Module & More Add Math Tg 5

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri (f) sin (2x − 10°) = 0.681

(e) tan (x + 30°) = 2.15 y

y

BAB 6 65Њ3Ј 65Њ3Ј x 42Њ55Ј 42Њ55Ј x

tan (x + 30) = 2.15 sin(2x – 10°) = 0.681
x + 30 = 65° 3’, 245° 3’ (2x – 10°) = 42° 55’, 137° 5’
x = 35° 3’, 215° 3’ 402° 55’, 497° 5’
2x = 52° 55’, 147° 5’
(g) sin 2x = 0.782 412° 55’, 507° 5’
3 x = 26° 28’, 73° 32’, 206° 28’
253° 32’
y
(h) 2 kos (x − 25°) = 1.567

2 cos(x – 25°) = 1.567

y

51Њ27Ј 51Њ27Ј x 38Њ25Ј x
38Њ25Ј

sin 2x = 0.782 2 kos(x – 25°) = 1.567
3 kos(x – 25°) = 0.7835
= 51° 27’, 128° 33’ x – 25° = 38° 25’, 321° 35’
x = 63° 25’, 346° 35’
x = 77° 11’ , 192° 50’

20. Selesaikan yang berikut dengan rumus yang sesuai.

Solve the following by using the suitable formulae. TP 4

CONTOH

Diberi sin A = 4 dan tan B = 1, dengan Penyelesaian: y
5
90° ≤ A ≤ 180° dan 180° ≤ B ≤ 270°. Cari nilai (i) sin (A − B) 5

4 = sin A kos B − kos A sin B 4 A
5 = –1 ) – –1 –3
Given that sin A = and tan B = 1, where 4 ( 2 ( –3 )( –1 ) x
5 5 2 y x
90° ≤ A ≤ 180° and 180° ≤ B ≤ 270°. Find the value –1
= –7
of 52 B

(i) sin (A − B) √2

(ii) kos/ cos 2A (ii) kos 2A = 1 − 2 sin2 A

(iii) tan (A + B)  2 cos 2A =1−2 4 2
= – 275 5



148

(iii) tan (A + B) = tan A + tan B   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri 
1 – tan A tan B
Tip
= 4 + 1 BAB 6
–3 1 1. Lakar dan tempatkan sudut dalam sukuan yang betul.
Sketch and place the angles in the right quadrants.
1 –  4 2 2. Lengkapkan sisi segi tiga yang dibina dengan teorem
–3
= – 17 Pythagoras.
Complete the sides of the triangles with Pythagoras

theorem.
3. Gunakan rumus yang sesuai.
Use the correct formula.

(a) Diberi kos A = – 35 dan sin B = – 153, (b) Diberi sek A = 13 dan kot B = −1, dengan
dengan 90° ≤ A ≤ 180° dan 180° ≤ B ≤ 270°. 12

Cari nilai 0° ≤ A ≤ 90° dan B ialah 90° ≤ B ≤ 180°. Cari
Given that cos A = – 53 and sin B = – 153 , where
nilai 13
90° ≤ A ≤ 180° and 180° ≤ B ≤ 270°. 12
Find the value of Given that sec A = and cot B = −1, where

(i) kos/ cos (A + B) 0° ≤ A ≤ 90° and B is 90° ≤ B ≤ 180°. Find the value
of
(ii) sin 2A
(i) tan (A − B)
(iii)  tan (A − B)
(ii) tan 2A

(iii) kosek/ cosec (A + B)

( i) ==kos56 –56(A35 + B) = kos A kos B – sin A sin B (i) tan (A – B) = tan A – tan B
1 + tan A tan B
2 – 11322 –  4 2– 1532 4 5 y
5 5
12 – (–1)

–3 A = 1 +  5 2(–1)
–12 12
(ii) sin 2A = 2 sin A kos A –5 x

= 2 4 2– 53 2 = – 24 13 = 17 y
5 25 7

(iii) tan (A – B) = tan A – tan B (ii) tan 2A = 2 tan A 13 5
1 + tan A tan B 1 – tan2 A x
5 √2 A
2 12 2 1 B 12

– 34 –  5 2 = 25 –1
12 144
1–
=  – 34 2 5 2
1 + 12 = 11119 = 120
119

= – 3 15 (iii) kosek (A + B)
16
= 1
sin (A + B)

sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B
=
 5 2– 1 2+  12 2 1 )
13 2 13 2

= 7
13 2
13 2
= kosek (A + B) = 7

149

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri (d) Diberi tan A = 1 , dengan 180° ≤ A ≤ 270°.
p
(c) Diberi kos A = p, dengan 270° ≤ A ≤ 360°. Cari
dalam sebutan p, Cari nilai dalam sebutan p,
1
BAB 6 Given cos A = p, where 270° ≤ A ≤ 360°. Find in Given tan A = p , where 180° ≤ A ≤ 270°. Find the
terms of p,
value in terms of p.
(i) kos/ cos 2A
(ii) tan A (i) sin A
(iii) kos/ cos 4A

(ii) sin 2A

y (iii) tan 1
p p
x
A √1–p2 y

1 –p x
A

–1

√1+p2

(i) kos 2A = 2 kos2A – 1
cos 2A = 2 cos2A – 1

= 2p2 – 1 –1
(i) sin A = 1 + p2
(ii) tan A = 1 – p2
p
(ii) sin 2A = 2 sin A kos A
(iii) kos 4A = kos 2(2A) –1 –p
cos 4A = cos 2(2A) 1 + p2 1 + p2
= 2( )( )
= 2 kos22A –1
2p
= 2[2p2 – 1]2 – 1 = 1 + p2

= 2[4p4 – 4p2 + 1] – 1 A
2
= 8p4 – 8p2 + 1 (iii) tan

2tan A
2
tan A =
A
1 – tan2 2

2tan A
1p = 2

1 – tan2 A
2

1 – tan2 A = 2ptan A
2 2

tan2 A + 2p tan A – 1= 0
2 2

A = –2p ± 4p2 – 4(–1)
tan 2 2

= –2p ± 4p2 + 4
2

= –p ± p2 + 1

150

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri 

21. Selesaikan yang berikut untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Solve the following for 0° ≤ x ≤ 360°. TP 4

CONTOH (a) kot x + kos x = 0 BAB 6

cot x + cos x = 0

2 sin x kos x = sin x kot x + kos x = 0

2 sin x cos x = sin x

Penyelesaian: kos x + kos x = 0
sin x
2 sin x kos x – sin x = 0
kos x[1 + sin x] = 0
sin x (2 kos x − 1) = 0
1 sin x ialah faktor kos x = 0
sin x = 0, kos/ cos x = 2 sepunya yang
tidak boleh sin x = –1
Untuk/For sin x = 0 dibatalkan.
sin x is a x = 90°, 270°
x = 0°, 180°, 360° common factor
1 which cannot be
Untuk/For kos/ cos x = 2 cancelled.

x = 60°, 360° − 60°

= 60°, 240°

Maka/Hence x = 0°, 60°, 180°, 240°, 360°

(b) 2 kos2x − 1 = sin x (c) 2 sek2x = 5 tan x

2 cos2x − 1 = sin x 2 sec2x = 5 tan x

2 kos2x – 1 = sin x 2 sek2 x = 5 tan x

2[1 – sin2 x] – 1 = sin x 2 = 5 sin x
kos2 x kos x
2 sin2 x + sin x – 1 = 0

(2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0 2 kos x = 5 sin x kos2 x

sin x = 1 kos x[2 – 5 sin x kos x] = 0
2
kos x = 0 2 = sin x kos x
sin x = –1 5 0.8
4
x = 30°, 150°, 270° sin 2x = 5 =

x = 90°, 270° 2x = 53° 8’, 126° 52’

413° 8’, 486° 52’

x = 26° 34’, 63° 26’

206° 34’, 243° 26’

(d) 4 tan 2x = 9 tan x (e) 5 sin x kos x − 5 sin x − 2 kos x = −2

5 sin x cos x − 5 sin x − 2 cos x = −2

4 tan 2x = 9 tan x 5 sin x kos x – 5 sin x – 2 kos x + 2 = 0

8 tan x = 9 tan x 5 sin x[ kos x – 1] – 2[kos x – 1] = 0
1 – tan2x
(kos x – 1)(5 sin x – 2) = 0
8 tan x = 9 tan x – 9 tan3 x
2
9 tan3x = tan x kos x = 1 sin x = 5

tan x[9 tan2x – 1] = 0 x = 0°, 360°, 23° 35’, 156° 25’

tan x = 0 tan x = ± 1
3

x = 0, 180°, 360° x = 18° 27’, 161° 34’, 198° 27’,

341° 34’

151

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri (g) 3 sin x + 3 kos x + 1 =0
sin x – kos x
(f) 3 kos x = 5 sin x

3 cos x = 5 sin x

BAB 6 3 sin x + 3 cos x + 1 =0
sin x – cos x

3 kos x = 5 sin x 3 sin x + 3 kos x + 1 x = 0
1 – kos
3 = tan x sin x
5
3 [sin x + kos x][sin x – kos x] + 1 = 0

x = 30° 58’ 210° 58’ 3[sin2x – kos2x] + 1 = 0

3[sin2x – (1 – sin2x)] + 1 = 0

3[2 sin2x – 1] + 1 = 0

6 sin2x – 2 = 0

sin2x = 1
3

sin x = ± 1
x = 35° 16’, 144° 44’ 3

= 215° 16’, 324° 44’

(h) 3 sin2 x = 8 sin x kos x + 3 kos2 x (i) sin2 x = 1 – 2 kos2 x

3 sin2 x = 8 sin x cos x + 3 cos2 x sin2 x = 1 – 2 cos2 x

3 sin2x = 8 sin x kos x + 3 kos2x sin2x = 1 – 2 kos2x
= 1 – 2[1 – sin2x]
3 sin2x – 8 sin x kos x – 3 kos2x = 0 = –1 + 2 sin2x
sin2x = 1
(3 sin x + kos x)(sin x – 3 kos x) = 0 sinx = ± 1
x = 90°, 270°
3 sin x = –kos x tan x = 3,

tan x = – 31 , x = 71° 34’, 251° 34’

x = 161° 34’, 341° 33’

22. Selesaikan soalan yang berikut.

Solve the following questions. TP 5

CONTOH

Satu titik P(x, y) bergerak pada lilitan satu bulatan berpusat O yang mempunyai y
P(x, y)
persamaan x2 + y2 = 400. Pada sebarang kedudukan, OP akan membuat satu
␪ x
sudut θ dengan paksi-x. Satu garis mengufuk dan mencancang yang melalui P O

akan dilukis dan disambung oleh diameter seperti dalam rajah.

A point P(x, y) moves along a circle with centre O whose equation is x2 + y2 = 400.
At any position, OP will make an angle θ with the x-axis. A horizontal and a vertical line
is drawn through P and are joined by the diameter of the circle as shown in the diagram.

Cari satu ungkapan bagi luas segi tiga itu dalam sebutan θ.

Find an expression for the area of the triangle in terms of θ.

y

A P(x, y)

20 y x
␪
Ox

B

152

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri 

x2 + y2 = 400 Tetapi sin θ = y , kos θ = x
x2 + y2 = 202 20 20
Maka, jejari OP = 20 unit
Paksi-y ialah ∴ y = 20 sinθ, x = 20 kosθ
Hence, radius OP = 20 units pembahagi dua
sama serenjang. luas = 2xy BAB 6
Panjang AP / Length of AP = 2x y-axis is a
Panjang PB / Length of PB = 2y perpendicular = 2(20 sinθ)(20 kosθ)
bisector
= 400(2 sinθ kosθ)

Luas ∆APB = 1 (2x)(2y) = 400 sin 2θ
2
Area
= 2xy

(a) Rajah menunjukkan sebuah semibulatan (b) Rajah menunjukkan satu y

dengan pusat O dan mempunyai persamaan titik P(x, y) yang bergerak Q P(x, y)
2x = y
x2 + y2 = 16. P(x, y) ialah satu titik yang supaya OP sentiasa 5 unit. =

bergerak pada lilitan dan OP membuat sudut θ The diagram shows a point ␪␪ x
P(x, y) which moves so that Ox
dengan paksi-x. Pada mana-mana kedudukan, OP is always 5 units.

satu segi empat dapat dilukis. (i) Cari persamaan

The diagram shows a semicircle with centre O and lintasan OP.
have an equation of x2 + y2 = 16. P(x, y) is a point Find the equation of the
moving on the circumference and OP makes an
angle θ with the x-axis. At any positions, a rectangle path OP.
can be drawn.
(ii) Pada suatu ketika, OP membuat sudut θ
Cari / Find
dengan paksi-x dan satu garis mengufuk
(i) satu ungkapan bagi luas yang berlorek
dilukis untuk menyilang lintasan pada Q.
dalam sebutan θ.
Cari satu ungkapan bagi luas yang dibatasi
an expression for the area of the shaded region
in terms of θ. oleh lintasan dan garis lurus mengufuk itu

(ii) luas apabila θ = 30°. dalam sebutan θ.

the area when θ = 30°. At one time, OP makes an angle of θ with the

x-axis and a horizontal line is drawn to intersect

the path at Q. Find an expression of the area

(i) Q(–x, y) enclosed by the path and the horizontal line in

P(x, y) the terms of θ.

4y (iii) Seterusnya, cari luas apabila θ = 15°.
␪
R O xS Then, find the area when θ = 15°.

(i) P(x, y)

x2 + y2 = 16 OP = 5

Maka OP = 4 OP2 = 52

luas berlorek x2 + y2 = 52

= luas semibulatan – luas PQRS x2 + y2 = 25
=
1 QOP = 180° – 2θ
2
π(4)2 – (2x)(y) (ii) luas berlorek = luas sektor – luas ∆QOP

sin θ = y , kos θ = x = (180° – 2θ) × p(5)2 – 1 (2x)y
4 4 360° 2
(90° – θ)
∴ luas berlorek = 8π – 2(4 sin q)(4 kos q) = 25 180° π – xy

= 8π – 16 sin 2q x = 5 kos θ, y = 5 sin θ

(ii) Apabila/When q = 30°. luas berlorek = 5 (90° – θ)p – 25 sin θ kos θ
36
Luas/Area = 8p − 16 sin 2(30°)

= 8p − 16 3 (iii) Apabila θ = 15° 5 25
2 36 2
luas berlorek = [90° – 15°]p – sin 30°
= 8p − 8 3
= 32.72 – 6.25

= 26.47 unit2

153

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri SPM 16

PRAKTIS

BAB 6 Kertas 1 4. Diberi sin x = k, dengan keadaan k ialah satu
pemalar, dan 0° ≤ x ≤ 360°.
1. Selesaikan persamaan sin 2x + sin x = 0 untuk
0° ≤ x ≤ 360°. 2017 Ungkapkan dalam sebutan k.

2014 Solve the equation sin 2x + sin x = 0 for 0° ≤ x ≤ 360°. Given that sin x = k, where k is a constant, and
0° ≤ x ≤ 360°. Express in terms of k.
sin 2x + sin x = 0 y
2 sin x kos x + sin x = 0 (a) kos/ cos (180° – x)
sin x[2 kos x + 1] = 0 2 (b) kosek/ cosec 2x
60Њ
sin x = 0 ; 1 x (a) kos(180° – x)
x = 0°, 180°, 360°,
kos x = – 21 = kos 180° kos x + sin 180° sin x
x = 120°, 240°
= –kos x = – 1 – k2 y

(b) kosek 2x = 1 1 k
sin 2x
x
= 2k 1 √1–k2 x
1 – k2

2. Diberi tan x = 5 dan 180° ≤ x ≤ 270°, cari nilai
sin(x − 45°). 12

2015 5
12
Given tan x = and 180° ≤ x ≤ 270°, find the value of

sin (x − 45°). Kertas 2

sin (x – 45°) y 1. (a) Buktikan kot2x = 1 kos 2x + 1 .
1 – kos2x 2 2
= sin x kos 45° – kos x sin 45° –12
x x 2017 Prove that cot2x = 1 cos 2x + 1 .
= sin x cos 45° – cos x sin 45° 1 – cos2x 2 2
–5
= 1  –5 2 – 1  –12 2 13 (b) Seterusnya, selesaikan persamaan kot2x
2 13 2 13 – kos2x
1
7 = 3 untuk 0° ≤ 360°
= 13 2 4 ≤x

Then, solve the equation cot2x = 3 for
1 – cos2x 4
0° ≤ x ≤ 360°.
3. Selesaikan persamaan 3 kos x – kosek x + 2 = 0 y = 1 kos 2x + 1 untuk
(c) (i) Lakar graf bagi 2 2
0 ≤ x ≤ 2π.

