02. Materi XI-IPA KTSP

13. TATISTIK

1. Ukuran Pemusatan Data

A. Rata-rata

1) Data tunggal: X = x1 + x2 + x3 + ...+ xn
n

2) Data terkelompok:

Cara konvensional Cara sandi

X = fi  xi X = Xs +  fi  ui c
fi  fi

Keterangan:
fi = frekuensi kelas ke-i
xi = Nilai tengah data kelas ke-i

Xs = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi terbesar
ui = …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk Xs
c = panjang kelas interval

3) Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)

Xg = n1  x1 + n2  x2 + n3  x3 + ...
n1 + n2 + n3 + ...

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

x1, x1 , x1 ... : nilai rata-rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

4) Median

Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan.

a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn:

median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = X 1 (n +1)
2

b. Data terkelompok: Me = Q2

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

Q2 = LQ2 +  1 N − fk c fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2
 2  N = Jumlah seluruh data
LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke
fQ2

2

c = panjang kelas interval

5) Modus

Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

▪ Data terkelompok: Mo = L mo +  d1 c
d1 +d2

Lmo = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

6) Kuartil

Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data

tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada
bagan di bawah ini.

56

Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan
statistika 5 serangkai:

a. Data tunggal:
(i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian
(ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri
(iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan

b. Data terkelompok

Qi = LQi +  i N− fk c i = jenis kuartil (1, 2, atau 3)
4 f Qi fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
fQi = Frekuensi kelas kuartil
N = Jumlah seluruh data
LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil
c = panjang kelas interval

B. STATISTIKA LIMA SERANGKAI

(1) Statistik lima serangkai : Statistik minimum ( x1 ) , Statistik maksimum ( xn ) , Q1 , Q2

dan Q3
(2) Jangkauan = Statistik Maksimum – Statistik Minimum

= xn − x1
(3) Jangkauan Antar Kuartil ( Hamparan ) : H= Q3 − Q1
(4) Langakah : L = 1,5H ( satu setengah panjang hamparan )

(5) Pagar Dalam : adalah nilai satu langkah dibawah Q1 : PD = Q1 − L
(6) Pagar Luar : Nilai satu langkah dibawah Q3 : PL = Q3 − L

Ukuran Pemusatan Data :

(1) Data Tunggal dan Data Kelompok
❖ Rataan Hitung :

 x= n 1 xi dan x= fx
i =1 n f

❖ Rataan Geometri:

1

G = n x1x2 x3...xn = ( x1x2 x3...xn )n

= 1 ( xn ) = 1 n
n log x1 + log x2 + log x3 + ... + log n i =1 log x1 dan

log G =  ( fi log x1 ) 57

 fi

Contoh : Tentukan rataan geometris dari 4, 9, 6

11

( )Jawab : G = 3 4.9.6 = (216)3 = 63 3 = 6

❖ Rataan Harmonik

 H = 1 1 = n dan H =  fi 
1 1  fi 
n x xi 

n i=1 x1 

Contoh :Tentukan rataan harmonis dari data 2, 3, 5, 6

Jawab: H = 4 = 15 4 6 + 5 = 4 = 120 = 3,33
1+1+1+1 +10 + 36 36

2 3 5 6 30 30

Rata-Rata dengan menggunakan Rata-rata Sementara:

(1) x = x0 +  fd dengan x0 = rata-rata semestara dan d = x − x0
 f

(2) x = x0 + fu x0 = rata-rata semestara, u = x − x0 , i = lebar kelas
.i dengan i

f

Modus : Mod = L +  d1 d1  dengan :
 + d2 i
 

− L = tepi bawah kelas yang memuat modus
− d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
− d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
− i = lebar kelas

Qi  i N − fk 
 4 fQi 
Quartil : = Li +  c dimana :




− i = jenis kuartil ( 1, 2, dan 3 )
− Li = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil
− N = jumlah seluruh data
− fk = frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil
− fQi = frekuensi kelas kuartil
− c = panjang kelas interval

58

Desil : Di = b +  di − F  dengan :
 f c
 

− b = tepi bawah kelas yang memuat Di
− c = panjang kelas
− di = 10% dari N
− F = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas yang memuat Di ( frekuensi komulatif )
− f = frekuensi kelas yang memuat Di

Presentil : Pi = b +  ri − F  dengan :
 f c
 

− b = tepi bawah kelas yang memuat Pi
− c = panjang kelas
− ri = 100% dari N
− F = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas yang memuat Pi ( frekuensi komulatif )
− f = frekuensi kelas yang memuat Pi

Simpangan Rata-Rata :

n

 xi − x

(1) Data Tunggal : SR = i=1
n

 (2) Data Kelompok : SR = fi xi − x
fi

Simpangan Baku dan Ragam :

n

(1)  =  ( xi −  )2 dengan  = simpangan baku ,  = rataan populasi
i =1

n dengan S = simpangan baku untuk sampel

( xi − x )2

(2) S = i=1
n −1

n

(3)  2 = ( xi −  )2 dengan  2 = ragam populasi
i =1

(4) S 2 = n ( xi − x )2 dengan S 2 = ragam sampel

i=1 n −1

Koefisien Keragaman : KK = 5 100%
x

59

Angka Baku : Z = x − x dengan :
S

− x = setiap nilai pengamatan
− x = rataan
− S = simpangan baku

Momen:Mr = n ( xi − A)2

i=1 n

( )n xi 2
n
Mr =

i =1
Jika
A = 0 , maka momen ke - r disekitar 0 adalah

( )n xi − x r
n
Mr =

i −1
Jika
A = x , maka momen ke- r disekitar x rata-rata adalah

Kemiringan : Km1 = x − Me atau Km2 = 3(x − Me)
S
S

SK 1 (Q3 − Q1 )
2
Kurtosis ( Keruncingan ) : KK = =
P90 − P10 P90 − P10

Sebaran Peluang :

(1) Sebaran Binom : b ( x, n, p) =n Cx px (1− )p n−x untuk x = 0,1, 2,....n

Keterangan : x = variable acak, n = banyaknya percobaan , p = peluang

( )h = Cxk .CnN−−kk
(2) Sebaran hipergeometrik : x, N, n, k CnN

Keterangan : n = sampel , N = Populasi, k = banyaknya unsur sukses, n − k = banyaknya

unsur gagal

Sebaran Normal : Y = 1 − 1 ( x− )2

 2 .e 2 dengan :

−  = rataan
−  = simpangan baku
−  = 3,14159
− e = 2,71828
− x = data

f (z) = 1 −1 z2

2 .e 2 dengan −  z 

Perubahan sebaran normal menjadi sebaran normal standar dengan menggunakan :

z= x− 60


Statistika: SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

1. Modus dari histogram berikut adalah..... Pembahasan :

A. 42,17 9 Mod = Tb +  d1 d1 
B. 43,17  + d2 i
C. 43,50 8  
D. 43,83 7
E. 45,50 6 Kelas Modus mempunai frekuensi 9 jadi tepi
5
4 bawah kelas modus adalah :
3
2 Tb = 38 + 43 = 81 = 40, 5
1 2 2

d1 = 9 − 7 = 2 , d2 = 9 − 5 = 4
i = 39 − 33 = 43− 38 = 48 − 43 = 53 = 48 = 5

Jadi Mod = 40, 5 +  2  5 = 40,5 +1, 67 = 42,17
 6 

KUNCI : A

33 38 43 48 53

2. Perhatikan data pada tabel berikut ! Pembahasan :

Data Frekuensi Letak data yang memuat kuartil bawah adalah

45 - 49 2 Data ke- 1 (20) = 5 berati kelas Q1 adalah

50 - 54 3 4
50 – 54 berati :
55 - 59 3

60 - 64 6 1N =5
4
65 - 69 4 Tb = 50 − 0,5 = 49,5 ,

70 - 74 2

 f = 20 fk = 2 dan fQ1 = 3 ; i = 5

Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut  1 N− fk 
diatas adalah ....  4 fQ1 
A. 47,17 Jadi Q1 = Tb + i
B. 48,50  
C. 50,50 
D. 51,83
E. 54,50 = 49, 5 +  5 − 2  5 = 49, 5 + 5 = 54, 5
 3 

KUNCI : E

3. Perhatikan histogram berikut ! Pembahasan : Kelas yang memuat modus adalah :
f
Yang frekuensinya 7 . Jadi
7
Tb = 69,5 , d1 = 7 − 5 = 2 , d2 = 7 − 4 = 3
dan i = 49,5 − 39,5 =10

5 Jadi : Mod = Tb +  d1 d1 
4  + d2 i
 

3 Mod = 69, 5 +  2 10 = 69, 5 + 4 = 73, 5
2  5

Nilai KUNCI : A

39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5

Modus dari data yang ditunjukkan pada 61
histogram adalah ....
A. 73,5
B. 74,0
C. 74,5
D. 75,0
E. 75,5

4. Perhatikan data pada tabel berikut ! Pembahasan :

Nilai Frekuensi Kelas Q1 karena N = 40 maka data ke 10
Yaitu 51 – 60 berarti Tb = 51− 0,5 = 50,5
31 - 40 3

41 - 50 5 1 N = 10 ,
4
51 - 60 10 fk = 3+ 5 = 8 , fQ1 = 10 dan i = 10

61 - 70 11  1 
 4 
71 - 80 8 + N− fk i
 fQ1 
81 - 90 3 Jadi Q1 = Tb

Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut

adalah .... 

