สับเซตและเพาเวอร์เซต

คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต MATHEMATICS

ในท ำนองเดียวกัน เรำจะได้ว่ำ เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็น สมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⊄ B อ่ำนว่ำ A ไม่เป็นสับเซตของ B เช่น A = { 1, 2 } , B = { 1, 3, 4 } , C = { 2, 3, 4 } จะได้ว่ำ A ⊄ C เพรำะ 1 ∈ A แต่ 1 ∉ C B ⊄ C เพรำะ 1 ∈ B แต่ 1 ∉ C ตัวอย่างที่ 1 ให้ A = { 1 } , B = { 0, 1, 2 } , C = { 3, 4, 5, 6 } และ D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } จงพิจำรณำว่ำ เซตคู่ใดบ้ำงที่เป็นสับเซตกัน จะเห็นว่ำ สมำชิกทุกตัวของ A เป็นสมำชิกของ B ดังนั้น A ⊂ B สมำชิกทุกตัวของ A เป็นสมำชิกของ D ดังนั้น A ⊂ D สมำชิกทุกตัวของ B เป็นสมำชิกของ D ดังนั้น B ⊂ D บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B อ่ำนว่ำ A เป็นสับเซตของ B ใบความรู้ เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ให้นักเรียนพิจารณาเซตต่อไปนี้ A = { 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } และสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B จากเซต A และเซต B เราจะเห็นได้ว่า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เราจะเรียกแบบนี้ว่า “A เป็นสับเซตของ B” สับเซต (Subset) หน้า 1 ค ำชี้แจง : ให้นักเรียนศึกษาความรู้เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ในใบความรู้อย่างละเอียดและครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 2 ให้ A = { a, b, c } และ B = { c, a, b } จงพิจำรณำว่ำข้อควำมต่อไปนี้เป็นจริงหรือเป็นเท็จ 1. A ⊂ B เป็นจริง เพรำะสมำชิกทุกตัวของ A เป็นสมำชิกของ B 2. B ⊂ A เป็นจริง เพรำะสมำชิกทุกตัวของ B เป็นสมำชิกของ A จำกตัวอย่ำงท ำให้ได้ข้อสรุปว่ำ ถ้ำ A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B ในทำงกลับกัน ถ้ำ A = B แล้ว A ⊂ B และ B ⊂ A ท ำให้ได้ว่ำ ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ A = {1, 2, 3} สับเซตของ A ที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมด มีดังนี้ กรณีที่ 1 สับเซตของ A ที่ไม่มีสมำชิกเลย คือ Ø กรณีที่ 2 สับเซตของ A ที่มีสมำชิก 1 ตัว คือ {1}, {2} และ {3} กรณีที่ 3 สับเซตของ A ที่มีสมำชิก 2 ตัว คือ {1, 2}, {1, 3} และ {2, 3} กรณีที่ 4 สับเซตของ A ที่มีสมำชิก 3 ตัว คือ {1, 2, 3} สรุป สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} ตัวอย่างที่ 4 จงหำสับเซตทั้งหมดของเซตที่ก ำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. A = Ø , n(A) = 0 สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø ดังนั้น จ ำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต A เท่ำกับ 1 เซต 2. B = {1} , n(B) = 1 สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø , {1} ดังนั้น จ ำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต B เท่ำกับ 2 เซต 3. C = {2, 4} , n(C) = 2 สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø , {2}, {4}, {2, 4} ดังนั้น จ ำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต C เท่ำกับ 4 เซต 4. D = {a, b, c} , n(D) = 3 สับเซตทั้งหมดของ D คือ Ø ,{a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} ดังนั้น จ ำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต D เท่ำกับ 8 เซต A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B กำรเขียนสับเซตทั้งหมดของเซต หลักในกำรเขียนสับเซตทั้งหมดของเซต ๆ หนึ่งที่โจทย์ก ำหนด เริ่มเขียนตั้งแต่เซตว่ำง แล้ว ตำมด้วยเซตที่มีสมำชิก 1 ตัว, 2 ตัว ไปเรื่อย ๆ จนมีสมำชิกเท่ำกับเซตที่โจทย์ก ำหนดมำ (ตัวมันเอง) โดยสมำชิกที่น ำมำใช้เขียนต้องเป็นสมำชิกของเซตที่โจทย์ก ำหนดเท่ำนั้น กำรหำจ ำนวนสับเซตทั้งหมด หน้า 2

