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08 ANALYSE

Magazine Dérivabilité et Bijections

EXERCICE N°1 : 30' 6 points

Soit la fonction f définie sur I  ;0 par f (x)  x  1  1 .
x

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan munie d’un repère orthonormé (O , ⃗i , ⃗j )

1) a) Justifier que f est dérivable sur I .

b) Calculer f '(x) pour tout x appartient à I .

2) a) Déterminer lim f (x) , interpréter graphiquement ce résultat.
x 0
b) Calculer lim f (x)
x 

3) a) Dresser le tableau de variation de f sur I .

b) Montrer que l’équation f (x)  0 admet dans I une unique solution  .

c) Vérifier que 1.4   1.3.
d)En déduire le signe de f .

e) Montrer que    3  1 .
4) a) Montrer que f admet une fonction f 1 réciproque définie sur un intervalle J que l’on précisera.

b) Déterminer lim  f (x) (x  1) . Interpréter graphiquement ce résultat.
x 

EXERCICE N°2 : 25' 5 points

Dans le graphique ci-dessous, C est la courbe représentative, dans un repère orthonormé (O,i , j), d’une

fonction f continue sur et dérivable sur  \2

1) a) Donner f (0), f (2), f '(3), f 'd 0 et f 'g 0

b) Donner lim f (x)  3 , lim f ( x)  3 , lim f (x) 1
x x x 2
x 0 x 0 x2

 1 '3et
    c) Calculerf2 f3  f f '3 .
'(3), '(3)

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2) a) Ecrire une équation de la tangente à C au point d’abscisse 3.

b) Ecrire les équations des demi-tangentes à C au point d’abscisse 0.

3) Soit la fonction g définie par g( x )  x2  x
5  2x

a) Sur quels ensembles g est-elle dérivable ? Calculer g'(x) .

b) Calculer  f  g'(3),  f .g'3 et  g '3 .
 f
 

4) a) Justifier que f réalise une bijection de sur un intervalle J à préciser.

b) Construire sur le même graphique la courbe C ’ de f 1 .

 c) Justifier que f 1 est dérivable en 4 et déterminer f 1 '4 .

 d) Justifier graphiquement que f 1 est dérivable en -1 et déterminer f 1 '1 .

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EXERCICE N°3 : 25' 5 points

A) Soit f la fonction définie par : f  x   x  1 .

1/ Dresser le tableau de variations de f .

2/ Montrer que f réalise une bijection de I  0; sur un intervalle J à préciser.

3/ Expliciter f 1  x  pour x  f I  .Préciser les propriétés de f 1 :sens de variation et continuité.

4/ Tracer C f et C f -1 .

B) Soit la fonction f définie sur 1; par f  x   2x2  4x .

1/ Vérifier que f réalise une bijection de 1; sur 2;

2/ Calculer f 1  x  pour x 2; .

C) Soit la fonction f définie sur 0; par f ( x )  x  1 .
x

1/ Montrer que f réalise une bijection de 0; sur un intervalle I que l’on déterminera.

2/ Calculer f 1x pour x I .

EXERCICE N°4 : 30' 6 points

A) Soit g la fonction définie sur par : g(x)  4x3  x2  1 .

1/ Etudier les variations de g .

2/ a- Montrer qu’il existe un unique   tel que g   0 .

b- Vérifier que    1; 1  .
 6 

c- Déduire suivant les valeurs de x le signe de g x  .

3/ Montrer que l’équation g x   x admet une unique solution réelle  et que 0,9    0,8 .

f ( x ) 2x 3 x 2  1
x
B) Soit f la fonction définie par :  .

1/ Montrer que pour tout x Df ,on a : f '(x)  g( x ) .
x2

2/ Etudier les variations de f .

On donne deux fonctions f et g dérivables sur et ci-dessous leurs tableaux de variations :

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1) Montrer que l’équation f (x)  0 admet une unique solution dans .
2) a) Montrer que l’équation g(x)  0 admet une unique solution  dans .

b) Préciser l’intervalle qui contient  .
c) Etudier le signe de g selon x .
3) a) Montrer que l’équation g(x)  x admet une unique solution  dans .

b) Vérifier que  2;3 .

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