A. 48,5 = 50, 5 +  10 − 8 10 = 50, 5 + 2 = 52, 5
 10
B. 51,5

C. 52,5 KUNCI : C

D. 54,5

E. 58,5

5. Histogram pada gambar berikut menunjukkan Pembahasan : Kelas modus adalah 12 – 16 berarti

data berat badan pasien sebuah klinik dalam Tb = 12 − 0,5 = 11,5

satu pekan. 10 d1 = 10 − 4 = 6 , d2 = 10 − 6 = 4 dan i = 5
f Jadi :

6 Mod = Tb +  d1 d1 
5  + d2 i
 
3
4 = 11, 5 +  6  5 = 11, 5 + 3 = 14, 5
2  10 

kg KUNCI : B

2 − 6 7 −11 12 −16 17 − 21 22 − 26 27 − 31

Modus data tersebut adalah ....
A. 16,5
B. 14,5
C. 14,0
D. 12,0
E. 11,5

6. Tabel berikut menyatakan hasil penilaian Pembahasan : karena jumlah data 80 maka Q3

terhadap kemampuan belajar matematika dari terletak pada data ke 3 (80) = 60 berarti berada

80 siswa . f Besarnya kuartil 4
Nilai 3 atas ( Q3 ) data pada kelas 55 – 59 maka :
30 - 34 7 tersebut adalah ....
35 - 39 A. 55,50 Tb = 55 − 0,5 = 54,5 ; 3 N = 60 ;
4

40 - 44 10 B. 55,83 fk = 3 + 7 +10 +16 + 20 = 56 ; fQ3 = 15 dan i = 5
Jadi
45 - 49 16 C. 56,24

50 - 54 20 D. 57,25 Q3 = 54, 5 +  60 − 56  5 = 54, 5 + 1, 33 = 55, 83
 15 
55 - 59 15 E. 57,50

60 - 64 9 KUNCI : B

62

7. Data ulangan Matematika suatu kelas Karena jumlah frekuensi adalah 24 maka median
disajikan dalam histogram berikut .
terletak pada data ke 12 berati :
frek 10
Tb = 51,5 ; 1N = 12 ; fk = 2 + 5 = 7 ; fQ2 = 10
6 2
5
dan i = 41,5 − 31,5 =10

Jadi : Q2 = 51, 5 +  12 − 7 10 = 51,5 + 5 = 56,5
 10

KUNCI : E

21

Nilai

31,5 41,5 51,5 61,5 71,5 81,5

Median dari data tersebut adalah ....
A. 54,5
B. 55,0
C. 55,5
D. 56,0
E. 56,5

8. Kuartil atas dari data pada tabel adalah.... Pembahasan : Krn jlh frekuensinya 40 maka letak

Nilai Frekuensi A. 71,5 Q3 ada pada data ke 30 yaitu kelas :
56 - 60 5 B. 72,0 71 – 75 berarti : Tb = 71− 0,5 = 70,5
61 - 65 8 C. 72,5
66 - 70 14 D. 73,0 3 N = 30 ; fk = 5 + 8 +14 = 27 ; fQ3 = 10 dan
71 - 75 10 E. 73,5 4
76 - 80 3
i=5

 Q3 = 70, 5 +  30 − 27  5 = 70, 5 + 1, 5 = 72, 0
 10 

KUNCI : C

9. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi Pembahasan
Modus berada pada kelas 50 – 59 berarti :
sebagai berikut :

Kelas frekuensi Tb = 50 − 0,5 = 49,5 ; d1 = 12 − 8 = 4

20 - 29 3 d2 = 12 − 9 = 3 dan i = 10 berati :

30 - 39 7  4 10 40
 7 7
40 - 49 8 Mod = 49, 5 + = 49, 5 +

50 - 59 12

60 - 69 9 KUNCI : D

70 - 79 6

80 - 89 5

Nilai modus dari data pada tabel adalah ....

A. 49,5 − 40
7

B. 49,5 − 36
7

C. 49,5 + 36
7

D. 49,5 + 40
7

E. 49,5 + 48 63
7

10. Perhatikan gambar berikut ini ! Pembahasan : data dibuat dalam distribusi
frekuensi
frekuensi sbb :
10
Nilai frek Karena jumlah
8 50 - 54 4 frekuensi 40 maka
6 55 - 59 6 letak median ada pada
60 - 64 8 data ke 20, ini berarti
4 65 - 69 10 Kelas Q2 adalah
70 - 74 8

75 - 79 4
Maka Tb = 65 − 0,5 = 646,55- 69

1 N = 20 , fk = 4 + 6 + 8 = 18 , fQ2 = 10
2

Nilai i = 5 jadi diperoleh :

52 57 62 67 72 77 Q2 = 64, 5 +  20 −18  5 = 64,5 +1 = 65, 5
 10 

Nilai ulangan matematika dari suatu kelas KUNCI : C

disajikan dengan histogram seperti pada gambar

diatas . Median nilai tersebut adalah ....

A. 64,5 D. 66

B. 65 E. 66,5

C. 65,5

11. frek Pembahasan :
12
11 x = 1
10 10 N fi .x . Jadi Rata-ratanya adalah
i
8
8 x = 1 (177,5 + 364 + 610,5 + 655 + 302 +171)

40

65 4 x = 2280 = 57
4 2 40
2
KUNCI : B

35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 Nilai

Histogram diatas adalah nilai ulangan
matematika dari 40 siswa .Rata-rata-
nya adalah...
A. 54
B. 57
C. 60
D. 64,5
E. 65,5

64

12. Median dari data pada tabel di bawah Pembahasan :

ini adalah ..... Kelas Median 56 – 60

Berat(kg) Frek  Tb = 56 − 0,5 = 55,5
41 - 45 5
46 - 50 7  1 N = 1 (32) = 16, fk = 5 + 7 + 3 = 15
51 - 55 3
56 - 60 8 22
61 - 65 6
66 - 70 3 fQ2 = 8 dan i = 5

 1 N− fk 
 2 fQ2 
Q2 = Tb + i
 

A. 55,50 kg
B. 55,88 kg Q2 = 55, 5 +  16 −15  5 = 55, 5 + 0, 625
 8 
C. 56,00 kg
D. 56,13 kg Q2 = 56,125 = 56,13
E. 56,25 kg
KUNCI : D

13. Ragam ( varians ) dari data 4, 3, 5, 6, Pembahasan :
4, 7, 8, 7, 9, 8, 6, 5, 6, 5, 7, 6
adalah..... 2

A. 2 1 xi − x
8 ( )= 1 n

n i=1
Ragam=Varians

x = 2(4) + 3 + 3(5) + 4(6) + 3(7) + 2(8) + 9
16
B. 2 3 = 8 + 3 +15 + 24 + 21+16 + 9 = 96 = 6
8 16 16

C. 2 1 Var = 1 2 (4 − 6)2 + (3 − 6)2 + 3 (5 − 6)2 + 4 (6 − 6)2 + 3(7 − 6)2 + 2 (8 − 6)2 + (9 − 6 )2 
2 16 

D. 2 5  Var = 1 8 + 9 + 3 + 0 + 3 + 8 + 9
8 16
= 40 = 2 8 = 2 1
E. 3 1 16 16 2 KUNCI : C
2

14. Rata-rata hitung dari data yang Pembahasan :

disajikan histogram pada gambar Ttk tengah masing-masing kelas adalah:

berikut ini adalah 35, maka x = .... Nilai Ttk Tengah Frek

A. 12 frek 20 - 24 22 2
x
B. 14 25 – 29 27 4
C. 15 10
D. 16 8 30 – 34 32 10

35 – 39 37 x

E. 18 40 - 44 42 8

4  x = 35  44 +108 + 320 + 37x + 336 = 35
2 24 + x

 808 + 37x = 840 + 35x

Nilai  2x = 32  16

19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5 KUNCI : D

65

14. PELUANG

A. Kaidah Pencacahan
1. Aturan perkalian
Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama
terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam
an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah
a1 × a2 × a3 × ... × an.

2. Permutasi

Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB  BA), jenisnya ada 3,

yaitu:

a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; n Pr = n!
(n − k)!

b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; n Pn1 , n2 , n3 = n1! n! n1! ,n1 + n2 + n3 + …  n
n1!

c) Permutasi siklis (lingkaran); nPsiklis = (n −1)!

3. Kombinasi

Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah n Cr = Cr n = n!

(n − r)!.r!

B. Peluang Suatu Kejadian

a) Kisaran nilai peluang : 0  P(A)  1
n(A)

b) P(A) = n(S) , n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel

c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A)
d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(AB) = P(A) + P(B)

f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(AB) = P(A) × P(B)

g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = P(A B)
P(B)

66

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Teori Peluang ( Probabilitas ) Pembahasan : Bilangan kelipatan 5 berarti

1. Banyak bilangan kelipatan 5 yang trdiri 3 satuan yang mungkin hanya 0 dan 5

angka berbeda yang dapat disusun dari angka ➢ Jika satuannya 0 maka

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah .... RPS

A. 55 D. 105 6 5 1 = 6 x 5 x 1 = 30
B. 60 E. 120 ➢ Jika satuannya 5 tanpa 0

C. 70 R PS

5 4 1 = 5 x 4 x 1 = 20
➢ Jika puluhannya 0 dan satuannya 5

R PS

5 1 1 =5x1x1=5

Jadi banyak bilangan adalah 30 + 20 + 5 = 55

KUNCI : A

2. Dalam suatu ulangan siswa harus mengerjakan Pembahasan :

8 soal dari 10 soal yang tersedia dengan syarat Dari 10 soal 4 soal wajib dikerjakan artinya hanya 6

nomor 7 , 8, 9 dan 10 wajib dikerjakan .Berapasoal yang bisa dipilih. Dari 8 soal yang akan dikerjakan

cara siswa mengerjakan soal sisa adalah .... 4 diantaranya sudah ditentukan .artinya hanya 4 soal

A. 6 D. 30 yang boleh kita pilih dari yang tersedia . Jadi banyak

B. 15 E. 45 cara dalah sama dgn memelihi 4 soal dari 6 soal yaitu :

C. 24 C10−4 = C46 = 6! = 6.5 = 15 KUNCI : B
8−4 2.1
(6 − 4)!.4!

3. Diberikan angka 0,1,2,3,4,5,dan 6. Dari angka Pembahasan :
angka tersebut akan disusun bilangan ribuan Rib.
yang kurang dari 3.000 dan tidak boleh Rat. Pul. Sat.

berulang . Banyak cara penyusunan yang 2 6 54

mungkin adalah... Jadi banyak cara penyusunan adalah:

A. 120 2 x 6 x 5 x 4 = 240

B. 240 KUNCI : B

C. 360

D. 480

E. 600

4. Sebuah toples berisi 6 permen dan 4 kue Pembahasan : Banyak cara pengambilan adalah

kering . Dari dalam toples diambil 3 makanan Pengambilan paling sedikit terambil 2 kue kering
sekaligus . Banyak cara pengambilan
artinya bisa 3 dan bisa 2 kue kering maka :
sedemikian sehingga sedikitnya terambil 2 kue
kering adalah .... C06.C34 + C16.C24

A. 30 D. 60 =1.4 + 6.6 = 4 + 36 = 40

B. 36 E. 80 KUNCI : C

C. 40

5. Dari 11 orang calon Kapolda akan dipilih 4 Pembahasan :

orang sebagai Kapolda untuk ditempatkan di Ini adalah persoalan Kombinasi maka banyak

empat provinsi ,banyak cara pemilihan yang cara pemilihan adalah :

mungkin adalah .... C411 = 11! = 11.10.9.8 = 11.10.3 =
7!.4! 4.3.2.1
A. 44 D. 7.920 330

B. 256 E. 10.000 KUNCI : C

C. 330

67

6. Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah,8 Pembahasan :

bola kuning ,dan 3 bola biru. Jika dari kotak 4M Misal : A = kejadian ambil kuning
3B 8 K B = kejadian ambil biru
diambil satu bola secara acak ,peluang
Maka : n(S) = C115 = 15
terambil bola kuning atau biru adalah ....