จำกควำมรู้เรื่องสับเซต ถ้ำ A มีสมำชิก n ตัว แล้ว จ ำนวนสับเซตของ A จะมี n 2 สับเซต ดังนั้น P(A) จะมีสมำชิกเท่ำกับ n 2 ตัว หรือ n(P(A)) = n 2 ตัว ตัวอย่างที่ 5 ก ำหนดให้ A {a, b,c} จงหำเพำเวอร์เซตของเซต A จะได้ว่ำ เนื่องจำก A มีสมำชิก 3 ตัว ดังนั้น จ ำนวนสมำชิกของ P(A) = n(P(A)) = 2 8 3 ตัว สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} เขียนเซตที่มีสมำชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A ได้ดังนี้ {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} เซตที่ได้นี้เรียกว่ำ เพำเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) ดังนั้น P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} ข้อสังเกต 1) เซตว่ำงเป็นสับเซตของเซตทุกเซต นั่นคือ ถ้ำ A เป็นเซตใด ๆ แล้ว Ø ⊂ A 2) เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง นั่นคือ ถ้ำ A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A ⊂ A สมบัติเพิ่มเติมเกี่ยวกับสับเซต ก ำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ 1) ถ้ำ A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C 2) ถ้ำ A, B เป็นเซตจ ำกัด และ A ⊂ B จะได้ว่ำ n(A) ≤ n(B) เพาเวอร์เซต (Power Set) บทนิยาม เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตที่มีสมำชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์P(A) ข้อสังเกต 1) สมำชิกแต่ละตัวของ P(A) คือ แต่ละสับเซตของ A 2) จ ำนวนสมำชิกของ P(A) เท่ำกับจ ำนวนสับเซตทั้งหมดของ A สรุป ถ้าเซต A เป็นเซตจ ากัดใด ๆ ที่มีจ านวนสมาชิก n ตัว แล้ว จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2 n เซตเสมอ หน้า 3

1. ให้ A = {ก} , B = {ก, ฉ} , C = {ข, ค, ง} , และ D = {ก, ข, ค, ง, จ} จงพิจารณาว่าเซตคู่ใดบ้างที่เป็นสับเซตกัน พร้อมให้เหตุผลประกอบ ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. จงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อว่าถูกหรือผิด ก าหนดให้ B = { 2, 0, 6 } 1. 2 B 2. {2, 0} B 3. {2, 0, 6} B 4. B 5. {6} B 6. {0} B 7. 2 B 8. {2, 6} B 9. {2, 0, 5} B 10. B 3. ก าหนดให้ A = {a, b, c} จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A และจ านวนสับเซตทั้งหมดของ A ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4. ก าหนดให้ M = {boy, girl} จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต M และจ านวนสับเซตทั้งหมดของ M ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5. ให้ D = {7, 8, 9} จงหาเพาเวอร์เซตของเซต D และจ านวนสมาชิกของ P(D) ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6. จงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อว่าถูกหรือผิด หากข้อใดผิดให้แก้ไขให้ถูกต้อง 1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊂ C 2) จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2 n เซตเสมอ 3) A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A ⊄ A 4) A ⊄ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยสองตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B 5) จ านวนสับเซตทั้งหมดของ A เท่ากับจ านวนสมาชิกของ P(A) ใบกิจกรรม เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ค ำชี้แจง : จากการศึกษาใบความรู้เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มตอบค าถามต่อไปนี้ให้ถูกต้อง และส่งตัวแทนออกมาน าเสนอค าตอบจากการท าใบกิจกรรมหน้าชั้นเรียน

