เมทริกซ์.

เมทรกิ ซ

~อ 2° อ

≈ m Aw Ttpn

น.ส.วรรณวสิ า ย่งิ ยืน ม.4/6 18ก
น.ส.ศิโรรตั น์ บญุ หนองบัว ม.4/6 18ข

คำนำ
เพื่อเป็นการเพิ่มผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1

สารบัญ หน้า
เรื่อง 1
ความหมายของเมทริกซ์ 2
แถวและหลักของเมทริกซ์ 3
ชนิดเมทริกซ์ 4
การเท่ากันของเมทริกซ์ 5
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน 6
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง 7
การบวกลบเมทริกซ์ 9
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ 11
ดีเทอร์มินันต์ 13
ไมเนอร์ 14
โคแฟคเตอร์ 15
ดีเทอร์มินันต์จัตุรัสมิติ 19
อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 21
เมทริกซ์ผูกพัน 22
การแก้สมการ 26
แบบฝึกหัด

1

เมทรกิ ซ์ คอื กลมุ่ ของจาํ นวนจรงิ ใดๆเขียนเรยี งกนั เปน็ รูปส่ีเหลยี่ มผนื ผ้าหรอื จตั รุ ัส
กลา่ วคือเรยี งเปน็ แถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตงั้ เรามักเขียนเมทริกซ์

เปน็ ตารางท่ีไมม่ เี สน้ แบ่งและเขียนวงเลบ็ สี่เหลีย่ มคร่อมตารางไว้

ซ่งึ เมทรกิ ซจ์ ะเป็นตารางส่เี หลี่ยมที่แตล่ ะช่องบรรจจุ ํานวนหรอื โครงสรา้ งทาง
คณติ ศาสตรท์ ส่ี ามารถนํามาบวกและคณู กบั ตวั เลขได้เมทรกิ ซเ์ ปน็ แนวความคดิ ท่มี ี

ความสาํ คญั ยิ่งของพชี คณิตเชิงเส้นเมทรกิ ซ์

2

-เมททรกิ ซจ์ ะมีสมาชิกแนวนอน เรยี กวา่ แถว(Row) สมาชิกแนวตั้ง เรยี กวา่
หลัก(Column)

-เรยี กเมทรกิ ซท์ ่ี m แถว n หลักว่า m x n เมทริกซ์ หรือเรยี กวา่ *มิตขิ องเม
ทริกซ์*ที่ m x n

-ชอ่ื เมทรกิ ซจ์ ะเขยี นแทนด้วยอักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพใ์ หญ่
-สัญลักษณ์ aij แทน สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ที่อยูแ่ ถวท่ี i และหลกั ท่ี j
(ใสร่ ปู อยา่ งบอกแถวบอกหลักเชน่ a12แทนสมาชิกของเมทรกิ ซA์ ทอี่ ย่วู แถวท1่ี หลกั
ที่2 ใสป่ ระมาณ2-3ตัวอยา่ ง)

-ถ้าเมทริกซ์ A เปน็ เมทรกิ ซ์มิติ m×n เราสามารถเขยี นสญั ลักษณa์ ijแทนสมาชกิ
ของเมทรกิ ซ์ A ได้ดังน(ี้ ใสร่ ูปตวั อย่างเมทริกซA์ ประมาณตวั อยา่ งขอ้ 4หนา้ ท3ี่ )

-หรอื อาจจะเขียนใหส้ ั้นกวา่ นี้ได้อีกดงั นี้ A=[aij]m×n ดังนั้น ถ้าเห็นสัญลักษณน์ ้ี
ต้องทราบทนั ท่ีว่า เมทรกิ ซ์ A มมี ติ ิm×n

***Note***
-หากมีสมาชกิ ใดในเมทรกิ ซ์ว่างไม่ถือเปน็ เมทริกซ์

1 23

1 59

80

3

1.เมทรกิ ซศ์ ูนย์ (zero metric) เมทริกซ์ทท่ี สี มาชิกเปน็ 0ทกุ ตัว เขียนแทนด้วย
สญั ลกั ษณ์(0ขีดขา้ งลา่ ง)

2.เมทรกิ ซ์จตุรสั (square matrix) คือเมทริกซ์ทีม่ จี ํานวนแถวเท่ากบั จํานวน
หลกั หรือเป็นมิติทมี่ ลี ักษณะn×n