A. 1 D. 8 n(A) = C18 = 8 dan n(B) = C13 = 3
15
Jadi P ( A B) = P ( A) + P (B)
B. 4 E. 11
15 15 = 8 + 3 = 11
15 15 15
C. 7
15 KUNCI : E

7. Dalam sebuah kelas yang jumlah muridnya 40 Pembahasan :

anak ,22 anak mengikuti IMO, 17 anak S IMO
mengikuti IBO dan 20 anak mengikuti ICO 67
.Ada juga yang mengikuti sekaligus dua 2 IBO

kegiatan ,yaitu 12 anak mengikuti IMO dan 5 5
IBO , 9 anak mengikuti IMO dan ICO ,8 anak 4
mengikuti IBO dan ICO ,sedang 5 anak
tercatat mengikuti IMO,IBO maupun ICO.Jika 3
dipilih salah satu anak dari kelas tersebut
,peluang terpilihnya seorang anak yang tidak 8
ICO

mengikuti IMO,IBO maupun ICO adalah...

A. 7 D. 4 Dari gambar terlihat bahwa ada 5 anak yang tdk
40 40 mengikuti satu kegiatan pun .Jadi peluang
terpilihnya 1 orang anak yang tidak mengikuti
B. 6 E. 4 IMO,IBO dan ICO adalah : 5
40 40
40
C. 5
40 KUNCI : C

8. Sebuah stasiun televisi mengadakan kuis Pembahasan :
berhadiah melalui SMS . Nomor telepon Dari keterangan soal diketahui bahwa
pemenang yang muncul dilayar televisi adalah :
081453136xxx. Pembawa acara mengatakan x1 = ratusan = 2 kemungkinan

angka terakhir nomor telepon pemenang x2 = puluhan = 1 kemungkinan

merupakan bilangan genap . Ternyata 9 angka Karena x3 = satuan sudah sama.

pertama nomor telepon Fira sama dengan yang Jadi peluang Fira menjadi pemenang adalah :
dikatakan oleh pembawa acara ,demikian juga
angka yang terakhir bilangan genap. Peluang P ( x1 x2 ) = P ( x1 ) P ( x2 )

Fira menjadi pemenang adalah .... = 2 1 = 1

A. 1 D. 1 100 10 500

100 720 KUNCI : C

B. 1 E. 1
450 1.000

C. 1
500

68

9. Dalam sebuah kotak terdapat 8 bola merah dan Pembahasan :

6 bola putih .Jika dari kotak diambil secara Misal:

acak 2 bola sekaligus ,Peluang terambilnya A = kejadian mengambil bola 8M 6P

kedua bola berwarna merah adalah ... Merah.

A. 36 D. 5 n(S ) = C214 = 14! = 14.13 = 91
91 13 12!.2! 2.1

B. 30 E. 4 n( A) = C28 = 8! = 8.7 = 28
91 13 6!.2! 2.1

C. 6 Jadi P ( A) = n( A) = 28 = 7.4 = 4
13 n( S) 91 7.13 13

KUNCI : E

10. Seorang penjaga gawang profesional mampu Pembahasan : Karena peluang mampu menahan
menahan tendangan penalti dengan peluang 3 tendangan = 3 berarti utk tdk bisa menahan

5 5
Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali 1− 3 = 2 jadi Peluangnya untuk bisa menahan
tendangan .Peluang penjaga gawang mampu 55

menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah :

adalah .... 3 2
 
A. 180 D. 228 C35  3  2 = 5!  27  4
625 625  5  5 2!.3! 125 25

B. 612 E. 230 = 5.4 108 = 2108 = 216
625 625 2.1 55 54 625

C. 216 KUNCI : C
625

11. Dalam suatu organisasi akan dipilih Pembahasan :
perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Banyak susunan adalah :

Calon yang tersedia terdiri atas 5 C55.C14 + C45.C24 + C35.C34
pria dan 4 wanita . Banyak susunan =1.4 + 5.2.3+ 5.4.2 = 4 + 30 + 40 = 74

perwakilan yang dapat dibentuk jika

sekurang-kurangnya terpilih 3 pria KUNCI : A
adalah .....

A. 74

B. 76

C. 80

D. 82

E. 84

12. Dari 7 siswa di kelas ,akan dipilih Pembahasan :
pengurus kelas yang terdiri dari
Karena tdk boleh ada jabatan rangkap
seorang ketua kelas, seorang
maka kasus ini merupakan permutasi :
sekretaris, dan seorang bendahara . Jadi Banyak susunan adalah :
Banyak susunan pengurus kelas yang
dapat dibentuk dengan tidak boleh P37 = (7 7! = 7!
4!
ada jabatan rangkap adalah .... − 3)!

A. 42 cara = 7.6.5.4! = 7.6.5 = 210 cara

B. 45 cara 4! KUNCI : E

C. 60 cara

D. 70 cara

E. 210 cara 69

13. Dari angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan Pembahasan:

dibuat bilangan yang terdiri dari 3 Karena terdiri dari 3 angka berarti :
angka . Banyak susunan bilangan
Ratusan dapat dipilih dgn 6 cara
berbeda yang dapat dibuat ada....
A. 20 Puluhan dapat dipilih dgn 5 cara
B. 60
Satuan dapat dipilih dengan 4 cara
C. 120
D. 240 Jadi banyaknya susunan bilangan adalah

E. 360 65 4 =120

KUNCI : C

14. Dari 40 buah kursi yang tersedia Pembahasan :

ternyata setelah seminar berlangsung Karena sdh tdk ada ketentuan yang
ada 4 buah kursi yang masih kosong. mengatur maka ini adalah persoalan
Selang beberapa saat ada 7 peserta kombinasi . Jadi banyak cara adalah
seminar yang datang terlambat lalu
C47 = (7 7! = 7!
duduk menempati kursi yang kosong 3!.4!
tersebut .Banyak cara berbeda − 4)!4!

mereka duduk menempati kursi yang = 7.6.5.4! = 7.6.5 = 7.5 = 35 cara
3!4! 3.2.1
masih kosong tersebut adalah .... KUNCI : A

A. 35 cara

B. 480 cara

C. 670 cara

D. 760 cara

E. 840 cara

15. Sepasang suami istri merencanakan Pembahasan : diagram pohon
punya 3 orang anak ,peluang mereka L
Dengan menggunakan
mendapatkan dua anak laki-laki dan didapat :

1 anak perempuan adalah .... L P
A. 3 LP L
32

B. 1 PL P
8 P L

C. 1 P
4
L
D. 3
8
E. 3 Jadi Ruang sampelnya Padalah :

4 S = LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP

n(S) =8

Misal : A = Kejadian 2 laki-laki ,maka

A = LLP, LPL, PLL,  n( A) = 3 Jadi

peluang mereka mendapatkan 2 anak

laki-laki dan 1 anak perempuan adalah :

P ( A) = n( A) = 3
n( S) 8

70

16. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola Pembahasan :

merah dan 4 bola kuning . Jika dari n(S ) = C310 = 10!
dalam kotak diambil 3 bola sekaligus 7!3!

secara acak, peluang terambilnya = 10.9.8 = 120
paling sedikit 2 bola merah adalah .... 3.2.1

A. 1
6 Misal: A = kejadian terambil paling sedikit

B. 1 2 bola merah,berarti mengambil 3 bola
3 merah dari 6,maka:

C. 1 ( )n A = C36.C04 + C26.C14
2
= 6! 1+ 6!  4 = 6.5.4 .1+ 6.5 .4
D. 2 3!3! 4!2! 62
3
= 20 + 60 = 80
E. 5
6 Jadi P ( A) = n ( A) = 80 = 2
n ( S) 120 3

KUNCI : D

11. TRIGONOMETRI.1

E. Jumlah dan Selisih Dua Sudut
(1) sin (A  B) = sin A cos B  cos A sin B

(2) cos (A  B) = cos A cos B  sin A sin B
(3) tan (A  B) = tan A  tan B

1 tan A  tan B

F. Perkalian Sinus dan Kosinus
(1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)
sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}
(2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)
cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}
(3) 2cos A cos B= cos(A + B) + cos(A – B)
cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}
(4) –2sin A sin B= cos(A + B) – cos(A – B)
sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}

G. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen
(1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)
(2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)
(3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)
(4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)

71

(5) tan A + tan B = sin ( A + B)

sin Acos B

(6) tan A − tan B = sin ( A − B)

sin Acos B

H. Sudut Rangkap

(1) sin 2A = 2sinA·cosA
(2) cos 2A = cos2A – sin2A

= 2cos2A – 1

= 1 – 2sin2A

(3) tan 2A = 2 tan A
1 − tan 2 A

(4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Trigonometri Pembahasan :

1. Diketahui sin cos  = 1 dan ( +  ) = 5 sin ( +  ) = sin cos  + cos sin 

36  sin 5 = sin cos  + cos sin 
6
.Nilai sin ( −  ) = ....
 sin1500 = 1 + cos sin 
A. − 5 3
6
 1 − 1 = cos sin   cos sin  = 1
B. − 1 23 6
2
dan sin ( −  ) = sin cos  − cos sin 
C. − 1
6  sin ( −  ) = 1 − 1 = 1

D. 1 36 6
6
KUNCI : D
E. 1
2 Pembahasan :
sin 400 − sin 200
sin 400 − sin 200 = 2cos 1 (40 + 20)sin 1 (40 − 20)
2. Nilai dari cos 400 − cos 200 adalah ....
22
A. − 3
B. − 1 3 cos 400 − cos 200 −2sin 1 (40 + 20)sin 1 (40 − 20)
22
3
C. 1 3 = cos 300 1 3 3
− sin 300 =−2 1 =−
3
D. 2 2
E. 3

KUNCI : A

72

3. Nilai dari sin 270 + sin 630 = .... Pembahasan :
cos1380 + cos1020
2sin 1 270 + 630 cos 1 270 − 630
22
( ) ( )sin 270 + sin 630
A. − 2 =
B. − 1 2 ( ) ( )cos1380 + cos1020 2cos 1 1380 +1020 cos 1 1380 −1020
22
2
C. 1 ( )sin 450 cos −180 = sin 450 cos180
D. 1 2
=
2 cos1200 cos180 cos1200 cos180

12
E. 2 =2
−1 =− 2 KUNCI : A

2

4. Diketahui cos( A + B) = 1 dan cos Acos B = 2 Pembahasan : 1
5 3
cos( A + B) = 1  cos Acos B − sin Asin B =
A dan B sudut lancip . Nilai tan A.tan B 5 5

adalah ....  2 − sin Asin B = 1  sin Asin B = 2 − 1 = 7
A. 5 35 3 5 15
7
7

B. 7 Jadi tan A tan B = sin Asin B = 15
10 cos Acos B 2

C. 7 tan A tan B = 7  3 = 7 3
15 15 2 10 KUNCI : B

D. − 7
15

E. − 1
2

5. Diketahui sin 650 − sin 550 = m . Nilai Pembahasan :
cos100 = .... sin 750 − sin1650
A. 1− 2m2
= 2cos 1 (75 +165)0 sin 1 (75 −165)0
B. 1− 4m2
22
C. 2m2 −1
= 2 cos1200 sin (−45)0 = −2 cos1200 sin 450
D. 2m2 +1
= −2  − 1  1 2=1 2
E. 4m2 +1  2  2 2

