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Topografía

Una visión moderna de los métodos topográficos

Juan José Martínez García

Escuela Técnica Superior de Arquitectura y Edificación

2021





Prólogo

En la década de los 80 del siglo pasado, se introdujeron en nuestro país los
primeros instrumentos topográficos dotados con dispositivos electrónicos para la
medida de ángulos y distancias. Desde entonces, el avance de la electrónica ha
conducido al desarrollo de instrumentos que alcanzan unas precisiones impensables
en aquellos tiempos, hasta llegar a los receptores GPS para el posicionamiento por
satélites.

De forma paralela han ido evolucionando también los métodos topográficos,
especialmente debido a la posibilidad de medir grandes distancias con una enorme
precisión. Estos avances, unidos a un desarrollo espectacular de la informática, han
hecho posible la modificación de los métodos de cálculo de coordenadas, abandonando
definitivamente la metodología clásica que utilizaba las libretas topográficas.

Los cálculos realizados en Topografía han cambiado gracias a los métodos
numéricos que nos proporciona el Algebra Lineal, la Teoría de Matrices y también a
la Estadística, que nos permite conocer la precisión de los mismos como aplicación
directa de un criterio ideado a finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX por los
matemáticos C. F. Gauss y A. M. Legendre: El Principio de los Mínimos Cuadrados.

Este principio ha permitido el desarrollo de una metodología de cálculo de
coordenadas basada en el ajuste de las observaciones realizadas con los instrumentos
y fundamentada en la teoría de errores, utilizando como herramienta el cálculo
matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la aplicación de
pruebas estadísticas basadas en distintas distribuciones.

Con esta publicación pretendemos poner en manos del estudiante, y futuro
ingeniero, una metodología que utiliza un tratamiento matemático riguroso para el
ajuste de las observaciones procedentes de los instrumentos topográficos actuales.



Indice

1.- Introducción a la teoría de errores. _____________________ 1

1.1.- Magnitud, medición y observación. 3
1.2.- Generalidades. 4
1.3.- Clasificación de los errores. 5
5
1.3.1.- Clasificación causal de los errores. 6
1.3.2.- Clasificación formal de los errores. 8
1.4.- El error observacional como variable aleatoria. 9
1.5.- Medidas redundantes en Topografía y su ajuste.
1.6.- Postulados fundamentales de la teoría de errores. 12
14
Valor más probable de una magnitud. 16
1.7.- Precisión, exactitud y fiabilidad de las observaciones. 17
1.8.- El concepto de peso de una observación. 18
1.9.- Desviación estándar de las observaciones ponderadas. 21
1.10.- Matrices de covarianza, cofactor y de pesos. 24
1.11.- Propagación de la media y la varianza.
Ejemplo.

2.- Principio de los mínimos cuadrados. ___________________ 25

2.1.- Breve introducción histórica. 27
2.2.- Principio de los mínimos cuadrados. 28
2.3.- Regresión lineal. 33
2.4.- Solución matricial al problema de ajuste por ecuaciones de
36
observación, para observaciones de igual precisión. Modelo lineal. 40
2.5.- Regresión lineal mediante cálculo matricial.
2.6.- Solución matricial al problema de ajuste por ecuaciones de 43
45
observación, para observaciones de distinta precisión. Modelo lineal.
2.7.- Ecuaciones no lineales. Linealización. 46
2.8.- Solución matricial al problema de ajuste por ecuaciones de
48
observación para observaciones de igual precisión. Modelo no lineal. 49
2.9.- Solución matricial al problema de ajuste por ecuaciones de 50

observación para observaciones de distinta precisión. Modelo no lineal. 51
2.10.- Desviación estándar de referencia a posteriori.
2.11.- Ley general de propagación de la varianza. 53
2.12.- Propagación de la varianza en el ajuste por ecuaciones de 54
56
observación. Modelo lineal.
2.13.- Propagación de la varianza en el ajuste por ecuaciones de

observación. Modelo no lineal.
2.14.- Bondad del ajuste. Test global 2.
2.15.- Detección de errores groseros. Test  (tau) de Pope.

v

2.16.- Matriz de redundancia. 59
2.17.- Ajuste por mínimos cuadrados con restricciones. Método general. 61
2.18.- Ajuste por mínimos cuadrados con restricciones. Método de Helmert. 65
2.19.- Propagación de la varianza en el ajuste por mínimos cuadrados
67
con restricciones.

