ГДЗ_6 кл_рус

ÁÁÊ ÿ721 Óêð
Ñ89

Íàçâà «Ãîòîâ³ äîìàøí³ çàâäàííÿ» ®
º çàðåºñòðîâàíîþ òîðãîâîþ ìàðêîþ

Ñâ³äîöòâî íà çíàê äëÿ òîâàð³â
³ ïîñëóã ¹ 32091 â³ä 29.09.2010

Íàçâà «ÃÄÇ»®
º çàðåºñòðîâàíîþ òîðãîâîþ ìàðêîþ
Ñâ³äîöòâî íà çíàê äëÿ òîâàð³â ³ ïîñëóã ¹ 154435 â³ä 10.04.2012

Óñ³ ïðàâà íà òîðãîâ³ ìàðêè â Óêðà¿í³: «ÃÄÇ»,
«Ãîòîâ³ äîìàøí³ çàâäàííÿ»

íàëåæàòü ïðèâàòí³é îñîá³ Øàï³ðî Ì.Â.

Îõîðîíÿºòüñÿ Çàêîíîì Óêðà¿íè ïðî àâòîðñüêå ïðàâî.
Ïåðåäðóêóâàííÿ äàíîãî ïîñ³áíèêà àáî áóäü-ÿêî¿ éîãî ÷àñòèíè

çàáîðîíÿºòüñÿ áåç ïèñüìîâîãî äîçâîëó âèäàâíèöòâà.
Áóäü-ÿê³ ñïðîáè ïîðóøåííÿ çàêîíó ïåðåñë³äóâàòèìóòüñÿ

ó ñóäîâîìó ïîðÿäêó.

ÑÓÏÅÐ ÃÄÇ. Ãîòîâ³ äîìàøí³ çàâäàííÿ. 6 êëàñ. Ðîçâ’ÿçàííÿ
Ñ89 çàâäàíü òà âïðàâ äî óñ³õ øê³ëüíèõ ï³äðó÷íèê³â. — Õ.:

ÒÎÐÑIÍÃ ÏËÞÑ, 2014. — 1072 ñ.

ISBN 978-617-03-0576-3.

ßê³ñíà ³ íàéïîâí³øà çá³ðêà äëÿ áàòüê³â! Ïîñ³áíèê ì³ñòèòü ðîçâ’ÿçàííÿ
âïðàâ ³ çàâäàíü äî âñ³õ ï³äðó÷íèê³â, ðåêîìåíäîâàíèõ ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³
íàóêè Óêðà¿íè. Âèäàííÿ ì³ñòèòü ðîçâ’ÿçàííÿ çàâäàíü ç òàêèõ ïðåäìåò³â: ìà-
òåìàòèêà (3 ï³äðó÷íèêè), ³íôîðìàòèêà, á³îëîã³ÿ (2 ï³äðó÷íèêè), óêðà¿íñüêà
ìîâà (2 ï³äðó÷íèêè), ðîñ³éñüêà ìîâà (3 ï³äðó÷íèêè), àíãë³éñüêà ìîâà
(3 ï³äðó÷íèêè), í³ìåöüêà ìîâà (2 ï³äðó÷íèêè).

Äîïîìîæ³òü äèòèí³ — ïîÿñí³òü íåçðîçóì³ëå!

ÑÓÏÅÐ ÃÄÇ. Ãîòîâûå äîìàøíèå çàäàíèÿ. 6 êëàññ. Ðåøåíèå
Ñ89 çàäà÷ è óïðàæíåíèé êî âñåì øêîëüíûì ó÷åáíèêàì. — Õ.:

ÒÎÐÑÈÍÃ ÏËÞÑ, 2014. — 1072 ñ.
ISBN 978-617-03-0576-3.

Êà÷åñòâåííûé ñáîðíèê äëÿ ðîäèòåëåé! Ïîñîáèå ñîäåðæèò ðåøåíèÿ
óïðàæíåíèé è çàäàíèé êî âñåì ó÷åáíèêàì, ðåêîìåíäîâàííûì Ìèíèñòåð-
ñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû. Èçäàíèå ñîäåðæèò ðåøåíèÿ çàäàíèé
ïî ñëåäóþùèì ïðåäìåòàì: ìàòåìàòèêà (3 ó÷åáíèêà), èíôîðìàòèêà, áèîëî-
ãèÿ (2 ó÷åáíèêà), óêðàèíñêèé ÿçûê (2 ó÷åáíèêà), ðóññêèé ÿçûê (3 ó÷åáíèêà),
àíãëèéñêèé ÿçûê (3 ó÷åáíèêà), íåìåöêèé ÿçûê (2 ó÷åáíèêà).

Ïîìîãèòå ðåáåíêó — îáúÿñíèòå íåïîíÿòíîå!

ÁÁÊ ÿ721 Óêð

ISBN 978-617-03-0576-3 © ÏÏ «Òîðñ³íã ïëþñ», ìàêåò, 2014

 êàæäîé èç êíèã ñåðèè «ÑÓÏÅÐ ÃÄÇ. Ãîòîâûå äî-

ìàøíèå çàäàíèÿ» ïðåäñòàâëåíû ðåøåíèÿ âñåõ äîìàø-

íèõ çàäàíèé è ñàìîñòîÿòåëüíûõ ðàáîò êî âñåì îñíîâ-

íûì ó÷åáíèêàì ïî âñåì ïðåäìåòàì.

Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà â ïåðâóþ î÷åðåäü òåì ó÷åíè-

êàì, êîòîðûå ñòðåìÿòñÿ íå ñòîëüêî ñïèñûâàòü, ñêîëü-

êî íóæäàþòñÿ â ïîñîáèè, ñ êîòîðûì ìîæíî ñâåðèòü

ñîáñòâåííûå ðåøåíèÿ è ðåçóëüòàòû, à òàêæå ïîíÿòü

õîä ðåøåíèÿ ñëîæíûõ çàäàíèé. Ñåðèÿ «ÑÓÏÅÐ ÃÄÇ.

Ãîòîâûå äîìàøíèå çàäàíèÿ» áóäåò ïîëåçíà òàêæå

ðîäèòåëÿì, êîòîðûå õîòÿò ïîìî÷ü äåòÿì, íî óñïåëè

îñíîâàòåëüíî ïîäçàáûòü øêîëüíóþ ïðîãðàììó è íå

ìîãóò ðåøèòü çàäà÷è áåç ïîñòîðîííåé ïîìîùè. Äàæå

ó÷èòåëþ, ïðè÷åì ñàìîìó îïûòíîìó è çíàþùåìó, äàí-

íîå èçäàíèå ìîæåò ïðèíåñòè îùóòèìóþ ïîëüçó, òàê

êàê ðàçíîîáðàçèå ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷, ïðåäëî-

æåííûõ â êíèãå, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû

ñòèìóëèðîâàòü ó÷åíèêîâ ê èçîáðåòåíèþ íîâûõ ïóòåé

ðåøåíèÿ.

Æåëàåì óñïåõîâ!

