การแกว่งอย่างง่าย PPT

(หนงั สือเรียนหนา้ 19)

50/80

1. ชิงชา้ A มีความยาวแขนเป็น 2 เท่าของชิงชา้ B ถา้ แกวง่ ดว้ ยแรงที่เท่ากนั ชิงชา้ ใดจะแกวง่ ดว้ ยคาบท่ีมากกวา่

จากสมการ ตวั แปรสาคญั คือ ความยาวเชือก โดยความยาวเชือกจะแปรผนั ตรงกบั คาบของการแกวง่

เชือกที่ยาวกวา่ จะมีคาบการแกวง่ ที่มากกวา่ ดงั น้นั ชิงชา้ A จะแกวง่ ดว้ ยคาบท่ีมากกวา่ ชิงชา้ B

2. ลูกเสือคนหน่ึงมองเห็นเถาวลั ยท์ ่ีห้อยอยู่บนตน้ ไม้ 3 เส้นท่ีมีความยาวไม่เท่ากนั ถา้ เขาตอ้ งการขา้ มคลองอยา่ งชา้ ๆ
จะตอ้ งโหนเถาวลั ยเ์ สน้ ใด ถา้ เถาวลั ยท์ ้งั สามเสน้ ยาวพอที่จะขา้ มคลองได้
ตอ้ งเลือกเถาวลั ยเ์ ส้นที่ยาวที่สุด เน่ืองจากมีคาบในการแกวง่ มากที่สุด

51/80

3. ถา้ ตอ้ งทาใหล้ ูกตุม้ แกวง่ ดว้ ยคาบ 10 วินาที จะตอ้ งใชเ้ ชือกที่มีความยาวเท่าไร
จาก

เนื่องจาก มีค่าประมาณ 10 จะได้

52/80

4. น้าฝนกาลงั นง่ั ชิงชา้ พร้อมกบั นบั รอบของการแกว่งไปดว้ ย พบว่าเม่ือชิงชา้ แกว่งครบ 20 รอบ ใชเ้ วลาในการแกว่ง
30 วนิ าที ชิงชา้ แกวง่ ดว้ ยคาบและความถ่ีเท่าไร
ชิงชา้ แกวง่ 20 รอบ ใชเ้ วลา 30 วินาที
ถา้ ชิงชา้ แกวง่ 1 รอบ จะใชเ้ วลา = 1.5 วนิ าที
แสดงวา่ ชิงชา้ แกวง่ ดว้ ยคาบ 1.5 วินาที
จาก

53/80

5. ความเร่งโนม้ ถ่วงของโลก ณ ตาแหน่งท่ีนาฬิกาลูกตุม้ ท่ีมีแขนยาว 2.25 เมตร แกว่งดว้ ยความถ่ีเชิงมุม
2 เรเดียนตอ่ วนิ าที มีคา่ เท่าไร
จาก

54/80

การเคลื่อนทข่ี องวตั ถุตดิ สปริง

การเคล่ือนท่แี บบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) เป็นการเคลื่อนที่แบบมีคาบ
วตั ถุจะมีแนวการเคลื่อนท่ีกลบั ไปกลบั มาซ้าแนวเดิมโดยผา่ นจุดสมดุล
ความถ่ีและคาบของการเคล่ือนที่เป็นส่วนกลบั กนั หรือแปรผกผนั ซ่ึงกนั และกนั ดงั สมการ

และ
แรงคืนตวั ของสปริงเป็นไปตามกฎของฮุก ดงั สมการ

55/80

การเคล่ือนทขี่ องวตั ถุตดิ สปริง

• การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายมีสมการสาหรับคานวณดงั น้ี
ขนาดของการกระจดั
หรือในรูปทวั่ ไป
ขนาดของความเร็ว
ขนาดของความเร็วที่ขณะใด ๆ
ขนาดของความเร่ง

56/80

การเคล่ือนทขี่ องวตั ถุตดิ สปริง

สาหรับวตั ถุติดสปริง ความเร็วเชิงมุม ความถ่ี และคาบการเคลื่อนท่ี
จะข้ึนอยกู่ บั มวลของวตั ถุและคา่ คงตวั ของสปริง ดงั สมการ

