พาราโบลา

พาราโบลา

ซา้ ย/ขวา

#

คอื เซตของจุดทกุ จุดบนระนาบ ซึ่งอยู่หา่ งจากเส้นตรงที่

+ เส้นหนึง่ บนระนาบและจุดคงท่จี ุดหนง่ึ บนระนาบนอกเสน้ ตรงคงท่ี
+
นนั้ เป็ นระยะทางเท่ากับเสมอ

++

จุดคงท่ี เรียกว่า โฟกัส (focus) ของพาราโบลา
เส้นตรงท่คี งท่ี คอื เส้นบังคับ หรอื เส้นไดเรกตรกิ ซ์ (Directrix)
เส้นตรงทล่ี ากผ่านจุดโฟกัส และต้ังฉากกับไดเรกตริกซ์ คือ แกนของพาราโบลาหรือแกนสมมาตร(axis of symmetry)
จุดท่แี กนพาราโบลาตัดเส้นโคง้ ของพาราโบลาคอื จุดยอด (vertex) ของพาราโบลา
ส่วนของเส้นตรงทลี่ ากผา่ นจุดโฟกัส และต้ังฉากกับแกนของพาราโบลา โดยจุดปลายท้ังสองอยบู่ นโค้ง
ของพาราโบลาเรยี กว่า ลาตัสเรกตัม (Latus Recrum) ของพาราโบลา คือ ส่วนของ เส้นตรงซ่ึงต้ังฉากกับแกนของ
พาราโบลาท่จี ุดโฟกัส และ มจี ุดปลายทงั้ สองอย่บู น พาราโบลา ส่วนของเส้นตรงนมี้ คี วามยาว |4c|

++ +
+

รูปสมการ เม่อื พาราโบลามจี ุดยอดท่ีจุดเร่ิมต้น รูปสมการ เมอื่ พาราโบลามจี ุดยอดทจ่ี ุด (h, k) ใด ๆ

พาราโบลารูปตะแคงขวา เมือ่ c 0 พาราโบลารูปตะแคงขวา เมอ่ื c 0
พาราโบลารูปตะแคงซ้าย เม่อื c 0 พาราโบลารูปตะแคงซ้าย เมอ่ื c 0
มจี ุดยอดท่ี (0, 0) โฟกัสท่ี (c, 0) มจี ุดยอดที่ (h, k) โฟกัสท่ี (h+c, k)
สมการไดเรกตรกิ ซ์ x = - c สมการไดเรกตรกิ ซ์ x = h - c
แกนของพาราโบลา y = 0 (คือแกน X) แกนของพาราโบลา y = k
ความยาวของเลตัสเรกตัมเท่ากับ |4c| ความยาวของเลตัสเรกตัมเท่ากับ |4c|

++ เราสามารถสรุปสมการพาราโบลาไดด้ ังนี้ ++

ถา้ P(x, y) บนจุดใดๆ บนกราฟของพาราโบลา จะได้ว่า |PF| = |PD|

1. สมการพาราโบลาที่มจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุด (0, 0)
1.1 เมอ่ื แกน x เป็ นแกนสมมาตร
1.2 เม่อื แกน y เป็ นแกนสมมาตร

2. สมการพาราโบลาท่มี จี ุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (h, k)
2.1 เมื่อแกนสมมาตรขนานกบั แกน x
2.2 เมอ่ื แกนสมมาตรขนานกบั แกน y

11. สมการพาราโบลาทม่ี จี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ จี่ ุด (0, 0)

1.1 เมอื่ แกน x เป็ นแกนสมมาตร
สมการพาราโบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0, 0) เมือ่ แกน x เป็ นแกนสมมาตร
ความสมั พันธ์ของกราฟ คอื { (x,y) ∈ RXR | y2 = 4cx }เป็ นพาราโบลาท่มี แี กนในแนวนอน
แกน x หรือเส้นตรง y = 0

จุดยอดอยู่ท่ี (0, 0)
จุดโฟกัสอยู่ที่ F(c, 0)
สมการไดเรกตริกซ์ คือ x = -c
เลตัสเรกตัม ยาว = |4c| หนว่ ย

สมการรูปแบบมาตรฐานเป็ น y2 = 4cx

*หมายเหตุ
ถ้า C > 0 โคง้ เปิ ดไปทางขวา

C < 0 โคง้ เปิ ดไปทางซ้าย

ตัวอยา่ งที่ 1
จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์และเขยี นกราฟพาลาโบลาจากสมการ y2 + 12x = 0

วิธีทา y2+12x=0
y2 =-12x
y2 = 4(-3)x

จะได้ C = -3
เป็ นพาราโบลาเปิ ดทางซ้าย
จุดยอด คอื (0, 0)

จุดโฟกัส คือ (-3, 0)

สมการไดเรกตริกซ์ คอื x = -(-3) = 3

22. สมการพาราโบลาทมี่ จี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุด (h,k)

