ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ ชัน

จัดทำโดย
นางสาวรินรดี เปรมกระสิน

เลขที่43 ม.6/7

เสนอ
คุญครูสุภลักษณ์ สุุวรรณ์

โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
ภาคเรียนที่1/2565

คำนำ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค33201) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหน่วยการ

เรียนรู้เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น
โดยในสมุดเล่มเล็ก จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ครอบคลุม
ทั้งด้านความรู้ ด้านทักษะกระบวนการและด้านคุณลักษณะ

ผู้เรียนสามารถใช้ได้ด้วยตนเอง
ลิมิตของฟังก์ชันเล่มนี้ จัดทำขึ้นเพื่อใช้ศุกษาเรียนรู้เรื่องลิมิตของ

ฟังก์ชัน มีจุดมุ่งหมายเพื่อให้นักเรียนสามารถหาลิมิต
ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ได้ ส่งเสริมผู้เรียนได้ฝึกทักษะทาง
คณิตศาสตร์และแสวงหาความรู้ด้วยตนเอง อันจะท าให้
ผู้เรียนเกิดความรู้ ความเข้าใจในเนื้อหามากยิ่งขึ้น เกิดความคงทน
ในการเรียนรู้หวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้

จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียน
การสอนคณิตศาสตร์ การค้นคว้าหาความรู้ของนักเรียนและเป็น

ประโยชน์ต่อผู้สนใจ เพื่อนครูและ

เรื่องน่าสนใจในเล่มนี้

ซ้ายขวาแล้วยังไง ตัวไหนคือลิมิตตัวจริงกันนะ ?

การมีลิมิตของฟังก์ชันแบบต่าง ๆ

ลิมิตของฟังก์ชันในรูปทั่วไป



ลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์



ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง



สรุปการมีลิมิตของฟังก์ชันอีกครั้งได้ว่า...



ลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ



NOTE: ระวังเรื่องเครื่องหมายด้วยนะ !!!

ซ้ายขวาแล้วยังไง ตัวไหนคือลิมิตตัวจริงกันนะ ?

ถ้าเราอยากรู้ว่าลิมิตที่แท้จริงของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับเท่าไหร่
แคลคูลัสก็มีนิยามสำหรับการดูลิมิตนั้นที่ง่ายมาก ๆ ถ้าเรา
กำหนดให้ลิมิตทางซ้ายมีค่าเท่ากับ L1 และลิมิตทางขวามีค่า

เท่ากับ L2



ถ้า L1 = L2 เราจะถือว่าลิมิตของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ L ไปเลย



แต่ ๆๆๆ แต่ถ้า L1 ไม่เท่า
กับ L2 เราจะถือว่าลิมิตของ
ฟังก์ชันนั้น ไม่มีค่า หาค่าไม่ได้ หรือ ไม่มีลิมิต นั่นเอง

การมีลิมิตของฟังก์ชันแบบต่าง ๆ
หลังจากทำความเข้าใจนิยามของ “การมีลิมิต”
กันไปคร่าว ๆ แล้ว ก็ถึงเวลาตะลุยโจทย์รูป
แบบต่าง ๆ แล้วล่ะ ! โจทย์เกี่ยวกับการมีลิมิต
ของฟังก์ชันที่น่าสนใจที่เราอยากพาเพื่อน ๆ
ไปรู้จักก็จะมีลิมิตของฟังก์ชันในรูปทั่วไป ลิมิต
ของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์ ลิมิตของฟังก์ชัน

แยกช่วง และลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ

ลิมิตของฟังก์ชันในรูปทั่วไป



สำหรับฟังก์ชันในรูปทั่วไป การพิจารณาว่าฟังก์ชัน
นั้นมีลิมิตหรือไม่นั้นไม่ยากเลย แค่ดูว่าลิมิตของ
ทางซ้ายและขวาเท่ากันหรือไม่ ยกตัวอย่างเช่นข้อนี้

โจทย์ต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน X2+ 3X + 5X + 3
เมื่อ X เข้าใกล้ 2 วิธีทำก็คือแยกพิจารณาลิมิตของ
ฟังก์ชันทั้งฝั่งซ้ายและขวา จากนั้นจึงแทนค่า X ลงไป
ในฟังก์ชัน จากคำตอบที่ได้จะเห็นว่าลิมิตของฟังก์ชัน
X2+ 3X + 5X + 3 เมื่อ X เข้าใกล้ 2 มีค่าเท่ากันทั้ง
ทางซ้ายและขวา จึงสรุปได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน X2+
3X + 5X + 3 เมื่อ X เข้าใกล้ 2 มีค่าเท่ากับ 3

ลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์

ต่อมาเป็นฟังก์ชันที่แอดวานซ์ขึ้นมาอีกระดับ นั่นก็คือฟังก์ชันที่
มีค่าสัมบูรณ์อยู่ด้วยนั่นเอง การทำโจทย์รูปแบบนี้เพื่อน ๆ
ต้องทบทวนนิยามของค่าสัมบูรณ์ก่อน โดยนิยามของ
ค่าสัมบูรณ์มีอยู่ว่า

ทบทวนนิยามของค่าสัมบูรณ์เรียบร้อยแล้วก็มาลองดูโจทย์
กันเลย จากโจทย์จะเห็นว่า A ของเราคือ X-1 เมื่อแบ่ง
พิจารณาลิมิตทั้งสองฝั่งก็จะพบว่าลิมิตของฟังก์ชัน X-1X-
1 เมื่อ X เข้าใกล้ 1 ทางซ้ายไม่เท่ากับทางขวา จึงสรุปได้
ว่าลิมิตของฟังก์ชัน X-1X-1 เมื่อ X เข้าใกล้ 1 ไม่มีค่า

ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง

จากโจทย์การหาลิมิตซ้ายและขวาที่ดูกันไปในบทความที่แล้ว
เราจะเห็นว่าลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วงมีทั้งแบบที่ลิมิตของ
ฟังก์ชันทางซ้ายและทางขวาเท่ากัน และไม่เท่ากัน อย่างเช่น

ตัวอย่างนี้

โจทย์อยากรู้ว่าลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 2 มีค่าหรือไม่ แต่เมื่อ
แยกพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวา ก็พบว่า ลิมิตของ

ฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 2 ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 4 แต่ลิมิตของฟังก์ชัน
เมื่อ X เข้าใกล้ 2 ทางขวามีค่าเท่ากับ 2 ซึ่งจากนิยาม ถ้าลิมิตของ
ฟังก์ชันทางซ้ายไม่เท่ากับลิมิตของฟังก์ชันทางขวา เราจะถือว่าลิมิต

ของฟังก์ชันนั้น ไม่มีค่า หาค่าไม่ได้ หรือ ไม่มีลิมิต

โจทย์อยากรู้ว่าลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 2 มีค่าหรือไม่
แต่เมื่อแยกพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวา ก็พบว่า
ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 2 ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 4 แต่ลิ
มิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 2 ทางขวามีค่าเท่ากับ 2 ซึ่งจาก
นิยาม ถ้าลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายไม่เท่ากับลิมิตของฟังก์ชัน
ทางขวา เราจะถือว่าลิมิตของฟังก์ชันนั้น ไม่มีค่า หาค่าไม่ได้

หรือ ไม่มีลิมิต

จากโจทย์จะเห็นว่า ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้า
ใกล้ 1 ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 3 ซึ่งเท่ากับลิมิตของ
ฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 1 ทางขวาเป๊ะ ๆ แต่เมื่อ
X มีค่าเท่ากับ 1 ค่าของ F(1) กลับไม่เท่ากับลิมิต
ทางซ้ายและทางขวา แต่ไม่ต้องตกใจไป ในกรณี
นี้เราถือว่าค่าของฟังก์ชันที่จุด A ไม่ต้องเท่ากับลิ
มิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวาก็ได้ แต่ลิมิตของ
ฟังก์ชันทางซ้ายและขวายังต้องเท่ากันเหมือนเดิม
นะ ! ดังนั้น จากตัวอย่างนี้ เราจึงถือว่าลิมิตของ

ฟังก์ชัน เมื่อ X เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่ากับ 3

สรุปการมีลิมิตของฟังก์ชันอีกครั้งได้ว่า...

1)ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ A ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิตของ
ฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ A ทางขวา เราถือว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต
2)ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ A ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิตของ
ฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ A ทางขวา แต่ค่าของ F(A) เมื่อ X เท่ากับ
A ไม่เท่ากับลิมิตทางซ้ายและขวาของฟังก์ชัน เราก็ยังถือว่าฟังก์ชัน

นั้น มีลิมิต อยู่
3)0ค่าของ F(A) เมื่อ X เท่ากับ A เท่ากับลิมิตทางใดทางหนึ่ง
(ซ้ายหรือขวาก้ได้) แต่ค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ A
ทางซ้าย ไม่เท่ากับค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ A ทาง

ขวา เราจะถือว่าฟังก์ชันนั้น ไม่มีลิมิต

ลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ

เราจะเห็นภาพเรื่องการเท่ากันของลิมิตทางซ้ายและขวามาก
ขึ้นเมื่อเห็นกราฟ เพราะการเท่ากันของลิมิตทางซ้ายและทาง
ขวา จะมีผลต่อความต่อเนื่องของกราฟด้วย อย่างเช่นตัวอย่าง

การหาลิมิตจากกราฟข้อนี้

จะเห็นว่ากราฟ “ดูไม่ต่อเนื่อง” เป็นเส้นเดียวกันอย่างชัดเจน เพื่อน ๆ
พอจะเดาได้ไหมว่าลิมิตของฟังก์ชันของกราฟนี้จะเป็นยังไง ?

โจทย์ต้องการหาลิมิตที่จุด X = 1เมื่อพิจารณาจากกราฟ (แบบไม่ต้องคิดเลขเลย) ก็จะได้
คำตอบว่า F(1) = 6 ให้สังเกตที่ จุดทึบ นะ ไม่ใช่จุดโปร่ง (จุดโปร่งหมายถึงไม่เอาจ้า !)
ส่วนลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 1 ทางซ้าย เมื่อพิจารณาจากกราฟก็จะเห็นว่าค่าของ
ฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 4 ในขณะที่ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 1 ทางขวามีค่าเข้าใกล้ 2
ทำให้เราสรุปได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ X เข้าใกล้ 1 ไม่มีค่า เพราะลิมิตทางซ้ายและ

ขวาไม่เท่ากันนั่นเอง

NOTE: ระวังเรื่องเครื่องหมายด้วยนะ !!!

อีกหนึ่งจุดที่เรามักจะพลาดกันบ่อย ๆ ก็คือเรื่อง
“เครื่องหมาย” เพื่อน ๆ ต้องสังเกตให้ดีว่าโจทย์

ต้องการให้เราหาอะไร ระหว่าง...

THANK YOU