KUNCI : D

6. Diketahui ( A + B) =  dan sin Asin B = 1 . Pembahasan :

34 cos( A + B) = cos Acos B − sin Asin B

Nilai dari cos ( A − B) = ....  = cos Acos B − 1  1 = cos Acos B − 1
cos
A. – 1 3 42 4
B. − 1
 cos Acos B = 1 + 1 = 3 Jadi nilai
2 24 4
C. 1
cos( A − B) = cos Acos B + sin Asin B
2

D. 3 = 3 + 1 =1 KUNCI : E
4 44

E. 1 73

7. Diketahui A, B, dan C sudut-sudut dalam Pembahasan :
sebuah segitiga ABC, dengan cos A = 4 dan Dalam sebuah segitiga berlaku :
5
sin B = 1 . Nilai sin C = .... A + B + C = 1800  C = 1800 − ( A + B)
5
Jadi sin C = (sin 1800 − ( A + B))
A. − 1 5
5  sin C = sin1800 cos( A + B) − cos1800 sin ( A + B)
 sin C = sin ( A + B) = sin Acos B + cos Asin B
B. − 2 5
5 Karena cos A = 4  sin A = 1− 16 = 3
5 25 5
C. 1 5
25 Dan sin B = 1  cos B = 1− 1 = 2
5 55
D. 1 5
5 Jadi  sin C = sin Acos B + cos Asin B

E. 2 5
5

= 3 2 + 4 1 = 6+4 = 2 = 2 5
5 5 5 5 55 5 5

KUNCI : E

8. Nilai dari sin 750 − sin1650 adalah .... Pembahasan :
A. 1 2 sin 750 − sin1650
4
B. 1 3 = 2cos 1 (75 +165)0 sin 1 (75 −165)0
4
C. 1 6 22
4
D. 1 2 = 2 cos1200 sin (−45)0 = −2 cos1200 sin 450
2
E. 1 6 = −2  − 1  1 2=1 2
2  2  2 2

9. Diketahui tan − tan  = 1 dan KUNCI : D
3
Pembahasan :
cos cos  = 48 , (,  lancip) . Nilai tan − tan  = 1  sin − sin  = 1
3 cos cos  3
65
 sin cos  − cos sin  = 1
sin ( −  ) = .... cos cos  3

A. 63  sin ( −  ) = 1  sin ( −  ) = 1 cos cos 
65 3 3
cos cos 
B. 33
65  sin ( −  ) = 1  48 = 16

C. 26 3 65 65
65
KUNCI : E
D. 16 74
48

E. 16
65

sin (60 − a)0 + sin (60 + a)0 Pembahasan :
10. Hasi dari cos (30 + a)0 + cos (30 − a)0 = ....
sin (60 − a)0 + sin (60 + a)0
A. − 3 cos (30 + a)0 + cos (30 − a)0 = ....
B. − 1 3
2 sin 1 (120)0 cos 1 (2a) sin 600
3 2 2
C. 1 3 = =
2cos 1 (60)0 cos 1 (2a) cos 300
3 22
D. 1

E. − 3 13

= 2 =1 KUNCI : D
1 3

2

12.PERSAMAAN LINGKARAN & GARIS SINGGUNGNNYA

a. Persamaan Lingkaran

1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jarinya (r)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

2) Bentuk umum persamaan lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat (– ½ A, –½B) dan jari-jari: r = ( 1 A)2 + ( 1 B)2 − C
2 2

3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

r = ax1 + by1 + c
a2 + b2

b. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
c. Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran

a. Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2
x x1 + y y1 = r2

b. Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

c. Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah-langkahnya:
1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a)
2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran,
maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran.
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

75

2) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui

❑ Garis singgung lingakaran x2 + y2 = r2  y = mx  r 1+ m2
❑ Garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m

y – b = m(x – a)  r m2 +1

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Lingkaran

1. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 2, - 3 ) Pembahasan :

dan menyinggung garis x = 5 adalah .... Dengan memperhatikan gbr

A. x2 + y2 + 4x − 6 y + 9 = 0 didapat jar-jari lingkaran •r
B. x2 + y2 − 4x + 6 y + 9 = 0 r = 5 − 2 = 3 jadi persamaan
C. x2 + y2 − 4x + 6 y + 4 = 0 Lingkarannya adalah : (2, −3)
D. x2 + y2 − 4x − 6 y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x − 6 y + 4 = 0 ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 32 x=5
KUNCI : C
 x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9

 x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik Pembahasan :

(1, −3) dan menyinggung garis x + 2y +10 = 0 Dari gbr terlihat bahwa
Jari-jari lingkaran adalah
adalah ....
Jarak pusat ke garis
A. x2 + y2 − 2x + 6 y + 5 = 0
Yaitu : (1, −3) • r

B. x2 + y2 − 2x − 6 y + 5 = 0 r = 1.1+ (−3).2 +10 = 5 = 5
C. x2 + y2 + 2x + 6 y + 5 = 0 12 + 22 5

D. x2 + y2 − 2x + 6 y +15 = 0 Jadi persamaan lingkaran trbt

E. x2 + y2 + 2x + 6 y +15 = 0 Adalah :

( )( x −1)2 + ( y + 3)2 = 2 x + 2y +10 = 0

5

 x2 − 2x +1+ y2 + 6y + 9 = 5 KUNCI : A
 x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik Pembahasan :

(1,3) dan berdiameter 68 adalah .... Karena diameternya 68 maka jari-jarinya adalah

A. x2 + y2 + 2x + 6 y −13 = 0 r = 1 68 jadi persamaan lingkaran tersebut
B. x2 + y2 − 6x + 4 y − 31 = 0 2
C. x2 + y2 + 6x − 4 y − 68 = 0
D. x2 + y2 − 2x − 6 y −17 = 0 adalah :
E. x2 + y2 − 2x − 6 y − 7 = 0
( x −1)2 + ( y − 3)2 =  1 68 2
 2 

 x2 − 2x +1+ y2 − 6y + 9 = 68 = 17
4

 x2 + y2 − 2x − 6y − 7 = 0 KUNCI : E

76

4. Persmaan lingkaran yang berpusat di titik Pembahasan:
Jari-jarinya adalah jarak ( -2,1 ) dan ( 3,4 ) yaitu:
(−2,1) dan melalui titik (3, 4) adalah ....
r = (3 + 2)2 + (4 −1)2 = 25 + 9 = 34
A. x2 + y2 − 4x + 2 y − 40 = 0
B. x2 + y2 − 4x + 2 y + 29 = 0 Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah :
C. x2 + y2 + 4x − 2 y + 40 = 0
D. x2 + y2 + 4x − 2 y − 29 = 0 2
E. x2 + y2 + 2x − 4 y − 40 = 0
34
( )( x + 2)2 + ( y −1)2 =

 x2 + 4x + 4 + y2 − 2 y +1 = 34 KUNCI : D
 x2 + y2 + 4x − 2 y − 29 = 0

5. Persamaan lingkaran dengan pusat di Pembahasan : r
Jari lingkaran adalah : •
P (−3, 2) dan menyinggung sumbu Y r = 3 jadi persamaan lingkaran (−3, 2)
Tersebut adalah : KUNCI : E
adalah....
A. x2 + y2 − 6x − 4 y + 9 = 0 ( x + 3)2 + ( y − 2)2 = 32
B. x2 + y2 − 6x − 4 y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 6x − 4 y + 9 = 0 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = 9
D. x2 + y2 − 6x − 4 y + 9 = 0
E. x2 + y2 − 6x − 4 y + 9 = 0 x2 + y2 + 6x − 4y + 4 = 0

6. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran Pembahasan :

x2 + y2 − 6x − 4 y + 3 = 0 yang sejajar garis Dik: m = 3 , Pusat  − 1 A, − 1 B  = (3, 2) dan jari-
3x − y − 2 = 0 adalah ....  2 2 

A. 3x − y −1 = 0 ( )jari r = 1 A2 + B2 − C = 1 (36 +16) − 3
B. 3x − y − 21 = 0 44
C. 3x − y −17 = 0
D. 3x + y −17 = 0  r = 1 (52) − 3 = 10
E. 3x + y + 3 = 0
4
Pers.grs.singgungnya adalah :

y −b = m(x −b)  r 1+ m2

y − 2 = 3( x − 3)  10 1+ 9

 y −2 = 3x − 9 10   y − 2 = 3x +1

 y − 2 = 3x −19

  3x − y + 3 = 0 KUNCI : C
3x − y −17 = 0

7. Persamaan garis singgung pada lingkaran Pembahasan :
x2 + y2 + 4x − 6 y + 8 = 0 yang sejajar garis
2x + y + 5 = 0 adalah .... Dik: m = −2 , Pusat (−2,3) dan
A. 2x + y + 4 = 0
B. 2x + y − 6 = 0 r = 1 (16 + 36) − 8 = 13 − 8 = 5
C. 2x + y + 6 = 0
D. 2x + y − 2 = 0 4
E. 2x + y + 2 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

77 y − 3 = −2( x + 2)  5 1+ 4

 y −3 = −2x − 45   y − 3 = −2x +1

 y − 3 = −2x − 9

 2x + y − 4 = 0 KUNCI : C
2x + y + 6 = 0

8. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran Pembahasan :

x2 + y2 + 2x − 4 y − 4 = 0 yang tegak lurus Diketahui m = −2 Pusat (−1, 2) dan

garis x − 2y + 4 = 0 adalah .... r = 1 (4 +16) + 4 = 3
A. y = −2x − 4 + 3 5
4

B. y = −2x + 4 + 3 5 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

C. y = −2x + 4 − 3 5 y − 2 = −2( x +1)  3 1+ 4  y − 2 = −2x − 2  3 5

D. y = −2x + 3 5   y = −2x + 3 5 KUNCI : D
E. y = 2x + 3 5 
 y = −2x − 3 5

9. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran Pembahasan :

x2 + y2 − 6x + 4 y −12 = 0 yang sejajar garis Dik: m = − 3 , Pusat (3, −2) dan
3x + 4y −10 = 0 adalah .....
4

A. 4x − 3y + 7 = 0 r = 1 (36 +16) +12 = 5
B. 4x − 3y − 43 = 0
C. 3x + 4y + 42 = 0 4
Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

D. 3x + 4y + 26 = 0 y + 2 = − 3 ( x − 3)  5 1+ 9
E. 3x + 4y + 24 = 0
4 16

 y + 2 = − 3 ( x − 3)  5  5   4 y + 8 = −3 ( x − 3)  25
4  4 

 4y +8 = −3x + 9+ 25  3x + 4y −16 = 0
4 y +8 = −3x + 9− 25  3x + 4y + 24 = 0

KUNCI : E

10. Persamaan garis singgung melalui titik Pembahasan :

A(−2, −1) pada lingkaran Persamaan grs singgung melalui ttk ( x1, y1 ) pada

x2 + y2 +12x − 6 y +13 = 0 adalah .... lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah :
A. −2x − y − 5 = 0
B. x − y +1 = 0 x1x + y1 y + 1 A( x + x1 ) + 1 B ( y + y1 ) + C = 0
C. x + 2y + 4 = 0 2 2
D. 3x − 2y + 4 = 0
E. 2x − y + 3 = 0 Jadi pers.garis singgungnya adalah :

 −2x − y + 6( x − 2) − 3( y −1) +13 = 0

 −2x − y + 6x −12 − 3y + 3 +13 = 0

 4x − 4y + 4 = 0  x − y +1 = 0 KUNCI : B

78

13. SUKU BANYAK & TEOREMA SISA

A. Teorema Sisa
1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)

2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F( b )

a

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada
tahap ke–2

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor
(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0

C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak
Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …, xn.