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ» À. Ã. Ìåðçëÿêà, Â. Á. Ïîëîíñêîãî, Ì. Ñ. ßêèðà .................. 5

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ» À. Ñ. Èñòåðà.................................................................151

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ» Í. À. Òàðàñåíêîâîé, È. Í. Áîãàòûðåâîé,
Î. Í. Êîëîìèåö, Ç. À. Ñåðäþê ...................................................................289

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ» È. ß. Ðûâêèíäà, Ò. ². Ëûñåíêî, Ë. À. ×åðíèêîâîé è äð......437

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÁÈÎËÎÃÈß» È. Þ. Êîñòèêîâà, Ñ. À. Âîëãèíà, Â. Â. Äîäÿ è äð...................497

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÁÈÎËÎÃÈß» Ë. È. Îñòàï÷åíêî, Ï. Ã. Áàëàíà, Í. Þ. Ìàòÿøà è äð. ............585

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÓÊÐÀÈÍÑÊÈÉ ßÇÛÊ» À. Â. Çàáîëîòíîãî, Â. Â. Çàáîëîòíîãî ....................597

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÓÊÐÀÈÍÑÊÈÉ ßÇÛÊ» À. À. Âîðîí, Â. À. Ñîëîïåíêî ...............................627

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÐÓÑÑÊÈÉ ßÇÛÊ» À. Í. Ðóäÿêîâà, Ò. ß. Ôðîëîâîé,
Ì. Ã. Ìàðêèíà-Ãóðäæè.............................................................................683

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÐÓÑÑÊÈÉ ßÇÛÊ» Ë. Â. Äàâèäþê ...........................................................719

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÐÓÑÑÊÈÉ ßÇÛÊ» Å. È. Áûêîâîé, Ë. Â. Äàâèäþê,
Å. Ñ. Ñíèòêî, Å. Ô. Ðà÷êî .........................................................................745

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÀÍÃËÈÉÑÊÈÉ ßÇÛÊ» Ë. Â. Êàëèíèíîé,
È. Â. Ñàìîéëþêåâè÷ (óãëóáëåííîå èçó÷åíèå) ..............................................779

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÀÍÃËÈÉÑÊÈÉ ßÇÛÊ» À. Í. Íåñâèò (6-é ãîä èçó÷åíèÿ) ...........................819

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÀÍÃËÈÉÑÊÈÉ ßÇÛÊ» Î. Ä. Êàðïþê (6-é ãîä èçó÷åíèÿ) ..........................839

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÍÅÌÅÖÊÈÉ ßÇÛÊ» Ñ. È. Ñîòíèêîâîé, À. Â. Ãîãîëåâîé
(6-é ãîä èçó÷åíèÿ) ...................................................................................857

Ðåøåíèå çàäàíèé è óïðàæíåíèé ê ó÷åáíèêó
«ÍÅÌÅÖÊÈÉ ßÇÛÊ» Ñ. È. Ñîòíèêîâîé, Ò. Ô. Áåëîóñîâîé,
À. Â. Ãîãîëåâîé (2-é ãîä èçó÷åíèÿ) ............................................................903

ÈÑÒÎÐÈß (ìèíè-ñïðàâî÷íèê)...................................................................927

ÄÈÊÒÀÍÒÛ (ðóññêèé ÿçûê).....................................................................937

ÄÈÊÒÀÍÒÛ (óêðàèíñêèé ÿçûê) ...............................................................953

ÈÇËÎÆÅÍÈß (óêðàèíñêàÿ ëèòåðàòóðà) .................................................. 1025

математика

к учебнику
А.Г. Мерзляка,
В.Б. Полонского,
М.С. Якира

математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) § 1. Делимость натуральных 3) числа, кратные числу 100: 100,
чисел 300, 500, 700, 120;
6
1. Делители и кратные 4) числа, кратные числа 34: 34, 68,
136, 204, 272.
1. 1) Число 6 является делителем чис-
7. 1) Числа, кратные числу 16: 16, 32,
ла 24, поскольку 24 делится нацело на 6.
2) Число 6 не кратное числу 24, по- 48, 80;
2) числа, кратные числу 12: 12, 36,
скольку 6 не делится нацело на 24.
3) Число 5 не является делителем 48, 96;
3) числа, кратные числу 150: 150,
числа 51, поскольку 51 : 5 = 10 (остаток
1), то есть 51 нацело на 5 не делится. 450, 600, 750;
4) числа, кратные числу 47: 47, 94,
4) Число 9 является делителем чис-
ла 99, поскольку 99 делится нацело на 9. 235, 329.

5) Число 18 является кратным чис- 8. 1) Числа, кратные числу 4: 28, 35,
ла 3, поскольку 18 = 6 × 3.
48, 64, 92, 100, 108;
6) Число 28 не является кратным 2) числа, не кратные числу 6: 28, 64,
числу 8, поскольку 28 не делится наце-
ло на 8 (28 : 8 = 3 (остаток 4)). 92, 100, 110.

2. 1) Делителями числа 24 являются 9. 1) Нет. Если сумма натуральных чи-

числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12; сел a и b делится нацело на 5, то не обяза-
2) кратными числа 6 являются чис- тельно каждое из чисел a и b делится на-
цело на 5. Например:
ла: 6, 12, 18, 30; а) a = 2, b = 3, a + b = 2 + 3 = 5;
3) делителями чисел 20 и 24 являют- б) a = 1, b = 4, a + b = 1 + 4 = 5;
в) a = 10, b = 35, a + b = 10 + 35 = 45;
ся числа: 2, 4; г) a = 40, b = 15, a + b = 40 + 15 = 55.
4) делителями числа 24 и кратными В примерах а) и в) сумма чисел a и b де-
лится на 5, а каждое из них не делится
числа 4 являются числа: 4, 8, 12. нацело на 5.
В примерах в) и г) сумма чисел a и b де-
3. 1) Наибольшим делителем числа лится нацело на 5 и каждое из чисел a и
b тоже делится на 5.
19 735 является само это число 19 735;
2) наименьшим делителем числа 2) Нет. Если сумма натуральных чи-
сел a и b делится нацело на 5 и одно из чи-
19 735 является число 1; сел делится на 5, то другое число тоже де-
3)наименьшимкратнымчисла19 735 лится на 5.
Например: a = 5, b = 10, a + b = 5 +
является число 19 735. + 10 = 15.

4. 1) Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 10. Утверждениеможетбытьиправиль-

2) делители числа 8: 1, 2, 4, 8; ным и неправильным. Например:
3) делители числа 13: 1, 13; 1) a = 19, b = 15; a и b не делятся нацело
4) делители числа 56: 1, 2, 4, 7, 8, на 11, их сумма a + b = 19 + 15 = 34 тоже
14, 28, 56. не делится нацело на 11;
2) a = 41, b = 25; a и b не делится нацело
5. 1) Делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 15, на 11, их сумма a + b = 41 + 25 = 66 де-
лится нацело на 11.
30;
2) делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; 11. 1) Делителями каждого из чисел 15
3) делители числа 23: 1, 23;
4) делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, и 20 являются числа: 1, 5;
2) делителями каждого из чисел 7 и
9, 12, 18, 24, 36, 72.
21 являются числа: 1, 7;
6. 1) Числа, кратные числу 7: 7, 14, 21,

28, 35;
2) числа, кратные числу 30: 30, 90,

150, 180, 270;

3) делителями каждого из чисел 24 3) так, например, a = 24 кратное 3, математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
и 36 являются числа: 1, 2, 4, 6, 12; 4 и 12;
7
4) делителями каждого из чисел 20 4) так, например, a = 49 кратное 4,
и 21 является число 1. 6, 24.

12. 1) Делителями каждого из чисел 12 24. 1) Натуральные числа, для которых

и 18 являются числа: 1, 2, 3, 6; кратным будет число 65: 5, 13, 65; 1, 5,
2) делителями каждого из чисел 60 13; 1, 13, 65.

и 90 являются числа: 1, 2, 3, 5, 10, 15, 2) Натуральные числа, для которых
20, 30; кратным будет число 121: 1, 11, 121.

3) делителями каждого из чисел 22 25. Число b должно быть кратным 7, ми-
и 35 является число 1;
нус 4.
4) делителями каждого из чисел 9 и
27 явлюется числа: 1, 3, 9. 26. Число b должно быть кратным 9,

13. 1) Кратним каждого из чисел 3 и 4 ключ 5.

является число 12; 27. 1) Значение выражения 15n кратное
2) кратным каждого из чисел 6 и 12
числу 3 при n = 1, 2, 3, …;
является число 36; 2) значение выражения 15n кратное
3) кратным каждого из чисел 4 и 6
числу 5 при n = 1, 2, 3, …;
является число 24. 3) значение выражения 15n кратное

14. 1) Кратним каждого из чисел 5 в 9 числу 10 при n = 2, 4, 6, 8, …;
4) значение выражения 15n кратное
является число 90;
2) кратным каждого из чисел 8 и 32 числу 11 при n = 11, 22, 33, … .