2016 untuk 0° ≤ x ≤ 360° cos x – cosec x + 2 = 0 for Sketch the graph of y = 1 cos 2x + 1 for
2 2
Solve the equation 3
0° ≤ x ≤ 360° for 0° ≤ x ≤ 360°
0 ≤ x ≤ 2π.

(ii) Seterusnya, dengan paksi yang sama,

3 kos x – kosek x + 2 = 0 lakarkan garis yang sesuai untuk mencari
1
3 kos x – kos x +2=0 bilangan penyelesaian bagi persamaan

3 kos2x + 2 kos x – 1 = 0 3π( 1 kot2x ) − 2x = 0. Nyatakan
– kos2x
[3 kos x – 1][kos x + 1] = 0
bilangan penyelesaian.
1
kos x = 3 ; –1 Then, use the same axes, sketch a suitable line

to find the number of solutions for the equation
cot2x
x = 70° 32’, 289° 28‘, 180° 3π( 1 – cos2x ) − 2x = 0. State the number of

solutions.

154

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri 

(a) kot2 x = 1 kos 2x + 1 (a) tan(x + 45°) + tan(x – 45°) = 2 tan 2x
1 – kos2 x 2 2
Sebelah kiri = tan x + 1 tan x – 1
Sebelah kiri = kot2 x 1 – tan x + 1 + tan x
sin2 x Left side
Left side BAB 6

= kos2 x ÷ 1 = (1 + tan x)2 – (1 – tan x)2
sin2 x sin2 x 1 – tan2 x

= kos2 x 1 + 2 tan x + tan2 x – 1 +

Tetapi kos 2x = 2kos2 x – 1 = 2 tan x – tan x
1 – tan2 x
kos2 x = kos 2x + 1
2 = 2(2 tan x)
1 – tan2 x
= 1 kos 2x + 1
2 2 = 2 tan 2x

(b) 1 kos 2x + 1 = 3 y (b) 2 tan 2x = 1
2 2 4 2 2

kos 2x = 1 60Њ tan 2x = 1
2 01 4

2x = 60°, 300°, 420°, 660° x 2x = 14° 2’, 194° 2’,

x = 30°, 150°, 210°, 330° 274° 2’, 554° 2’

(c) (i) y = 1 kos2x + 1 x = 7° 1’, 97° 1’, 137° 1’, 277° 1’
2 2
(c) y = 1 [tan(x + 45°) + tan(x – 45°)] + 1
y 1 1 2
y = 2 kos 2x + 2
1
y = 1 cos 2x + 1 y = 2x y = 2 [2 tan 2x] + 1
2 2 3␲
1
1 = tan 2x + 1

2 x
2␲
0␲

y
3π(
1 kos 2x + 1 ) = 2x
2 2
1
1 kos 2x + 1 = 2x 0 ␲x
2 2 3π
2x
y = 3π x = 0, y = 0

x= π, y= 2
3
3 penyelesaian/solutions

2. (a) Tunjukkan bahawa tan (x + 45°) + tan 3. (a) (i) Buktikan bahawa sek A – 1 = tan A .
tan A 2
(x − 45°) = 2 tan 2x.
2019 Prove that sek A – 1 = tan A .
2018 Show that tan (x + 45°) + tan (x − 45°) = 2 tan 2x. tan A 2

(b) Seterusnya, selesaikan persamaan tan

(x + 45°) + tan (x − 45°) = 1 untuk (ii) Seterusnya, tanpa menggunakan
2
0° ≤ x ≤ 360°. 1
Then, solve the equation tan (x + 45°) + kalkulator, cari nilai tan 22 2 °. Beri
jawapan dalam bentuk surd.
tan (x − 45°) = 1 for 0° ≤ x ≤ 360°.
2 Then, without using a calculator, find the value

(c) Lakar graf y = 1 [tan (x + 45°) + tan (x − 45°)] + 1 of tan 22 1 °. Give your answer in surd form.
2 2

untuk 0 ≤ x ≤ π. (b) (i) Lakar graf bagi y = tan x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Sketch the graph of y = tan x for 0 ≤ x ≤ 2π.
Sketch the graph of y = 1 [tan (x + 45°) +
2 (ii) Seterusnya, dengan paksi yang sama,

tan (x − 45°)] + 1 for 0 ≤ x ≤ π. lakarkan garis yang sesuai untuk mencari

155

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 6 Fungsi Trigonometri

bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 2 21 = sek 45° – 1
x tan 45°
kot x (sek x − 1) = − π . Nyatakan bilangan (ii) tan
2
penyelesaian. 1
BAB 6 = kos 45° –1 = 2 –1
Then, with the same axes, sketch a suitable line

to find the number of solutions for the equation
x x (b) (i) & (ii)
cot 2 (sec x − 1) = – π . State the number of
y
solutions. y = tan x

(a) (i) sek A – 1 = tan A x
tan A 2 0 ␲ 2␲

Sebelah kiri y = – x
Left side ␲

1 – 1 1 – kos A kot x [sek x– 1) = – x
= kos A sin A 2 π
=
sin A = 1 – [1 – ∴seytak=nx––2x πx1 x
π
kos A 2 sin2 A ] = tan x = –
2

A A
2 sin 2 kos 2

A x = 0, , y = 0
2
sin A x = π, y = –1
2
= A = tan 3 penyelesaian/solutions Praktis
2 SPM
kos Ekstra

Sudut KBAT KBAT

Ekstra

Diberi sin(A – B) = 3 . 2 sin A kos B = 8 kos A sin B
sin(A + B) 5 sin A kos B = 4 kos A sin B

Given that sin(A – B) = 3 . (b) (i) tan B = 1
sin(A + B) 5 2

(a) Tunjukkan bahawa sin A kos B = 4 kos A sin B. ksions A = 4 tan B
Show that sin A cos B = 4 cos A sin B. A
1
(b) Jika tan B = 1 , cari nilai = 4 2 2 = 2
2
tan A = 2
If tan B = 1 , find the value of
2 2 tan A
(ii) tan 2A = 1 – tan2 A
(i) tan A

(ii) tan 2A = 2(2) = 4
1–4 –3
(a) sin(A – B) = 3
sin(A + B) 5

5[sin A kos B – kos A sin B]

= 3[sin A kos B + kos A sin B]

Quiz 6

156

BAB   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear  BAB 7

7 Pengaturcaraan Linear

Linear Programming

7.1 NOTMLAinoeIdMareBPlArPoSegrAnagNmamtuinrgcMaroadaeln Linear y

NOTA IMBASAN

1. Suatu garis lurus y = mx + c pada satah Cartes membahagikan kawasan kepada dua bahagian.
A straight line y = mx + c on a Cartesian plane divides the region into two parts.

yyy

x x x x
0 0 0 0

y > mx + c y < mx + c y ≤ mx + c y ≥ mx + c
Rantau di atas garis Rantau di bawah garis Rantau di bawah garis Rantau di atas garis
y = mx + c. y = mx + c. y = mx + c dan termasuk y = mx + c dan termasuk
The region above the line The region below the line garisan y. garisan y.
y = mx + c. y = mx + c. The region below the line The region above the line
y = mx + c including the line y = mx + c including the line
itself. itself.

2. Suatu rantau yang memuaskan satu sistem ketaksamaan boleh diwakili pada satu graf.
A region that satisfies a system of inequalities can be represented on a graph.

1. Lorekkan rantau yang ditakrifkan oleh ketaksamaan bagi setiap yang berikut.

Shade the region defined by the inequality for each of the following. TP 1

CONTOH (a) x + 2y ≥ 5 (b) 1 + x − 3y ≤ 0
y < −3x + 2 1 + x ≤ 3y
Penyelesaian: y
y
y

2 0x 0x
0x

157

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear

BAB 7 2. Bagi setiap rantau berlorek, cari persamaan garis lurus dan seterusnya nyatakan ketaksamaan yang
mentakrifkan rantau itu.

For each of the shaded regions, find the equation of the line and then state the inequality that define the shaded region.

TP 2

CONTOH (a) y (b) y

y

4 (–4, 5)

02 x x 0x
–3 (4, –2)
0
m = 5 − (−2) = – 78
y=4 −4 − 4
Penyelesaian: y>4
y = – 87 x + c
Kecerunan/Gradient,

m= 3 , c = −3 c= 3
2 2
3
y= 2 x − 3 y= – 78 x + 3
2
3 − 3
y≤ 2 x y≤ – 78 x + 3
2
2y ≤ 3x − 6

3. Lorek dan tandakan rantau R yang memuaskan ketaksamaan linear yang berikut.

Shade and mark the region R that satisfies the following linear inequalities. TP 3

CONTOH (a) x < 4, 2y ≤ 4x − 1, 2 ≤ x + 2y
2y – 2x ≤ 5, 2y – x + 4 > 0, x + y ≥ −4

y 2y – 2x ≤ 5 Tip y 2y ≤ 4x – 1
R
x + y ≥ –4 2y – x + 4 > 0 Susun ketaksamaan
x semula supaya
hanya sebutan y 2 ≤ x + 2y
0 dalam satu belah.
Rearrange the R x
inequalities so that 0
the y-term is on
one side. x<4

Penyelesaian:

2y – 2x ≤ 5, 2y ≤ 2x + 5 (di bawah garis ini)
(below the line)

2y – x + 4 > 0, 2y > x − 4 (di atas garis ini)
(above the line)

x + y ≥ −4, y ≥ −x − 4 (di atas garis ini)
(above the line)

158

(b) 3x − 2y ≥ −5, x + y < 10, 2y + 3x + 2 > 0   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear 

(c) x + 2y ≥ 4, x ≤ y, x ≥ −1

y y BAB 7
R
x + y < 10 3x – 2y ≥ –5 x ≥ –1
x + 2y ≥ 4
x≤y
0R x 0 x
2y +3x + 2 > 0

4. Bina dan lorek rantau R yang memenuhi ketaksamaan linear yang diberi.

Construct and shade the region R that satisfies the given inequalities. TP 3

CONTOH

2y ≥ x, y − 2x < 2, −y − 2x + 4 > 0 2y ≥ x , y ≥ 1 x (Di atas garis ini)
2
Penyelesaian: (Above the line)

y y – 2x < 2 y − 2x < 2, y < 2x + 2 (Di bawah garis ini)
–y – 2x + 4 > 0 (Below the line)

−y − 2x + 4 > 0, −2x + 4 > y

4 (Di bawah garis ini)

(Below the line)

2 2y ≥ x
R x

0

(a) x ≥ 1 − 2y, −2 ≤ y, −x ≥ −4 (b) x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 60, (c) y ≥ −3x − 15, 2y + x ≥ −12,
x + 4y ≤ 100 y ≥ 4x − 12, y ≤ 5

y y y
x + y ≤ 60
x ≥ 1 – 2y

R y ≥ –3x – 15
0
–x ≥ –4 R x + 4y ≤ 100 y≤5 2y + x ≥ –12
x 0 0R x

x y ≥ 4x – 12

–2 ≤ y

159

BAB 7   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear

5. Daripada rajah berikut, tuliskan persamaan garis lurus yang terlibat dan seterusnya nyatakan semua
ketaksamaan yang mentakrifkan rantau yang berlorek.

From the following diagram, write the equation of the lines and then state all the inequalities that define the shaded region.

TP 3

CONTOH (a)

y

y 4
6 3
2
4 1

–2 –1 0 x
–1
2 –2 123

x

–2 0 24 68

Penyelesaian: y ≤ 3x + 3

y ≤ 4 y ≥ – 34 x + 4

y ≥ 1 x 1
2 2
y≥ x −1
x ≥ 0

x+y≤6

(b) (c)

y y
6
6
5 4
4
3 2
2
1 x

0 x 0 24 68
–1 –1
–2 –1 123

x≥0 y + x ≥ 4
3x + 2y ≤ 12
x≤2 x + 2y ≤ 8

y≥ 2 x
3

y ≤ 2x + 2

160

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear 

7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear

Application of Linear Programming

NOTA IMBASAN BAB 7

1. Pengaturcaraan linear merupakan satu penggunaan ketaksamaan linear.
Linear programming is one of the used of the linear inequalities.

2. Setiap ketaksamaan dalam sistem yang diberi dikenali sebagai kekangan.
Every inequality in the given system is known as a constraint.

3. Pada amnya, kekangan dalam pernyataan matematik adalah seperti berikut.
In general, the constraints in mathematical statements are as follows.

Kekangan dalam pernyataan matematik Tatatanda ketaksamaan linear
Constraints in the mathematical statements Linear inequality notation

y tidak lebih daripada x. y≤x
y is not more than x.

y tidak kurang daripada x. y≥x
y is not less than x.

y adalah sekurang-kurangnya k kali x. y ≥ kx
y is at least k times x.

y iasNdaOat mlaTohAsstekIMlteimbBiehAs-xlSe. bAihNnya k kali x. y ≤ kx
y

Nilai maksimum x ialah k. x≤k
The maximum value of x is k.

Nilai minimum x ialah k. x≥k
The minimum value of x is k.

y melebihi x sekurang-kurangnya k. y−x≥k
y exceeds x by at least k.

Nisbah y kepada x adalah tidak lebih daripada h : k. y ≤ h
The ratio of y to x is not more than h : k. x k

4. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear.
Steps to solve the linear programming problems.

(i) Tafsirkan masalah tersebut dan tentukan kedua-dua pemboleh ubah, x dan y.
Interpret the problem and determine the two variables, x and y.

(ii) Bentukkan ketaksamaan atau persamaan mengikut kekangan.
Form the inequalities or equations according to the constraints.

(iii) Lukis dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan.
Draw and shade the region R that satisfies all the constraints.

(iv) Tentukan fungsi optimum yang diperlukan.
Determine the optimum function if required.

161

BAB 7   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear

6. Daripada rajah yang diberi, jawab soalan yang berikut.

From the given diagram, answer the following questions. TP 3
CONTOH

Dalam rajah, rantau R diberi. Cari nilai dalam rantau yang dilalui ialah nilai minimum
maksimum dan minimum bagi x + y, dan titik terakhir dilalui ialah nilai maksimum.
dengan keadaan x dan y adalah integer yang
memuaskan rantau berlorek itu. Suppose x + y = k, where k is a constant. Draw a straight
line with the gradient equals to x + y = k, that is m = −1 as
In the diagram, the region R is given. Find the shown. When the line is slide towards the region, the first
maximum and the minimum value for x + y, point it crosses is the minimum point and the last point it
where x and y are integers which satisfy the shaded crosses is the maximum point.
region.
Maka titik pertama = (2, 4) dan titik terakhir
y = (4, 5).

