxon diperlihatkan pada Gambar 10.33. Gambar 10.33
177 Andy Field (2009:577-578) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “15.6.5. Post hoc tests for Friedman’s ANOVA In normal circumstances we wouldn’t do any follow-up tests because the overall effect from Friedman’s ANOVA was not significant. However, in case you get a result that is significant we will have a look at what options you have. As with the Kruskal–Wallis test, there are two ways to do nonparametric post hoc procedures, which are in essence the same. The first is to use Wilcoxon signed-rank tests (section 15.4) but correcting for the number of tests we do (see sections 10.2.1 and 15.5.5 for the reasons why). The way we correct for the number of tests is to accept something as significant only if its significance is less than /number of comparisons (the Bonferroni correction). In the social sciences this usually means .05/number of comparisons. In this example, we have only three groups, so if we compare all of the groups we simply get three comparisons: Test 1: Weight at the start of the diet compared to at one month. Test 2: Weight at the start of the diet compared to at two months. Test 3: Weight at one month compared to at two months. Therefore, rather than use .05 as our critical level of significance, we’d use .05/3 = .0167. In fact we wouldn’t bother with post hoc tests at all for this example because the main ANOVA was nonsignificant, but I’ll go through the motions to illustrate what to do. Andy Field (2009:577-578) menyatakan uji Wilcoxon dapat digunakan sebagai uji lanjutan dari uji Friedman, namun dengan sedikit melakukan koreksi terhadap tingkat signifikansi. Koreksi terhadap tingkat signifikansi yang akan diperbandingkan dihitung dengan rumus = ℎ = 0.05 10 = 0,005 Sebagai contoh, diketahui: Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu pertama (PValue 0,00333 < tingkat signifikansi koreksi 0,005). Diketahui terdapat perbedaan berat badan yang signifikan sebelum mengkonsumsi obat diet ABCD dan setelah mengkonsumsi obat diet ABCD pada minggu kedua (PValue 0,00098 < tingkat signifikansi koreksi 0,005), dan seterusnya.
178 Perhatikan bahwa metode penghitungan untuk P-Value dapat menggunakan pendekatan Exat atau pendekatan Asymptotic. Pendekatan Exact digunakan karena memberikan hasil yang eksak atau sebenarnya atau tepat. Pendekatan Asymptotic akan memberikan hasil yang sama dengan SPSS (Asymp. Sig. (2-Tailed)).
