ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาตร์เพ่ิมเติม

เร่อื ง ตรโี กณมิติ
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

“ตวั ผกผนั ของฟังกข์ นั ตรโี กณมติ ิ”

จดั ทำโดย
นำยธรี ภทั ร เกตปุ ระดษิ ฐ์ เลขท่ี 6
นำยอคั รวฒุ ิ ไชยทอง เลขท่ี 14

โรงเรียนปำกพนงั

คานา

หนงั สืออเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (e-book) เล่มนเี้ ป็นสว่ นหนงึ่ ของรายวิชา คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 3
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เรอ่ื ง ตรโี กณมติ ิ ในหวั ขอ้ ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ จดั ทาขนึ้ เพอ่ื ให้
ผอู้ า่ นไดศ้ ึกษาหาความรู้ อยา่ งเขา้ ใจและเป็นประโยชนใ์ นการเรียน

ผจู้ ดั ทาหวงั ว่า หนงั สืออเิ ล็กทรอนิกส์ (e-book) เลม่ นจี้ ะเป็นประโยชนก์ บั ผอู้ ่าน นกั เรยี น
นกั ศกึ ษา ท่กี าลงั หาขอ้ มลู เร่ืองนีอ้ ยู่ จะสามารถชว่ ยใหผ้ เู้ รียนมีความรูค้ วามเขา้ ใจ ในเนือ้ หาไดเ้ ป็น
อยา่ งดอี ีกทงั้ เป็นการกระตนุ้ ใหผ้ เู้ รยี นไดเ้ รียนรูค้ ณติ ศาสตรอ์ ย่างมีความสขุ และสง่ ผล ใหผ้ เู้ รยี นมี
ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรยี นวิชาคณิตศาสตรส์ งู ขึน้ จึงขอขอบคณุ ผทู้ ี่มีสว่ นเก่ยี วขอ้ งทกุ ท่าน ทีไ่ ด้ สละ
เวลาอนั มคี ่า หากมขี อ้ แนะนาหรือขอ้ ผิดพลาดประการใด ผจู้ ดั ทาขอนอ้ มรบั ไวแ้ ละขออภยั มา ณ
ทีน่ ดี้ ว้ ย

ผจู้ ดั ทา

นาย ธีรภทั ร เกตปุ ระดษิ ฐ์

นาย อคั รวฒุ ิ ไชยทอง

สารบญั

เรื่อง หนา้ ที่

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู.้ ............................................................................1
แบบทดสอบก่อนเรียน.............................................................................2
ใบความรู.้ ..............................................................................................8
แบบฝึกทกั ษะ ตอนที่1 ..........................................................................16
แบบฝึกทกั ษะ ตอนท่ี2............................................................................19

แบบทดสอบหลงั เรยี น.............................................................................23
เฉลย แบบทดสอบก่อนเรยี น....................................................................29
เฉลย แบบฝึกทกั ษะตอนที่ 1 ..................................................................31
เฉลย แบบฝึกทกั ษะตอนท่ี2....................................................................34

เฉลย แบบทดสอบหลงั เรยี น....................................................................38

อา้ งอิง...................................................................................................40

1

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1.พสิ จู นเ์ อกลกั ษณข์ องฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ฟังกช์ นั ตวั ผกผนั ของ
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิตแิ ละแก้ สมการตรีโกณมติ ไิ ด้

2.บอกโดเมนและเรนจแ์ ละแกส้ มการของฟังกช์ นั ผกผนั ของฟังกช์ นั
ตรีโกณมิติได้

2

3

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรอื่ ง ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ
คาชแี้ จง: แบบทดสอบนเี้ ป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน10 ขอ้ คะแนนเต็ม 10
คะแนน

คาส่งั : ใหน้ กั เรยี นเลือกคาตอบทีถ่ กู ตอ้ งเพียงค ตอบเดียว แลว้ ทาเครอ่ื งหมาย  ลงใน
ชอ่ ง ที่ตรงกบั ตวั อกั ษร ก,ข,ค หรือ ง

1.จงหาคา่ มมุ ของ arcsin(-1) ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง
ก. −

2

ข.

