ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

หนังสอื การเรียนการสอนเรื่อง

คา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์
จัดทาโดย

นายณัฐวุฒิ ศริ ิวรรณเ์ พญ็ เลขท2่ี ม5/3
เสนอ

คุณครู ศิริวรรณ ขาพลี

คานา

ตรีโกณมิติ เป็นวิชาทว่ี า่ ดว้ ยเรื่องมุมของ รูปสามเหลย่ี ม มมุ ฉาก และเป็นสาขาหน่ึงของ
คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวขอ้ งกบั มมุ , รูปสามเหลยี่ ม และฟังกช์ ตั รีโกณมติ ิ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มี
ความเกี่ยวขอ้ งกบั เรขาคณิต แมว้ ่าจะสรุปไมไ่ ดอ้ ยา่ งแน่ชดั วา่ ตรีโกณมติ เิ ป็นหวั ขอ้ ยอ่ ยของ
เรขาคณิต แต่อยา่ งไรก็ตาม ตรีโกณมติ ิ น้นั กย็ งั มีสูตรหลายๆ อยา่ งท่ีตอ้ งควรจามากมาย และ
สูตรเหล่าน้ีกย็ งั สามารถนาไปใชใ้ นการสอบต่างๆ ไดอ้ กี ดว้ ย ตรีโกณมิตนิ ้นั ยงั เป็ นส่วนหน่ึงของ
การสร้างอะไรหลายๆอยา่ ง เช่น บา้ น สะพานลอยต่างๆ (การวดั มุมโดยใชต้ รีโกณมติ )ิ เป็นตน้

สารบญั

แบบทดสอบกอ่ นเรียน
ค่าของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์
โดเมนและเรนจข์ อง sine function และ cosine function
ความสมั พนั ธข์ องฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์
การหา ค่าของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์
การหาค่า sinθ cosθ โดยใชม้ อื ซา้ ย
ตวั อย่างการหาคา่ ฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์
แบบฝึกทกั ษะท่ี1
แบบฝึกทกั ษะท2่ี
แบบทดสอบหลงั เรียน
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท1่ี
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท2่ี
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

แบบทดสอบก่อนเรียน

1.ค่าของ sin(11π/6) มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก.1/2
ข.√3/2
ค.-1/2
ง.-√3/2
2.คา่ ของ cos (4π/3) มคี ่าตรงกับขอ้ ใด
ก.1/2
ข.√3/2
ค.-1/2
ง.-√3/2
3.คา่ ของ cos(7π/4) มคี ่าตรงกบั ข้อใด
ก.√2/2
ข.√3
ค.-√2/2
ง.-√3/2

4.คา่ ของ sin(2π/3) – cos(5π/7) มคี า่ ตรงกบั ตัวเลอื กในขอ้ ใด
ก.√2
ข.√3
ค.-√2
ง.-√3
5.ค่าของ sin(π+3π/4) มคี า่ ตรงกบั ตวั เลือกในข้อใด
ก.√2/2
ข.√3/2
ค.-√2/2
ง.-√3/2
6. ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ ูกตอ้ ง
กsin30°<sin45°
ข.sin60°<cos60°
ค.sin45°>cos45°
ง.sin60°<cos45°

7.ค่าของ sinπ/6 + cos 2π/3 -cos π/6 มคี ค่าเท่ากับขอ้ ใด
ก. ½
ข.√3/2
ค-1/2
ง.-√3/3
8.คา่ ของ sinπ/4cos9π/4-sinπ/6cos5π/6 มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด
ก.√3/2
ข.√3/8
ค.-√3/2
ง.-√3/8
9.คา่ ของ 1/2cosπ/3-2sinπ/6-1/4 มคี ค่าเท่ากบั ขอ้ ใด
ก.-3
ข.0
ค.-1
ง.-√3

10.คา่ ของ (sin²π/3cos²π/3) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด
ก.3
ข.2
ค.1

