Materi Jarak dan Sudut

MATEMATIKA

Jarak dan Sudut

KELAS XII
Semester 5

SMAS CENDANA MANDAU

Meri Gustina, S.Pd

Kompetensi Dasar

3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antar titik, titik
ke bidang, dan titik ke bidang)

4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke bidang, dan
titik ke bidang)

Meri Gustina, S.Pd

I. Jarak Titik dengan Titik

TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Mendeskripsikan jarak titik dengan titik
2. Menentukan jarak antara titik dengan titik

Jarak titik dengan titik

Perhatikan gambar berikut ini.

Jarak antara titik A dan B adalah pajang ruas
garis yang menghubungkan titik A dan titik B

Contoh soal

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang
rusuk 8 cm. Tentukanlah Jarak antara titik A dan C

Jarak antara titik A dan C adalah panjang ruas garis
AC

Gunakan segitiga ABC yang siku-siku di B

C sehingga bisa digunakan rumus phytagoras
8 cm 2= 2 + 2
2 = 82 + 82
2 = 128

= 128

= 64 2 = 8 2

A 8 cm B Didapat rumus panjang diagonal bidang = r 2

Latihan Soal

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6
cm. Jika titik M berada di tengah HG, N merupakan titik
potong BG dengan CF. Tentukanlah …

A. Jarak titik B dengan G
B. Jarak titik D dengan M
C. Jarak titik B dengan M
D. Jarak titik H dengan N

2. Ani akan mendekorasi ruang tamu de rumahnya
yang berbentuk kubus dengan panjang rusuk 4 m. Ia
akan memasang pita dari titik tengah atas ruangan
menuju setiap titik tengah rusuk tegak ruangan itu.
Jika 1m pita berharga Rp 1.000,00. Tentukanlah biaya
minimum yang di perluakan Ani

II. Sudut pada Bangun Ruang

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa bisa menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut
antara garis dengan garis
2. Siswa bisa menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut
antara garis dengan bidang
3. Siswa bisa menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut
antara bidang dengan bidang

Meri Gustina, S.Pd

Sudut pada Bangun Ruang

Gambar di samping menunjukkan menara Pisa yang telah miring,
yang tampak jelas jika dibandingkan dengan bangunan yang ada di
sebelahnya. Berapa besar sudut kemiringanya? Bagaimana cara
menyatakan besar sudut antara dua bangun ruang?

Jika sebuah tiang rumah tidak tegak (gambar di samping),
maka dikatakan miring. Biasanya tegak miringnya dikaitkan
dengan lantai yang mendatar. Bagaimana mengukur
kemiringannya terhadap lantai?

Meri Gustina, S.Pd

Sudut Antara Dua Garis

Sudut adalah daerah yang dibentuk oleh pertemuan antara dua buah sinar atau dua
buah garis lurus.
Suatu sudut dapat dibentuk dari dua buah sinar yang memiliki titik pangkal yang sama
(titik pangkal saling berimpit)

g Sudut antara dua garis garis adalah
 sudut lancip atau siku-siku antara
kedua garis tersebut
h

Sudut antara garis g dan h yang bersilangan
adalah sudut antara garis g’ dan h, dimana g’
adalah proyeksi g pada bidang W dan garis h
terletak pada bidang W

Meri Gustina, S.Pd

Sudut Antara Garis dengan Bidang

Untuk memberikan nilai besar sudut (dan juga jarak) antara dua unsur ruang dipilih
ukuran terkecilnya. Dalam hal ini sudut yang dimaksud adalah sudut terkecil antara
garis g garis-garis hn (n = 1, 2, 3, ... , n).

Meri Gustina, S.Pd

Sudut Antara Bidang dengan Bidang

Langkah menentukan Sudut antara bidang V
dan W adalah
1. Buat bidang K yang memotong tegak lurus
kkedua bidang, K ⊥ W dan K ⊥ V
2. Garis perpotongan bidang K dengan bidan
W adalah TP dan garis perpotongan bidang K
denga V adalah TQ

3. Sudut antara bidang V dan W adalah sudut antara garis TP dan TQ = 

Meri Gustina, S.Pd

Rumus-Rumus Trigonometri yang Diperlukan

C

mi sin  = cos  = tan  =

 de

A sa B

C = = ( )
sin sin sin


b = sa a = de



 cos  = 2+ 2 − 2
2. .
A c = sa B

atau

2 = 2 + 2 - 2.sa.sa. cos 

Meri Gustina, S.Pd

Contoh soal 1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukanlah
sinus sudut antara AC dan AG

H G Buat  siku-siku ACG
E
F mi = 6 3 G sin  =
D C de = 6

A 6 cm B 6 .3
sin  = 6 3
A sa = 6 2 C 3

3
sin  =

3

Meri Gustina, S.Pd

Contoh soal 2

Tentukanlah kosinus sudut antara bidang TAD dan TBC
Titik pertemuan TAD dan TBC adalah T
Garis tinggi TAD adalah TP (P ditengah AD)
Garis tinggi TBC adalah TQ (P ditengah BC)

cos (TAD,TBC) = cos (TP,TQ)

T 2 = 62 − (2 2)2 cos  = 2+ 2 − 2
2 = 36 − 8 2. .
 2 = 28
= 28 28 +28 −32
sa = 2 7 sa = 2 7 cos  =
= 2 7 2.2 7.2 7
Q
cos  = 24
56
P de = 4 2
cos  = 3
Meri Gustina, S.Pd 7

Latihan Soal

1. Kubus ABCD.EFGH rusuk 4 cm. jika titik L tengah – tengah HG, dan M titik tengah AB.
Maka sudut antara LM dan bidang alas adalah…..

2. Limas tegak T.ABCD, AB =8 cm, BC = 6 cm dan TA = 13 cm. sudut antara bidang TAD dan
TBC adalah α, maka sin 2α = …..

3. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan
bidang BDHF adalah….

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika θ adalah sudut antara garis CG
dengan bidang BDG, maka tan θ = ….

Meri Gustina, S.Pd

Sekian Terimakasih

Meri Gustina, S.Pd