6 Hence the first point = (2, 4) and the last point = (4, 5).

4R Nilai minimum / Minimum value = 2 + 4 = 6
Nilai maksimum / Maximum value = 4 + 5 = 9
2
Tip
0 24 6 x
Biasanya, salah satu koordinat bagi bucu-bucu rantau
Penyelesaian: adalah penyelesaian jawapan jika koordinat-koordinat
Katakan x + y = k, dengan k ialah pemalar. adalah integer.
Lukis satu garis lurus dengan kecerunan Normally, one of the coordinates for the vertices of
sama dengan x + y = k, iaitu m = −1 seperti the region is the answer solution if the coordinates are
ditunjukkan. Apabila garis ini dianjakkan integers.
merentasi rantau berlorek, titik pertama Contoh/Example
(2, 4) memberi nilai k = 6 ialah minimum.
(6, 2) memberi nilai k = 8 sahaja, dan (4, 5) memberi
k = 9. ( maks)
(4, 4) dalam rantau berlorek juga memberi jawapan
k = 8.
(4, 4) in the shaded region also give the answer k = 8

(a) Dalam rajah rantau berlorek R dan fungsi objektif y + 2x = k diberi. Berdasarkan rantau berlorek, cari

nilai minimum dan maksimum k.

In the diagram of the region R and the objective function y + 2x = k is given. Based on the shaded region, find the
minimum and the maximum value of k.

y Pada (−2, 2) ialah titik minimum, maka

5 At (−2, 2) is a minimum point, hence

4 k = 2 + 2(−2) = −2
Pada (4, 5) ialah titik maksimum, maka
3
R At (4, 5) is a maximum point, hence

2 k = 5 + 2(4) = 13

1

-2 -1 0 1 2 34 x

162

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear 

(b) Dalam rajah, rantau berlorek R dan fungsi objektif 2y + x = k diberi. Berdasarkan rantau berlorek , cari BAB 7

nilai minimum dan maksimum k.

In the diagram, the region R and the objective function 2y + x = k is given. Based on the shaded region, find the
minimum and the maximum value of k.

y Pada (3, 1) ialah titik minimum. Maka,

5 k = 2(1) + 3 = 5.
4
Tidak wujud titik maksimum kerana garis lurus
R
3 boleh dianjak merentas rantau yang tidak ada
2
1 had.
0 1 2 3 4x
At (3, 1) is a minimum point. Hence, k = 2(1) + 3 = 5.
There is no maximum point because the straight lines

can be moved across an unlimited region.

7. Bentukkan ketaksamaan yang memuaskan semua kekangan yang diberi dalam setiap situasi yang berikut.

Form the inequalities that satisfy all the given constraints in each of the following situations. TP 3

CONTOH

Jumlah peserta dalam suatu pertandingan Penyelesaian:
pidato tidak kurang daripada 20. Bilangan Katakan bilangan orang lelaki ialah x dan bilangan
orang lelaki mesti sekurang-kurangnya 10 dan orang perempuan ialah y.
bilangan orang perempuan melebih bilangan
orang lelaki sebanyak tidak lebih daripada 2. Let the number of boys be x and the number of girls be y.
Tulis satu set ketaksamaan yang memuaskan
kekangan yang diberi selain daripada x ≥ 0 dan I Jumlah orang tidak kurang daripada 20, iaitu
y ≥ 0. x + y ≥ 20.

The total number of participants in the speech Total number of participants is not less than 20, that is
contest is not less than 20. The number of boys must x + y ≥ 20.
be at least 10 and the number of girls is more than
the number of boys by not more than 2. Write a set II Bilangan orang lelaki mesti sekurang-
of inequalities that satisfy the constraints other than kurangnya 10, iaitu x ≥ 10.
x ≥ 0 and y ≥ 0.
The number of boys must be at least 10, that is
x ≥ 10.

III Bilangan orang perempuan melebih bilangan
orang lelaki sebanyak tidak lebih daripada
2y − x ≤ 2.

The number of girls is more than the number of boys
by not more than 2y – x ≤ 2.

163

BAB 7   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear (b) Sebuah syarikat penerbitan ingin menerbitkan

(a) Satu syarikat bercadang membeli dua sejenis buku rujukan. Kos yang terlibat adalah
jenis mesin, A dan B. Empat pekerja perlu
beroperasikan mesin A yang memerlukan seperti berikut.
kawasan 3 m2. Lima orang pekerja perlu
beroperasikan mesin B yang memerlukan A publishing company wants to publish two types
kawasan 5 m2. Syarikat hanya ada ruang of reference books. The cost involved are as follows.
150 m2 untuk semua mesin itu dan 120 orang
pekerja. Jika setiap mesin A dan B masing- (i) Kos penyuntingan dan penulisan tidak
masing berharga RM600 dan RM1 500, dan
syarikat memperuntukkan RM30 000 untuk melebihi RM5 000.
membeli mesin itu.
The editing and the writing cost is not more
Jika bilangan mesin A dan B masing-masing than RM5 000.
ialah x dan y, tulis satu set ketaksamaan yang
memuaskan kekangan yang diberi selain (ii) Perbelanjaan lain tidak melebihi RM1 000.
daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Other expenses is not more than RM1 000.
A company decides to buy two types of machines,
A and B. Four workers are needed to operate the (iii) Kos minimum untuk percetakan dan
machine A which occupies a space of 3 m2. Five
workers are needed to operate machine B and it pengangkutan ialah RM2 000 untuk
occupies a space of 5 m2. The company has only
a space of 150 m2 for all the machines and 120 20 ribu naskhah buku.
workers. If each A and B machine costs RM600 and
RM1 500 respectively, and the company allocates The minimum cost for the printing and
RM30 000 to buy the machine. transportation is RM2 000 for 20 thousand
copies.
If the number of machine A and B are x and y
respectively, write a set of inequalities that satisfy Syarikat tersebut ingin menerbitkan 150 ribu
each of the constraints other than x ≥ 0 and y ≥ 0.
naskhah buku. Tafsirkan masalah ini
I 4x + 5y ≤ 120
II 3x + 5y ≤ 150 The company wants to publish 150 thousand copies.
III 600x + 1 500y ≤ 30 000 Interpret this problem.
atau 2x + 5y ≤ 100
(i) Jika perbelanjaan untuk penyuntingan dan
penulisan ialah x, maka x ≤ 5 000.

If the cost for editing and writing is x, then
x ≤ 5 000.

(ii) Jika perbelanjaan lain ialah y, maka
y ≤ 1 000.

If the other expenses is y, then y ≤ 1 000.

(iii) Kos 150 ribu naskhah ialah = 150 ×2 000
20

= RM15 000.

Kos untuk percetakan dan pengangkutan

Z ≥ 15 000. copies is 150 ×2 000
20
The cost of 150 thousand

= RM15 000.

The cost for printing and transportation
Z ≥ 15 000.

164

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear 

8. Selesaikan masalah berikut yang melibatkan penggunaan pengaturcaraan linear. BAB 7

Solve the following problems involving the usage of linear programming. TP 5

CONTOH

Seorang peniaga ingin menjual dua jenis The cost to make a packet of food A and B is
RM1.50 and RM2 respectively. Find the maximum
makanan A dan B. Dia menjual x bungkus profit if the seller wants to sell food A and food B
for RM8 and RM8.50 respectively.
makanan A dan y bungkus makanan B sehari.
Penyelesaian:
Penjualannya mengikut syarat-syarat yang (i) I x + y ≥ 4
II x + 2y ≤ 8
berikut. III x ≤ 6
(ii) y
A trader sells two types of food A and B. He sells x
packets of food A and y packets of food B daily. The 5
sales follow the following conditions:
4
I : Jumlah yang dijual bagi kedua-dua
3
makanan adalah sekurang-kurangnya
2R
4 bungkus.
1
The total sacks for the two types of food is at
least 4 packets. -1 0 x
12 345 67
II : Kos penyediaan 1 bungkus makanan A
Lukis garis x = 4, titik paling tinggi dalam
dan makanan B masing-masing ialah RM1 rantau berlorek ialah integer 2
Draw the line x = 4, the highest point in the
dan RM2 dan jumlah kos tidak melebihi shaded region is an integer 2.

RM8 sehari. (iii) (a) Jika x = 4, nilai maksimum y = 2.
If x = 4, the maximum value y = 2.
The preparation cost of 1 packet of food A and
food B is RM1 and RM2 respectively and the Bilangan maksimum makanan B ialah 2.
total cost does not exceed RM8 daily. The maximum number of food B is 2.

III : Makanan A yang dijual tidak lebih (b) Keuntungan bagi makanan A dan B

daripada 6 bungkus sehari. masing-masing ialah RM 6.50.
The profit for food A and B are RM6.50 each.
Food A sold not more than 6 packets a day.
Fungsi keuntungan K = 6.5x + 6.5y
(i) Tulis 3 ketaksamaan yang memuaskan The profit function K = 6.5x + 6.5y

syarat-syarat di atas, selain daripada x ≥ 0 Jika susun semula fungsi itu, kita mendapat

dan y ≥ 0. y = −x + k .
6.5
Write 3 inequalities which satisfy the conditions k
above, other than x ≥ 0 and y ≥ 0. If rearrange the function, we get y = −x + 6.5

(ii) Menggunakan skala 2 cm kepada Lukis satu garis dengan kecerunan −1 dan

1 bungkus makanan pada kedua-dua anjakan garis itu ke arah rantau berlorek

paksi, bina dan lorek rantau R yang R, titik terakhir yang sampai di rantau itu

memuaskan semua syarat di atas. ialah titik maksimum, iaitu (6, 1).
Draw a line with a gradient of −1 and slide the
Using a scale of 2 cm to 1 packet of food on both
axes, construct and shade the region R which line towards the shaded region R, the last point
satisfies all the conditions above.
to reach in that region is the maximum point,
(iii) Daripada graf / From the graph which is (6, 1).

(a) cari bilangan maksimum bungkus Maka/So K = 6.5(6) + 6.5(1)

makanan B jika bilangan bungkus = RM45.50

makanan A dijual ialah 4.

find the maximum number of packets of
food B if the number of packets of food A
that is sold is 4.

(b) Kos membuat sebungkus makanan A

dan B masing-masing ialah RM1.50 dan

RM2.00. Cari keuntungan maksimum

jika peniaga itu ingin menjual makanan

A dan B masing-masing dengan harga

RM8 dan RM8.50.

165

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear

BAB 7 (a) Sebuah syarikat tertentu ingin mengeluarkan dua jenis cenderamata, jenis A dan jenis B. Pada suatu

hari, syarikat itu telah menghasilkan x unit jenis A dan y unit jenis B. Masa yang diambil untuk

menghasilkan jenis A dan B masing-masing ialah 3 minit dan 2 minit . Penghasilan cenderamata itu

dihadkan oleh syarat-syarat yang berikut:

A company wants to produce two types of souvenir, type A and B. On a certain day, the company has produced x
units of type A and y units of type B. The time taken to produce type A and B is 3 and 2 minutes respectively. The
production is limited by the following constraints:

I Bilangan unit B tidak melebihi 80.

The number of unit B is not more than 80.

II Bilangan unit A melebihi 3 kali ganda bilangan unit B sebanyak 30 unit atau kurang.

The number of unit A exceeds 3 times the number of unit B by 30 units or less.

III Jumlah masa untuk menghasilkan jenis A dan B tidak melebihi 300 minit.

The total time to produce type A and B is not more than 300 minutes.

(i) Tulis ketaksamaan yang memuaskan semua kekangan yang diberi selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Write the inequalities which satisfy all the given constraints other than x ≥ 0 and y ≥ 0.

(ii) Lukis graf dan lorek dan tandakan rantau R yang memuaskan semua kekangan yang diberi.

Draw the graph and shade the region R that satisfies all the given constraints.

(iii) Gunakan graf anda, jawab soalan yang berikut.

Use your graph, answer the following questions.

(a) Cari julat bilangan unit jenis B yang boleh dihasilkan jika 60 unit jenis A dihasilkan.

Find the range of the number of type B units that can be produced if 60 units of type A are produced.

(b) Jika keuntungan yang dihasilkan oleh jenis A dan B masing-masing ialah RM3 dan RM6

setiap unit. Cari keuntungan maksimum yang mungkin sehari.

If the profit generated by type A and B are RM3 and RM6 respectively, find the maximum possible profit
per day.

(c) Cari bilangan unit maksimum yang boleh dihasilkan untuk jenis A dan B jika syarikat ingin

menghasilkan bilangan unit yang sama bagi jenis A dan B.

Find the maximum number of units that can be produced for type A and type B if the company wants to
produce the same number of units type A and type B.

(i) Ketaksamaan bagi setiap kekangan. (iii) (a) Daripada graf, julat bilangan B

The inequalities for each constraint. ialah

I y ≤ 80 From the graph, the range of the
number of B is
II x − 3y ≤ 30
10 ≤ y ≤ 60
III 3x + 2y ≤ 300
(b) Keuntungan/Profit K = 3x + 6y
(ii)
Titik optimum ialah titik
y
persilangan.
3x + 2y = 300 y=x
The optimum point is the intersection
100 point.
80 y = 80
y = 80 dan/and x − 3y = 300
60
40 R Nilai integer x terdekat ialah 46.

20 x – 3y = 30 The value of the nearest integer x is 46.

0 20 40 60 80 100 x Maka, untung maksimum K

–20 Hence, the maximum profit K

= 3(46) + 6(80)

= RM618

(c) Untuk y = x, titik maksimum = (60, 60).

For y = x, maximum point = (60, 60).

Jenis A dan B masing-masing ialah

60 unit.

Type A and type B are 60 units respectively.

166

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear 

(b) Sebuah fakulti menawarkan dua subjek, A dan B. Bilangan murid mengambil subjek A ialah x dan BAB 7

bilangan murid mengambil subjek B ialah y. Pengambilan murid adalah berdasarkan kekangan

berikut:

A faculty offers two subjects, A and B. The number of students taking subject A is x and the number of students
taking subject B is y. The intake of students is based on the following constraints:

I : Bilangan maksimum murid bagi kedua-dua subjek ialah 100 orang.

The maximum number of students for both subjects is 100.

II : Bilangan murid subjek B adalah sekurang-kurangnya 20 orang.

The number of students for subject B is at least 20.

III : Bilangan murid subjek B adalah selebih-lebihnya 2 kali bilangan murid subjek A.

The number of students for subject B is at most 2 times the number of students for subject A.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memenuhi semua kekangan di atas.

Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0, which satisfy all the above constraints.

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 20 orang murid pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R

yang memenuhi semua kekangan di atas.

Use a scale of 2 cm to 20 students on both axes, construct and shade the region R which follows all the
constraints above.

(c) Daripada graf, jawab soalan yang berikut.

From the graph, answer the following questions.

(i) Cari bilangan maksimum murid mengambil subjek A.

Find the maximum number of students taking subject A.

(ii) Cari julat bilangan murid mengambil subjek B jika bilangan murid mengambil subjek A ialah

30.

Find the range of the number of students taking subject B if the number of students taking subject A is 30.

(iii) Hitung kutipan maksimum yuran bagi satu semester jika seorang murid membayar RM1 200

untuk subjek A dan RM600 untuk subjek B.

Calculate the maximum collection of fees per semester if a student pays RM1 200 for subject A and RM600
for subject B.

(a) I x + y ≤ 100 (c) (i) x maksimum / x maximum = 80
II y ≥ 20 (ii) 20 ≤ y ≤ 50
III y ≤ 2x (iii) Andaikan P = 1 200x + 600y
(b) Yuran maksimum / Maximum fees
= 1 200(80) + 600(20)
y = RM108 000

100
y = 2x

80

60

40 R

20 (80, 20) y = 20

x + y = 100

0 20 40 60 80 100 x

167

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear SPM 17

PRAKTIS

BAB 7 Kertas 2

1. Seorang majikan ingin menyediakan pengangkutan untuk menghantar pekerjanya ke kilang dengan
menggunakan x buah van dan y buah bas. Bilangan kenderaan yang digunakan adalah berdasarkan kekangan

2014 berikut:

An employer wants to provide transport for his workers to the factory using x vans and y buses. The number of vehicles used
is based on the following constraints:

I : Van dapat muat 10 orang pekerja manakala bas dapat muat 30 orang pekerja. Terdapat sekurang-kurangnya
120 orang pekerja yang menggunakan pengangkutan yang disediakan.

A van can carry 10 workers while a bus can carry 30 workers. There are at least 120 workers that use the transport
provided.

