ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

Pythagoras ความหมายของพีทาโกรัสรั สมบัติของรูปรูสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสรั บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสรั แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบทพีทาโกรัสรัพร้อร้มเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อ รื่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รั จัดทำ โดย นายปราชญ์ปกรณ์ ประโมสี

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE

Introduction E-Book เรื่อ รื่ ง "ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั" ฉบับบันี้จัดจัทำ ขึ้นขึ้เพื่อใช้ ประกอบการเรียรีนการสอนวิชวิาคณิตศาสตร์ ระดับดัมัธมัยมศึกษาปีที่ปี ที่ 2 และผู้ที่ส ที่ นใจจะค้นค้คว้าว้หาข้อข้มูลมูเรื่อ รื่ งทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรัซึ่งซึ่มีเมีนื้อหา ตรงตามหลักลัสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นขั้พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับบัปรับรัปรุงรุพ.ศ. 2560) จัดจัทำ ขึ้นขึ้เพื่อใช้ใช้นการการเรียรีนรู้ มีเมีนื้อหา มุ่งมุ่ ส่งเสริมริ ให้ผู้เรียรีนและผู้ที่ส ที่ นใจ ได้เด้รียรีนรู้แรู้ละพัฒนาทักทัษะทาง กระบวนการคิดคิวิเวิคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และบูรบูณาการเพื่อนำ ไปสู่ การเรียรีนรู้ด้รู้วด้ยตนเอง ผู้จัดจัทำ หวังวัเป็น ป็ อย่าย่งยิ่งยิ่ว่าว่ E-Book ฉบับบันี้ จะเป็น ป็ประโยชน์ ต่อต่บุคบุคลทุกทุคนที่กำ ที่ กำลังลัศึกษาในเรื่อ รื่ ง "ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั" และผู้ที่ สนใจ จะเป็น ป็ประโยชน์ต่อต่การเรียรีนรู้อรู้ย่าย่งมี ประสิทธิภธิาพ ตามหลักลัการ ของทางคณิตศาสตร์แร์ละบรรลุเลุป้าป้หมายและจะสามารถช่วช่ยให้บรรลุ ตามวัตวัถุปถุระสงค์กค์ารเรียรีนรู้ตรู้ ามมาตรฐานการเรียรีนรู้ คำคำคำคำนำนำ นำนำ ผู้จัผู้ ดจัทำ นายปราชญ์ปญ์กรณ์ ประโมสี นักนัศึกษาสาขาวิชวิาคณิตณิศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทวิยาลัยราชภัฏอุดรธานี 30 สิงสิหาคม 2566

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE

CCoonntteennttss สสาารรบับั บั ญบั ญ จุดจุประสงค์กค์ารเรียรีนรู้ ความหมายของพีทาโกรัสรั สมบัติบัขติองรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั บทกลับลัของทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั อ้าอ้งอิงอิ ประวัติวัผู้ติ ผู้จัดจัทำ 00 01 03 07 12 16 24 25

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE

LLeeaarrnniinngg oobbjjeeccttiivveess จุจุจุ ด จุ ดปปรระะสสงงค์ค์ ค์ กค์ กาารรเเรีรีย รี ย รีนนรู้รู้รู้รู้ ตัวตัชี้วั ชี้ ดวั เข้าข้ใจและใช้ทช้ฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรัและบทกลับลั ในการแก้ปัก้ญปัหาทาง คณิตศาสตร์แร์ละปัญปัหาในชีวิชีตวิจริงริ เข้าข้ใจและใช้ทช้ฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรัและบทกลับลั ในการแก้ปัก้ญปัหาทาง คณิตศาสตร์แร์ละปัญปัหาในชีวิชีตวิจริงริ ผลการเรียรีนรู้ จุดจุมุ่งมุ่ หมาย นักเรียรีนสามารถ 1.นำ นักเรียรีนสามารถนำ ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัตรั ไปใช้ใช้นการแก้ปัก้ญปัหา 2.นำ บทกลับลัของทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัตรั ไปใช้ใช้นการแก้ปัก้ญปัหา 00

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE

ความหมายของ พีทาโกรัส รั 01

ความหมายของพีทาโกรัสรั ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรัคือคืทฤษฎีคฎีวามสัมพันธ์ขธ์องรูปรู สามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ถือถืเป็น ป็ พื้นฐานในการคำ นวณต่าต่งๆ ที่มี ที่ มี การประยุกยุต์อต์อกไปอย่าย่งกว้าว้งขวาง ซึ่งซึ่จำ เป็น ป็สำ หรับรัการ ทำ โจทย์ปย์ระยุกยุต์ต่ต์อต่ ไป เพราะฉะนั้นจึงจึควรตั้งตั้ใจศึกษาและ ทำ โจทย์ตัย์วตัอย่าย่งด้วด้ยการใช้สูช้สูตรพีทาโกรัสรัเป็น ป็ประจำ Pythagoras (พีทาโกรัสรั) (นักคณิตศาสตร์)ร์ 02