3.เมทริกซส์ ามเหลย่ี ม(Triangular matrix)
- เมทรกิ ซ์สามเหล่ยี มบน คือ เมทริกซจ์ ตั ุรัสที่มีสมาชิกของเมทรกิ ซ์ทกุ ตวั ที่อยู่ใต้
เส้นทแยงมมุ หลักมคี า่ เท่ากับ0 ตําแหนง่ ที่เหลอื มีค่าเท่าใหรก่ ไ็ ด้
- เมทรกิ ซส์ ามเหลย่ี มดา้ นลา่ ง คือ เมทรกิ ซ์จัตรุ ัสทม่ี ีสมาชิกของเมทรกิ ซท์ กุ ตัวทอ่ี ยู่
บนส้นทแยงมุมหลกั มคี ่าเท่ากับ0 ตาํ แหนง่ ที่เหลอื มีค่าเทา่ ใหร่กไ็ ด้

4.เมทรกิ ซ์เฉยี ง (Diagonal matrix)
คือ เมทรกิ ซจ์ ัตรุ สั ทมี่ ีสมาชิกทกุ ตวั ท่ไี มไ่ ด้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักมีคา่ เป็นศูนย์
ท้ังหมด

5.เมทรกิ ซ์สเกลาร์ (Scalar matrix)
คือเมทรกิ ซ์ทแยงมุมทม่ี สี มาชิกทุกตัวบนเสน้ ทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากันท้ังหมดหรอื
ก็คอื คา่ คงทนี่ ั่นเอง

6.เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity matrix)
คือ เมทริกซ์จตุรัสที่สมาชกิ ในแนวเส้นแทยงมมุ หลักทกุ ค่าเป็น 1 และสมาชิก
ตําแหน่งอื่น ๆ มคี า่ เปน็ 0 เราใชัสัญลกั ษณ์ (Iหอ้ ยn) แทนเมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์
มติ ิ

า

เมทรกิ ซส์ องเมทริกซ์จะเท่ากันไดต้ อ้ งประกอบดว้ ยเงื่อนไข 2 ขอ้ ดังนี้
(1) เมทรกิ ซท์ ง้ั สองต้องมีมติ ิเท่ากนั

(2) สมาชิกทอ่ี ยใู่ นตาํ แหน่งเดยี วกนั ตอ้ งเท่ากัน

g

คือ เมทรกิ ซท์ ่ีเกดิ จากการเปลี่ยนแถวเป็นหลกั เปล่ียนหลักเป็นแถว เชน่ แถว
ท่ี 1 ก็เปล่ียนเปน็ หลกั ที่ 1
และถา้ A มมี ติ ิเป็น m×n แล้ว(Aยกกําลังt) จะมีมติ ิเปน็ n×m

**สมบัติทรานสโพสเมทริกซ์**
1.((A)^t)^t = A
2.((A) ^t) ^t) ^t = (A) ^t
สงั เกตไดจ้ ากหากจํานวน t ทยี่ กกําลงั เป็นจาํ นวนค่จู ะได้ A
แต่ถา้ หากจํานวน t ท่ียกกําลังเป็นจาํ นวนคี่จะได(้ A) ^t
3.(cA) ^t = cA^t
**cคือตัวเลข**
4.(A ± B) ^t = A^t ± B^t
**สมบตั กิ ารแจกแจง**
5.(AB) ^t = B^tA^t
**เอาเมทรกิ ซ์หลงั ขนึ้ ก่อน**

เ

คือ การนําจํานวนจรงิ คา่ หนึง่ คณู กับเมทรกิ ซ์ ซ่งึ วิธกี ารคณู แบบนเ้ี รา
สามารถนําจํานวนจริงนั้นเขา้ ไปคูณกบั สมาชกิ ในตาํ แหนง่ ในเมทริกซ์ได้
เลย (ต้องคณู ทกุ ตวั แหน่ง) และเมทริกซ์น้นั จะเป็นกี่มิติกไ็ ด้

