EnGeoFigures

4.9.7) 4.9.8)

4.9.9) 4.9.10)

4.9.11) 4.9.12)

4.9.13) 4.9.14)
51

4.9.15) Ceva’s theorem 4.9.16) Carnot’s theorem
c bc

b ad

d fe
a a2 + c2 + e2 = b2 + d2 + f 2
4.9.18) Steiner’s theorem
fe
a·c·e=b·d·f

4.9.17)

4.9.19) 4.9.20)
4.9.21) 4.9.22)
52

4.9.23) 4.9.24)

4.9.25) 4.9.26)

4.9.27)

53

4.9.28)

4.9.29)

4.9.30)

54

4.10 Right triangles

4.10.1)

4.10.2)

4.10.3) 4.10.4)
4.10.5) 4.10.6)

4.10.7) 4.10.8)

4.11 Theorems about certain angles

4.11.1) 66660000 4.11.2) 6666000

55

4.11.3) 4.11.4)

6666000

6660000

4.11.5) 111122220000

4.11.6) 66660000 66660000
33330000

4.11.7) 666000

4.11.8) 3330000

4.11.9)

44445555

56

4.12 Other problems and theorems

4.12.1) Blanchet’s theorem 4.12.2)

4.12.3) 4.12.4)
4.12.5) 4.12.6)

4.12.7) 4.12.8)
57

4.12.9) 4.12.10)

4.12.11) Morley’s theorem

4.12.12)

58

5 Quadrilaterals 5.1.2)

5.1 Parallelograms

5.1.1)

5.1.3) 5.1.4)
5.1.5) 5.1.6)

5.1.7)

5.1.8)

59

5.1.9)

5.1.10)

5.1.11)

60

5.2 Trapezoids 5.2.2)

5.2.1)

5.2.3) 5.2.4)

5.2.5) 5.2.6)

5.2.7) 5.2.8)
61

5.2.9) 5.2.10)

5.3 Squares 5.3.2)

5.3.1)

5.3.3)

62

5.4 Circumscribed quadrilaterals

5.4.1) 5.4.2)

5.4.4)

5.4.3)

5.4.5) 5.4.6) Newton’s theorem
63

5.4.7) 5.4.8)

5.4.9) 5.4.10)

5.4.11) 5.4.12)

64

5.4.13) 5.4.14)
5.4.15) 5.4.16)

5.4.17) 5.4.18)

65

5.5 Inscribed quadrilaterals

5.5.1) 5.5.2)

5.5.3) 5.5.4)
5.5.5)
5.5.6) Ptolemy’s theorem

b

a ef c

d
a·c+b·d=e·f
66

5.5.7)

INCORRECT

5.5.8)

5.5.9) 5.5.10)

67

5.6 Four points on a circle

5.6.1) 5.6.2)

5.6.3) 5.6.4)

5.6.5) 5.6.6)
68

5.6.7) 5.6.8)

5.6.10)

5.6.9)

5.6.11) 5.6.12)

69

5.6.13)

5.6.14)

5.6.15) 5.6.16)
5.6.17) 5.6.18)

70

5.7 Altitudes in quadrilaterals

5.7.1) 5.7.2)

5.7.3) Brahmagupta’s theorem 5.7.4)

5.7.5) 5.7.6)
71

5.7.7)

5.7.8)

5.7.9)
5.7.10)

72

6 Circles

6.1 Tangent circles 6.1.2)

6.1.1)

6.1.3) 6.1.4)
6.1.5)
6.1.6)
73 44445555

6.1.7) 6.1.8)

6.1.9) 6.1.10) Casey’s theorem
a
r r2
r1 e
b fd
r = r1 + r2
c
a·c+b·d=e·f

74

6.2 Monge’s theorem and related constructions

6.2.1) Eyeball theorem
6.2.2)
6.2.3) Monge’s theorem

75

6.2.4)

6.2.5)

6.2.6)

76

6.2.7) 6.2.8)

6.2.9)

77

6.2.10)
6.2.11)
78

6.3 Common tangents of three circles

6.3.1) 6.3.2)

6.3.3)

6.3.4)

INCORRECT

79

6.3.5)

6.3.6)

6.3.7)

INCORRECT 6.3.8)

80

6.4 Butterfly theorem 6.4.2)

6.4.1)

6.4.4) Dual butterfly theorem

6.4.3) Butterfly theorem

6.4.5) 6.4.6)

81

6.5 Power of a point and related questions

6.5.1) Radical axis theorem 6.5.2)

6.5.3) 6.5.4)
6.5.5) 6.5.6)

82

6.5.7) 6.5.8)
6.5.9)

6.5.10)

83

6.6 Equal circles 6.6.2)

6.6.1)

6.6.3)

6.6.4)

6.7 Diameter of a circle

6.7.1) 6.7.2)

84

6.7.3) 6.7.4)

6.7.5) 6.7.6)
6.7.7) 6.7.8)

6.7.9)

85

6.8 Constructions from circles

6.8.1) 6.8.2)

6.8.3) 6.8.4)
6.8.5) 6.8.6)
86

6.8.7) 6.8.8)

6.8.9) 6.8.10) Seven circles theorem

6.8.11) 6.8.12)

87

6.8.13) 6.8.14)

6.8.15) Hart’s theorem

88

6.9 Circles tangent to lines

6.9.1) 6.9.2)

6.9.3) 6.9.4)
6.9.5) 6.9.6)
6.9.7) 6.9.8)

6.9.9)

89

6.10 Miscellaneous problems

6.10.1) 6.10.2)

6.10.3)

6.10.4)

6.10.5) 6.10.6)

6.10.7) 6.10.8)
90

6.10.9) 6.10.10)
6.10.11)
6.10.13) 6.10.12)
6.10.15) 6.10.14)
6.10.16)
91

6.10.17) 6.10.18)

6.10.20)

6.10.19)

6.10.21) 6.10.22)

92

6.10.23)

6.10.24) 6.10.25)
bbbb
bbbb ccc
ccc aaaa aaaa dddd
ffff
ffff eeee
dddd
eeee

a·c·e=b·d·f

a·c·e=b·d·f

93

7 Projective theorems

7.1) Desargues’ theorem
7.2)

7.3) Pappus’ theorem

94

7.4)
7.5)

7.6) 7.7)

7.8) 7.9)

7.10) 7.11)

a1 b1 c1

a2 b2 c2

b1 a1 · c1 + c1) = b2 a2 · c2 + c2)
· (a1 + b1 · (a2 + b2

95

8 Regular polygons

8.1) 8.2)

8.3) 8.4)

8.5) 8.6)

96

8.7) 8.8)
8.9) 8.10)

8.11) 8.12)
8.13)

97

8.1 Remarkable properties of the equilateral triangle

8.1.2)

8.1.1)

8.1.3) Pompeiu’s theorem 8.1.4)

c c
ab
a b
a+b=c 8.1.6) a+b=c
8.1.5)

98

8.1.7) 8.1.8)
b
c

ad

fe
a+c+e=b+d+f

8.1.9) 8.1.10)

INCORRECT

8.1.11) 8.1.12)

99

8.1.13) 8.1.14)

8.1.15) Napoleon’s theorem 8.1.16)

8.1.17) 8.1.18)

8.1.19) The´bault’s theorem 8.1.20) The´bault’s theorem 8.1.21)

100