является число 64; 28. 1) Для того, чтобы 3n + 2 было крат-
3) кратным каждого из чисел 8 и 12
но 2, нужно чтобы каждое из слагаемых
является число 24. было кратным 2. Поскольку 2 кратно 2, то
3n будет кратным 2, если n = 2, 4, 6, 8, … .
15. 1) Двузначные числа, кратные 19:
2) Для того, чтобы 4n + 3 было крат-
19, 38, 57, 76, 95; ное 3, нужно чтобы 4n было кратное 3,
2) трехзначные числа, кратные 105: следовательно, n = 3, 6, 9, … .

105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945. 29. 1) Двузначное число, записанное

16. Двузначные числа, кратные 23: 23, одинаковыми цифрами, можно записать
в виде 11 × n, где n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
46, 69, 92. 9. Следовательно, это число кратное 11.

17. При x = 20, x = 24, x = 28, x = 32 не- 2) Трехзначное число, записанное
тремя одинаковыми цифрами, можно за-
равенство 18 < x < 36 будет правильным. писать в виде 111 × n, следовательно, и
111n — тоже делится на 37.
18. При x = 30, x = 36, x = 42, x = 48,
30. К числу 1 дописать слева цифру 4,
x = 54 неравенство 25 < x < 60 будет пра-
вильным. или к числу 2 — слева цифру 8. 1 — 41;
2 — 82; 41 : 1 – 41; 82 : 2 = 41.
19. При x = 8, x = 10, x = 16, x = 20 нера-
31. В числе 17 закрыли цифру 1, или
венство 7 < x < 40 будет правильным.
в числе 85 цифру 8.
20. При x = 49 неравенство 14 < x < 50 бу- 17 : 1 = 17, 85 : 5 = 17.

дет правильным. Упражнения для повторения

21. 198. Таких чисел множество. 32. 1) 1804 – 988 = 816 (л.) — через столь-
22. 36, 42. Таких чисел только два.
23. 1) Так, например, a = 12 кратное 6 и ко лет после открытие первой школы на
Руси открыта первая школа в Украине;
кратное 3;
2) нет, например, a = 9 кратное 3, но

не кратное 6;

2) 1964 – 988 = 976 (г.) — на столько

лет наша школа младше первой школы.
Ответ: 816 л.; 976 л.

математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) 33. 1) 0,2a × 50b = (0,2 × 50) × a × b = 10ab. Строим три равносторонних треуголь-
ника с общими боковыми сторонами,
Если a = 4, b = 3,6: 10ab = 10 × 4 × 3,6 = основаниями которых являются сторо-
= 144; ны треугольника (1).

2) 0,4x × 25y = (0,4 × 25) × x × y = 10xy. 2. Признаки делимости на 10,
Если x = 2,4, y = 3: 10ab = 10 × 2,4 × 3 = = на 5 и на 1
30 × 2,4 = 72.
40.
34. 1) 2,48x + 3,52x = 1,26; x(2,48 + Число
24 53 60 78 79 96 142 241 495 7207
+  3,52)  = 1,26; 6x = 1,26; x = 1,26 : 6;
x = 0,21; + – + + – ++ – – –

−11,226 6 41. 1) Нацело на 2 делятся числа: 34,Четное
0,21 число
860, 648, 8216, 1020, 246 370;
− 6 2) нацело на 5 делятся числа: 435,
6
860, 5465, 2405, 1020, 246 370;
0 3) нацело на 10 делится числа: 860,

2) 4,63x + 3,37x = 1,92; x(4,63 + 1020, 246 370.

+  3,37)  = 1,92; 8x = 1,92; x = 1,92 : 8; 42. 1) Числа, не делящиеся нацело на 2:

x = 0,24. 395, 943, 2625, 7121;
2) числа, кратные 10: 760, 1260;
−11,692 8 3) числа, делящиеся нацело на 5, но
0,24
не делящиеся нацело на 10: 395, 2625.
− 32
32 43. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да;

0 6) да; 7) нет.

35. 1) 7 × 8 × 6 = 46,8 (кг) — помидоров 44. 1) 275, 277, 279, 281, 283, 285, 287,

завезли в школу; 289;
2) 2727, 2729, 2731, 2733, 2735.
2) 146 – 46,8 = 99,2 (кг) — огурцов
45. 1) 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148,
завезли в школу;
150, 152, 154, 156, 158;
3) 99,2 : 8 = 12,4 (кг) — огурцов в 2) 490, 492, 494, 496, 498, 500.

каждом ящике. 46. 1) 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70;

Ответ: 12,4 кг. 2) 3725, 3730, 3735, 3740, 3745, 3750.

36. 1) 278 = 200 + 70 + 8; 47. 1) 289, 290, 300, 310;

2) 5093 = 5000 + 90 + 3. 2) 1470, 1480, 1490, 1500.

37. 1) 429 6 2 = 214 (остаток 1); 48. 3075, 3750, 3705, 3570, 5370, 5730,

2) 5001 : 2 = 2500 (остаток 1); 7305, 7350, 7035, 7530.

3) 768 : 10 = 76 (остаток 8); 49. 1) К числу 793, чтобы получить чис-

4) 9123 : 10 = 912 (остаток 3(; ло кратное 2, справа можно дописать
цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Тогда получим числа
5) 134 : 5 = 26 (остаток 4); 7930, 7932, 7934, 7936, 7938, кратные 2.

6) 2867 : 5 = 573 (остаток 2).

8 39. 1) 83 – 7 × 11 + 6; 2)171=17×10+1.

39. Составим равносторонний треуголь-

ник (1).

2) К числу 793, чтобы получить чис- ной. По условию задачи сумма равняется математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
ло кратное 5, справа можно дописать 1000. Следовательно, среди этих чисел
цифры: 0 или 5. Тогда получим числа есть четные числа. Следовательно, мож- 9
7930 и 7935, кратные числу 5. но утверждать, что произведение этх сла-
гаемых четное число.
3) К числу 793, чтобы получить чис-
ло кратное 10, справа можно дописать 59. Нельзя, потому что сумма, сосящая
цифру 9. Тогда получим число 7930,
кратное 10. из 5 кучек нечетного количества яблок –
число нечетное, а нужно было разложить
50. 1) 9876; 2) 98 765; 3) 987 650. 50 яблок.
51. 1) Шесть первых натуральных чи-
60. Такого прямоугольника не суще-
сел, кратных 100: 100, 200, 300, 400.
500, 600. Если натуральне число закан- ствует, потому что из двух последова-
чивается двумя цифрами 0, то число де- тельных натуральных чисел одно чет-
лится на 100. ное, а одно нечетное. Следовательно, их
произведение является четным числом,
2) Восемь первых натуральных чи- а число 12 345 нечетное.
сел, кратных 25: 25, 50, 75, 100, 125, 150,
175, 200. 61. 1) 2n — четное число;
Если натуральне число заканчивает-
ся на две цифры, делящиеся на 25, то и 2) 2n + 1 — нечетное число;
число делится на 25. 3) n(n + 1) — четное число;
4) (2n – 1)(2n + 3) — нечетное число;
52. Поскольку на 5 делятся только те 5) (2n + 5)(4n – 2)(2n + 7) — четное
число.
натуральные числа, которые заканчи-
ваются цифрой 5, то значение выраже- 62. В сентябре Иван Иванович дежурит
ния x – 32 должно равняться числу, ко-
торое заканчивается цифрой 5, а это воз- по нечетным числам, а Петр Петрович по
можно, когда x = 97. четным. Следовательно, 18 сентября де-
журит Петр Петрович, а 29 сентября де-
53. Для того, чтобы число было крат- журит Иван Иванович.
В октябре 1 октября дежурит Иван Ива-
ным 10, оно должно заканчиваться циф- нович, 30 октября — Петр Петрович, 31
рой 0. Следовательно, значение выраже- октября — Иван Иванович.
ния 327 + y должно равняться числу, ко- В ноябре Петр Петрович дежурит по не-
торое заканчивается цифрой 0, а этовоз- четным числам, а Иван Иванович по
можно, когда y = 103. четным. Следовательно, в ночь на Но-
вый год будет дежурить Петр Петрович.
54. Нет. Число записанное только еди-
63. Да. Из трех натуральных чисел два
ницами — нечетное, а только двойка-
ми — четное. будут одновременно или четными или
нечеиными, а сумма двух четных чисел
55. 1) Да; 2) нет. — четное число и сумма двух нечетных
56. 1) Произведение будет четным чис- чисел — четное число.