II : Bilangan bas yang digunakan tidak melebihi bilangan van.

The number of buses used does not exceed the number of vans.

III : Bilangan van yang digunakan selebih-lebihnya 9 buah.

The number of vans used is at most 9.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memuaskan semua kekangan di atas.

Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0, which satisfy all the constraints above.

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 2 buah kenderaan pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang
memuaskan semua kekangan di atas.

Using a scale of 2 cm to 2 vehicles on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the constraints
above.

(c) Daripada graf itu, cari

From the graph, find

(i) julat bilangan van digunakan jika 4 bas digunakan

the range of the number of vans used if 4 buses are used.

(ii) kos maksimum yang ditanggung oleh majikan itu jika kos menyewa van dan bas masing-masing ialah
RM120 dan RM180.

the maximum cost incurred by the employer if the cost of renting a van and a bus is RM120 and RM180 respectively.

(a) I : 10x + 30y ≥ 30 (c) (i) Julat ialah 4 ≤ x ≤ 9.
x + 3y ≥ 3
II : y ≤ x The range is 4 ≤ x ≤ 9.
III : x ≤ 9
(b) (ii) K = 120x + 180y
Kos maksimum / Maximum cost
y K = 120(9) + 180(9)
= RM2 700

10 x = 9

8

6 y=x

R
4

2 (3, 3) x + 3y = 12

0 2 4 6 x
8 10 12

168

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear  BAB 7

2. Seorang wanita membuat dua jenis kraftangan, iaitu bakul dan alas lantai dengan menggunakan rotan.
Sebuah bakul memerlukan 50 m rotan dan masa untuk menyiapkannya ialah 75 minit. Sekeping alas lantai

2018 memerlukan 60 m rotan dan masa 45 minit untuk menyiapkannya. Wanita itu membuat x buah bakul dan y
keping alas lantai. Dia mempunyai masa lapang 15 jam sehari dan sebanyak 750 m rotan.

A woman makes two types of handicraft, that are baskets and floor mats by using rattan. A basket needs 50 m of rattan and
the time to complete it is 75 minutes. A floor mat needs 60 m of rattan and the time of 45 minutes to complete it. The woman
makes x baskets and y floor mats. She has 15 hours of spare time a day and 750 m of rattan.

(a) Tulis dua ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi semua kekangan di atas.

Write two inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0 that satisfy all the above constraints.

(b) Pada graf yang sama, bina dan lorek rantau R yang memenuhi kedua-dua kekangan tersebut.

On the same graph, construct and shade the region R which satisfies all the two constraints given.

(c) Menggunakan graf yang dibina, cari

Use the graph constructed, find

(i) bilangan maksimum bakul dan alas lantai jika bilangan alas lantai ialah dua kali
lebih banyak daripada bilangan bakul.

the maximum number of baskets and floor mats if the number of floor mats is twice more than the number of the
baskets.

(ii) nilai x dan y yang akan memaksimumkan keuntungannya jika keuntungan daripada sebuah bakul
dan sekeping alas lantai masing-masing ialah RM60 dan RM30.

the value of x and of y which will maximise her profit if the profit from a basket and a floor mat is RM60 and RM30
respectively.

(a) 50x + 60y ≤ 750 (c) (i) y = 2x,
5x + 6y ≤ 75 Dalam rantau, x maksimum = 4 dan y
75x + 45y ≤ 15 × 60
5x + 3y ≤ 60 maksimum = 8
(b)
In the region, x maximum = 4 and y maximum
y =8

(ii) U = 60x + 30y, apabila x = 9, y = 5 akan
mendapat maksimum

U = 60(9) + 30(5)
= RM 690

12 x
10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
8
6 5x + 3y = 60
4 5x + 6y = 75
2

-2 0

169

BAB 7   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear

3. Yuki ditugaskan membeli x batang pen dan y buah buku cerita sebagai hadiah sempena perayaan pesta sekolah.
Harga sebatang pen dan sebuah buku cerita masing-masing ialah RM 30 dan RM40. Pembelian hadiah itu

2019 bergantung kepada kekangan yang berikut.

Yuki was assigned to buy x pens and y story books as gifts in conjunction with the school’s celebration. The price of a pen
and a storybook is RM30 and RM40 respectively. The purchase of the gift depends on the following constraints.

I Jumlah bilangan pen dan buku cerita mesti melebihi 40.

The total number of pens and story books must be more than 40.

II Jumlah peruntukan ialah RM4 000.

The total allocation is RM4 000.

III Bilangan pen melebihi bilangan buku cerita selebih-lebihnya 15.

The number of pens exceeds the number of story books by at most 15.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi semua kekangan di atas.

Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0 that satisfy all the above constraints.

(b) Pada graf yang sama, bina dan lorek rantau R yang memenuhi kedua-dua kekangan tersebut.

On the same graph, construct and shade the region R which satisfies both the constraints.

(c) Menggunakan graf yang dibina, cari

Use the graph constructed, find

(i) peruntukan yang tinggal jika dia membeli bilangan minimum pen dan buku cerita yang sama.

the amount of allocation left if she buys the same minimum number of pens and story books.

(ii) Tentukan bilangan maksimum pen jika Yuki menggunakan RM400 untuk membeli bahan yang lain.

Determine the maximum number of pens if Yuki uses RM400 to buy other things.

(a) x + y ≥ 40 (c) (i) Titik minimum = (20, 20)
30x + 40y ≤ 4 000
3x + 4y ≤ 400 Minimum point
x − y ≤ 15
(b) Harga / Price = 30(20) + 40(20)

= RM1 400

Baki = RM4000 − RM1 400 = RM2 600

(ii) Peruntukan yang tinggal = RM3 600
Allocation left = RM3 600

3x + 4y = 400 y Maka/Hence
100
x – y = 15 30x + 40y ≤ 3600

3x + 4y ≤ 360

Bilangan pen maksimum = 60

80 Maximum number of pens

60

40 x
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180

–20 0
–20

x + y = 40 3x + 4y = 360

Praktis
SPM
Ekstra

170

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 7 Pengaturcaraan Linear 

Sudut KBAT KBAT

Ekstra



Seorang penternak ingin membeli x ekor anak lembu dengan harga RM80 seekor dan y ekor anak kambing BAB 7
dengan RM50 seekor. Kandang penternak hanya cukup untuk 20 ekor binatang dan dia hanya mampu

membelanjakan sebanyak RM1 200.

A breeder wants to buy x young cows for RM80 each and y young goats for RM50 each. The breeder cage can only holds
20 animals and he can only spend RM1 200.

(a) Tulis dua ketaksamaan yang memuaskan syarat diberi di atas selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Write two inequalities that satisfy the given constraints above other than x ≥ 0 and y ≥ 0.

(b) Pada graf yang sama, bina dan lorek rantau R yang memenuhi kedua-dua kekangan tersebut.

On the same graph, construct and shade the region R which satisfies both the constraints.

(c) Menggunakan graf yang dibina, cari

Use the graph that is constructed, find

(i) julat bilangan lembu yang boleh dibeli olehnya jika dia membeli 5 ekor anak kambing.

the range of the number of cows he can buy if he buys 5 goats.

(ii) bilangan maksimum kambing jika dia mesti membeli dua kali lebih banyak lembu daripada kambing.

the maximum number of goats if he must buy twice as many cows as goats.

(a) x + y ≤ 20
80x + 50y ≤ 1 200
8x + 5y ≤ 120
(b)

y

25
8x + 5y = 120

20

15

10

5 x
–5 0 5 10 15 20

x + y = 20

(c) (i) Julat / Range 0 ≤ x ≤ 11
(ii) Lukis x = 2y, maksimum kambing y = 5

Quiz 7

171

BAB 8 BAB  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

8 Kinematik Gerakan Linear
Kinematics of Linear Motion

8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa

Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time

NOTA IMBASAN

Sesaran / Displacement 2. Halaju ialah kuantiti vektor manakala laju ialah kuantiti
1. Satu zarah yang bergerak di sepanjang garis lurus skalar.

melalui satu titik tetap O,sesarannya s,m dari O berubah Velocity is a vector quantity while speed is a scalar quantity.
dengan masa, t saat. s ialah satu fungsi dalam masa t, (i) Satu zarah bergerak ke arah kanan dikatakan
iaitu s = f(t). mempunyai halaju positif.
A particle moves along a straight line and passes through a fixed A particle that moves to the right is said to have a positive
point O, its displacement s, m from O changes with time, t second, velocity.
s is a function of time t, that is s = f(t). (ii) Satu zarah bergerak ke arah kiri dikatakan
2. Sesaran ialah kuantiti vektor yang mempunyai mempunyai halaju negatif.
magnitud dan arah, manakala jarak ialah kuantiti skalar A particle that moves to the left is said to have a negative
yang mempunyai magnitud sahaja. velocity.
Displacement is a vector quantity with magnitude and direction, (iii) Satu zarah pegun atau berhenti seketika dikatakan
while distance is a scalar quantity with magnitude only. mempunyai halaju sifar.
A particle is stationary or stops instantaneously will have
NONTegASaetisIvaMeradBnispnAleagScaeAtmif eNnt O Sesaran positif zero velocity.
Positive displacement (iv) Satu zarah bergerak dengan halaju seragam jika ia
bergerak dengan laju malar dalam satu arah tertentu.
(i) Sesaran positif bermakna zarah bergerak dari O ke A particle moves with a uniform velocity if it moves at a
arah kanan O. constant speed in a certain direction.

Positive displacement means the particle moves from O to s
the right
t
(ii) Sesaran negatif bermakna zarah bergerak dari O ke 0
arah kiri O.
Kecerunan graf sesaran-masa yang malar
Negative displacement means the particle moves from O to menunjukkan halaju seragam.
the left.
Gradient of the displacement-time graph is constant shows
(iii) Sesaran sifar bermakna zarah berada di O. uniform velocity.
Zero displacement means the particle is at O.
3. Jumlah jarak yang dilalui dalam p saat pertama ialah s

jumlah jarak yang dilalui dari masa t = 0 ke t = p. 0t
Total distance travelled in the first p seconds is the total distance
travelled from the time t = 0 to t = p.
4. Jumlah jarak yang dilalui dalam p saat = sesaran dalam
Kecerunan graf sesaran-masa yang tidak malar
p saat pertama – sesaran dalam (p − 1) saat pertama. menunjukkan halaju tidak malar.
Total distance travelled in p seconds = displacement in the first p
Gradient of the displacement-time graph is not constant
seconds – displacement in the first (p − 1) seconds. shows non-uniform velocity.

Halaju / Velocity

1. Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran dengan masa.

Velocity, v is the rate of change of displacement with time.
ds
v= dt


172

NOTA IMBASAN   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

3. Pengamiran halaju, v m s−1 tehadap masa, t akan (iii) Satu zarah dikatakan mempunyai pecutan sifar BAB 8
memberi sesaran, s m. apabila halaju zarah itu ialah malar dengan
seragam terhadap masa
Integration of velocity, v m s−1 with respect to time, t will give the
displacement, s m. A particle is said to have zero acceleration when the velocity
is uniformly constant with time.
∫s = v dt
v

Pecutan / Acceleration t
1. Pecutan ditakrifkan sebagi kadar perubahan dalam 0

halaju. Kecerunan malar – Pecutan seragam
Acceleration is defined as the rate of change of velocity. Gradient is constant – Acceleration is uniform

2. Pecutan ialah satu kuantiti vektor. v
Acceleration is a vector quantity.
0 t
(i) Satu zarah dikatakan mempunyai pecutan positif
apabila halaju zarah itu bertambah dengan Kecerunan tidak malar – Pecutan tidak seragam
seragam terhadap masa.
Gradient is not constant – Acceleration is not uniform
A particle is said to have positive acceleration when the
velocity is increasing uniformly with time.

(ii) Satu zarah dikatakan mempunyai pecutan negatif
apabila halaju zarah itu berkurang dengan
seragam terhadap masa.

A particle is said to have negative acceleration when the
velocity is decreasing uniformly with time.

1. Cari sesaran dan jarak bagi yang berikut

Find the displacement and distance for the following. TP 1

CONTOH

Seorang posman bergerak sejauh 2 km dari Penyelesaian:
(i) Jumlah jarak = jumlah perjalanan
pejabat pos ke rumah Ali. Kemudian dia
Total distance = total journey
berjalan 5 km ke rumah Don dan seterusnya
= (2 + 5 + 3) km
3 km balik ke pejabat pos. Apakah
= 10 km
A postman travels 2 km from the post office to Ali’s
house. Then, he travels 5 km to Don’s house before (ii) Kedudukan asal posman ialah pejabat pos dan
travelling 3 km back to the post office. What
kedudukan akhir posman juga di pejabat pos.
(i) jumlah jarak dilalui pada akhir
Maka, sesaran = 0 km
perjalanannya?
The initial position of the postman is the post office
is the total distance travelled at the end of his and the final destination is also the post office. Hence,
journey? displacement = 0 km

(ii) jumlah sesaran pada akhir perjalanannya?

is the total displacement at the end of his
journey?

173

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

BAB 8 (a) Cik Nor berjalan dari rumahnya sejauh (b) Satu zarah bermula dari titik O bergerak
2 km ke pasar raya. Kemudian, dia berjalan
ke kedai runcit yang terletak 3 km dari pasar ke kanan 5 m sepanjang satu garis lurus. Ia
raya. Selepas itu, dia berjalan sejauh 7 km ke
rumah kawan sebelum dia balik ke rumahnya. berhenti seketika dan mula bergerak ke kiri
Apakah
sejauh 8 m. Apakah
Cik Nor walks 2 km from her house to the market.
Then, she walks to the grocery shop located 3 km A particle starts from point O moves 5 m to the right
from the supermarket. After that, she walks 7 km to along a straight line. It stops for a while and starts to
her friend's house before she returned to his house. move 8 m to the left. What is
What is
(i) jumlah jarak pada akhir perjalanan zarah?
(i) jumlah jarak pada akhir perjalanannya?
the total distance at the end of the journey?
the total distance at the end of her journey?
(ii) jumlah sesaran pada akhir perjalanan
(ii) jumlah sesaran pada akhir perjalanannya?
zarah dari O?
the total displacement at the end of her journey?
the total displacement at the end of the journey
(i) Jumlah jarak = jumlah semua perjalanan from O?

Total distance = total all the journey (i) Jumlah jarak = jumlah semua perjalanan

= (2 + 3 + 7) km Total distance = total all the journey
= 12 km
(ii) Titik asal Cik Nor ialah rumahnya dan titik = (5 + 8) m

akhir juga rumahnya. Maka sesaran = = 13 m
0 km.
(ii) Titik asal zarah ialah di O dan titik akhirnya
Cik Nor’s original point is her house and the end
point is also her house. Hence, displacement = ialah 3 m ke kiri O.
0 km.
Maka sesaran = −3 m.

The original point of the particle is at O and its
end point is 3 m to the left of O.
So, displacement = −3 m.

2. Satu zarah bergerak supaya sesarannya, s(t), m adalah diberi di bawah, dengan t ialah masa dalam saat dari

titik tetap O. Cari sesaran, s, dalam m pada masa yang diberi. Jelaskan jawapan anda.