1) x1 + x2 + …+ xn = − b
a

2) x1 · x2 · …· xn = d (bila berderajat genap)
a

3) x1 · x2 · …· xn = − d (bila berderajat ganjil)
a

4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = c
a

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Suku Banyak dan Teorema Sisa Pembahasan :

1. Salah satu faktor suku banyak Karena x = −2 maka (−2)3 − k (−2)2 + 2 − 2 = 0

( )x3 − kx2 − x − 2 adalah ( x + 2) . Faktor yang  −8 − 4k = 0  k = −2
( )Jadi x3 + 2x2 − x − 2 = 0
lainnya adalah....

A. ( x − 2) −2 1 2 −1 −2

B. ( x + 2) −2 0 2
C. ( x − 4)
D. ( x +1) 1 0 −1 0
E. ( x + 3)
Jadi faktor yang lainnya adalah :

 ( x + 2)( x2 −1)  ( x + 2)( x −1)( x +1)

KUNCI : D

2. Suku banyak P ( x) = x3 + px2 + qx + 4 , jika Pembahasan :

dibagi ( x2 + 5x + 6) mempunyai sisa (2x + 8) P(x) = ( x2 + 5x + 6) H ( x) + 2x + 8
P(x) = (x + 3)(x + 2) H (x) + 2x +8
.Nilai ( p + q) adalah ....
 P(−3) = 2 dan  P(−2) = 4 artinya :
A. −13 1
3 P (−3) = 2  −27 + 9 p − 3q + 4 = 2

B. – 9  9 p − 3q = 25 ..............................................(1)

C. 9 P (−2) = 4  −8 + 4 p − 2q + 4 = 4
D. 13 1
 4 p − 2q = 8  2 p − q = 4 ...........................(2)
3
E. 13 2 Dari (1) dan (2) didapat :

3 79 9 p − 3q = 25  9 p − 3q = 25 -

 2 p − q = 4  6 p − 3q = 12

 3p =13  p = 13  q = 26 − 4
33

 q = 26 −12 = 14 Jadi nilai darai :
33

p + q = 13 + 14 = 27 = 9 KUNCI : C
33 3

3. Suku banyak berderajat 3 ,jika dibagi Pembahasan : Misal

( x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4) ,jika dibagi f ( x) = ( x2 + 2x − 3) H (x) + 3x − 4
( x2 − x − 2) bersisa (2x + 3) ,suku banyak
f ( x) = ( x + 3)( x −1) H ( x) + 3x − 4
tersebut adalah ....
A. x3 − x2 − 2x −1  f (−3) = −13 ; f (1) = −1 misalkan suku
B. x3 + x2 − 2x −1
C. x3 + x2 + 2x −1 banyak tersebut adalah :
D. x3 + 2x2 − x −1
E. x3 + 2x2 + x +1 f ( x) = ( x2 − x − 2)(ax + b) + 2x + 3 Karena :

 f (−3) = −13  (9 + 3 − 2)(−3a + b) − 6 + 3 = −13

= 10(−3a + b) − 3 = −13  −3a + b = −1.........(1)

 f (1) = −1  (1−1− 2)(a + b) + 2 + 3 = −1

= −2(a + b) + 5 = −1  a + b = 3.........(2)

Dari (1) dan (2) didapat :

−3a + b = −1

 a+b = 3

 −4a = −4  a =1  b = 2 Jadi

persamaan suku banyak tersebut adalah :

f (x) = (x2 − x − 2)(x + 2)+ 2x +3

 x3 + 2x2 − x2 − 2x − 2x − 4 + 2x + 3

 x3 + x2 − 2x −1 KUNCI : B

4. Diketahui ( x − 3) adalah salah satu faktor suku Pembahasan :
banyak f ( x) = 3x3 + (m + 2) x2 + x + 6 .Salah f (3) = 0  3(3)3 + (m + 2)(3)2 + 3 + 6 = 0

satu faktor linier lainnya adalah ....  81+ 9m +18 + 9 = 0  9m = −108  m = −12
A. 3x + 2
B. 3x +1 f ( x) = 3x3 −10x2 + x + 6
C. x +1
D. 3x −1 33 −10 1 6
E. 3x − 2 9 −3 −6

3 −1 −2 0

( ) 3x3 −10x2 + x + 6  ( x − 3) 3x2 − x − 2

 ( x − 3)(3x + 2)( x −1) Jadi fakto linier lainnya

adalah : (3x + 2) dan ( x −1) KUNCI : A

80

5. Suku banyak berderajat 3 ,jika dibagi Pembahasan :misal

( x2 − x − 2) bersisa (5x +1) ,jika dibagi f (x) = (x2 − x − 2) H (x) + 5x +1
( x2 − 2x − 3) bersisa (8x + 4) . Suku banyak
f ( x) = ( x − 2)( x +1) H ( x) + 5x +1
tersebut adalah ...
A. x3 − x2 + 3x −1 f (2) = 11 ; f (−1) = −4 substitusikan pada opsion
B. x3 + x2 − 3x −1
C. x3 − x2 + 3x +1 jawaban untuk x = 2 dan x = −1 diperoleh :
D. x3 − 3x2 − x +1 A. u/x=2 maka 8-4+6-1=9 salah
E. x3 − 3x2 − x +1 B. 8+4-6-1=-5 salah
C. 8-4+6+1=11 benar
KUNCI : C

6. Diketahui suku banyak Pembahasan :

f ( x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a  0 dibagi ( x +1) f (−1) = 4  −a + 2 − b + 5 = 4  −a − b = −3

sisanya 4 dan dibagi (2x −1) sisanya juga 4  a + b = 3 .....................................................(1)

.Nilai a + 2b adalah .... f  1 = 4  1a+ 1 + 1b +5 = 4
 2  8 2 2
A. – 8
B. – 2 a + 4 + 4b + 40 = 32  a + 4b = −12 ..............(2)
C. 2
D. 3 Dari (1) dan (2) didapat :
E. 8
 a+b=3
a + 4b = −12

 −3b =15  b = −5  a = 8 Jadi

a + 2b = 8 −10 = −2 KUNCI : B

7. Faktor-faktor persamaan suku banyak Pembahasan:

x3 + px2 − 3x + q = 0 adalah ( x + 2) dan f (−2) = 0  −8 + 4 p + 6 + q = 0  4 p + q = 2 ...(1)

( x − 3) . Jika x1 , x2 , x3 adalah akar-akar f (3) = 0  27 + 9 p − 9 + q = 0  9 p + q = −18 ...(2)

persamaan suku banyak tersebut ,maka nilai Dari (1) dan (2) didapat :
x1 + x2 + x3 = ....
 4p+q =2
A. – 7 9 p + q = −18
B. – 5
C. – 4  −5 p = 20  p = −4  q = 18
D. 4
E. 7 x1 + x2 + x3 = − ( −4) = 4

1

KUNCI : D

( )8. Suku banyak 2x3 + 5x2 + ax + b dibagi Pembahasan :

( x +1) sisanya 1 dan jika dibagi ( x − 2) f (−1) = 1  −2 + 5 − a + b = 1  −a + b = −2 ....(1)

sisanya 43. Nilai dari a + b = .... f (2) = 43  16 + 20 + 2a + b = 43  2a + b = 7 ..(2)
A. – 4
B. – 2 Dari (1) dan (2) didapat :
C. 0
D. 2 −a + b = −2
E. 4 
 2a +b = 7

 −3a = −9  a = 3  b = 1 Jadi nilai

a +b = 3+1= 4

KUNCI : E

81

9. Suku banyak f ( x) dibagi 2x − 4 memberi Pembahasan :
f ( x) = (2x − 4)( x + 4) H ( x) + px + q artinya :
sisa 6 ,dibagi oleh x + 4 memberi sisa 24.

Suku banyak g ( x) dibagi oleh 2x − 4 sisanya f 4 =6 f (2) =6  2 p + q = 6 .........(1)
 2 
5 dan dibagi x + 4 sisanya 2. Jika

h( x) = f ( x).g ( x) . Maka h( x) dibagi f (−4) = 24  −4 p + q = 24 .........(2)

2x2 + 4x −16 memberi sisa .... Dari (1) dan (2) didapat :
A. −3x + 24  2p+q =6
B. −3x + 36 −4 p + q = 24
C. 6x + 24  6 p = −18  p = −3  q = 12 Jadi
D. −6x + 36
E. 12x + 3 f ( x) = −3x +12 dan

g ( x) = (2x − 4)( x + 4) H ( x) + ax + b artinya :

g  4  = 5  g (2) = 5  2a + b = 5 ..........(1)
 2 

g (−4) = 2  −4a + b = 2 ........................(2)

Dari (1) dan (2) didapat :

 2a + b = 5
−4a + b = 2

6a = 3  a = 1  b = 4 Jadi g ( x) = 1 x + 4

22

 h ( x ) = ( −3x + 12 )  1 x + 4  = − 3 x2 − 12 x + 6x + 48
 2  2

= − 3 x2 − 6x + 48
2

2x2 + 4x −16 − 3 x2 − 6x + 48 −3
2 4

− 3 x2 − 3x +12
2

−3x + 36 = sisa

KUNCI : B

82

10. Suatu suku banyak f ( x) dibagi dengan Pembahasan : Misal :

( x + 4) sisanya 14, dibagi dengan (6x + 3) f ( x) = (6x2 + 27x +12) H ( x) + px + q

sisanya −3 1 . Jika suku banyak tersebut f ( x) = (6x + 3)( x + 4) H ( x) + px + q
2
Karena
( )dibagi dengan 6x2 + 27x +12 maka sisanya
f (−4) = 14  −4 p + q = 14 .....................(1)
adalah...
A. −3x + 2 f  − 3 = −3 1
B. −3x + 26  6  2
C. −5x + 6
D. −5x − 6  f  − 1  = − 7  −1 p+q = −7
E. −5x + 34  2  2 2 2

Dari sini diperoleh :

 −4 p + q = 14
− 1 7
2 p + q = − 2

−3 1 p = 14 + 7  − 7 p = 14 + 7
2 22 2

−7 p = 28 + 7  −7 p = 35  p = −5

20 + q = 14  q = −6

Sisanya adalah −5x − 6 KUNCI : D

14. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Domain Fungsi (DF)

1. F(x) = f (x) , DF semua bilangan R, dimana f(x)  0

2. F(x) = f (x) , DF semua bilangan R, dimana g(x)  0
g(x)

B.Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

1. (f  g)(x) = f(g(x))

2. (f  g  h)(x) = f(g(h(x)))

3. (f  g)– 1 (x) = (g– 1  f– 1)(x)

4. f(x) = ax + b , maka f– 1(x) = − dx + b
cx + d cx − a
5. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax
6. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x

83

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Komposisi fungsi dan fungsi invers

1. Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R Pembahasan :

denagan g ( x) = −x + 3 dan ( f g )( x) = 4x2 − 26x + 32

( f g )( x) = 4x2 − 26x + 32 . Maka nilai f (1)  f ( g ( x)) = 4x2 − 26x + 32
 f (−x + 3) = 4x2 − 26x + 32
adalah ....

