Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 3. Polinomios y expresiones racionales
grado 1, por lo que ma´s que eso no podemos hacer. Sin embargo, con factores de
mayor grado no es tan claro darse cuenta si se puede seguir o si ya no tiene ma´s
ra´ıces reales. Si bien no hay una receta para responder esta pregunta que este´
dentro del alcance de este libro, la idea que servira´ para abordar los ejercicios de
este curso es la siguiente:
◾ Intentar aplicar cada uno de los me´todos descriptos.
◾ Si se llega a un polinomio de grado 2, existe un criterio para saber si se
puede o no seguir factorizando. Este criterio, al igual que una fo´rmula para de-
terminar sus ra´ıces au´n cuando no sean racionales, sera´ estudiado en el Cap´ıtu-
lo 4. All´ı se presenta un ana´lisis que justifica la siguiente afirmacio´n, que nos
dice cua´ndo podremos factorizar a un polinomio de grado 2:
p(x) = ax2 + bx + c tiene ra´ıces reales si y solo si b2 − 4ac ≥ 0.
Ilustremos esto con dos polinomios ya vistos.
Ejemplo 74. Criterio de parada para polinomios cuadra´ticos. En el Ejem-
plo 73 obtuvimos a x2 + x − 6 como factor del polinomio original. En este poli-
nomio,
a = 1, b = 1 y c = −6.
Entonces b2 − 4ac = 1 + 24 = 25 > 0, por lo que la afirmacio´n anterior dice que
podemos seguir factorizando. Esto coincide con lo hecho, ya que lo logramos
escribir como x2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2).
Por otro lado, en el Ejemplo 72 uno de los factores era 2x2 − 3x + 3. En este
polinomio
a = 2, b = −3 y c = 3,
por lo que b2 − 4ac = 9 − 24 = −15 < 0, lo que indica que ya no tiene ra´ıces reales
y la factorizacio´n ha finalizado, es decir, que en dicho ejemplo ya hab´ıamos
completado la factorizacio´n.
El siguiente ejemplo, adema´s de aplicar lo estudiado a un caso particular de
polinomio, nos da una pauta ma´s con respecto a saber cua´ndo hemos finalizado
la factorizacio´n para polinomios no cuadra´ticos con una forma especial.
Ejemplo 75. Suma o diferencia de potencias de igual grado. Esto no es un
me´todo nuevo, sino que consiste en aplicar lo aprendido a un caso particular:
factorizar binomios de la forma xn − rn o xn + rn, siendo r un nu´mero real po-
sitivo, y n un natural. En realidad, como explicamos a continuacio´n, lo “nuevo”
aparece solo cuando n es impar.
84
Manual de Matemática preuniversitaria
3.3. Factorizacio´n de polinomios
◾ n par
● Suma xn + rn. Cuando tenemos la suma de dos potencias pares, entonces
el polinomio ya esta´ factorizado por completo en los reales. Por ejemplo,
x2 + 4. Esto se debe a que dicha suma es estrictamente positiva, por lo que
no tiene ra´ıces reales.
● Resta xn − rn. Cuando tenemos la resta de dos potencias pares, entonces
estamos en realidad ante una diferencia de cuadrados, y se trabaja como
ya lo vimos:
x8 − 38 = x4 2 34 2 x4 − 34 x4 + 34 .
− =
Notar que en lo anterior, x4 − 34 puede a su vez factorizarse como
x4 − 34 = (x2 − 32)(x2 + 32) = (x − 3)(x + 3)(x2 + 32),
al reconocer dos veces ma´s una diferencia de cuadrados. As´ı,
x8 − 38 = (x − 3)(x + 3)(x2 + 32) x4 + 34 .
Notar que los dos u´ltimos factores son de la forma xn + rn con n par y, por el
caso anterior, no pueden factorizarse ma´s.
◾ n impar
● Suma xn + rn. Por ejemplo, consideremos
p(x) = x3 + 125 = x3 + 53.
Observar que p(−5) = 0, por lo que (x − (−5)) = (x + 5) es divisor de p.
Aplicando la regla de Ruffini tenemos:
1 0 0 125
− 5 − 5 25 − 125
1 − 5 25 0
Luego,
x3 + 53 = (x2 − 5x + 25)(x + 5).
● Resta xn − rn. Consideremos ahora
q(x) = x5 − 32 = x5 − 25.
Notar que q(2) = 0, as´ı que aplicamos la regla de Ruffini para dividir q
por (x − 2):
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Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 3. Polinomios y expresiones racionales
1 0 0 0 0 − 32
2 2 4 8 16 32
1 2 4 8 16 0
Entonces
x5 − 25 = (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)(x − 2).
Resumiendo, si n es impar entonces
xn + rn es divisible por x + r,
xn − rn es divisible por x − r.
Ma´s au´n, puede demostrarse que −r es la u´nica ra´ız real de xn +rn, mientras que
r es la u´nica ra´ız real de xn−rn. Entonces, el polinomio se encuentra totalmente
factorizado una vez efectuada la divisio´n por los respectivos factores.
Si n es par entonces xn + rn no tiene ra´ıces reales, mientras que xn − rn es
una diferencia de cuadrados, y sus u´nicas ra´ıces reales son r y −r.
Finalizamos la seccio´n enfatizando algo que ya se ha mencionado pero es de
gran importancia:
¿Co´mo saber si una factorizacio´n es correcta? Siempre es posible verificar
si la factorizacio´n es correcta multiplicando los factores obtenidos y operando,
para comprobar que se llega de esta forma al polinomio de partida. No debe-
mos olvidar que al factorizar un polinomio se obtiene una expresio´n con distinta
forma (multiplicacio´n de polinomios), pero equivalente a la original.
Ejercicios 3.3
1. Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:
(a) 4x2 − 49 (c) 25x6 − 9
(b) t8 − 6 (d) 36x2 − 25
2. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
(a) x2 − 8x + 16 (c) 4x4 + 12x2 + 9
(b) 9x2 − 12x + 4 (d) t4 − 6t3 + 9t2
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Manual de Matemática preuniversitaria
3.3. Factorizacio´n de polinomios
3. Factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos:
(a) 8x3 − 36x2 + 54x − 27
(b) x6 + 6x4 + 12x2 + 8
(c) −x3 + 3x2 − 3x + 1
(d) 8t6 − 12t4 + 6t2 − 1
4. Determinar m para que el resto de dividir mx5 − 2x4 + 3x2 − 7 por el binomio
x − 1 sea igual a 2.
5. Determinar k para que x + 1 sea factor de 5x7 + 3x4 + 2x3 + x2 + k.
6. En el Ejemplo 69 se factorizo´ al polinomio p(x) = 4x3−4x2+2x−2 extrayen-
do factor comu´n por grupos. Rehacerlo buscando una ra´ız segu´n el teorema
del factor, y aplicando luego la regla de Ruffini para dividir.
7–20. Factorizar por completo los polinomios dados.
7. 3x4 − 12x2
8. 3x4 + 15x2
9. x3 − x2 + 4x − 4
10. 4x3 − 4x2 − 9x + 9
11. x4 − 2x3 − 2x2 − 3x
12. x4 − 2x3 − 7x2 − 2x − 8
13. 2x3 + 3x2 − 5x − 6
14. x5 + 1
15. x5 − 1
16. x6 − 1
17. 4x4 − 64
18. 3x4 + x3 + 2x2 + 4x − 40
19. 2x6 − 5x5 − 3x4
20. x4 + 2x3 − 21x2 − 22x + 40
Polinomios en Ge Gebra
Para comenzar a usar Ge Gebra, veamos co´mo se ingresa un polinomio. Para
ello usamos el campo de Entrada, en el cual podremos escribir si habilitamos el
teclado, cliqueando en el s´ımbolo del mismo. Si trabajamos en una computadora,
este se encuentra en la esquina inferior izquierda:
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Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 3. Polinomios y expresiones racionales
y si se utiliza la aplicacio´n para Android, se encuentra en el centro:
Al cliquear en el campo de Entrada aparece una barra con 4 opciones para
teclados, y los puntos suspensivos al final:
123 f(x) ABC αβγ ...
La primera es la nume´rica y principal, la siguiente contiene funciones especiales,
luego viene la pestan˜a para el teclado alfabe´tico, y finalmente la de letras griegas.
Al tocar los puntos suspensivos de la derecha se abre una lista con todos los
comandos disponibles, donde se pueden seleccionar en lugar de escribirlos. En
el teclado nume´rico se encuentra la tecla x , que se utiliza para ingresar los
exponentes*. La tecla 2
exponente 2.
es un caso particular, y es un acceso ra´pido para el
(a) Ingresar el polinomio p(x) = x3 + x2 − x − 1 y presionar Enter (la
letra p se ingresa desde el teclado alfabe´tico, y el resto desde el nume´rico.
Si se ingresa solamente la expresio´n del lado derecho, el software le asigna
por defecto el nombre f ). Aparecera´ un gra´fico en la parte superior, el cual
cobrara´ sentido a partir del Cap´ıtulo 5. Por el momento nos ocuparemos
solamente del resultado algebraico que arroja el software, y no del gra´fico.
(b) Ingresar el polinomio q(x) = x − 1 (siempre presionar Enter luego de cada
instruccio´ n).
(c) Escribir p(4) para hallar el valor nume´rico de p en x = 4.
(d) Escribir p+q para sumar los polinomios, y p-q para restarlos.
(e) Para dividir dos polinomios, se ingresa Divisio´ n(p,q), siendo el primero el
dividendo y el segundo el divisor. Como resultado se obtiene lo que se co-
noce como “lista”, en la que el primer elemento es el cociente, y el segundo
es el resto. Comprobarlo ingresando Divisio´ n(p,q) para hacer p(x) ∶ q(x) y
tambie´n Divisio´ n(p,x2+x) para hacer p(x) ∶ (x2 + x). Determinar en cada
caso el cociente y el resto.
*Si se utiliza una computadora, los exponentes se introducen tambie´n con la tecla ∧ . Por
ejemplo, escribiendo x∧3 se ingresa x3.
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Manual de Matemática preuniversitaria
3.4. Expresiones racionales
(f) Escribir Ra´ız(p) para hallar las ra´ıces del polinomio p. El software de-
volvera´ el resultado en la forma (r,0), para cada ra´ız del polinomio. Esta
notacio´n tambie´n tendra´ sentido a partir del Cap´ıtulo 5, por el momento
nos quedaremos con los valores de r. Una vez halladas, comprobar usando
Ge Gebra que p(r) = 0, para cada una de las ra´ıces obtenidas.
(g) Ingresar Factoriza(p) para obtener la forma factorizada del polinomio p.
Comparar con el resultado obtenido en el Ejemplo 61.
(h) Un comando similar al anterior es Factores(p). El resultado es una lista
con los polinomios que son factores de p, y al lado un nu´mero natural que
indica la multiplicidad de cada factor. Utilizar este comando para obtener los
factores del polinomio x4−9x2+4x+12, y su correspondiente multiplicidad.
Comparar con lo obtenido en el Ejemplo 73.
(i) Utilizar el comando Factores para comprobar que x + 1 es factor del poli-
nomio del Ejercicio 5, para el valor de k hallado.
(j) El comando Resto(p,q) devuelve el resto de la divisio´n entre el polinomio
p y el polinomio q. Utilizar este comando para comprobar que el resto de
dividir el polinomio del Ejercicio 4 (con el valor m hallado) por el binomio
x − 1 es igual a 2.
(k) Utilizar el comando Factoriza para factorizar por completo el polinomio
5x4−117x3+994x2−3600x+4608. Luego, utilizar lo obtenido y el comando
Divisio´ n para expresar el polinomio dado como el producto de un polinomio
de grado 3 y otro de grado 1.
(l) Utilizar el comando Factoriza para factorizar por completo el polinomio
f (x) = 27x3 + 135x2 + 225x + 125. De acuerdo a lo obtenido, ¿que´ nombre
recibe f ? ¿Que´ binomio lo origina?
3.4. Expresiones racionales
Una expresio´n racional, o tambie´n conocida como fraccio´n algebraica, es
un cociente de polinomios. Es decir, es algo de la forma
r(x) = p(x) ,
q(x)
donde p y q son polinomios. Esta expresio´n tendra´ sentido para todos aquellos
valores de x tales que q(x) ≠ 0, pues la divisio´n por cero no esta´ definida. Los
valores de x que anulan a q son valores no permitidos para la fraccio´n algebraica,
e imponen lo que se conoce como restricciones para la misma. El dominio de
una fraccio´n algebraica es el conjunto de todos los valores permitidos, es decir,
aquellos que no anulan al denominador.
89
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Ejemplo 76. Restricciones para fracciones algebraicas. Las siguientes son
expresiones racionales:
3x + 6 54 , x 1 .
9x2 − 9x − x2 +
Observar que la primera esta´ definida para x ≠ −2 y x ≠ 3, que son los valo-
res que anulan al denominador. La segunda, en cambio, esta´ definida para todo
nu´mero real, pues el denominador nunca se anula. En otras palabras, los valores
no permitidos para la primera expresio´n racional son x = −2 y x = 3, mientras
que para la segunda no hay restricciones.