3.- Altimetría. _________________________________________ 71

3.1.- Introducción. 73

3.2.- Definiciones. 73

3.3.- La Red Española de Nivelación de Alta Precisión (REDNAP) 77

3.4.- Cota, altitud y desnivel. 81

3.5.- Fundamento de la determinación del desnivel. 82

3.6.- Nivel, trípode y mira. 82

3.7.- Otros niveles: niveles láser y niveles electrónicos. 91

3.7.1.- Niveles láser rotatorios. 91

3.7.2.- Niveles láser de canalización. 94

3.7.3.- Niveles digitales o electrónicos. 94

3.8.- Medida del desnivel. 95

3.9.- Error de esfericidad. 98

3.10.- Error de refracción. 99

3.11.- Desnivel verdadero y desnivel aparente. 100

3.12.- Niveles de burbuja. 103

3.13.- Sensibilidad de los niveles de burbuja. 104

3.14.- Nivelación con 3 hilos. 104

3.15.- Tipos de nivelación. 106

3.16.- Métodos de nivelación geométrica. 106

3.16.1.- Nivelación geométrica simple. 106

3.16.1.1.- Método de nivelación del punto extremo. 107

3.16.1.2.- Método de nivelación del punto medio. 107

3.16.1.3.- Método de nivelación de las estaciones recíprocas. 110

3.16.1.4.- Método de nivelación de las estaciones equidistantes. 111

3.16.1.5.- Método de nivelación por radiación. 113

3.16.1.6.- Aplicación práctica: Correr niveles. 114

3.16.2.- Nivelación geométrica compuesta. 115

3.16.2.1.- Clasificación de los itinerarios. 115

3.16.2.2.- Análisis de un itinerario altimétrico. 116

3.16.2.3.- Itinerarios de ida y vuelta. 119

3.17.- Errores aleatorios en la nivelación geométrica. 120

3.17.1.- Error en la nivelación del instrumento. 120

3.17.2.- Error en la lectura sobre la mira. 121

3.17.3.- Error total. 121

4.- Ajuste de observaciones altimétricas. _________________ 123

4.1.- Redes de nivelación. 125
4.2.- Ecuación básica de observación del desnivel. 126
4.3.- Peso de las observaciones en la nivelación geométrica. 128
4.4.- Ajuste de redes de nivelación. 130
Ejemplo 1A. 130

vi

4.5.- Resolución con hoja de cálculo 140
4.6.- Resolución con el programa Topo4ide 142
Ejemplo 1B. 147
Ejemplo 1C. 151
4.7.- Redes de nivelación con restricciones. 156
Ejemplo 2. 156
Ejemplo 2A (Método general). 156
Ejemplo 2B (Método de Helmert). 158
Ejemplo 2C 163
Ejemplos 3 y 4. 163

5.- Planimetría y taquimetría. ___________________________ 165

5.1.- Angulos que se consideran en Topografía. 167
5.2.- Elementos básicos que definen la medida de un ángulo y clasificación. 168
5.3.- Generalidades. 169
5.4.- Organización de un goniómetro. 170
5.5.- Evolución de los teodolitos. Elementos y características. 172
5.6.- Puesta en estación del teodolito. 175
5.7.- Orientación del teodolito. 179
5.8.- Medida elemental de ángulos horizontales. 180
5.9.- Medida elemental de ángulos verticales. 181
5.10.- Medida de ángulos con mayor precisión. Regla de Bessel. 182
5.11.- Otras aplicaciones de los teodolitos. 184
5.12.- Tipos de distancias. 185
5.13.- Medición directa de distancias. 186
5.14.- Fundamento de la medición electrónica de distancias. 189
5.15.- Precisión de los sistemas de medición electrónica de distancias. 192
5.16.- Instrumentos que integran la medición de ángulos y distancias. 192
5.17.- Errores en la medida de direcciones y ángulos horizontales. 196
197
5.17.1.- Error de lectura y puntería sobre el prisma. 198
5.17.2.- Error de centrado del prisma reflector. 200
5.17.3.- Error de centrado del instrumento. 202
5.18.- Errores en la medida de ángulos verticales. 202
5.19.- Errores en la medida distancias. 203
5.20.- Planimetría. 203
5.21.- Sistemas de coordenadas. 204
5.21.1.- Coordenadas polares. 204
5.21.2.- Coordenadas cartesianas. 204
5.21.3.- Transformación de polares a cartesianas. 205
5.21.4.- Transformación de cartesianas a polares. 205
5.21.5.- Coordenadas absolutas y coordenadas relativas.
5.22.- Sistema de coordenadas del terreno y sistema 206
de coordenadas del instrumento. 209
5.23.- Ecuación de una recta. 209
5.24.- Cálculo del acimut de una alineación. 212
5.25.- Clasificación de los métodos de intersección. 213
5.26.- Metodología y consideraciones previas. 215
5.27.- Método de intersección directa.
5.27.1.- Cálculo a partir de la solución analítica del