179 BAB 11 HUBUNGAN ANTARA KATEGORI 11.1 Contoh Data Variabel Kategori Berikut diberikan contoh data variabel kategori. Tabel 11.1 Contoh Data Variabel Kategori Responden Jenis Kelamin Hobi Tingkat Pendidikan Tingkat Kebahagiaan 1 Laki-Laki Olahraga S1 Kurang Bahagia 2 Laki-Laki Olahraga S1 Kurang Bahagia 3 Laki-Laki Olahraga S1 Kurang Bahagia 4 Laki-Laki Memasak S1 Kurang Bahagia 5 Laki-Laki Olahraga S1 Kurang Bahagia 6 Perempuan Memasak S1 Kurang Bahagia 7 Perempuan Membaca S1 Kurang Bahagia 8 Perempuan Membaca S1 Kurang Bahagia 9 Perempuan Olahraga S1 Kurang Bahagia 10 Perempuan Membaca S1 Kurang Bahagia 11 Laki-Laki Memasak S1 Kurang Bahagia 12 Laki-Laki Olahraga S1 Bahagia 13 Laki-Laki Membaca S1 Bahagia 14 Laki-Laki Memasak S1 Bahagia 15 Laki-Laki Olahraga S1 Bahagia 16 Laki-Laki Olahraga S1 Kurang Bahagia 17 Laki-Laki Olahraga S1 Sangat Bahagia 18 Laki-Laki Olahraga S1 Sangat Bahagia 19 Laki-Laki Memasak S1 Sangat Bahagia 20 Laki-Laki Olahraga S1 Sangat Bahagia 21 Perempuan Membaca S2 Bahagia 22 Perempuan Membaca S2 Bahagia 23 Perempuan Memasak S2 Bahagia 24 Perempuan Membaca S2 Bahagia 25 Perempuan Membaca S2 Bahagia 26 Laki-Laki Memasak S2 Bahagia 27 Laki-Laki Olahraga S2 Bahagia 28 Laki-Laki Membaca S2 Bahagia 29 Laki-Laki Memasak S2 Bahagia 30 Laki-Laki Olahraga S2 Bahagia 31 Laki-Laki Olahraga S2 Bahagia
180 32 Laki-Laki Olahraga S2 Kurang Bahagia 33 Laki-Laki Olahraga S2 Kurang Bahagia 34 Laki-Laki Memasak S2 Kurang Bahagia 35 Laki-Laki Olahraga S2 Kurang Bahagia 36 Perempuan Memasak S2 Sangat Bahagia 37 Perempuan Memasak S2 Bahagia 38 Perempuan Memasak S2 Sangat Bahagia 39 Perempuan Membaca S2 Sangat Bahagia 40 Perempuan Membaca S2 Sangat Bahagia 41 Laki-Laki Memasak S3 Sangat Bahagia 42 Laki-Laki Olahraga S3 Sangat Bahagia 43 Laki-Laki Membaca S3 Sangat Bahagia 44 Laki-Laki Memasak S3 Sangat Bahagia 45 Laki-Laki Olahraga S3 Sangat Bahagia 46 Laki-Laki Olahraga S3 Sangat Bahagia 47 Laki-Laki Olahraga S3 Sangat Bahagia 48 Laki-Laki Olahraga S3 Sangat Bahagia 49 Laki-Laki Memasak S3 Sangat Bahagia 50 Laki-Laki Olahraga S3 Sangat Bahagia 51 Perempuan Memasak S3 Sangat Bahagia 52 Perempuan Membaca S3 Kurang Bahagia 53 Perempuan Membaca S3 Kurang Bahagia 54 Perempuan Olahraga S3 Kurang Bahagia 55 Perempuan Membaca S3 Kurang Bahagia 56 Laki-Laki Memasak S3 Sangat Bahagia 57 Laki-Laki Olahraga S3 Bahagia 58 Laki-Laki Membaca S3 Bahagia 59 Laki-Laki Memasak S3 Bahagia 60 Laki-Laki Olahraga S3 Bahagia Tabel 11.1 merupakan contoh data variabel kategori. Diketahui: Variabel jenis kelamin merupakan variabel kategori, yakni terdiri dari 2 kategori, lakilaki dan perempuan. Variabel hobi merupakan variabel kategori, yakni terdiri dari 3 kategori, memasak, olahraga dan membaca. Tingkat pendidikan merupakan variabel kategori, yakni terdiri dari 3 kategori, S1, S2, dan S3. Tingkat kebahagiaan merupakan variabel kategori, yakni terdiri dari 3 kategori, kurang bahagia, bahagia dan sangat bahagia.