Las expresiones racionales se simplifican factorizando los polinomios in-
volucrados para luego “cancelar” los factores comunes tanto al numerador como
al denominador: ac a
¡ b
bc = , para todo c ≠ 0.
¡
Sera´ fundamental no perder de vista los valores no permitidos para la va-
riable, ya que algunos de ellos pueden olvidarse durante el proceso de simplifi-
cacio´n (al cancelar c en la fo´rmula anterior). Ilustramos esto en los ejemplos.
Una fraccio´n algebraica es irreducible o esta´ en su m´ınima expresio´n cuan-
do el numerador y el denominador no tienen factores comunes a excepcio´n de
las constantes. Notar que, con esta definicio´n, si se multiplica el numerador y
denominador de una fraccio´n algebraica irreducible por una misma constante
distinta de cero, se obtiene otra fraccio´n irreducible equivalente. Por ejemplo:
6x + 12 = 3⋅ x+2 = 3 ⋅ x+ 2 ,
4x + 2 2x + 1 2 x+
1
2
y segu´n la definicio´n dada, cualquiera de estas fracciones es irreducible. A pe-
sar de ello, la del medio suele ser ma´s “frecuente” de encontrar al momento de
simplificar fracciones algebraicas. Esto se debe a que el procedimiento usual
consiste en extraer por un lado el mayor entero factor comu´n a todos los coefi-
cientes del polinomio del numerador (en el ejemplo de arriba es 6), luego se hace
lo mismo para el denominador (en este caso es 2), y finalmente se simplifican
estos factores, si es posible (en este caso, 6 = 3). La tercera fraccio´ n se obtiene
2
si se exige que tanto el numerador como el denominador sean polinomios mo´ni-
cos, o un producto de ellos. Aunque esto s´ı genera unicidad en la forma reducida
de una fraccio´n algebraica, tambie´n har´ıa, por ejemplo, que la m´ınima expresio´n
de 4
π
3πx + 12 sea 3π x + ,
√ √
⋅ x 1
2x + 1 2 √
+
2
90
Manual de Matemática preuniversitaria
3.4. Expresiones racionales
la cual no parece “ma´s simple” que la primera. En cambio, puede lograr que la
forma simplificada de
1 x + 1 sea 2 x + 1 ,
2 2 x − 1
⋅
1 x 1
4 − 4
la cual s´ı puede resultar “ma´s simple”, porque solo aparecen coeficientes enteros.
Esto es, entonces, un criterio este´tico en lugar de formal, por lo que quedara´ a
gusto de cada uno. Esta ambigu¨edad sucede solamente al nivel de las constantes,
ya que el ma´ximo comu´n divisor de dos polinomios se define como u´nico salvo
factores constantes*. Dejaremos esto de lado ya que lo importante del proceso
de simplificacio´n se comprendera´ mejor mediante los ejemplos.
Ejemplo 77. Simplificando una expresio´n racional. Simplificar la siguiente
expresio´n racional, indicando los valores no permitidos para la variable:
x3 x3 − 4x .
+ 3x2 − 10x
Solucio´n: Comenzamos factorizando tanto el numerador como el denominador,
para luego cancelar:
x3 − 4x x(x2 − 4)
x3 + 3x2 − 10x = x(x2 + 3x − 10)
x(x − 2)(x + 2) x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ −5
= x(x − 2)(x + 5)
= x¡$(x$− $2$)(x + 2)
x¡$(x$− $2$)(x + 5)
= x + 2 .
x + 5
Los valores no permitidos para x deben determinarse siempre antes de cancelar
te´rminos, en la expresio´n original. Puesto que la forma factorizada es equiva-
lente a la expresio´n original, es ma´s sencillo ver all´ı cua´les son los valores que
anulan el denominador. En este caso, las restricciones son:
x ≠ 0, x ≠ 2 y x ≠ −5.
La expresio´n simplificada es igual a la original excepto para aquellos va-
lores en los que el factor que se cancele sea igual a cero. Para comprender esto,
en la expresio´n racional del ejemplo anterior es incorrecto escribir
x3 x3 − 4x = x + 2 , %
+ 3x2 − 10x x + 5
*Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_
divisor. Consultado en noviembre de 2018.
91
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 3. Polinomios y expresiones racionales
ya que la expresio´n de la izquierda no puede evaluarse en x = 0 ni en x = 2,
mientras que la de la derecha s´ı. Lo correcto es escribir
x3 x3 − 4x = x + 2, para x ≠ 0, x ≠ 2, x ≠ −5, "
+ 3x2 − 10x x +5
estableciendo de esta forma los valores no permitidos para la expresio´n original,
incluso los que “no se ven” en la expresio´n simplificada de la derecha. Aunque
en esta u´ltima s´ı puede verse la restriccio´n x ≠ −5, es conveniente recordarla de
todas formas en la lista, junto a las restricciones “perdidas”.
El comando Simplifica en Ge Gebra puede usarse para reducir expresio-
nes racionales. Por ejemplo, ingresando
Simplifica((x3-4x)/(x3+3x2-10x))
se obtiene como resultado x+2 , como en el ejemplo anterior. Adema´s, los valores
x+5
no permitidos pueden obtenerse escribiendo Ra´ız(x3+3x2-10x), lo que devuelve
aquellos que hacen que el denominador se anule.
Ejemplo 78. Reducir a su m´ınima expresio´n, indicando las restricciones:
2x2 − 12x − 14 .
4x2 + 8x + 4
Solucio´n: Comenzamos factorizando tanto el numerador como el denominador,
para luego cancelar:
2x2 − 12x − 14 2(x2 − 6x − 7)
4x2 + 8x + 4 = 4(x2 + 2x + 1)
= 2$(x$+$1$)(x − 7) x ≠ −1
4$(x$+$1$)(x + 1)
= 1 ⋅ x − 7 .
2 x + 1
La u´nica restriccio´n es x ≠ −1.
Para operar con fracciones algebraicas se procede de la misma forma que
para las fracciones nume´ricas. Cualquier operacio´n resultara´ ma´s sencilla si an-
tes de efectuarla se simplican las fracciones algebraicas involucradas, pero con
un poco ma´s de trabajo tambie´n se puede simplificar al final. Las restricciones
(es decir, los valores no permitidos) para la operacio´n corresponden a la unio´n de
las restricciones de cada una de las fracciones involucradas. Es decir, se da por
supuesto que se trabaja con valores que no anulan ninguno de los denominadores
de las fracciones dadas.
92
Manual de Matemática preuniversitaria
3.4. Expresiones racionales
La suma (o resta) de fracciones algebraicas con el mismo denominador
es otra fraccio´n algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador
es la suma (o resta) de los numeradores. Si tienen denominador distinto,
primero se las transforma en fracciones con denominador comu´n (para lo
cual es conveniente factorizar los denominadores), y luego se efectu´a la
suma o resta.
a + c = a + c , a + c = ad + cb .
b b b b d db
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccio´n cuyo numerador
es el producto de los numeradores de las fracciones que estamos multipli-
cando, y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Luego
de resolver, se simplica si es posible la fraccio´n resultante.
a ⋅ c = a ⋅ c.
b d b⋅d
El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por
el inverso o rec´ıproco de la segunda:
a ∶ c = a ⋅ d = a ⋅ d .
b d b c b ⋅ c
Ilustramos las operaciones entre fracciones algebraicas en los siguientes e-
jemplos.
Ejemplo 79. Suma y resta de expresiones racionales. Resolver:
◾ x+2 + x−3 ,
x2 − 4 x2 − 9
◾ x − 2−x .
x2 + x x2 − 1
Solucio´n: Recordemos que siempre es ma´s fa´cil simplificar las expresiones que
aparecen, y luego realizar las operaciones. Para la primera tenemos
x+2 x−3 x+2 x−3 se factorizo´
x2 − 4 + x2 − 9 = (x − 2)(x + 2) + (x − 3)(x + 3)
11 se cancelo´ x ≠ −2, x ≠ 3
= x−2 + x+3
(x + 3) + (x − 2) se sumaron las fracciones
= (x − 2)(x + 3)
2x + 1 se opero´ en el numerador.
= (x − 2)(x + 3)
93
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 3. Polinomios y expresiones racionales
Los valores prohibidos para las operaciones con fracciones algebraicas son
aquellos que anulan el denominador de alguna de las fracciones involucradas.
Entonces las restricciones para la suma anterior son x ≠ ±2 y x ≠ ±3. Notar
que si observamos las restricciones solamente en el resultado final, perdemos
aquellas que anulaban a alguno de los denominadores pero fueron “canceladas”
durante el proceso de simplificacio´n. Esos valores se indican en color rojo en
el procedimiento anterior, para recordar que deben incluirse en los valores no
permitidos.
De forma similar procedemos para efectuar la resta:
x 2−x x 2−x se factorizo´
x2 + x − x2 − 1 = x(x + 1) − (x − 1)(x + 1) se cancelo´ x ≠ 0
se restaron las fracciones
1 2−x se opero´ en el numerador.
= (x + 1) − (x − 1)(x + 1)
(x − 1) − (2 − x)
= (x − 1)(x + 1)
2x − 3
= (x − 1)(x + 1)
Las restricciones para esta resta son entonces x ≠ ±1 y x ≠ 0.
Ejemplo 80. Producto y cociente de expresiones racionales. Resolver:
◾ x−3 ⋅ x2 + 3x ,
x2 + 6x + 9 x2 − 9
◾ 2 ∶ x2 1 25 .
x+5 −
Solucio´ n:
x − 3 x2 + 3x x − 3 x(x + 3)
◾ x2 + 6x + 9 ⋅ x2 − 9 = (x + 3)2 ⋅ (x − 3)(x + 3)
= (x − 3)x(x + 3) = (x x .
(x − 3)(x + 3)3 + 3)2
◾ 2 ∶ 1 = 2 ⋅ (x2 − 25)
x+5 x2 − 25 x+5
= 2 ⋅ $(x$+ $5$) ⋅ (x − 5) = 2(x − 5).
$(x$+ $5$)
Para que ambas fracciones en el producto anterior este´n definidas se necesita
x ≠ ±3. Para el cociente, la restriccio´n es x ≠ ±5 (aunque al resolver la divisio´n
el denominador x2 − 25 se transforme en numerador, la fraccio´n involucrada en
el enunciado debe estar bien definida).
94
Manual de Matemática preuniversitaria
3.4. Expresiones racionales
Ejemplo 81. Errores graves y frecuentes. Estos son algunos de los erro-
res que suelen verse al operar con fracciones algebraicas. En el Ejercicio 1 se
pide probar que lo efectuado es incorrecto.
%◾ x 2 + x + 2 x +2 ,
%◾ xx 32 + 4 ≠ +
4
x2 + 5 = x3
x2 x3 ,
5
◾ 2x − 1 + x2 = 2x − 1 + x2 . %
x3 x+1 x3 + x + 1
Ejercicios 3.4
1. Hallar valores adecuados para x que demuestren que los procedimientos efec-
tuados en el Ejemplo 81 son incorrectos.
2. Simplificar las siguientes expresiones racionales a su m´ınima expresio´n, in-
dicando los valores no permitidos para la variable:
(a) x2 −1 (c) x3 −6x2 +11x−6
x2 +3x+2 x3 −2x2 −x+2
(b) x2 −3x+2 (d) 4x2 −1
x2 −x−2 4x2 +4x+1
3. Utilizar el comando Simplifica para verificar lo obtenido en el ejercicio
anterior.
4. Realizar las operaciones indicadas y simplicar el resultado. Establecer las
restricciones en cada caso:
(a) x3 −3x−10 ⋅ x−2 (e) 3 2x
x2 −4x+4 x−5
2x+4 + x2−4
(b) 3x+3 ∶ x+1 (f) x− x2 −1
x2 −1 x2 −2x+1 x
(c) 3x−2 + x+2 (g) x−2 + x+2
x2 −1 x−1 x+2 x−2
(d) 2x − x+1 (h) 1 + 2x − 1
9x2 −16 (3x−4)2 x+1 x2 −1 x−1
95
Manual de Matemática preuniversitaria
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4
Ecuaciones e inecuaciones
4.1. El lenguaje matema´tico
Innumerables situaciones correspondientes a diversas a´reas y situaciones co-
tidianas pueden ser modeladas mediante ecuaciones e inecuaciones. Para resol-
ver un problema matema´ticamente, el primer paso es traducirlo del lenguaje or-
dinario al lenguaje algebraico. Este es precisamente el objetivo de esta seccio´n:
traducir una situacio´n concreta al lenguaje matema´tico, transforma´ndola en una
ecuacio´n, inecuacio´n o un sistema de ellas (co´mo resolver el planteo obtenido
sera´ el objetivo de las siguientes secciones).
Antes de “traducir” problemas concretos, comencemos expresando cosas
ma´s simples. En la siguiente lista se escriben en lenguaje matema´tico algunas
frases frecuentes. Comprender esta forma de expresarlas sera´ fundamental para
el planteo de problemas espec´ıficos.
