The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Home Explore Statistika dan Probabilitas

View in Fullscreen

Statistika dan Probabilitas

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Related Publications

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.

Published by E-Library IKIP Saraswati, 2024-04-16 21:35:28

Statistika dan Probabilitas

Pages:

Statistika dan Probabilitas

2012 6 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Tabel : Volume Penjualan Barang “X” (dalam 000 unit) Tahun 1995 sampai dengan 2003 Tahun Penjualan (Y) X XY X2 1995 200 - 4 - 800 16 1996 245 - 3 - 735 9 1997 240 - 2 - 480 4 1998 275 - 1 - 275 1 1999 285 0 0 0 2000 300 1 300 1 2001 290 2 580 4 2002 315 3 945 9 2003 310 4 1.240 16 Jumlah 2.460 775 60 Untuk mencari nilai a dan b adalah sebagai berikut : a= 2.460 / 9 = 273,33 dan b = 775 / 60 = 12,92 Persamaan garis liniernya adalah : Y = 273,33 + 12,92 X. Dengan menggunakan persamaan tersebut, dapat diramalkan penjualan pada tahun 2010 adalah : Y = 273,33 + 12,92 (untuk tahun 2010 nilai X adalah 11), sehingga : Y = 273,33 + 142,12 = 415,45 artinya penjualan barang “X” pada tahun 2010 diperkirakan sebesar 415.450 unit Contoh Kasus Data Genap : Tabel : Volume Penjualan Barang “X” (dalam 000 unit) Tahun 1995 sampai dengan 2002 Tahun Penjualan (Y) X XY X2 1995 200 - 7 - 1.400 49 1996 245 - 5 - 1.225 25 1997 240 - 3 - 720 9 1998 275 - 1 - 275 1 1999 285 1 285 1 2000 300 3 900 9 2001 290 5 1.450 25 2002 315 7 2.205 49 Jumlah 2.150 1.220 168

2012 7 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Untuk mencari nilai a dan b adalah sebagai berikut : a = 2.150 / 8 = 268,75 dan b = 1.220 / 168 = 7,26 Persamaan garis liniernya adalah : Y = 268,75 + 7,26 X. Berdasarkan persamaan tersebut untuk meramalkan penjualan pada tahun 2008 adalah : Y = 268,75 + 7,26 (untuk tahun 2008 nilai X adalah 19), sehingga : Y = 268,75 + 137,94 = 406,69 artinya penjualan barang “X” pada tahun 2008 diperkirakan sebesar 406,69 atau 406.690 unit. elain dengan menggunakan metode tersebut di atas, juga dapat dipakai dengan metode sebagai berikut : Tabel : Volume Penjualan Barang “X” (dalam 000 unit) Tahun 1995 sampai dengan 2002 Tahun Penjualan (Y) X XY X2 1995 200 - 3 - 700 12,25 1996 245 - 2 ½ - 612,5 6,25 1997 240 - 1 ½ - 360 2,25 1998 275 - ½ - 137,5 0,25 1999 285 ½ 142,5 0,25 2000 300 1 ½ 450 2,25 2001 290 2 ½ 725 6,25 2002 315 3 ½ 1102,5 12,25 Jumlah 2.150 610,0 42,00 Untuk mencari nilai a dan b adalah sebagai berikut : a = 2.150 / 8 = 268,75 dan b = 610 / 42 = 14,52 Persamaan garis liniernya adalah : Y = 268,75 + 14,52 X. Berdasarkan persamaan tersebut untuk meramalkan penjualan pada tahun 2008 adalah : Y= 268,75 + 14,52 (untuk tahun 2008 nilai X adalah 9½), sehingga : Y = 268,75 + 137,94 = 406,69 artinya penjualan barang “X” pada tahun 2008 diperkirakan sebesar 406.690 unit.

2012 8 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id

MODUL PERKULIAHAN Statistika dan Probabilitas Modul Standar untuk digunakan dalam Perkuliahan di Universitas Mercu Buana Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer penerbit Modul Teknik Informatika Studi 09 MK10230 Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi Abstract Kompetensi Matakuliah statistik Menjadi Dasar dari Pemikiran penelitian seorang yang akan Mempelajari statistik.Statistik di sangat Penting dalam Membangun sebuah Aplikasi Program Mata Kuliah ini merupakan prayarat bagi Mata kuliah Algoritma dan Stuktur Data Mahasiswa dapat Memahami operasi dasar himpunan, dan penyajian himpuan

2012 2 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id

2012 3 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id KATA PENGANTAR Para mahasiswa/i pada saat ini tidak asing lagi dengan teknologi, karena sudah merupakan bagian dari kehidupan mereka sehari-hari. Mulai mereka menginjakkan kaki di sekolah dasar, mereka sudah terbiasa melihat komputer seperti melihat peralatan elektronik biasa baik dirumah maupun di lingkungan mereka. Modul ini dibuat untuk dapat cocok dengan apa yang telah mereka ketahui tentang komputer, dan apa yang kami percayai harus diketahui oleh mereka mengenai komputer dan peralatan lainnya. Isi dari modul ini sedemikian rupa kami susun sehingga kami harapkan tidak ada pengetahuan yang terpisah, semua menjadi kesatuan pengetahuan yang menyatu dan berkesinambungan. Pada modul ini juga dibahas mengenai komunikasi dengan dan tanpa kabel pada peralatan komputer. Komputasi enterprise atau perusahaan besar juga menjadi bagian pengetahuan dari modul ini untuk memperluas wawasan para mahasiswa/i untuk dapat siap menghadapi dunia kerja yang terbentang di masa depan mereka. Untuk mendukung pengetahuan mereka, mata kuliah juga akan dilengkapi dengan modul-modul laboratorium, yang akan mengembangkan kemampuan mahasiswa/i dalam memakai aplikasi komputer khususnya suite software: Microsoft Office XP 2005, kemampuan dan keahlian ini dikenal juga dengan istilah “soft-skill”. Kami harapkan modul ini dapat menjadi pegangan untuk memahami dan juga aplikasi dari teknologi komputer, atau lebih luasnya lebih dikenal dengan istilah baru yaitu: Telematika. Akhir kata kami tim penyusun dengan rendah hati mohon maaf apabila ada kekurangan di sana sini, dan dengan hati terbuka kami dengan senang hati akan menerima semua jenis masukan, terutama kritik-kritik yang membangun untuk menjadikan modul ini menjadi lebih baik di masa mendatang. Penulis modul, Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi KATA PENGANTAR