vii

triángulo (método general). 215
5.27.2.- Cálculo a partir de los acimutes desde la base. 216
5.27.3.- Cálculo a partir de los ángulos adyacentes a la base. 217
5.27.4.- Polisección directa. 219
5.27.5.- Ejemplos 219
5.28.- Método de intersección inversa. 222
5.28.1.- Cálculo a partir de la solución analítica de los
223
triángulos (método general). 226
5.28.2.- Ejemplo 228
5.28.3.- Cálculo a partir de las fórmulas de Tienstra. 231
5.28.4.- Ejemplo 232
5.29.- Método de Trilateración. 232
5.30.- Método de Triangulateración. 233
5.31.- Taquimetría. 233
5.32.- Fundamento y fórmulas taquimétricas. 235
5.33.- Enlace de estaciones. 236
5.33.1.- Enlace indirecto (corrección de orientación). 241
5.33.2.- Enlace directo (Método de Moinot). 242
5.34.- La medida de distancias en las pruebas de atletismo

6.- Ajuste de observaciones planimétricas y taquimétricas. __ 245

6.1.- Introducción. 247
6.2.- Redes definidas por trilateración 248
248
6.2.1.- Ecuación básica de la distancia horizontal. 251
6.2.2.- Fin de la iteración. 251
251
6.2.2.1- Limitación del número máximo de iteraciones. 252
6.2.2.2.- Limitación de la corrección máxima. 252
6.2.2.3.- Control de la varianza de referencia del ajuste.
6.3.- Ajuste de un levantamiento por trilateración. 254
6.4.- Formulación de la matriz de coeficientes generalizada 255
para una red más compleja. 260
Ejemplo 1. Trilateración. 261
Ejemplo 2. Trilateración. 262
6.5.- Ajuste de un levantamiento por triangulación. 264
6.5.1.- Ecuación básica de observación del acimut de una alineación. 270
273
Ejemplo 3. Triangulación (con acimutes).
6.5.2.- Ecuación básica de la dirección horizontal de una alineación. 278
281
Ejemplo 4. Triangulación (con direcciones). 285
6.5.3.- Ecuación básica del ángulo horizontal definido por 285
290
dos alineaciones. 295
Ejemplo 5. Triangulación (con ángulos). 296
6.6.- Triangulateración. 297
Ejemplo 6. Triangulateración (con distancias y direcciones). 297
Ejemplo 7. Triangulateración (con ángulos y distancias). 299
Ejemplo 8A. Red planimétrica (con distancias y direcciones).
Ejemplo 8B. Red planimétrica (con distancias, ángulos y direcciones).
6.7.- Taquimetría.
6.7.1.- Ecuación básica de observación de la distancia geométrica.
6.7.2.- Ecuación básica de observación del ángulo cenital.

viii

Ejemplo 9. Red espacial (con distancias geométricas y ángulos verticales) 303
Ejemplo 10. Red espacial (con direcciones). 310
Ejemplo 11. Red espacial (con ángulos). 319