El doble de un nu´mero x ↝ 2x
Las tres cuartas partes de un nu´ mero x ↝ 3 x
4
Se aumenta en 5 al triple de un nu´mero y ↝3y + 5
El triple del nu´mero y, ma´s 5 ↝3y + 5
El triple del nu´mero y ma´s 5 ↝3(y + 5)
La mitad del consecutivo de un nu´ mero entero x ↝ 1 (x + 1)
2
El cuadrado de la mitad de un nu´mero z ↝ z2
2
El nu´mero x supera al nu´mero y en 30 unidades ↝ x = y + 30*
Un nu´mero entero x ma´s su consecutivo ↝ x + (x + 1)
*Es frecuente ver que esta expresio´n es traducida como x + 30 = y. Este error puede evitarse
pensando que si el nu´mero x supera a y, significa que y es ma´s pequen˜o, por lo que hay que sumarle
a e´l la cantidad necesaria para igualar a x.
97
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ahora s´ı, plantearemos en lenguaje algebraico algunas situaciones concretas.
Ejemplo 82. Usando el lenguaje matema´tico. Si al doble de un nu´mero se le
resta su mitad resulta 84. ¿Cua´l es el nu´mero?
Solucio´n: Llamemos x al nu´mero buscado (este paso es fundamental, es decir,
antes de comenzar a plantear un problema se debe indicar siempre que´ representa
cada letra o s´ımbolo utilizado). En el enunciado aparecen involucrados el doble
del nu´mero (es decir 2x) y tambie´n su mitad (x 2), y establece que
2x − x = 84.
2
En la seccio´n siguiente veremos co´mo resolver la igualdad anterior, por ahora
solamente nos centraremos en el planteo.
Ejemplo 83. En un avio´n viajan 420 pasajeros de tres pa´ıses: argentinos, uru-
guayos y chilenos. Hay 40 chilenos ma´s que uruguayos, y de argentinos hay el
doble que de uruguayos y chilenos juntos. ¿Cua´ntos hay de cada pa´ıs?
Solucio´n: Denotemos con y a la cantidad de uruguayos que viajan en el avio´n.
Entonces la cantidad de chilenos es y + 40, y la cantidad de argentinos se re-
presenta como 2(y + (y + 40)). Luego, la traduccio´n algebraica del problema
es
y + (y + 40) + 2(y + (y + 40)) = 420.
El planteo matema´tico de algunos problemas es ma´s sencillo si trabajamos
con ma´s de una inco´gnita. Este es el caso de las siguientes situaciones.
Ejemplo 84. Usando ma´s de una inco´gnita. Hallar la medida de los lados de
un recta´ngulo cuyo per´ımetro es 24 unidades, y cuyo lado mayor mide el triple
que su lado menor.
Solucio´n: Para traducir esta situacio´n al lenguaje matema´tico, podemos llamarle
x a la longitud del lado menor del recta´ngulo, e y a la del lado mayor. Puesto
que su per´ımetro es 24, sabemos que
2x + 2y = 24. (A)
Adema´s se afirma que el lado mayor mide el triple que el menor, es decir
y = 3x. (B)
Las dos igualdades (A) y (B) deben cumplirse simulta´neamente. Esto se conoce
con el nombre de “sistema de ecuaciones”, y su resolucio´n sera´ estudiada en la
Seccio´n 4.4.
98
Manual de Matemática preuniversitaria
4.1. El lenguaje matema´tico
Ejemplo 85. Determinar las edades de dos personas sabiendo que la suma de
sus edades hoy es de 64 an˜os, y que dentro de 8 an˜os el mayor tendra´ el triple de
edad que el menor.
Solucio´n: Llamemos x a la edad que tiene hoy la persona menor, e y a la edad
que tiene hoy la mayor. Sabemos que
x + y = 64. (a)
La edad de cada una dentro de 8 an˜os es x + 8 e y + 8, respectivamente. En
ese momento, el mayor tendra´ el triple que el menor, por lo que para que sean
iguales hay que multiplicar la edad del menor por 3 (o dividir a la del mayor por
3). Es decir
3(x + 8) = y + 8. (b)
Al igual que antes, las igualdades (a) y (b) deben cumplirse a la vez.
Finalmente, veremos problemas en los que aparecen una o ma´s desigualdades
en lugar de una igualdad, las cuales reciben el nombre de inecuaciones, y sera´n
estudiadas en detalle en secciones posteriores.
Ejemplo 86. Usando desigualdades. Si al doble de la edad de Jerem´ıas se le
resta 19 an˜os, el resultado es menor que 37. Pero si al tercio de su edad se le
suma 10, entonces el resultado es mayor que 18. ¿Co´mo se expresan mediante
desigualdades estas expresiones?
Solucio´n: Si llamamos x a la edad de Jerem´ıas, el enunciado afirma las dos
condiciones siguientes:
2x − 19 < 37 y x + 10 > 18.
3
En las secciones siguientes nos ocuparemos de resolver los planteos anterio-
res: ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Ejercicios 4.1
Expresar en lenguaje matema´tico las siguientes situaciones problema´ticas
(no resolverlas). Recordar definir siempre la/s variable/s involucrada/s, es decir,
siempre se debe indicar que´ representa cada letra utilizada.
1. El kilo de manzanas cuesta el doble que el kilo de limones. Si por 3 kilos
de manzanas y 5 kilos de limones se pago´ $165, ¿cua´nto cuesta el kilo de
cada uno?
2. Tres hermanos se reparten 1300 pesos. El mayor recibe el doble que el
mediano, quien a su vez recibe el cua´druple que el pequen˜o. ¿Cua´nto recibe
cada uno?
99
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
3. En un estadio de fu´tbol hay 43200 personas. Si sabemos que hay 4800
locales ma´s que visitantes, ¿cua´ntos locales y cua´ntos visitantes hay?
4. Se han consumido las 7/8 partes de un bido´n de agua. An˜adiendo 38 litros
se llena hasta las 3/5 partes. Calcular la capacidad del bido´n.
5. Agust´ın hizo un viaje en su auto, en el cual consumio´ 20 litros de nafta.
El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumio´ 2/3 de la nafta que
ten´ıa el tanque, mientras que en la segunda etapa consumio´ la mitad de la
nafta que le quedaba en el tanque luego de la primera. Hallar una igualdad
para determinar los litros de nafta que ten´ıa Agust´ın en el tanque antes de
partir.
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
Si se comprende el proceso que se utiliza, resolver ecuaciones puede ser ma´s
simple de lo que uno imagina. Comencemos recordando que´ es una ecuacio´n.
Una ecuacio´n es una igualdad entre dos expresiones conteniendo uno o
ma´s valores desconocidos.
Las expresiones que aparecen a ambos lados del s´ımbolo = (igual) se llaman
miembros de la ecuacio´n.
Aprenderemos a resolver ecuaciones que tengan solamente un valor desco-
nocido. Al valor desconocido se lo llama inco´gnita, y se lo suele denotar con x,
pero puede representarse con cualquier otra letra.
Antes de ver co´mo resolver ecuaciones, hay que entender que´ significa esto.
Resolver una ecuacio´n es simplemente hallar el valor (o los valores) de la in-
co´gnita, de manera que la igualdad sea cierta si reemplazamos dicha inco´gnita
por cualquiera de los valores hallados. Dependiendo del caso, el valor buscado
puede ser u´nico, pueden existir varios valores que hagan la igualdad cierta, o
puede ocurrir que no exista ninguno. Cualquier valor que haga cierta la igualdad
se llama solucio´n de la ecuacio´n. Luego, una ecuacio´n puede tener una u´nica
solucio´n, varias o ninguna, y es llamada identidad cuando es verdadera para
cualquier valor de la inco´gnita. Cuando la ecuacio´n este´ modelando un problema
concreto, habra´ que elegir entre todas las soluciones de la ecuacio´n, aquellas que
tengan sentido en el contexto del problema, y descartar las que no lo tengan (ver
Ejemplo 112).
Notar que siempre es posible saber por nuestra cuenta si hemos resuelto
correctamente la ecuacio´n. Por ejemplo, para saber si x = 1 es solucio´n de la
ecuacio´ n
x + 3 = 5 − x,
100
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
podemos reemplazar x por 1 en ambos lados de la igualdad (miembros) para
obtener
1 + 3 = 5 − 1,
lo cual es cierto ya que el resultado es 4 en ambos.
El procedimiento anterior se denomina verificacio´n, y consiste en compro-
bar que la igualdad se cumple al reemplazar la inco´gnita por el o los valores
obtenidos.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de
soluciones. Utilizaremos el s´ımbolo ⇐⇒ (que se lee “si y solo si”) para conectar
dos ecuaciones que son equivalentes. La clave para resolver una ecuacio´n es
transformarla en ecuaciones equivalentes cada vez ma´s simples, utilizando la
propiedad uniforme. Esta propiedad establece que:
Si se realiza la misma operacio´n con el mismo nu´mero en ambos
miembros de una ecuacio´n, se mantiene la igualdad.
La propiedad uniforme es la base para resolver ecuaciones, y es la que justifi-
ca lo que en lenguaje coloquial expresamos como “pasar” algo de un lado a otro
de la igualdad. La palabra “pasar” simplemente abrevia una serie de pasos ma-
tema´ticos utilizados con el fin de llegar a despejar la inco´gnita x. Por ejemplo,
para resolver la ecuacio´n
6(x − 4)3 − 15 = 33
lo primero que uno hace es “pasar” al otro lado el nu´mero 15 sumando. Pero,
¿por que´ lo pasa sumando? Comprender esto es la clave para lograr resolver en
forma correcta las ecuaciones. En realidad, matema´ticamente lo que se hace es
lo siguiente:
6(x − 4)3 − 15 + 15 = 33 + 15 sumar 15 a ambos lados
6(x − 4)3 + 0 = 33 + 15 −15 + 15 = 0 por ser opuestos
6(x − 4)3 = 48 33 + 15 = 48.
En lo anterior usamos la propiedad uniforme en el primer paso, luego usamos
la propiedad asociativa de la suma, la propiedad de existencia del opuesto y,
finalmente, que el cero es neutro para la suma. Todas esas operaciones y propie-
dades se resumen al decir informalmente que “pasamos” el 15 sumando, y en la
pra´ctica los pasos intermedios se omiten o reducen.
De la misma forma, con el fin de despejar x ahora “pasamos” el nu´mero 6
para el otro lado. En este caso, como esta´ multiplicando “pasa” para el otro lado
101
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
dividiendo, ya que para eliminarlo lo que hacemos es dividir ambos lados de la
igualdad por 6:
6(x − 4)3 48 dividir ambos miembros por 6
¡ =6
6
¡
(x − 4)3 = 8 6 = 1, por eso se “cancelan”.
6
Ahora, aplicamos ra´ız cu´bica a ambos lados (es la forma de “pasar” el nu´mero 3
que esta´ como exponente hacia el otro miembro), y resolvemos para obtener
x − 4 = 2.
En lo anterior hemos usado la fo´rmula (2.3.3) (pa´gina 52) ya que, al ser 3 un
nu´mero impar, el cubo y la ra´ız cu´bica se “cancelan” directamente. Finalmente,
sumamos 4 a ambos lados (informalmente, “pasamos el 4 sumando”) y se obtie-
ne x = 6. Por fortuna, podemos verificar si este valor es correcto, poniendo 6 en
cada lugar donde dec´ıa x en la ecuacio´n original:
6(6 − 4)3 − 15 = 33.
Es fa´cil ver que el lado izquierdo da como resultado 33, as´ı que la respuesta
x = 6 es correcta.
Es muy importante dar la respuesta al problema, es decir, indicar el con-
junto S cuyos elementos son las soluciones para la ecuacio´n. En este caso, tene-
mos S = {6}.
Se debe notar que no hay una u´nica manera de resolver una ecuacio´n, pero
s´ı es importante tener en cuenta la jerarqu´ıa entre las operaciones: para despejar
la inco´gnita siempre se comienza “pasando” al otro lado lo que esta´ “ma´s lejos”
de ella, en el sentido de la resolucio´n de operaciones combinadas. Por ejemplo,
una vez obtenido
6(x − 4)3 = 48
hubiera sido incorrecto si en el paso siguiente escribimos
%√
6(x − 4) = 3 48.
El error se detecta ra´pidamente si, ante la duda, en lugar de “pasar” la potencia
aplicamos ra´ız cu´bica a ambos lados:
6(x − 4)3 = 48 ⇐⇒ √ √ 3 (x − 4)3£ = √
3 6(x − 4)3 = 3 48 ⇐⇒ 3 6⋅ 3 48,
£
es decir, "√ √
3 6 ⋅ (x − 4) = 3 48.
Esto muestra un camino diferente de proceder, “pasando” correctamente la ra´ız
cu´bica antes que el 6, el cual tambie´n es va´lido.
102
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
Veremos ahora algunos ejemplos de resolucio´n de ecuaciones, ilustrando di-
ferentes te´cnicas segu´n el caso, as´ı como ciertos errores frecuentes con el fin
de evitarlos luego. Es importante la lectura de los mismos, ya que contienen las
herramientas fundamentales para la resolucio´n de ecuaciones.
Ejemplo 87. Resolver la ecuacio´n 6(x + 2) − 21 = 3(x + 1).
