PPT Vektor Dimensi Dua

VEKTOR

Matematika Kelas XI

DEBORA SAURINA, S.Si

Vektor Posisi

Vektor di bidang R2 Vektor Satuan
Vektor di bidang R3
Kesamaan Vektor
Operasi Vektor
Vektor Penjumlahan Aturan Jajar Genjang
Pengurangan Aturan Segitiga

Perkalian Skalar dengan
Vektor

Perbandingan Sudut Antara Dua Vektor

Perkalian Skalar Dua Proyeksi Vektor pada
Vektor Vektor Lain

Ketika Kalian sedang melakukan perjalanan ke suatu tempat pasti Kalian sering menemukan papan petunjuk
arah seperti papan petunjuk arah berikut:
Untuk sampai pada kota yang diinginkan pengguna jalan harus mengikuti arahdan menempuh jarak yang
ditentukan. Misalnya: Untuk mencapai kota Bandar Lampung, Kalian harus membelok ke arah kiri dan
menempuh jarak sejauh 8 km dari lokasi papan petunjuk tersebut atau kalau Kalian mau ke kota Palembang,
Kalian harus membelok ke kanan dan menempuh jarak sejauh 360 km dari papan petunjuk. Dengan
demikian ada dua hal yang harus diperhatikan, yaitu arah dan jarak (besar) yang harus ditempuh.

DEFINISI VEKTOR

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Konsep vektor dalam metematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah
jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung
atau perpanjangannya.

Skalar adalah besaran yang mempunyai besar saja tetapi tidak

mempunyai arah.

CONTOH

Vektor: Skalar:
• Kecepatan • Tinggi Badan
• Gaya • Jumlah Siswa dalam kelas
• Perpindahan • Panjang sebuah meja
• Percepatan • Volume bangun Ruang

SECARA GEOMETRI

Vektor adalah ruas garis yang berarah
uB

A A : Titik Pangkal / titik tangkap

B : Titik Ujung / Terminus

Vektor u diwakili Vektor AB = AB

VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS

• Komponen horisontal vektor PQ → sebesar xQ – xP
• Komponen vertikal vektor PQ → sebesar yQ – yP

• Dalam bentuk aljabar, vektor PQ dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks kolom:

PQ = = −
−

• Dalam bentuk pasangan berurut:
PQ= − , −

• Atau dalam bentuk
PQ= +

LATIHAN

Tentukanlah Vektor dari gambar berikut :

E Sb y C

A

D

o B

F Sb x

G

PANJANG (MODULUS) VEKTOR

Panjang Vektor AB = AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

SB y atau
B (x2, y2)
AB = x2 + y2


A (x1, y1)
SB x

CONTOH

Diketahui A( 2,1), B( 6,4).
Tentukanlah: a. Vektor AB

b. Panjang Vektor AB

Jawab :

AB = 64−−21 = 43

AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AB = (6 − 2)2 + (4 −1)2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5

LATIHAN

Tentukanlah Vektor dan Panjang Vektor dari gambar berikut :

E Sb y C

A

D

o B

F Sb x

G

• KESAMAAN VEKTOR
• VEKTOR NOL
• VEKTOR POSISI
• VEKTOR SATUAN

DEBORA SAURINA, S.Si

KESAMAAN DUA VEKTOR

Dua vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai besar dan arah yang
sama.

Y

Keempat vektor pada gambar di samping
adalah sama karena mempunyai besar dan
arah yang sama.

O

CONTOH

Diketahui vektor titik-titik P(1,1), Q(4,5), R(-4,-3), S(-1,1)

= karena
• searah dengan dan
• =

Perhatikan gambar berikut: CONTOH

Q Vektor dan sama panjang dan arahnya berlawanan.
P Vektor dan merupakan vektor berlawanan.
Dapat ditulis :
S = − atau − =

Perhatikan gambar berikut: CONTOH

Vektor-vektor di atas merupakan vektor yang
sejajar. Coba kalian perhatikan komponen
vektornya.
= 4,1

1 = (8,2), maka 1=2

2 = (12,3), maka 2=3

3 = (2, 21), maka 3=21

4 = (−8, −2), maka 4=−2
Vektor 1, 2, 3 dapat dinyatakan dengan . ⃗
dengan k skalar yang bernilai positif,
sementara untuk 4 dengan k skalar bernilai
negatif.

VEKTOR NOL

Suatu vektor disebut vektor nol apabila panjangnya nol. Arah dari vektor nol tak tentu, misalnya
, , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor nol dilambangkan dengan .

Kalian perhatikan gambar berikut: VEKTOR POSISI

• Vektor posisi suatu titik dapat dilambangkan sesuai dengan
nama titik ujungnya yang ditulis dengan huruf kecil.

• Vektor posisi titik A ialah ⃗ atau , Vektor posisi titik B ialah
atau .

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan ⃗ , sehingga vektor ⃗ = 1
0

Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan ⃗ , sehingga vektor ⃗ = 0
1

Untuk setiap vektor ⃗ yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor ⃗ ,
dilambangkan dengan ̂ . Vektor satuan arahnya searah dengan vektor ⃗ dan panjangnya sama dengan satu
satuan.