57/80

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย

ลูกตุ้มอย่างง่าย (simple pendulum) คือ ลูกตุม้ ที่ประกอบดว้ ย
มวลขนาดเลก็ ผกู หรือแขวนท่ีปลายเชือกเบาท่ีมีมวลนอ้ ยมากและ
ไม่เกิดการยดื หรือหด
ขนาดแรงคืนตวั ของสปริงเป็นไปตามกฎของฮุก ดงั สมการ

58/80

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย

สาหรับการแกวง่ ของลูกตุม้ อยา่ งง่าย ความเร็วเชิงมุม ความถ่ี และคาบ
การเคลื่อนท่ีจะข้ึนอยกู่ บั ความยาวของเชือกและความเร่งโนม้ ถ่วงของ
โลก ดงั สมการ

59/80

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย

ความถี่ธรรมชาติ (natural frequency) คือ ความถี่ในการส่ันหรือแกวง่ ของวตั ถุใด ๆ
ซ่ึงโดยทวั่ ไปแลว้ วตั ถุทุกชนิดจะมีค่าความถ่ีธรรมชาติเฉพาะตวั ค่าหน่ึงเสมอ
การสั่นพ้อง (resonance) เกิดข้ึนเมื่อทาให้วตั ถุส่ันหรือแกว่งด้วยความถี่เท่ากับ
ความถี่ธรรมชาติ จะทาใหว้ ตั ถุสนั่ ดว้ ยแอมพลิจูดที่เพิ่มข้ึน

60/80

1. วตั ถุเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายตามแกน x โดยเริ่มเคล่ือนที่ท่ีตาแหน่งห่างจากตาแหน่งสมดุล 5 เซนติเมตร
ไปทางขวามือ หากวตั ถุน้ีเคล่ือนท่ีไดห้ ่างจากตาแหน่งสมดุลมากที่สุด 10 เซนติเมตร และวตั ถุน้ีเคลื่อนที่ดว้ ยความถ่ี
0.5 รอบตอ่ วนิ าที จงหา
1.1 การกระจดั ท่ีเวลาใด ๆ
จาก
จาก

61/80

1.2 อตั ราเร็วของวตั ถุขณะเคลื่อนท่ีผา่ นตาแหน่งสมดุล
ที่ตาแหน่งสมดุลมีค่า x = 0

จาก

62/80

1.3 ระยะทางท่ีวตั ถุเคลื่อนท่ีไดร้ ะหวา่ งเวลา t = 1 วนิ าที ถึง t = 2 วินาที
ระยะทางที่ t = 1 วนิ าที
จาก

ระยะทางท่ี t = 2 วินาที
จาก

ระยะทางระหวา่ ง t = 1 วนิ าที ถึง t = 2 วินาที

63/80

1.4 กราฟความเร็วและความเร่งกบั เวลา

ความเร็ว (m/s)

เวลา (s)
64/80

ความเร่ง (m/s2)

เวลา (s)
65/80

2. ผกู มวลติดกบั สปริงเบา ดึงใหส้ ปริงยดื ออก 5 เซนติเมตร แลว้ ปลอ่ ยใหส้ นั่ แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายดว้ ยความถ่ี 10
เรเดียนตอ่ วนิ าที เมื่อมวลเคล่ือนท่ีผา่ นจุดสมดุลจะมีอตั ราเร็วเชิงเส้นเท่าไร
จาก
เม่ือมวลเคล่ือนที่ผา่ นจุดสมดุลจะมีอตั ราเร็วเชิงเส้น 3.14 เมตรต่อวนิ าที

66/80

3. แขวนมวล 30 กรัม ติดกบั ปลายสปริงเบาท่ีมีค่าคงตวั สปริงเท่ากบั 100 นิวตนั ต่อเมตร เมื่อดึงมวลออกห่างจากสมดุล
20 เซนติเมตร แลว้ ปลอ่ ยใหแ้ กวง่ ความถ่ีเชิงมุมของการสน่ั เท่ากบั เท่าไร

