The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

ebook ini adalah cara membuat ebook secara oneline dan gratis

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by mariaefeliabuik, 2021-11-03 23:09:50

Tutorial ebook anyflip

ebook ini adalah cara membuat ebook secara oneline dan gratis

Keywords: Matematika kelas 8 SMP

BAHAN AJAR
BARISAN DAN DERET

KELAS VIII
KURIKULUM 2013

Oleh:
Widyaningsih, S. Pd

BARISAN DAN DERET

A. Pola Bilangan
Pola adalah sebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur dari

bentuk yang satu ke bentuk berikutnya.
Bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas

(banyak, sedikit) dan ukuran (berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu
objek. Bilangan ditunjukkan dengan suatu tanda atau lambang yang disebut
angka.

Pola bilangan adalah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang
mempunyai pola tertentu. Contoh bilangan-bilangan yang memiliki pola
adalah nomor rumah di perumahan, rumah –rumah disebelah kiri bernomor
1,3,5,7,9, ..., 87 sedangkan rumah-rumah disebelah kanan bernomor 2, 4, 6,
8, ... , 88. Kedua contoh tersebut merupakan bilangan yang berpola karena
memiliki selisih 2 tiap sukunya.

Berikut ini adalah contoh pola-pola bilangan yaitu :
1. Pola Garis Lurus

Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola
bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan
dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya,

  Mewakili bilangan 2.
   Mewakili bilangan 3.
    Mewakili bilangan 4.
     Mewakili bilangan 5.
2. Pola Persegi Panjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola
persegi panjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola
ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegi panjang.
Misalnya,

2

 mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6



mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8




  mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6


3. Pola Persegi
Penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua

noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian

berikut. mewakili bilangan 1, yaitu 1 1 = 1


 mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4
 mewakili bilangan 9, yaitu 3  3 = 9








mewakili bilangan 16, yaitu 4  4 = 16



Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat
dua).
4. Pola Segitiga

Bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti
pola segitiga.

3

 mewakili bilangan 1


mewakili bilangan 3


 mewakili bilangan 6



Bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai

berikut:

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap
a. Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.
(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.
(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan
sebelumnya.

b. Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.
(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.
(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan
sebelumnya.

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan

diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada
angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola

4

segitiga Pascal adalah sebagai berikut:
a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.
b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan

akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.
c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian,

simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.
d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang

diminta.

B. Barisan dan Deret
1. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang dibuat dengan suatu aturan
tertentu. Bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku.
Contoh:
a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Aturan: menambahkan dengan 1 atau urutan bilangan cacah.
Suku ke-1 adalah 0, ditulis U1 = 0
Suku ke-2 adalah 1, ditulis U2 = 1
Suku ke-3 adalah 2, ditulis U3 = 2
Suku ke-4 adalah 3, ditulis U4 = 3, dan seterusnya.
b. 20, 17, 14, 11, 8, ...
Aturan: mengurangkan dengan 3.
U1 = 20, U2 = 17, U3 = 14, U4 = 11, U5 = 8, dan seterusnya.
c. 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Aturan: mengalikan dengan bilangan 2.

5

U1 = 1, U2 = 2, U3 = 4, U4 = 8, U5 = 16, dan seterusnya.

d. 486, 162, 54, 18, 6, ...

Aturan: dibagi dengan bilangan 3.

U1 = 486, U2 = 162, U3 = 54, U4 = 18, U5 = 6, dan seterusnya.

2. Deret

Perhatikan ,barisan berikut ini :

a. 2 , 4 , 6, 8, 10, 12 ,... Un

b. 1, 3, 7 , 9, ... Un

Berdasarkan pola barisan contoh diatas , dapat diperoleh penjumlahan

sebagai berikut :

a. 2 + 4 + 6 + 10+ 12+ ...+ Un ( deret )

b. 1+ 3 + 7 + 9, ... Un (deret )

Penjumlahan suku-suku pada barisan-barisan tersebut seperti contoh diatas

dinamakan Deret. Sehingga :

Jika adalah suatu barisan maka
dinamakan deret

C. Aritmatika
1. Barisan Aritmatika
a. Menentukan suku ke-n barisan aritmetika
Barisan bilangan dapat diteruskan sampai takterhingga. Untuk
menentukan suku tertentu dari suatu barisan bilangan, diperlukan pola
tertentu yang dapat memudahkan pencariannya. Pola tertentu tersebut
merupakan rumus aljabar yang menghubungkan barisan bilangan yang
diketahui dengan bilangan asli.
Contoh:
1) Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ..., n
1 3 5 7 9 11 ... Un  ...?
Bilangan ganjil 2 2 2 2 2

6

Aturan: barisan bilangan ganjil adalah menambahkan dengan 2

untuk setiap suku berikutnya.

U1 = 1 = (2 1) - 1

U2 = 3 = (2 2) - 1

U3 = 5 = (2 3) - 1

U4 = 7 = (2 4) - 1

U5 = 9 = (2 5) - 1

U6 = 11 = (2 6) - 1

.