2

ค. 0

ง. -1

2.จงหาคา่ มมุ ของ arcsin (√2) ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

2

ก.0

ข.-1
ค.

4

ง.

2

4

3.จงหาค่ามมุ ของ arccos(21) ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

ก.5

6

ข.

2

ค.

6

ง.−
6

4.จงหาคา่ มมุ ของ arccos(− √3) ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

2

ก.5

6

ข.− 5
6

ค.

ง.0

5.จงหาคา่ มมุ ของ arctan(√3) ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

ก.

ข.

4

ค.

6

5

ง.

3

6.จงหาค่ามมุ ของ arctan(-1) ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

ก.

4

ข.−
4

ค.

3

ง.−
3

7.cosec(arcsec(2)) มคี า่ เท่าไหร่

ก.

ข.√2

2

ค. 2√3

3

ง.1

2

8.arcsin(sin(25 )) มคี ่าเท่าไหร่

ก.√3

2

ข.2

5

6

ค.

3

ง.−

6

9. 2 ( 43) มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก.3√3
ข.2

3

ค.23

30

ง.16

25

10. arctan x = arccot 1 จงหาค่า x

√3

ก.√2
ข. 1

√3

ค.1

3

ง.√3

7

กระดาษคาตอบ แบบทดสอบก่อนเรียน
เรื่อง ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

ช่อื -นามสกลุ ..............................................................................ชนั้ ...............เลขท่ี.............

คาชแี้ จง คาชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นทาเคร่อื งหมาย (x) ลงในชอ่ งทถ่ี กู ตอ้ งที่สดุ เพียงขอ้ เดียว

ขอ้ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

สรุปคะแนนสอบ

คะแนนเต็ม 10
คะแนนท่ไี ด้

8

9

ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติไมเ่ ป็นฟังกช์ นั และเม่อื เรา
จากดั โดเมนของฟังกช์ นั เพ่อื ใหเ้ ป็นฟังกช์ นั 1-1 แลว้ จะ
เรยี กตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั วา่ ฟังกช์ นั ผกผนั เช่น y=sinx มี
ตวั ผกผนั ฟังกช์ นั คือ x=siny เม่อื จากดั โดเมนของฟังกช์ นั
1-1แลว้ x=siny นิยมเขยี นเป็น y=arcsinx และ
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ อิ ่ืนๆก็สามารถเขยี นไดใ้ นทานองเดียวกนั

10

ตวั อย่าง จงหาค่าของมมุ ทีเ่ ท่ากบั ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ในแตล่ ะขอ้ ช่วงของ

arcsin x เม่อื −1 ≤ ≤ 1

1.arcsin(0) =0

2.arcsin(√22) =

4

3.arcsin(1) =

2

4.arcsin(1)=

26

5.arcsin(√23)= 3

ชว่ งของ arccos x เม่อื เม่อื −1 ≤ ≤ 1
1.arccos(0) =

2

2.arccos(√2) =

24

3.arcsin(1) =0

4.arcsin(1)=

23

5.arcsin(√23)= 6

11

ชว่ งของ arctan x เม่อื
1.arctan(0) =0
2.arctan(1)=

4

3.arcsin( 1 ) =

√3 6

4.arcsin(√3)= 3

ช่วงของ arccot x เม่อื
1.arccot(0) =

2

2.arctan(1)=

4

3.arcsin( 1 ) =

√3 3

4.arcsin(√3)= 6

ชว่ งของ arcsec x เม่อื ≤ −1 หรอื ≥ 1
1.arcsec(1)=0

12

2.arcsec(√2)= 2
3.arcsec(√23)= 6
4.arcsec(2)=

3

ช่วงของ arccosec x เม่อื ≤ −1 หรอื ≥ 1
1.arccosec(1)=

2

2.arcsec(√2)= 4
3.arcsec(√23)= 3
4.arcsec(2)=

6

13

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งฟังกช์ นั และตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั

1.sin(arcsin( )) = ; −1 ≤ ≤ 1 และ arcsin(sin( )) =
; − ≤ ≤

22

2.cos(arccos( )) = ; −1 ≤ ≤ 1 และ

arccos(cos( )) = ; 0 ≤ ≤

3.tan(arctan( )) = ; และ arctan(tan( )) =
; − < <

22

4.cot(arccot( )) = ; และ arccot(cot( )) = ; 0 <

<

5.sec(arcsec( )) = ; ≤ −1 หรือ ≥ 1 และ
arcsec(sec( )) = ; 0 ≤ < หรอื < ≤

22

6. ( ( )) = ; ≤ −1 หรือ ≥ 1 และ

( ( )) = ; − ≤ ≤ 0 หรือ 0 < ≤
2 2

14

ตวั อย่าง

1.sec (arcsec(√2) =
4

=2

√2

= √2

2.cos (arcsin (− √2)) = cos (− )

24

= √2

2

ความสมั พนั ธต์ วั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ

ตวั อย่าง

1. 2 ( 152)
= 2 ( 5 )

12

= (152)2
= 25

169

15

การแกส้ มการของตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

1.arcsin = 2 arctan

sin (arcsin ) = 2sin (arctan )
= 2 (√1+ 2)

(√1 + 2) = 2
2(1 + 2) = 4 2
2 + 4 = 4 2
4 − 3 2 = 0
2( 2 − 3) = 0
2 = 0
= 0
2 − 3 = 0
2 = 3

= √3

16

จงหาคา่ 17

1.arcsin(0)= 2.arcsin(√22)=
4.arccos(− 12)=
3.arcsin(-1)= 6.arctan(−√3)=
5.arccos(− √23)= 8.arccot(−1)=
7.arctan(√13)= 10.arcsec(√2)=
9.arccot(0)= 12.arcsec(-2)=
11.arcsec(− 2 )=

√3

18

13.arccosec(1)= 14.arccosec( 2 )=
15.arccosec(−√2)=
√3

19

20

จงหาค่า

1.arcsin (sin = (2 )) =

5

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

2.arccos (cos (− ) =

4

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

3.arcsin (tan (− 54 ) =
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

21

4.arccos(0) + arctan (−1) =

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

5.arcsin (tan (3 )) =

4

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

6.sin (arcsin 12 + 54) =
13

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

22

7.cos (2 4) =

5

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

8.arctan = 1

√3

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

9.sin (arcsin (12)) =
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

10.cos ( 4 − 7 ) =

5 25

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

23

แบบทดสอบหลงั เรยี น

24

แบบทดสอบหลงั เรียน เรือ่ ง ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ
คาชีแ้ จง: แบบทดสอบนเี้ ป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10
คะแนน
คาส่งั : ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทีถ่ กู ตอ้ งเพยี งค ตอบเดียว แลว้ ทาเครอ่ื งหมาย  ลงใน
ชอ่ ง ท่ตี รงกบั ตวั อกั ษร ก,ข,ค หรือ ง

1.arccos(− √22) มีคา่ ก่ีองศา
ก.30 องศา
ข.135 องศา
ค.45 องศา
ง. 120 องศา

2.arcsin1+arccos(-1) มีคา่ ก่ีองศา
ก.270 องศา
ข.180 องศา
ค.90 องศา
ง.45 องศา

25

3.18 2 (4 √13) มคี ่าเทา่ ไหร่
ก.12
ข.22
ค.23
ง.24

4.sin(2 √3) − tan(3 √2) มคี า่ เทา่ ไหร่

ก.3√2

ข.−√2

ค.√3 − 1

2

ง.√3 + 1

2

5. 2 ( 43) มคี ่าเทา่ ไหร่

ก.16

9

ข.4

3

ค.16

25

26

ง.16

5

6. 3 ( √23) มีค่าเท่าไหร่
ก.3√3

ข.3√3

8

ค.√3

ง.−3√2

7. 2 = 3 จงหาค่า
2

ก.6

4

ข.1

3

ค.1

2

ง.2

3

8.sin ( 34) = cot (arcsin ) จงหาค่า

ก. 3

4

27

ข.− √25
34

ค.√25

34

ง.√−3

4

9.arcsin = 2 arctan จงหาค่า

ก.√3

ข.−√3

ค.√2

ง.−√2

10.arcsin (cos (arctan (√13))) มคี า่ เทา่ ไหร่
ก.√3

ข. 1

√3

ค.