лом; 64. 1) 3; 2) 6. Произведение 24 и 25 дает
2) нет, не обязательно.
число, заканчивающееся двумя 0.
57. 1) Поскольку сумма нечетного ко-
65. Изусловияследует,чтоодноизиско-
личества нечетных слагаемых нечетное
число, то сумма 7 натуральных слагае- мых чисел трехзначное, а другое — двуз-
мых будет нечетной. начное. Запишем эти числа в виде суммы
разрядных слагаемых. Имеем: 100a  +
2) Поскольку сумма четоного коли- +  10b + 7 и 10a + b. Отсюда (100a + 10b
чества нечетных слагаемых четное чис- + +  7) + (10a + b) = 110a + 11b + 7 = 700;
ло, то сумма 7 слагаемых будет четной. 110a + 11b = 693; 10a = b = 63. Отсюда

58. Если бы все слагаемые были нечет-

ными, то их сумма тоже была бы нечет-

имеем: a = 6, b = 3. Следовательно, иско- Число 5172 не делится нацело на 56.
мые числа 637 и 63. Следовательно, 56 не является делите-
лем числа 5172.
математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) 66. 1) Двузначные числа, для записи ко-
69. Пусть в Украине есть x биосферных
торых использованы только четные циф-
заповедников, тогда природных 4x. По
ры: 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48, условию в Украине всего 20 заповедни-
ков. Следовательно, x + 4x = 20; 5x = 20;
60, 62, 64, 66, 68, 80, 82, 84, 86, 88. Сле- x = 4. Имеем: в Украине 4 биосферных за-
поведника и 4 × 4 = 16 природных запо-
довательно, таких чисел 20. ведников.
2) Двузначные числа, для записи кото- Ответ: 4 заповедника, 16 заповедников.
рых использованы только нечетные циф-
ры: 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 37, 39, 70. Пусть в Украине x ботанических са-
51, 53, 55, 57, 59, 71, 73, 75, 77, 79, 91,
93, 95, 97, 99. Следовательно, таких чи- дов, тогда дендрологических парков x –
сел 25. 10. По условию задачи имеем уравнение:
x + (x – 10) = 34; 2x – 10 = 34; 2x = 44; x
67. Найдем сумму чисел от 1 до 9: = 22. Следовательно, в Украине 22 бота-
нических сада и 22 – 10 = 12 дендрологи-
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Следо- ческих парков.
вательно, сумма — число нечетное. Если Ответ: 22 сада, 12 парков.
в этой сумме некоторые знаки «+» заме-
нить на знак «–», то значение полученно- 71. 1) (69 × 0,63 – 10,098 : 5,4 – 20,54) :
го выражения также будет числом нечет-
ным, а число 18 — четное. Следователь- : 0,324 = 65;
но, нельзя в выражении 1 + 2 + 3 + … + а) 69 × 0,63 = 43,77;
+ 8  + 9 заменить знаки с «+» на «–» так, б) 10,098 : 5,4 = 1,87;
чтобы значение полученного числового в) 43,47 – 1,87 = 41,6;
выражения равнялось 18. г) 41,6 – 20,54 = 21,06;
д) 21,06 : 0,324 = 65;
68. 1) 1) 14 168 : 28 = 506. −11441068 28
506 2) 0,98 × 3,8 – 0,132 : 5,5 – 2,45 = 1,25;
а) 0,98 × 3,8 = 3,724;
− 168 б) 0,132 : 5,5 = 0,024;
168 в) 3,724 – 0,024 = 3,7;
г) 3,7 – 2,45 = 1,25.
0
72. Нельзя.Послекаждойоперациичис-
Число 14  168 делится нацело на число
28, следовательно, 14 168 кратное 28. ло, стоящее в центре таблицы, увеличива-
ется на 1. При этом также на 1 увеличит-
2) 1878 : 24 = 78 (остаток 6). −1186788 24 ся одно из четырех чисел, записанных в
78 углах. Следовательно, после каждой опе-
рации центральное число равняется сум-
− 198 ме четырех «угловых» чисел, а в приве-
192 денной таблице это не выполняется.

6 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Число 1878 не кратное числу 24, по- 73.

скольку оно не делится нацело на 24. 7263 4681 2743 6885 7227 6350 7920

3) 14 892 : 73 = 204. − 14892 73 +– – ++– +
146 204

− 292
292

0 Кратное 9 Число
Следовательно, 73 является делителем

числа 14 892. 56
92
4) 5172 : 56 = 92 (остаток 20). − 5172
504

− 132
112
10
20

Кратное3 Число74. 87. На 9 делятся такие натуральные чис-

1356 4813 9075 3272 6390 15 684 53 206 ла, у которых сумма цифр делится на 9.
1) Найдем сумму цифр числа 1275: 1 +
+–+–+ + – + 2 + 7 + 5 = 15. 15 не делится нацело на математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
9. Следовательно, к 15 нужно прибавить
75. 1) Числа, делящиеся нацело на 3: 3. Получим 15 + 3 = 18, делящееся на 9.
2) Найдем сумму цифр числа 3333: 3 +
8937, 6585, 44 292, 9462, 58 395, 23 646; + 3 + 3 + 3 + 3 = 12. 12 не делится нацело на
2) числа, делящиеся нацело на 9: 8937; 9. Следовательно, к 12 нужно прибавить
3) числа, делящиеся нацело на 3 и на 2: 6. Получим 12 + 6 = 18, делящееся на 9.
44 292, 9462, 23 646. 3) Найдем сумму цифр числа 25 718: 2 +
+ 5 + 7 + 1 + 8 = 23. 23 не делится наце-
76. 1) Числа, делящиеся нацело на 3: ло на 9. Следовательно, к 23 нужно при-
бавить 4. Получим 23 + 4 = 27, деляще-
1215, 2880, 3921, 6072, 8142; еся на 9.
2) числа, делящиеся нацело на 9: 1215, 4) Найдем сумму цифр числа 987  652:
2880; 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 2 = 37. 37 не делится
3) числа, делящиеся нацело на 9 и на 5: нацело на 9. Следовательно, к 37 нужно
1215, 2880. прибавить 8. Получим 37 + 8 = 45, деля-
щееся на 9.
77. 1) При y = 144, y = 147, y = 150, 5) Найдем сумму цифр числа 10 203 040:
1 + 2 + 3 + 4 = 10. 10 не делится нацело
y = 153, y = 156, y = 159 неравенство 143 на 9. Следовательно, к 10 нужно приба-
< < y < 162 будет правильным; вить 9. Получим 10 + 8 = 18, делящее-
ся на 9.
2) при y = 99, y = 108, y = 117, y = 6) Найдем сумму цифр числа
126 неравенство 92 < y < 128 будет пра- 19 191 919 191: 1 + 9 + 1 + 9 + 1 + 9 + 1 +
вильным. + 9 + 1 + 9 + 1 = 51. 51 не делится наце-
ло на 9. Следовательно, к 51 нужно при-
78. 1) При m = 327, 330, 333, 336, 342 бавить 3. Получим 51 + 3 = 54, деляще-
еся на 9.
неравенство 324 < m < 345 будет правиль-
ным; 88. Наименьшее четырехзначное чис-
2) при m = 432, 441, 450, 459, 468, 477 не-
равенство 423 < m < 480 будет правильным. ло, кратное 15, — 1470.
Наибольшее четырехзначнове число,
79. 1) 54 840, 54 843, 54 846, 54 849; кратное 15, — 7410.

2) 306 393, 336 393, 366 393, 396 393; 89. 1155, 4155, 7155, 3150, 9150, 6150.
3) 7908, 7938, 7968, 7998.
Задача имеет 6 решений.
80. 1) 62 811; 2) 570 582, 579 582;
90. 2340,6345.Задачаимеетдварешения.
3) 7551. 91. 7740, 1746, 5742, 3744, 8748.
92. 3240, 3042, 3141, 3249, 3942, 3348,
81. 1) 222; 2) 108.
82. Вместо * нужно поставить цифру 0. 3843, 3447, 3744, 3546, 3645.

