PowerPoint Presentation

Mencari r
9
= 2 Mencari a
25 3
=
−1 9 2
= =
4 3 3 25
= =
3 2 3 2
= 5
3
9 5 9 = 3
10 = 3 4 10 2

3 2 = = 3
5 3 4
5 =
9 2 3 15
∙ = 2 =
10 5 3 2





3 4
Jadi, = dan =
2 15

Generalisasi Pola dan Abstraksi


= −1


−1
4 3
= ∙
15 2












4 3 −1
Jadi, pola umum tinggi pohon setiap bulannya adalah = 15 ∙ 2


Pengenalan Pola







−1
4 3
= ∙

15 2

8−1
4 3
= ∙
8
15 2

7
4 3
= ∙
15 2


4 2.187
= ∙
15 128


= 4,56
Jadi, tinggi pohon pada bulan ke-8 adalah 4,56 m

Jika , , , … , ℎ ,
3
2
1

+ + + ⋯ + adalah deret geometri
1

2
3

( − 1)
= , > 1

− 1

(1 − )
= , < 1

1 −
= ℎ

=
=

=

Gimana kalau r=1?












Jika = 1, maka menyebabkan semua suku pada deret
geometri tersebut sama.


= n ×


Click to watch video



Contoh Soal


Sejak tahun 2017, jumlah penduduk kabupaten

Majalengka terus bertambah dengan persentase tetap dari

jumlah penduduk sebelumnya. Pada tahun 2021 jumlah

penduduknya yaitu 4 juta. Jumlah penduduk tahun 2017

dan tahun 2019 totalnya 1,25 juta jiwa.

a. Tuliskan langkah-langkah untuk pola umum dari

jumlah penduduk kabupaten Majalengka setiap

tahunnya!


b. Berapakah jumlah penduduk kabupaten Majalengka

pada tahun 2020?

Dekomposisi


Diketahui: = 2 −1 = 4.000.000 = 4
5

+ = 1.250.000 = 1,25
1
3
= 1.250.000 − 3
1

=
3
Ditanyakan : Pola umum jumlah penduduk setiap tahunnya dan

4


Jawab : Untuk mencari pola umum barisan tersebut, maka harus

mencari nilai a dan r terlebih dahulu

Berpikir algoritma




Langkah-Langkah penyelesaian:


1. Menuliskan hal diketahui dan ditanyakan


2. Mencari nilai , a dan r dari data yang diketahui

dan ditanyakan


3. Mencari pola umum atau dapat menggunakan


rumus = 1 +
0

4. Menyelesaikan masalah dengan pola umum yang

telah didapat atau dengan rumus = −1


Generalisasi Pola dan Abstraksi




= × 2 −1


= 1,25 − 4



= 5 − 4 (kedua ruas dikuadratkan)


2
( ) = 5 − 4

2
( ) + 4 − 5 = 0


( +5) − 1 = 0


= −5 = 1


Maka nilai yang mungkin adalah = = 1
3



= = 1,25 − 3 = −1

1
= 1,25 − 1 = 0,25 ∙ 2 −1
= 0,25

= −1 1 −1


= 0,25 3−1 = 4 ∙ 2
3
1 = 0,25 2

1 Jadi, pola umum jumlah penduduk
2
= kabupaten Majalengka setiap tahun
0,25
2
= 4 nya adalah = 1 ∙ 2 −1

4
= 2
= 0,25 = 2

Pengenalan Pola

ℎ − 1, … , ℎ − 3 … , ℎ − 4, … =?


0,25, … , 1, , … =?
4

Untuk mencari jumlah penduduk pada tahun 2020 dapat

menggunakan pola umum yang telah dicari atau menggunakan

rumus = −1

1
= ∙ 2 −1

4
Jadi, jumlah pendudk kabupaten M

1 3 ajalengka pada tahun 2020 adalah 1,
= ∙ 2
4
4 5 juta jiwau
1
= ∙ 6 = 1,5
4
4

Rekursif

Mengenal Rumus Rekursif Sederhana untuk Suatu Barisan






Rumus rekursif (berulang) adalah suatu rumus yang menyatakan nilai berikutnya

diperoleh dengan memuat nilai sebelumnya secara berulang-ulang.