2012 4 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id DAFTAR ISI Probabilitas ....................................................................... Rangkuman....................................................................... Soal-penyelesaian Soal-soal latihan

2012 5 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id STATISTIKA DAN PROBABILITAS PROBABILITAS Pendahuluan • Percobaan : proses yang menghasilkan data • Ruang Contoh (S) : himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan • Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang contoh Misal : Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik }, kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah. A : {hati, wajik } • Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian • Konsep Dasar (Klasik) Peluang Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A) Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka : P A n N ( ) n : banyak titik contoh penyusun Kejadian N : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S) • Nilai Peluang Kejadian A 0 P(A) 1 dan P (S) = 1 Peluang Kejadian yang pasti terjadi

2012 6 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id P () = 0 Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi Contoh 1: Percobaan: Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6} N = 6 Kejadian A: Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali A {sisi-2, sisi-4, sisi-6} n = 3 Peluang kejadian A: P A n N ( ) 1 2 0.5 2. Penghitungan Banyak Titik Contoh 2.1 Kaidah Penggandaan = Kaidah Perkalian Kaidah Penggandaan: Jika operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara : : operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 n 2 … nk cara

2012 7 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Contoh 2: Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8 a. jika semua angka boleh berulang? 5 5 5 5 = 625 b. jika angka tidak boleh berulang? 5 4 3 2 = 120 c jika bilangan tersebut: GANJIL dan angka tidak boleh berulang? 4 3 2 2 = 48 d. Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh berulang (lihat Kejadian A) n = 48 N = 625 P(C) = n N 48 625 2.2. Permutasi Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan/posisi tertentu. Dalam permutasi urutan/posisi diperhatikan!!! Misal:

2012 8 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Dari huruf A, B, C permutasi yang mungkin: ABC ACB BACBCACAB CBA. Permutasi = 6 = 3 2 1= 3! • Dalil-1 Permutasi: Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n! Konsep Bilangan Faktorial n! = n (n-1) (n-2) .... 2 1 0! = 1 1! = 1 100! = 100 99! 100! = 100 99 98!, dst Contoh 3: Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ? Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau 4! = 4 3 2 1 = 24 Berapa peluang susunan lampu tersebut adalah Kuning-Biru-Hijau-Merah? P(KBHM) = 24 1 • Dalil-2 Permutasi : Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah : n Pr n n r ! ( )! Perhatikan dalam contoh ini urutan/posisi obyek sangat diperhatikan! Contoh 4: Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang berbeda. Undian urutan pertama akan memperoleh rumah, undian urutan kedua memperoleh mobil dan undian urutan

2012 9 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id ketiga memperoleh paket wisata ke Eropa. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk? 40 3 40 40 3 40 37 40 39 38 37 37 P ! ( )! ! ! ! ! = 59280 Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) = 59280 1 • Dalil-3 Permutasi Melingkar: Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! Contoh 5: Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 Sampai Dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda. Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda. Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A1A2B1B2C1C2 dan A1=A2=A dan B1=B2=B dan C1=C2= C? Dalil-4 Permutasi Obyek yang Sama: Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda di mana jenis/kelompok pertama berjumlah n1 jenis/kelompok kedua berjumlah n2 : : : : jenis/kelompok ke-k berjumlah nk adalah : n n n n nk ! ! ! ! ! 1 2 3

2012 10 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id n = n1 + n2 + . . . + nk Contoh 6: Berapa permutasi dari kata STATISTIKA? S = 2; T = 3; A = 2; I = 2; K = 1 Permutasi = 10 2 3 2 2 1 75600 ! ! ! ! ! ! Contoh 7: Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga. Ada berapa cara pemisahan? 7 3 2 2 210 ! ! ! ! 2.3 Kombinasi Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi Misalkan: Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah: ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi) • Dalil-1 Kombinasi : Kombinasi r dari n obyek adalah C n r n r r n ! !( )! Contoh 8: Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

2012 11 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id C3 40 40! 3 40 3 40! 3 37 40 39 38 37 3 37 ! ( )! ! ! ! ! ! = 9880 Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) = 9880 1 2.4 Kaidah Perkalian & Kombinasi Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian dan kombinasi seringkali digunakan bersamasama. Contoh 9: Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. (a) Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer? Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat = C3 5 5 3 2 10 ! ! ! Pemilihan 2 dari 3 calon dari Kantor Cabang = C2 3 3 2 1 3 ! ! ! Pemilihan 1 dari 2 calon dari Program Pelatihan = C1 2 2 1 1 2 ! ! ! n = Pemilihan Manajer = 10 3 2 = 60 cara (b) Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer? N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer = 6 10 10! 6!4 C 210 !