***สมบตั ิการคณู เมทริกซด์ ้วยจํานวนจรงิ ***
A, Bเป็นเมทริกซม์ ติ ิเดยี วกนั
c, d เปน็ จาํ นวนจรงิ ใดๆ
1. -A = (-1)A
2. -(cA) = (-c)A = c(-A)
3. 0×A = เมทริกซ์ศนู ย์
4. c×เมทรกิ ซศ์ นู ย์ = เมทรกิ ซศ์ นู ย์
5. ถ้า cA = เมทริกซ์ศูนย์ แลว้ c = 0หรอื A = 0
6. c(dA) = (cd)A = d(cA)
7. cA ± dA = (c ± d)A
8. cA ± cB = c(A ±B)

7

เมทรกิ ซท์ ีจ่ ะนํามาบวกลบกันไดน้ น้ั ตอ้ งมมี ติ เิ ทา่ กนั และการบวกการลบจะนาํ สมาชิก
ตําแหนง่ เดียวกันมาบวกลบกัน

การ บวก

การลบ

8

***สมบัติการบวกลบเมทรกิ ซ*์ **
1.สมบัตปิ ดิ การบวกการลบคือ เมทรกิ ซท์ ี่มมี ิตเิ ดยี วกนั บวกลบกนั แล้วผลลพั ธย์ ัง
เป็นเมทรกิ ซเ์ หมอื นเดิมและมติ กิ เ็ ท่าเดมิ ด้วย

2.สมบัติการสลบั ที่การบวก คอื ให้ A และ B เป็นเมทรกิ ซ์ จะไดว้ า่ A +B =
B +A
***สลับทีก่ ารบวกได้แตก่ ารลบสลับไม่ได*้ **

3.สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่ คือ (A + B) + C = A + (B + C)
4.สมบตั ิการมีเอกลักษณก์ ารบวก ซง่ึ เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์ คอื เม
ทรกิ ซ์ศูนย์ (สมาชิกทุกตาํ แหนง่ เป็น 0) เขยี นแทนดว้ ย \underbar{0}

5.สมบัตกิ ารมีตวั ผกผนั (อนิ เวอรส์ )คือ ถา้ A เปน็ เมทรกิ ซ์ใดๆแลว้ จะไดว้ า่ (-A)
เป็นเมทริกซผ์ กผนั ของ A ซงึ่ เมอ่ื นํา A มาบวกกับ -A แล้วจะได้เมทรกิ ซศ์ ูนย์

9

เมทรกิ ซ์ทีจ่ ะคณู กันไดต้ ้องมหี ลกั เกณฑ์ดงั นี้
1.จํานวนหลกั ของเมทรกิ ซต์ ัวหน้าตอ้ ง เทา่ กับ จาํ นวนแถวของเมทรกิ ซ์ตัวหลงั
2.มติ ขิ องเมทริกซผ์ ลลัพธ์จะเท่ากบั จํานวนแถวของตัวหนา้ คณู จํานวนหลกั ของตัว
หลัง

10

****สมบัติการคูณเมทรกิ ซด์ ว้ ยเมทริกซ์***
1) สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่
ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซท์ สี่ ามารถคูณติดต่อกันได้ จะได้ A(BC) =
(AB)C

2) สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์
เอกลักษณ์การคณู ของเมทรกิ ซ์ คอื (Iหอ้ ยn)

3) สมบัตกิ ารรแจกแจง
(A + B)C = AC + BC
A(B +C) = AB + AC
*** เมทรกิ ซจ์ ะมสี มบัตกิ ารแจกแจง เม่ือ A + B, B + C, AB, AC, BC
สามารถหาค่าได*้ ***