Получим число 6270. 93. Стоимость всех покупок — число

83. Вместо * нужно поставить цифру 5. кратное 3, поскольку стоимость 3 паке-
тов кефира - число кратное 3, стоимость
Получим число 21 855. пачки масла — число кратное 3, стои-
мость нескольких буханок — число крат-
84. Вместо * нужно поставить цифру 4. ное 3, стоимость 6 коробок спичек — чис-
ло кратное 3. Сумма, которую заплати-
Получим число 3474. ли за всю покупку — число не кратное 3.
Потому вся покупка не может стоить 72
85. 1) 1023; 2) 10 278; грн. 80 коп.
4) 1035.
3) 102 348;

86. 1) 9990; 2) 9990; 11
4) 9990.
4) 9990;

математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) 94. Очевидно, что первое число кратно 2) 10 × 10 × 10 = 103;
3) a × a × a × a = a4;
9. Из этого следует, что кратным 9 будет 4) x × x × x × x × x × x = x6.
и каждое следующее число, полученное в
результате указанных вычислений. Сле- 101. 1) 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32;
довательно, однозначное число равно 9.
2) 72 = 7 × 7 = 49;
95. Числа 1, 2, 3 не кратные 3. Следо- 3) (0,6)2 = 0,6 × 0,6 = 0,36;
4) 0,53 = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125;
вательно, Дима должен играть так, что- 5) 06 = 0;
бы после каждого его хода на доске было 6) 112 = 1.
число кратное 3. Если после хода Романа
при делении на 4 получили остаток 1, то 102. 1) 64 = 82; 2) 64 = 43; 3) 63 = 26.
Дима дописывает 2, если остаток 2 — то
1 или 4. 103. Нет, нельзя.

Команды, которые играют

Упражнения для повторения Дома На выезде Дома На выезде

96. Число уменьшится на 45. 12 41
* * * * * * *50 34 23
− * * * * * * *05 56 67
78 85
45 9 10 10 11

97. Пусть длина реки Хорол x км, тог- 11 12 12 9
13 14 14 15
да длина реки Рось x + 38 км. Посколь- 15 16 16 13
ку их общая длина 654 км, имеем уравне-
ние: x + x + 38 = 654; 2x + 38 = 654; 2x = Каждая из команд сыграла и дома, и на
= 654 – 38; 2x = 616; x = 616 : 2; x = 308. выезде, но только с двумя командами,
Следовательно, длина реки Хорол 308 а по условию они должны сыграть все
км, длина реки Рось 308 + 38 = 346 (км). между собой.
Ответ: 308 км, 346 км.
12 Простые и сложные числа
98. Пусть x км — расстояние между Жи-
104. 1)Простыечисла:3,7,13,23,29,47;
томиром и Винницей, тогда расстояние
между Киевом и Житомиром x + 6 км. 2) сложные числа: 6, 12, 21, 24, 28, 33,
Поскольку длина маршрута составляет 45, 46.
256 км, имеем уравнение: x + x + 6 = 256;
2x + 6 = 256; 2x = 250; x = 125. Следова- 105. 1) Делители числа 21: 1, 3, 7, 21;
тельно, расстояние между Житомиром и
Винницей 125 км. 2) делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6,
Ответ: 125 км. 15, 30;

99. 1) 6,29 : 0,85 + (53 – 48,184) : 5,6 = 3) делители числа 48; 1, 2, 3, 4, 6,
8, 12, 16, 24, 48;
= 8,26;
а) 6,29 : 0,85 = 7,4; 4) делители числа 54: 1, 2, 3, 6, 9,
б) 53 – 48,184 = 4,816; 18, 27, 54.
в) 4,816 : 5,6 = 0,86;
г) 7,4 + 0,86 = 8,26; 106. 1) 12 = 2 × 2 × 3;
2) 5,22 : 0,65 – (1,9218 – 0,8118) : 3 = 7,83;
а) 5,33 : 0,65 = 8,2; 2) 42 = 2 × 3 × 7;
б) 1,9218 – 0,8118 = 1,11; 3) 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3;
в) 1,11 : 3 = 0,37; 4) 450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5;
г) 8,2 – 0,37 = 7,83. 5) 920 = 2 × 2 × 2 × 5 × 23;
6) 2280 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 19;
100. 1) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 75; 7) 10 850 = 2 × 5 × 5 × 7 × 31.

107. 1) 27 = 3 × 3 × 3 = 33;

2) 56 = 2 × 2 × 2 × 7 = 23 × 7;
3) 625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54;

4) 820 = 2 × 2 × 5 × 41 = 22 × 5 × 41; = 437; 37 × 41 = 1517; 43 × 47 = 2021; 53 × математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
5) 2772 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 11 = 22 × 32 × × 57 = 3021; 67 × 71 = 4757; 79 × 83 = 6557.
× 7 × 11; 13
6) 702 = 2 × 3 × 3 × 3 × 13 = 2 × 33 × 13; 119. Задуманное число 2.
7) 1224 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 17 = 23 × 32 × 17. 120. Может. 2 + 3 = 5; 2 + 5 = 7.
121. 1) Не может. Произведение двух
108. 1) Простые числа, больше 10 и
разных чисел делится на эти числа.
меньше 25: 11, 13, 17, 19, 23; 2) Не может. Площадь квадрата равняет-
2) сложные числа, больше 35 и меньше ся произведению двух одинаковых мно-
49: 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48. жителей, а это не простое число.

109. 1) Простые числа, больше 22 и 122. Может. 10 + 9 = 19 — простое число.
123. Нет, не существует. Периметр —
меньше 38: 23, 29, 31, 37;
2) сложные числа, больше 60 и меньше число четное, а значит, сложное.
48: 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74,
75, 76, 77. 124. 1) Может, если хоть один множи-

110. 1) 13 × 1 = 13 — простое число; тель равняется 3.
2) Не может. Нет множителя среди про-
2) 14 × 1 = 14 — сложное число; стых чисел, который делился бы на 9.
3) 4 × 7 = 28 — сложное число;
4) 11 × 13 = 143 — сложное число; 125. 1) Нет, не существуют; 2) суще-
5) 43 × 1 = 43 — простое число;
6) 1 × 111 = 111 — сложное число. ствуют: 1, 2, 3.

111. 1) 2 × 2 × 5 = 20. Делители числа 20: 126. 1) Если n = 1, 2n = 2 × 1 = 2;

1, 2, 4, 5, 10, 20; 2) такого n не існує;
2) 3 × 5 × 7 = 105. Делители числа 3) если n = 1, n(n + 1) = 1 × (1 + 1) = 1 ×
× 2 = 2.
105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.
127. Да. Если число a сложное, то оно
112. 1) 2 × 5 × 13 = 130. Делители числа
не меньше 112 = 121.
130: 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130;
2) 3 × 3 × 3 = 189. Делители числа 128. При делении на 6 числа имеют

189: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189. остаток: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Среди этих чисел
сложными будут числа, имеющие оста-
113. 1) a : b = 2 × 3 = 6; ток 0, 2, 3, 4, потому что они делятся со-
ответственно на числа 6, 2, 3. Следова-
2) a : b = 5 × 5 × 17 = 425. тельно, простыми могут быть числа, име-
ющие остаток 1 или 5.
114. 1) a : b = 3 × 5 × 7 × 11 = 1155;
129. 2 и 19. Если разность простых чи-
2) a : b = 2 × 5 × 23 = 230.
сел — число нечетное, то вычитаемое
115. 1) 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, равно 2.

77, 84, 91, 98; 130. 1) Sкв. = 1,6 × 1,6 = 2,56 (см2) — пло-
2) 17, 34, 51, 68, 85;
3) 23, 46, 69, 92. щадь квадрата;
2,56 : 0,8 = 3,2 (см) — длина прямоу-
116. 1) 16, 25, 36, 49, 64, 81; 2) 64, 27. гольника.
117. Существует 7 чисел, которые мож- Ответ: 3,2 см.