ง.0

คา่ ของฟังกช์ ันไซนแ์ ละโคไซน์

คา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ จะเก่ยี วขอ้ งกบั θ พิกดั ของ จดุ (x, y) ซึง่ ในบทความนจี้ ะ
อธิบายเก่ยี วกบั ความสมั พนั ธร์ ะหว่าง x, y กบั θ จากบทความทผ่ี า่ นมาเราไดร้ ูจ้ กั วงกลม
หนงึ่ หนว่ ยและการวดั ความยาวสว่ นโคง้ ในบทความนนี้ อ้ งๆจะไดร้ ูจ้ กั กบั ฟังกช์ นั ไซน์ (sine
function) และฟังกช์ นั โคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาคา่ ของฟังกช์ นั ทงั้
สอง

Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}
cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}
จาก P(θ) = (x, y) และจาก x = cosθ และ y = sinθ

จะไดว้ ่า P(θ) = (cosθ, sinθ)

sine function และ cosine function

โดเมนของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ คอื จานวนจริง น่นั คือ θ ∈

เรนจข์ องฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนค์ อื [-1, 1] น่นั คอื คา่ ของ cosθ และ sinθ จะอยใู่ นช่วง
[-1, 1]

ความสัมพนั ธข์ องฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์

พิจารณาสมการวงกลมหนง่ึ หน่วย (รศั มีเป็น 1) x² + y² = 1
เม่อื แทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหน่ึงหน่วย
จะไดว้ ่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขยี นไดอ้ ีกรูปแบบหน่งึ คือ
cos²θ + sin²θ = 1

การหา คา่ ของฟังกช์ ันไซนแ์ ละโคไซน์

การหาค่าฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนน์ นั้ นอ้ งๆจะตอ้ งมีพืน้ ฐานเรอื่ งความยาวสว่ นโคง้ และพิกดั จดุ
ปลายส่วนโคง้ พรอ้ มทงั้ รูเ้ ร่ืองจตภุ าคดว้ ย นอ้ งๆสามารถดเู นือ้ หาไดท้ ี่ >> ความยาวส่วนโคง้
ของวงกลมหนง่ึ หน่วย<<

กาหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ
พจิ ารณา θ = 0 จะไดว้ า่ พกิ ดั จดุ ของ P(0) คอื (1, 0) น่นั คือ P(0) = (1, 0)
ดงั นนั้ x = 1 และ y = 0 น่นั คอื cos(0) = 1 และ sin(0) = 0
พจิ ารณาที่ θ = จะไดว้ า่ P( ) = (0, 1)
ดงั นนั้ cos( ) = 0 และ sin( ) = 1
พจิ ารณา θ = จะไดว้ ่า P( ) = (-1, 0)

ดงั นนั้ cos( ) = -1 และ sin( ) = 0
พจิ ารณาที่ θ = จะไดว้ ่า P( ) = (0, -1)
ดงั นนั้ cos( ) = 0 และ cos( ) = -1
การหาค่า sinθ cosθ โดยใชม้ อื ซา้ ย

แต่ละนวิ้ จะแทนค่าของ θ ดงั รูป
เราจะหาค่าโดยการพบั นิว้ เชน่ ตอ้ งการหา sin( ) เราก็จะพบั นิว้ นางลงเราจะใหน้ วิ้ ทพ่ี บั ลง
เป็นตวั แบ่งระหวา่ ง cos กบั sin ซง่ึ จะแบ่งออกเป็นฝ่ังซา้ ยและฝ่ังขวาช่องว่างในรูทคอื
จานวนนวิ้ ทีเ่ รานบั ไดเ้ ม่อื เราพบั นิว้ ลง หากตอ้ งการคา่ sin ใหน้ าจานวนนวิ้ ฝ่ังซา้ ยมาเติมในรูท
และหากตอ้ งการค่า cos ใหน้ าจานวนนวิ้ ฝ่ังขวามาเตมิ ในรูท หากนอ้ งๆยงั งงๆเรามาดู
ตวั อย่างกนั ครบั
ตอ้ งการหาค่า cos( ) และ sin( ) cos( )