2.1 เมื่อแกนสมมาตรขนานกบั แกน x
สมการพาราโบลาที่มจี ุดศนู ย์กลางอยู่ทจี่ ุด (h, k1) เม่ือแกนสมมาตรขนานกับแกน y
ความสมั พันธ์ของกราฟ คือ f (x,y) E RXR | (y-k)2 = 4c(x-h) ]
เป็ นพาราโบลาที่มีแกนในแนวนอน แกนสมมาตรอยู่บนเสน้ ตรง y = k

- จุดยอดอยู่ที่ V(h, k)
- จุดโฟกัสอยู่ท่ี F(h+c, k)
- สมการไดเรกตรกิ ซ์ คอื x = h - c
- เลตัสเรกตมั ยาว = |4c| หนว่ ย

สมการรูปแบบมาตรฐานเป็ น (y-k)2 = 4c(x-h)

*หมายเหตุ
ถ้า C > 0 โคง้ เปิ ดไปทางขวา

C < 0 โคง้ เปิ ดไปทางซ้าย

ตวั อย่างท่ี 2
จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซแ์ ละเขยี นกราฟพาลาโบลาจากสมการ y2-4y-4x+16 = 0

วิธีทา y2 -4y-4x+16=0
y2 -4y = 4x-16
y2 -4y +4 = 4x-16 +4
(y-2)2 =4(x-3)
(y-2)2 =4(1)(x-3)
จะได้ C = 1
เป็ นพาราโบลาเปิ ดทางขวา
จุดยอด คือ (3, 2)
จุดโฟกัส คือ (3+1, 2) = (4, 2)

สมการไดเรกตริกซ์ คอื x = 3 - 1 = 2

PAT 1 มีนาคม 2555 พาราโบลาที่มจี ุดโฟกสั F อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม x2+y2−8x+6y+9=0 และ
มีจุดยอด V อยู่ทีจ่ ุดตัดของวงกลมกับแกน y
ถา้ A และ B เป็ นจุดบนพาราโบลาซง่ึ สว่ นของเสน้ ตรง AB ผ่านจุดโฟกสั F และต้ัง
ฉากกบั แกนของพาราโบลา แลว้ พื้นทข่ี องรูปสามเหลี่ยม VAB เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1 | ทากาลังสองสัมบูรณ์เพ่ือหาจุดศูนยก์ ลางของวงกลม 2 | แก้สมการหาจุดตัดของวงกลมกับแกน เพ่ือหาจุด
และโฟกัสของพาราโบลา ยอดของพาราโบลา

+ − 8 + 6 + 9 = 0 แทนค่า = 0 ดังน้นั จุดยอดของพาราโบลา V = (0, -3)
( - 8 + 4 )+ ( +6 + ) = -9 + 4 +3 +6 + = ทราบว่าเป็ นพาราโบลาเปิ ดขวามี c = 4
( -4) + ( + 3) = 4
( +3) = 0
ดังนนั้ โฟกัสของพาราโบลา Ϝ = (4, −3)
= -3
3 | วาดกราฟพาราโบลาและเส้นตรง AB
พบว่า AB คือลาตัสเรกตั้มของพาราโบลานพ้ี อดี ซ่ึง 4 | คานวณพื้นท่ี V AB โดยใช้ระยะ
จะมคี วามยาวเทา่ กับ 4c หน่วย โฟกัสของวงรี เมือ่ พิจารณาสามเหล่ียม V AB โดยมอง AB
เป็ นฐานแล้วจะได้ความสูงลากจาก V มาตั้งฉากกับ
AB เทา่ กับ C หน่วย

ดังนนั้ พื้นทสี่ ามเหล่ียมเท่ากับ
1 (4c)(c) = 2c = 32

2

ตอบ 32 ตารางหนว่ ย

อ้างอิงสว่ นผสม

http://www.thaischool.in.th/_files_school/30100884/workteacher/30100884_1_20160125-084107.pdf
https://cdn.fbsbx.com/v/t59.2708-
21/275032598_910690522957915_3849627006483919454_n.pdf/%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%
A3%E0%B8%B2%E0%B8%8B%E0%B8%82-
%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%A7.pdf?_nc_cat=103&ccb=1-
5&_nc_sid=0cab14&_nc_ohc=BI1KsWePepEAX99O5qD&_nc_ht=cdn.fbsbx.com&oh=03_AVKNQgZsUoUi
-FJRZmU84l_fq4v0HjH0ZYu8xNXEE4UmCA&oe=62214E1F&dl=1

ผใู้ หค้ าปรกึ ษา
คุณ แบล็ค ศุภกร หนิเสะ

ไม่มีความฝั นก็ไมเ่ ป็ นไรนะครับ
แคม่ ีความสุขก็พอแล้ว - Suga BTS