Solucio´ n:
6(x + 2) − 21 = 3(x + 1) propiedad distributiva del producto
6x + 12 − 21 = 3x + 3 se resolvio´ 12 − 21
se sumo´ 9 − 3x en ambos miembros
6x − 9 = 3x + 3 se resolvio´
6x − 3x = 9 + 3 se dividieron ambos miembros por 3.
3x = 12
x=4
El paso “se sumo´ 9 − 3x en ambos miembros” es lo que suele expresarse
informalmente como “llevamos a un lado todo lo que tiene x, y al otro lo que no
tiene x”.
Luego de realizar la verificacio´n (este es un paso que debe hacerse siempre,
aunque lo omitiremos algunas veces aqu´ı), podemos concluir que el conjunto
solucio´n de la ecuacio´n es S = {4}.
Ejemplo 88. Un error frecuente.
Cuando no se comprende el proceso utilizado para despejar la inco´gnita en
una ecuacio´n, pueden cometerse errores como el siguiente:
%6x = 30 x 30
⇐⇒ = −6 = −5.
Es decir, el nu´mero 6 que esta´ multiplicando a la inco´gnita se lo “pasa” dividien-
do, y como es positivo se lo “pasa” adema´s como negativo. Incluso a veces, por
ser positivo, suele verse lo siguiente:
%6x = 30 ⇐⇒ x = 30 − 6 = 24.
Todos estos errores pueden evitarse pensando cua´l es la propiedad que hace que
el nu´mero 6 se “elimine” del lado izquierdo: dividir ambos miembros por 6 como
sigue
"6x = 30
6x 30 x = 5.
⇐⇒ ¡ = ⇐⇒
6 6
¡
103
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo 89. Resolver la ecuacio´ n 52 + √ − 6 = 235 − 9.
3 2x
Solucio´ n:
52 + √ − 6 = 23 5 − 9
3 2x
√ se resolvio´ 52 y tambie´n 235 − 9
25 + 3 2x − 6 = 31
√ se resto´ 25 en ambos miembros
3 2x − 6 = 31 − 25
√ se resolvio´ 31 − 25
3 2x − 6 = 6
√ − 6 = 6 se dividieron ambos miembros por 3
2x 3
√ se resolvio´ 6
2x − 6 = 2 3
2x − 6 = 22 se elevaron ambos miembros al cuadrado
2x = 4 + 6 se sumo´ 6 en ambos miembros
2x = 10 se resolvio´ el miembro derecho
x = 10 se dividieron ambos miembros por 2
2
x = 5. se resolvio´ 10
2
Luego de realizar la verificacio´n, podemos concluir que el conjunto solucio´n de
la ecuacio´n es S = {5}.
En lo anterior, uno de los pasos consistio´ en “elevar al cuadrado” ambos
miembros de la ecuacio´n. Como se muestra en el ejemplo siguiente, esto a veces
puede introducir una solucio´n ficticia, por lo que la verificacio´n se convierte, en
este caso, en un paso fundamental para la resolucio´n de la ecuacio´n.
Ejemplo 90. Cuidado al elevar al cuadrado.
√
Supongamos que tenemos la ecuacio´n x − 3 = −2, y para resolverla eleva-
mos ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical. Entonces obtenemos
x − 3 = (−2)2 = 4,
lo cual implica x = 7. Verifiquemos si x = 7 es solucio´n de la ecuacio´n:
%√ √
7 − 3 = 4 = 2 ≠ −2.
¿Por que´ elevar al cuadrado genero´ una solucio´n incorrecta? Si observamos la
ecuacio´n original, del lado izquierdo tenemos una cantidad positiva (o cero),
mientras que del derecho, una negativa. Esto permite concluir que ningu´n va-
lor de x hara´ cierta esta igualdad, es decir, S = ∅. Al elevar al cuadrado ambos
miembros los convertimos en positivos, y generamos as´ı soluciones para la nueva
ecuacio´n, que no necesariamente resuelven la original. A continuacio´n amplia-
remos esto, y veremos co´mo proceder en estos casos para determinar la solucio´n
de la ecuacio´n dada.
104
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
? En el ejemplo anterior, ¿cua´l es la operacio´n que genero´ una solucio´n
ficticia? Cuando, para eliminar el radical, elevamos un nu´mero a una potencia
par podemos introducir una solucio´n ficticia. El motivo es el siguiente:
a = b ⇒ a2 = b2.
Sin embargo,
a2 = b2 &⇒&a = b pues lo correcto es a2 = b2 ⇒ a = b ,
√
ya que x2 = x , segu´n la fo´rmula (2.3.3) en la pa´gina 52 aplicada para n = 2.
El razonamiento matema´tico para cuando trabajamos con implicaciones en
lugar de equivalencias es el siguiente: si x es solucio´n de la ecuacio´n original,
entonces debe satisfacer la obtenida al elevar la misma al cuadrado. Eso no signi-
fica que lo rec´ıproco sea cierto: no todo valor que satisfaga la ecuacio´n resultante
de elevar al cuadrado la original, sera´ solucio´n de ella. La importancia de los
valores obtenidos al resolver la nueva ecuacio´n es que, si la original tiene
soluciones, estas se encontrara´n entre dichos valores. Luego, para hallar las
soluciones de la ecuacio´n dada, simplemente debemos verificar cua´les de estos
valores la satisfacen. Si ninguno lo hace, la ecuacio´n no tiene solucio´n. Este es
el procedimiento que debe efectuarse siempre que se trabaje con ecuaciones que
involucren radicales. En el Ejemplo 102 volveremos a ilustrar esto.
Ejemplo 91. Ecuaciones con valor absoluto. Resolver 2 x − 4 − 1 = 5.
Solucio´ n:
2 x − 4 − 1 = 5 ⇐⇒ 2 x − 4 = 6 ⇐⇒ x − 4 = 3.
Si y = 3, por definicio´n se tiene que y = 3 o y = −3. En s´ımbolos,
y = 3 ⇐⇒ y = 3 o y = −3.
En este caso, lo que cumple el rol de y es todo lo que esta´ dentro del valor
absoluto, es decir, x − 4. Luego
x − 4 = 3 ⇐⇒ x − 4 = 3 o x − 4 = −3.
Estas dos igualdades arrojan x = 3 + 4 = 7, o bien x = −3 + 4 = 1. Luego, puesto
que el conjunto solucio´n S consiste en todas las soluciones posibles, tenemos
que S = {7, 1}, como puede fa´cilmente verificarse.
Como vimos en el Ejemplo 90, al elevar ambos miembros de una ecuacio´n
al cuadrado (o cualquier otra√potencia par), se pueden introducir soluciones fic-
ticias. La clave esta´ en que x2 = x (y no simplemente x, como suele verse
cuando se “simplifican” el ´ındice con el exponente). Recordar esto es funda-
mental para no “perder” soluciones al aplicar ra´ıces con ´ındice par en ambos
miembros de una igualdad, como se muestra en el siguiente ejemplo.
105
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo 92. Cuidado al cancelar ´ındices y exponentes pares.
Considerar la ecuacio´ n 1 (x + 5)2 = 8. Veamos un error muy frecuente al
2
resolver este tipo de ecuaciones, que lleva a “perder” soluciones:
1 5)2
%2
(x + = 8 ⇐⇒ (x + 5)2 = 16 ⇐⇒ x+5 = 4 ⇐⇒ x = −1.
Si bien x = −1 es una de las soluciones de la ecuacio´n, al “pasar” la ra´ız en
forma incorrecta perdimos otra de ellas. En este caso, la resolucio´n correcta es
1
"2
(x + 5)2 = 8 ⇐⇒ (x + 5)2 = 16 ⇐⇒ √
(x + 5)2 = 16 ⇐⇒ x + 5 = 4.
Esta u´ltima igualdad de traduce en las posibilidades
x + 5 = 4 o x + 5 = −4,
lo cual induce las dos soluciones x = −1 y x = −9. Entonces S = {−1, −9}.
El siguiente ejemplo muestra otra forma de perder soluciones, al “cancelar”
expresiones que se anulan para algu´n valor de la inco´gnita.
Ejemplo 93. Cuidado de no dividir por cero.
La propiedad uniforme implica que si a = b entonces a ∶ c = b ∶ c para todo
c permitido en la divisio´n, es decir, siempre que c ≠ 0. Es por eso que hay que
tener cuidado, cuando “pasamos dividiendo” una expresio´n, de asegurarnos de
que esta sea distinta de cero, y considerar aparte el caso que sea cero, para no
perder alguna de las soluciones de la ecuacio´n. Para ilustrar esto, consideremos
las siguientes ecuaciones:
3x − 6 = 8x − 16, x3 − x2 + 2x − 2 = 6x − 6.
Una forma de resolver la primera es sacando el nu´mero 3 como factor comu´n
del miembro izquierdo y el 6 del miembro derecho, para obtener
3(x − 2) = 6(x − 2).
Si en la expresio´n anterior “cancelamos” (x − 2), obtenemos 3 = 6, lo cual no
es cierto y podr´ıa hacernos pensar que la ecuacio´n no tiene solucio´n. Sin em-
bargo, el error esta´ en que cuando “cancelamos” en realidad estamos utilizando
la propiedad uniforme para dividir ambos miembros por (x − 2). Al hacer esto,
para no dividir por cero debemos pedir que x ≠ 2. Entonces, resta considerar el
caso x = 2: debemos preguntarnos si este valor es o no solucio´n de la ecuacio´n
dada. Para ello reemplazamos por dicho valor en la ecuacio´n original, y vemos
que ambos miembros valen cero. Es decir, la igualdad se cumple, y por lo tanto
x = 2 es solucio´n de la ecuacio´n. Luego, el conjunto solucio´n es S = {2}.
106
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
Lo mismo ocurre con la segunda ecuacio´n, en la que si sacamos factor comu´n
x2 de los dos primeros te´rminos de la izquierda, de los dos restantes sacamos 2
como factor comu´n, y en el miembro derecho sacamos el nu´mero 8 como factor
comu´n, nos queda
x2(x − 1) + 2(x − 1) = 6(x − 1).
Si sacamos ahora factor comu´n (x − 1) del lado izquierdo, la ecuacio´n anterior
resulta
(x − 1)(x2 + 2) = 6(x − 1).
Entonces consideramos dos posibilidades: x = 1 y x ≠ 1. En este u´ltimo caso
podemos dividir ambos miembros por (x − 1), ya que esta cantidad no es cero,
y obtenemos
x2 + 2 = 6.
√Esto es equivalente a x2 = 4, cuyas soluciones son x = 2 y x = −2 (recordar que
x2 = x ). Sin embargo, no debemos olvidarnos de considerar la posibilidad
x = 1, para determinar si este valor forma parte o no de las soluciones. Reempla-
zando x por dicho valor en la ecuacio´n original se obtiene cero a ambos lados del
signo igual, por lo que x = 1 tambie´n es solucio´n. As´ı, como puede verificarse,
S = {2, −2, 1}.
Ejemplo 94. La inco´gnita en el exponente. Resolver la ecuacio´n 53x−2 = 20.
Solucio´n: Para “bajar” el exponente aplicamos logaritmo a ambos miembros (en
este caso en base 5) y luego usamos una de las propiedades del logaritmo (ver
pa´gina 37) para “cancelar” las operaciones (pues loga (ax) = x loga a = x):
53x−2 = 20 ⇐⇒ log5 53x−2 = log5 20.
Puesto que log5 20 ≈ 1.861, podemos obtener un valor aproximado de la solu-
cio´n resolviendo la ecuacio´n
3x − 2 = 1.861,
cuya solucio´ n es x = 3.861 = 1.287. Para verificar que el valor x = 1.287 aproxi-
3
ma a la solucio´n, reemplazamos en la ecuacio´n para obtener
53⋅1.287−2 = 51.861 ≈ 20.
Trabajar con aproximaciones nume´ricas sirve para dar una idea del valor de
la solucio´n en problemas concretos. Pero, en este caso, dicha solucio´n puede
expresarse de manera exacta como
x∗ 2 + log5 20 ,
3
=
de modo que el conjunto solucio´n es S = {x∗}.
107
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo 95. La inco´gnita en el exponente: usando propiedades de la poten-
cia. Resolver la ecuacio´n 2x16−x = (0.5)x−8.
Solucio´n: Notar que en este caso es posible expresar todas las potencias invo-
lucradas en la ecuacio´n en una misma base. As´ı, la misma puede reescribirse
como −x 2−1 x−8 .
2x 24 =
Usando las propiedades de la potencia, podemos a su vez reescribirla como
2x−4x = 2−x+8,
es decir,
2−3x = 2−x+8.
Aplicamos ahora logaritmo a ambos miembros (en este caso en base 2) y luego
usamos una de las propiedades del logaritmo para “cancelar” las operaciones:
log2 2−3x = log2 2−x+8 ⇐⇒ −3x = −x + 8.
Resolviendo esta ecuacio´n obtenemos x = −4. Realicemos la verificacio´n:
"x = −4 ∶ 2−4164 = 2−4216 = 212 = 24+8 = (0.5)−4−8.
Por lo tanto, podemos concluir que el conjunto solucio´n es S = {−4}.
