Buku Digital SPLDV

Kata Pengantar

Matematika adalah bahasa universal untuk
menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan
presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya
multitafsir.

E-book untuk ini disusun dengan tujuan memberi
pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti
uraian di atas. Pembelajaran matematika melalui e-book ini
akan membentuk kemampuan peserta didik dalam
menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara
abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang
terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.

E-book ini sangat terbuka dan terus dilakukan
perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami
mengundang para pembaca memberikan kritik, saran, dan
masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi
berikutnya. Atas konstribusi tersebut, kami ucapkan
terima kasih.

Ponorogo, Desember 2021

Penulis

ii







Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

a. Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua variabel

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan
kumpulan beberapa persamaan linear dua variabel yang saling
terkait. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel :

+ =
+ =

Keterangan :
, , dan adalah koefisien;
dan adalah variabel;
dan adalah konstanta.
Bentuk umum SPLDV di atas juga dapat dituliskan sebagai
berikut.

+ = … (1)
+ = … (2)

3

b. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian Sistem
Persamaan Linear Dua variabel

Nilai pengganti yang memenuhi SPLDV sehingga sistem
persamaan benilai benar disebut penyelesaian. Sebalikya,
nilai pengganti yang tidak memenuhi SPLDV sehingga sIstem
persamaan bernilai salah disebut bukan penyelesaian.

Contoh

Diketahui SPLDV :
+ = 6 … (1)
2 + = 11 … (2)

1. Tunjukkan bahwa = 5 dan = 1 merupakan
penyelesaian SPLDV tersebut.

2. Tunjukkan bahwa = 7 dan = −1 bukan
penyelesaian SPLDV tersebut.

Penyelesaian

Substitusikan = 5 dan = 1 ke dalam persamaan (1) dan
(2) sehingg diperoleh :

+ = 6 2 + = 11
⇔ 5 + 1 = 6 benar ⇔ 2 × 5 + 1 = 11
⇔ 10 + 1 = 11 benar

4

Kedua pernyataan bernilai benar sehingga dapat
disimpulkan bahwa = 5 dan = 1 adalah penyelesaian
SPLDV tersebut. Dalam bentuk himpunan penyelesaian,
penyelesaian tersebut ditulis 5,1 .
Substitusikan = 7 dan = −1 ke dalam persamaan (1)
dan (2) sehingga diperoleh :

+ = 6
⇔ 7 + (−1) = 6

2 + = 11
⇔ 2 × 7 + −1 = 11
⇔ 14 − 1 = 11
⇔ 13 = 11 ℎ
Pernyataan kedua bernilai salah sehingga = 7 dan = −1
bukan penyelesaian SPLDV tersebut.

5

Metode Untuk Menyelesaikan SPLDV

Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode eliminasi adalah
dengan meghapus atau menghilangkan salah satu variabel
dalam persamaan tersebut. Misal, variabel dalam persamaan
adalah a dan b, nah untuk mencari nilai a, kita harus
menghilangkan b terlebih dahulu, begitu juga sebaliknya.

Contoh

Misalkan diberikan sistem persamaan linear :
2 + = 10 dan – = 2

Dengan menggunakan metode eliminasi, hilangkan salah
satu variabel. Misalkan variabel yang akan dihilangkan
variabel x, yaitu:

Selanjutnya menghilangkan variabel y,
yaitu:

Jadi, nilai yang memenuhi sistem persamaan linear di
atas adalah = 4 dan = 2.

6

Metode Substitusi

Metode substitusi adalah dengan mengganti nilai suatu
variabel pada suatu persamaan dari persamaan lainnya

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut
dengan metode substitusi!
2 + = 8
– = 1

Penyelesaian :
2 + = 8 … (1)
= 5 – 2 … (2)
Substitusikan = 8 – 2 , ke persamaan (2).
Maka:

– = 1
– (8 – 2 ) = 1
– 8 + 2 = 1

3 – 8 = 1
3 = 1 + 8
3 = 9
= 3

Substitusikan = 2, ke persamaan (1).
= 8 – 2

= 8 – 2(3)
= 8–6
= 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 2)}.