Contoh :

Misalkan diketahui pola barisan aritmetika = 2 + 3

Maka rumus rekursifnya adalah:

+1 = 2( + 1) + 3
= 2 + 2 + 3

= 2 + 3 + 2 (Karena = 2 + 3), maka:

= + 2






Klik to watch video



Penerapan Konsep



Barisan dan Deret






Klik to watch video

Pertumbuhan (Pertambahan)


Contoh pertumbuhan:
pertumbuhan penduduk, pertumbuhan populasi, pertumbuhan

uang yang di investasikan.



= 1 − = −
0


= −

=
=

Pada awal tahun 2020, Pak Vincenzo menginvestasikan uangnya

di salah satu perusahaan teknologi dengan kode DMMX yang

tercatat di Bursa Efek Indonesia. Ia membeli 1000 lot saham

DMMX senilai Rp 10.000.000,00. Pak han ji pyeong

mengatakan bahwa jika dilihat dari fundamental perusahaan,

nilai investasi pak Vincenzo akan tumbuh 25% setiap tahunnya.


a. Tentukan pola umum pertumbuhan nilai investasi pak

Vincenzo!


b. Tuliskan langkah-langkah untuk mencari harga per lembar

saham DMMX pada awal tahun 2025? ( 1 = 100

)

Dekomposisi


Diketahui : = 10.000.000
0
25 1
i = 25% = =
100 4
Ditanyakan : Pola umum pertumbuhan nilai

investasi setiap bulan dan 5

Generalisasi Pola dan Abstraksi


= 1 +
0


1
= 10.000.000 1 +

4


5
= 10.000.000

4
Jadi, pola umum pertumbuhan nilai investasi setiap

5
tahunnya adalah = 10.000.000 4


Berpikir algoritma



Langkah-Langkah penyelesaian:


1. Menuliskan hal diketahui dan ditanyakan


2. Mengubah nilai i dari persentase menjadi

pecahan


3. Mencari pola umum atau dapat menggunakan

rumus = 1 +
0

4. Menyelesaikan masalah dengan rumus

5. Mengkonversi harga salam dari per-lot menjadi

per-lembar

Pengenalan Pola

Jadi nilai investasi Pak Vincenzo pada tahun 2025 adalah

Rp 24.400.000


1 = 100


1.000 = 100.000


30.500.000
ℎ ℎ =
100.000


= 305
Jadi, harga saham perlembar DMMX pada awal tahun

2025 adalah Rp 305,00

Peluruhan

Contoh perluruhan:
Penyusutan benda atau peralatan, peluruhan

zat radio aktif (kimia), dsb


= = 1 −
0

= −

= −
0
= (0 < < 1)

=

Jika penyusutan terjadi secara kontinu, besarnya
benda yang mengalami penyusutan setelah
t waktu :
= −

0
= −

= −
0
= ℎ

=

Pada pukul 07.00 WIB, masa suatu zat radio
aktif adalah 0,2 kg. Setiap 30 menit zat

tersebut menyusut sebesar 3%.


a. Tentukan pola umum penyusutan zat

radio aktif tersebut setiap 30 menit!


b. Tuliskan langkah-langkah untuk mencari

sisa zat tersebut pada pukul 09.00 WIB! Contoh Soal

Penyelesaian





Dekomposisi


Diketahui: = 0,2
0

p = 3% = 0,03


= 09.00 − 07.00 × 2 = 4


Ditanyakan : Pola umum penyusutan setiap 30 menit dan 4


Generalisasi Pola dan Abstraksi


= 1 −
0

= 0,2 1 − 0,03


= 0,2 0,97


Jadi, pola umum pertumbuhan nilai investasi setiap tahunnya

adalah = 0,2 0,97


Berpikir algoritma





Langkah-Langkah penyelesaian:


1. Menuliskan hal diketahui dan ditanyakan


2. Mengubah nilai p dari persentase menjadi desimal


3. Mencari pola umum atau dapat menggunakan rumus = 1 +

0
4. Menyelesaikan masalah dengan rumus

5. Mengkonversi harga salam dari per-lot menjadi per-lembar

Pengenalan Pola










































Jadi, sisa zat radio aktif pada pukul 09.00 WIB adalah 0,18



Contoh Soal

Dekomposisi
Penyelesaian

Diketahui : = 2.000.000,00
0
r = 30%


60 1
= 60 ℎ = = ℎ ,karena bunga tunggal maka 1 tahun= 360 hari
360 6
Ditanyakan : Pola umum dan Langkah-Langkah mencari total uang yang harus

dikembalikan
Generalisasi Pola dan Abstraksi


= (1 + × )

0
= 2.000.000


= 0,2 0,97


Jadi, pola umum pertumbuhan nilai investasi setiap tahunnya adalah = 0,2 0,97


Generalisasi Pola dan Abstraksi


= × ×
0

30
= 2.000.000 ∙ ∙
100


= 600.000


= +

0
= 2.000.000 + 600.000

Jadi, pola umum uang yang harus dikembalikan Cecep

tahunnya adalah = 2.000.000 + 600.000


Berpikir algoritma






Langkah-Langkah penyelesaian:


1. Menuliskan hal diketahui dan ditanyakan


2. Mencari pola umum atau dapat menggunakan rumus = +

0
3. Menyelesaikan masalah dengan rumus

Pengenalan Pola


, , , … ,
2
3
1
Untuk jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep dalam waktu 60 hari
dapat menggunakan pola umum yang telah dicari atau menggunakan
rumus = +
0

= 2.000.000 + 600.000


1
1 = 2.000.000 + 600.000
6 6
= 2.000.000,00 + 100.000,00


= 2.100.000,00
Jadi, jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah

2.100.000,00

Bunga Tunggal Eksak dan Bunga Tunggal Biasa



Jika bunga tunggal pertahun % maka bunga tunggal

perbulan adalah % . Untuk bunga tunggal perhari:
12

Bunga tunggal eksak didasarkan pada jumlah hari

sesungguhnya
1. Tahun non kabisat 1 tahun= 365 hari

2. Tahun kabisat (kelipatan 4): 1 tahun= 366 hari



Bunga tunggal biasa didasarkan kesepakatan:

1 tahun= 360 hari

Contoh Soal






Pada awal tahun 2021 Pak Angga terpaksa meminjam uang

di Koperasi Dosan sebesar Rp 10.000.000,00 selama

31 hari. Pihak koperasi membebankan bunga tunggal 16%
pertahun. Perhitungan bunga dilakukan per hari.


a. Tentukan pola umum besarnya bunga eksak!


b. Tuliskan langkah-langkah menghitung besarnya bunga

yang harus dibayar pak Angga!

Dekomposisi


Diketahui : = 10.000.000,00
0

r = 16%

31
= 31 ℎ = ℎ ,karena bunga tunggal eksak non kabisat,
365
maka 1 tahun= 365 hari

Ditanyakan : Pola umum, Langkah-Langkah dan bunga yang harus

dibayar
Generalisasi Pola dan Abstraksi


= × ×
0
16
= 10.000.000 ∙ ∙
100

= 1.600.000

Jadi, pola umum bunga yang harus dibayar Pak Angga adalah
= 1.600.000

Berpikir algoritma









Langkah-Langkah penyelesaian:

1. Menuliskan hal diketahui dan ditanyakan


2. Mencari pola umum atau dapat menggunakan


rumus = × ×
0

3. Menyelesaikan masalah dengan rumus

Pengenalan Pola


, , , … ,
1
2
3
Untuk mencari bunga yang harus dibayar Pak Angga dalam waktu 31
hari dapat menggunakan pola umum yang telah dicari atau mengguna

kan rumus = × ×
0
= 1.600.000


31
= 1.600.000
365

= 135.890,41



Jadi, bunga yang harus dibayar Pak Angga adalah
135.890,41

Diskonto



=


Nilai tunai uang yang diterima: = −


=

=

=

Bunga Majemuk


Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung atas dasar

jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi

bunga yang telah terjadi. Perhitungannya
menggunakan DERET GEOMETRI.