181 11.2 Data Nominal dan Ordinal Berdasarkan data pada Tabel 11.1, data pada jenis kelamin dan hobi merupakan data nominal, sementara data pada tingkat pendidikan dan tingkat kebahagiaan merupakan data ordinal. 11.3 Perbedaan Data Nominal dan Ordinal Perbedaan antara data nominal dan data ordinal adalah pada data nominal tidak memperhatikan urutan atau tingkatan. Maksudnya laki-laki tidak lebih tinggi dibandingkan perempuan atau sebaliknya perempuan tidak lebih tinggi dibandingkan laki-laki. Begitu juga memasak tidak lebih tinggi olahraga atau sebaliknya olahraga tidak lebih tinggi dibandingkan memasak. Namun pada data ordinal memperhatikan urutan atau tingkatan. Misalkan pada variabel tingkat pendidikan, jenjang pendidikan S2 lebih tinggi dibandingkan jenjang pendidikan S1, jenjang pendidikan S3 lebih tinggi dibandingkan jenjang pendidikan S2. Namun perhatikan bahwa + ? ? Berapakah − ? ? ? Data tersebut adalah data kategori, di mana data kategori tidak bisa dilakukan operasi matematika. Seringkali kita memberi label untuk data kategori, misalkan angka 1 untuk label S1, angka 2 untuk label S2 dan angka 3 untuk label S3. Selanjutnya angka-angka tersebut digunakan untuk operasi matematika, misalkan
182 1 + 2 = 3 (1 + 2 = 3) 1 − 2 = −1 (1 − 2 =? ? ? ? ? ) 3 × 2 = 6 (3 × 2 =? ? ? ? ? ) Perhatikan bahwa angka-angka tersebut (1, 2 dan 3) pada dasarnya hanya berupa pengkodean saja (bukan angka sejati) sehingga tidak tepat untuk digunakan dalam operasi matematika. 11.4 Berbagai Penjelasan Mengenai Hubungan Antara Variabel Kategori Berikut disajikan kutipan penjelasan dari beberapa buku terkait hubungan antara variabel kategori. Andy Field (2009:688) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “If we want to see whether there’s a relationship between two categorical variables (i.e. does the amount of cats that line dance relate to the type of training used?) we can use the Pearson’s chi-square test (Fisher, 1922; Pearson, 1900). This is an extremely elegant statistic based on the simple idea of comparing the frequencies you observe in certain categories to the frequencies you might expect to get in those categories by chance. All the way back in Chapters 2, 7 and 10 we saw that if we fit a model to any set of data we can evaluate that model using a very simple equation (or some variant of it):” Prem S. Mann (2013:535) dalam bukunya yang berjudul “Introductory Statistics, 8th Edition” menyatakan sebagai berikut. “In a test of independence for a contingency table, we test the null hypothesis that the two attributes (characteristics) of the elements of a given population are not related (that is, they are independent) against the alternative hypothesis that the two characteristics are related (that is, they are dependent). For example, we may want to test if the affiliation of people with the Democratic and Republican parties is independent of their income levels. We perform such a test by using the chi-square distribution. As another example, we may want to test if there is an association between being a man or a woman and having a preference for watching sports or soap operas on television.” Alan Agresti dan Barbara Finlay (2009:221) dalam bukunya yang berjudul “Statistical Methods for the Social Sciences, 4th Edition” menyatakan sebagai berikut. “Recall that we say there is an association between two variables if the distribution of the response variable changes in some way as the value of the explanatory variable changes. In comparing groups, an association exits if the population means or population proportions differ between the groups.
183 This chapter presents methods for detecting and describing associations between two categorical variables. The methods of this chapter help us answer a question such as, "Is there an association between happiness and whether one is religous?"” 11.5 Tabel Kontingensi (Contingency Table) Tabel 11.2 diberikan contoh tabel kontingensi 2 × 3. Tabel 11.2 Contoh Tabel Kontingensi Hobi Total Memasak Olahraga Membaca Jenis Kelamin Laki-Laki 12 24 4 40 Perempuan 6 2 12 20 Total 18 26 16 60 Perhatikan bahwa: Perhatikan bahwa “2 × 3” maksudnya adalah tabel kontingensi tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. Nama lain dari tabel kontingensi adalah cross-tabulation (tabulasi silang). Tabel kontingensi dapat berukuran 2 × 3, 2 × 4, 3 × 4, dan seterusnya. Angka pertama menyatakan jumlah baris, sedangkan angka kedua menyatakan jumlah kolom. Jadi, tabel kontingensi 3 × 4 memiliki 3 baris dan 4 kolom. Tabel kontingensi menyajikan informasi frekuensi untuk setiap kombinasi kategori. Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui dari 40 laki-laki, 12 di antaranya hobi memasak, 24 olahraga, dan 4 membaca. Sementara dari 20 perempuan, 6 di antaranya hobi memasak, 2 olahraga dan 12 membaca. Perhatikan bahwa pada Tabel 11.2 terdiri dari 6 cell atau kotak (2 × 3 = 6) atau terdiri dari 6 kombinasi kategori, yakni {(laki-laki,memasak), (laki-laki,olahraga), (lakilaki,membaca), (perempuan,memasak), (perempuan,olahraga), (perempuan,membaca) }. Prem S. Mann (2013:534) dalam bukunya yang berjudul “Introductory Statistics, 8th Edition” menyatakan sebagai berikut.