7

Metode Campuran

Metode campuran adalah kombinasi dua jenis cara
(eliminasi+subtitusi). Metode ini merupakan metode paling
mudah dan efektif untuk mengerjakan contoh persoalan
SPLDV.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear berikut:

2 + 3 = 1
3 + = 5

Penyelesaian:
Langkah pertama kita eleminasi variabel x :
2 + 3 = 1 | 3 | 6 + 9 = 3
3 + = 5 2 6 + 2 = 10

______________________ _
7 = −7
= −7 / 7
= −1

Langkah berikutnya kita subtitusikan nilai y kesalah

satu persamaan (cari yang paling cepat/sederhana)

3 + = 5

3 – 1 = 5

3 = 5 + 1

3 = 6

= 6

3

= 2

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah

( , ) = (−1,2).

8

Metode Grafik

Menyelesaikan SPLDV menggunakan metode grafik
dilakukan dengan menggambar grafik dari kedua persamaan
pada satu bidang kartesius. Koordinat ttik pootong kedua
grafik merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
tersebut.

Contoh

Tentukan penyeselesaian dari SPLDV:
2 + = 6 dan 2 + 4 = 12

Penyelesaian:
Langkah 1: gambarkan grafik untuk persamaan
pertama.
Gunakan paling sedikit dua titik seperti pada tabel
berikut:

Tentukan nilai y untuk x = 0.
2 + = 6

⇔ 2(0) + = 6
⇔ = 6

Tentukan nilai x untuk y = 0.
2 + = 6

⇔ 2 + 0 = 6
⇔ 2 = 6
⇔ = 3

9

Tentukan nilai x untuk y = 0.
2 + = 6

⇔ 2 + 0 = 6
⇔ 2 = 6
⇔ = 3
Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel :

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah
A (0, 6) dan B (3, 0).
Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius,
kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus,
sehingga terbentuk gambar seperti Gambar 1 di bawah
ini:

Gambar 1

10

Langkah 2: Gambarkan grafik untuk persamaan kedua
Gunakan paling sedikit dua titik seperti pada tabel
berikut:

Tentukan nilai untuk = 0.
2 + 4 = 12

⇔ 0 + 4 = 12
⇔ 4 = 12
⇔ = 3

Tentukan nilai untuk = 0.
2 + 4 = 12

⇔ 2 + 4.0 = 12
⇔ 2 = 12
⇔ = 6
Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel :

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah C (0, 3) dan
D (6, 0).

Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius,
kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus,
sehingga terbentuk gambar seperti gambar 2 di bawah
ini.

11

Gambar 2

Langkah 3: Tentukan perpotongan dua grafik (garis)
yang merupakan penyelesaian dari SPLDV
Gambar berikut merupakan gabungan dari langkah 1 dan
langkah 2 yang membentuk grafik seperti gambar di
bawah ini:

Gambar 3

12

Berdasarkan gambar di atas, titik potong kedua
grafik adalah pada koordinat (2,2).
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah (2, 2).

Dari uraian di atas dapat disimpulkan langkah-langkah
menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah
sebagai berikut:
• Gambarkan grafik untuk persamaan pertama.
• Gambarkan grafik untuk persamaan kedua.
• Tentukan perpotongan dua grafik tersebut yang

merupakan penyelesaian dari SPLDV.

A. Menyelesaikan Masalah Menggunakan Sistem
Persamaan Linear Dua variabel

Secara garis besar lagkah-langkah mengubah permsalahan
sehari-hari menjadi SPLDV dilakukan sebagai berikut :

1. Tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan
permisalan.

2. Terjemahkan permasalahan tersebut menjadi
model matematika berbentuk SPLDV

3. Selesaikan model matematika yang diperoleh
pada langkah 2.

4. Selanjutnya nilai-nilai variabel yang telah diperoleh
dicocokkan dengan permisalan awal sehingga
permasalahan dapat diselesaikan.