Nilai tunai uang yang diterima: = 1 +

0

= −

=

=
=

Contoh Soal











Indra meminjam uang di suatu bank sebesar Rp 2.000.000,00.

Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk

20% pertahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan.





a. Tentukan pola umum besarnya uang yang harus

dikembalikan Indra pada periode tersebut!


b. Tuliskan langkah-langkah menghitung besarnya uang yang

harus dikembalikan Indra jika ia meminjam dalam jangka

waktu 3 tahun!

Dekomposisi


Diketahui: = 2.000.000,00 Penyelesaian
0

i = 20% = 0,2


4


3 ℎ 36
= = = 9
4 4

Ditanyakan : Pola umum, Langkah-Langkah dan uang yang

harus dibayar


Generalisasi Pola dan Abstraksi


= 1 +
0

= 2.000.000 1 + 0,2

= 2.000.000 1,2

Jadi, pola umum uang yang harus dibayar Pak Indra

adalah = 2.000.000 1,2




Pengenalan Pola




, , , … ,
2
2
3
Untuk mencari uang yang harus dibayar Pak Indra dalam jangka

waktu 3 tahun dapat menggunakan pola umum yang telah dicari

atau menggunakan rumus = 1 +

0
= 2.000.000 1,2


= 2.000.000(5,159780)

= 10.319.560,00



Jadi, uang yang harus dibayar Pak Indra adalah 10.319.560,00

Anuitas adalah sistem pembayaran atau penerimaan

secara berurutan dengan jumlah dan jangka waktu
yang tetap (tertentu)




= A = besar anuitas
σ 1 + −
=1 M = Modal pokok
atau i = tingkat suku bunga

t = banyak anuitas
1 +
=
1 + − 1



LATIHAN

LATIHAN 1




Dalmi adalah seorang penjual jus. Satu buah alpukat dapat menghasilkan

2 cup jus. Pada hari pertama ia berhasil menjual 40 cup jus alpukat, pada hari
ke dua ia berhasil menjual 46 cup jus alpukat, begitupun hari selanjutnya

penjualannya selalu meningkat dengan jumlah yang sama. Harga satu cup jus
adalah Rp 8.000,00. Sedangkan harga 1 kg alpukat yang terdiri dari 2 buah

alpukat adalah Rp 10.000,00. Sementara modal lain yang dibutuhkan untuk
1 cup jus adalah Rp 1.000,00.

a. Tentukan pola umum jus alpukat yang terjual setiap harinya!
b. Tuliskan langkah-langkah dan hitunglah keuntungan Dalmi pada hari ke -29!



Jawaban : a. = 6 − 34

. Rp 805.000,00



Send answer

LATIHAN 2




Suatu coffeshop menjual berbagai jenis coffe dan yang paling best seller

adalah kopi susu. Owner menargetkan peningkatan jumlah kopi susu

sebanyak 3 cup yang terjual setiap harinya, oleh karena itu ia terus

meningkatkan promosi agar penjualan kopi susu terus meningkat. Pada
tanggal 1 Juli 2021 ia berhasil menjual 30 cup kopi susu.

a. Tentukan pola umum dari jumlah kopi susu yang terjual!

b. Tuliskan langkah-langkah dan hitunglah berapa kg kopi yang yang di
perlukan hingga tanggal 29 Agustus 2021 jika 500 gram kopi dapat m

enggahasilkan 45 cup kopi susu.


3 2 57
Jawaban : a. = +

2 2
b. 79 kg



Send answer