4.(AB) ^t = B^tA^t
**เอาเมทริกซห์ ลังขึ้นกอ่ น**

5.ไมม่ ีสมบตั สิ ลับท่กี ารคูณคือถา้ ABจะไมเ่ ทา่ กับBA

6.A×เมทริกซศ์ นู ย=์ เมทริกซ์ศนู ย์×A=เมทรกิ ซ์ศนู ย์

7.(A+B)²= A²+2AB+B² ก็ตอ่ เมอ่ื AB=BA

8.(A-B)²=A²-2AB+B²ก็ต่อเมือ่ AB=BA

9.(A+B)(A-B) = A²-B²กต็ อ่ เมื่อAB=BA

10.ถา้ AB = 0 ไมจ่ ําเปน็ ท่ีA=0 หรือB=0

11.ถา้ AB =AC โดยA 0ไมจ่ ําเปน็ ท่ี B=C

11

คา่ ของตวั เลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตรุ ัส ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์จตั ุรสั จะ
เขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรอื |A|
**คา่ ของดีเทอร์มแิ นนตจ์ ะเปน็ จาํ นวนจรงิ และมเี พยี งค่าเดียวเท่านน้ั ท่จี ะ
สอดคลอ้ งกับเมทริกซจ์ ตั ุรัส เชน่ เมทรกิ ซ์ B กจ็ ะมคี ่าดีเทอร์มแิ นนตเ์ พยี ง
ค่าเดยี วเทา่ น้ัน**
-การหาดเี ทอร์มีนนั ต์มิติ2×2

Ex. ถ้าAป็นเมทริกซ์จตั รุ ัส2×2และA=|a b|
|c d|

***สูตรการหาคอื ad-bc***หลกั การจําคูณลง-คูณขึน้ ***

12

- การหาดีเทอร์มนิ นั ตม์ ิติ 3×3
การหาค่าดเี ทอร์มแิ นนตข์ องเมทริกซ์ 3×3 จะซบั ซ้อนกว่า 2×2 นดิ หน่อย แต่ยงั
ใช้หลกั การเดมิ คือ คูณลง ลบ คณู ขนึ้ และส่ิงท่เี พิม่ มากค็ ือ การเพิ่มจาํ นวนหลัก
เขา้ ไปอกี 2 หลกั ซึ่งหลกั ท่เี พ่มิ นั้นก็คือค่าของ 2 หลักแรกน่นั เอง

13

คอื คอื ดีเทอร์มินันตข์ องเมทรกิ ซ์ ซึ่งได้จากการตดั แถวท่ี i หลักท่ี j ของเม
ทริกซA์ ออก

H

โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ คือ การหาเครือ่ งหมาย ว่าเปน็ บวกหรอื ลบ ของ
ไมเนอร์ โดยมีค่าเท่ากับ -1 ยกกําลัง i+j คณู กบั คา่ ไมเนอร์ ของสมาชิก แถวท่ี
i และ หลกั ท่ี j
ถ้าผลบวกของเลขยกกําลงั จากสูตร (-1)^i+j × ไมเนอรข์ องสมาชกิ แถวทiี่ หลักท่jี
เปน็ จาํ นวนคู่โคแฟคเตอรจ์ ะเท่ากับไม่เนอร์นน้ั แต่ถ้าผลบวดเปน็ จาํ นวนคโ่ี ค
แฟคเตอร์จะเท่ากับไมเนอร์ทีต่ ดิ ลบ

15

น

สมบัตดิ เี ทอรม์ นิ นั ต์
1.det(Iหอ้ ยn) = 1 เสมอ
**Iเมทริกซเ์ อกลักษณ*์ *

2.det(A^t) = det (A)

3.det(A^n)= [det(A)]^n

4.det (AB) = det(A)× det(B)

5.det(A±B) det(A)±det(B)

6.det(cA)=c^n×det(A) เมื่อ n×n เปน็ มิติของ A

***c ตัวเลข,n มติ ิ***

***สูตรc^n×det(A)***

เน - า - ๆ

1 -2 3 เ-
3A =
A
ไ det12 จะ 13 A) = 72
เ
29

-

detl32 A)- _ _

= 91 8) = 72

7.ถา้ Aมสี มาชกิ แถวใดแถวหนึ่งหรอื หลกั ใดหลกั หนงึ่ เปน็ 0ทุกตัวแล้วdet(A)

8.ถ้าBเปน็ เมทรกิ ซ์ทเ่ี กิดจากการสลับแถวสองแถวใดหรอื หลกั สองหลกั ใด

ของ A แล้วdet(B) = -det(A)

เน -
_

_ n

2 13 1 59

A= 7 -2 เ และ B-- 7 2 6 ไจะ detl B) = detl A)