.

.

Un = 2n-1

2) Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5 ..., n
Barisan bilangan
6 10 14 18 22 26 ... Un  ...?

4 4 4 4 4

Aturan: barisan bilangan ganjil adalah menambahkan
dengan 4 untuk setiap suku berikutnya.
U1 = 6 = (4 1) + 2
U2 = 10= (4 2) + 2
U3 = 14= (4 3) + 2
U4 = 18= (4 4) + 2
U5 = 22= (4 5) + 2
U6 = 26= (4 6) + 2
.
.
.
3) Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ..., n
Barisan bilangan

7

100 95 90 85 80 75 ... Un  ...?

5 5 5 5 5

Aturan: barisan bilangan ganjil adalah menambahkan

dengan 4 untuk setiap suku berikutnya.

U1 = 100 = 105 - (5 1)
U2 = 95 = 105 - (5 2)
U3 = 90 = 105 - (5 3)
U4 = 85 = 105 - (5 4)
U5 = 80 = 105 - (5 5)
U6 = 75 = 105 - (5 6)
.

.

.
Un = 105 – 5n
Dari ketiga contoh tersebut, terlihat baha suku-suku

berurutan pada setiap barisan bilangan mempunyai selisih atau

beda yang tepat. Barisan bilangan seperti itu disebut Barisa

Aritmetika.

Jika nilai suku-sukunya makin lama makin besar maka

disebut Barisan Aritmetika Naik dan jika nilai suku-sukunya makin

lama makin kecil, maka disebut Baris Aritmetika Turun.

b. Menentukan suku ke-n dengan rumus

Selain menggunakan pola hubungan barisan bilangan dengan

bilangan asli, suku ke-n suatu barisan bilangan juga dapat dicari

dengan menggunakan rumus.

i. Barisan Aritmetika

U1 U2 U3 U4 U5 U6 ... Un

b b b b b

Selisih atau beda tiap suku dimisalkan dan suku pertama

dimisalkan .

8

U1  a  a  (0 b)

U2  a  b  a  (1 b)

U3  a  b  a  (2b)

U4  a  b  b  a  (3b)

U5  a  b  b  b  a  (4b)

.

.

.

Un  a  b  b  b ... b  a  (n 1)b

(n 1) suku

Jadi, untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan
aritmetika digunakan rumus:

Un  a  (n 1)b
Dimana = U1 dan b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ...
Contoh:

1. Diketahui barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, ...

Tentukan rumus suku ke-n dan nilai suku ke-100

Penyelesaian:

Diketahui = 2 dan b = 5 – 2 = 3, maka

Un = + (n – 1)b U100 = 3(100) – 1
= 2 + (n – 1)3 = 300 – 1

= 2 + 3n – 3 = 299

= 3n – 1

Jadi, Un = 3n – 1 dan U100 = 299

2. Suatu suku ke-20 baris aritmetika yakni 225 sedangkan

selisih tiap suku adalah 5. Tentukan suku pertama dan

suku ke 10!

Penyelesaian:

Diketahui U20 = 225 dan b = 5, maka

Un = + (n – 1)b U10= 130 + (101)5

U20 = + (20 – 1)5 = 130 + 45=175

9

225 = + (19)5
225 = + 95

= 225 – 95
= 130
Jadi, U1 = 130 dan U10 = 175

2. Deret Aritmatika

Contoh deret :

1) 1 + 3+ 5 + 7 +9 + ... + Un

Deret ini disebut deret aritmatika naik karena nilai Un semakin
besar.

2) 99 + 96 +93 +90 + ...+ Un
Deret ini disebut deret aritmatika turun karena nilai Un semakin kecil

Untuk menentukan suku-suku pada deret aritmatika dapat

dilakukan sebagai berikut :

Misalkan , jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan

dengan Sn maka +

Sn  a  (a  b)  ...  (a  (n  2)b)  (a  (n 1)b)
Sn  (a  (n 1)b)  (a  (n  2)b)  ...  (a  b)  a

2Sn  (2a  (n 1)b  (2a  (n 1)b  ...  (2a  (n 1)b)
n suku

2Sn  n(2a  (n 1)b) maka Sn  n 2a  (n 1)b
2

Jadi , jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :

Oleh karena Un  a  (n 1)b , rumus Sn dapat dituliskan :

Contoh :
1) Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi

7.
Penyelesaian :

10

Jumlah bilangan bulat antar 250 sampai 1000 yang habis dibagi 7

adalah

252 + 259 + 266 + ... + 994 .

a  252,b  7 dan Un  994 sehingga

Un  a  (n 1)b
994  252  (n 1)7
994  252  7n  7
994  245  7n
7n  994  245
7n  749
n 107