จากโจทยเ์ ราตอ้ งการหาคา่ โคไซน์ ท่ี θ = ซึง่ ตรงกบั นิว้ กลาง
ดงั นนั้ เราจึงพบั นิว้ กลางลง และหาค่าโคไซนเ์ ราตอ้ งดจู านวนนวิ้ ฝ่ังขวาซ่งึ ก็คอื นวิ้ ทถ่ี กู ระบาย

ดว้ ยสสี ม้ จะเห็นวา่ มี 2 นิว้ ดงั นนั้ cos( ) =

sin( )

จากโจทยต์ อ้ งการหาค่าฟังกช์ นั ไซน์ ที่ θ = เราจึงพบั นิว้ ชลี้ ง และดจู านวนนวิ้ ฝ่ังซา้ ยซง่ึ กค็ อื
นวิ้ ท่ถี กู ทาดว้ ยสฟี ้า ดงั นนั้ sin( ) = แลว้ สมมตวิ ่า θ เป็นคา่ อ่นื ๆนอกเหนือจากคา่
เหล่านลี้ ะ่ เชน่ เราจะหายงั ไงดี???
จรงิ ๆแลว้ ค่าของ นนั้ เราสามารถดขู อง ไดเ้ ลย แต!่ !!! เคร่ืองหมายอาจจะตา่ งกนั ให้
นอ้ งๆสงั เกตวา่ คา่ ของ นนั้ อยคู่ วอดรนั ตท์ เี่ ท่าไหร่ แลว้ นอ้ งจะรูว้ า่ ค่า x ควรเป็นลบหรอื เป็น
บวก คา่ y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก
อย่างเช่น cos( )
เรามาดกู นั ว่า θ = อยคู่ วอดรนั ตเ์ ท่าไหร่

จะเห็นวา่ อย่คู วอดรนั ตท์ ่ี 2 ซ่งึ (- , +) ดงั นนั้ คา่ x เป็นจานวนลบ คา่ y เป็นจานวนบวก และ
เรารูว้ ่า x = cosθ ดงั นนั้ คา่ cos( ) เป็นจานวนลบแนน่ อน
จากนนั้ ใชม้ ือซา้ ยเพื่อหาค่า cos โดยใชค้ ่า θ = ไดเ้ ลย จะไดว้ ่า cos( ) =
ดงั นนั้ cos( ) =

นอกจากจะดหู าคา่ โดยใชม้ ือซา้ ยแลว้ สามารถดตู ามรูปดา้ นล่างนไี้ ดเ้ ลย

ในวงกลมทรี่ ะบายสฟี ้านนั้ คือค่าของ θ ซ่ึงแตล่ ะ θ กจ็ ะบอกพิกดั จดุ (x, y) ซงึ่ กค็ ือค่าของ
cosθ และ sinθ น่นั เอง
เชน่ sin( ) = และ cos( ) =

ตัวอยา่ งการหาคา่ ฟังกช์ ันไซนแ์ ละโคไซน์

1) หาคา่ sin( )
วิธีทา หาคา่ sin( )

จะไดว้ ่า sin( ) = จากนนั้ ดพู ิกดั จดุ ของ P( ) จะไดว้ า่ อย่คู วอดรนั ตท์ ี่ 3 ซึง่ (- , -)
น่นั คอื ค่า x เป็นจานวนลบ (cosθ เป็นจานวนลบ) และคา่ y เป็นจานวนลบและจาก
y = sinθ ดงั นนั้ sin( ) =

2) หาค่า sin²( ) + cos²( )
วิธีทา จากความสมั พนั ธข์ องไซนแ์ ละโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1
จะไดว้ า่ คา่ ของ sin²( ) + cos²( ) = 1 เน่ืองจากว่าเราเรยี นคณิตศาสตรเ์ รา
จะตอ้ งไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดงั นนั้ เราจะมาหาค่าโดยใชว้ ิธีตรงกนั

จาก sin( ) = จะไดว้ า่ sin²( ) = และ cos( ) = จะไดว้ ่า cos²( )
=
ดงั นนั้ + = = 1
ดงั นนั้ สรุปไดว้ ่า sin²( ) + cos²( ) = 1