-

1 59 243

nnn nr นาม nr

9.ถ้าAมีแถวหรือหลักเหมอื นกันอยา่ งนอ้ ย1ค่แู ล้วdet(A)=0

เน

- -

1 23

A-- 1 5 6 ไจะ detl A) = 0

1 23

nr -

้ด่ช้ด่ช้ด่ช

17

10.ถา้ Aมแี ถวหรอื หลักเปน็ สดั สว่ นกนั อย่างนอ้ ย1คู่แลว้ det(A)=0

เน

- _

2 11

A- ไจะ detl A) = 0
-
3 76

4 58

- e-

11.ถ้าAเป็นเมทรกิ ซส์ ามเหลยี่ มแล้วdetAเทา่ กบั ผลคูณของสมาชิกในแนวเสน้

เน - ทแยงมุมหลัก

-

2 00

detlA- ไ0- จะ A) = 2 ✗ 8 ✗ 1 = เ 1

38

751

- _

12.ถา้ Aเป็นเมทริกซ์เฉียงแลว้ det(A)เทา่ กับผลคณู ของสมาขิกในแนวเสน้ ทแยงมุม

เ น หลกั

-

3 0 07

0 10 จะ det A) = 3×1×1=12
ไA =
0 04

_ _

13.ถา้ A=Bแล้วdet(A)=det(B)

แต่det(A)=det(B)แล้วAไม่จาํ เป็นต้องเท่ากับB

14.ถ้าdet(A)=0แลว้ เรยี กAวา่ เป็น"เมทริกซ์เอกฐาน(Singular matrix)
ถ้าdet(A) 0แล้วเรียกAวา่ เป็นเมทริกซ์ทไ้ี ม่ใชเ่ อกฐาน
(Non-Singular matrix)

15.ถ้านาํ จาํ นวนcไปคูณแถวใดหรอื หลักใดแล้วไปบวกหรือลบกันแถวใดหรือหลัก
ใดอีกแถวหรือหลักหนง่ึ ค่าของsetทไี่ ดใ้ หมจ่ ะมีค่าเท่ากับdetเดมิ

้ด่ช้ด่ช้ด่ช

18

16.*******det(A^-1)=1/det(A)*********

19

อนิ เวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ A กค็ อื เมทริกซ์ ท่ีนาํ มาคูณกบั เมทริกซ์ A แลว้
จะได้ผลลพั ธ์เท่ากบั เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ I และเราใชส้ ัญลักษณ์ A^-1 แทน
อินเวอร์สการคูณของเมทรกิ ซ์ นน่ั คือ A×A^-1=A×A^-1=I
แต่งเนื่องจาก A^-1 กบั A น้นั ตอ้ งมีสมบัตกิ ารสลบั ทีส่ ําหรบั การคูณ ซงึ่ การท่ี
จะเกดิ ลักษณะนไ้ี ด้ A^-1 และ A ต้องเป็นเมทรกิ ซ์ท่ีมมี ติ เิ ทา่ กนั
การหาอินเวอรส์ การคูณเมทรกิ ซ์ มิต1ิ ×1
-ถา้ A เป็นเมทริกซจ์ ตั รุ ัสมิติ1×1 และ A =[a] เมือ่ a เป็นสมาชิกของ
จํานวนจริง และ det(A) 0
Ex. A^-1=[1/a]

การหาอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ มติ ิ 2×2
-ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์จัตรุ สั มิติ2×2 และ A=[a b]

[c d]
เมื่อa, b, c, dเปน็ สมาชิกของ จํานวนจรงิ และdet(A) 0แล้ว
Ex. A^-1=1/det(A) [d -b]

[-c a]
**ตัวแหนง่ dและaสลับท่ีกันและตาั แหนง่ bและcเปล่ยี นเครื่อง
จากบวกเป็นลบทง้ั คู่**

20

21

แอดจอยทข์ องเมทริกซ์ A หรือวา่ adj(A) มนั จะเกี่ยวขอ้ งกบั โคแฟกเตอรข์ อง
เมทรกิ ซ์ ไมเนอร์ของเมทริกซ์ ทรานสโพสของเมทรกิ ซ์
แอดจอยท์ของเมทรกิ ซ์ A หรอื adj(A) กค็ ือการหา โคแฟกเตอร์แต่ละสามาชิก
ของ A เม่ือหาเสร็จแล้วกเ็ อามาทําการทรานสโพส

การหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซม์ ติ ิ มากกวา่ 2x2
การหาคา่ เมทรกิ ซผ์ กผัน ใชส้ ูตร
***A^-1 = 1/det(A)×adj A***