Sn  n (a Un)
2

S107  107 (252  994)  66.661
2

2) Sebuah perusahaan tas memproduksi 2000 buah tas di tahun pertama

produksinya. Karena hasil penjualannya terus meningkat maka

pemilik perusahaan menaikkan produksinya sebesar 10 % dari

produksi awal tiap tahunnya. Tentukanlah :

a. Jumlah tas yang diproduksi pada tahun ke-5 .

b. Jumlah tas yang diproduksi hingga tahun ke-5

Penyelesaian :

Diketahui : Suku pertama (a) = 2000

Beda (b) = 10% × 2000= 200

n=5

Ditanyakan :

a. Jumlah tas yang diproduksi pada tahun ke-5 (U5)
b. Jumlah tas yang diproduksi sampai tahun ke-5 (S5)
Jawab :

 Menentukan U5

11

Un  a  (n 1)b
U5  2000  (5 1)200

 2000  (4)200

 2800

Jadi jumlah tas yang diproduksi pada tahun ke -5 adalah 2800.

 Menentukan S5

Sn  n a Un 
2

S5  5  2000  2800
2

 12000

Jadi jumlah tas yang diproduksi dari awal sampai tahun ke-5 adalah

12.000.

D. Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan geometri yaitu barisan bilangan yang mempunyai perbandingan

atau rasio tetap untuk dua suku berurutan. Bila rasio dari barisan lebig

dari satu maka disebut Barisan Geometri Naik, dan jika kurang dari satu

maka disebut Barisan Geometri Turun.

1. Barisan geometri

U1 U2 U3 U4 U5 ... Un

b b b b b

Misalkan:

12

U1  a, maka :  a r0
U1  a  a  r1
U2  a  r  a  r2
U3  a  r  r  a  r3
U4  a  r  r  r  a  r4
U5  a  r  r  r  r
.

.

.

Un  a  r  r  r  ...  r  a  r n1

(n1) faktor

Jadi, untuk menentukan suku ke-n barisan geometri, digunakan rumus:

Un  a  rn1

Dimana, = U1 dan r = = = ... (r = rasio)

a. Contoh:
 Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, 24, 48, ...
Tentukan suku ke 10
Penyelesaian:
=3

r= =2

Un  a x rn1
U10 = 3 x 210-1
= 3 x 29
= 3 x 512
= 1536
Jadi, suku ke-10 barisan geometri diatas adalah 1536.
 Diketahui suku ke-6 suatu barisan geometri adalah 486. Jika
suku yang pertama 2, tentukan rasio dan rumus suku ke-n
Penyelesaian:
a. Menentukan rasio terlebih dahulu

13

Un  a  r n1
U6  a  r 61
486  2  r5
r5  486

2
r5  243
r5  35
r 3

b. Menentukan rumus suku ke n

Un  a x r n1
Un  2 x 3n1

2. Deret Geometri

Dari bagian sebelumnya ,kita ketahui bahwa jika U1,U2 ,U3 ,...,Un

adalah barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ar ,
ar2, ar3, ... , ar n-1. Jika setiap suku barisan geometri tersebut
dihubungkan dengan operasi “+” , maka kita akan mendapatkan

barisan penjumlahan .

a  ar  ar2  ar3  ...  arn2  arn1

Barisan penjumlahan diatas dinamakan deret geometri .

Misalkan jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan

Sn maka berlaku hubungan berikut :

Sn  a  ar  ...  arn2  arn1 (dikalikan r)
rSn  ar  ...  arn1  arn

Sn  rSn  a  ar n

(1 r)Sn  a  arn

Sn  a  arn
(1 r)

Sn  a(1 rn )
(1 r)

14

Apabila baris ke-2 kita kurangkan dengan baris ke-1 maka akan di

peroleh

rSn  Sn  a  ar n

Sn (r 1)  arn  a

Sn (r 1)  a(rn 1)

Sn  a(rn 1)
(r 1)

Dengan demikian jumlah n suku pertama deret geometri adalah sebgai
berikut :

Contoh :

1. Tentukan jumlah delapan suku pertama adalah dari barisan 2, 6, 18,

54 ,...

Penyelesaian :

a  2 dan r  6  3
2

rn a

Sn  r 1 sehingga

S8  2(38 1)  2 (65611)  6560
31 2

jadi jumlah delapan suku pertamanya adalah 6560

2. Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku
ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (U7).
Jawab:
 Menentukan suku ke-7

15

Un  ar n1 maka
U7  ar6
 3(2)6
 3 64
 192

 Menentukan jumlah tujuh suku pertama

Sn  a(rn 1)
r 1

S7  3(27 1)
2 1

 3(128 1)
2 1

 3(127)
1

 381

16

DAFTAR PUSTAKA
Avianti Nuniek. 2007 . Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wagiyo, dkk.2008. Pegangan belajar matematika. Jakarta: PT Galaxy
Puspa Mega
Djumanta,wahyusdin,dkk. 2008. Belajar Matematika Aktif dan
Menyenagkan. Jakarta: PT.Setia Purna Invest

17


Click to View FlipBook Version