A particle moves so that its displacement, s(t), m is given below, where t is the time in seconds from the fixed point O. Find

the displacement, s, in m at the time given. Explain your answers. TP 2

CONTOH (a) Diberi s(t) = 4 – 2t − t2. Pada

Diberi s(t) = t2 − 4t − 5. Pada Given s(t) = 4 – 2t − t2. At
Given s(t) = t2 − 4t − 5. At
(i) t = 0
(i) t = 0 s (ii) t = 5 s (iii) t = 6 s (ii) t = 1
(iii) t = 2

Penyelesaian: (i) Apabila t = 0 s, s(0) = 4 – 2(0) − 02

(i) Apabila/When t = 0 s, =4m

s(0) = 02 − 4(0) − 5 (zarah berada ke kanan O)

= −5 m (zarah berada ke kiri O) (the particle is at the right of O)
(the particle at the left of O)
(ii) Apabila t = 1 s, s(1) = 4 – 2(1) − 12
(ii) Apabila/When t = 5 s,
=1m
s(5) = 52 − 4(5) – 5
(zarah berada ke kanan O)
= 0 m (zarah berada di titik O) (the particle is at the right of O)
(the particle is at O)
(iii) Apabila t = 2 s, s(2) = 4 – 2(2) − 22
(iii) Apabila/When t = 6 s,
= −4m
s(6) = 62 − 4(6) − 5
(zarah berada di titik O)
= 7 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at O)
(the particle is to the right of O)

t=0 t=5 t=6

–5 m 0 m 7 m

174

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

(b) Diberi s(t) = 2 + 4t − 2t2. Pada (c) Diberi s(t) = (1 − t)(3t + 4). Pada

Given s(t) = 2 + 4t − 2t2. At Given s(t) = (1 − t)(3t + 4). At

(i) t = 1s, (i) t = 0 s

(ii) t = 5 s, (ii) t = 1 s BAB 8
3
(iii) t = 1 s
2 (iii) t = 1.5 s

(i) Apabila t = 1 s, s(1) = 2 + 4(1) − 2(1)2 (i) Apabila t = 0 s, s(0) = (1 − 0)(3(0) + 4)

= 4 m (zarah berada ke kanan O) = 4 m (zarah berada ke kanan O)

(the particle is at the right of O) (the particle is at the right of O)

(ii) Apabila t = 5 s, s(5) = 2 + 4(5) − 2(5)2 (ii) Apabila t = 1 s, s( 1 ) = (1 − 1 )(3( 1 )+ 4)
3 3 3 3
= −28 m (zarah berada ke kiri O)

(the particle is at the left of O) = 3 1 m (zarah berada ke kanan O)
3
(iii) Apabila t = 1 s, s( 1 ) = 2 + 4( 1 ) − 2( 1 )2 (the particle is at the right of O)
2 2 2 2
(iii) Apabila t = 1.5 s, s(1.5) = (1 − 1.5)(3(1.5) + 4)
= 3 1 m (zarah berada ke kanan O)
2 = −4 1 m (zarah berada ke kiri O)
(the particle is at the right of O) 4

(the particle is at the left of O)

3. Satu zarah bergerak supaya halajunya, v(t), m s−1 adalah diberi di bawah, dengan keadaan t ialah masa dalam
saat dari titik tetap O. Cari halaju seketika, dalam m s−1 pada masa yang diberi. Jelaskan jawapan anda.

A particle moves so that its velocity, v(t), m s−1 is given below, where t is the time in seconds from the point O. Find the

instantaneous velocity, in m s−1 for the time given. Explain your answers. TP 2

CONTOH (a) v(t) = (2 − t)(3t − 4) apabila/when
(i) t = 0 s
v(t) = 6 − 5t + t2 apabila/when (ii) t = 2 s
(iii) t = 5 s
(i) t = 0 s

(ii) t = 2 s

(iii) t = 4 s Apabila t = 0, halaju dikenali (i) Apabila t = 0 s, v(0) = (2 − 0)(3(0) − 4)

Penyelesaian: sebagai halaju awal. = −8 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri)
When t = 0, the velocity is
called the initial velocity. (the particle moves to the left)

(i) Apabila t = 0 s, v(0) = 6 − 5(0) + 02 (ii) Apabila t = 2 s, v(2) = (2 − 2)(3(2) − 4)

= 6 m s−1 (zarah bergerak ke arah kanan) = 0 m s−1 (zarah berhenti seketika)

(the particle moves to the right) (the particle stops instantaneously)

(ii) Apabila t = 2 s, v(2) = 6 − 5(2) + 22 (iii) Apabila t = 5 s, v(5) = (2 − 5)(3(5) − 4)

= 0 m s−1 (zarah berhenti seketika) = −33 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri)

(the particle stops instantaneously) (the particle moves to the left)

(iii) Apabila t = 4 s, v(4) = 6 − 5(4) + 42

= 2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kanan)

(the particle moves to the right)

175

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

(b) v(t) = 1 t2 – 2t apabila/when (c) v(t) = 1 (2t − 3)2 − 4 apabila/when
2 2

(i) t = 0 s (i) t = 0 s

BAB 8 (ii) t = 2 s (ii) t = 1 s

(iii) t = 5 s (iii) t = 2 s

(i) Apabila t = 0 s, v(0) = 1 (0)2 – 2(0) (i) Apabila t = 0 s, v(0) = 1 (2(0) − 3)2 − 4
2 2

= 0 m s−1 (zarah tidak bergerak) = 1 m s−1
2
(the particle is not moving)
(zarah bergerak ke arah kanan)
1
( ii) Apabila t = 2 s, v(2) = 2 (2)2 – 2(2) (the particle moves to the right)

= −2 m s−1 (ii) Apabila t = 1 s, v(1) = 1 (2(1) − 3)2 − 4
= –3 21 m s−1 2
(zarah bergerak ke arah kiri)

(the particle moves to the left)

(iii) Apabila t = 5 s, v(5) = 1 (5)2 – 2(5) (zarah bergerak ke arah kiri)
2
(the particle moves to the left)

= 2 1 m s−1 (iii) Apabila t = 2 s, v(2) = 1 (2(2) − 3)2 − 4
2 = – 3 12 m s−1 2

(zarah bergerak ke arah kanan) (zarah bergerak ke arah kiri)

(the particle moves to the right)

(the particle moves to the left)

4. Satu zarah bergerak supaya pecutannya, a(t), m s−2 adalah diberi di bawah, dengan t ialah masa dalam saat dari
titik tetap O. Cari pecutan seketika, dalam m s−2 pada masa yang diberi. Jelaskan jawapan anda.

A particle moves such that its acceleration, a(t), m s−2 is given below, where t is the time in seconds from a fixed point O. Find

the instantaneous acceleration, in m s−2 at the given time. Explain your answers. TP 2

CONTOH (a) a(t) = 2 − 5t + t2 apabila/when

1 (i) t = 0 s
2
a(t) = t2 – t apabila/when (ii) t = 1 s
2
(i) t = 0 s
(iii) t = 3 s
(ii) t = 1 s Apabila t = 0 s, pecutan dikenali
(iii) t = 4 s sebagai pecutan awal. (i) Apabila t = 0 s, a(0) = 2 − 5(0) + 02
When t = 0 s, the acceleration is
Penyelesaian: known as initial acceleration. = 2 m s−2

(i) Apabila t = 0 s, a(0) = 1 (0)2 – (0) = 0 m s−2 (halaju zarah bertambah dengan seragam)
2
(the velocity is increasing uniformly)

(zarah bergerak dengan halaju malar) (ii) Apabila t = 1 s, a 1  = 2 − 51 1  + 1 1 2
2 2 2 2
(the particle moves with constant velocity)
1
(ii) Apabila t = 1 s, a(1) = 2 (1)2 – (1) = − 1 m s−2
4
1
=− 2 m s−2 (halaju zarah berkurang dengan seragam)

(halaju zarah berkurang dengan seragam) (the velocity is decreasing uniformly)

(the velocity is decreasing uniformly) (iii) Apabila t = 3 s, a(3) = 2 − 5(3 ) + (3)2

1 = −4 m s−2
2
(iii) Apabila t = 4 s, a(4) = (4)2 – (4) (halaju zarah berkurang dengan seragam)

= 4 m s−2 (the velocity is decreasing uniformly)

(halaju zarah bertambah dengan seragam)

(the velocity is increasing uniformly)

176

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

(b) a(t) = −2t + 6 apabila/when (c) a(t) = −t2 + 4t apabila/when BAB 8
(i) t = 1 s (i) t = 2 s
(ii) t = 3 s (ii) t = 4 s
(iii) t = 4 s (iii) t = 6 s

(i) Apabila t = 1 s, a(1) = −2(1) + 6 (i) Apabila t = 2 s, a(2) = −(2)2 + 4(2)

= 4 m s−2 = 4 m s−2

(halaju zarah bertambah dengan seragam) (halaju zarah bertambah dengan seragam)

(the velocity is increasing uniformly) (the velocity is increasing uniformly)

(ii) Apabila t = 3 s, a(3) = −2(3) + 6 (ii) Apabila t = 4 s, a(4) = −(4)2 + 4(4)

= 0 m s−2 = 0 m s−2

(halaju zarah adalah malar) (halaju zarah adalah malar)

(the velocity is constant) (the velocity is constant)

(iii) Apabila t = 4 s, a(4) = −2(4) + 6 (iii) Apabila t = 6 s, a(6) = −(6)2 + 4(6)

= −2 m s−2 = −12 m s−2

(halaju zarah berkurang dengan seragam) (halaju zarah berkurang dengan seragam)

(the velocity is decreasing uniformly) (the velocity is decreasing uniformly)

5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya sesarannya, s m, dari titik tetap O selepas t saat diberi
seperti yang berikut. Lakarkan graf sesaran-masa dan seterusnya cari

A particle moves along a straight line so that the displacement, s m, from a fixed point O after t seconds is given as follows.

Sketch the displacement-time graph and then find TP 3

(i) jumlah jarak yang dilalui dalam masa yang ditentukan.

the total distance travelled in the given time.

(ii) jarak yang dilalui dalam saat ketiga.

the distance travelled in the third second.

CONTOH

Lakaran graf sesaran- Jumlah jarak Jarak yang dilalui
masa dalam saat ketiga
dilalui
Displacement-time graph Total distance travelled Distance travelled in the
third second
s(t) = 2t2 – 8, 0 ≤ t ≤ 4 s(t) Dari graf, jumlah
Jarak dalam saat ketiga
Penyelesaian: 24 jarak
Distance travelled in the
s(t) = 2(t2 − 4) From the graph, total third second
distance
= 2(t − 2)(t + 2) = s(3) − s(2)
= 8 + 24 = 32 m = 2(3)2 – 8 − [2(2)2 − 8)]
Graf ini ialah graf = 10 m

minimum dengan Kaedah Alternatif

punca-punca 2 dan −2. –2 0 2 4 t s(4) − s(0)
= 2(4)2 – 8 – (2(0)2 − 8)
This is a minimum graph = 32 m
with the roots of 2 and −2.

Titik minimum –8
t=0
Minimum point t=2 t=4
ds(t)
dt = 4t = 0

t = 0, s = −8 –8 m 24 m

177

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

Lakaran graf sesaran- Jumlah jarak Jarak yang dilalui
masa dalam saat ketiga
dilalui
Displacement-time graph Total distance travelled Distance travelled in the
third second
BAB 8 (a) s(t) = 3t − 4, s(t) Dari graf,
0 ≤ t ≤ 3 Jarak dalam saat ketiga
5 jumlah jarak
s(t) = 3t − 4 Distance in the third second
Graf ini ialah graf garis 03 From the graph, total
lurus dengan kecerunan –4 distance = s(3) − s(2)
3 dan titik pintasan-y = 3(3) − 4 − [3(2) − 4)]
ialah −4. =4+5=9m =3m

This is a straight line graph t
with the gradient of 3 and
the y-interception point is
−4.

(b) s(t) = (t − 2)(t − 5), s(t) Dari graf, Jarak dalam saat ketiga
0≤t≤6 jumlah jarak
Distance in the third second
s(t) = (t − 2)(t − 5) 10 From the graph, total
distance = s(3) − s(2)
= t2 − 7t + 10 = (3 − 2)(3 − 5) –
= 10 + 2 14 + 2 14 + 4 (2 − 2)(2 − 5)
Graf ini ialah graf 7 = 1 8 21 m = −2 m
2 =2m
minimum dengan t
02 5
punca-punca 2 dan 5.
1
This is a minimum graph –2 4

with the roots of 2 and 5.

Titik minimum

ds(t) = 2t − 7= 0
dt

t= 7 , s = – 2 41
2

(c) s(t) = −t2 + 4t − 3, s(t) Dari graf, jumlah Jarak dalam saat ketiga
0 ≤ t ≤ 3 1
0 123 jarak Distance in the third second
s(t) = −t2 + 4t − 3
–3 From the graph, total = s(3) − s(2)
= (1 − t)(t − 3) t distance = (1 − 3)(3 − 3) −

Graf ini ialah graf =3+1+1 (1 − 2)(2 − 3)

=5m =1m

maksimum dengan

punca-punca 1 dan 3

This is a maximum graph

with the roots of 1 and 3.

Titik maksimum

ds(t) = −2t +4 = 0
dt

t = 2, s = 1

178

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear  BAB 8

6. Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus. Sesarannya, s m, dari titik tetap O selepas t saat diberi seperti
berikut. Cari

A particle moves on a straight line. The displacement, s m, from a fixed point O after t seconds is given as follows. Find

(i) julat t dalam keadaan sesaran ialah positif

the range of t when the displacement is positive.

(ii) masa apabila zarah ialah s m yang diberi dari titik O.

the time when the particle is s m from the point O. TP 3

CONTOH

s(t) = −t2 +2t + 8 (ii) Apabila/When s = −16
16 m ke kiri O.
−t2 + 2t + 8 = −16
16 m to the left of O.
t2 − 2t − 24 = 0

Penyelesaian: (t + 4)(t − 6) = 0

(i) Untuk sesaran positif, s > 0. t = 6

For positive displacement

s(t) = −t2 + 2t + 8 > 0 s(t)

t2 − 2t − 8 < 0

(t + 2)(t − 4) < 0

0 ≤ t < 4 8

0 4t

(a) s(t) = t2 − 3t (b) s(t) = t2 − 3t – 4
10 m ke kanan O
6 41 m ke kiri O
10 m to the right of O
6 14 m to the left of O
(i) Untuk sesaran positif, s > 0

For positive displacement

s(t) = t2 − 3t > 0 (i) Untuk sesaran positif, s > 0.

t(t − 3) > 0 For positive displacement

t > 3 s(t) = t2 − 3t – 4 > 0

(ii) Apabila s = 10 (t − 4)(t + 1) > 0

t2 − 3t = 10 t > 4

t2 − 3t −10 = 0 (ii) Apabila s = – 245

(t − 5)(t + 2) = 0

t = 5 4t2 −12t – 16 = −25

s(t) 4t2 −12t + 9 = 0

(2t − 3)(2t − 3) = 0

t = 3
2
s(t)

0 3t 4t
–4

179

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear

Differentiation in Kinematics of Linear Motion

BAB 8 NOTA IMBASAN

1. Halaju, v m s−1, boleh ditulis sebagai ds , manakala pecutan boleh ditulis sebagai dv atau d2s .
dt dt dt2

Velocity, v m s−1, can be written as ds , while the acceleration can be written as dv or d2v .
dt dt dt2

2. STddhevtesam=raadxdni2tmms2 ua=mk0soi.rmmuinmimautmaudmispinlaicmemumentboecrcluarksuwahpenabddistla=dd0stw=hil0e manakala halaju maksimum atau minimum berlaku apabila

the maximum or minimum velocity occurs when dv = d2s = 0.
dt dt2

3. Halaju malar berlaku apabila pecutan = 0 atau dv =0 manakala pecutan malar berlaku apabila da = 0.
dt dt

The uniform velocity occurs when the acceleration = 0 or dv = 0 while the uniform acceleration occurs when da = 0.
dt dt

7. Sesaran satu objek dari titik O adalah diberi seperti berikut, dengan t adalah masa dalam saat selepas objek
melalui O. Tentukan

The displacement of an object from point O is given as follows, where t is the time in seconds after passing O. Determine

(i) bilakah sesaran ialah maksimum / minimum dan cari sesaran maksimum / minimum itu.

when the displacement is maximum / minimum and find the maximum / minimum of the displacement.

(ii) bilakah halaju adalah malar dan cari nilai halaju itu.

when the velocity is uniform and find the value of the velocity. TP 4

CONTOH

s= 3 t2 − 1 t3 + 7 t Untuk menentukan sesaran maksimum atau
2 6 2
minimum.