1. ก าหนดให้ A = {ก} , B = {ก, ฉ} , C = {ข, ค, ง} และ D = {ก, ข, ค, ง, จ} จงพิจารณาว่าเซตคู่ใดบ้างที่เป็นสับเซตกัน พร้อมให้เหตุผลประกอบ ตอบ A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B A ⊂ D เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ D C ⊂ D เพราะสมาชิกทุกตัวของ C เป็นสมาชิกของ D 2. จงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อว่าถูกหรือผิด ก าหนดให้ B = {2, 0, 6} 1. 2 B 2. {2, 0} B 3. {2, 0, 6} B 4. B 5. {6} B 6. {0} B 7. 2 B 8. {2, 6} B 9. {2, 0, 5} B 10. B 3. ก าหนดให้ A = {a, b, c} จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A และจ านวนสับเซตทั้งหมดของ A ตอบ จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A เท่ากับ 2 3 = 8 เซต สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} 4. ก าหนดให้ M = {boy, girl} จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต M และจ านวนสับเซตทั้งหมดของ M ตอบ จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต M เท่ากับ 2 2 = 4 เซต สับเซตทั้งหมดของ M คือ Ø, {boy}, {girl}, {boy, girl} 5. ให้ D = {7, 8, 9} จงหาเพาเวอร์เซตของเซต D และจ านวนสมาชิกของ P(D) ตอบ เนื่องจาก D มีสมาชิก 3 ตัว ดังนั้น จ านวนสมาชิกของ P(D) = n(P(D)) = 2 3 = 8 ตัว สับเซตทั้งหมดของ D คือ Ø, {7}, {8}, {9}, {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {7, 8, 9} ดังนั้น P(A) = {Ø, {7}, {8}, {9}, {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {7, 8, 9}} 6. จงพิจารณาข้อความในแต่ละข้อว่าถูกหรือผิด หากข้อใดผิดให้แก้ไขให้ถูกต้อง 1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊂ C แก้เป็น A ⊄ C 2) จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2 n เซตเสมอ 3) A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A ⊄ A แก้เป็น A ⊂ A 4) A ⊄ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยสองตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B แก้เป็น หนึ่ง 5) จ านวนสับเซตทั้งหมดของ A เท่ากับจ านวนสมาชิกของ P(A) เฉลยใบกิจกรรม เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ค ำชี้แจง : จากการศึกษาใบความรู้เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มตอบค าถามต่อไปนี้ให้ถูกต้อง และส่งตัวแทนออกมาน าเสนอค าตอบจากการท าใบกิจกรรมหน้าชั้นเรียน

ใบงาน เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ค าชี้แจง : จงตอบค ำถำมในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง 1. จงท าเครื่องหมาย ลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ ความสัมพันธ์ของเซตที่ก าหนดให้ A เป็นสับเซตของเซต B A ไม่เป็นสับเซตของเซต B 1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} 2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4} 3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d} 4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 5 A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f} 7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5} 8 A = { } , B = {1, 2, 3} 9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g} 10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3} สรุป เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ………………………………………………………………….............................. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...................... เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ………………………………………………………………............................. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………................... 2. ให้นักเรียนเติมค าตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์ ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ สับเซตของเซตที่ก าหนดให้ จ านวนสับเซต ทั้งหมดของเซต ที่ก าหนดให้ เพาเวอร์เซตของเซตที่ก าหนดให้ 1 A = {a} 2 A = {1, 2} 3 A = {1, 2, 3} 4 A = {1, 2, 3, 4} 5 A = {a, b, c} สรุป เพำเวอร์เซตของเซต A คือ ………………………………………………………………….................................................. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เฉลยใบงาน เรื่อง สับเซตและเพาเวอร์เซต ค าชี้แจง : จงตอบค ำถำมในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง 1. จงท าเครื่องหมาย ลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ ความสัมพันธ์ของเซตที่ก าหนดให้ A เป็นสับเซตของเซต B A ไม่เป็นสับเซตของเซต B 1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} 2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4} 3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d} 4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 5 A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f} 7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5} 8 A = { } , B = {1, 2, 3} 9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g} 10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3} สรุป เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ A B เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกอย่ำงน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์A B 2. ให้นักเรียนเติมค าตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์ ข้อที่ เซตที่ก าหนดให้ สับเซตของเซตที่ก าหนดให้ จ านวนสับเซต ทั้งหมดของเซต ที่ก าหนดให้ เพาเวอร์เซตของเซตที่ก าหนดให้ 1 A = {a} {a} , 2 1 = 2 {{a} , } 2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2}, 2 2 = 4 {{1}, {2}, {1, 2}, } 3 A = {1, 2, 3} {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, 2 3 = 8 {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, } 4 A = {1, 2, 3, 4} {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, 2 4 = 16 {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, } 5 A = {a, b, c} {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, 2 3 = 8 {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, } สรุป เพำเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมำชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์P(A)