A. – 5 Misal : −x + 3 = y  x = 3− y

B. – 4 f ( y) = 4(3 − y)2 − 26(3 − y) + 32
C. – 3
D. 3  f (1) = 4(2)2 − 26(2) + 32

E. 4 =16 − 52 + 32 = −4 KUNCI : B

2. Jika fungsi f ( x) = 2x + 3 , x  5 dan Misal :

x−5

g ( x) = 3x +1 maka ( g f )−1 ( x) = .... (g f )( x) = g ( f (x)) = g  2x +3 
 x−5 
A. 5x + 4 , x  −7
x+7 = 3 2x +3 +1 = 6x +9+ x − 5
x − 5  x−5
B. 5x + 7 , x  4
x−4 = 7x + 4 misal ( g f )( x) = y

C. 5x + 4 , x  7 x−5
x−7
y = 7x + 4  xy − 5y = 7x + 4  xy − 7x = 5y + 4
D. 5x − 4 , x  7 x−5
x−7
( y − 7) x = 5y + 4  x = 5y + 4 jadi
E. 5x − 7 , x  4
x−4 y−7

( g f )−1 ( x) = 5x + 4 , x  7 KUNCI : C

x−7

3. Diketahui f : R → R dan g : R → R

didefenisikan dengan f ( x) = x2 + 2x − 3 dan Pembahasan :

g ( x) = 6 − x . Fungsi komposisi ( f g )( x) ( f g)(x) = f (g(x))

adalah .... = f (6 − x) = (6 − x)2 + 2(6 − x) − 3

A. ( f g)(x) = −x2 − 2x +9  f (6 − x) = 36 −12x + x2 +12 − 2x − 3
B. ( f g)(x) = −x2 − 2x −9  ( f g )( x) = x2 −14x + 45
C. ( f g)(x) = x2 + 2x −9
D. ( f g )( x) = x2 −14x + 45 KUNCI : D

E. ( f g )( x) = x2 −14x − 45

4. Diketahui fungsi g ( x) = 4x + 3 , x  2 . Invers Pembahasan :Misal : g ( x) = y

x−2 y = 4x + 3  xy − 2y = 4x + 3

dari g ( x) adalah.... x−2

A. g−1 ( x) = 2x − 3 , x  −4 xy − 4x = 2 y + 3  ( y − 4) x = 2 y + 3

x+4 x = 2y + 3  g−1 ( x) = 2x + 3 , x  4

B. g−1 ( x) = 2x + 3 , x  4 y−4 x−4
84 KUNCI : B
x−4

C. g−1 ( x) = x − 4 , x  − 3
2x +3 2

D. g−1 ( x) = 4x +1 , x  2

3x − 2 3

E. g−1 ( x) = 3x − 2 , x  − 1
4x +1 4

5. Diketahui fungsi f ( x) = 2x +1 dan Pembahasan :

g ( x) = x +1, x  0 , Invers ( f g )( x) adalah ( f g)(x) = f ( g ( x)) = f  x +1
 x 
x
 x +1 
..... = 2  x  +1

A. ( f g )−1 ( x) = 2x , x  3 = 2x + 2 + x = 3x + 2

x−3

B. ( f g )−1 ( x) = 2x , x  3 x x

x−3 Misal : ( f g )( x) = y

C. ( f g )−1 ( x) = 2x , x  3  y = 3x + 2  xy = 3x + 2  xy − 3x = 2
D. ( f x
E. ( f x−3
 ( y − 3) x = 2  x = 2
g )−1 ( x) = 2x , x  3
y−3
x−3
Jadi ( f g )−1 ( x) = 2 , x  3 KUNCI : C
g )−1 ( x) = 2x , x  3
x−3
x−3

6. Diketahui fungsi f ( x) = x + 3 dan Pembahasan :

g ( x) = x2 + 4x + 2 . Fungsi komposisi (g f )(x) = g ( f (x)) = g (x + 3)

( g f )( x) = .... = ( x + 3)2 + 4( x + 3) + 2

A. x2 + 4x −1 = x2 + 6x + 9 + 4x +12 + 2
B. x2 + 4x + 5 = x2 +10x + 23
C. x2 +10x + 23
D. x2 +10x + 20 KUNCI : C
E. x2 + 4x + 23

7. Diketahui fungsi g ( x) = 4x + 3 , x  2 . Invers Pembahasan : Misal :

x−2 g(x) = y  y = 4x +3

dari g ( x) adalah g−1 ( x) = .... x−2
 xy − 2y = 4x + 3  xy − 4x = 2y + 3
A. 2x − 3 , x  −4
x+4  ( y − 4) x = 2y +3  x = 2y +3

B. 2x + 3 , x  4 y−4
x−4
g−1 ( x) = 2x + 3 , x  4
C. x − 4 , x  − 3
x−4
KUNCI : B

2x +3 2

D. 4x +1 , x  2
3x − 2 3

E. 2x − 3 , x  − 1 85
4x +1 4

8. Diketahui fungsi f ( x) = x + 3 dan Pembahasan :

g ( x) = x2 − 2x −1. Komposisi fungsi ( f g )( x) = f ( g ( x)) = f ( x2 − 2x −1)

( f g )( x) = .... = ( x2 − 2x −1) + 3

A. x2 − 2x + 2 = x2 − 2x + 2
B. x2 + 2x − 2
C. x2 + 4x + 2 KUNCI : A
D. x2 − 4x + 2
E. x2 − 4x − 2

9. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R Pembahasan :

yang dirumuskan oleh f ( x) = 3x + 5 dan (g f )(x) = g ( f (x)) = g (3x + 5)

g ( x) = 2x , x  −1. Rumus ( g f )( x) = 2(3x + 5) = 6x +10 , x  −2

x +1 3x + 5 +1 3x + 6

adalah ..... KUNCI : C

A. 6x , x  −6
x+6

B. 5x + 5 , x  −1
x +1

C. 6x +10 , x  −2
3x + 6

D. 6x + 5 , x  −2
3x + 6

E. 5x + 5 , x  −2
3x + 6

10. Diketahui fungsi f ( x) = 3x − 5 dan Pembahasan :

g ( x) = 4x − 2 , x  3 . Nilai komposisi fungsi (g f )(2) = g (1) = 4 − 2

6− 4x 2 6−4

( g f )(2) adalah .... = 2 =1
2
A. 1
KUNCI : D

4

B. 1
2

C. 0

D. 1

E. 8

86

15.LIMIT FUNGSI
A. Limit fungsi aljabar

Jika f (a) = 0 , maka lim f (x) diselesaikan dengan cara sebagai berikut:
g(a) 0 x→a g(x)

1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan

2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar
3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan

▪ lim f (x) = f '(a)
x→a g(x) g'(a)

B. Limit fungsi trigonometri
1. lim sin ax = lim ax = a
x→0 bx x→0 sin bx b
2. lim tan ax = lim ax = a
x→0 bx x→0 tan bx b

Catatan

Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 1 – cos A = 2 s in 2 ( 1 A)
2

b. 1 = csc x
sin x

c. 1 = secan x
cos x

d. cos A – cos B = – 2 sin 1 (A + B)  sin 1 (A – B)
2 2

e. cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

C. Limit Mendekati Tak Berhingga

(1) lim axn + bxn−1 + ... = p , dimana
cxm + dxm−1 + ...
x→

a. p = a , jika m = n
c

b. p = 0, jika n < m
c. p = , jika n > m

( )(2) lim ax + b  cx + d = q, dimana:
x→

a. q = , bila a > c
b. q = 0, bila a = c
c. q = –, bila a < c

( )(3) lim ax2 + bx + c − px2 + qx + r = b − q
x→ 2 a

87

Teori Cerdik :
1. Limit Fungsi Aljabar :

➢ Cara menyelesaiakan :
lim f (x) → substitusikan x = a ke fungsi f (x) dan g(x) jika hasilnya :
x→a g(x)

• Tertentu maka hasil itulah yang dicari .

• Tidak tertentu atau 0 , maka lakukan
0

* Faktorisasi atau gunakan dalil D’Hospital
Untuk x → 0

0 nm

(1).lim ... + a2 xn+1 + a1 x n =  a1 n=m
x→0 ... + b2 xm+1 + b1xm
 b1
  n  m



a1xn + a2 xn−1 + ... + an  0  n  m
b1xm + b2 xm−1 + ... + bm   n  m
(2) lim =

x→ 

a1  n = m

 b1

(3) lim ax = a ( p + q)

x→0 p + bx − q − cx p − q + b + c

((4) lim ax2 + bx + c − )px2 + qx + r = b2+−aq→→aa=pp
x→ 

− →a p



SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri Pembahasan :

1. Nilai dari lim x2 −16 adalah .... lim x2 −16  1+ x − 3
x→4 1− x − 3 x→4 1− x − 3 1+ x − 3

A. – 16 = lim ( )( x − 4)( x + 4) 1+ x − 3
B. – 4 x→4
1− ( x − 3)
C. 4
= lim ( )( x − 4)( x + 4) 1+ x − 3
D. 16 x→4
−(x − 4)
E. 32

( )= − lim( x + 4) 1+ x − 3 KUNCI : A
x→4

= −(8)(1+1) = −16

88

( )2. Nilai lim 2x − 4x2 + x + 3 adalah .... Pembahasan :
x→
b − q jika a = p
A. − 1  jika a  p
2 ( )lim  2a
x→ ax2 + bx + c − px2 + qx + r =  +
B. − 1
4  − jika a p