3) หาค่า cos²( ) + cos²( ) – cos²( )
วธิ ีทา จาก cos( ) = 0 cos( ) = 0 และ cos( ) = -1
จะไดว้ ่า cos²( ) = 0 cos²( ) = 0 และ cos²( ) = (-1)² = 1
ดงั นนั้ cos²( ) + cos²( ) – cos²( ) = 0 + 0 – 1 = -1

แบบฝึ กทักษะ1

จงหาค่าของ
1.cos 3π/2 + sin 2π-3π/2
2.sin² π/6+cos²π/6
3.cos π/2 + sin 2π- sinπ
4.sin π/3-cosπ/6
5√3.sin² π/4 + cos²π/3
6.sin π/2+ cos 2π- cos 3π/2
7.√2 cos π/4 sin π/6 cosπ/3
8.sin² 3π/2 + sin²0+ sin² 2π
9.sin π/6 + cos π/3 -sin π/4
10.sin² π/3 + cos² π/3

แบบฝึ กทกั ษะท2ี่

จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนต์ อ่ ไปนี้

1) Cos (π+π/4)=…..=…..=…….
2) Sin (2π-π/6)=…..=…..=……
3) Cos (-π/6=…..=…..=……
4) Sin (2π+π/3)=…..=…..=…..
5) Sin 5π/4=…..=……=…….
6) Cos 7π/6=…..=……=……
7) Sin 5π/3=…..=…….=……
8) Cos 7π/4=…..=……=…..
9) Sin 11π/6=…..=……=…..
10) Cos 13π/6=…..=……=….

แบบทดสอบหลังเรียน

1.กาหนดใหม้ มุ A มขี นาด 90 องศา แลว้ sinA,cosA มคี ่าเท่า กบั เท่าใด
ตามลาดบั
ก. 1,0
ข. 0,1
ค. 1,0
ง. 0,1
2. กาหนดใหม้ มุ A มขี นาด 270 องศาแลว้ sinA,cosA มีค่าเท่าดบั เทา่ ใด
ตามลาดบั *
ก. 1,0
ข. 0,1
ค. 1,0
ง. 0,1
3. เรนจข์ องฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนม์ คี า่ อย่ใู นช่วงใด*

ก. (1,1)
ข. [1,1]
ค. (1,2)
ง. [2,2]

4. กาหนดสามเหลี่ยม ABC มดี า้ นa,b,c เป็นดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาดบั จงหาว่า
ดา้ น a มี ความยาวเท่าใด เม่ือมมุ A=30 องศามมุ B=60 องศา และดา้ น b=2 หนว่ ย *
ก. 2√3
ข. 2√3
ค. √3/2
ง. √3/2
5. กาหนดสามเหลี่ยม ABC มดี า้ น a,b,c เป็นดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาดบั จงหาวา่
มมุ CB มี ค่าเท่ากบั เท่า ใดโดยประมาณ เมอื่ มมุ A=120 องศา ดา้ น a=3 หน่วย และดา้ น
b=1 หน่วย*
ก. 23 องศา
ข. 26 องศา
ค. 30 องศา
ง. 34 องศา
6. กาหนดสามเหล่ียม ABC มดี า้ นa,b,c เป็ นดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาดบั จงหาว่า
ดา้ น c มี ความยาวเท่าใด เมื่อมมุ C=60 องศา ดา้ น a=7 หนวย่ และดา้ นน b=5 หนว่ย *
ก. 3 หนว่ ย
ข. 4 หนว่ ย
ค. 6 หนว่ ย
ง. 8 หน่วย

7. กาหนดสามเหลย่ี ม ABCมีดา้ น,b,c เป็ นดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาํดบั จงหา
วาํ่มมุ A และ มมุ C-B มคาี เทาํ่ํ่ กบขั อใ้ ดโดยประมาณ เมอื ดาํน้ a=2 หนวย่ ดา้ น
b=5 หนวย่ และดา้ น c=4 หนวย่ *
ก. 30 องศา , 120 องศา ข. 24 องศา , 100 องศา
ค. 28 องศา , 72 องศา
ง. 23 องศา , 131 องศา

