E-book เส้นขนาน

EE--BBooookk คคณณิิตตศศาาสสตตรร์์

เส้นขนาน
ม.2

เ ส้ น ข น า น

มุมที่เกิดจากเส้นตัดตัดเส้นตรง 2 เส้น

มุมแย้งภายใน มุมแย้งภายนอก
คือ 1 และ 4 คือ 5 และ 8
2 และ 3 6 และ 7

มุมภายใน มุมภายนอก
คือ 1, 2, 3, 4 คือ 5, 6, 7, 8

มุมภายในที่อยู่บคืนอข21้าแแง



เลลดีะะย43วกันของเส้นตัด

เ ส้ น ข น า น

มุมตรงข้าม

ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามที่เกิดขึ้น
จะมีขนาดเท่ากัน

มุมตรง

มุมตรงมีขนาด180 องศา

เ ส้ น ข น า น

เส้ นขนานและมุมภายใน

การขนานกันของเส้ นตรง

เส้ นตรงสองเส้ นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน
ก็ต่อเมื่อ เส้ นตรงทั้งสองเส้ นนั้ นไม่ตัดกัน

Tips

เ ส้ น ข น า น

↔ ↔ในกรณีที่ AB // CD จะได้ว่า EF = XY

สรุป
ในกรณี ทั่วไป ถ้าเส้ นตรงสองเส้ นขนานกัน
แล้วระยะห่างระหว่างเส้ นตรงคู่นั้ นจะเท่ากันเสมอ
และในทางกลับกัน ถ้าเส้ นตรงสองเส้ นมีระยะห่าง
ระหว่างเส้ นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้ นตรงคู่นั้ นจะ
ขนานกัน

เ ส้ น ข น า น

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง เส้นตรงคู่นั้ นขนาน
กัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น
ตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

EExxaammppllee

↔↔

จงพิจารณาว่า AB และ CD
ขนานกันหรือไม่ เพราะเหตุใด

↔↔

ตอบ AB // CD เพราะขนาดของมุมภายในที่อยู่บน
ข้างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันเท่ากับ 122 ํ + 58 ํ = 180 ํ

เ ส้ น ข น า น

เส้ นขนานและมุมแย้ง

ทฤษฎี บท

ถ้าเส้ นตรงสองเส้ นขนานกันและมีเส้ นตัด แล้วมุม
แย้ งมี ขนาดเท่ ากั น

กำหนดให้ ↔ ↔↔ ↔ ↔

AB // CD มี XY ตัด AB และ CD ที่จุด M และ N ตามลำดับ

↔ ↔ต้องการพิสูจน์ ว่า AM^N = DN^M และ B^MN = CN^M (กำหนดให้)
พิสู จน์ AB // CD

BM^N+ DN^M = 180 ํ (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ

BM^N + AM^ N = 180 ํ เส้นตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180 )ํ
(ขนาดของมุมตรง)

ดังนั้ น BM^N + A^MN = BM^N + DN^ M (สมบัติของการเท่ากัน)

จะได้ A^MN = DN^M (สมบัติของการเท่ากัน)

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ ได้ว่า BM^N = CN^ M

เ ส้ น ข น า น

การตรวจสอบว่า เส้ นตรงสองเส้ นขนานกันหรือไม่
สามารถพิ จารณาจากขนาดของมุ มแย้ งได้

ทฤษฎี บท

ถ้าเส้ นตรงเส้ นหนึ่ งตัดเส้ นตรงคู่หนึ่ ง ทำให้มุมแย้ง
มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้ นตรงคู่นั้ นขนานกัน

เมื่อนำทฤษฎีบททั้งสองนี้ มาเขียนใหม่โดยใช้ ก็ต่อเมื่อ
สรุ ปทฤษฎีบท

เมื่อเส้ นตรงเส้ นหนึ่ งตัดเส้ นตรงคู่หนึ่ ง เส้ นตรงคู่นั้ น
ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

Example ↔ ↔กำหนดให้ AB // CD

จงหาขนาดของมุม D^YX

วิธีทำ DY^X = YX^Z (มุมแย้ง)

2a + 3a + 4a = 180 ํ (ขนาดของมุมตรง)

9a = 180 ํ

a = 20 ํ
ดังนั้น D^YX = 2a = 2(20 ํ) = 40 ํ

ตอบ x = 40 ํ

เ ส้ น ข น า น

เส้ นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน

เรียก ^1 และ ^7
^2 และ 8^
5^ และ 3^
^6 และ 4^ ว่าเป็นมุมภายนอก

และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน
ข้างเดียวกันของเส้นตัด

ทฤษฎีบท

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ
มุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดี ยวกันของเส้ นตัดมีขนาดเท่ากัน