2012 12 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id (c) Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan? P(manajer) = n N 60 210

MODUL PERKULIAHAN Statistika dan Probabilitas Modul Standar untuk digunakan dalam Perkuliahan di Universitas Mercu Buana Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer penerbit Modul Teknik Informatika Studi 10 MK10230 Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi Abstract Kompetensi Matakuliah statistik Menjadi Dasar dari Pemikiran penelitian seorang yang akan Mempelajari statistik.Statistik di sangat Penting dalam Membangun sebuah Aplikasi Program Mata Kuliah ini merupakan prayarat bagi Mata kuliah Algoritma dan Stuktur Data Mahasiswa dapat Memahami operasi dasar himpunan, dan penyajian himpuan

2012 2 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id

2012 4 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id DAFTAR ISI Distribusi Probabilitas . .................................................................. Rangkuman. .................................................................................. Soal-penyelesaian Soal-soal latihan

2012 5 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id STATISTIKA DAN PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM Definisi 1: Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R CONTOH 1: Pelemparan uang logam setimbang sebanyak tiga kali. Ruang sampelnya S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Dari percobaan ini dapat didefinisikan beberapa variabel random yang mampu memetakan ruang sampelnya ke dalam bilangan real. Salah satu variabel random yang dapat dibuat adalah X = banyaknya sisi gambar yang muncul. Maka nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dapat diberikan pada setiap titik sampel. Definisi 2 : Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung banyaknya. Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit disebut variabel random diskrit. CONTOH 2 : - banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel sebesar k barang. - banyaknya yang meninggal karena terserang suatu infeksi pernafasan setiap tahun di Surabaya. Definisi 3 : Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya, dan memuat semua bilangan real dalam suatu interval. Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel kontinu disebut variabel random kontinu. CONTOH 3 : - lamanya reaksi kimia tertentu - jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi dengan 5 liter bensin. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi probabilitas atau distribusi proabilitas dari variabel random diskrit, jika 3. ( ) ( ) 2. ( ) 1 1. ( ) 0 P X x f x f x f x x

2012 6 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Rata-rata dan varians dari variabel random diskrit X x x E X x f x E X xf x [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan (density) probabilitas untuk variabel kontinu X, jika b a P a X b f x dx f x dx f x 3. ( ) ( ) 2. ( ) 1 1. ( ) 0 - Rata-rata dan varians dari variabel random kontinu X E X x f x dx E X xf x dx [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Distribusi Binomial Ciri-ciri percobaan binomial : 1. Percobaan terdiri dari n ulangan 2. Setiap hasil ulangan dapat digolongkan sebagai sukses (S) atau gagal (G) 3. Probabilitas sukses (p) untuk setiap ulangan adalah sama 4. Setiap ulangan harus bersifat independen. Definisi 4 : Suatu percobaan dengan n ulangan mempunyai probabilitas sukses p dan gagal q = 1- p. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam n ulangan yang bebas, maka X berdistribusi Binomial dengan distribusi probabilitas : p q x n x n x n x b(x; n,p) , 0,1,2,.... Nilai harapan (rata-rata) dan varians dari variabel random yang berdistribusi Binomial = np 2 = npq SOAL 1 : Uang logam setimbang dilemparkan sebanyak empat kali. Tentukan distribusi probabilitas bagi banyaknya sisi gambar yang muncul. SOAL 2 : Probabilitas seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0,4. Jika 15 orang diketahui menderita penyakit ini, tentukan probabilitas : a. Tepat 5 orang yang sembuh

2012 7 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id b. Ada 3 sampai 8 orang yang sembuh c. Sekurang-kurangnya 3 orang sembuh. Distribusi Hipergeometrik Ciri-ciri percobaan Hipergeometrik : 1. Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N 2. Dari populasi berukuran N benda, sebanyak k benda diberi label “sukses”, dan N-k benda diberi label “gagal”. Definisi 5 : Dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label “sukses” dan N-k benda lainnya diberi label “gagal”. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n, maka X berdistribusi hipergeometrik dengan distribusi probabilitas x k n N n x N k x k h(x; N, n, k) , 0,1,2,.... Nilai harapan dan varians dari variabel random yang berdistribusi Hipergeometrik adalah N k n k n N N n N nk . . 1 1 2 SOAL 3 : Sebuah panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 mahasiswa farmasi dan 5 mahasiswa kedokteran. Tentukan distribusi probabilitas banyaknya maha-siswa farmasi dalam panitia tersebut. Bila n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri dengan distribusi binomial h (x; N, n, k) b (x; n, p) SOAL 4 : Sebuah perusahaan farmasi melaporkan bahwa diantara 5000 pemakai obat tertentu 4000 diantaranya menggunakan obat generik. Jika 10 orang diantara pemakai obat tersebut dipilih secara acak, berapa probabilitas tepat ada 3 orang yang memakai obat non generik ? Distribusi Poisson Ciri-ciri percobaan Poisson : 1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu lain yang terpisah.

2012 8 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 2. Probabilitas terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu tersebut. 3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat, dapat diabaikan. Definisi 6 : Jika variabel random X menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu tertentu, dan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan dalam selang waktu tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan distribusi probabilitas , 0,1,2,... ! p(x; ) x x e x Nilai harapan dan varians dari ariable random yang berdistribusi Poisson keduanya sama dengan . SOAL 5 : Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di lab adalah 4. Berapa prob 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu ? Misalkan X b(x; n,p), bila n , p 0, maka b(x; n,p) p(x; ) dengan = np. SOAL 6 : Probabilitas seseorang meninggal karena suatu infeksi pernafasan adalah 0,002. Carilah probabilitas jika 2000 orang yang terserang infeksi tersebut, kurang dari 5 orang akan meninggal ! Tentukan rata-rata dan variansnya. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU Distribusi Normal Definisi 7 : Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata dan varians 2 jika mempunyai fungsi densitas f(x) = e - x x , 2 1 n(x; , ) 2 2 1 Sifat-sifat kurva normal : 1. Modus terjadi pada x = 2. Kurva simetris terhadap x = 3. Kedua ujung kurva secara asimtotik mendekati sumbu datar x, bila nilai x bergerak menjauhi . 4. Seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.