но разложить на два двузначныхпростых 131. 1) 4x + 5x + 4,7 = 16,4; x(4 + 5) =
множителя, один из которых на 2 больше
другого:11×13=143;17×19=323;29×31= = 164, – 4,7; 9x = 11,7; x = 11,7 : 9; x = 1,3;
= 899; 41 × 43 = 1763; 51 × 53 = 2703; 2) 0,7x – 0,4x + 46 = 211; x(0,7 – 0,4) =
59 × 61 = 3599; 71 × 73 = 5183. = 211 – 46; 0,3x = 165; x = 165 : 0,3; x =
= 550;
118. Существует 7 чисел, которые мож- 3) (35,8 – x) : 2 : 2,1 = 1,3; 35,8 – x = 1,3 ×
× 2,1; 35,7 – x = 2,73; x = 35,8 – 2,73; x =
но разложить на два двузначных про- = 33,07;
стых множителя, один из которых на 4
больше другого: 13 × 17 = 221; 19 × 23 =

математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) 4) 0,9(283 – x) = 17,01; 283 – x = 17,01 : 2) НОД(15; 60) = 15;
: 0,9; 283 – x = 18,9; x = 283 – 18,9; x = 3) НОД(10; 15) = 5;
= 264,1. 4) НОД(45; 56) = 1;

132. 1) 8, 16, 24, 32, 40; 5) НОД(21; 49) = 7; 21 3 49 7
77 77
2) 18, 36, 54, 72, 90; 11
3) n, 2n, 3n, 4n, 5n.
6) НОД(12; 18; 24) = 6.
133. a : 15 = 6n; a = 6n × 15; a = 90n.
140. 1) НОД(a; b) = 2 × 3 × 7 = 42;
Число a делится нацело на 10, посколь-
ку 90n делится на 10. 2) НОД(a; b) = 22 × 32 × 112 × 19 = 4 ×
× 9 × 121 × 19 = 82 764.
134. a : 6 = 12n; a = 12n : 6; a = 72n.
141. 1) НОД(72; 120) = 23 × 3 = 8 × 3 = 24;
Число a делится нацело на 9, поскольку
72n делится н а9. 72 2 120 2
36 2 60 2
135. 1) 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81; 18 2 30 2
9 3 15 3
2) 62 = 6 × 6 = 36; 33 55
3) 53 = 5 × 5 × 5 = 125; 11
4) 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128;
5) 73 = 7 × 7 × 7 = 343; 2) НОД(792; 1188) = 22 × 32 × 11 = 396;
6) 112 = 11 × 11 = 121.
792 2 1188 2
136. 1) Числа, делящиеся нацело на 2: 396 2 594 2
198 2 297 3
348, 1026, 12 120, 43 674; 99 3 99 3
2) числа, делящиеся нацело на 3: 348, 33 11 33 11
975, 1026, 12 210, 43 674;
3) числа, делящиеся на 5: 975, 12 120. 33 33
1 1
137. Не может. После каждого хода ме-
3) НОД(924; 396) = 22 × 3 × 11 = 132;
няется цвет клеточки, на которой стоит
конь. Следовательно, после 63 хода конь 924 2 396 2
должен оказаться на белой клеточке, а
правый верхнийугол — черная клеточка. 462 2 198 2

5. Наибольший общий делитель 231 3 99 3
77 7 33 3
138. 1) НОД(12; 18) = 6; 11 11 11 11

2) НОД(24; 30) = 6; 11
3) НОД(6: 36) = 6;
4) НОД(116; 111) = 1; 116 2 111 3
4) НОД(48; 64) = 24 = 16; 48 2 64 2
24 2 32 2 58 2 37 37
12 2 16 2
62 82 29 29 1
33 42
1 22 1
1
142. 1) НОД(42; 105) = 3 × 7 = 21;
5) НОД(35; 18) = 1;
6) НОД(14; 21; 28) = 7; 42 2 105 3

14 2 21 3 28 2 21 3 35 5
7 7 7 7 14 2
1 1 77 77 77

1 11

139. 1) НОД(16; 24) = 8; 2) НОД(588; 252) = 22 × 3 × 8 = 84;

14 588 2 252 2
294 2 126 2
147 3
49 7 63 3
21 3
77 77
1
1

3) НОД(680; 612) = 22 × 17 = 4 × 7 = 68. 945 3 572 2
315 3 286 2
680 2 612 2 105 3 143 11 математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
340 2 306 2 35 5 13 13
170 2 153 3
85 5 51 3 77 1
17 17 17 17 1

1 1 2) НОД(1095; 738) = 3. Следователь-

143. 1) 14 и 21 — не взаимно простые но, числа 1095 и 738 являются взаимно

числа. НОД(14; 21) = 7; простыми числами. 1095 5 738 2
2) 54 и 65 — взаимно простые чис- 219 3 369 3
73 73 123 3
ла, потому что НОД(54; 65) = 1; 1 41 41
3) 42 и 55 — взаимно простые чис- 1

ла, НОД(42; 55) = 1; 150. Двузначные числа записаны с по-
4) 14 и 70 — не взаимно простые
мощью цифр 2, 3, 4: 23, 24, 32, 34, 42, 43.
числа, НОД(14; 70) = 14; Из них взаимно простые числа: 23 и 24;
5) 28 и 39 — взаимно простые чис- 23 и 32; 23 и 34; 23 и 42; 23 и 43; 24 и 43;
32 и 43; 34 и 43; 42 и 43.
ла, НОД(28; 39) = 1;
6) 63 и 42 — не взаимно простые 151. 8 и 9; 15 и 16; 21 и 22.

числа, НОД(63; 42) = 21. 152. НОД(155; 62) = 31. Следовательно,

144. Взаимно простые числа: 12 и 25; 14 в классе 1 ученик. 155 5 62 2

и 33; 14 и 25; 33 и 25. 31 31 31 31

145. Взаимно простые числа: 15 и 16; 15 11

и 77; 16 и 21; 16 и 77. 153. НОД(96; 64) = 32.

146. 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 11 ; 13 ; 14 . 96 : 32 = 3 (контейнера с картофелем);
15 15 15 15 15 15 15 64 : 32 = 2 (контейнера с капустой).
Ответ: 32 автомобиля.

147. 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 . 154. НОД(92; 138) = 2 × 23 = 46.
3 5 7 9 11 13 15
138 2 92 2
148. 1) НОД(364; 495) = 1. Следователь- 69 3 46 2
23 23 23 23
но, 364 и 495 — взаимно простые числа. 11

364 2 495 3 Следовательно, было 46 школ, которые
182 2 165 3 получили одинаковое количество слова-
рей каждого вида.
91 7 55 5 Ответ: 46 школ.
13 13 11 11

11

2) НОД(380; 399) = 19. Следова- 155. НОД(96; 72; 84) = 2 × 2 × 3 = 12.
тельно, 380 и 399 не являются взаимно
простыми числами. 96 2 72 2 84 2
48 2 36 2 42 2
380 2 399 3 24 2 18 2 21 3
190 2 133 7 12 2 93 77
62 33
95 5 19 19 33 1
19 19 1 1 1

1 1

Следовательно, можно составить 12 по-

149. 1) НОД(945; 572) = 1. Следователь- дарков.

но, числа 945 и 572 — взаимно простые 96 : 12 = 8 (шоколадок);
числа.
72 : 12 = 6 (апельсинов); 15

84 : 12 = 7 (бананов).