Penyelesaian: To determine maximum or minimum displacement.

ds = 3t − 1 t2 + 7 d2s = 3 – t
dt 2 2 dt2
d2s
(i) Untuk sesaran maksimum atau minimum, Apabila t = 7, dt2 = −4 < 0

For maximum or minimum displacement, Maka, s = 40 65 ialah maksimum.

ds =0 Hence, s = 4 0 65 is maximum.
dt

3t − 1 t2 + 7 =0 (ii) Untuk halaju malar, pecutan mesti 0.
2 2

(t + 1)(t − 7) = 0 For a uniform velocity, the acceleration must be 0.

t=7 Jadi, a = d2s = 3– t =0
dt2
Apabila t = 7,

s= 3 (7)2 − 1 (7)3 + 7 (7) t = 3
2 6 2
Apabila t = 3, halaju malar
When t = 3, the velocity is uniform.
= 4 0 56 m
v = 3(3) – 1 (3)2 + 7
2 2

= 8 m s−1

180

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

(a) s = t3 − 2t2 − 12t + 4 (b) s = −t3 + 3t2 + 9t
3
ds = −3t2 + 6t + 9
ds dt
dt = t2 − 4t − 12
(i) Untuk sesaran maksimum atau minimum, BAB 8
(i) Untuk sesaran maksimum atau minimum,
For maximum or minimum displacement,
For maximum or minimum displacement,
ds =0
ds = 0 dt
dt
−3t2 + 6t + 9 = 0
t2 − 4t −12 = 0
t2 − 2t − 3 = 0
(t + 2)(t − 6) = 0
(t + 1)(t − 3) = 0
t = 6
t = 3
Apabila t = 6,
Apabila t = 3,
(6)3
s = 3 − 2(6)2 − 12(6) + 4 s = −33 + 3(3)2 + 9(3)

= −68 m (ke kiri O) = 27 m (ke kanan O)

Untuk menentukan sesaran maksimum Untuk menentukan sesaran maksimum

atau minimum. atau minimum.

To determine maximum or minimum To determine maximum or minimum

displacement. displacement.

d2s = 2t − 4 d2s = −6t + 6
dt2 dt2
d2s
Apabila t = 6, d2s =8>0 Apabila t = 6, dt2 = −30 < 0
dt2
Maka, s = 27 m ialah maksimum.
Maka, s = −68 ialah minimum. Hence, s = 27 m is maximum

Hence, s = −68 is minimum (ii) Untuk halaju malar, pecutan mesti 0

(ii) Untuk halaju malar, pecutan mesti 0. For a uniform velocity, the acceleration must be 0.
For a uniform velocity, the acceleration must be 0.
Jadi, a = d2s = −6t + 6 =0
Jadi, a = d2s = 2t − 4 = 0 dt2
dt2 t=1

t = 2 Apabila t = 1, halaju malar.

Apabila t = 2, halaju malar When t = 1, the velocity is uniform.

When t = 2, the velocity is uniform. v = −3(1)2 + 6(1) + 9

v = 22 − 4(2) − 12 = −16 m s−1 = 12 m s−1

8. Sesaran satu objek dari titik O adalah diberi seperti berikut dengan t adalah masa dalam saat apabila objek
melalui O.

The displacement of an object from O is given as follows with t is the time in seconds after passing O.

Tentukan / Determine
(i) halaju awal.

the initial velocity.

(ii) pecutan awal dan pecutan apabila t = 2.

the initial acceleration and the acceleration when t = 2.

(iii) masa apabila halajunya adalah maksimum atau minimum. Tentukan nilai halaju maksimum atau
minimumnya dengan lakaran graf halaju-masa.

the time when the velocity is maximum or minimum. Determine the value of the maximum or minimum velocity with

the velocity-time graph. TP 4

181

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

CONTOH

s= 1 t3 − 1 t2 + 4 2t − 1 = 0
3 2
BAB 8 t = 1
Penyelesaian: 2

1 1 Untuk menentukan sama ada halaju maksimum
3 2
(i) s= t3 − t2 + 4 atau minimum, kita guna

ds = v = t2 − t To determine whether the velocity is maximum or
dt
minimum, we use

Apabila t = 0, d2v = 2 (> 0 minimum)
dt2
v = 0 m s−1 1
Maka, apabila t = 2 , halaju minimum
(ii) d2s = dv = 2t – 1
dt2 dt 1 1 = – 41
= ( 2 )2 − 2 m s−1 (ke arah kiri)
Apabila t = 0,
1
dv = 2(0) − 1 Hence, when t = 2 , the minimum velocity
dt
= −1 m s−2 ( 1 )2 − 1 v
= 2 2

Apabila t = 2, – 1
4
a = 2(2) − 1 = 3 m s−2 = m s−1 (to the left)

(iii) Apabila halaju maksimum atau minimum, 01 t

dv = 0. – 1
dt 4
dv
When velocity is maximum or minimum, dt = 0.

(a) s = −2t3 + 6t2 + 5 (b) s = 3t3 − 15 t2 + 6t
2
ds ds
(i) dt = v = −6t2 + 12t v (i) dt = 9t2 − 15t + 6 v

Apabila t = 0, v = 0 m s−1 Apabila t = 0, v = 6 m s−1

(ii) dv = −12t + 12 (ii) dv = 18t − 15 6
dt dt

Apabila t = 0, a = 12 m s−2 2t Apabila t = 0, a = −15 m s−2

Apabila t = 2, 0 Apabila t = 2, 2
a = 18(2) − 15 3 1t
a = −12(2) + 12
1
= −12 m s−2 = 21 m s−2 – 4

(iii) Apabila halaju maksimum atau minimum, (iii) Apabila halaju maksimum atau minimum,

dv = 0. dv = 0.
dt dt
dv
When velocity is maximum or minimum, dt = 0. 18t − 15  = 0

−12t + 12 = 0 t = 5
6
t = 1 Untuk menentukan sama ada maksimum

Untuk menentukan sama ada maksimum atau minimum, kita guna

atau minimum, kita guna To determine whether the velocity is maximum or

To determine whether the velocity is maximum or minimum, we use
minimum, we use
d2v = 18 ( > 0 minimum)
d2v dt2
dt2 = −12 (< 0 maksimum) 5
Maka, apabila t= 6 , halaju mininum =

Maka, apabila t = 1, halaju maksimum = 9 5 22 − 15 5 2 + 6
6 6
−6(1)2 + 12

= 6 m s−1 (ke arah kanan / to the right) = – 14 m s−1 ( ke arah kiri / to the left)

182

8.3   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear

Integration in Kinematics of Linear Motion

NOTA IMBASAN BAB 8

1. Halaju seketika suatu zarah dapat diperolehi dari fungsi pecutan dengan cara pengamiran, iaitu a = dv .
dt
dv
Instantaneous velocity of a particle is obtained from the acceleration function by integration, that is a = dt .

∫a dt = ∫dv = v

2. Dengan proses yang serupa, sesaran seketika suatu zarah boleh didapati daripada fungsi halaju dengan cara pengamiran,

iaitu v = ds .
dt
ds
With the similar process, the instantaneous displacement of a particle is obtained from the velocity function by integration, that is v = dt .

NOTA IMBASAN ∫v dt = ∫ds = s

3. Secara Am / In general v= ds a= dv
dt dt
Sesaran, s = f(t) Halaju, v = g(t) Pecutan, a = h(t)
Displacement Velocity Acceleration

s = ∫v dt v = ∫a dt

4. Jumlah jarak yang dilalui boleh didapati dengan mencari luas di bawah graf halaju-masa, misalnya
The total distance travelled can be obtained by finding the area under the velocity-time graph. For instant

v(m s–1)

v = f(t)

0 t1 t2 t3 t(s)

Jumlah jarak bagi masa 0 ≤ t ≤ t3 ialah jumlah luas yang berlorek, iaitu
Total distance for time 0 ≤ t ≤ t3 is the total shaded area, that is

∫ ∫ ∫ t1 f(t) dt + | t2 f(t) dt| + t3 f(t) dt
0 t1 t2

183

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

9. Suatu zarah bergerak dalam satu garis lurus supaya melalui titik tetap O dengan halaju awal yang diberi dan

pecutannya a m s−2 dan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.

A particle moves on a straight line so that it passes a fixed point O with the given initial velocity and the acceleration a m s−2

BAB 8 and t is the time in second after passing O. TP 4

Tentukan / Determine

(i) halaju zarah apabila t = 2.

the velocity when t = 2.

(ii halaju zarah apabila pecutan ialah sifar.

the velocity when the acceleration is zero.

CONTOH

a = 9 − 4t2, halaju awal / initial velocity = 5 m s−1

(i) a = dv = 9 − 4t2 (ii) Apabila pecutan ialah sifar,
dt
When the acceleration is zero
dv = (9 − 4t2)dt
9 − 4t2 = 0

∫dv = ∫(9 − 4t2)dt t = 3
4 2
v = 9t − 3 t3 + c
Maka / Hence
3
Apabila t = 0, v = 5. Maka, c = 5. v = 9 2 2 − 4  3 23 + 5
3 2
v = 9t − 4 t3 + 5
3 = 14 m s−1
4
Apabila t = 2, v = 9(2) − 3 (2)3 + 5

= 1 2 13 m s−1

(a) a = 12 − 4t, halaju awal / initial velocity = (b) a = 2t − 3, halaju awal / initial velocity = 10 m s−1
−2 m s−1
dv
dv (i) a = dt = 2t − 3
dt
(i) a = = 12 − 4t dv = (2t − 3)dt

dv = (12 − 4t) dt ∫dv = ∫2t − 3 dt

∫dv = ∫12t − 4t dt v = t2 − 3t + c

v = 12t − 2t2 + c Apabila t = 0, v = 10. Maka, c = 10

Apabila t = 0, v = −2. Maka, c = −2 v = t2 − 3t + 10

v = 12t − 2t2 − 2 Apabila t = 2, v = (2)2 − 3(2) + 10

Apabila t = 2, v = 12(2) − 2(2)2 – 2 = 8 m s−1

= 14 m s−1 (ii) Apabila pecutan ialah sifar,

(ii) Apabila pecutan ialah sifar, When the acceleration is zero

When the acceleration is zero 2t − 3 = 0

12 − 4t = 0 t = 3
2
t = 3
Maka / Hence,
Maka / Hence,
1 3 2 31 3 
v = 12(3) − 2(3)2 − 2 v = 2 − 2 + 10

= 16 m s−1 = 7 43 m s–1

184

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

10. Satu zarah melalui titik O dengan halaju v m s−1 dan bergerak dalam satu garis lurus dengan pecutan a m s−2

dan t ialah masa dalam saat selepas melalui O.

A particle passes through O with the velocity v m s−1 and moves on a straight line with the acceleration a m s−2 and t is the

time in second after passing O. TP 4 BAB 8

Cari / Find

(i) masa dan halaju apabila pecutan ialah 2 m s−2.

the time and the velocity when the acceleration is 2 m s−2.

(ii) sesaran dan masa apabila halaju maksimum atau minimum.

the displacement and the time when the velocity is maximum or minimum.

CONTOH

a = 5t − 3 dan halaju awal ialah −4 m s−1.

a = 5t − 3 and the initial velocity is −4 m s−1.

(i) a = dv = 5t −3 (ii) s = ∫vdt =∫[ 5 t2 − 3t − 4]dt
dt 2
5 3
dv = (5t − 3) dt = 6 t3 − 2 t2 − 4t + c

∫dv = ∫(5t − 3) dt Apabila t = 0, s = 0, c = 0
5
v= 2 t2 − 3t + c s= 5 t3 − 3 t2 − 4t
6 2

Apabila t = 0, v = −4. Maka, c = −4 Apabila halaju maksimum atau minimum,
When t = 0, v = –4. Hence, c = −4
5 When the velocity is maximum or minimum,
2
v = t2 − 3t + c dv = 0, 5t − 3 = 0
dt t =
5 3
= 2 t2 − 3t − 4 5

Apabila/When a = 2, 5t − 3 = 2 s = 5 1 3 23 − 321 3 22 − 41 3 2
6 5 5 5
t=1
= – 13 5307 m
v= 5 (1)2 − 3(1) − 4
2
v = – 4 12 1
m s– 2

(a) a = 4 − t dan halaju ialah −5 m s−1 apabila t = 2 s.

a = 4 − t and the velocity is −5 m s−1 when t = 2 s.

(i) a= dv = 4−t (ii) s = ∫v dt
dt
–1
dv = (4 − t) dt =∫[ 2 t2 + 4t −11] dt

∫dv = ∫(4 − t) dt = –1 t3 + 2t2 − 11t + c
1 6
v = 4t – 2 t2 + c Apabila/When t = 0, s = 0, c = 0

A−5pa=b4il(a2/W) –he21n t = 2, v = −5. Maka/Hence s= –1 t3 + 2t2 − 11t
(2)2 + c 6

Apabila halaju maksimum atau minimum.

c = −11 When the velocity is maximum or minimum.

v = 4t – 1 t2 − 11 dv = 0, 4 − t = 0
2 dt

Apabila/When a = 2, 4 − t = 2 t=4

t=2 1 s = – –6212(423)3m+ 2(4)2 − 11(4)
2 =
v = 4(2) – (2)2 − 11

v = −5 m s−1

185

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

(b) a = 6t dan halaju ialah 4 m s−1 apabila t = 1 s.

a = 6t and the velocity is 4 m s−1 when t = 1 s.

BAB 8 (i) a= dv = 6t ( ii) s = ∫v dt
dt
dv = (6t) dt = ∫[3t2 + 1] dt

∫dv = ∫(6t) dt = t3 + t + c

v = 3t2 + c Apabila t = 0, s = 0, c = 0

Apabila/When t = 1, v = 4. Maka/Hence s = t3 + t

4 = 3(1)2 + c Apabila halaju maksimum atau minimum.

c = 1 When the velocity is maximum or minimum.
dv
v = 3t2 + 1 dt = 0, 6t = 0

At =pa31bila a = 2, 6t = 2 t = 0

Jadi/So s = 0

v = 3 1 22 + 1
3

v = 1 31 m s−1

11. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Halajunya, v m s−1 atau pecutan, a m s−2 diberi berikut,
t ialah masa dalam saat selepas zarah itu melalui satu titik tetap O. Dengan lakaran graf halaju-masa, cari
jumlah jarak yang dilalui dalam julat masa itu.

A particle moves along a straight line. The velocity, v m s−1 or acceleration, a m s−2 is given as follows, t is the time in second
after the particle passing through a fixed point O. With a velocity –time graph, find the total distance travelled in the given

time interval. TP 4

CONTOH

a = 6t − 8, halaju awal / initial velocity = 4 m s−1 Jumlah jarak yang dilalui dalam masa yang diberi:
Lakaran graf halaju–masa:
Total distance travelled in the given time interval:
Velocity–time graph:
0≤t≤2 2 ialah / Area from 0 to 2 is
v Luas dari 0 hingga 3 3

2

∫s1 = 3(3t2 − 8t + 4)dt

0
2
4 = 3t3 − 4t2 + 4t4 3 = 3 2 43 − 43 2 42 + 43 2 4
3 3 3
0

02 2t = 1 257 m 2 2
3 3 3
Luas dari t = ke t = 2/Area from t = to t = 2

Penyelesaian: ∫s2 = 2 (3t2 − 8t + 4)dt
+ 4t]22
Cari persamaan v / Find the equation of v: 2
3

a = dv = 6t −8 = [t3 − 4t2
dt
3 2 2 2
3 3 3
dv = (6t − 8) dt = [23 − 4(2)2 + 4(2)] − 13 43 − 43 42 + 43 42

∫dv = ∫(6t − 8) dt = −1 257 m

v = 3t2 − 8t + c Jumlah jarak/Total distance
Apabila/When t = 0, v = 4, maka/so c = 4
v = 3t2 − 8t + 4 = 1 257 + 1 257 = 2 2170 m

186

(a) v = 12t − 2t2   Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear  BAB 8

Lakaran graf halaju–masa: (b) a = (2 − t)2 dengan halaju sifar apabila t = 2.