184 “11.3.1 A Contingency Table Often we may have information on more than one variable for each element. Such information can be summarized and presented using a two-way classification table, which is also called a contingency table or cross-tabulation. Suppose a university has a total of 20,758 students enrolled. By classifying these students based on gender and whether these students are full-time or part-time, we can prepare Table 11.5, which provides an example of a contingency table. Table 11.5 has two rows (one for males and the second for females) and two columns (one for full-time and the second for part-time students). Hence, it is also called a 2 2 (read as “two by two”) contingency table. A contingency table can be of any size. For example, it can be 2x3, 3x2, 3x3, or 4x2. Note that in these notations, the first digit refers to the number of rows in the table,and the second digit refers to the number of columns. For example, a 3x2 table will contain three rows and two columns. In general, an RxC table contains R rows and C columns.” Alan Agresti dan Barbara Finlay (2009:221) dalam bukunya yang berjudul “Statistical Methods for the Social Sciences, 4th Edition” menyatakan sebagai berikut. “8.1 Contingency Tables Data for the analysis of categorical variables are displayed in contingency tables. This type of table displays the number of subjects observed at all combinations of possible outcomes for the two variables.” 11.6 Frekuensi Pengamatan (Observed Frequency) dan Frekuensi Harapan (Expected Frequency) Apa itu frekuensi pengamatan (observed frequency)? Apa itu frekuensi harapan (expected frequency)? Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui jumlah laki-laki yang hobi memasak sebanyak 12. Nah, 12 itu merupakan frekuensi pengamatan (observed frequency). Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui jumlah laki-laki yang hobi olahraga sebanyak 24. Nah, 24 itu merupakan frekuensi pengamatan (observed frequency). Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui jumlah laki-laki yang hobi membaca sebanyak 4. Nah, 4 itu merupakan frekuensi pengamatan (observed frequency). Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui jumlah perempuan yang hobi memasak sebanyak 6. Nah, 6 itu merupakan frekuensi pengamatan (observed frequency). Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui jumlah perempuan yang hobi olahraga sebanyak 2. Nah, 2 itu merupakan frekuensi pengamatan (observed frequency). Berdasarkan Tabel 11.2, diketahui jumlah perempuan yang hobi membaca sebanyak 12. Nah, 12 itu merupakan frekuensi pengamatan (observed frequency).
