เส้นขนาน

E-book




เส้นมข.น2านน

By ด.ญ.เพียงฟ้า แก้วเก้า ม2/3 เลขที่37

บทนิยามการขนานกันของเส้นตรง

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันขนานกันก็ต่อเมื่อเส้นตรงสองเส้นไม่ตัดกัน

ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

“ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ”

ในทางกลับกัน

“ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน”

สมบัติ 1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัดแล้ว ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ

เส้นตัดรวมเป็น 180 องศา
2. เส้นตรงสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อระยะระหว่างเส้นตรงสองเส้นเท่ากันเสมอ
3. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บน
ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

ในทางปฏิบัติ เมื่อต้องการตรวจสอบว่า เส้นตรงสองเส้นที่กำหนดให้ขนาน

กันหรือไม่ อาจตรวจสอบระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสองที่วัดจากจุดที่แตก

ต่างกันอย่างน้ อยสองจุดบนเส้นตรงเส้นหนึ่ งก็เพียงพอ

E-BOOK คณิตศาสตร์ เรื่อง เส้นขนาน

มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู่


บนข้างเดียวกันของเส้นตัด เป็ นไป

ตามสมบัติของเส้นขนาน ดังนี้

1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี

เส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่


บนข้างเดี ยวกันของเส้ นตัดรวมกัน


เท่ากับ 180 องศา
2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่

หนึ่ ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่


บนข้างเดี ยวกันของเส้ นตัดรวมกัน

เท่ากับ 180 องศาแล้วเส้นตรงคู่นั้ นจะ


ขนานกัน
สมบัติข้อ 1 และข้อ 2 เมื่อนำมาเขียน


ใหม่โดยใช้ “ก็ต่อเมื่อ” จะได้ดังนี้
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง
เส้นตรงคู่นั้ นขนานกัน ก็ต่อเมื่อขนาด

ของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ


เส้นตรงรวมกันเท่ากับ 180 องศา

มุมภายนอกและมุมภายใน

มุมภายใน (Interior angle) เส้นตรง

สองเส้นขนานกัน และมีเส้นตรงเส้น

หนึ่ งตัดเราเรียกมุมที่อยู่ภายในระหว่าง


เส้นคู่ขนานว่า มุมภายใน
มุมภายนอก (Exterior angle) เส้นตรง

สองเส้นขนานกัน มีเส้นตรงเส้นหนึ่ ง

ตัด เราเรียกมุมที่อยู่ภายนอกของเส้นคู่


ขนานว่า มุมภายนอก



ถ้าเส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD แล้วมีเส้นตรงเส้น

หนึ่งตัดผ่านเส้นขนาน ทำให้เกิดมุมภายนอกและมุมภายใน


เกิดขึ้นดังรูป จะได้ว่า
มุม 1 และ มุม 5 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 2 และ มุม 6 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 3 และ มุม 7 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 4 และ มุม 8 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
และถ้าผสมกับสมบัติของมุมแย้ง จะได้ว่า
มุม 1 , มุม 4 , มุม 5 และ มุม 8 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 2 , มุม 3 , มุม 6 และ มุม 7 จะต้องมีขนาดเท่ากัน




@deesite

ทฤษฎีบท


ถ้าเส้ นตรงสองเส้ นขนานกันและมี


เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน


Ex.



เส้ นขนาน


และมุมแย้ง เส้นขนานกันหรือไม่ นอกจากจะพิจารณาจากขนาด


ของมุมภายในที่ อยู่บนข้างเดี ยวกันของเส้ นตัดเส้ น


ตรงทั้งสองแล้ว ยังสามารถพิจารณาจากขนาดของ


มุมแย้งได้ ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้




ทฤษฎีบท


ถ้าเส้นต
รงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ ง ทำให้มุม


แย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้ นขนานกัน




ทฤษฎีบทข้างต้นนนี้ เป็ นบทกลับของทฤษฎีบทที่

ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด


ทฤษฎีบท แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน เมื่อนำทฤษฎีบททั้ง


เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้น
สองนี้ มาเขียนใหม่โดยใช้ ก็ต่อเมื่อ จะได้


ตรงคู่หนึ่ ง เส้นตรงคู่นั้ นขนาน
ทฤษฎีบทดังนี้

กัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาด



เท่ากัน

มุมตรงข้าม

วิธีทำ จากรู ป มุม y = มุม 80
จากรู ป ถ้า เส้นตรง AB ตัดกับเส้นตรงCD ที่จุดX

, มุมตรงข้ามเท่ากัน แล้ว มุมAXC = มุมDXB และ มุมAXD = มุมCXB


พิสูจน์ กำหนดให้ เส้นตรง AB ตัดกับเส้นตรงCD

ดังนั้ น มุม x+ มุม 80 = มุม
ที่จุดX
180



ส่วนของเส้นตรง XD เชื่อมต่อกับเส้นตรง AB
มุม x = มุม 100 จะได้ มุม AXD + มุมDXB = 180




จากรู ป มุม x = มุม z = มุม
ส่วนของเส้นตรง XA เชื่อมต่อกับเส้นตรง CD
100 , มุมตรงข้ามเท่ากัน



จะได้ มุม AXD + มุมAXC = 180
ตัวอย่างที่ 2 จากรู ป จงหาค่า


ของมุม X , Y และ Z 

ดังนั้ น มุม AXD + มุมDXB = มุม AXD + มุมAXC
จะได้ มุมDXB = มุมAXC ,มุมตรงข้ามเท่ากัน

ขนาดของมุมตรงข้ามที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงสองเส้นตัดกัน

ย่อมมีขนาดเท่ากัน

เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม

ทฤษ
ฎีบท ทฤษฎีบท

ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม
ถ้ารู ปสามเหลี่ยมสองรู ปมี

ของรู ปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ
มุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่

และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับ

180 องศา มุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาว


ทฤษฎีบทข้างต้น สามารถนำมา
เท่ากันหนึ่ งคู่แล้วรู ป

ใช้พิสูจน์ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ
สามเหลี่ยมสองรู ปนั้ นเท่า


ขนาดของมุมภายนอกและขนาด
กันทุกประการ
ของมุมภายในของรู ปสามเหลี่ยม


ได้ดังต่อไปนี้







ทฤษฎีบท

ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่ งของรู ปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่

เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุม


ประชิดของมุมภายนอกนั้ น
นอกจากทฤษฎีบทดังกล่าวแล้ว ยังมีการนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผล

บวกของขนาดของมุมภายในของรู ปสามเหลี่ยม ไปพิสูจน์ สมบัติที่


เกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการของรู ปสามเหลี่ยมดังต่อไปนี้
นั กเรียนเคยศึ กษามาแล้วว่า รู ปสามเหลี่ยมสองรู ปที่มีความ

สัมพันธ์กันแบบ มุม – ด้าน – มุม จะเท่ากันทุกประการ เมื่อด้าน

คู่ที่ยาวเท่ากันอยู่ระหว่างมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบทต่อไปนี้

จะทำให้นั กเรียนเห็นว่าด้านคู่ที่ยาวเท่ากันนั้ น จะเป็ นด้านคู่ใด

ก็ได้ ไม่จำเป็ นต้องเป็ นด้านคู่ที่อยู่ระหว่างมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน


แต่ต้องเป็ นด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน

Thank you