จาก

ความถี่เชิงมุมของการสน่ั เท่ากบั 9.19 เฮิรตซ์

67/80

4. วตั ถุหน่ึงสั่นดว้ ยความถี่ 70 เฮิรตซ์ มีแอมพลิจูด 0.03 เซนติเมตร ความเร่งสูงสุดและอตั ราเร็วสูงสุดของวตั ถุน้ีมีค่าเท่าไร
จาก
จาก
ความเร่งสูงสุดและอตั ราเร็วสูงสุดของวตั ถุน้ีมีค่าเท่ากบั 57.97 เมตรตอ่ วนิ าที2 และ 0.13 เมตรต่อวนิ าที ตามลาดบั

68/80

5. การสน่ั สะเทือนของลาโพงเป็นการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ถา้ วดั ความถ่ีสูงสุดได้ 1.0 กิโลเฮิรตซ์ และ
แอมพลิจูดเท่ากบั 2.010–4 เมตร ความเร่งสูงสุดในการสั่นของลาโพงมีค่าเท่าไร
จาก

ความเร่งสูงสุดในการสน่ั ของลาโพงมีคา่ เท่ากบั 7.89103 เมตรตอ่ วนิ าที

69/80

6. สปริงหน่ึงมีค่าคงตวั 100 นิวตนั ต่อเมตร ปลายสปริงดา้ นหน่ึงติดกบั มวล 0.5 กิโลกรัม ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงของ
สปริงติดกบั ผนงั เม่ือดึงมวลแลว้ ปล่อยใหส้ ปริงเคลื่อนท่ีกลบั ไปกลบั มาบนพ้ืนล่ืน จะมีคาบของการเคล่ือนที่เท่าไร

จาก

คาบของการเคล่ือนท่ีเท่ากบั 0.44 วนิ าที

70/80

7. อนุภาคหน่ึงเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายบนพ้ืนระดับดว้ ยแอมพลิจูด 10 เซนติเมตร ที่จุดห่างจากจุดสมดุล
6 เซนติเมตร มีความเร็ว 24 เซนติเมตรตอ่ วนิ าที คาบของอนุภาคน้ีมีคา่ เท่าไร

จาก

8. แขวนมวล 30 กรัม ติดกบั ปลายสปริงเบาที่มีค่าคงตวั 100 นิวตนั ต่อเมตร เม่ือดึงมวลออกจากจุดสมดุล 20 เซนติเมตร
แลว้ ปลอ่ ยใหแ้ กวง่ มวลน้ีจะมีอตั ราเร็วเชิงมุมเท่าไร

จาก

มวลน้ีจะมีอตั ราเร็วเชิงมุมเท่ากบั 57.7 เรเดียนต่อวนิ าที 71/80

9. นาวตั ถุมาผกู ติดกบั สปริงและแขวนในแนวด่ิง เม่ือดึงวตั ถุออกจากจุดสมดุลของสปริงแลว้ ปล่อย จะเริ่มเคล่ือนท่ีแบบ
ฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ถา้ กาหนดใหว้ ตั ถุมีมวล 4 กิโลกรัม สปริงมีค่าคงตวั นิวตนั ต่อเมตร และความเร่งโนม้ ถว่ ง

ของโลกเท่ากบั 2 เมตรตอ่ วนิ าที2 จงหา 9.3 ความเร็วเชิงมุม

9.1 คาบของการสั่น

จาก จาก

คาบของการสัน่ เท่ากบั 1 วนิ าที ความเร็วเชิงมุมเท่ากบั เรเดียนตอ่ วนิ าที
9.2 ความถ่ีของการสน่ั
72/80
จาก

ความถี่ของการสัน่ เท่ากบั 1 เฮิรตซ์

10. สปริง 2 อนั มีคา่ คงตวั k1 และ k2 ผกู ติดกนั แลว้ ผกู ติดกบั มวล m จาก
วางอยบู่ นพ้นื ล่ืน ดงั รูป มวล m จะสัน่ ดว้ ยคาบเท่าไร

สปริงตอ่ อนุกรมกนั จะหาค่าคงท่ีไดจ้ าก

73/80

11. แขวนลูกตุม้ ดว้ ยเชือกยาว 0.4, 0.64 และ 1.4 เมตร เชือกแตล่ ะความยาวจะมีคาบเท่าไร และความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเชือก
กบั คาบการแกวง่ เป็นอยา่ งไร
จาก เมื่อ
เม่ือ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวเชือกและคาบการแกวง่ จะแปรผนั
ตรงกนั โดยเม่ือความยาวเชือกมากข้ึนลูกตุม้ จะใชเ้ วลาในการแกวง่
เม่ือ มากข้ึนหรือมีคาบในการแกวง่ มากข้ึน