Ответ: 12 подарков, 8 шоколадок, 6 2) НОК(12; 16) = 24 × 3 = 16 × 3 = 48;
апельсинов, 7 бананов. 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3;
16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24;
156. НОД(156; 234; 390) = 2 × 3 × 13 = 78.
156 2 234 2 390 2 3) НОК(6; 12) = 12;
математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) 4) НОК(10; 21) = 2 × 5 × 3 × 7 =
78 2 117 3 195 5 = 10 × 21 = 210;
10 = 2 × 5; 21 = 3 × 7;
39 3 39 3 39 3 5) НОК(24; 36) = 23 × 32 = 8 × 9 = 72;
24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3;
13 13 13 13 13 13 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32;
6) НОК(6; 8; 12) = 23 × 3 = 8 × 3 = 24;
111 6 = 2 × 3; 8 = 2 × 2 × 2 = 23;
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
Следовательно, можно составить 78 бу-
кетов, чтобы во всех букетах роз каждо- 164. 1) НОК(6; 10) = 2 × 3 × 5 = 30;
го цвета было поровну.
Ответ: 78 букетов. 6 = 2 × 3; 10 = 2 × 5;
2) НОК(9; 12) = 32 × 4 = 9 × 4 = 36;
157. 1) Число кратное 2 — 592.
9 = 3 × 3 = 32; 12 = 3 × 4;
2) Число кратное 5 — 295. 3) НОК(14; 28) = 28;
С помощью этих цифр нельзя запи- 4) НОК(8; 9) = 72;
сать число, кратное 3, поскольку сумма 5) НОК(32; 48) = 25 × 3 = 32 × 3 = 96;
цифр 2 + 5 + 9 = 16 не делится на 3.
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25;
158. Вместо * можно поставить цифру 48 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3;

9, получим число 198, делящееся на 18, 6) НОК(8; 9; 15) = 23 × 32 × 5 = 8 ×
или цифру 0, получим число 108, деля- × 9 × 5 = 360;
щееся на 18. 8 = 2 × 2 × 2 = 23; 9 = 3 × 3 = 32; 15 = 3 × 5.

159. 19 = 11 + 3 + 5. 165. 1) НОД(23 × 3 × 5; 2 × 32 × 5) = 2 × 3 ×
160. Пусть x — двузначное число.
× 5 = 30;
10x — число, к которому справа дописа- НОК(23 × 3 × 5; 2 × 32 × 5) = 23 × 32 × 5 =
= 8 × 9 × 5 = 360;
ли 10.
10x – x = 432; 9x = 432; x = 432 : 9; 2) НОД(24 × 3 × 11; 22 × 33 × 13) =
x = 48. = 22 × 3 = 4 × 3 = 12;
Следовательно, искомое число 48. НОК(24 × 3 × 11; 22 × 33 × 13) = 24 × 33 ×
× 11 × 13 = 16 × 27 × 11 × 13 = 61 776.
161. 38 ⋅a→1,9 +b→2,24 :c→56;
166. 1) НОД(3 × 52; 3 × 5 × 7) = 3 × 5 = 15;
а) a = 1,9 : 38; a = 0,05;
б) b = 2,24 – 1,9 = 0,34; НОК(3 × 52; 3 × 5 × 7) = 3 × 52× 7 = 3 ×
в) 2,24 : c = 56; c = 2,24 : 56; x = 0,04. × 25 × 7 = 525;
Следовательно, a = 0,05; b = 0,34; c = 0,04.
2) НОД(23 × 32 × 54; 22 × 33 × 52) = 22 ×
2) a +2,5→ 4 ⋅x→1,6 :7→ 32; × 32 × 52 = 4 × 9 × 25 = 900;
а) a + 2,5 = 4; x = 4 – 2,5; x = 1,5; НОК(23 × 32 × 54; 22 × 33 × 52) = 23 × 33 ×
б) 4 × x = 1,6; x = 1,6 : 4; x = 0,4; × 54 = 8 × 27 × 625 = 135 000.
в) 1,6 : y = 32; y = 1,6 : 32; y = 0,05.
Следовательно, a = 1,5; x = 0,4; y = 0,06. 167. 1) НОК(56; 70) = 23 × 5 × 7 = 8 × 5 ×

162. Можно. Считая, что арбуз имеет × 7 = 280;

форму шара, разрежем его на 4 части: 56 2 70 2
три шаровых сегмента и «призму», осно- 28 2 35 5
вания которой — сферические треуголь- 14 2 7 7
ники. На рисунку изображен вид сверху 77 1
этого арбуза.
1
16 Наименьшее общее кратное
163. 1) НОК(8; 12) = 23 × 3 = 8 × 3 = 24; 2) НОК(78; 792) = 23 × 32 × 11 × 13 = 8 × 9
8 = 2 × 2 × 2 = 23; 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3; × 11 × 13 = 10 296;

78 2 792 2 4) НОК(924; 396) = 22 × 32 × 7 × 11 = 4 × 9
39 3 396 2
13 13 198 2 × 7 × 11 = 2772. 924 2 396 2
99 3 462 2 198 2
1 33 3 231 3 99 3
11 11 77 7 33 3
11 11 11 11 математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
1 11

3) НОК(320; 720) = 26 × 32 × 5 = 64 × 9 × 169. 1) НОК(12; 15) = 22 × 5 × 5 = 4 × 3 ×
× 5 = 2880;
5 = 60;
320 2 720 2 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3; 15 = 3 × 5;
160 2 360 2 2) НОК(100; 125) = 22 × 53 = 4 × 125 =
180 2 500;
80 2 90 2 100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 22 × 52; 125 = 5 × 5 ×
40 2 45 3 5 = 53.
20 2 15 3
10 2 170. 1) НОК(9; 6) = 18;
55 55
1 1 2) НОК(20; 25) = 22 × 52 = 4 × 25 =
= 100;
4) НОК(252; 840) = 23 × 32 × 5 × 7 = 8 × 9 × 20 = 2 × 2 × 5 = 22 × 5; 25 = 5 × 5 = 52.
× 5 × 7 = 2520.
171. 1) НОК(1; 2; 3; 4) = 60;
252 2 840 2
126 2 420 2 2) НОК(1; 3; 5; 7; 9) = 315;
210 2 3) НОК(2; 3; 5; 7; 11) = 2310.
63 3 105 5
21 3 21 3 172. 1) НОК(2; 4; 6; 8; 10) = 23 × 3 × 8 =
77
77 = 8 × 3 × 5 = 210;
1 1 4 = 2 × 2 = 22; 6 = 2 × 3; 8 = 2 × 2 × 2 = 23;
10 = 2 × 5;
168. 1) НОК(42; 63) = 2 × 32 × 7 = 2 × 9 ×
2) НОК(4; 6; 8; 9) = 23 × 32 = 8 ×
× 7 = 126; × 9 = 72;
4 = 2 × 2 = 22; 6 = 2 × 3; 8 = 2 × 2 × 2 = 23;
42 2 63 3 9 = 3 × 3 = 32.
21 3 21 3
77 77 173. НОК(15; 50) = 2 × 3 × 52 = 2 × 3 ×

11 × 25 = 150;
15 = 3 × 5; 50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 52.
2) НОК(120; 324) = 23 × 34 × 5 = 8 × 81 ×
× 5 = 3240; 174. НОК(60; 45) = 22 × 32 × 5 = 180;

120 2 324 2 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5; 45 = 3 × 3 ×
60 2 162 2 × 5 = 32 × 5.
30 2 Через 180 с после начала движения ве-
15 3 81 3 лосипедисты снова встретятся в месте
55 27 3 старта. Первый велосипедист пройдет
1 93 по велотреку 180 : 60 = 3 круга, а второй
33 180 : 45 = 4 круга.
Ответ: 180 с; 3 круга, 4 круга.
1
175. НОК(2400; 2800) = 16 800.
3) НОК(675; 945) = 52 × 33 × 7 = 25 × 27 ×
× 7 = 4725; Следовательно, на расстоянии 16 800 м
от начала движения места их остановок
675 5 945 5 совпадут. 17
135 5 189 3 Ответ: 16 800 м.
27 3 63 3
176. НОК(2; 3; 5) = 30. Следовательно,
93 21 3
33 77 в ящике было 30 мандаринов.
1 1 Ответ: 30 мандаринов.