22

สามารถใชไ้ ดห้ ลายวธิ ี
1.ใช้วิธีกําจดั ตวั แปร
2.ใชอ้ นิ เวอร์สของเมทรกิ ส์
3.ใชก้ ฎของคราเมอร(์ Gabriel Crane's Rule)
4.ใช้การดาํ เนินการตามแถว(Row operation)

1)การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชว้ ิธกี าํ จดั ตัวแปร
1.ทาํ สมั ประสทิ ธิข์ องตัวแปรใดตวั แปรหน่งึ ใหเ้ ทา่ กนั หรือเปน็ จํานวนตรง
ข้ามกัน โดยการคณู หรือการหารด้วยคา่ คงตวั
2. นาํ สมการมาบวกหรือลบกนั หากสมั ประสิทธ์ิของตัวแปรมีคา่ เท่ากนั ให้
นําสมการมาลบกนั หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นจาํ นวน ตรงข้ามกันให้
นําสมการมาบวกกนั
3. แกส้ มการเพือ่ หาคา่ ตวั แปรในข้ันตอนน้ี สมการต้องเหลอื เพียงตวั แปร
เดียวเทา่ นัน้
4.นําคําตอบท่ีไดไ้ ปแทนค่าในสมการใด สมการหนึ่งเพ่ือหาค่าของตวั แปร
อีกตัว
5.ตรวจคาํ ตอบ

23

2)การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้อนิ เวอร์สของเมทรกิ ซ์
แปลงระบบสมการเชงิ เส้นให้อยู่ในรปู สมการเมทรกิ ซ์ได้โดยการนาํ
สัมประสทิ ธขิ์ องตัวแปรมาเรยี งเปน็ แถว2แถวเป็นเมทรกิ ซ์ขนาด2×2
*หมายเหตแุ ทนAเปน็ เมทริกซค์ า่ สมั ประสิทธิ์ แทนXเป็นเมทริกซต์ วั แปร
แทนBเปน็ สมั ประสิทธิ์คา่ คงตัว*
จะได้วา่ AX=B

A^-1AX=A^-1B
IX=A^-1B
**** X=A^-1B****

29

3)การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎของคราเมอร์(Gabril Cramr's
Rule)
แปลงระบบสมการเชงิ เส้นให้อยใู่ นรปู สมการเมทรกิ ซ์ไดโ้ ดยการนาํ
สมั ประสทิ ธ์ขิ องตัวแปรมาเรยี งเป็นแถว2แถวเป็นเมทรกิ ซ์ขนาด2×2
*หมายเหตแุ ทนAเป็นเมทริกซ์ค่าสัมประสทิ ธิ์ แทนXเปน็ เมทรกิ ซต์ ัวแปร
แทนBเปน็ สัมประสิทธค์ิ า่ คงตวั *
จะไดว้ ่าAX=B
หาคําตอบของตัวแปรแรกได้จากการนาํ เมทริกซ์ค่าคงตัวไปแทนท่ใี นเม
ทรกิ ซ์สัมประสทิ ธ์หิ ลักท่1ี แลว้ หารดว้ ยdet(A)
หาคําตอบของตัวแปรตวั ถัดไปก็นาํ เมทรกิ ซค์ า่ คงตัวไปแทนในเมทริกซ์
สัมประสิทธห์ิ ลกั ถัดไปแล้วหารดว้ ยdet(A)

25

4)การดาํ เนินการตามแถว(Row operation)
1. สลบั แถวที่ i กับแถวท่ี j (เขียนแทนด้วย Rห้อยij)
2.คูณแถวที่iด้วยคา่ คงตัว c 0(เขยี นแทนด้วยcRห้อยi)
3.เปลย่ี นแถวที่ i โดยนําคา่ คงตัว c คูณกับแถวท่ี j แลว้ บวกกับแถวที่ i (เขียน
แทนด้วย Ri+cRj)
4.กระบวนการสนิ้ สดุ เมอ่ื เราไดเ้ มทริกซ์เอกลกั ษณ์