7.- Elipses y elipsoides de error. ________________________ 323

7.1.- Introducción. 325

7.2.- Distribución normal multivariante. 325

7.3.- Distribución normal bivariante. 328

7.4.- Elipses de error. 336

7.5.- Cálculo de los semiejes y orientación de la elipse

estándar de error, mediante algebra matricial. 338

7.6.- Cálculo de la elipse de error asociada a distintos niveles de probabilidad. 342

7.7.- Análisis de la matriz cofactor para el cálculo de las elipses de error. 345

Ejemplo 1 346

Ejemplo 2 347

Ejemplo 3 349

Ejemplo 4 350

Ejemplo 5 351

Ejemplo 6 352

Ejemplo 7 353

Ejemplo 8A 354

Ejemplo 8B 355

7.8.- La macro de EXCEL AutoValSim 356

7.9.- Podaria o curva pedal 357

7.10.- Elipses de error relativas. 358

7.11.- Elipsoides de error. 360

7.12.- Cálculo del elipsoide de error asociado a distintos

niveles de probabilidad. 364

7.13.- La macro de EXCEL AutoValSim 366

7.14.- Pedaloide o superficie pedal 367

Ejemplo 9 368

Ejemplo 10 369

Ejemplo 11 371

8.- Modelos digitales del terreno. ________________________ 373

8.1.- Introducción. 375
8.2.- Finalidad del levantamiento. 375

8.2.1.- Definición de la escala. 375
8.2.2.- Equidistancia de curvas de nivel. 376
8.2.3.- Cantidad de medidas y exactitud de las mismas. 376
8.3.- Reconocimiento del terreno. 377
8.4.- Señalización de puntos de estación. 377
8.5.- Registro de las mediciones. 377
8.5.1.- Medición de puntos. 379
8.6.- Traspaso de datos registrados. 381
8.7.- Algoritmos de modelización. 381
8.7.1.- Algoritmo de Watson. 385

ix

8.8.- Dibujo de curvas de nivel. 389

9.- Areas, perfiles y movimiento de tierras. ________________ 397

9.1.- Introducción. 399
9.2.- Métodos para la determinación del área de la
400
superficie del terreno. 401
9.2.1.- División en figuras simples. 404
9.2.2.- Areas contenidas en límites irregulares. 406
9.2.3.- Area de un segmento circular. 406
9.2.4.- Area en función de las coordenadas cartesianas. 409
9.2.5.- Medición de áreas por superposición de cuadrícula. 410
9.2.6.- Medición de áreas con planímetro. 411
9.2.7.- Digitalización de planos y programas informáticos. 413
9.3.- Perfil longitudinal. 414
9.4.- Planta, traza y rasante de una obra. 418
9.5.- Perfiles transversales.
9.6.- Sección tipo de una obra y su integración con el 419
perfil transversal. 420
9.6.1.- Sección tipo en terraplén. 420
9.6.2.- Sección tipo en desmonte. 421
9.6.3.- Sección tipo de transición. 422
9.6.4.- Sección tipo mixta (a media ladera). 425
9.7.- Cálculo de volúmenes. 426
9.9.- Volumen de un prisma irregular. 427
9.9.- Cálculo del volumen mediante perfiles transversales. 427
9.9.1.- Perfiles en desmonte. 428
9.9.2.- Perfiles en terraplén. 428
9.9.3.- Un perfil en desmonte y otro en terraplén. 430
9.9.4.- Perfiles mixtos. 431
9.10. Diagrama o curva de masas.

10.- Replanteos. ______________________________________ 433

10.1.- Introducción. 435
10.2.- Operaciones básicas. 436
10.3.- Topografía de apoyo. 436
10.4.- Señalización de los puntos de apoyo. 437
10.5.- Señalización de puntos por referencias. 441
10.6.- Replanteo de puntos. 444

10.6.1.- Replanteo de puntos por abscisas y ordenadas 444
respecto a una base. 445
449
10.6.2.- Replanteo de puntos por coordenadas polares. 449
10.6.3.- Replanteo de puntos por intersección lineal. 451
10.7.- Marcado de puntos y alineaciones. 452
10.8.- Trazados.
10.8.1.- Trazado de perpendiculares. 452

10.8.1.1.- Trazado de la perpendicular a una alineación
recta por un punto de la misma.