Al resolver una ecuacio´n suponemos que x es un valor que satisface la
igualdad y, a partir de ello, operamos. Pero suponer que satisface la igualdad
implica suponer que las operaciones involucradas en la misma esta´n bien defi-
nidas para dicho valor. Esto aqu´ı significa que no genera denominadores nulos,
radicandos negativos cuando haya ´ındices pares o logaritmos de un nu´mero ne-
gativo o cero. En otras palabras, suponemos que x es un valor “permitido” para
la ecuacio´n dada. Al momento de resolver una ecuacio´n, es fundamental iden-
tificar los valores permitidos, para descartar como solucio´n aquellos que no lo
sean. El siguiente ejemplo ilustra el caso de los valores que deben descartarse
debido a que generan un denominador nulo.
Ejemplo 96. Valores no permitidos: generan denominadores nulos.
Resolver la ecuacio´ n 3x = 1 + 9 .
x−3 x−3
Solucio´n: Puesto que la expresio´n x − 3 aparece en los denominadores, esto
automa´ticamente descarta a x = 3 como solucio´n de la ecuacio´n, pues al reem-
plazar x por el valor 3, estar´ıamos dividiendo por cero. Teniendo esto presente,
es decir, si x ≠ 3, resolvamos ahora la ecuacio´n:
3x = 1+ 9 ⇐⇒ 3x = 1 + x 9 3 (x − 3).
x−3 x−3 −
108
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
Aplicando la propiedad distributiva en el miembro derecho se obtiene
3x = x − 3 + 9,
lo que equivale a 2x = 6, y por lo tanto x = 3. Puesto que este valor era no permi-
tido, se concluye que la ecuacio´n no tiene solucio´n. A diferencia del Ejemplo 93
en el que dividimos por cero, en este caso la estrategia de multiplicar a ambos
miembros por x − 3 es correcta, solamente que la solucio´n obtenida estaba des-
cartada de antemano.
El ejemplo anterior muestra co´mo se procede cuando se trabaja con ecua-
ciones que involucran fracciones algebraicas, o cualquier expresio´n en la cual la
inco´gnita aparece en un denominador: se deben descartar todos los valores de
la misma que anulen a alguno de los denominadores dados. En ecuaciones con
logaritmos, los valores permitidos para la inco´gnita son aquellos que no generan,
en la ecuacio´n dada, ningu´n logaritmo de un nu´mero negativo o cero. Ilustramos
esto en los ejemplos a continuacio´n.
Ejemplo 97. Ecuaciones con logaritmos. Resolver la ecuacio´n
log5(3x) − log5(2x + 1) = 0.
Solucio´n: Los valores permitidos son aquellos x tales que
3x > 0 y 2x + 1 > 0. (†)
Esto significa que los valores de x que no satisfagan alguna de estas dos desigual-
dades no podra´n ser solucio´n de la ecuacio´n, ya que generar´ıan una operacio´n
no definida.
Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan las propiedades de los loga-
ritmos: 3x
2x + 1
log5(3x) − log5(2x + 1) = log5 ,
por lo que la ecuacio´n dada se reescribe como
log5 3x = 0.
2x + 1
Notar que aqu´ı el denominador 2x + 1 es distinto de cero, pues requerimos que
esta cantidad sea positiva al determinar los valores permitidos para x. Suponga-
mos que existe un valor de x dentro de los permitidos (es decir, que verifica las
dos desigualdades en (†)) que satisface la ecuacio´n. Ahora trataremos de hallar-
lo. De la definicio´n de logaritmo, la u´ltima igualdad vale si y solo si
50 = 3x 1.
2x +
109
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
De esta manera, hemos eliminado el logaritmo para obtener la ecuacio´n equiva-
lente 3x
2x +
1 = 1 ,
la que, a su vez, equivale a 3x = 2x + 1, cuya solucio´n es x = 1. Notar que este
valor satisface las dos desigualdades establecidas al comienzo:
3 ⋅ 1 > 0 y 2 ⋅ 1 + 1 > 0,
por lo tanto es un valor permitido para la solucio´n. Resta entonces realizar la
verificacio´n, para comprobar que es solucio´n de la ecuacio´n:
x = 1 ∶ log5(3 ⋅ 1) − log5(2 ⋅ 1 + 1) = log5 3 − log5 3 = 0. "
Luego, el conjunto solucio´n es S = {1}.
Ejemplo 98. Valores no permitidos: generan logaritmos de cantidades no
positivas.
Resolver la ecuacio´n log3(x − 4) + log3(x + 4) = 2.
Solucio´n: Los valores permitidos son aquellos x tales que
x − 4 > 0 y x + 4 > 0.
Para resolver la ecuacio´n, sea x un valor que satisface la ecuacio´n. Para ha-
llarlo, aplicando la propiedad de la suma de logaritmos de igual base, tenemos
que
log3(x − 4) + log3(x + 4) = log3 ((x − 4) ⋅ (x + 4)) ,
por lo que la ecuacio´n dada puede reescribirse como
log3 ((x − 4) ⋅ (x + 4)) = 2.
De la definicio´n de logaritmo, esto vale si y solo si
(x − 4) ⋅ (x + 4) = 32,
lo cual es equivalente a
x2 − 16 = 9.
Esta u´ltima igualdad equivale a x2 = 25, y sabemos que los valores posibles de
x que satisfacen esto son x = 5 y x = −5. Sin embargo, solamente el primero de
ellos satisface las dos desigualdades requeridas para los valores permitidos, por
lo x = −5 se descarta. Reemplacemos entonces en la ecuacio´n para verificar que
x = 5 es solucio´n:
"x = 5 ∶ log3(5 − 4) + log3(5 + 4) = log3 1 + log3 9 = 0 + 2 = 2.
Luego, el conjunto solucio´n es S = {5}.
110
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
Para el caso de ecuaciones que involucran radicales con ´ındice par, los valores
permitidos para la inco´gnita son aquellos que no generan radicandos negativos.
Se ilustra el modo de resolver ecuaciones de este tipo en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 99. Valores no permitidos: generan radicales con ´ındice par y ra-
dicando negativo.
√√
Resolver la ecuacio´n x − 3 = 2x − 4.
Solucio´n: Los valores permitidos son aquellos x tales que
x − 3 ≥ 0 y 2x − 4 ≥ 0.
Para resolver la ecuacio´n, comenzamos elevando ambos miembros al cua-
drado para eliminar los radicales, obteniendo la ecuacio´n
x − 3 = 2x − 4.
Hallemos su solucio´n:
x − 3 = 2x − 4 ⇐⇒ −3 + 4 = 2x − x,
es decir, x = 1. Sin embargo, este valor no es permitido ya que no satisface nin-
guna de las desigualdades requeridas al comienzo (como antes, no satisfacer al
menos una de ellas es suficiente para descartarlo). Por lo tanto, no existe ningu´n
nu´mero real que sea solucio´n de la ecuacio´n dada, y S = ∅.
Con el fin de reforzar todo lo visto hasta aqu´ı, resumimos a continuacio´n
los casos en los que se debe tener cuidado:
Formas de generar soluciones ficticias: al elevar al cuadrado (u otra pon-
tencia par). Los valores que no resulten solucio´n se detectara´n al realizar
la verificacio´n. Ver Ejemplo 90.
Formas de “perder” soluciones:
• al simplificar incorrectamente exponentes e ´ındices pares. Ver Ejem-
plo 92;
• al dividir por una expresio´n y no considerar el caso en que la misma
se anule. Ver Ejemplo 93.
Valores a descartar:
• los que generen denominadores iguales a cero. Ver Ejemplo 96;
• los que generen logaritmos de cantidades no positivas. Ver Ejem-
plos 97 y 98;
• los que generen radicandos negativos. Ver Ejemplo 99.
111
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Algunas ecuaciones pueden ser llevadas a una forma particular: un pro-
ducto de factores en un miembro, y cero en el otro. Para resolver este tipo de
ecuaciones se utiliza una propiedad conocida como propiedad del producto
cero, la cual establece que:
Un producto de factores es cero si y solo si uno o ma´s
de los factores son iguales a cero.
El siguiente ejemplo muestra una aplicacio´n de la propiedad del producto
cero.
Ejemplo 100. Un producto igual a cero. Resolver la ecuacio´n
(x − 2)(x3 − 1) = 0.
Solucio´n: Por la propiedad del producto cero, sabemos que la ecuacio´n se satis-
face si y solo si uno o ambos factores son cero. Es decir
x − 2 = 0 o x3 − 1 = 0.
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene
√
x = 2 o x = 3 1 = 1.
Luego, tenemos que S = {2, 1}. Se puede ver en la ecuacio´n original que cual-
quiera de estos dos valores anulan el miembro izquierdo.
Ejemplo 101. Resolver la ecuacio´n x4 − x3 + x2 − 3x = 6.
Solucio´n: La ecuacio´n dada es equivalente a x4−x3+x2−3x−6 = 0. Factorizando
el polinomio que aparece a la izquierda, la ecuacio´n se transforma en
(x − 2)(x + 1)(x2 + 3) = 0.
Por la propiedad del producto cero, sabemos que la ecuacio´n se satisface si y
solo si alguno de los factores es cero. Es decir
x − 2 = 0, x + 1 = 0 o x2 + 3 = 0.
La u´ltima opcio´n no es posible ya que x2 +3 ≥ 0+3 = 3 > 0, por lo que solamente
pueden valer las dos primeras. Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene
x = 2 o x = −1.
Entonces S = {2, −1}. Se puede ver en la ecuacio´n original que cualquiera de
estos dos valores hacen que el miembro izquierdo valga 6.
112
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
Ejemplo 102. Descartando soluciones ficticias.
√
Hallar los valores de x que satisfacen la igualdad x + 4 = x + 10.
Solucio´n: Los valores permitidos para x son aquellos tales que x + 10 ≥ 0, pues
si el ´ındice es par entonces el radicando no puede ser negativo. Para resolver
la ecuacio´n, elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical, y
obtenemos:
(x + 4)2 = x + 10.
Resolvamos esta ecuacio´n:
(x + 4)2 = x + 10 ⇐⇒ x2 + 8x + 16 = x + 10
⇐⇒ x2 + 7x + 6 = 0.
Aplicando la regla de Ruffini, el polinomio que aparece en el miembro izquierdo
puede factorizarse como (x + 1)(x + 6), por lo que la ecuacio´n se transforma en
(x + 1)(x + 6) = 0.
Por la propiedad del producto cero, las soluciones son x = −1 y x = −6. Ambos
valores son permitidos, pues ninguno genera radicando negativo en la ecuacio´n
original. Sin embargo, puesto que hemos elevado al cuadrado para resolver, pu-
dimos haber introducido una solucio´n ficticia. Para determinar esto, debemos
verificar la validez de la ecuacio´n original con cada valor obtenido. A continua-
cio´n calculamos el valor de ambos miembros de la ecuacio´n dada para cada uno
de los valores obtenidos, para determinar si se cumple la igualdad o no:
x = −1 x+4 √
x = −6 −1 + 4 = 3 x + 10
−6 + 4 = −2
√
"−1 + 10 = 3,
√
%−6 + 10 = 2.
Por lo tanto, el conjunto solucio´n es S = {−1}.
Como consecuencia de la propiedad del producto cero se obtiene la del co-
ciente cero:
Un cociente es cero si y solo si el numerador es cero
(y el denominador distinto de cero).
Ejemplo 103. Un cociente igual a cero. Resolver la ecuacio´n
x2 + 3x − 18 = 0.
x2 + 1
113
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Solucio´n: Observemos primero que el denominador que aparece en la ecuacio´n
nunca es cero, ya que x2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0. Por la propiedad del cociente cero,
sabemos que la ecuacio´n se satisface si y solo si el numerador es cero. Es decir,
la ecuacio´n se transforma en
x2 + 3x − 18 = 0.
Para resolver esta ecuacio´n* aplicamos la regla de Ruffini para factorizar el po-
linomio del miembro izquierdo como x2 + 3x − 18 = (x + 6)(x − 3). Por lo tanto,
la ecuacio´n que debemos resolver es
(x + 6)(x − 3) = 0.
Aplicando ahora la propiedad del producto cero sabemos que las posibilidades
son
x + 6 = 0 o x − 3 = 0.
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene x = −6 y x = 3. Puesto que ninguno
de estos valores anula al denominador ya que, como dijimos al principio, este
nunca se anula, ambos esta´n permitidos. Por lo tanto, el conjunto solucio´n es
S = {−6, 3}.
Para resolver ecuaciones en Ge Gebra se dispone del comando Resuelve,
donde se coloca entre pare´ntesis la ecuacio´n en la cual la inco´gnita siempre debe
llamarse x. Otra opcio´n es ingresar la ecuacio´n tal como aparece en el campo
de entradas, y aparecera´ un boto´n que dice RESUELVE. La salida sera´ una o
ma´s l´ıneas verticales indicando el o los valores de la solucio´n. Si la ecuacio´n es
polino´mica se indicara´ tambie´n una lista con las soluciones.
Ejercicios 4.2
1. Resolver los problemas planteados en los Ejemplos 82 y 83, de la pa´gina 98.
2. Resolver los problemas planteados en los Ejercicios 1 a 5 de la Seccio´n 4.1.
3–24. Resolver las ecuaciones. Recordar que se debe expresar la solucio´n y
realizar la verificacio´n (analizar antes cua´les son los valores permitidos).