2012 9 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id X f(x) x1 x2 Gambar 1 : Kurva Normal Misalkan ingin dihitung P (x1 < X < x2) dari variabel random X yang berdistribusi normal, maka berdasar kurva di atas P (x1 < X < x2) = luas daerah yang diarsir. Untuk menghitung P(x1 < X < x2) 2 1 ( ) x x f x dx sulit diselesaikan. Namun dapat diatasi dengan mentransformasi variabel random normal X menjadi variabel random Z X Z . Distribusi variabel random Z disebut dengan Distribusi Normal Standart, dengan fungsi densitas , - z 2 1 ( ) 2 2 z f z e dengan = 0 dan 2 =1. SOAL 7 : Diketahui suatu distribusi normal standart, carilah luas daerah di bawah kurva yang terletak : a. di sebelah kiri z = -1,39 b. antara z = -2 dan z = 2 c. disebelah kanan z = 1,84. SOAL 8 : Diketahui suatu distribusi normal standart, carilah nilai k sehingga a. P (Z > k) = 0,3015 b. P (k < Z < -0,18) = 0,4197 c. P (-0,93 < Z < k) = 0,7235. SOAL 9 : Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Tentukan a. P (x < 45) b. P ( 47 < x < 62) c. P (x > 64)

2012 10 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id SOAL 10 : Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dengan simpangan baku 4,1 cm. Berapa persentase banyaknya anjing pudel jenis tersebut yang tingginya melebihi 35 cm, a. bila tingginya menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun ? b. bila kali ini tingginya diukur sampai cm terdekat ? 3.5.2 Hampiran Normal Terhadap Distribusi Binomial Jika variabel random X berdistribusi Binomial dengan mean = np dan varians 2 = npq, maka variabel random npq X np Z untuk n berdistribusi normal standart. SOAL 11 : Probabilitas seorang penderita sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang muncul sebesar 0,4. Bila diketahui ada 100 orang yang telah terserang penyakit ini, berapa probabilitas bahwa kurang dari 30 yang sembuh ? SOAL-SOAL LATIHAN : 1. Menurut teori Mendel tentang sifat-sifat keturunan, perkawinan silang 2 jenis tanaman yang serupa, yang satu berbunga merah dan lainnya berbunga putih, menghasilkan keturunan yang 25% tanamannya berbunga merah. Andaikan seorang ahli tanaman ingin mengawinsilangkan lima pasang berbunga merah dan berbunga putih. Berapa probabilitas bahwa dari 5 keturunan yang dihasilkan a. Tidak terdapat bunga berwarna merah. b. Paling sedikit 4 tanaman berbunga merah. c. Paling banyak 4 tanaman berbunga merah. 2. Suatu perusahaan farmasi mengetahui bahwa secara rata-rata, 5% dari sejenis pil mempunyai campuran dibawah syarat minimum, sehingga tidak memenuhi persyaratan. Berapa probabilitas bahwa kurang dari 10 pil dalam sampel 200 pil tidak memenuhi persyaratan ? 3. Panjang ikan sardine yang diterima suatu pabrik pengalengan ikan mempunyai panjang rata-rata 4,54 inci dan simpangan baku 0,25 inci. Apabila distribusi panjang ikan sardine tersebut mengikuti distribusi normal, berapa persentase dari ikan-ikan tersebut yang panjangnya adalah : a. Lebih dari 5 inci b. Kurang dari 5 inci c. 4,4 sampai 4,6 inci ? 4. Probabilitas seorang mahasiswa gagal dalam tes scoliosis (membengkoknya tulang belakang) adalah 0,004. Diantara 1875 siswa yang dites scoliosis, hitunglah probabilitas terdapat : a. kurang dari 5 mahasiswa gagal dalam tes itu

2012 11 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id b. lebih dari 2 mahasiswa gagal dalam tes tersebut c. 8, 9 atau 10 mahasiswa gagal dalam tes tersebut. 5. Dalam suatu dos berisi 50 botol obat dan 5 buah diantaranya tidak memenuhi standart. Dari dos tersebut diambil 4 botol obat secara acak, berapa probabilitas mendapat 2 botol yang tidak memenuhi standart ? 6. Dalam suatu ujian statistika, diketahui bahwa nilai rata-ratanya adalah 82 dengan simpangan baku sama dengan 5. Semua mahasiswa dengan nilai dari 88 sampai 94 mendapat nilai B. Bila nilai-nilai statistika tersebut berdistribusi normal, dan 8 siswa mendapat nilai B, berapa banyak mahasiswa yang menempuh ujian tersebut (bila nilai ujian dibulatkan ke bilangan bulat terdekat) ? 7. Secara rata-rata, di Indonesia banyaknya kematian yang disebabkan oleh penyakit tertentu adalah 3 orang perhari . Tentukan probabilitas dalam suatu hari terjadi kematian a. kurang dari 2 orang b. lebih dari 5 orang c. antara 3 sampai 7 orang. 8. Suatu organisasi ilmiah mempunyai 1000 anggota, dimana 100 orang diantaranya adalah sarjana farmasi. Jika 10 orang diambil secara acak untuk diangkat jadi pengurus organisasi itu, maka tentukan probabilitas lebih dari 5 orang sarjana farmasi duduk dalam pengurus itu. 9. Tentukan mean dan varians untuk semua soal diatas yang variabel randomnya diskrit. 10. Tinggi 1000 mahasiswa menyebar normal dengan rata-rata 174,5 cm dan simpangan baku 6,9 cm. Bila tinggi dicatat sampai setengah cm terdekat, berapa banyak diantara mahasiswa tersebut yang memiliki tinggi a. Kurang dari 160,5 cm b. Sama dengan 175 cm c. Antara 171,5 sampai 182 cm.