8. กาหนดสามเหลยมี ABC มดี า้ น a,b,c เป็ นดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาดบั จงหาวา่
รูป สามเหลยมี นเี ป็ นสามเหลี่ยมชนดิ ใดใด เมอื่ มมุ B=30 องศา ดา้ น b=50√3 หน่วยย
และดา้ น c=150 หนว่ย
ก. รปสู ามเหล่ยี มดา้ นเท่า
ข. รปสู ามเหลย่ี มมมุฉาก
ค. รปสู ามเหล่นี มดา้ นไม่เทา่
ง. รปสู ามเหลีย่ มหนา้ จ่วั

9. กาหนดสามเหลย่ี ม ABC มดี า้ น a,b,c เป็ นดา้ นตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาดบั จงหาวา่
ขอ้ ใดคอื เสน้ รอบรูปของสามเหลี่ยม เมอ่ื มมุ B=45 องศา ดา้ นน b=2√2 หนว่ย และดา้ น
c=2√3 หนวย่ *

ก. 3√2+2√3

ข. 3√2+2√3+√6

ค. √2+√3+√6

ง. 2√2+√3+√6

10. กาหนดสามเหล่ียม ABCมีดา้ น a,b,c เป็ นดา้ นนตรงขา้ มมมุ A,B,C ตามลาดบั จงหา
ว่าA-B มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดโดยประมาณ เมื่อดา้ น a=2 หนว่ย ดา้ น b=1 หนวย่ และดา้ น
c=1.7 หนวย่ *

ก. 30 องศา
ข. 45 องศา

ค. 60 องศา
ง.ษะท1่ี 90 องศา

ขอ้ 1.ค เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น
2.ค
3.ก 6.ก
4.ข 7.ง
5.ค 8.ง
9.ค
10.ค

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะท1ี่

1.cos 3π/2 + sin 2π-3π/2
=0+0-1
=1

2.sin² π/6+cos²π/6
=(1/2)²+(√3/2)²
=1/4+3/4
=4/4
=1

3.cos π/2 + sin 2π- sinπ
=0+0-0
=0

4.sin π/3-cosπ/6
=√3/2-√3/2
=0

5.sin² π/4 + cos²π/3
=(√3/2)+(1/2)+(1/2)²
=2/4+1/4+1/4
=4/4
=1

6.sin π/2+ cos 2π- cos 3π/2
=1+1-0
=2

7.√2 cos π/4 sin π/6 cosπ/3
=√2(√2/2)(1/3)(1/2)
=2/2×1/2×1/2
=2/8

8.sin² 3π/2 + sin²0+ sin² 2π
=(-1)²+(0)²+(0)²
=1+0+0
=1

9.sin π/6 + cos π/3 -sin π/4
=1/2+1/2-√2/2

=2/2-√2/2
=1-√2/2

10.sin² π/3 + cos² π/3
=3/4+1/2
=4/4
=1

เฉลยแบบฝึ กทักษะท2ี่

1) cos (π+π/4)= -cos π/4 =-√2/2
2) Sin (2π-π/6)=-sin π/6 =-1/2
3) Cos (-π/6)=cosπ/6=√3/2
4) Sin (2π+π/3)=sinπ/3=√3/2
5) Sin 5π/4=sin(π+π/4)=-sinπ/4=-√2/2
6) Cos 7π/6=cos(π+π/6)=-cosπ/6=-√3/2
7) Sin 5π/3=sin(2π-π/6)=-cosπ/6=-√3/2
8) Cos 7π/4=cos(2π-π/3)=cosπ/3=√2/2
9) Sin 11π/6=sin(2π-π/6)=-sinπ/6=-1/2
10) Cos 13π/6=cos(2π+π/6)=cosπ/6=√3/2

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

1.ก 6.ค
2.ค 7.ง
3.ข 8.ง
4.ก 9.ข
5.ข 10.ค

อ้างอิง

https://sites.google.com/site/math58112033501/bth-thi-4-
invers-khxng-trikonmiti