3. 2(x + 3) − 5(−2x + 1) = 2x − 19
4. x + 3 − 2x = −11
4
√
5. −2 = 3 y − 7
6. 3x−1 + 4−2x = x+3
2 3
*En la seccio´n siguiente veremos una fo´rmula para resolver este tipo de ecuaciones.
114
Manual de Matemática preuniversitaria
4.2. Resolucio´n de ecuaciones
7. 2 + 4 = 0
x−3 5−x
8. −2 + t − 3 = 6
9. 1 + 5x = −9
10. 5 − 2x − 8 = 3
11. x−3 =2
x+2
√√
12. x − 2 = 1 + x − 4
13. 32x−1 = 81
14. 5x ⋅ 25x = 125
25 =2−x
15. 2x+1 1
2 5
16. 23x = (0.5)3x+2
17. 3x 3 √ 32x
93x
=
18. log(x + 1) + log 5 = log(x − 3)
19. log3(2x − 5)4 = 8
20. log9(x + 1) + log9 9(x + 1) = 2
21. logx 81 − 2 logx 3 = 2
22. log2 x + log2(x + 6) = 4
23. ln(x + 8) = ln x + ln 8
√√
24. log 8x + 2 − log x − 4 = 1 − log 2
25. Factorizar para resolver las siguientes ecuaciones polino´micas:
(a) x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6 = 0
(b) 2x5 + 2x4 − 16x3 − 24x2 = 0
(c) x6 − 25x4 + x2 = 25
(d) 2x4 − 4x3 + 2x2 = x3 + x − 2
(e) x3 + 5x2 + x = 3x2 + 16x + 36
26. Ingresar las ecuaciones polino´micas del ejercicio anterior en el campo de
entradas de Ge Gebra para comparar con los resultados obtenidos.
115
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
27. Cintia quiere ser cantante. Tiene un contrato discogra´fico que le paga una
tarifa base de $4000 pesos mensuales y $120 por cada disco que vende. El
mes pasado gano´ un total de $8440. Escribir una ecuacio´n que determine el
nu´mero de discos que vendio´ Cintia el u´ltimo mes, y resolverla.
28. Al multiplicar un cierto nu´mero por 81, este aumenta en 154000 unidades.
¿Cua´l es dicho nu´mero?
29. La suma de tres nu´meros impares consecutivos es igual a 99. Hallar la suma
de los dos nu´meros mayores.
30. Hay 3400 personas en un estadio. Se observa que por cada 10 visitantes
hab´ıa 24 locales. ¿Cua´ntos locales asistieron?
31. La suma de las edades de 4 amigos es 46. Jose´ y Franco tienen la misma
edad. Francisco supera en 3 an˜os a la mitad de la edad de cada uno de ellos,
mientras que Luciano tiene 4 an˜os ma´s que Francisco. Determinar la edad de
cada uno.
4.3. Ecuaciones de segundo grado
En esta seccio´n veremos co´mo resolver una ecuacio´n de segundo grado
(tambie´n llamada cuadra´tica), la cual es una de la forma
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b y c son nu´meros reales, con a ≠ 0, y x es la inco´gnita. Es decir, es un
polinomio de grado 2 igualado a cero. Aqu´ı a es llamado coeficiente cuadra´tico,
b el coeficiente lineal y c es el te´rmino independiente.
Notar que pedimos el coeficiente cuadra´tico a distinto de cero para que
efectivamente sea un polinomio de grado 2, ya que si a = 0 entonces la ecuacio´n
es bx + c = 0, la cual deja de ser cuadra´tica. Si b ≠ 0, la solucio´n de esta ecuacio´n
lineal es x = − c .
b
Sin embargo, los coeficientes b o c pueden ser cero. Si esto ocurre, es decir,
si al menos uno de ellos es cero, entonces la ecuacio´n cuadra´tica es sencilla de
resolver, aplicando las herramientas dadas en la seccio´n anterior. Analizaremos
estos casos en los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 104. Coeficiente lineal b = 0. Supongamos que tenemos la ecuacio´n
2x2 − 8 = 0.
Esta ecuacio´n se resuelve en forma directa con lo aprendido en la seccio´n ante-
rior, simplemente despejando x de la forma usual:
2x2 − 8 = 0 ⇐⇒ 2x2 = 8 ⇐⇒ x2 = 4 ⇐⇒ x = ±2.
116
Manual de Matemática preuniversitaria
4.3. Ecuaciones de segundo grado
Luego, el conjunto solucio´n de la ecuacio´n es S = {2, −2}. Notar que el mismo
conjunto es solucio´n de
−2x2 + 8 = 0.
Sin embargo, veamos que´ ocurre si la ecuacio´n fuese
2x2 + 8 = 0.
En este caso, con los mismos pasos anteriores obtenemos
x2 = −4,
cuya solucio´n no existe en los reales pues ningu´n nu´mero real elevado al cua-
drado da como resultado un nu´mero negativo. Lo mismo ocurre si tenemos la
ecuacio´ n
−2x2 − 8 = 0.
El ejemplo anterior se escribe en forma general como sigue.
La ecuacio´n cuadra´tica ax2 + c = 0 tiene solucio´n real si y solo si
a ⋅ c ≥ 0 (es decir, o bien a y c tienen el mismo signo, o bien c = 0), y en
tal caso el conjunto solucio´n es S = ± c .
a
Ejemplo 105. Te´rmino independiente c = 0. Supongamos que tenemos la e-
cuacio´ n
5x2 − 3x = 0.
Entonces podemos factorizar el miembro izquierdo, extrayendo a x como factor
comu´ n:
x(5x − 3) = 0.
Por la propiedad del producto cero, sabemos que esto ocurre si y solo si
x = 0 o bien 5x − 3 = 0.
Despejando x en la u´ltima igualdad obtenemos que el conjunto solucio´n de la
ecuacio´n dada es S = 0, 3 .
5
En forma general, factorizando ax2 + bx = x(ax + b) tenemos que:
El conjunto solucio´n de la ecuacio´n cuadra´tica ax2 + bx = 0 es
S= 0, −b . Si b = 0, el conjunto solucio´n se reduce a S = {0}.
a
117
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Entonces solamente resta ver co´mo resolver ecuaciones de segundo grado en
las que el polinomio involucrado es completo, es decir, con todos los coeficientes
distintos de cero:
ax2 + bx + c = 0,
con a, b y c no nulos. Para resolverla, usaremos una te´cnica que se conoce como
completar cuadrados, que consiste en sumar y restar una cantidad adecuada,
de manera de hacer aparecer un trinomio cuadrado perfecto. Al sumar y restar
una misma cantidad en uno de los miembros, no estamos alterando la ecuacio´n,
pues lo que agregamos en total es cero.
Recordemos que un trinomio cuadrado perfecto (abreviado t.c.p.) es un
polinomio de tres te´rminos que resulta de elevar al cuadrado un binomio (ver
pa´gina 65). En particular, consideremos el que se obtiene de elevar al cuadrado
el binomio x + r, para algu´n r real:
(x + r)2 = x2 + 2rx + r2.
Queremos sumar (y luego restar) una cantidad adecuada, para que aparez-
ca en la ecuacio´n original algo que tenga la “forma” del trinomio anterior. Esta
forma puede describirse como sigue: el te´rmino independiente (r2) es el cuadra-
do de la mitad del coeficiente lineal (2r), mientras que el coeficiente cuadra´tico
es 1. Antes de hacerlo en forma general, veamos un ejemplo para aclarar esta
frase.
Ejemplo 106. Completando cuadrados. Consideremos la ecuacio´n
x2 − 6x + 5 = 0.
En este caso el coeficiente lineal es −6, su mitad es −3, y (−3)2 = 9, que no coin-
cide con el te´rmino independiente que es 5. El truco consiste en hacer aparecer
dicho 9, pero, para no afectar el resultado de la ecuacio´n, as´ı como lo sumamos
tambie´n lo restamos:
x2 − 6x + 5 = x2 − 6x+9 −9 + 5 = (x − 3)2 − 4.
t.c.p.
Entonces la ecuacio´n se transforma en
(x − 3)2 − 4 = 0 ⇐⇒ (x − 3)2 = 4 ⇐⇒ x − 3 = ±2,
lo que produce las opciones x1 = 2 + 3 = 5 y x2 = −2 + 3 = 1 (se utiliza la
notacio´n x1 y x2 para indicar dos valores diferentes para las soluciones). Es
decir, el conjunto solucio´n es S = {5, 1}. Puede verse fa´cilmente que estos dos
valores satisfacen la ecuacio´n original:
"52 − 6 ⋅ 5 + 5 = 25 − 30 + 5 = 0 y 12 − 6 ⋅ 1 + 5 = 1 − 6 + 5 = 0.
118
Manual de Matemática preuniversitaria
4.3. Ecuaciones de segundo grado
Notar que en el ejemplo anterior el signo del binomio viene dado por el signo
del coeficiente lineal, es decir, el trinomio proviene de resolver (x + r)2, siendo
r la mitad del coeficiente lineal, que puede ser negativo o positivo.
Ejemplo 107. Resolver la ecuacio´n cuadra´tica 2x2 + 4x − 1 = 0 utilizando el
me´todo de completar cuadrados.
Solucio´n: A diferencia del ejemplo anterior, el coeficiente cuadra´tico no es 1.
Entonces, el primer paso en este caso es extraer dicho coeficiente como factor
comu´n, para luego completar cuadrados en lo obtenido:
2x2 + 4x − 1 = 2 x2 + 2x − 1 =2 x2 + 2x+1 −1 − 1
2 2
t.c.p.
=2 (x + 1)2 − 3 = 2(x + 1)2 − 3.
2
Entonces la ecuacio´n se transforma en
2(x + 1)2 − 3 = 0 ⇐⇒ (x + 1)2 = 3 ⇐⇒ x+1=± 3 ,
2 2
lo que implica x1 = 3 − 1 y x2 = − 3 − 1.
2 2
Cuando el coeficiente cuadra´tico no es igual a 1, este debe extraerse como
factor comu´n. En el ejemplo anterior lo tomamos como factor comu´n de los
tres te´rminos, pero tambie´n podr´ıamos haberlo tomado solamente de los dos que
poseen x:
2x2 + 4x − 1 = 2 x2 + 2x − 1
= 2 x2 + 2x+1 − 1 − 1
= 2 x2 + 2x + 1 − 2 − 1
= 2(x + 1)2 − 3.
Hacerlo de esta manera evito´ incluir fracciones innecesarias. La u´nica precau-
cio´n que debemos tener es que cuando llevamos el −r2 fuera del pare´ntesis (en
este caso es −1), no hay que olvidar que esta´ multiplicado por el factor comu´n
(que en este caso es 2).
No toda ecuacio´n cuadra´tica tiene siempre dos soluciones reales. Como
puede verse en los siguientes ejemplos, puede ocurrir tambie´n que tenga una
u´nica solucio´n, o incluso que no tenga ninguna.
119
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo 108. Una ecuacio´n cuadra´tica con solucio´n u´ nica. Completar cua-
drados para resolver la ecuacio´n x2 − 2x + 1 = 0.
Solucio´n: En este caso el coeficiente lineal es −2, su mitad es −1 y (−1)2 = 1, lo
cual coincide con el te´rmino independiente. Esto significa que el polinomio del
miembro izquierdo ya es un trinomio cuadrado perfecto:
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2.
Entonces la ecuacio´n se transforma en
(x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 1.
Puede verificarse que reemplazando x por 1 en el miembro izquierdo de la ecua-
cio´n original se obtiene cero como resultado, por lo que S = {1}.
Ejemplo 109. Una ecuacio´n cuadra´tica sin solucio´n. Resolver la ecuacio´n
cua-dra´tica x2 − 2x + 3 = 0 utilizando el me´todo de completar cuadrados.
Solucio´n: Aqu´ı, al igual que en el ejemplo anterior, el coeficiente lineal es −2, y
el cuadrado de su mitad es 1, lo cual no coincide con su te´rmino independiente
3. Entonces, al sumar y restar 1 se obtiene
x2 − 2x + 3 = (x2 − 2x + 1) − 1 + 3 = (x − 1)2 + 2.
Entonces la ecuacio´n se transforma en
(x − 1)2 + 2 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 = −2.
La u´ltima ecuacio´n no tiene solucio´n, ya que ningu´n nu´mero real elevado al cua-
drado puede dar como resultado un nu´mero negativo. Por lo tanto, la ecuacio´n
no tiene solucio´n real.
Siguiendo las mismas ideas de los ejemplos anteriores, consideremos ahora
el caso general
ax2 + bx + c = 0,
con a no nulo. Completemos cuadrados:
ax2 + bx + c = a x2 b x c =a x2 b x+ b 2 b 2 c
a a a 2a 2a a
+ + + − +
t.c.p.
=a x b 2 c b2 a(x h)2 + k,
2a 4a
+ + − = −
con h = − b y k = c− b2 (esta forma de expresar un polinomio cuadra´tico se
2a 4a
retomara´ en el Cap´ıtulo 5). Luego, la ecuacio´n original se transforma en
b 2 b2 b 2 b2 − 4ac
2a 4a 2a 4a2
a x + + c − = 0 ⇐⇒ x + = .