74/80

12. ความเร่งโนม้ ถ่วงของโลก (g) ณ ตาแหน่งท่ีนาฬิกาลูกตุม้ ท่ีมีแขนยาว 150.3 เซนติเมตร แกวง่ ครบ 100 รอบในเวลา
246.7 วนิ าที มีค่าเท่าไร

จาก

ความเร่งโนม้ ถว่ งของโลกจะมีค่าเท่ากบั 9.741 เมตรตอ่ วนิ าที2

75/80

13. ลูกตุม้ แขวนดว้ ยเชือกยาว 1 เมตร แกวง่ ไปมาดว้ ยคาบ 3 วินาที ถา้ ลูกตุม้ แขวนดว้ ยเชือกยาว 9 เมตร จะแกวง่ ดว้ ยคาบ
เท่าไร

จาก นา จะได้

เมื่อ
เมื่อ

ถา้ ลูกตุม้ แขวนดว้ ยเชือกยาว 9 เมตร จะแกวง่ ดว้ ยคาบ 9 วนิ าที

76/80

14. ลูกตุม้ นาฬิกาแขวนดว้ ยเชือกยาว 2 เมตร จงหาความถ่ีของลูกตุม้ ในกรณีต่อไปน้ี

14.1 แกวง่ บนพ้นื โลก 14.2 แกวง่ ในลิฟตท์ ่ีเคล่ือนที่ข้ึนดว้ ยความเร่ง 2 เมตรตอ่ วนิ าที2

จาก จาก

77/80

14.3 แกวง่ ในลิฟตท์ ่ีเคลื่อนท่ีลงดว้ ยความเร่ง 2 เมตรตอ่ วนิ าที2
จาก

78/80

15. นาฬิกาโบราณเรือนหน่ึงอาศยั หลกั การแกว่งของลูกตุม้ นาฬิกาเป็ นเครื่องบอกเวลา ถา้ นานาฬิกาเรือนน้ีไปไว้
1
ท่ีดวงจนั ทร์ซ่ึงมีความเร่งโน้มถ่วงเป็ น 6 เท่าของความเร่งโน้มถ่วงบนโลก เม่ือนาฬิกาบนดวงจันทร์ผ่านไป

1 ชวั่ โมง เวลาจริงบนโลกจะผา่ นไปเท่าไร

จาก

ที่ดวงจนั ทร์

ที่โลก คาบการแกว่งของนาฬิกาบนโลกเป็ น 2.45 เท่าของดวงจันทร์ ดงั น้ัน
นา จะได้ เมื่อเวลาบนดวงจนั ทร์ผา่ นไป 1 ชวั่ โมง เวลาจริงบนโลกจะผา่ นไป 2.45
ชวั่ โมง
79/80

16. วตั ถุกอ้ นหน่ึงกาลงั เคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย การกระจดั จะมีคา่ เป็นกี่เท่าของแอมพลิจูดท่ีตาแหน่งพลงั งานศกั ย์
เท่ากบั พลงั งานจลน์
ขณะที่วตั ถุเคล่ือนที่ไปยงั ตาแหน่งท่ีมีการกระจัดสูงท่ีสุดหรือมีการกระจัดเท่ากบั แอมพลิจูด (x = A) วตั ถุจะมี

พลงั งานศกั ยม์ ากท่ีสุดและมีพลงั งานจลน์เป็ นศูนย์ และเมื่อวตั ถุเคล่ือนที่กลบั มายงั ตาแหน่งสมดุล (x = 0) วตั ถุจะมี
พลงั งานศกั ยเ์ ป็ นศูนยแ์ ละมีพลงั งานจลน์มากที่สุด ดงั น้นั ตาแหน่งท่ีวตั ถุมีพลงั งานศกั ยเ์ ท่ากบั พลงั งานจลน์จะมีการกระจดั
เป็นคร่ึงหน่ึงของแอมพลิจูดหรือ x = 0.5A

80/80