MODUL PERKULIAHAN Statistika dan Probabilitas Modul Standar untuk digunakan dalam Perkuliahan di Universitas Mercu Buana Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer penerbit Modul Teknik Informatika Studi 11 MK10230 Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi Abstract Kompetensi Matakuliah statistik Menjadi Dasar dari Pemikiran penelitian seorang yang akan Mempelajari statistik.Statistik di sangat Penting dalam Membangun sebuah Aplikasi Program Mata Kuliah ini merupakan prayarat bagi Mata kuliah Algoritma dan Stuktur Data Mahasiswa dapat Memahami operasi dasar himpunan, dan penyajian himpuan

2012 2 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id

2012 4 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id DAFTAR ISI Distribusi Probabilitas II (Chi) . ...................................................... Rangkuman. .................................................................................. Soal-penyelesaian Soal-soal latihan

2012 5 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id STATISTIKA DAN PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI DAN UJI CHI-KUADRAT Grafik distribusi chi-kuadrat bergantung pada derajat kebebasan ө, yang umumnya merupakan kurva positif dan miring ke kanan. Kemiringan kurva ini akan semakin berkurang jika derajat kebebasasan ө makin besar. Untuk ө =1 dan ө =2, bentuk kurvanya berlainan daripada untuk ө ≥ 3. Distribusi chi-kuadrat mempunyai rata-rata dan variansi sebagai berikut : Rata-rata : μ = E(χ2 ) = ө Variansi : σ2 = 2 ө Probablitas suatu sampel acak yang menghasilkan nilai χ2 yang lebih besar dari suatu nilai tertentu, sama dengan luas daerah di bawah kurva di sebelah kanan nilai tersebut. Nilai tertentu tersebut biasanya ditulis dengan χ2 α. Dengan demikian χ2 α menyatakan nilai χ2 α yang luas di sebelah kanannya sama dengan α. Daerah yang luasnya sama dengan α ini dinyatakan oleh daerah yang diarsir Nilai-nilai kritis χ2 α untuk berbagai nilai α dan derajat kebebasan ө tersedia pada tabel distribsi chi-kuadrat. • Untuk α = 0,05, disebelah kanan, dan ө = 10, maka nilai kritis χ2 0,05 = 18,307. Karena kurva distribusi chi-kuadrat tidak simetri, maka luas daerah di sebelah kiri harus dicari. Luas daerah sebelah kiri, yaitu 1 – α = 1- 0,05 = 0,95. Derajat kebebasan ө =10, maka diperoleh χ2 0,95 = 3,940 Cari : nilai kritis untuk χ2 0,01 dan χ2 0,99 dengan ө = 5 dan χ2 0,01 dan χ2 0,99 dengan ө = 11

2012 6 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id • Bila x1, x2, x3, …, xn merupakan variable acak yang masing-masing terdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 dan semua variabel acak tersebut bebas satu sama lain, maka variabel acak berikut ini n 2 Y = Σ Xi – μ i=1 σ mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan ө =n. • Bila diambil sampel acak berukuran n dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2, dan pada setiap sampel tersebut dihitung variansi S2 , maka variabel acak berikut ini, yaitu : χ2 = (n – 1) S2 σ2 mempunyai distribsi chi-kuadrat χ2 dengan deraja kebebasan ө = n.-1 INTERVAL KEPERCAYAAN χ2 = (n – 1) S2 σ2 Secara umum, interval kepercayaan untuk χ2 sebesar 1- α dinyatakan sebagai P χ2 1- α/2 < χ2 < χ2 α/2 = 1- α Nilai kritis χ2 1- α/2 membatasi luas daerah di sebeleah kanan sebesar 1 - α/2 pada derajat kebebasan ө = n.-1. Sedangkan nilai kritis χ2 α/2 membatasi luas daerah di sebelah kanan sebesar α/2 pada derajat kebebasan ө = n.-1.

2012 7 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Dengan mensubstitusikan nilai (n-i)S2 maka diperoleh P (n – 1) S2 < χ2 < (n – 1) S2 = 1- α χ2 α/2 χ2 1-α/2 Contoh : Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterainya akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Untuk menyakinkan pendapatnya diambil sampel yang terdiri atas 5 baterai dan daya tahannya adalah 1,9, 2,4, 3,0, 3,5, 4,2 tahun. a. buat interval kepercayaan 95% dan σ2 b. Apakah simpangan baku σ =1 tersebut masih dapat diterima? UJI CHI-KUADRAT Beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain : 1. Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan. 2. Untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi 3. Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal. 1. Uji beda frekuensi yang diamati dan diharapkan Misalkan kita mempunyai suatu sampel tertentu berupa kejadian A1, A2, A3, …,Ak yang terjadi dengan frekuensi 01,02,03,…,0k, yang disebut frekuensi yang diobservasi (diamati) dan bahwa berdasarkan probabilitas kejadia-kejadian yang diharapkan adalah dengan frekuensi e1,e2,e3, …,ek, yang disebut frekuensi yang diharapkan atau frekuensi territis. Dalam hal ini ingin diketahui perbedaan yang signifikan antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan

2012 8 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Kejadian A1, A2, A3, …,Ak Frekuensi yang diobservasi 01,02,03,…,0k Frekuensi yang diharapkan e1,e2,e3, …,ek Perbedaan antara frekuensi yang diobservasi dengan yang diharapkan k ditentukan sebagai χ2 = Σ (oi – ei) 2 i=1 ei Jika χ2 = 0, maka frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan adalah tepat sama. Jika χ2 >0, maka frek observasi berbeda dengan frek yang diharapkan. Makin besar nilai χ2 , makin besar beda antara frek obsevasi dengan frek yang diharapkan. Frek yang diharapkan dapat dihitung atas dasar hipotesis nol (H0). Langkah-langkah untuk melakukan uji chi-kuadrat, adalah sebagai berikut : 1. Merumuskan hipotesis yang akan diuji meliputi, H0 dan H1 2. Menetapkan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan ө untuk memperoleh nilai kritis χ2 α dimana : a. ө = k-1, jika frek yang diharapkan dapat dihitung tanpa harus menduga parameter populasi dengan statistik sampel. b. ө = k-1-m, jika frek yang diharapkan dapat dihitung hanya dengan menduga parameter populasi sebanyak m dengan taksiran statistik sampel k 3. Menentukan statistik uji (statistik hitung) : χ2 h= Σ (oi – ei) 2 i=1 ei 4. Menyimpulakan apakah menolak atau menerima H0. Tolak H0 jika nilai χ2 h > χ2 α dan terima H0 jika χ2 h ≥ χ2 α . Contoh 1 :

2012 9 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Sebuah uang logam dilempar sebanyak 100 kali, yang menghasilkan sebanyak 58 kali muncul sisi muka dan 42 kali sisi belakang. Ujilah hipotesis bahwa uang logam itu simetri dengan taraf signifikan 0,05 dan 0,01 Contoh 2 Sebuah dadu dilembpar sebanyak 120 kali. Frek yangyang dihasilkan untuk muka1,2,3,4,5, dan 6 yang muncul adalah 23, 21, 17, 18, 20, dan 27. Ujilah bahwa dadu tersebut simetris. 2. Uji kebebasan ( independensi) dua faktor Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidak adanya hubungan (asosiasi)atau kaitan antara dua faktor. Misalnya, apakah prestasi belajar mahasiswa ada hubungan dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya, apakah agama yang dipeluk ada hubungannya dengan ketaatan beribadah. Jika tidak ada hubungan antar dua faktor tersebut, maka dikatkan bahwa dua faktor itu saling bebas atau independen. Prosedur chi-kuadrat dapat dipakai juga untuk menguji ada tidaknya pengaruh dari satu faktor terhadap faktor lainnya. Misalkan dilakukan surveh pada 1.000 orang di Jakarta dan ingin diketahui apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Penghasilan sebagai faktor 1 dan pendidikan sebagai faktor 2. Penghasilan dibedakan menjadi dua katagori, yaitu penghasilan rendah dan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkat, yaitu SMU ke bawah, sarjana muda, dan sarjana (termasuk pasca sarjana). Hasil survey tersebut disajikan pada tabel kontingensi berikut : Penghasilan Pendidikan Total Baris SMU kebawah Sarjana muda Sarjana

2012 10 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Rendah 182 213 203 598 Tinggi 154 138 110 402 Total Kolom 336 351 313 1.000 Tabel di atas adalah tabel kontingensi berukuran 2 x 3, yang terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. Bilangan dalam sel disebut frekuensi yang diobservasi, sedangkan totalnya disebut frekuensi marjinal. Untuk menguji kebebasan dua faktor digunakan statistik hitung : k χ2 = Σ (f0 – fe) 2 i=1 fe derajat kebebasan ө = (Jml baris – 1) (kolom – 1). fe frekuensi harapan = jumlah menurut baris x jumlah menurut kolom/ jumlah total. Jika nilai χ2 h > χ2 α, maka hipotesis nol (Ho) ditolak sedangkan jika tidak, maka hipotesis nol (Ho) diterima. Dengan demikian frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan secara lengkap adalah sebagai berikut : Penghasilan Pendidikan Total Baris SMU kebawah Sarjana muda Sarjana Rendah 182 (200,9) 213 (209,9) 203 (187,2) 598 Tinggi 154 (135,1) 138 (141,1) 110 (125,8) 402 Total Kolom 336 351 313 1.000 1. Ho : dua faktor saling bebas, penghasilan saling bebas dengan pendidikan. 2. Taraf signifikansi = 5% dan ө = (2-1) x (3-1) = 2 3. χ2 h = 7,8542

2012 11 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 4. Nilai χ2 h > χ2 α, maka disimpulkan Ho ditolak pada taraf signifikansi 5%. Artinya antara penghasilan dan pendidikan masyarakat tidak saling bebas. 3. Uji Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampel Uji ini digunakan untuk mengetahui sejauh mana kesesuaian atau tingkat kesesuaian antara distribusi sampel dengan distribusi populasi, disebut juga uji kebaikan suai (test goodness of test). Tahapan uji keselerasan apakah suatu distribusi mengikuti kurva normal atau tidak adalah sebagai berikut : 1. Membuat distribusi frekuensi 2. Menentukan nilai rata-rata hitung X dan standar deviasi σ dengan menggunakan data berkelompok. 3. Menentukan nilai Z setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/ σ 4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z. 5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data. 6. Melakukan uji chi-kuadrat untuk menentukan apakah distribusi bersifat normal atau tidak. Contoh : Beberapa analis memprediksi 20 saham terfavorit yang layak dibeli dan dipertahankan untuk satu-dua minggu. Berikut adalah harga saham dari 20 perusahaan tersebut tanggal 5 Desember2003. Dari data harga saham di bawah ini, ujilah apakah harga saham mengikuti distribusi normal? No Perusahaan Harga Saham 1 Aneka tambang 1350 2 Asahimas FG 2225 3 Astra AL 1675 4 Astra OP 1525