120
Manual de Matemática preuniversitaria
4.3. Ecuaciones de segundo grado
Aplicando ra´ız cuadrada a ambos miembros (recordar la propiedad (2.3.3)) y
resolviendo, obtenemos
√√
b b2 − 4ac b b2 − 4ac −b ± b2 − 4ac .
x = − 2a ± 4a2 = − 2a ± 2a = 2a
La fo´rmula anterior se llama resolvente y se aplica para hallar, si
existen, las soluciones reales de una ecuacio´n de segundo grado de la
forma ax2 + bx + c = 0. Si el radicando que aparece en la fo´rmula es
negativo, entonces la ecuacio´n no tendra´ soluciones reales. Si es cero,
tendra´ una u´nica solucio´n (llamada solucio´n doble), y si es positivo en-
tonces la ecuacio´n tendra´ dos soluciones reales distintas x1 y x2 dadas
por
√ √
x1 = −b + b2 − 4ac , x2 = −b − b2 − 4ac .
2a 2a
El radicando se llama discriminante de la ecuacio´n cuadra´tica y se denota
como
∆ = b2 − 4ac.
Como mencionamos, sera´ suficiente con calcular el valor del discriminante para
saber la cantidad de soluciones de una ecuacio´n cuadra´tica:
∆ > 0: dos soluciones reales distintas;
∆ = 0: una solucio´n (llamada doble);
∆ < 0: sin soluciones reales.
Lo anterior justifica el “criterio de parada” para la factorizacio´n de polinomios
cuadra´ticos, enunciado en la pa´gina 84.
Ejemplo 110. Aplicando la resolvente. Hallar las soluciones de la ecuacio´n
2x2 + 4x − 6 = 0.
Solucio´n: Debemos resolver una ecuacio´n cuadra´tica en la que a = 2, b = 4 y
c = −6. Aplicando la resolvente con estos valores tenemos
x1,2 = −4 ± 42 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−6) −4 √ −4 ± 8,
2⋅2 ± 64 4
= 4 =
de lo que se obtiene x1 = −4+8 = 1 y x2 = −4−8 = −3. Luego, S = {1, −3}.
4 4
121
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo 111. Resolver la ecuacio´n log7(2x) − log7(x2 − 8) = 0.
Solucio´n: Los valores permitidos para x son aquellos tales que
2x > 0 y x2 − 8 > 0,
ya que el logaritmo de nu´meros negativos no esta´ definido.
Para resolver la ecuacio´n, comenzamos aplicando la propiedad de la resta de
dos logaritmos con igual base para transformar la ecuacio´n en
log7 2x = 0.
x2 − 8
Por definicio´n de logaritmo, esto es equivalente a
70 = 2x ,
x2 − 8
con lo que eliminamos el logaritmo, y ahora debemos resolver esta u´ltima ecua-
cio´ n: 2x
x2 −
1 = 8 ⇐⇒ x2 − 8 = 2x ⇐⇒ x2 − 2x − 8 = 0.
Resolvemos ahora esta ecuacio´n cuadra´tica usando la resolvente:
x1,2 = 2 ± (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) = 2 ± 6 ,
2⋅1 2
lo que lleva a x1 = 4 y x2 = −2. Sin embargo, x = −2 no formara´ parte del
conjunto solucio´n, ya que no satisface las desigualdades que definen a los valo-
res permitidos (en este caso no satisface ninguna de las dos, pero no satisfacer
alguna de ellas es suficiente para descartar dicho valor). Para verificar que x = 4
es solucio´n de la ecuacio´n original, reemplazamos para obtener:
"x = 4 ∶ log7(2 ⋅ 4) − log7(42 − 8) = log7(8) − log7(8) = 0.
Luego, la u´nica solucio´n es x = 4, es decir, S = {4}.
El siguiente ejemplo muestra que a veces algunas soluciones de la ecuacio´n
deben ser descartadas como soluciones de un problema concreto. Esto se debe a
que, si bien la ecuacio´n modela el problema, por el contexto del mismo algunos
valores no son permitidos.
Ejemplo 112. Soluciones descartadas debido al contexto.
Hallar la longitud de la base de un tria´ngulo que tiene un a´rea de 24 cm2, y
cuya altura mide 2 cm ma´s que la base correspondiente.
122
Manual de Matemática preuniversitaria
4.3. Ecuaciones de segundo grado
Solucio´n: Llamemos x a la longitud de la base (en cent´ımetros). Entonces la
altura mide x + 2 cm. Sabemos que
24 = A´ rea = base ⋅ altura = x(x + 2) .
2 2
Es decir 48 = x(x + 2), o equivalentemente,
0 = x2 + 2x − 48.
Aplicando la resolvente se obtienen dos soluciones para esta ecuacio´n: x1 = 6
y x2 = −8. Sin embargo, como x representa una longitud, la solucio´n negativa
queda descartada. Entonces la u´nica solucio´n posible para el problema es que la
longitud de la base sea 6 cm.
Ejemplo 113. Usando el discriminante. Utilizar el discriminante para deter-
minar la cantidad de soluciones de las siguientes ecuaciones cuadra´ticas:
(a) 4x2 + 2x + 3 = 0, (b) − x2 − x + 12 = 0, (c) x2 − 6x + 9 = 0.
Solucio´n: Calculemos el discriminante de cada ecuacio´n:
(a) ∆ = 22 − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = −44,
(b) ∆ = (−1)2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 12 = 49,
(c) ∆ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0.
De esto podemos concluir que la ecuacio´n (a) no tiene soluciones reales, la (b)
tiene dos soluciones reales distintas, mientras que la (c) tiene solucio´n u´nica.
Si bien la resolvente es una fo´rmula muy u´til para hallar soluciones de una
ecuacio´n cuadra´tica, manejar el procedimiento de completar cuadrados resultara´
fundamental para conocer la apariencia de las funciones cuadra´ticas, que sera´n
estudiadas en el cap´ıtulo siguiente.
Recordemos que el teorema del resto afirma que si r es un nu´mero real
y p es un polinomio de grado al menos 1, entonces el resto de dividir p por
(x − r) es p(r), es decir, el resto es el valor que se obtiene al hallar el valor
nume´rico de p en r. Como consecuencia directa de esto, el teorema del factor
afirma que el binomio (x − r) es factor del polinomio p si y solo si p(r) = 0. Sea
p(x) = ax2+bx+c un polinomio de grado 2, y sean x1 y x2 dos soluciones reales
(distintas o iguales) de la ecuacio´n p(x) = 0 obtenidas mediante la resolvente.
Es decir que
p(x1) = 0 y p(x2) = 0,
123
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
o equivalentemente, x1 y x2 son ra´ıces de p (esto significa que estamos en el
caso ∆ ≥ 0). Luego, tanto (x − x1) como (x − x2) son factores de p. Ma´s
precisamente, se tiene que p se factoriza como:
p(x) = a(x − x1)(x − x2).
Ejemplo 114. Factorizando un polinomio cuadra´tico. Utilizar la resolvente
para factorizar los polinomios
p(x) = x2 + x − 6 y q(x) = 2x2 − 20 − 6x.
Una vez obtenida la factorizacio´n, verificar que es correcta resolviendo el pro-
ducto para recuperar los polinomios dados.
Solucio´n: Comencemos aplicando la resolvente para hallar las soluciones de
p(x) = 0:
x1,2 = −1 ± 1−4⋅ 1 ⋅ (−6) −1 ± 5,
2⋅1 2
=
de lo que se infiere x1 = 2 y x2 = −3. Entonces, podemos factorizar p como
p(x) = (x − 2)(x + 3).
Para verificar, hacemos la distributiva y operamos:
"(x − 2)(x + 3) = x2 + 3x − 2x − 6 = x2 + x − 6 = p(x).
Con respecto a q, tenemos
6± (−6)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−20) 6 ± 14 ,
x1,2 = 2⋅2 4
=
lo que implica x1 = 5 y x2 = −2. Por lo tanto q se factoriza como
q(x) = 2(x − 5)(x + 2).
Realicemos la verificacio´n:
"2(x−5)(x+2) = 2(x2+2x−5x−10) = 2(x2−3x−10) = 2x2−6x−20 = q(x),
por lo que la factorizacio´n obtenida es correcta.
Un error frecuente es olvidar el nu´mero a en la factorizacio´n anterior, y
escribir %q(x) = (x − 5)(x + 2).
124
Manual de Matemática preuniversitaria
4.3. Ecuaciones de segundo grado
Ejercicios 4.3
1. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a) x2 + 2 = 38
(b) x2 + 4 = 0
(c) 2x2 − 4x = 0
(d) x2 −x = 0
x2 +1
(e) x2 −x = 0
x−1
2. Hallar el valor de c tal que x2 − 8x + c es un trinomio cuadrado perfecto.
3. Completar cuadrados para llevar cada polinomio a la forma a(x − h)2 + k.
Verificar.
(a) x2 + 5 − 2x
(b) x2 + 4x + 1
(c) −2x2 − x + 1
4. Completar cuadrados para resolver las siguientes ecuaciones:
(a) x2 + x − 6 = 0 (c) x2 − 2x + 2 = 0
(b) 2x2 + 8x + 8 = 0 (d) x2 − 4 − 3x = 0
5. Hallar, si es posible, las soluciones de las siguientes ecuaciones aplicando la
resolvente:
(a) 2x2 + 50 + 20x = 0
(b) x2 + 3x − 4 = 0
(c) x2 + 6x + 13 = 0
6. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a) x(3x − 2) = x2 − 5x
(b) 4 − 3x − x2 = (3x − 2)2 − 1
(c) x2 +2x−3 =0
3x+2
(d) x2 +2x−3 =0
x−1
√
(e) 2x − 1 = x − 2. Advertencia: recordar que al elevar al cuadrado se
pueden introducir soluciones ficticias.
√
(f) 3 2x − 1 = 3x
125
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
√√
(g) x2 + 6x = x + 2x. Sugerencia: elevar al cuadrado dos veces para eli-
minar por completo las ra´ıces y luego factorizar para aplicar la propiedad
del producto cero.
(h) 3 log2(x) − log2(x + 1) = log2 x
2
7. Usar el discriminante para determinar cantidad de soluciones de las siguientes
ecuaciones:
(a) 2x2 − 2x − 24 = 0
(b) −x2 − 5 + 2x = 0
(c) −x2 − 4x − 4 = 0
8. Determinar el valor de a de modo que la ecuacio´n ax2 − 24x + 9 = 0 tenga
una ra´ız doble.
9. Utilizar la resolvente para factorizar los polinomios dados a continuacio´n:
(a) p(x) = x2 + 6x + 8
(b) q(x) = 3x2 + 3x − 6
(c) r(x) = x2 + 2x − 63
10. La altura de un tria´ngulo es 2 cm menor que la longitud de la base, y
su a´rea es de 684 cm2. ¿Cua´les son las medidas de la base y de la altura de
dicho tria´ngulo?
11. Encontrar un nu´mero natural tal que dos veces su cuadrado exceda al propio
nu´mero en 120.
12. La suma de los cuadrados de dos nu´meros naturales consecutivos es 113.
Encontrar dichos nu´meros.
13. La suma de los cuadrados de dos nu´meros naturales pares consecutivos es
100. Encontrar dichos nu´meros.
14. Encontrar dos nu´meros naturales impares consecutivos tales que su producto
sea igual a 195.
15. Un joven empleado, interrogado acerca de su edad respondio´: “El doble
del cuadrado de la edad que tendre´ dentro de cuatro an˜os, menos el triple del
cuadrado de la edad que ten´ıa hace dos an˜os, es el doble de la edad que tendre´
dentro de 54 an˜os”. Determinar la edad del joven empleado al momento de
responder la pregunta.
126
Manual de Matemática preuniversitaria
4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas
inco´gnitas. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema,
es decir, todos los valores posibles para las inco´gnitas que hacen verdadera cada
una de las ecuaciones.
En particular, veremos me´todos para resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos inco´gnitas*, el cual es uno de la forma
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2,
donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son nu´meros reales, y las inco´gnitas son x e y. La
llave se usa para enfatizar que se quiere que ambas ecuaciones se cumplan a la
vez, es decir, una solucio´n al sistema son valores para x e y que hacen va´lidas a
ambas igualdades simulta´neamente.
Ejemplo 115. Comprobando si es solucio´n de un sistema. Podemos compro-
bar que x = 3 e y = 1 es una solucio´n del sistema
2x − y = 5
3x + 2y = 11,
pues
"2 ⋅ 3 − 1 = 6 − 1 = 5,
"3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 9 + 2 = 11.
La solucio´n en el ejemplo anterior tambie´n se puede escribir como par or-
denado (3, 1), como veremos en el Cap´ıtulo 5 cuando presentemos una interpre-
tacio´n gra´fica de este tipo de sistemas y de sus soluciones. All´ı encontraremos
tambie´n una explicacio´n para el siguiente hecho.
Dado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inco´gnitas, ocurre
exactamente una de las siguientes opciones:
Tiene una solucio´n u´ nica.
Tiene infinitas soluciones.
No tiene solucio´n.