Jika vektor ⃗ = 1 , maka vektor satuan dari vektor ⃗ dirumuskan dengan:
2
a
eˆ = a

CONTOH

Diketahui vektor ⃗ = 3 + 4 , tentukan vektor satuan yang searah vektor ⃗ !

Jawab :
a
eˆ = a

⃗ 3 + 4 1
̂ = ⃗ = 32 + 42 = 5 3 + 4


ො = +

LATIHAN SOAL

Diketahui koordinat titik A(3, 4) dan B(9, 12). Tentukan:
a. Vektor posisi dari titik A dan B
b. Komponen vektor
c. Panjang vektor
d. Vektor satuan dari vektor

OPERASI
VEKTOR

OPERASI VEKTOR

PENJUMLAHAN VEKTOR

Anita dan Alya merencanakan dari Jakarta ke Bandung. Jika naik kereta api, mereka akan
melalui Purwakarta dahulu, kemudian ke Bandung. Tetapi jika naik pesawat, dia dapat terbang
langsung dari Jakarta ke Bandung. Anita dan Alya menggambarkan rute perjalanannya dalam
bentuk vektor sebagai berikut, dengan J mewakili Jakarta, P mewakili Purwakarta dan B
mewakili Bandung.

J

1

1 + 2 P
B 2

Aturan Segitiga

• menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua
• hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua

J P
1

1 + 2
2

B

Aturan Jajaran Genjang

• menghimpitkan pangkal kedua vektor 1 dan 2
• Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah 1 dan 2

1 2
1 + 2

PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR

Jika ⃗ = 1 dan = 1 , maka + = +
2 2 +

CONTOH

Jika ⃗ = 3 dan = 2 . Tentukanlah + !
4 5

Jawab : +
+
+ =

=


CONTOH

Tentukanlah hasil penjumlahan ⃗ + + ⃗ jika diketahui :

⃗ ⃗

Jawab :
⃗

⃗

⃗ + + ⃗

SIFAT – SIFAT PENJUMLAHAN VEKTOR

1. Komutatif : ⃗ + = + ⃗
2. Asosiatif : ⃗ + + ⃗ = ⃗ + + ⃗
3. Elemen Identitas : ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗
4. Invers Penjumlahan : ⃗ + − = − + ⃗ = ⃗

PENGURANGAN VEKTOR

Pengurangan Vektor merupakan proses penjumlahan vektor dengan vektor
negative (invers penjumlahan).

− = + (− )

SECARA GEOMETRI

Secara Geometri, pengurangan Vektor digambarkan sebagai berikut.
Jika,

Maka, −

⃗ ⃗ − ⃗

PENGURANGAN VEKTOR SECARA ALJABAR

Jika ⃗ = 1 dan = 1 , maka − = −
2 2 −

LATIHAN SOAL

1. Jika ⃗ = 4 dan = 1 , maka ⃗ + =…
6 3

2. Jika 1,2 , (−4,5) dan (11, −4), maka + =…

3. Diketahui ⃗ = 3 , = −8 , dan ⃗ = 12 . Jika ⃗ = ⃗ + + ⃗ , maka Panjang
2 9 13
vektor ⃗ =…

4. Jika ⃗ = 2 dan = 0 , maka − ⃗ =…
3 5

5. Jika ⃗ = 4 , = 3 , dan ⃗ = ⃗ − , maka ⃗ =…
3 1

PERKALIAN VEKTOR

1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian Vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)*

*khusus Vektor Dimensi 3

Debora Saurina, S.Si

PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR

C=kA

k : Skalar
A : Vektor
C : Hasil Perkalian (berupa Vektor)

Catatan : ▪ Jika k positif arah C searah dengan A
▪ Jika k negatif arah C berlawanan dengan A

Contoh : C = 3A
k = 3, A

CONTOH

Jika diketahui vektor ⃗ = 4 dan = 1 , tentukan vektor 2 ⃗ + 3 !
6 3

Jawab :

2 ⃗ + 3 = 2 4 +3 1
6 3

= 8 + 3
12 9

= 8+3
12 + 9

= 11
21

PERKALIAN VEKTOR DENGAN VEKTOR

PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCT)
• Perkalian titik dari dua vektor A dan B dilambangkan dengan :

• = C

• Hasil perkalian titik dua besaran vektor merupakan besaran skalar

PERKALIAN DOT PRODUCT SECARA
GEOMETRI

Jika terdapat vektor ⃗ = ( 1, 2) dan = 1, 2 , dimana kedua vektor
membentuk sudut , maka berlaku rumus perkalian dot sebagai berikut.

• = ⃗


PERKALIAN DOT PRODUCT SECARA
ALJABAR

Jika terdapat vektor ⃗ = 1 + 2 dan = 1 + 2 , maka berlaku rumus
perkalian dot sebagai berikut.

• = . + .

CONTOH

Diketahui ⃗ = 6 dan = 5 dan sudut antara vektor ⃗ dan adalah 60°.
Tentukanlah nilai ⃗ . !

Jawab :

• =

= 6 . 5 . cos 60°
= 30 . 1

2

= 15

CONTOH

Diketahui ⃗ = 2 + 4 dan = 3 − 5 . Tentukanlah nilai ⃗ . !

Jawab :

• = . + .

= 2.3 + 4 −5
= 6 − 20
= −14

TERIMA
KASIH