3

ง.

28

กระดาษคาตอบ แบบทดสอบหลงั เรียน
เรอ่ื ง ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

ชื่อ-นามสกลุ ..............................................................................ชนั้ ...............เลขท่ี.............

คาชแี้ จง คาชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นทาเคร่อื งหมาย (x) ลงในชอ่ งทถี่ กู ตอ้ งทสี่ ดุ เพียงขอ้ เดยี ว

ขอ้ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

สรุปคะแนนสอบ

คะแนนเต็ม 10
คะแนนท่ไี ด้

29

30

กระดาษคาตอบ แบบทดสอบก่อนเรยี น
เรื่อง ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ

ชื่อ-นามสกลุ ..............................................................................ชนั้ ...............เลขท่ี.............

คาชแี้ จง คาชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นทาเครือ่ งหมาย (x) ลงในช่องที่ถกู ตอ้ งท่สี ดุ เพียงขอ้ เดียว

ขอ้ ก ข ค ง
1x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
9x
10 x

สรุปคะแนนสอบ

คะแนนเต็ม 10
คะแนนทไ่ี ด้

31

32

จงหาคา่ 2.arcsin(√22)= 4

1.arcsin(0)= 0

3.arcsin(-1)= − 4.arccos(− 12)=23
2

5.arccos(− √23)=56 6.arctan(−√3)=−
3

7.arctan(√13)= 6 8.arccot(−1)= 3
9.arccot(0)= 4

2 10.arcsec(√2)= 2

11.arcsec(− √23)=56 12.arcsec(-2)= 2

3

13.arccosec(1)= 33

2 14.arccosec( 2 )=

√3 3

15.arccosec(−√2)= −
4

34

35

จงหาค่า

1.arcsin (sin = (2 )) = 2

55

2.arccos (cos (− ) = −

44

3.arcsin (tan (− 5 ) = arccos(−1)

4

=

4.arccos(0) + arctan (−1) = − (− 4 )
2

= 2 −

44

=

4

5.arcsin (tan (34 )) = arcsin(−1)
= −

2

36

6.sin (arcsin 12 + 4)
13
5

= sin (arcsin 12)cos ( 4) cos ( 12) sin ( 4)
13 5 13 5

= (12) (3) + ( 5 ) (4)
13 5 13 5

= 36 + 20

65 65
= 56

65

7.cos (2 54) = 2 2 ( 54) − 1

=2 (452) − 1

=2 (1256) − 1

=82 − 25
25
25

=7

25

37

8.arctan = 1
√3

tan(arctan ) = tan ( √3)

= √3

9.sin (arcsin (1)) = 1

22

10.cos ( 4 − 275)
5

=cos ( 4) cos ( 7 ) +

5 25

sin ( 4) sin ( 7 )

5 25

=(54) (275) + (35) (2254)

= 28 + 72

125 125

=100

125

=4

5

38

เฉลย
แบบทดสอบหลงั เรยี น

39

กระดาษคาตอบ แบบทดสอบหลงั เรยี น
เร่ือง ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

ชื่อ-นามสกลุ ..............................................................................ชนั้ ...............เลขท่ี.............

คาชแี้ จง คาชแี้ จง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย (x) ลงในช่องที่ถกู ตอ้ งที่สดุ เพียงขอ้ เดยี ว

ขอ้ ก ข ค ง
1x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
9x
10 x

สรุปคะแนนสอบ

คะแนนเตม็ 10
คะแนนทไ่ี ด้

40

อา้ งองิ

https://rangsiyablog.wordpress.com

https://web.facebook.com/extramathsDD