13

Contoh

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar
Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor,
sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia
mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan
30 motor, banyak uang parkir yang diperoleh adalah....
A. Rp135.000,00
B. Rp115.000,00
C. Rp110.000,00
D. Rp100.000,00

Pembahasan:
Misalkan:
Mobil = dan motor =
Ditanyakan: Uang parkir yang diperoleh dari 20 mobil dan
30 motor?
Jawab :

Model matematika: −
3 + 5 = 17.000 … (1)
4 + 2 = 18.000 … (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
3 + 5 = 17.000 | 4 |12 + 20 = 68.000
4 + 2 = 18.000 3 12 + 6 = 54.000

⟺ 14 = 14.000
14.000

⟺ = 14
⟺ = 1.000

14

Subtitusi nilai = 1.000 ke salah satu persamaan:
3 + 5 = 17.000

⟺ 3 + 5(1.000) = 17.000
⟺ 3 + 5.000 = 17.000
⟺ 3 = 17.000 − 5.000
⟺ 3 = 12.000
⟺ = 12000

3

⟺ = 4.000
Biaya parkir 1 mobil 4.000,00 dan 1 motor 1.000,00.
Jumlah uang parkir 20 mobil dan 30 motor adalah
20 + 30 = 20(4.000) + 30(1.000),

= 80.000 + 30.000
= 110.000
Jadi, banyak uang parkir yang diperoleh 110.000,00 (C)

15

Latihan Soal

Kerjakan soal di bawah ini dengan memilih jawaban
yang tepat!

1. Persamaan berikut tergolong persamaan linear dua

variabel, kecuali ⋯⋅

A. 7 + 15 = 4
B. 6 − 2 = 4
C. 4 − 12 = 3

D. 5 + 3 = 15
2. Penyelesaian dari sistem persamaan 2 − 3 = −13 dan

+ 2 = 4 adalah ⋯⋅

A. = −2 = −3

B. = −2 = 3

C. = 2 = −3

D. = 2 = 3

3. Jika dan merupakan penyelesaian sistem
persamaan 2 − = 7 dan + 3 = 14, maka nilai

+ 2 adalah ⋯⋅

A. 8 C. 11

B. 9 D. 13

4. Jika p dan q adalah akar dari sistem persamaan
2 + 3 = 2 dan 4 − = 18, maka 5 − 2 2=⋯⋅

A. 4 C. 28

B. 12 D. 36

5. Jumlah dua bilangan cacah adalah 27 dan selisih kedua

bilangan itu adalah 3. Hasil kali kedua bilangan itu

adalah ⋯⋅

A. 81 C. 180

B. 176 D. 182

16

Kerjakan soal di bawah ini dengan benar!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x

+ 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 untuk x, y ∈ R menggunakan

metode grafik!

2. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah

himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini.

2 – 3 = 7

3 + 2 = 4

3. Pak guru akan membagikan sekantong permen kepada

siswanya. Bila tiap siswa mendapat 2 permen, maka akan

tersisa 4 permen, tetapi bila tiap siswa mendapat 3

permen, maka akan ada 2 siswa yang tidak mendapat

permen sama sekali dan 1 siswa lainnya hanya mendapat 2

permen. Jika banyak permen adalah p dan banyak siswa

adalah s , maka tentukan sistem persamaan linear dari

masalah di atas!

4. Setengah uang Ali ditambah uang Hadi adalah

60.000,00. Diketahui juga 2 uang Ali dikurang 1 uang
3 3

Hadi sama dengan 20.000,00 . Buatlah sistem

persamaan (model matematika) terkait masalah di atas dan

selesaikan. Tentukan jumlah uang mereka berdua!

17

5. Terdapat sebuah tabung kosong dengan berat 50 gram.
Material X dengan banyaknya campuran logam A dan logam
B berbanding 1:2 dimasukkan ke dalam tabung sehingga
beratnya menjadi 70 gram. Jika material Y yang
mengandung campuran logam A dan logam B dengan
perbandingan 2:1 dimasukkan ke dalam tabung, maka
beratnya menjadi 75 gram. Berapakah berat total tabung
jika material Z yang memuat kandungan logam A dan logam
B dengan perbandingan 1:1 dimasukkan?

18

Daftar Pustaka

Ngapiningsih, dkk. (2018). Matematika SMP/MTs Kelas VIII
Semester 1. Yogyakarta: Intan Pariwara

Sukardi, (2017, April 7). Soal dan Pembahasan Super
Lengkap – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
(SPLDV). Retrived from Blogspot:
https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-
sistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv/

19