สมบัติ บั ข ติ อง รูป รู สามเหลี่ย ลี่ ม มุม มุ ฉาก 03

สมบัติบัขติองรูป รู สามเหลี่ยมมุม มุ ฉาก ความสัมพันธ์รธ์ะหว่าว่งความยาวของด้าด้นทั้งทั้สามของรูปรู สามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากข้าข้งต้นต้เป็น ป็ ไปตามสมบัติบัขติองรูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม มุมมุฉากที่ก ที่ ล่าล่วว่าว่ “สำ หรับรัรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากใดๆ กำ ลังลัสองของความยาว ของด้าด้นตรงข้าข้มมุมมุฉากเท่าท่กับกัผลบวกของกำ ลังลัสองของ ความยาวของด้าด้นประกอบมุมมุฉาก” ซึ่งซึ่สมบัติบัข้ติาข้งต้นต้นี้เรียรีกว่าว่ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรัและเชื่อ ชื่ ว่าว่นัก คณิตศาสตร์ชร์าวกรีกรีชื่อ ชื่ พีทาโกรัสรัเป็น ป็ ผู้พิสูจน์ได้เด้ป็น ป็ คนแรก นั่นคือคืรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ABC ใด ๆ ที่มี ที่ มีB เป็น ป็ มุมมุฉาก ถ้าถ้ กำ หนดให้ b แทนความยาวของด้าด้นตรงข้าข้มมุมมุฉาก a และ c แทนความยาวของด้าด้นประกอบมุมมุฉาก ดังดัรูปรู 04

สมบัติบัขติองรูป รู สามเหลี่ยมมุม มุ ฉาก สิ่งที่พ ที่ บได้ใด้นชีวิชีตวิ ประจำ วันวัที่เ ที่ ป็น ป็ รูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม แซนด์วิด์ชวิเค้กค้ เต้นต้ท์ หลังลัคาบ้าบ้น พิซซ่าซ่ 05

สมบัติบัขติองรูป รู สามเหลี่ยมมุม มุ ฉาก มารู้จ้รู้กจ้สามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากกันกัเถอะ จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม ABC มีมุมีมมุABC ที่เ ที่ ป็น ป็ มุมมุฉาก (90องศา) เรียรีก AB ว่าว่ “ด้าด้นตรงข้าข้มมุมมุฉาก” เรียรีก AC และ BC ว่าว่ “ด้าด้นประกอบมุมมุฉาก” > — — — 06

ทฤษฎีบ ฎี ท พีทาโกรัส รั 07

ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั รู้หรู้รือรืไม่?ม่ว่าว่ความสัมพันธ์ดัธ์งดักล่าล่วเป็น ป็ ที่รู้ ที่ จัรู้กจักันกั มานานกว่าว่ 3,000 ปีมปีาแล้วล้ ในชื่อ ชื่ ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั แต่ คนในสมัยมัก่อก่นสังเกตเห็นความสัมพันธ์นี้ธ์ นี้ในลักลัษณะที่เ ที่ ป็น ป็ ความสัมพันธ์ขธ์องพื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรับนด้าด้นทั้งทั้สามของ รูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ดังดัตัวตัอย่าย่งต่อต่ ไปนี้ ... ให้ ABC เป็น ป็ รูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ที่มี ที่ มีACB เป็น ป็ มุมมุฉาก มี BC ยาว 3 หน่วย, AC ยาว 4 หน่วย และ AB ยาว 5 หน่วย สร้าร้งรูปรู สี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั ABIH, รูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั BCED และ รูปรูสี่เหลี่ย ลี่ ม จัตุจัรัตุสรั ACGF บนด้าด้น AB , ด้าด้น BC และ ด้าด้น AC ตามลำ ดับดัดังดั รูปรู 08

ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั จะได้ พื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั ABIH เท่าท่กับกั 5 = 25 ตารางหน่วย พื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั BCED เท่าท่กับกั 3 = 9 ตารางหน่วย พื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั ACGF เท่าท่กับกั 4 = 16 ตารางหน่วย ซึ่งซึ่ 25 = 9+16 ดังดันั้น พื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั ABIH เท่าท่กับกัผลบวกของพื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั BCED และ พื้นที่ ของรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรั ACGF 2 2 2 ตัวตัอย่าย่งข้าข้งต้นต้เป็น ป็ การแสดงความสัมพันธ์ตธ์ามทฤษฎีบฎีทพีทาโก รัสรัที่ กล่าล่วได้อีด้กอีแบบหนึ่งดังดันี้ "สำ หรับรัรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากใดๆ พื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรับทด้าด้นตรงข้าข้มมุมมุฉาก เท่าท่กับกัผล บวกของพื้นที่ข ที่ องรูปรูสี่เหลี่ย ลี่ มจัตุจัรัตุสรับนด้าด้นประกอบมุมมุฉาก" 09