26

แบบฝึกหัดการบวกลบของเมทรกิ ซ์

แบบฝกึ หดั การคณู ของเมทรกิ ซ์

aBDBQDD.jnguftu.hr

฿ดงกางดด

27

3แBบDบDกDDดDDo.ge
ตแบบฒก ดฒา

แบบฝึกหดั เมทรกิ ซส์ ลบั เปล่ยี น

่ีทัหึฝ่ีทัหึฝ

28

แบบฝกึ หดั ดเี ทอร์มนิ นั ต์

ดฒงม

ดดดดด

29

แบบฝึกหดั ไมเนอร์

ค.อคเ อด

แบบฝึกหัดโคแฟคเตอร์

๏ฒฒ

30

แบบฝึกหัดดีเทอรม์ นิ นั ตจ์ ัตรุ สั มิติ

•

•

31

แบบฝึกหดั อนิ เวอรส์ การคูณ

๏

แบบฝึกหดั เมทรกิ ซ์
ผกู พนั

๏

32

แบบฝกึ หดั การแกส้ มการโดยใช้แบบเมทริกซ์

๏

๏

เฉลยแบบฝกึ หัด 33

แบบฝึกหัดการบวกลบของเมทริกซ์

At B = 2+1 Hl - 1) . 6 ๆ 1A +๑+62 6+111 - 3+0 = 7 -
-3 0
9 tt 1) = 3-

-3+9 0 -1 01-0 - 1+1 0
_
_

-

1 B- c) A- 1 - 1-0 =3 า- A- l B- d 2-3 1-1-91 = T 5

- d- 0 1- า 3า- 1- 1- 1) - 3- 3 8 เ-

- _ _ a - - -

(Bt C) = 1+2 - 1+1 = 6 3- A-(B)- C) 2 2- 6 3)H - = -1 1
1-
- 1+1 1 +[ 3) _ 01 1-0 - 31 9
_
_ _ _ -

- . . - -

( B-c) = a- 1 . AtlB- 0) = 2-13 _ |-3
4 +(ก) 0
- า -0 ะ3 ง- Ht9) 5
_
3 =

- 1- 0 9- 1 c- 1 _ -3+3 0
_
_ _ _

แบบฝึกหดั การคณู ของเมทรกิ ซ์

aBDBQDD.jnguftu.hr

/ %- ±1 it 5 -3 ]า
เ-
%1 ii. ÷µ -2

_

฿ดงกางดด

1=1% ] ;]%"" ๚
a.☐

19 ] [ ]3A= [3A - มา = | |"" "
-12 2 B = 10 1๒ "" " ง
µเ 0
=

3- 6 - 3-19 แ -17

ห่ัวู่

31

3แBบDบDกDDดDDo.ge

1312) + แ1 ] =/ เอง

.

ตแบบฒก ดฒา

ไ ไไณ* หา ผล
เพราะ ห ก ของ เ า บแถว ของ A

µ + แ2) + แก |แก+ า(2) +011)
- 1 101 t 0(2) t 4-1)
3 101 t 1 (2) t 5 1- 9) - แก t 0121 t 1 (1)

3 (1) t 1 121 t 511)

1÷= |

แบบฝกึ หดั เมทริกซ์สลบั เปล่ียน

1 :|1 2 -3

::

% :| 2 %= ;] % :]

๋ต๋ตุ่วัก่ท่มัล้ด่มูค่ีทัหึฝ่ม่ีทัหึฝ

แบบฝึกหัดดีเทอร์มนิ นั ต์ 35

ดฒงม

× 31 - 2) -5 1ด. = - เ -30 = -36

X 3 101 - (2) ( อ) = 0

☒ -2) 6)6)31 - เ=-
X
1 (2) -2 (1) ะ 2-2=0

ดดดดด

>t ำ | 1 HNf- แ + 1- 9 ถ + (-72) - 1 05 +18 +

า2 5 - 291

- 10+0+201-10+20+18)

3ง - 18
น๒
10 1)+ 1- 2) + 1- 12 - (0+1-2) + 1-แ1)
2 3-
0
¥/

✗¥

ุ๋อ๋ัฐู้ช๋ึญู๋ช

แบบฝกึ หัดไมเนอร์ น

ค.อคเ อด

|ำ อ 1 =า
=

| |3 -2
1- g = 15-2=13

| |1 0 อ อ อ. . | % 1=20 19า- =
= .
. เอ

|" /° -0เ- เ= /=
2- = - 1- 0 = า

า

| |า i =

3 -2 1-3)- 8- -g=

แบบฝึกหดั โคแฟคเตอร์

๏ฒฒ

ใน"" (A) = 1- แ / 1 1)= G) 2- (น = -8

1- 1)

