Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός

Άσκηση 1η

Δίδεται η συνάρτηση f με f x  1 , και αναζητώ το πεδίο ορισμού της, δηλαδή τα x που
xln x

ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για τα οποία ορίζονται η συνάρτηση y= lnx και

το κλάσμα 1
xln x

Η συνάρτηση y=lnx ορίζεται για τις θετικές πραγματικές τιμές του x οι οποίες είναι διαφορετικές

από το μηδέν. Η κλασματική συνάρτηση ορίζεται για τις πραγματικές τιμές του x οι οποίες είναι

διαφορετικές από το μηδέν. Επομένως η συνάρτηση f με f x  1 , ορίζεται για όλα τα θετικά
xln x

x τα οποία είναι διαφορετικά από το μηδέν. Αρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα

0,  Στο σχήμα 1 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f x  1
xln x

Σχήμα 1

Άσκηση 2η
Η συνάρτηση f με f(x)=e ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και για κάθε τιμή
του πραγματικού αριθμού x η τιμή της συνάρτησης f είναι σταθερή και ισούται με e. H γραφική
παράσταση (Σχήμα 2) της συνάρτησης f είναι μία ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα xx΄ η
οποία διέρχεται από το σημείο με τετμημένη e 2,71828

Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός

Σχήμα 2
(Ο αριθμός e είναι σημαντική μαθηματική σταθερά, η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού
λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με 2,71828, και είναι το όριο της ακολουθίας (1 + 1/n)n όσο το n
πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. )
Άσκηση 3η
α) Δίνεται η συνάρτηση f : R  R για την οποία ισχύει η σχέση f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y) (i) για
κάθε πραγματικό αριθμό x και y
Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε πραγματικό αρθμό επομένως για x=0, y=0, η σχέση (i) παίρνει
τη μορφή f(0)+f(0)=3f(0)  0=2f(0)  f(0)=0
Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων (επαληθεύεται
από το σημείο με συντεταγμένες (0,0))
β) H σχέση (i) ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς επομένως ισχύει και για τη τιμή -x
και τη τιμή y=0, η (i) παίρνει τη μορφή 2f(-x)=f(-x)+f(x)  f(-x)=f(x) για κάθε πραγματικό
αριθμό x,άρα η συνάρτηση f είναι άρτια

Στέλλα Σερεμετάκη, Μαθηματικός

γ) f  x    f (x), x  0 η συνάρτηση f αποδείξαμε προηγουμένως ότι είναι άρτια, επομένως
 f (x), x  0


f  x   f  x για όλα τα x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (όπερ έδει δείξαι)

(όπερ έδει δείξαι < αρχαία ελληνική ὅπερ ἔδει δεῖξαι, φράση που χρησιμοποιούσε ο Ευκλείδης
ολοκληρώνοντας μια μαθηματική απόδειξη)