10.8.1.2.- Trazado de la perpendicular a una alineación

x

recta por un punto exterior a ella. 454
10.8.2.- Trazado de paralelas. 454

10.8.2.1.- Trazado de una paralela a una alineación 454
recta por un punto.
455
10.8.2.2.- Trazado de una paralela a una alineación 456
recta a una distancia determinada.
456
10.8.3.- Trazado de bisectrices.
10.8.3.1.- Trazado de la bisectriz de dos alineaciones que 457
se cortan en un punto accesible.
10.8.3.2.- Trazado de la bisectriz de dos alineaciones que 457
se cortan en un punto no accesible. 458
10.8.3.3.- Trazado de la bisectriz de dos alineaciones que 458
se cortan en un punto no accesible y no visible.
459
10.8.4.- Trazado de alineaciones rectas.
10.8.4.1.- Entrada en una alineación. 460
10.8.4.2.- Prolongación de una alineación recta a
través de un obstáculo por traslación. 460
10.8.4.3.- Prolongación de una alineación recta a 461
través de un obstáculo por quiebro. 462
10.8.4.4.- Prolongación de una alineación recta en 466
zonas de abundante vegetación. 466
467
10.9.- Replanteo de curvas circulares.
10.9.1.- Elementos geométricos de una curva circular 468

10.10.- Métodos de replanteo de curvas circulares. 470
10.10.1.- Replanteo por abscisas y ordenadas sobre la tangente.
10.10.2.- Replanteo por abscisas y ordenadas sobre la cuerda. 472
10.10.3.- Replanteo por coordenadas polares (ángulos
tangenciales y cuerdas).
10.10.4.- Replanteo de curvas que han de pasar por un
punto determinado.
10.10.5.- Replanteo por coordenadas desde puntos de
la red topográfica de apoyo.

11.- Introducción a la Cartografía.
El Mapa Topográfico Nacional. ______________________ 475

11.1.- Forma y tamaño de la Tierra. 477
11.2.- Coordenadas geográficas. 482
11.3.- Campo magnético terrestre. 484
11.4.- La Base de Madridejos y la Red Geodésica Española. 487
11.5.- La Red Geodésica Nacional por
501
Técnicas Espaciales (REGENTE). 502
11.6.- La red geodésica nacional en ETRS89. 503
11.7.- El Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS84). 504
11.8.- Definición de Cartografía. 504
11.9.- Mapas, cartas y planos. 504
11.10.- Proyección cartográfica. 505
506
11.7.1.- Deformaciones lineales. 506
11.7.2.- Deformaciones superficiales.
11.7.3.- Deformaciones angulares. xi

11.11.- Clasificación de los sistemas de proyección cartográficos. 506
11.11.1.- Sistemas naturales o perspectivos. 507
11.11.2.- Sistemas artificiales o por desarrollo. 509
512
11.12.- Proyección U.T.M. (Universal Transversa de Mercator). 516
11.12.1.- Huso de proyección. 518
11.12.2.- Cuadrícula U.T.M. 521
11.12.3.- Sistema de referencia de la cuadrícula U.T.M. 523

11.13.- El Mapa Topográfico Nacional. 529
11.13.1.- ¿Por qué se ha cambiado el Sistema
Geodésico de Referencia en España? 530
11.13.2.- ¿Qué ventajas aporta al usuario el cambio 530
de la cartografía de ED50 a ETRS89? 537
11.13.3.- MTN50. 540
11.13.4.- MTN25. 541
544
11.14.- Cartografía del Servicio Geográfico del Ejército. 548
11.14.1.- Serie L. Escala 1:50000. 551
557
11.15.- Cartografía digital. 558
11.16.- Producción cartográfica a otras escalas. 559
11.17.- El Plan Nacional de Ortofotografía Aérea (PNOA). 560
11.18.- Tecnología LiDAR. 561

11.18.1.- Clasificación de puntos LiDAR.
11.18.2.- Formatos de archivo.
11.19.- El proyecto PNOA-LiDAR.
11.20.- Recursos cartográficos en Internet.