2012 12 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 5 Danamon 1925 6 Baerlian Laju Tanker 900 7 Berlina 1575 8 Bimantara 3175 9 Dankos 1125 10 Darya Varia 800 11 Dynaplast 1400 12 Enseval Putra 1900 13 Gajah Tunggal 600 14 Indocement 1900 15 Kalbe farma 975 16 Komatsu 1475 17 Matahari 525 18 Mayora 950 19 Medco 1400 20 Mustikasari 435 1. Buat tabel distribusi frekuensi : No Interval Kelas Frekuensi (fo) Nilai tengah 1 435 -983 7 709

2012 13 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 2 984 – 1.532 6 1.258 3 1.533 – 2.080 5 1.806 4 2.081 – 2.628 1 2.354 5 2.629 -3.176 1 2.902 2. Hitung nilai rata-rata hitung dan standar deviasi data berkelompok. No Interval f X fx x - x (x - x)2 f(x - x)2 1 435 -983 7 709 4.963 -631 397.972 2.785.802 2 984 – 1.532 6 1.258 7.548 -82 6.699 40.197 3 1.533 – 2.080 5 1.806 9.030 466 217.296 1.086.479 4 2.081 – 2.628 1 2.354 2.354 1.014 1.028.500 1.028.500 5 2.629 -3.176 1 2.902 2.902 1.562 2.440.313 2.440.313 Σ fx 26.797 Σ f(x - x)2 7.381.291 X = Σ fx/n=26.797/20 1.340 S=√ Σ f(x - x)2 /n-1 623 3. Menentukan nilai Z dari setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/σ 4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z. Misalnya : Z435 = (435-1.340)/623 = -1,45 Z983 = (963-1.340)/623 = -0,57 dan seterusnya Interval Kisaran Z Kisaran Probabilitas Prob Harapan 435 -983 -1,45 – 0,57 0.4265-0.2157 0.2108 984 – 1.532 -057 – 0,31 0.2157-0.1217 0.3374

2012 14 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 1.533 – 2.080 0,31 – 1,19 0.3830-0.1217 0.2613 2.081 – 2.628 1,19 – 2,07 0.4808-0.3830 0.0978 2.629 -3.176 2,07 – 2,95 0.4984-0.4808 0.0176 5. Menentukan nilai harapan (fe)= np Interval f Prob Harapan fe 435 -983 7 0.2108 4.2 984 – 1.532 6 0.3374 6.7 1.533 – 2.080 5 0.2613 5.2 2.081 – 2.628 1 0.0978 2.0 2.629 -3.176 1 0.0176 0.4 6. Menentukan pengujian chi - kuadrat a. Ho : tidak ada beda antara frekuensi yang diharapkan dengan yang teramati dari harga saham. H1 : ada beda antara frekuensi yang diharapkan dengan yang teramati dari harga saham. b. Menentukan nilai kritis dengan derajat bebas = n-1, dimana n = jumlah klas. Nilai kritis untuk ө = 5-1=4, dan taraf signifikansi = 5% adalah 9,488. c. Mencari χ2 hit dengan rumus (f0 – fe) 2 dengan prosedur :

2012 15 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id fe f fe (f0 – fe) (f0 – fe) 2 (f0 – fe) 2 /fe 7 4.2 2,8 7,8 1,8 6 6.7 -0,7 0,6 0,1 5 5.2 -0,2 0,1 0,0 1 2.0 -1,0 0,9 0,5 1 0.4 0,6 0,4 1,2 χ2 hit 3,6 d. χ2 hit < χ2 α dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan antara frekuensi harapan dan yang nyata, sehingga distribusi harga saham dapat dikatakan sebagai distribusi normal. LATIHAN SOAL 1. PT Kiwi Sentosa adalah perusahaan transportasi untuk buah-buahan dari Madiun ke Jakarta. Perusahaan menginginkan kerusakan buah yang diangkut tidak sampai 15%. Berikut ini adalah data buah yang rusak selama 6 bulan terakhir. Dari data tersebut, apakah masih sesuai harapan dari perusahaan dengan taraf nyata 5%. Bulan % Kerusakan Buah 1 9 2 12 3 14 4 15 5 18 6 16 Jawab: fo fe (fo - fe)2 /fe

2012 16 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 9 15 2,40 12 15 0,60 14 15 0,07 15 15 0,00 18 15 0,60 16 15 0,07 2 = (fo - fe)2 /fe 3,73 1. Hipotesa, Ho: ada kesesuaian antara harapan dan kenyataan, H1 tidak ada kesesuaian antara harapan dan kenyataan. 2. Menentukan nilai kritis, df= 6 - 1= 5 dengan taraf nyata 5% adalah 12,596 3. Nilai chi-kuadrat hitung = 3,73 < dari chi-kuadrat tabel 12,596, dengan demikian Ho diterima dan H1 ditolak. Harapan dan kenyataan masih sesuai. 2. Beberapa emiten merencanakan memberikan dividen yang lebih besar untuk tahun 2003, sehingga dapat mendorong perbaikan harga saham di bursa. Berikut adalah dividen yang diharapkan atau direncanakan dan deviden yang dapat dibayarkan pada tahun 2003 dalam rupiah per lembarnya. Perusahaan fe fo Semen Gresik 231 268 Gudang Garam 500 300 Timan Tbk 119 25 Ramayana 75 100 Sampurna 57 90 Unilever 250 300 Dengan memperhatikan kondisi tersebut, apakah antara harapan dan kenyataan masih sesuai?