185 Untuk frekuensi harapan (expected frequency) perlu dihitung. Misalkan akan dihitung frekuensi harapan pada kotak baris laki-laki dan kolom memasak. (−;) = (ℎ − ) × (ℎ ) = (40) × (18) 60 = 12 Tabel 11.3 Frekuensi Harapan pada Kotak Baris Laki-Laki dan Kolom Memasak Hobi Total Memasak Olahraga Membaca Jenis Kelamin Laki-Laki 12 (12) 24 4 40 Perempuan 6 2 12 20 Total 18 26 16 60 Berdasarkan perhitungan sebelumnya, diperoleh frekuensi harapan (expected frequency) pada kotak baris laki-laki dan kolom memasak, yakni 12 (frekuensi harapan diapit buka-tutup kurung). Misalkan lagi akan dihitung frekuensi harapan (expected frequency) pada kotak baris perempuan dan kolom olahraga. (;ℎ) = (ℎ ) × (ℎ ℎ) = (20) × (26) 60 = 8,6667 ≅ 8,7 Tabel 11.4 Frekuensi Harapan pada Kotak Baris Perempuan dan Kolom Olahraga Hobi Total Memasak Olahraga Membaca Jenis Kelamin Laki-Laki 12 (12) 24 4 40 Perempuan 6 2 (8,6667) 12 20 Total 18 26 16 60 Berdasarkan perhitungan sebelumnya, diperoleh frekuensi harapan (expected frequency) pada kotak baris perempuan dan kolom olahraga, yakni 8,7 (frekuensi harapan diapit buka-tutup
186 kurung). Dalam SPSS, dapat ditampilkan nilai-nilai dari frekuensi harapan untuk setiap kotak. Perhatikan Tabel 11.5. Tabel 11.5 Frekuensi Pengamatan (Observed Frequency) dan Frekuensi Harapan (Expected Frequency) (Output SPSS) Jenis Kelamin * Hobi Crosstabulation Hobi Memasak Olahraga Membaca Total Jenis Kelamin Laki-Laki Count 12 24 4 40 Expected Count 12.0 17.3 10.7 40.0 % within Jenis Kelamin 30.0% 60.0% 10.0% 100.0% Perempuan Count 6 2 12 20 Expected Count 6.0 8.7 5.3 20.0 % within Jenis Kelamin 30.0% 10.0% 60.0% 100.0% Total Count 18 26 16 60 Expected Count 18.0 26.0 16.0 60.0 % within Jenis Kelamin 30.0% 43.3% 26.7% 100.0% Dalam SPSS, istilah bahasa inggris untuk frekuensi harapan adalah expected count. 11.7 Uji Chi-Square Pearson dan Fisher’s Exact Uji chi-square Pearson dan uji Fisher’s exact dapat digunakan untuk menguji signifikansi hubungan dua variabel kategori. Namun pada uji uji chi-square Pearson memiliki kelemahan. Apa kelemahannya? Kutipan pernyataan dari beberapa buku berikut menyatakan kelemahan uji chi-square Pearson. Alan Agresti dan Barbara Finlay (2009:227) dalam bukunya yang berjudul “Statistical Methods for the Social Sciences, 4th Edition” menyatakan sebagai berikut. “Sample Size Requirements The chi-squared test, like one and two-sample z tests for proportions, is a large sample test. The chi-squared distribution is the sampling distribution of the 2 test statistic only if the sample size is large. A rough guideline for this requirement is that the expected frequency should exceed 5 in each cell. Otherwise, the chi-squared distribution may poorly approximate the actual distribution of the 2 statistic” Prem S. Mann (2013:537) dalam bukunya yang berjudul “Introductory Statistics, 8th Edition” menyatakan sebagai berikut.