C. 0 
D. 1
( )Jadi lim 2x − 4x2 + x + 3
4 x→
E. 1
( )= lim 4x2 + 0x + 0 − 4x2 + x + 3 = 0 −1
2 x→ 2 4

=−1 KUNCI : B
4

3. Nilai dari lim 4x sin 2x = .... Pembahasan :
x→0 cos 4x − cos 2x
lim 4x sin 2x =
A. 2 x→0 cos 4x − cos 2x
3
lim 4xsin 2x = −2lim x . sin 2x
B. 1 x→ −2sin 3x sin x x→ sin x sin 3x
2
= −2lim x .lim sin 2x .2x.lim 3x . 1
C. 0 x→ sin x x→ 2x x→ sin 3x 3x
D. − 2
= −2.1.1.1. 2 = − 4
3 33
E. − 4
KUNCI : E
3
Pembahasan : KUNCI : E
( )4. Nilai lim x2 − 3x − 3 − 3x + 3 adalah ...
x→− 4 ( )lim x2 − 3x − 3 − 3x + 3
A. – 4
B. – 10 x→−4
C. 4
D. 14 ( )= 16 +12 − 3 +12 + 3
E. 20 ( )= 25 +15 = 5 +15 = 20

5. Nilai dari lim x tan x = .... Pembahasan :
cos2 x −
x→0 2 2 x tan x
2cos2 x − 2
A. − 1 lim
2
x→0

B. − 1 ( )= lim x tan x = 1 lim x tan x
4 x→0 2 cos2 x −1 2 x→0 − sin2 x

C. 0 = − 1 lim x .lim tan x .x.lim x . 1
2 x→0 sin x x→0 x x→0 sin x x
D. 1
2 = − 1 .1.1.x.1. 1 = − 1 KUNCI : A
2 x2
E. 1

89

( )6. Nilai lim 9x2 − 6x −1 − (3x + 4) adalah .... Pembahasan :
x→

( )A. – 1
lim 9x2 − 6x −1 − (3x + 4)

x→

B. – 2 ( )lim 9x2 − 6x −1 − (3x + 4)2
C. – 3
x→
D. – 4
E. – 5 ( )= lim 9x2 − 6x −1 − 9x2 + 24x +16
x→

= −6 − 24 = −30 = −5
29 6

KUNCI : E

7. Nilai dari lim1− cos 2x = .... Pembahasan :
x→0 2x tan 4x
( )1− 1− 2sin2 x = lim 2sin2 x
A. – 1
B. − 1 = lim
x→0 2x tan 4x x→0 2x tan 4x
8
C. 1 = lim sin x .lim sin x .x.lim 4x . 1
x→0 x x→0 x x→0 tan 4x 4x
4
D. 1 = 1.1.x.1. 1 = 1
4x 4
8
KUNCI : C
E. 1

( )8. Nilai dari lim x2 − 7x − 20 − x + 3 = .... Pembahasan :
x→
( )lim x2 − 7x − 20 − x + 3 =
A. – 13
B. – 8 x→

C. − 13 ( )= lim x2 − 7x − 20 − ( x − 3)
2 x→

D. – 1 ( )= lim x2 − 7x − 20 − ( x − 3)2
x→
E. − 1
2 ( )= lim x2 − 7x − 20 − x2 − 6x + 9
x→

= −7 − (−6) = −1 KUNCI : E
21 2

9. Nilai dari lim 1− cos( x − 4) = ..... Pembahasan :
x→4
x2 − 8x +16 lim 1− cos( x − 4)

A. − 1 x→4 x2 − 8x +16
4
1 − 1 − 2 sin 2 1( x − 4 ) 
B. − 1 x− 
2 = lim ( 2

x→4 4)2

C. 1 2sin2 1 ( x − 4)
4 2
= lim
D. 1 x→4 (x − 4)2
2

E. 1

90

sin 1 ( x − 4) 1 sin 1 ( x − 4) 1
2 2
= 2 lim .  lim .
x→4 1 ( x − 4) 2 x→4 1 ( x − 4) 2
22

= 2.1. 1 .1. 1 = 1 KUNCI : D
2 22

( )10. Nilai dari lim (3x − 2)2 − 3x − 5 = ..... Pembahasan :
x→
( )lim (3x − 2)2 − 3x − 5 =
A. 7
B. 3 x→
C. 2
D. – 3 ( ) ( )= lim 9x2 −12x + 4 −(3x +5) = lim 9x2 −12x + 4 − (3x +5)2
E. – 7 x→ x→

( )= lim 9x2 −12x + 4 − 9x2 + 30x + 25
x→

= −12 − 30 = −42 = −7 KUNCI : E
29 6

11. Nilai dari lim 1− cos x = ..... Pembahasan :
x→0 x sin x
A. 1 1− cos x 1− 1 − 2 sin 2 1 x 
2 2 
lim = lim
B. 1 x→0 x sin x x→0 x sin x
3
2sin2 1 x sin 1 x sin 1 x
C. 1 2 = 2 lim 2  lim 2
4 = lim
x→0 x sin x x→0 x x→0 sin x
D. 1
8 = 2 1 1 = 1 KUNCI : A
22 2
E. 0

12. Nilai dari lim x2 −5x + 6 adalah.... Pembahasan :
x2 −9
x→3 x2 −5x + 6 ( x − 2)( x − 3)
x2 −9 ( x − 3)( x + 3)
A. − 2 lim = lim
3
x→3 x→3
B. 0
= lim x − 2 = 3 − 2 = 1 KUNCI : C
x→3 x + 3 3 + 3 6
C. 1
6 Cara Lain :

D. 2 lim x2 − 5x + 6 = lim 2x − 5 = 2 (3) − 5 = 1
3 2x 2(3) 6
x→3 x2 − 9 x→3

E. 5
6

91

13. Nilai lim 3x2 − 8x + 4 = .... Pembahasan:
x→2 x − 2
lim 3x2 − 8x + 4 = ....
A. 2 x→2 x − 2
B. 3
C. 4 lim (3x − 2)( x − 2) = lim(3x − 2) = 6 − 2 = 4
x→2 x − 2 x→2
D. 8
E. 10 KUNCI : C

(14. Nilai lim 5x + 4 − )2x − 3 = .... Pembahasan :
x→
( )lim 5x + 4 − 2x − 3  5x + 4 + 2x − 3
A. 
B. 8 x→ 5x + 4 + 2x − 3
C. 3
D. 1 = lim 5x + 4 − (2x − 3) = lim 3x + 7
E. 0
x→  5 + 4 + 2 − 3  x→  5 + 4 + 2 − 3 
x x x2 x x2  x x x2 x x2 
   

= lim 3+ 7 = 3+0 = 3 =
x

x→  5+ 4 + 2 − 3  0+0 0
 x x2 x x2 
 

KUNCI : A

15. Nilai lim (2x + 3)sin ( x +1) Pembahasan :

x→ −1 x2 + 4x + 3 = .... (2x + 3)sin ( x +1)

A. 5 lim x2 + 4x + 3 = ....

B. 5 x→ −1
4
= lim (2x + 3)sin ( x +1) = lim 2x +3 lim sin ( x +1)
C. 1 ( x +1)( x + 3) x+3
x→ −1 x→ −1 x→ −1 ( x +1)

D. 1 = 2(−1) + 3 lim sin ( x +1) = 1 lim sin ( x +1)
2 −1+ 3 x→ −1 x +1 2 x→ −1 x +1
Misal: x +1 = y  u / x → −1 y → 0
E. 0

Jadi

= 1 lim sin ( x +1) = 1 lim sin y = 1 1 = 1
2 x→ −1 x +1 2 y→0 y 2 2

KUNCI : D

92

16.TURUNAN FUNGSI

A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:
1. y = u + v  y1 = u1 + v1

2. y = c.u  y1 = cu1

3. y = u.v  y1 = u1v + v1u

4. y = u  y1 = u1v − v1u
v v2

5. y = un  y1 = nun−1.u1

6. y = sin u  y1 = u1 cosu

7. y = cos u  y1 = −u1 sin u

8. y = tan u  y1 = u1 sec2 u

9. y = cot u  y1 = −u1 csc2 u

10. y = secu  y1 = u1 secu tan u

11. y = cscu  y1 = −u1 cscu cot u

Keterangan:
y1 : turunan pertama dari y

u1 : turunan pertama dari u
v1 : turunan pertama dari v

Identitas trigonometri yang banyak digunakan :
1. 2sin x cos x = sin 2x
2. cos2 x + sin2 x = 1
3. cos 2x = 2cos2 x −1 = 2sin2 x −1

4. cos2 x = 1 (1+ cos 2x) dan sin2 x = 1 (1− cos 2x)

22
B. Aplikasi turunan suatu fungsi

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi,
diantaranya:
1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah:
y – b = m(x – a)
2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

93

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Pembahasan :

Diferensial Ttk potongnya adalah :

1. Diketahui grafik fungsi y = 2x2 − 3x + 7 2x2 − 3x + 7 = 4x +1  2x2 − 7x + 6 = 0

berpotongan dengan garis y = 4x +1. Salah  (2x − 3)( x − 2) = 0  x = 3 atau x = 2
satu persamaan garis singgung yang melalui 2

titik potong kurva dan garis tersebut adalah ... Utk : x= 3  y = 6 →  3 , 6 
A. y = 5x + 7 2  2

B. y = 5x −1 x = 2  y = 9 → (2,9)

C. y = x + 5 m1 = dy = 4x − 3 = 12 − 3 = 9 maka grs
D. y = 3x − 7
E. y = 3x + 5 dx 3
x=
2

singgungnya adalah :

y −6 = 9  x− 3  y −6 = 9x − 27
 2  2

 2y −12 = 18x − 27  2y = 18x −15

 y = 9x − 15 dan
2

m2 = dy = 4x −3 = 8−3 = 5
dx x=2

Maka grs singgungnya adalah

y − 9 = 5( x − 2)  y = 5x −10 + 9

y = 5x −1

KUNCI : B

2. Seorang petani mempunyai kawat sepanjang Pembahasan : Misal lebarnya x ( ada 4x ) dan

80 meter, yang direncanakan untuk memagari panjangnya y ( ada 3y ), maka didapat :

kandang berbentuk tiga buah persegi panjang y + 4x = 80  y = 80 − 4x

berdempet yang identik seperti diperlihatkan L = xy = x (80 − 4x)
pada gambar berikut ( Sisi di sepanjang
 L = 80x − 4x2 syarat maksimum adalah
gudang tidak memerlukan kawat ) .