2012 17 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Jawab: fo fe (fo-fe)2 /fe 231 268 5,11 500 300 133,33 119 25 353,44 75 100 6,25 57 90 12,10 250 300 8,33 2 = (fo - fe)2 /fe 518,56 1. Hipotesa, Ho: ada kesesuaian antara harapan dan kenyataan, H1 tidak ada kesesuaian antara harapan dan kenyataan. 2. Menentukan nilai kritis, df= 6 - 1= 5 dengan taraf nyata 1% adalah 16.812 3. Nilai chi-kuadrat hitung = 518.56 > dari chi-kuadrat tabel 16.812, dengan demikian Ho ditolak dan H1 diterima. Harapan dan kenyataan sudah tidak sesuai. 3. Pemerintah menghendaki bahwa inflasi pada tahun 2003 sebesar 8% pertahun. Data tahun 2003 inflasi dibeberapa kota besar adalah sebagai berikut: Kota Inflasi (%) Medan 9,49 Palembang 12,25 Padang 10,22 Jakarta 9,08 Bandung 11,97

2012 18 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id Semarang 13,56 Surabaya 9,15 Denpasar 12,49 Banjarmasin 9,18 Makasar 8,25 Menado 15,22 Dengan data tersebut apakah target atau harapan pemerintah masih sesuai dengan kondisi sebenarnya dengan taraf nyata 5%? Jawab: fo fe (fo-fe)2 /fe 9,49 8 0,28 12,25 8 2,26 10,22 8 0,62 9,08 8 0,15 11,97 8 1,97 13,56 8 3,86 9,15 8 0,17

2012 19 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id 12,49 8 2,52 9,18 8 0,17 8,25 8 0,01 15,22 8 6,52 2 = (fo-fe)2 /fe 18,51 4. Hipotesa, Ho: ada kesesuaian antara harapan dan kenyataan, H1 tidak ada kesesuaian antara harapan dan kenyataan. 5. Menentukan nilai kritis, df= 11 - 1= 10 dengan taraf nyata 5% adalah 18.307 6. Nilai chi-kuadrat hitung = 18.51 > dari chi-kuadrat tabel 18.307, dengan demikian Ho ditolak dan H1 diterima. Harapan dan kenyataan sudah tidak sesuai.

MODUL PERKULIAHAN Statistika dan Probabilitas Modul Standar untuk digunakan dalam Perkuliahan di Universitas Mercu Buana Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer penerbit Modul Teknik Informatika Studi 11 MK10230 Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi Abstract Kompetensi Matakuliah statistik Menjadi Dasar dari Pemikiran penelitian seorang yang akan Mempelajari statistik.Statistik di sangat Penting dalam Membangun sebuah Aplikasi Program Mata Kuliah ini merupakan prayarat bagi Mata kuliah Algoritma dan Stuktur Data Mahasiswa dapat Memahami operasi dasar himpunan, dan penyajian himpuan

2012 2 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id

2012 4 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id DAFTAR ISI Interval Taksiran ....................................................................... Rangkuman............................................................................... Soal-penyelesaian Soal-soal latihan

2012 5 Statistika dan Probabilitas Pusat Bahan Ajar dan eLearning Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi http://www.mercubuana.ac.id STATISTIKA DAN PROBABILITAS INTERVAL TAKSIRAN Taksiran Interval Untuk Selisih Dua Proporsi Misalkan X1 dan X2 adalah dua peubah acak binomial yang bebas masing-masing dengan parameter ( n1 , p1 ) dan ( n2 , p2 ). Kemudian kita mengambil sampel acak dari X1 berukuran n1, yaitu X1, X2, X3, … , Xn1 dan sampel acak dari X2 berukuran n2, yaitu X1, X2, X3, … , Xn2. Kedua sampel acak itu bebas. Menentukan penaksir titik Selisih dua proporsi dilambangkan ( p1 – p2 ), kita akan mencari penaksir titik yang baik untuk proporsi ( p1 – p2 ). Pada pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa merupakan penaksir tak bias untuk p. berdasarkan hal tersebut 1 = adalah penaksir tak bias dari p1 atau proporsi yang sebenarmya dari populasi kesatu. Maka 2 = merupakan penaksir yang tak bias dari p2 atau proporsi yang sebenarnya dari populasi kedua. Maka penaksir tak bias dari ( p1 – p2 ) adalah , karena = . Distribusi dari penaksir titik Langkah selanjutnya kita akan menentukan distribusi dari = . Pada pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa peubah acak X secara pendekatan akan berdistribusi normal dengan rerata np dan variansi npq. Berdasarkan hal tersebut , peubah acak X1 akan berdistribusi normal dengan rerata n1p1 dan variansi n1p1q1, dan rerata n2p2 dan variansi n2p2q2 untuk peubah acak X2. Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen, maka: a. secara pendekatan akan berdistribusi normal dengan rerata p1 dan variansi . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah: b. secara pendekatan akan berdistribusi normal dengan rerata p2 dan variansi . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah:

Pages:

Click to View FlipBook Version