ใน กอง /ฑื1 (A) ะ 1- = G) 1 3- d =-3

/1 ฑํ๋3M µ, . )= ำำ ะ (1-1-2)=1 }

งำนำ

37

แบบฝึกหัดดีเทอรม์ นิ นั ต์จัตรุ สั มิติ

t•

det (B) = 1Gt 2Gt 0623 t 3

Mแ"" t 2. ( - M + 3.( - 1)""

= 1. G)

2 132 1 % #122 0 10

¥= + "
>+23

◦

/= (0+0+3) - (12+0+3) ] t 2 [(12+0 9)+ - (01-01-9)] t 3 1 12 +0 + เ) - (0+8+0) ]
า-

= -12 + 24+0

= 12

•

det (C) = 1Gt 0Gt 2Gt 1

M M Mm" "

= 1.( - 1)
t 2. (- 1) 3+1 ""
แ
เ ◦ (ๆ

% ¥; + % :10

[ | 1 1) (-11110+0+0) ]= (0+0+0) - (0+0+0) + 2 10 totot 10+0+0 +
- (0+0+0)

0ะ

ุ้สู๊ศุ๋ฑํญุ๋ฅุ๊ซุ๊ษู๊ญุ๋ญุ้หูห๋ึท

38

แบบฝึกหัดอนิ เวอรส์ การคูณ

๏

det A)= 2 1 3 21

32 5 3 2 = (321-5+51) - (6+60 +21)
1๒
8 1เ =1

1 % 1-1%11%1 " "
11%11%1%1 | 1 |CdA)= "
=
"
เอา 3

1 % 1-1%11%1 า า- - เ

adjl 1A) ( (A)= อ t t" "แ แ= - า-

16 -11 1

4 µ |= 1. adj A = H-
10 -1 - 1 1 10 -1

9 13 า- 91- 13 า-

det A 1 น แ- 1 #

น แ- 1

แบบฝึกหดั เมทริกซ์
ผูกพัน

๏

อ ห า อไป

่ต้นู่ย๋ก๋ว

39

" หา adj A

% : |3 1

1 ;G-- Mn ะ (ฑื๋ะ :| = 9- นะ -7 adj A

G- Miit = :| = -13 - กะ - แวะ 1 1= -7 1 t
- 12 0
_ 1- |1
-1
;

µ :|G-- M ะ 1 ฑื% = า -3 ะา 1- :/= 7 12
,3 ำ°
-1

G M.it "" :| = - = - แกะ 12 #..
1)=
ะ-

M= ,นะ ( µ :|= =3 -3=0

G- M 1- 1)= "" :| แ 2)=
-
23 = - -2ะ-

-

G- k :|Mit 113" = 8-9=-1
ะ-

G- M3.it "
µ" =- - | a- 3)= - า= -

( M33 = 33 = G) " 3 = | =3 -2 ะ 1

ุงุง๋ิฑ๋ิท

90

แบบฝึกหดั การแก้สมการโดยใช้แบบเมทรกิ ซ์

๏

I. :#1%1

# I. : µ ; #✗ =3
.
y=
µ |=

ะ1§
ktll

๏

! %!%1" เ
1 -1
แ
µ% :6 1
.1 = (6+01-2) - (01-6-2)
.. 2=1
=

| 111 111 11 +1 + 1) - (-1+1-1) 1
า-
1 "
เ

1 1 -1 1 1

11

.fi :|g- : i. (-2+6+0) - (21-0-6) = =2
1 01 |f
=

4

4

I อ | าZ = 1|6 11

ๆ = 12 + เ ) น + 2) = =3

4

1

✗= 1 \|5

y =2 นา

Z =3

จุ๋กุงุ

บรรณานุกรม

https://theorendatutor.com/wp-content/uploads/
2015/10/Metrix-Sheet.pdf

https://tuemaster.com/blog/
%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8%A
3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9%
8C-matrix-
%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9
A%E0%B8%A7%E0%B8%81-
%E0%B8%A5%E0%B8%9A-
%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%8
4/

http://elsd.ssru.ac.th/nutthasun_si/pluginfile.php/288/
course/summary/
%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%AA
%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%A3
%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A
%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80
%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99
%20%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%97%E0%B8
%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%E0%B9
%8C.pdf