12.- Introducción al Catastro. ___________________________ 563

12.1.- El Catastro Inmobiliario. 565
12.2.- Finalidad y usos del Catastro. 566
12.3.- Servicios que ofrece el Catastro. 566
567
12.3.1.- Servicios a ciudadanos, empresas y profesionales.
12.3.2.- Servicios específicos a instituciones y colaboradores 567
568
Registrados. 577
12.4.- La referencia catastral. 579
12.5.- Certificación catastral. 580
12.6.- Directiva europea INSPIRE. 583
12.7.- Características del servicio WMS. 584
12.8.- Representación Gráfica Alternativa. 587
12.9.- Formato GML Catastro.
12.10.- Informe de Validación Catastral del GML, ¿positivo o negativo?

13.- Introducción a los sistemas de posicionamiento
global GNSS. _____________________________________ 591

13.1.- Introducción. 593
13.2.- Estructura del sistema GPS. 594
594
13.2.1.- El segmento espacial. 597
13.2.2.- El segmento de control. 599
13.2.3.- El segmento usuario. 600
13.3.- La señal GPS.

xii

13.3.1.- La disponibilidad selectiva. 602
13.3.2.- Nuevas señales GPS. 604
13.4.- Sistemas de referencia. 606
13.5.- Receptores GPS. 607
13.6.- Fundamento del posicionamiento por satélite. 608
13.6.1.- Medida de código. 608
13.6.2.- Medida de fase. 611
13.7.- Errores en las observaciones. 612
13.8.- Métodos de posicionamiento. 615
13.8.1.- Posicionamiento basado en la medida de código. 615
615
13.8.1.1.- Posicionamiento simple o absoluto. 615
13.8.1.2.- Posicionamiento diferencial. 617
13.8.2.- Posicionamiento basado en la medida de fase. 618
13.8.2.1.- Posicionamiento estático. 619
13.8.2.2.- Posicionamiento rápido-estático. 620
13.8.2.3.- Posicionamiento pseudocinemático. 620
13.8.2.4.- Posicionamiento cinemático. 622
13.8.2.5.- Posicionamiento cinemático en tiempo real. 623
13.9.- Redes permanentes RTK.
13.9.1.- Red Geodésica Nacional de Estaciones 624
628
de Referencia GNSS (ERGNSS).
13.9.2.- La Red REGAM de la Comunidad Autónoma de Murcia. 630
13.9.3.- La Red MERISTEMUM de la Comunidad Autónoma 631
634
de Murcia. 634
13.10.- Planificación de un levantamiento GPS. 636
13.11.- Otros sistemas de navegación. 639

13.11.1.- GLONASS.
13.11.2.- GALILEO.
13.11.3.- BEIDOU

Apéndice A.- Complemento de álgebra de matrices. ________ 643

A.1.- Introducción. 645
A.2.- Definiciones. 645
A.3.- Multiplicación de un escalar por una matriz. 647
A.4.- Suma y resta de matrices. 647
A.5.- Multiplicación de matrices. 648
A.6.- Otras definiciones y operaciones con matrices. 650
A.7.- Rango de una matriz. 653
A.8.- Matriz inversa. 653
A.9.- Formas cuadráticas. 654
A.10.- Polinomio característico. 655
A.11.- Matrices idempotentes. 656

Apéndice B.- Complemento de estadística. ________________ 659

B.1.- Análisis de las medidas. Muestra frente a población. 661
B.2.- Métodos para describir los datos. 661
661
B.2.1.- Grados de libertad. 662
B.2.2.- Media aritmética.
xiii

B.2.3.- Varianza. 662
B.2.4.- Error cuadrático medio o desviación típica de la población. 662
B.2.5.- Desviación típica de la muestra. 663
B.3.- Variable aleatoria. 663
B.4.- Función de distribución acumulativa. 664
B.5.- Función densidad de probabilidad. 664
B.6.- Esperanza matemática. 666
B.7.- Varianza. 667
B.8.- Covarianza y correlación. 667
B.9.- La distribución normal. 668
B.10.- Medidas de la precisión. 671
B.11.- Distribución normal bivariante. 675
B.12.- La distribución 2 (chi-cuadrado). 682
B.13.- La distribución t-Student. 685
B.14.- La distribución F de Fisher. 687
B.15.- Intervalo de confianza para la varianza de la población. 689
B.16.- Contraste de hipótesis. 690

Bibliografía. __________________________________________ 693

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