Velocity–time graph: a = (2 − t)2 with zero velocity when t = 2.

v Lakaran graf halaju–masa:

Velocity–time graph:

v

0 3 68 t 02 4t
8
– 3

3 ≤ t ≤ 8 2≤t≤4

v = 2t(6 − t) = dv = (2 − t)2
a dt

Luas dari 3 hingga 6 ialah dv = (2 − t)2 dt

The area from 3 to 6 is

∫s1 = 6 (12t − 2t2)dt ∫dv = ∫(2 − t)2 dt

= 3 2 t3]6 = [6[6]2 − 2 (6)3] − [6(3)2 − v = (2 – t)3 + c
3 3 3 –3
[6t2 −

2 (3)3] Apabila/When t = 2, maka/hence
3
c = 0,

= 36 m v = (2 – t)3
–3
Luas dari t = 6 ke t = 8
The area from t = 6 to t = 8.
Jarak/Distance
∫s2 = 8 (12t − 2t2)dt
∫s = 4 (2 – t)3 dt
6 2 –3

= [6t2 − 2 t3]8 = [6[8]2 − 2 (8)3] − [6(6)2 − (2 – t)4 ]4 4
3 6 3 3(4) 2 3
=[ = m
2 – 29 31
3 (6)3] =

Jumlah jarak/Total distance = 36 + 29 31
= 65 31 m

187

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear

Applications of Kinematics of Linear Motion

BAB 8 12. Selesaikan yang berikut. Apabila/When t = 0 s = 12

Solve the following. TP 6 s = 3t2 – 12t + 12

CONTOH Apabila/When s = 0

P 3t2 – 12t + 12 = 0
OA
t2 – 4t + 4 = 0
Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang
mengandungi dua titik tetap, O dan A. Zarah (t – 2)2 = 0
P bergerak pada garis lurus itu. Halajunya,
v m s−1 diberi oleh v = 6t − 12, dengan keadaan t = 2s
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui A.
Apabila/When t = 2, v = 6(2) – 12
The diagram shows a straight line with two fixed
points, O and A. A particle P moves on the line. The = 0 ms–1
velocity, v m s−1 is given by v = 6t − 12, where t is the
time, in seconds, after passing through A. Zarah berhenti di 0

(i) Cari julat masa bagi pergerakannya ke The particle stops at 0.
arah O.
(iii) Jumlah jarak
Find the range of time for the movement towards
O. v

(ii) Jika jarak OA = 12 m, tentukan sama (8, 36)
ada zarah itu sampai ke O dalam
pergerakannya. 02 8 t
–12
If the distance OA = 12 m, determine whether
the particle reaches O during its journey. = 1 (2)(12) + 1 (63 )(36)
2 2
(iii) Cari jumlah jarak yang dilalui dalam
8 saat yang pertama = 12 + 108

Find the total distance travelled in the first = 120 m
8 seconds.
(iv) s
(iv) Lakarkan graf bagi sesaran–masa untuk
0 ≤ t ≤ 8. (8, 108)

Sketch the displacement–time graph for 12
0 ≤ t ≤ 8.
t
Penyelesaian: 028
(i) 6t – 12 < 0
6t < 12
t < 2
∴ Jarak/Distance 0 ≤ t < 2

(ii) s = ∫(6t – 12)dt

s = 3t2 – 12t + c

188

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

(a) Sebuah kereta mainan bergerak dengan (b) Suatu zarah bergerak dalam satu garis lurus

keadaan rehat dari satu titik tetap O. dan melalui satu titik tetap O dengan halaju
3
Pecutannya ialah a m s−2, diberi oleh a = 8 − 2t 2 m s−1. Zarah bergerak t s selepas melalui

dan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O, pecutannya f m s−2, diberi oleh f = a + bt, BAB 8

titik O. Cari dengan keadaan a dan b adalah pemalar. Jika
7
A toy car moves at rest from a fixed point O. The diberi halajunya ialah 2 m s−1 apabila t = 2
acceleration is a m s−2, given by a = 8 − 2t and t is
the time, in seconds, after passing O. Find dan zarah berhenti seketika apabila t = 3.
A particle moves along a straight line and passes
(i) halaju maksimumnya. 3
through a fixed point O with a velocity of 2 m s−1.
the maximum velocity.
The particle moves at t s after passing through O, the
(ii) sesaran maksimumnya. acceleration f m s−2, is given by f = a + bt, where a
7
the maximum displacement. and b are constants. If the velocity is 2 m s−1 when

(iii) masa yang diambil untuk kereta mainan t = 2 and the particle stops instantaneously when
t=3
kembali ke O.
(i) Cari nilai a dan nilai b.
the time taken for the toy car to return to O Find the value of a and of b.
again.

(iv) jumlah jarak yang dilalui dalam 6 saat

yang pertama.

the total distance travelled in the first 6 seconds.

(i) a = 8 – 2t (ii) Tentukan jarak yang dilalui dalam saat kedua.
Determine the distance travelled in the 2nd second.
v = 8t – t2 + c

t = 0 v = 0 c = 0 (i) t = 0 v = 3
2
v = 8t – t2

Apabila vmak, 8 – 2t = 0 ∫ = a + bt
t=4 b
2
∴ v = 8(4) – 42 = 16 m s–1 v = at + t2 + c

(ii) s = 4t2 – t3 +c t = 0 v = 3 c= 3
3 2 2

t = 0, s = 0 c = 0 b 3
2 2
s = 4t2 – 1 t3 v = at + t2 +
3
7
Untuk smak, 8t – t2 = 0 Apabila t = 2 v = 2

t[8 – t] = 0 7 = 2a + 2b + 3
2 2
t = 0 ; t = 8

Apabila t = 8, s = 4(8)2 – 1 (8)3 a+b=1
3
v = 0, t = 3
= 8 5 31 m 9b 3
0 = 3a + 2 + 2

(iii) Apabila balik ke O, s = 0 –3 = 6a + 9b

4t2 – 1 t3 = 0 –1 = 2a + 3b = 2(1 – b) + 3b
3
1 –3 = b, a = 4
3
t2[4 – t] = 0 ∴ 4t – 3 t2 + 3
2 2
t = 0 t = 12
(ii) s = 2 4t – 3 t2 + 3 dt
∫(iv) s = 6(8t – t2)dt v 2 2
0 O 68 ∫  2 1
3 4 = 2t2 – 1 t3 + 3 t 2
= [4t2 – 1 t3]6 2 2 1
3 0
= 3(2(2)2 –4 + 3) – 2 – 1 + 3 24
= 72 m 2 2

t =4m

189

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

BAB 8 (c) Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis (d) Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis

lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s−1 lurus dan melalui satu titik tetap O dengan

diberi oleh v = 6t – kt2, dengan t ialah masa, halaju −10 m s−1. Pecutannya, a m s−2, diberi

dalam saat, selepas melalui titik O. Jika oleh a = p − 3t2, dengan t ialah masa, dalam

pecutannya ialah 2 m s−2 apabila t = 2, cari saat, selepas melalui O. Jarak yang dilalui oleh

A particle moves along a straight line from O. Its zarah itu dari masa t = 1 hingga t = 2 ialah
velocity, v m s−1 is given by v = 6t – kt2, where t is 4 14 m. Cari
the time, in seconds, after passing through O. If the
acceleration is 2 m s−2 when t = 2, find A particle moves along a straight line and passes
through a fixed point O with a velocity of −10 m s−1.
(i) nilai k. The acceleration, a m s−2, is given by a = p − 3t2, where
t is the time, in seconds, after passing through O. The
the value of k. distance travelled by the particle from the time of

(ii) halaju maksimum t = 1 to t = 2 is 4 14 m. Find

the maximum velocity. (i) nilai p.

(iii) masa apabila zarah itu melalui O semula. the value of p.

the time when the particle passes through O (ii) halaju maksimum.
again.
the maximum velocity.
(i) v = 6t – kt2
dv
a= dt = 6 – 2kt (i) s = 0 ; v = –10
a = p – 3t2
Apabila t = 2, a=2 v = pt – t3 + c
2 = 6 – 2k(2) t=0
–4 = –4k v = –10
k = 1 c = –10
v = 6t – t2 v = pt – t3 – 10

(ii) dv = 6 – 2t = 0 s= pt2 – 1 t4 – 10t + c
dt 2 4
t=3
p 1
Apabila t = 3 t = 1 s1 = 2 – 4 – 10 + c

v = 6(3) – 32 4
2
= 18 – 9 = 9 t = 2 s2 = p – 4 – 20 + c

vmak = 9 m s–1 3 1 3 34 = 4 14
2
(iii) s = 3t2 – t3 +c s2 – s1 = p –
3
3 p = 18
t = 0; s = 0, c = 0 2

s = 3t2 – t3 p = 12
3
(ii) v = 12t – t3 – 10
Apabila kembali ke O
When return to 0. a = 12 – 3t2 = 0

  t t=2
3
vmak = 12(2) – 23 – 10
s = 0 = t2 3 – = 6 m s–1

∴t=9s



190

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

PRAKTIS SPM 18

Kertas 1 (c) 5 t2 – 8t = 0 BAB 8
2
1. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus
dan melalui titik tetap O. Halajunya, v m s−1, t[ 25 t – 8] = 0
16
2016 diberi oleh v = at2 − 8t, dengan keadaan a adalah t = 5 s
pemalar dan t ialah masa, dalam saat, selepas
melalui O. Pecutannya ialah 12 m s−2 apabila ∫(d) s = 3( 5 t2 – 8t)dt
t = 4 s. Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai 2
positif. Cari 0

A particle moves along a straight line and passes = [ 5 t3 – 4t2]3
through a fixed point O. Its velocity, v m s−1, is given by 6 0
v = at2 − 8t, where a is a constant and t is the time, in
seconds, after passing O. The acceleration is 12 m s−2 = 13.5 m
when t = 4 s. Assumming movement to the right is
positive. Find 2. Rajah menunjukkan kedudukan awal dan arah

(a) nilai a. pergerakan zarah P dan Q. Kedua-dua zarah
2017 bergerak secara serentak.
the value of a.
The diagram shows the initial position and the direction
(b) julat masa apabila halaju menyusut. of the movement of P and Q. The two particles move
simultaneously.
the range of time when the velocity decreases.

(c) masa dalam saat apabila zarah berhenti
seketika.

the time in seconds when the particle stops
instantaneously.

(d) jumlah jarak yang dilalui dalam 3 saat pertama

the total distance travelled in the first 3 seconds.

(a) v = at2 – 8t

a= dv = 2at – 8 P Q
dt O 13 m A

Apabila t = 4, a = 12 Halaju bagi zarah P, vp diberi oleh 6t2 + 12 dan
12 = 8a – 8 sesaran bagi zarah Q, sQ m dari A diberi oleh
sQ = 2t3 – t, dengan keadaan t ialah masa, dalam
a = 5 saat, selepas zarah P melalui O dan zarah Q
2

(b) v melalui A.

The velocity of P is given by 6t2 + 12 and the displacement
= 2t3 –
of Q, sinQ m from A is given tbicylesQP passes t, where t is the
time, seconds, after par through O and

particle Q passes through A.

0 8 16 t (a) Cari halaju awal bagi zarah Q.
55
Find the initlal velocity of Q.
–2
(b) Cari jumlah jarak dilalui oleh zarah Q dalam

3 saat yang pertama.

v = 5 t2 – 8t Find the total distance travelled by Q in the first
2
three seconds.

v = t[ 5 t – 8] (c) Hitung jarak pergerakan bagi kedua-dua zarah
2
P dan Q, dalam m, apabila mereka bertemu.
Calculate the distance travelled by both the particles,
8 16 P and Q, in m, when they meet.
∴ 5 < t < 5

191

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

(a) P 13 m Q 4t2 − 6t – 10, dengan keadaan t ialah masa dalam
O A
saat selepas kedua-dua zarah mula bergerak.
BAB 8 vP = 6t2 + 12 SQ = 2t3 – t
ddstQ = 6t2 – 1 Two particles, P and Q move along a straight line, such
dsQ that the displacement of the particles from a fixed point
Apabila t = 0 dt = –1 O4ant 2ids−as6tmtth–.eP1sa0ar,tmwicelheteiPrmemet,iopsvatehrsteifcrtlioemmQe Aimnwosveietchsonfsrdposm=a6fBte+wr t6ihtthe−stwQ6t=o2
particles start moving.
∴vQ = –1 m s–1
(a) Cari jarak di antara A dan B.
∫ 1 vQ
(b) s1 = 6 (6t2 – 1)dt 0 Find the distance between A and B.

0 (b) Cari masa, dalam saat, apabila kedua-dua
 1
0 zarah itu bertemu.
= (2t3 – t) 6
Find the time, in seconds, when the two particles
= ( 2 – 1 ) 13 t meet.
6 6 Ίෆ6
6 (c) Hitung jumlah jarak yang dilalui oleh zarah P

apabila zarah-zarah itu bertemu.

Calculate the total distance travelled by particle P
when the particles meet.

=  –2 = 2 m (a) Q P
36 36 0 6m A
B
3
Sp = 6 + 6t – 6t2
∫ s2 = 1 (6t2 – 1)dt Bila t = 0, Sp = 6 m
SQ = 4t2 – 6t – 10
6 Bila t = 0, SQ = –10 m
∴ jarak AB = 10 + 6 = 16 m
= 3(2t3 – t)4 31

6

= 51 – [ 6 2 – 1] (b) Sp = SQ
6 6 6 + 6t – 6t2 = 4t2 – 6t – 10

= 51 – [– 2 ] 10t2 – 12t – 16 = 0
36
2
= 51 + 36 5t2 – 6t – 8 = 0

(5t + 4)(t – 2) = 0

Jumlah jarak = 51 + 4 ∴ t = 2
36
Total distance (c) vp = 6 – 12t
Jarak oleh P
1 1 1 3 v
= 51.54 m = 2 (6)( 2 ) + 2 ( 2 )(198) 6

(c) sp = 2t3 + 12t + c = 3 + 27 = 30 = 15 m
Apabila t = 0 sp = –13 2 2 2
sp = 2t3 + 12t – 13
Apabila berselisah 0 1 t
2
sp = sQ
2t3 + 12t – 13 = 2t3 – t

13t = 13

t = 1

sp = 2 + 12 – 13 = 1 m 4. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan
sQ = 2 – 1 = 1 m dari A
melalui titik tetap O. Halajunya, v m s−1, diberi
3. Dua zarah, P dan Q bergerak di sepanjang satu 2019 oleh v = t3 − 5t2 + 4t, dengan t ialah masa, dalam
garis lurus, dengan keadaan sesaran zarah-zarah
saat, selepas melalui O. Cari
2018 dari satu titik tetap O ialah s m. Zarah P bergerak
dari A dengan sp = 6 + 6t − 6t2 dan pada masa yang A particle moves in a straight line and passes through O.
sama, zarah Q mula bergerak dari B dengan sQ = Its velocity, v m s–1 is given by v = t3 − 5t2 + 4t, where t is
the time, in seconds, after passing through O. Find

(a) pecutan awal zarah itu.

the initial acceleration of the particle.

192

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 

(b) julat masa, dalam saat, apabila pecutan zarah (c) v = 0 = t[t2 – 5t + 4] BAB 8
t[(t – 4)(t – 1) = 0
itu kurang daripada 12 m s−2. t = 0 t = 1; 4
∴ t = 1 atau 4
the time interval, in seconds, when the acceration of
the particle is less than 12 m s−2. ∫ ∫(d) s = 1 t3 – 5t2 + 4t dt + 4 t3 – 5t2 + 4t dt
01
(c) masa, dalam saat, apabila zarah berhenti
 4  4 = t4 – 5 t3 + 2t2 1 + t4 – 5 t3 + 2t2 4
seketika. 4 3 0 4 3 1

the time, in seconds, when the particle stops = 1 1 – 5 + 22 + 1 256 – 320 + 322
instantaneously. 4 3 4 3

(d) jumlah jarak yang dilalui oleh zarah sehingga = 7 + – 11 41 
12
ia berhenti seketika pada kali kedua

the total distance travelled by the particle until the
second time it stops momentarily.