*Una ecuacio´n de primer grado o ecuacio´n lineal es una igualdad que involucra una o ma´s
inco´gnitas con exponente igual a 1, y no contiene productos entre ellas, es decir, una ecuacio´n que
contiene solamente sumas y restas de mu´ltiplos constantes de una variable a la primera potencia.
127
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Estas tres opciones son las u´nicas posibilidades para las soluciones de un
sistema de este tipo: una, ninguna o infinitas.
Los sistemas reciben un nombre de acuerdo a la cantidad de soluciones que
posean: compatible determinado (solucio´n u´nica), compatible indeterminado
(infinitas soluciones), o incompatible (sin soluciones).
La resolucio´n anal´ıtica de este tipo de sistemas es bastante sencilla, pues con-
siste esencialmente en transformar el sistema en una ecuacio´n lineal de una sola
inco´gnita, resolverla y hallar con la solucio´n obtenida el valor de la inco´gnita
restante. Para ello, veremos dos me´todos que describiremos a continuacio´n.
Me´todo de sustitucio´n. Como su nombre lo indica, este me´todo consis-
te en despejar una de las inco´gnitas de alguna de las dos ecuaciones, y sustituir
lo obtenido en la restante.
Para ilustrar el procedimiento, resolvamos algunos sistemas mediante este
me´todo.
Ejemplo 116. Resolviendo por sustitucio´n: solucio´n u´ nica. Resolver median-
te sustitucio´n el siguiente sistema, y luego clasificarlo segu´n la cantidad de so-
luciones:
2x + 4y = −10
x − 5y = 2.
Solucio´n: Observando el sistema, lo ma´s simple es despejar x de la segunda
ecuacio´n para obtener
x = 2 + 5y. (∗)
Ahora sustituimos esta expresio´n donde aparece x en la primera ecuacio´n y re-
solvemos:
2(2 + 5y) + 4y = −10 ⇐⇒ 4 + 10y + 4y = −10 ⇐⇒ 14y = −14 ⇐⇒ y = −1.
Ya tenemos el valor para y, por lo que reemplazando en (∗) obtenemos
x = 2 + 5(−1) = −3.
Para verificar, podemos reemplazar estos dos valores en ambas ecuaciones y ver
que las igualdades se cumplen. Por lo tanto la solucio´n al sistema es x = −3,
y = −1, y el sistema es compatible determinado (tiene solucio´n u´nica).
Ejemplo 117. Resolviendo por sustitucio´n: infinitas soluciones. Utilizar el
me´todo de sustitucio´n para resolver y clasificar el siguiente sistema:
2x − 3y = 1
−4x + 6y = −2.
128
Manual de Matemática preuniversitaria
4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
Solucio´n: Si despejamos x en la primera ecuacio´n nos queda
x = 1 + 3y . (◇)
2
Ahora sustituimos esta expresio´n donde aparece x en la segunda ecuacio´n:
−4 1 + 3y + 6y = −2.
2
Para resolver lo anterior, aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos
−2 − 6y + 6y = −2,
lo que equivale a −2 = −2. Puesto que esta igualdad es siempre cierta, indepen-
dientemente del valor de y, cualquier nu´mero real es solucio´n de ella. Para un
valor fijo de y se obtiene el correspondiente valor de x que hace verdaderas las
dos ecuaciones mediante (◇). Para aclarar esto, realicemos la verificacio´n: sea y
un nu´mero real cualquiera, y sea
x = 1 + 3y .
2
Veamos que estos valores satisfacen ambas ecuaciones del sistema dado:
"2x − 3y = 2
1 + 3y −3y = 1 + 3y − 3y = 1,
2
x
"−4x + 6y = −4
1 + 3y +6y = −2 − 6y + 6y = −2.
2
x
As´ı, para cada nu´mero real y dado se obtiene un correspondiente valor de x, de
manera que ambas igualdades se cumplen. Por ejemplo, cuando y = 1 el valor de
x es 1+3⋅1 = 2, o cuando y = 0 entonces x = 1+3⋅0 = 1 . Luego la ecuacio´ n tiene
2 2 2
infinitas soluciones, por lo que el sistema es compatible indeterminado.
Ejemplo 118. Resolviendo por sustitucio´n: sin solucio´n. Resolver mediante
sustitucio´n el siguiente sistema, y luego clasificarlo:
x+y = 3
2x + 2y = 2.
Solucio´n: Si despejamos y en la primera ecuacio´n nos queda
y = 3 − x.
129
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Ahora sustituimos esta expresio´n donde aparece y en la segunda ecuacio´n:
2x + 2(3 − x) = 2.
Para resolver lo anterior, aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos
2x + 6 − 2x = 2,
lo que equivale a 6 = 2. Puesto que esta igualdad es falsa independientemente
del valor de x, la ecuacio´n no tiene solucio´n, y por lo tanto tampoco la tendra´ el
sistema. En este caso, es un sistema incompatible.
Veamos ahora otra forma de resolver este tipo de sistemas.
Me´todo de igualacio´n. Este me´todo consiste en despejar la misma
inco´gnita en ambas ecuaciones, y despue´s igualar (como lo indica el nombre)
las dos expresiones obtenidas. De esta forma se obtiene una ecuacio´n con una
sola inco´gnita, la cual podemos resolver para luego obtener el valor de la otra.
Resolvamos algunos sistemas mediante este me´todo para ilustrarlo.
Ejemplo 119. Resolviendo por igualacio´n: solucio´n u´ nica. Utilizar el me´todo
de igualacio´n para resolver y clasificar el siguiente sistema:
3x − 4y = −6
−x + 5y = 13.
Solucio´n: Por el aspecto de ambas ecuaciones, parece conveniente despejar x de
ambas para obtener
x = −6+4y
3
x = 5y − 13.
Igualamos entonces las dos expresiones obtenidas para x, y luego resolvemos:
−6 + 4y = 5y − 13 ⇐⇒ −6 + 4y = 3(5y − 13)
3
⇐⇒ −6 + 4y = 15y − 39
⇐⇒ 33 = 11y
⇐⇒ y = 3.
Teniendo el valor para y, podemos obtener el de x reemplazando en cualquiera
de las dos expresiones para ella en funcio´n de y:
x = 5 ⋅ 3 − 13 = 15 − 13 = 2.
Por lo tanto, luego de realizar la verificacio´n, se concluye que la solucio´n al
sistema es x = 2 e y = 3, por lo que el mismo es compatible determinado.
130
Manual de Matemática preuniversitaria
4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 120. Resolviendo por igualacio´n: infinitas soluciones. Resolver por
igualacio´n y clasificar:
3x − 6y = 12
4x − 8y = 16.
Solucio´n: Parece indistinto despejar cualquiera de las dos inco´gnitas, por lo que
elegiremos despejar x en ambas para obtener, luego de simplificar, el sistema
x = 4 + 2y
x = 4 + 2y.
Igualando las dos expresiones obtenidas para x nos queda
4 + 2y = 4 + 2y,
lo cual es cierto para cualquier valor de y, por lo que el sistema tiene infinitas
soluciones de la forma x = 4 + 2y, siendo y cualquier nu´mero real. Realicemos
la verificacio´n: sea y un nu´mero real fijo, y sea x = 4 + 2y. Veamos que estos
valores satisfacen ambas ecuaciones del sistema dado:
"3x − 6y = 3 (4 + 2y) −6y = 12 + 6y − 6y = 12,
x
"4x − 8y = 4 (4 + 2y) −8y = 16 + 8y − 8y = 16.
x
As´ı, para cada nu´mero real y dado se obtiene un correspondiente valor de x, de
manera que ambas igualdades se cumplen. Por ejemplo, cuando y = 1 el valor
de x es 4 + 2 ⋅ 1 = 6, o cuando y = 2 entonces x = 4 + 2 ⋅ 2 = 8. El sistema resulta
entonces compatible indeterminado.
Ejemplo 121. Resolviendo por igualacio´n: sin solucio´n. Resolver mediante el
me´todo de igualacio´n el siguiente sistema y clasificarlo:
−4x + 2y = 6
−2x + y = 5.
Solucio´n: Despejando y en ambas ecuaciones tenemos, luego de simplificar,
y = 3 + 2x
y = 5 + 2x.
Ahora igualamos:
3 + 2x = 5 + 2x,
lo que equivale a 3 = 5. Puesto que esta igualdad es falsa independientemente
del valor de x, la ecuacio´n no tiene solucio´n, y por lo tanto tampoco la tendra´ el
sistema. En este caso, es un sistema incompatible.
131
Manual de Matemática preuniversitaria
Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Tanto el me´todo de sustitucio´n como el de igualacio´n presentan la misma
eficacia y sencillez, por lo que si no se indica nada, se puede elegir cualquiera
de ellos para resolver un sistema dado.
Aplicaremos lo aprendido sobre sistemas para resolver problemas concretos,
como el siguiente.
Ejemplo 122. Las edades de Camila y de su mama´ suman 54 an˜os, y dentro de
9 an˜os la edad de la mama´ sera´ el doble de la edad de Camila. ¿Cua´ntos an˜os
tiene cada una ahora?
Solucio´n: Llamemos x a la edad de Camila ahora, e y a la edad actual de su
mama´. Entonces, las respectivas edades dentro de 9 an˜os sera´n x + 9 e y + 9. Los
datos del problema nos dicen que
x + y = 54 (pues las dos edades suman 54 an˜os)
2(x + 9) = y + 9 (lo que ocurrira´ en 9 an˜os).
Resolveremos este sistema por sustitucio´n, despejando x de la primera ecuacio´n:
x = 54 − y, (†)
y reemplazando en la segunda:
2(54 − y + 9) = y + 9 ⇐⇒ 2(63 − y) = y + 9
⇐⇒ 126 − 2y = y + 9
⇐⇒ 117 = 3y
⇐⇒ 39 = y.
Esto significa que, luego de verificar, la edad de la mama´ de Camila es 39 an˜os,
y de (†) tenemos que la edad de Camila es x = 54 − 39 = 15 an˜os.
Como mencionamos, retomaremos los sistemas presentados en esta seccio´n
en el Cap´ıtulo 5, para interpretarlos desde el punto de vista gra´fico, y resolverlos
tambie´n mediante Ge Gebra.
Ejercicios 4.4
1. Resolver los sistemas planteados en los Ejemplos 84 y 85 de la pa´gina 98.
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por sustitucio´n y cla-
sificar cada uno segu´n sus soluciones:
(a) 2x − y =5 (b) 8x − 2y = 5
x + 4y =7 −12x + 3y = 7
(c) x−y = 1 (d) −2x + y = 1
4x + 3y = 18 6x − 3y = −3
132
Manual de Matemática preuniversitaria
4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por igualacio´n y cla-
sificar cada uno segu´n sus soluciones:
(a) 2x + y = 1 (b) x − 2y =6
3x + 4y = 14 = −3
− 1 x + y
2
(c) 2x + y =7 (d) x−y = 2
x + 2y =2 2x − 2y = 5
4. Encontrar dos nu´meros tales que su suma sea 40 y su diferencia sea 14.
5. Ǟ Carolina tiene hoy el triple de edad que su hijo Jose´. Dentro de 15 an˜os,
la edad de Carolina sera´ el doble que la de su hijo. ¿Cua´ntos an˜os ma´s que
Jose´ tiene su madre hoy?
6. Hallar la medida de los lados de un recta´ngulo cuyo per´ımetro es 20 cm,
sabiendo que el lado menor excede en 1 cm a la mitad del lado mayor.
7. Un puesto de frutas vende dos variedades de frutillas: pequen˜as y gran-
des. Una caja de frutillas pequen˜as se vende en $50, y una de frutillas grandes
se vende a $70. En un d´ıa, el puesto vende 61 cajas de frutillas por un total
de $3810. ¿Cua´ntas cajas de cada tipo se vendieron?
8. Las edades de Franco y Clara suman 16 an˜os, y dentro de 12 an˜os, la
edad de Clara superara´ en 4 an˜os a la mitad de la edad de Franco. Determinar
las edades que tienen hoy Franco y Clara.
9. El costo de las entradas a un teatro es de $80 para los adultos y $50
para los nin˜os. Si el sa´bado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron
$15250, ¿cua´ntos adultos y cua´ntos nin˜os asistieron a la funcio´n el sa´bado?
10. ǻ En un estacionamiento hay 59 veh´ıculos entre autos y motos. Si el total
de ruedas es de 202, ¿cua´ntos autos y cua´ntas motos hay?
11. Una empresa que fabrica valijas recibe un pedido para un d´ıa determina-
do. Al planificar la produccio´n determinan que si fabrican 250 valijas al d´ıa,
faltar´ıan 150 al concluir el plazo que tienen. Si fabrican 260 valijas diarias
entonces les sobrar´ıan 80. ¿Cua´ntos d´ıas tienen de plazo y cua´ntas valijas les
encargaron?
12. Ǎ La contrasen˜a de wifi de una escuela posee 6 d´ıgitos. Cuando un alumno
la solicita, se le entrega la siguiente instruccio´n: las 3 primeras cifras corres-
ponden a un nu´mero x, y las 3 u´ltimas a un nu´mero y, los cuales satisfacen
que y − 2x = 169 y 3x − y = 18. ¿Cua´l es la contrasen˜a?
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