การตรวจสอบว่าเส้นตรงคู่หนึ่ งขนานกันหรือไม่ สามารถพิจารณาจากขนาด
ของมุมภายนอกและมุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดี ยวกันของเส้ นตัดได้
ทฤษฎีบท

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่
ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้ นขนานกัน

เ ส้ น ข น า น

เมื่อนำทฤษฎีบททั้งสองนี้ มาเขียนใหม่โดยใช้ ก็ต่อเมื่อ
ทฤษฎีบท

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง เส้นตรงคู่นั้ นขนาน
กันก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง
เดี ยวกันของเส้ นตัดมีขนาดเท่ากัน

Example

__ __
กําหนดให้ AB // CD และ

BA^M = DC^ N จงแสดงว่า
__ __
AM // CN

__ __ __
AB // CD มี AM เป็นเส้นตัด

BA^M (เป็นมุมภายในของเส้นคู่ขนานกับเส้นตัด)

DO^ M (เป็นมุมภายนอกของเส้นคู่ขนานกับเส้นตัด)

DO^ M = BA^M (มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน)

แต่ BA^M = DC^N (โจทย์กําหนดให้)

DO^ M = DC^N (สมบัติของการเท่ากัน)
__ __
ดังนั้น AM // CN มี D^CN เป็นมุมภายใน และ DO^M เป็นมุมภายนอกที่มีขนานเท่ากัน

เ ส้ น ข น า น

เส้นขนานและรู ปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท
ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรู ปสามเหลี่ยมรวมกัน

เท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบท
ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่ งของรู ปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอก

ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่
มุมประชิดของมุมภายนอกนั้ น

กำหนดให้ ∆ABC มี AC^D เป็ นมุมภายนอกที่ได้จากการต่อ B—C ออกไปทางจุด C

ต้องการพิสูจน์ ว่า A^CD = CA^B + AB^C

พิสู จน์ เนื่ องจาก AC^D+ B^CA = 180 (ขนาดของมุมตรง)

และ CA^B + A^BC+ B^CA = 180 ํ (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรู ป

สามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 )ํ

จะได้ A^CD+ B^CA - CA^B+ AB^C+ BC^A (สมบัติของการเท่ากัน)

ดังนั้ น AC^D = CA^B+ A^BC (สมบัติของการเท่ากัน)

เ ส้ น ข น า น

สรุ ปทฤษฎีบท
รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ มุม–มุม-ด้าน (ม.ม.ด.)

กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาด
เท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่ งคู่ แล้วรู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้ นเท่ากันทุกประการ

กำหนดให้ ∆ ∆ABC และ DEF มี CA^B = FD^E, A^BC = D^EF และ BC = EF

∆ ≅ ∆ต้องการพิสูจน์ ว่า ABCDEF

พิสู จน์ CA^B + A^BC + B^CA = 180 ํ (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

F^DE + D^EF + E^FD = 180 ํ รู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 )ํ
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

รู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 ํ)

จะได้ CA^ B + A^BC + B^CA = F^DE + DE^F + EF^D (สมบัติของการเท่ากัน)

เนื่ องจาก CA^B = FD^E (กำหนดให้)

และ AB^C = DE^F (กำหนดให้)

ดังนั้ น BC^A = EF^D (สมบัติของการเท่ากัน)

และเนื่ องจาก BC = EF (กำหนดให้)
ดังนั้ น (ม.ด.ม.)
∆ ≅ ∆ABC DEF

มุมประชิด
มุมประชิด คือ มุมสองมุมที่มีแขนของมุมร่วมกันแขนหนึ่ งและมีจุดยอดร่วมกัน

โดยมุมทั้งสองอยู่คนละข้างของแขนที่ร่วมกัน

เ ส้ น ข น า น

ทฤษฎีบทที่ได้
1. เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง เส้นตรงคู่นั้ นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ

มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
2. เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง เส้นตรงคู่นั้ นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ

มุมภายนอกและมุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดี ยวกันของเส้ นตัดมีขนาดเท่ากัน
3. ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา
4. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่ งของรู ปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะ

มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้ น
5. ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.)

กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
ยาวเท่ากันหนึ่ งคู่ แล้วรู ปสามเหลี่ยมสองรู ปนั้ นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่างเส้นขนานที่พบในชีวิตประจำวัน