177. НОК(3; 4; 5) = 60. Следовательно, Ответ: 5 .
14
в следующий раз они встретятся через 60
математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.) 182. 14 : 7 = 2 (шара) — составляет 1
дней. Этот день будет — суббота.
Ответ: через 60 дней в субботу. часть;

178. НОК(15; 20) = 60. 2 × 3 = 6 (шаров) — красные.
Ответ: 6 шаров.
Число n кратное 60 и удовлетворяет
условию 600 < n < 700 — равняется 11, 183. 6 : 3 = 2 (шара) — составляет 1
поэтому конфет было 60 × 11 = 660.
Ответ: 660 конфет. часть;
2 × 7 = 14 (шаров) — всего лежит в ко-
179. Пусть a — некоторое число, тогда робке.
Ответ: 14 шаров.
(a + 2) должно делиться на 5. Следова-
тельно, число a может быть 8, 18, 28, … . 184. 1) Правильные дроби: 12 ; 5 ;
Остаток от деления этих чисел на 5 рав- 17 13
няется 3. 53
54 .

180. 48 : 40 = 1,1 (ч) — время, которое 2) Неправильные дроби: 12 = 175 ;
7
летел аист; 1,2 × 3600 = 4320 (с);
4320 × 2 = 8640 взмахов крыльями сде- 15 = 1123 ; 374 = 37 4 ; 53 = 6 5 ;
лал аист. 13 10 10 8 8

Ответ: 8640 взмахов. 72 1 711 .
71
181. Синие шары составляют 5 всех =
14
шаров.

185.

123

01 34 67 11 12 13
6 66 66 666

186. Бананов всегда будет нечетное количество, а апельсинов — четное или нечет-

ное. Проверим последние комбинации: 1 банан — 1 апельсин или 3 банана — 2 апель-

сина.
Ответ: 1 банан.

Задание 1 «Проверь себя»
1. Б. 2. В. 3. Б. 4. В. 5. В. 6. Б. 7. В. 8. Г. 9. А. 10. А. 11. В. 12. Б.

§ 2. Обычные дроби

187. 213 4 5 6 3 9
10 4 10 10 10 10 4 10 1

01 3456 8 10 12 13 15 18 19
20 20
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

↑ ↑↑↑
1 223

5 545

↑
1

2

4 = 2 = 1 ; 5 = 1 ; 6 = 3 ; 8 = 4 = 2 ; 10 = 5 = 2 = 1 ; 12 = 6 = 3 ; 15 = 3 ;
20 10 5 20 4 20 10 20 10 5 20 10 4 2 20 10 5 20 4

18 18 = 8 .
20 10

188. 112 33 54 58 1
969 96 96 69
0 18
1234 67 9 10 12 15 16 18
18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

↑ ↑ ↑ математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
2 1 2
6 2 3

↑
1
3

2 = 1 ; 3 = 1 ; 4 = 2 ; 6 = 3 = 2 = 1 ; 9 = 3 = 1 ; 10 = 5 ; 12 = 4 = 2 ; 15 = 5 ;
18 9 18 6 18 9 18 9 6 3 18 6 2 18 9 16 6 3 18 6

16 = 8 ; 18 = 6 = 1.
18 9 18 6

189. 1 = 4 ; 1 = 4 ; 5 = 20 ; 16 ; 40 . 3) 3 = 33 . Если числитель и знаме-
2 8 3 12 6 24 28 76 4 44

190. 3 = 1 ; 12 = 141 ; 30 = 10 ; 15 = 5 ; натель дроби 3 умножимо на 11, то по-
9 3 33 45 15 36 12 4

99 33 . луим дробь 33 , равную данной.
240 80 44
=

1 2 6 271 ; 4) 6 = 1 . Разделим числитель и
3 6 18 54 9
191. 1) = = =
6
2 6 10 8 знаменатель дроби 54 на 6. Получим
5 15 25 70
2) = = = ;

6 12 30 36 дробь 1 , равную данной.
11 22 55 66 9
3) = = = ;

13 26 130 104 193. 1) 1 = 2 = 3 = 5 ;
7 14 70 56 7 14 2 35
4) = = = ;
2 6 8 10
80 8 2 10 2) 5 = 15 = 20 = 25 ;
120 12 3 15
5) = = = ; 7 14 21 42
11 22 33 66
3) = = = ;

6) 30 = 5 = 10 = 15 . 3 9 12 15
48 8 16 24 12 36 48 60
4) = = = .

192. 1) 1 = 7 . Если числитель и зна- 194. 1) 3 9 — правильное равен-
6 42 8 24
ство; =
1
менатель дроби 6 умножить на одно и

то же натуральное число (на 7), то полу- 2) 4 = 16 — неправильное равенство;
5 25

чим дробь 7 , равную данной. 3)  72 = 8 — неправильное равенство;
42 90 9

2) 100 = 5 . Если числитель и зна- 4) 42 = 6 — правильное равенство.
240 12 49 7

менатель дроби 100 разделим на одно и 195. 1) 1 = 7 ; 2) 3 = 18 ;
240 6 42 7 42

то же натуральное число 20, то получим 3) 5 = 15 ; 4) 2 = 28 ;
14 42 3 42

дробь 5 , равную данной. 5) 16 = 32 ; 6) 1 = 21 . 19
12 21 42 2 42

196. 1) 2 = 48 ; 2) 5 = 90 ; 1440 × 75 = 108  000 (ударов) — делает
3 72 4 72 сердце за сутки;
8640 : 1440 = 6 (л) — крови перекачива-
3) 1 = 12 ; 4) 8 = 64 ; ет сердце за 1 минуту.
6 72 9 72 Ответ: 6 л крови.
математика (к учебнику А.Г. Мерзялка и др.)
5) 17 = 34 ; 6) 11 = 99 . 206. 1) D A
36 72 8 72

197. 1) 3 = 18 ; 2) 13 = 65 ; 3) 1 = 29 . BC
6 5 29
∠ABD — прямой; ∠CBD — тупой.
198. 1) 5 = 40 ; 2) 10 = 140 ; 3) 16 = 256 .
8 14 16
2) A
a 9 7 49
199. 1) 6 = 54 ; a = 1; 2) a = 28 ; a=4;

3) 27 = a; a = 5; 4) 9 = 5 ; a = 20. BC
45 32 8
D
200. 1) a = 6 ; a = 2; 2) 1 = 4 ; a = 48;
5 15 12 a ∠ABD — прямой; ∠CBD — острый.

3) 56 = 8 ; a = 10; 207. 3 + 9 = 12 (ч) — время движения
70 a
первого теплохода;
4) a = 6 ; a = 72. 18 × 12 = 216 (км) — расстояние, кото-
60 5 рое проплыл первый теплоход;
216 : 9 = 24 (км/ч) — скорость второго
201. 1) x+3 = 4 ; x+3 = 20 ; x + 3 = 20; теплохода.
65 13 65 65 Ответ: 24 км/ч.

x = 20 – 3; x = 17; 208. 60 × 7 = 420 (км) — расстояние,

2) 7 = 21 ; x 7 4 = 7 ; x + 4 = 20; которое прошел первый автомобиль до
x+4 60 + 20 встречи со вторым;
700 – 420 = 280 (км) — расстояние, ко-
x = 20 – 4; x = 16; торое прошел второй автомобиль до
встречи с первым;
3) 5x − 8 = 18 ; 5x − 8 = 2 ; 5x–8=2; 7 – 3 = 4 (ч) — время движения второго
5 45 5 5 автомобиля;
280 : 4 = 70 (км/ч) — скорость второго
5x = 10; x = 10 : 5; x = 2. автомобиля.
Ответ: 70 км/ч.
202. 1) x−2 = 5 ; x−2 = 15 ; x – 2 = 15;
36 12 36 36 209. Можно. Для этого нужно произве-

x = 15 + 2; x = 17; сти выстрелы в 33 клеточках, зарисован-
ных на рисунке.
2) x−5 = 36 ; x −5 = 9 ; x – 5 = 9;
23 92 23 23

x = 9 + 5; x = 14;

3) 3x 4 11 = 36 ; 3x 4 = 4 ;
− 63 − 11 7

3x – 11 = 7; 3x = 18; x = 18 : 3; x = 6.

203. 10 × 20 = 200 (коп.) — было у Гали.

Галя может купить 10 леденцов на 160
коп., а 40 коп. останется.
Ответ: 10 леденцов.

204. Это число кратное числам: 6, 15,

90, 3, 30, 10, 18, 45.

20 205. 24 ч = 1440 мин;