(a) v = t3 – 5t2 + 4t = 1 1 56 m v
dv
a = dt = 3t2 – 10t +4

Apabila t = 0, a = 4 m s–2

(b) 3t2 – 10t + 4 < 12 4t

3t2 – 10t – 8 < 0 01

(3t + 2)(t – 4)< 0 Praktis
SPM
0 ≤ t < 4 Ekstra

Sudut KBAT KBAT

Satu zarah mula bergerak dari satu titik tetap A v = 0 = 36t – 18t2 A Ekstra
di sepanjang garis lurus dan menuju ke titik B. 0 = 18t[2 – t] B
Apabila tiba ke B, zarah itu berhenti seketika dan t=0;2
kembali ke A. Jarak B dari A, t saat selepas melalui ∴t = 2 s ke B t
A ialah s meter dan halajunya pada ketika itu, v m 2
s−1, diberi oleh v = 36t – 18t2. Cari (b) a = dv = 36 – 36t
dt
A particle starts from a fixed point A along a straight
line and moves towards B. When it reaches B, it stops Apabila t = 2, a = 36 – 72
instantaneously and then returns to A. The distance
of B from A, t seconds after passing A is s metre = –36 m s–2
and the velocity at that time, v m s−1, is given by
v = 36t – 18t2. Find (c) vmak apabila dv = 0, t =1
dt
(a) masa yang diambil oleh zarah untuk bergerak
dari A ke B. v maks = 36(1) – 18(1)2 v
= 18 m s–1
the time taken by the particle to move from A to B.
∫(d) SAB = 2(36t – 18t2)dt
(b) pecutan seketika apabila sampai ke B.
0
the instantaneously acceleration when it reaches B. = [18t2 – 6t3]2
0
(c) halaju makimum dalam pergerakannya.
= 24 m 0
the maximum velocity during the journey.
(e) Apabila s = 18t2 – 6t3 = 0
(d) jarak AB.
6t2[3 – t] = 0
the distance AB.
t = 0 ; 3
(e) masa apabila zarah kembali ke A lagi.
∴ t = 3
the time when the particle is back to A again.

(a) v = 36t – 18t2
Apabila berhenti

Quiz 8

193

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Kertas Pra-SPM SPM

KERTAS PRA

8 Kertas 1 / Paper 1
[2 jam / hours]

Bahagian A / Section A
[64 markah / marks]

Jawab semua soalan.
Answer all questions.

1. (a) Tiga biji dadu dilambungkan serentak. Nombor (ii) Satu kepada satu

yang diperoleh oleh dadu merah, putih dan One to one

hitam masing-masing ialah 1, 4, dan 5. (b) (i) k = 0

Three dice are thrown simultaneously. The numbers (ii) f(1) = 8 + b= 163 ...➀
appear on the red, white and black dice are 1, 4 and a
5 respectively.
8 5
(i) Lukis satu gambar rajah anak panah f(2) = 2a + b = 6 ...➁

untuk mewakilkan hubungan warna 4 8
a 6
dadu yang dilontar kepada nombor yang ➀ – ➁ =

diperoleh.

Draw an arrow diagram to show the relation 2a = 6
between the colour of the thrown dice to the a = 3
number obtained.
13 8 – 36
(ii) Seterusnya, nyatakan jenis hubungan itu. b = 6 – 3 =

Adakah hubungan ini satu fungsi? = – 12

Then, state the type of relation. Is this a function?

8 [2 markah / marks] 8 1 1
ax 3h 2 6
(b) Diberi fungsi f : x → + b, x≠ k, a ≠ 0, (iii) f(h) = – =

f(1) = 13 dan f(2) = 5 . 38h = 4
6 6 6
8
Given the function f : x → ax + b, x ≠ k, a ≠ 0, h = 4

f(1) = 13 and f(2) = 5 .
6 6

(i) Nyatakan nilai k. 2. (a) Diberi satu punca bagi persamaan kuadratik
x2 + px + 3q = 0 ialah dua kali punca satu lagi.
State the value of k.
Given that one root of the quadratic equation
(ii) Cari nilai a dan nilai b. x2 + px + 3q = 0 is two times the other root.
Find the value of a and of b.
1 Ungkapkan / Express
(iii) Cari nilai h jika f(h) = 6 .
(i) q dalam sebutan p.
Find the value of h if f(h) = 1 .
6 q in terms of p.

[4 markah / marks] (ii) fungsi kuadratik x2 + px + 3q dalam bentuk
verteks dan seterusnya cari koordinat titik
(a) (i) Merah / Red ➤1
pusingan dalam sebutan p.
Putih / White ➤4
the quadratic function x2 + px + 3q in its vertex
Hitam / Black ➤ 5 form and then find the turning point in terms
of p.

[4 markah / marks]

194

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Kertas Pra-SPM 

(b) Cari julat x bagi x(x − 2) > x + 4. 4. (a) Jabatan Kerja Raya merancang akan membina

Find the range of x for x(x − 2) > x + 4. tiga jalan raya. Juruteranya melukis pelan

[2 markah / marks] pada satu satah Cartes. Cari persamaan satu

(a) (i) x2 + px + 3q = 0 jalan raya, J3 yang mempunyai kecerunan
α + 2α = –p 2 dan bertemu dengan titik persilangan
3α = –p
α(2α) = 3q di antara dua jalan raya lain yang mempunyai

persamaan J2, 2x − 3y + 1 = 0 dan J1,
x − 2y = 1.
The Public Works Department plans to build three
2 –p 2 = 3q
3 roads. The engineer draws the plan on the Cartesian

2p2 = 27q plane. Find the eaqnudatmioenetofththeeprooiandt ,oJf3inwtheriscehcthioans
a gradient of 2
2p2
q = 27 between the other two roads which have the
equations of J2, 2x − 3y + 1 = 0 and J1, x − 2y = 1.
1 2 (ii) x2 + px + 3q = x+ p 2– p2 + 3q
2 4 [3 markah / marks]

p p2 2p2 (b) Ketiga-tiga jalan raya itu menyilang paksi-y.
2 4 9
x+1 2= 2– + Jika jalan raya J3 bertemu paksi-y pada A,
jalan raya J2 bertemu paksi-y pada B dan jalan
= 1x + p 22 – p2 raya J1 bertemu paksi-y pada C, cari nisbah
2 36 AB : BC.

∴ Titik pusingan –p , –p2 The three roads intersect the my-eaextsisy. -Iaf xtihseartoBadanJd3
2 36 find the ratio AB : BC.
1 2 Turning point meets y-axis at A, the road CJ,2
the road J1 meets y-axis at
(b) x(x – 2) > x + 4 [3 markah / marks]

x2 – 2x – x – 4 > 0

x2 – 3x – 4 > 0 (a) 2x – 3y + 1 = 0 ...➀

(x + 1)(x – 4) > 0 x – 2y = 1

Julat x /Range of x x = 1 + 2y ...➁

∴x < –1, x > 4 2[1 + 2y] – 3y + 1 = 0

2 + 4y – 3y + 1 = 0

3. (a) Cari nilai p jika ploifgl2o8g2+8 2 2lolgo2g2p = 5. y = –3

Find the value of + p = 5. x = 1 – 6 = –5

[2 markah / marks] ∴Titik persilangan (–5, –3)

(b) Selesaikan / Solve Intersection point
32x + 3 + 6(3x) − 1 = 0
Persamaan J3 (y + 3) = 2(x + 5)
Equation J3 y = 2x + 7
[3 markah / marks]
(b) y = 2x + 7

(a) log2 8 + 2 log2 p = 5 J2 : y = 2 x + 1
3 3
3 + log2p2 = 5
J1 : y = 1 x – 1
log2p2 = 2 2 2

p2 = 22 AB : BC

p = 2 7 − 1 2 :  1 – − 1 22
3 3 2
(b) 32x + 3 + 6(3x) – 1 = 0

27·32x + 6(3x) – 1 = 0 230 : 5 =8:1
6
(9·3x – 1)(3·3x + 1) = 0 y

3x = 1 3x = – 31 = –(3)–1 A7
9

3x = 3–2 Tidak diterima B 1
3
x = –2 Rejected

0 x

C – 1
2

195

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Kertas Pra-SPM

5. (a) Seekor kura-kura bergerak dalam satu garis 6. Diberi persamaan x2 − (2k + 4)x + 3k + 2 = 0
mempunyai punca-punca berbeza dan nyata, dan
lurus dengan jarak 2 m dalam minit pertama, perbezaan di antara kedua- dua punca ialah 4.

1.5 m dalam minit kedua dan untuk setiap Given the equation x2 − (2k + 4)x + 3k + 2 = 0 has
different and real roots, and the difference between the
8 minit yang seterusnya, ia bergerak sejauh 3 roots is 4.
4
daripada jarak yang dibuat sebelumnya. (a) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.

Terdapat beberapa makanan yang diletakkan Find the possible values of k.

9 m dari titik permulaan. Adakah kura-kura (b) Seterusnya, cari punca-punca yang mungkin.

akan sampai ke makanan jika ia meneruskan Then, find the possible roots

perjalanan seperti yang dinyatakan? [5 markah / marks]

Terangkan. (a) α, α + 4

A tortoise moves in a straight line with a distance of α + α + 4 = 2k + 4
2 m in the first minute, 1.5 m in the second minute

and for each subsequent minute, it moves 3 of the 2α + 4 = 2k + 4
4
α = k
distance made previously. There is some food placed
9 m from the starting point. Will the tortoise reach α(α + 4) = 3k + 2
the food if it continues its journey as stated? Explain.
k(k + 4) = 3k + 2

[3 markah / marks] k2 + k – 2 = 0

(b) Tiga sebutan positif yang berbeza, 2, x, y (k – 1)(k + 2) = 0

adalah sebutan berturutan bagi suatu janjang k = 1 ; –2

geometri. Jika ketiga-tiga sebutan itu juga (b) Jika k = 1 x2 – 6x + 5 = 0

adalah sebutan pertama, ke-2 dan ke-12 satu (x –1)(x – 5) = 0

janjang aritmetik, cari nilai-nilai x dan y. Jika k = –2 x2 – 4 = 0

Three different positive terms, 2, x, y are consecutive x = ±2
terms for a geometric progression. If the three
terms are also the first , 2nd and the 12th terms of an
arithmetic progression. Find the values of x and y.

[3 markah / marks]

7. (a) Terdapat tiga buah bot permainan, Q, R dan

(a) 2, 1.5, ... S dalam satu kolam. Kedudukan masing-

a=2,r= 3 masing jika merujuk kepada titik P ialah
4 AP→Qda=ka−h2~ike+ti~jg,a-P→tRig=a b2o~it+it5u~jsedgaanriP→s?S = 4~i + 7~j .
a 2
S∞ = 1–r = – 3 =8m
4 Three toy boats, Q, R and S are in a pond.
1
The respective positions if referring to point P are

Tidak sampai tempat makanan. P→Q = −2~i + ~j , P→R = 2~i + 5~j and P→S = 4~i + 7~j . Are the
three boats collinear?
Not reach the food.
x y x2
(b) 2 = x y = 2 [3 markah / marks]

a=2 (b) Bot Q mula bergerak pada masa yang sama

a+d=x⇒d=x–2 dengan bot R pada arah yang sama. Halaju

a + 11d = y 2 + 11(x – 2) = x2 QmBodast−a1nQdRastnamr~vtasrs=tion(gma-~omi v+aes3aint~jgt)hmiealsasa−hm1.e~vCqtaim=rie(n5ai~lsiabi+oaa.6t~jR)
2

2 + 11x – 22 = x2 in the same direction. The velocities of Q and R
2
arersep~veqct=ive(5ly~i. F+in6d~j )thme s−1 and av~.r = (a~i + 3~j ) m s−1
2(11x – 20) = x2 value of

x2 – 22x + 40 = 0 [3 markah / marks]

(x – 20)(x – 2) = 0

x = 20 ; 2 P→Q
P→R
y = 200, 2 ( a) = –2~i + ~j
P→S = 2~i + 5~j
2, 20, 200, x = 2, y = 2 = 4~i + 7~j

∴x = 20, y = 200 tidak diterima

196

  Matematik Tambahan  Tingkatan 5  Kertas Pra-SPM 

Q→R = Q→P + P→R = –21 +  2 2 =  4 2 A law in the form y = axn relates the variables x and
5 4 tlhoagt10fryomgratphhe
y. From a set of values of x and y, the
Q→S Q→P P→S –212 4 6 laingaeionfsbt elostgf1i0t x is drawn. It is found
7 6 has a gradient of 2 and the intercept of
= + = +  2 =  2 log10 y is 1.3, estimate the value of a and of n.

Q→R = 4(~i + ~j ) Q→S = 6(~i + ~j ) [2 markah / marks]

= 6 Q→R (a) (i) y = 2x2 − 8
4
y 8
Q→S = 3 Q→R x2 =– x2 + 2
2
y 1
Oleh sebab titik Q ialah titik sepunya dan Y = x2 , X = x2 , m = −8 , c = 2

Q→S = 3 Q→R. Q, R dan S adalah segaris. (ii) k = −8(2) + 2
2 a common point and Q→S =
Since is 3 Q→R. = −14
point Q 2
(b) y = axn
Q, R and S are collinear.
log y = log a + n log x
(b) ~vq = 5~i + 63~j~j,
~vr65 = =a~3ai + n = 2 log a = 1.3

a ≈ 20

6a = 15 1 dy
2)(x dx
a = 5 9. (a) Diberi y = (x + – 3), buktikan +
2
y2(2x − 1) = 0.

8. (a) Rajah 1 menunjukkan graf lengkung Given y = (x + 1 – 3), prove that dy + y2(2x − 1)
2)(x dx
y = 2x2 − 8. Lengkung itu diungkapkan dalam = 0.

bentuk linear Y = −8X + c dan dilukis dalam [3 markah / marks]

graf garis lurus seperti ditunjukkan. (b) Isi padu air, V cm3, di dalam sebuah tangki

Diagram 1 shows a curve y = 2x2 − 8. The curve is yang bocor adalah diberi oleh V = 100 − 2t − t2,
expressed in linear form Y = −8X + c and drawn in
the graph of a straight line as shown. dengan t ialah masa dalam saat. Cari

y Y The volume of the water, V cm3, in a leaking tank
y = 2x2 – 8 is given by V = 100 − 2t − t2, where t is the time in
seconds. Find
2
(i) isi padu asal air di dalam tangki.
x 0X
0 the initial volume of water in the tank.

(2, k) (ii) kadar isi padu air mengalir keluar dari

Rajah 1 / Diagram 1 tangki apabila t = 4.

(i) Ungkapkan X dan Y dalam sebutan x dan/ the rate of the volume of water that flows out
atau y. from the tank when t = 4.

Express X and Y in terms of x and/or y [2 markah / marks]

(ii) Cari nilai k. (a) y = (x + 1 – 3) = (x2 1 – 6)
2)(x –x
Find the value of k.
dy = –(x2 –x – 6)–2(2x – 1)
[2 markah / marks] dx

(b) Satu hukum yang berbentuk y = axn = 1 – 2x
menghubungkan pemboleh ubah x dan y. (x2 – x – 6)2
Daripada satu set nilai-nilai x dan y, graf log10 y
melawan log10 x dilukis. Didapati bahawa dari dy + y2(2x – 1)
garis lurus penyuaian terbaik mempunyai dx
kecerunan 2 dan pintasan log10 y ialah 1.3,
anggarkan nilai a dan n. = 1 – 2x + (x (2x – 1)
(x2 – x – 6)2 + 2)2(x – 3)2

= (x + 0 – 3)2 = 0
2)2(x

197