187 “To apply a chi-square test of independence, the sample size should be large enough so that the expected frequency for each cell is at least 5. If the expected frequency for a cell is not at least 5, we either increase the sample size or combine some categories. Examples 11–6 and 11–7 describe the procedure to make tests of independence using the chi-square distribution.” Andy Field (2009:690) dalam bukunya yang berjudul “Discovering Statistics Using SPSS, 3rd Edition” menyatakan sebagai berikut. “There is one problem with the chi-square test, which is that the sampling distribution of the test statistic has an approximate chi-square distribution. The larger the sample is, the better this approximation becomes and in large samples the approximation is good enough to not worry about the fact that it is an approximation. However, in small samples, the approximation is not good enough, making significance tests of the chi-square distribution inaccurate. This is why you often read that to use the chi-square test the expected frequencies in each cell must be greater than 5 (see section 18.4). When the expected frequencies are greater than 5, the sampling distribution is probably close enough to a perfect chi-square distribution for us not to worry. However, when the expected frequencies are too low, it probably means that the sample size is too small and that the sampling distribution of the test statistic is too deviant from a chi-square distribution to be of any use.” Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa syarat pada penggunaan uji chi-square Pearson, ketika terdapat cell atau kotak, dengan nilai frekuensi harapan (expected frequency) kurang dari 5, maka distribusi sampling statistik chi-square Pearson akan buruk dalam hal mendekati distribusi chi-square. Sehingga akan memperoleh hasil yang tidak akurat. Tabel 11.6 disajikan hasil berdasarkan SPSS untuk uji chi-square Pearson dan Fisher’s exact. Tabel 11.6 Hasil Uji Chi-Square Pearson dan Fisher’s Exact (Output SPSS) Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2- sided) Exact Sig. (2- sided) Exact Sig. (1- sided) Point Probability Pearson Chi-Square 9.090a 2 .011 .010 Likelihood Ratio 9.313 2 .009 .012 Fisher's Exact Test 8.658 .010 Linear-by-Linear Association 1.799b 1 .180 .211 .130 .068 N of Valid Cases 60 a. 3 cells (50.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2.60. b. The standardized statistic is 1.341. Berdasarkan Tabel 11.6: Terdapat pernyataan “3 cells (50.0%) have expected count less than 5”. Pernyataan tersebut memberitahu kita bahwa ada 3 cell atau kotak dengan nilai frekuensi harapan (expected frequency) < 5.
188 Meskipun terdapat cell dengan nilai frekuensi harapan < 5, uji chi-square Pearson tetap dapat digunakan, dengan memperhatikan kolom Exact Sig. (2-sided) (bukan kolom Asymp. Sig. 2-sided). Hasil pada kolom Exact Sig. (2-sided) merupakan hasil eksak (sebenarnya). Hasil-hasil pada kolom Exact Sig. (2-sided) dapat digunakan tanpa memperdulikan syarat frekuensi harapan harus > 5, baik itu uji chi-square Pearson ataupun Fisher’s exact. Mengapa demikian? Hal dikarenakan hasil-hasil pada kolom Exact Sig. (2- sided) menggunakan metode perhitungan pendekatan eksak, yang mana terpenuhinya atau tidak dari persyaratan frekuensi harapan > 5, tetap memberikan hasil yang akurat (eksak / sebenarnya). Alan Agresti dan Barbara Finlay (2009:228) dalam bukunya yang berjudul “Statistical Methods for the Social Sciences, 4th Edition” menyatakan sebagai berikut. “For 2x2 contingency tables, a small-sample test of independence is Fisher's exact test, discussed in Section 7.5. This test extends to tables of arbitrary size r x c but requires specialized software, such as SAS (the EXACT option in PROC FREQ) or SPSS (the Exact module). If you have such software, tou can use the exact test for any sample size. You don't need to use the chisquared approximation. For Table 8.4, the exact test also gives P-value = 0.0003.” 11.8 Benarkah Uji Chi-Square Pearson Hanya Untuk × ? Tidak benar bahwa uji chi-square Pearson hanya diperuntukkan 2 × 2. Uji chi-square Pearson dapat digunakan untuk ukuran selain dari 2 × 2, misalkan 2 × 3, 3 × 2, 2 × 5, 6 × 6, dan seterusnya. Prem S. Mann (2013:534) dalam bukunya yang berjudul “Introductory Statistics, 8th Edition” menyatakan sebagai berikut. “A contingency table can be of any size. For example, it can be 2x3, 3x2, 3x3, or 4x2. Note that in these notations, the first digit refers to the number of rows in the table,and the second digit refers to the number of columns. For example, a 3x2 table will contain three rows and two columns. In general, an RxC table contains R rows and C columns.”