L1 = 0  80 − 8x = 0  x = 10  y = 40

GUDANG Jadi luas maksimim kandang adalah :
L =10 40 = 400 m2

x xx x KUNCI : B

y

Luas maksimum kandang adalah ....
A. 360 m2
B. 400 m2
C. 420 m2
D. 450 m2
E. 480 m2

94

3. Perasamaan garis singgung kurva Pembahasan :

y = 2x2 − 5x + 7 yang melalui titik berabsis 2 Krn absisnya 2 maka ordinatnya :

adalah .... y = 2(4) −10 + 7 = 8 −10 + 7 = 5 jadi titik

A. y = 3x + 3 singgungnya adalah (2,5) ,maka gradiennya adalah
B. y = 3x +1
C. y = 3x −1 m = dy = 4x − 5 = 8 − 5 = 3 jadi persamaan garis
D. y = 3x − 6 dx x=2
E. y = 3x −11
singgungnya adalah :

y − 5 = 3(x − 2)  y = 3x − 6 + 5

 y = 3x −1 KUNCI : C

4. Turunan pertama dari y = sin2 (3x − ) Pembahasan :

adalah..... y = sin2 (3x − ) = (sin (3x − ))2

A. y1 = 6cos (3x − )  y1 = 2(sin (3x − ))1 3cos(3x − )
B. y1 = 6sin (3x −  )
C. y1 = 3sin (3x −  )  y1 = 6sin (3x −  )cos (3x −  )
D. y1 = −6sin (3x −  )
E. y1 = −3sin (3x −  )  y1 = 3sin 2(3x −  )

 y1 = 3sin (6x − 2 ) KUNCI : C

5. Bentuk Pagar Pembahasan :
Misal : pnjng pagar = x dan lebar = y ,maka
Tembok
didapat : 4x + 2y = 800  2y = 800 − 4x
Pagar

Area Tanah  y = 400 − 2x maka Luasnya adalah :

Kawat Berduri L = xy  L = x (400 − 2x) = 400x − 2x2

Syarat maksimum : L1 = 0

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan  400 − 4x = 0  x = 100  y = 200

menggunakan kawat berduri seperti pada gambar Jadi luas maksimum yang dapat dibatasi oleh

Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tdk pagar adalah : L =100.200 = 20.000 m2
bertembok .Kawat yang tersedia 800 meter.

Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi

oleh pagar yang tersedia ?

A. 80.000 m2 KUNCI : C
B. 40.000 m2

C. 20.000 m2

D. 5.000 m2

E. 2.500 m2

( )6. Turunan pertama dari f ( x) = 3x2 − 5 cos x Pembahasan :

adalah f 1 ( x) = ..... f ( x) = (3x2 − 5)cos x

( )A. 3x sin x + 3x2 − 5 cos x f 1 ( x) = 6x cos x + (3x2 − 5)(−sin x)
( )B. 3x cos x + 3x2 − 5 sin x
( )= 6x cos x − 3x2 − 5 sin x

( )C. 6x sin x − 3x2 − 5 cos x KUNCI : E
( )D. 6x cos x + 3x2 − 5 sin x

( )E. 6x cos x − 3x2 − 5 sin x

95

7. Icha akan meniup balon karet berbentuk Pembahasan : Volume Bola adalah :

bola.Ia menggunakan pompa untuk V = 4  r3  dv = 4 r2
memasukkan udara dengan laju pertambahan 3 dr

volume udara 40 cm3/ detik . Jika laju Laju pertambahan volume adalah dv = 40 dan
pertambahan jari-jari bola 20 cm / detik. Jari- dt

jari bola setelah ditiup adalah .... Laju pertambahan jar-jari adalah dr = 20
1
A. cm dt
 Jadi

B. 1 cm  dv  dr = 40  4 r2  20 = 40  r2 = 40
2 dr dt 80

C. 1 cm  r2 = 1  r = 1 cm
2 2 2

D. 2 cm KUNCI : B
3

E.  cm

8. Suatu perusahaan memproduksi x unit Pembahasan : Misal Keuntungannya adalah :

( ) ( )barang,dengan biaya 5x2 −10x + 30 dalam K ( x) = 50x − 5x2 −10x + 30 x
K ( x) = 50x − 5x3 +10x2 − 30x = 20x +10x2 − 5x3
ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang

tersebut terjual habis dengan harga Rp Syarat maksimum : K1 ( x) = 0

50.000,00 tiap unit, maka keuntungan tersebut  20 + 20x −15x2 = 0  4+ 4x − 3x2 = 0
maksimum yang diperoleh perusahaan
 (2 + 3x)(2 − x) = 0  x = − 2 atau x = 2
adalah .....

A. Rp 10.000,00 3

B. Rp 20.000,00 Karena x jumlah barang maka tdk mungkin

C. Rp 30.000,00 negatif jadi harus x = 2

D. Rp 40.000,00 Jadi keuntungan maksimum perusahaan adalah :

E. Rp 50.000,00 K (2) = 20(2) +10(2)2 − 5(2)3

= 40 + 40 − 40 KUNCI : D
= Rp 40.000,00

9. Turunan pertama dari fungsi Pembahasan :

F ( x) = 4 2x3 −1 adalah .... 1

4 ( )F ( x) = 4 2x3 −1 = 4 2x3 −1 2
A.
( )F1 ( x) = 1  4 −1 6x2
x2 2x3 −1 2x3 −1 2 
12
2
B.
x2 2x3 −1 ( )F1 ( x) = 12x2 −1 12x2
2x3 −1 2 =
C. 6x
2x3 −1 2x3 −1
12x2
KUNCI : D
D.
2x3 −1
24x2

E.
2x3 −1

96

10. Dalam daerah segitiga yang dibatasi oleh Pembahasan :
garis 8x + 7 y = 56 ,sumbu X dan sumbu Y Dari gambar terlihat panjang x dan lebar y

.Dari suatu titik pada garis tersebut di buat maka luas daerah persegi panjang adalah :

garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y L = xy karena 8x + 7 y = 56  y = 56 −8x
sehingga membentuk persegipanjang seperti 7

pada gambar berikut : L = x  56 − 8x  = 8x − 8 x2
Y  7  7

8

Syarat maksimum L1 = 0 maka

( x, y)  8 − 16 x = 0  56 −16x = 0  x = 56
7 16
X
07  x = 7  y = 56 − 28 = 4
Luas maksimum daerah persegipanjang yang 27
diarsir diatas adalah ....
A. 48 satuan luas Jadi luas maksimum persegipanjang adalah
L = xy = 7  4 = 14 satuan luas

2
KUNCI : E

B. 28 satuan luas

C. 24 satuan luas

D. 20 satuan luas

E. 14 satuan luas

11. Fungsi f dinyatakan dengan Pembahasan :

f ( x) = (3x − 2)5 .Turunan pertama dari f ( x) = (3x − 2)5 .

f adalah f 1, maka f 1 ( x) =....  f 1 ( x) = 5(3x − 2)5−1 3 = 15(3x − 2)4

A. 18(3x − 2)6 KUNCI : D

B. 15(3x − 2)6

C. 5(3x − 2)4

D. 15(3x − 2)4

E. 12(3x − 2)4

12. Turunan pertama dari Pembahasan :

F ( x) = 2cos3 (3 − 5x) adalah F1 ( x) = .... F ( x) = 2cos3 (3 − 5x)
A. −15sin (6 −10x) cos (3 − 5x)
B. 15sin (6 −10x)cos (3 − 5x)  F ( x) = 2 cos (3 − 5x)3
C. 15cos2 (3 − 5x)sin (3 − 5x)
D. 18cos2 (3 − 5x)sin (3 − 5x)  F1 ( x) = 6 cos (3 − 5x)2 . − 5(−sin (3 − 5x))
E. −18cos2 (3 − 5x)sin (3 − 5x)
 F1 ( x) = 30cos2 (3 − 5x)sin (3 − 5x)

 F1 ( x) = 15sin 2(3 − 5x) cos (3 − 5x)

 F1 ( x) = 15sin (6 −10x) cos (3 − 5x)

KUNCI : B

97

13. Turunan pertama dari Pembahasan :
Ingat: y = u.v  y1 = u1v + v1u Jadi
( )f ( x) = 3x2 − 5 cos x adalah f 1 ( x) = ....
( )A. 3x sin x + 3x2 − 5 cos x f ( x) = (3x2 − 5)cos x
( )B. 3x cos x + 3x2 − 5 sin x
( )C. 6x sin x − 3x2 − 5 cos x f 1 ( x) = 6x cos x + (−sin x)(3x2 − 5)
( )D. 6x cos x + 3x2 − 5 sin x
( )E. 6x cos x − 3x2 − 5 sin x ( )f 1 ( x) = 6x cos x − 3x2 − 5 sin x

KUNCI : E

14. Suatu daerah segitiga yang dibatasi Pembahasan :
oleh garis 6x +10y = 60 ,sumbu X dan
sumbu Y .Dari sebuah titik pada garis 6x +10 y = 60  y = 60 − 6x = 6 − 3 x
10 5
tersebut dibuat garis tegak lusrus Luas daerah yang diarsir adalah :
pada sumbu X dan sumbu Y sehingga
membentuk persegi panjang seperti L = xy  L = x  6 − 3 x 
 5 
paLduaagsammbakarsib- erikYut .
L = 6x − 3 x2 Syarat maksimum L1 = 0
5
mum daerah 6 ( x, y) 6 − 6 x = 0  30 − 6x = 0  x = 5
persegi panjang
yang diarsir 5
X Untuk x = 5  y = 3 jadi luas maksimum
adalah....
A. 60 satuan0 luas 10 adalah : L = 5.3 =15 satuan luas.

B. 30 satuan luas

C. 25 satuan luas KUNCI : D

D. 15 satuan luas

E. 10 satuan luas

15. Diketahui fungsi g ( x) = 1 x3 − A2x − 8 , A Pembahasan :

3 f ( x) = g (2x +1)

konstanta. Jika f ( x) = g (2x +1) dan f  f ( x) = 1 (2x +1)3 − A2 (2x +1) −8 syarat f
naik pada x  − 3 atau x  1 , nilai 3
22 naik f 1  0

maksimum relatif g adalah.... ( ) 3.1 (2x +1)2 .2 − A2 .2 = 2 4x2 + 4x +1 − 2A2
A. 40 3
3  8x2 + 8x + 2 − 2A2 Krn akar-akarnya

B. 8 x = − 3  x = 1 maka :
3 22

C. 0 x1.x2 = c  2 − 2A2 =  − 3  1   2 − 2A2 = −6
D. − 8 a 8  2   2  8 8

3  2 − 2A2 = −6  A2 = 4 Jadi :
E. − 40
g ( x) = 1 x3 − 4x − 8 dimana g maksimum
3
3

relatif jika g1 ( x) = 0 dan g11 ( x)  0 ini

berarti :

98

g ( x) = 1 x3 − 4x −8

3

 g1 ( x) = 0  x2 − 4 = 0  x = 2 dan

g11 ( x) = 2x  g11 (2) = 4  0  g11 (−2) = −4  0

Jadi nilai maksimum relatif g adalah :

g (−2) = 1 (−2)3 − 4(−2) −8 = − 8 + 8 −8

33

g (−2) = − 8 KUNCI : D

3

99