189 11.9 Perhitungan Manual Uji Chi-Square Pearson Data pada Tabel 11.2 disajikan kembali pada Tabel 11.7. Tabel 11.7 Contoh Tabel Kontingensi Hobi Total Memasak Olahraga Membaca Jenis Kelamin Laki-Laki 12 24 4 40 Perempuan 6 2 12 20 Total 18 26 16 60 Berdasarkan data pada Tabel 11.7: Terdapat kecenderungan laki-laki suka olahraga, namun tidak suka membaca. Terdapat kecenderungan perempuan suka membaca, namun tidak suka olahraga. Akan digunakan uji chi-square Pearson untuk menguji apakah terdapat hubungan yang signifikan antara jenis kelamin dan hobi pada tingkat signifikansi 5%. Apakah jenis kelamin mempengaruhi seseorang dalam hal pemilihan hobi. Tahap pertama adalah menghitung nilai frekuensi harapan (expected frequency) untuk setiap kotak atau cell. ( − ; ) = (ℎ − ) × (ℎ ) = (40) × (18) 60 = 12 ( − ; ℎ) = (ℎ − ) × (ℎ ℎ) = (40) × (26) 60 = 17,333333 ( − ; ) = (ℎ − ) × (ℎ ) = (40) × (16) 60 = 10,666667
190 (; ) = (ℎ ) × (ℎ ) = (20) × (18) 60 = 6 (; ℎ) = (ℎ ) × (ℎ ℎ) = (20) × (26) 60 = 8,666667 (; ) = (ℎ ) × (ℎ ) = (20) × (16) 60 = 5,333333 Berdasarkan perhitungan frekuensi harapan di atas, disajikan Tabel 11.8. Tabel 11.8 menyajikan frekuensi pengamatan (observed frequency) dan frekuensi harapan (expected frequency). Tabel 11.8 Frekuensi Pengamatan dan Frekuensi Harapan Hobi Total Memasak Olahraga Membaca Jenis Kelamin Laki-Laki 12 (12) 24 (17,3333) 4 (10,6667) 40 Perempuan 6 (6) 2 (8,66667) 12 (5,3333) 20 Total 18 26 16 60 Berdasarkan Tabel 11.8, tidak ada satu cell pun dengan nilai frekuensi harapan (expected frequency) < 5. Tahap kedua adalah menghitung nilai statistik chi-square Pearson. Nilai statistik chi-square Pearson dinotasikan dengan lambang 2 , dihitung dengan rumus sebagai berikut. 2 = ∑ (− ) 2
191 Berikut perhitungan nilai statistik chi-square Pearson. 2 = ∑ (− ) 2 = (12 − 12) 2 12 + (24 − 17,3333) 2 17,3333 + (4 − 10,6667) 2 10,6667 + (6 − 6) 2 6 + (2 − 8,6667) 2 8,6667 + (12 − 5,3333) 2 5,3333 2 = 20,192 Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh nilai statistik chi-square Pearson 20,192. Dengan menggunakan SPSS diperoleh hasil yang sama (Tabel 11.9). Tabel 11.9 Hasil Perhitungan Statistik Chi-Square Pearson dengan SPSS Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2- sided) Exact Sig. (2- sided) Exact Sig. (1- sided) Point Probability Pearson Chi-Square 20.192a 2 .000 .000 Likelihood Ratio 21.371 2 .000 .000 Fisher's Exact Test 20.211 .000 Linear-by-Linear Association 5.796b 1 .016 .018 .012 .008 N of Valid Cases 60 a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 5.33. b. The standardized statistic is 2.407. Tahap ketiga adalah menghitung nilai kritis chi-square. Untuk menentukan nilai kritis chisquare, terlebih dahulu menghitung derajat bebas (degree of freedom). Derajat bebas dihitung dengan rumus sebagai berikut. = ( − 1)( − 1) Perhatikan bahwa dan masing-masing menyatakan jumlah baris dan kolom dalam tabel kontingensi. Untuk tabel kontingensi dengan ukuran 2 × 3, = 2 dan = 3, maka diperoleh = (2 − 1)(3 − 1) = 2 . Nilai kritis chi-square dengan derajat bebas 2 dan tingkat