ตัวตัอย่าย่งที่ 1 เราใช้คช้วามยาวของเส้นทแยงมุมมุของหน้าจอโทรทัศทัน์ เพื่อ บอกขนาดของโทรทัศทัน์ โทรทัศทัน์เครื่อ รื่ งหนึ่งมีหมีน้าจอที่วั ที่ ดวัตาม แนวเส้นทแยงมุมมุได้ 20 นิ้ว ถ้าถ้หน้าจอโทรทัศทัน์สูง 12 นิ้ว วิธีวิทำธีทำ กำ หนดให้ x แทน ความยาวของหน้าจอโทรทัศทัน์ จากความสัมพันธ์รธ์ะหว่าว่งความยาวของด้าด้นของรูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม มุมมุฉาก จะได้ 20 = 12 + X X = 20 - 12 = 400 - 144 = 256 X = 17 ดังดันั้น X = 17 ตอบ หน้าจอโทรทัศทัน์ยาว 17 นิ้ว ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 2 2 2 2 2 2 10

ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั ตัวตัอย่าย่งที่ 2 ทรงสี่เหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ABCDEFGH มีด้มีาด้น AF ยาว 8 เซนติเติมตร ด้าด้น AB ยาว 12 เซนติเติมตร และด้าด้น BC ยาว 9 เชนติเติมตร จง หาความยาวของ FC วิธีวิทำธีทำ เนื่องจาก AFC มี FAC เป็น ป็ มุมมุฉาก ดังดันั้น FC = AF+ AC…………(1) หา AC จาก ABC เนื่องจาก ABC มี ABC เป็น ป็ มุมมุฉาก ดังดันั้น AC = AB + BC……….(2) แทนสมการ (2) ลงสมการ (1) ; FC = AF + ( AB + BC ) = 8 + ( 12 + 93 ) = 64 + 144 +81 = 289 FE = 17 ดังดันั้น FC = 17 นั่นคือคื FC ยาว 17 เชนติเติมตร ตอบ 17 เชนติเติมตร 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 > — — 11

บทกลับ ลั ของทฤษฎีบ ฎี ท พีทาโกรัส รั 12

บทกลับของทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั บทกลับลัของทฤษฎีพีฎี พีทาโกรัสรักล่าล่วว่าว่ "สำ หรับรัรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มใดๆ ถ้าถ้กำ ลังลัสองของความยาว ของด้าด้นด้าด้นหนึ่งเท่าท่กับกัผลบวกของกำ ลังลัสองของความยาว ของด้าด้นอีกอีสองด้าด้น แล้วล้รูปรูสามเหลี่ย ลี่ มรู้นั้รู้นั้เป็น ป็ รูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม มุมมุฉาก" หรือรืกล่าล่วได้ว่ด้าว่ "ถ้าถ้รูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม ABC มีด้มีาด้ยยาว A,B และ C หน่วย และ c = a + b จะได้ว่ด้าว่รูปรูสามเหลี่ย ลี่ ม ABC เป็น ป็ รูปรู สามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก" นั่นเอง 2 2 2 13

บทกลับของทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั การพิสูจน์บทกลับลัของทฤษฎีบฎีทพีกาโกรัสรัทำ ได้ดัด้งดันี้ กำ หนดให้ ABC มี AB = c หน่วย, BC = a หน่วย, AC = 6 หน่วย และ c = a + b ต้อต้งการพิสูจน์ว่าว่ ABC เป็น ป็ รูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก ที่มี ที่ มี ACB เป็น ป็ มุมมุฉาก 2 2 2 > 14

บทกลับของทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั พิสูจน์ สร้าร้งรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉาก DEF ให้ด้าด้นประกอบมุมมุฉาก EF และ DF ยาว 2 หน่วย และ b หน่วยตามลำ ดับดัและให้ DFE เป็น ป็ มุมมุฉาก ดังดัรูปรู > EF = BC = a และ DF = AC = b (จากการสร้าร้ง) จาก DEF จะได้ DE = a + b (โดยทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั) จาก ABC จะได้ c = a + b (กำ หนดให้) ดังดันั้น DE - C (สมบัติบัขติองการเท่าท่กันกั ) นั่นคือคื DE = c จะได้ DEF = ABC (ด้าด้น-ด้าด้น-ด้าด้น) ดังดันั้น DFE = ACB = 90องศา (มุมมุคู่ที่คู่ ส ที่ มนัยกันกัของ รูปรู สามเหลี่ย ลี่ มที่เ ที่ ท่าท่กันกัทุกทุประการ จะมีขมีนาดเท่าท่กันกั ) นั่นคือคื ABC เป็น ป็ รูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่มี ที่ มีACB เป็น ป็ มุมมุฉาก 2 2 2 2 2 2 2 2 > > > > > ~ 15

แบบฝึก ฝึ หัด ทฤษฎีบ ฎี ท พีทาโกรัส รั 16

1.เล็ก ล็ สูง 6 ฟุตยืนยือยู่ห่ยู่ห่างจากจุดจุปล่อล่ยบอลลูนลู400 ฟุต บอลลูนลูลอยขึ้นขึ้ ไปจากจุดจุปล่อล่ยบอลลูนลู306 ฟุต ศีรษะของเล็ก ล็ อยู่ห่ยู่ห่างจากบอลลูนลูกี่ฟุกี่ฟุต แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 17

2. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ ข้อข้ใดถูกถู 1. a+b=c 2. a+c=a 3. a+c=a 4.ถูกถูทุกทุย้อย้ 3. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ ข้อข้ใดผิด 1. a-c=a 2. a+c=b 3. a=a+c 4. a-c=b แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 18

4. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ m มีค่มีาค่ตรงกับกัข้อข้ใด 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 5. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ ข้อข้ใดผิด 1.8 2. 9 3. 11 4. 13 แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 2 19

1.เล็ก ล็ สูง 6 ฟุตยืนยือยู่ห่ยู่ห่างจากจุดจุปล่อล่ยบอลลูนลู400 ฟุต บอลลูนลูลอยขึ้นขึ้ ไปจากจุดจุปล่อล่ยบอลลูนลู306 ฟุต ศีรษะของเล็ก ล็ อยู่ห่ยู่ห่างจากบอลลูนลูกี่ฟุกี่ฟุต แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 20

แบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั วิธีวิทำธีทำ วาดแบบจำ ลอง โดยให้จุดจุB เป็น ป็ จุดจุปล่อล่ยบอลลูนลูจุดจุA เป็น ป็ จุดจุที่เ ที่ ล็ก ล็ ยืนยือยู่ จุดจุC เป็น ป็ ตำ แหน่งที่บ ที่ อลลูนลูลอยอยู่ และ AP แทนความสูงของเล็ก ล็ ให้ PQ = AB และ PQ ตั้งตั้จากกับกั BC ที่จุ ที่ ดจุ Q จะได้ AB = PQ = 400 BC = 306 และ AP = BQ = 6 ดังดันั้น CQ = 306-6 = 300 เนื่องจาก PQC มี PQC เป็น ป็ มุมมุฉาก จะได้ PC = PQ+CQ = 400 + 3002 = 160,000+90,000 = 250,000 PC = 500 ดังดันั้นPC = 500 นั่นคือคืศีรษะของอเล็ก ล็ อยู่ห่ยู่ห่างจากบอลลูนลู500 ฟุต ตอบ 500 ฟุต > 21

2. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ ข้อข้ใดถูกถู 1. a+b=c 2. a+c=b 3. b+c=a 4.ถูกถูทุกทุย้อย้ 3. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ ข้อข้ใดผิด 1. b-c=a 2. a+c=b 3. b=a+c 4. a-c=b เฉลยแบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

4. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ m มีค่มีาค่ตรงกับกัข้อข้ใด 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 5. จากรูปรูสามเหลี่ย ลี่ มมุมมุฉากที่กำ ที่ กำหนดให้ ข้อข้ใดผิด 1.8 2. 9 3. 11 4. 13 2 เฉลยแบบฝึกฝึหัดทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรั 23

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE

RReeffeerreennccee รติภรณ์ หินคำ . Let’s learn พีทาโกรัสรั. สืบค้นเมื่อวันที่ 24 สิงหาคม 2566. จากwww.slideshare.net/ratipornhk/letslearnfbclid=IwAR243rGrg_8FDECw36RTwbp F2M1886D8WAAvLbLUX0RgzhikK5pbSZVUI_aem_A ezj2p1_b5CIGa8v7VighHPqO7ub_VGcXpPIV3R13YYn YF356rafj0oHluDDTwsgA8Y ทักสิญานันท์ อำ ภา. พีทาโกรัสรั. สืบค้นเมื่อวันที่ 24 สิงหาคม 2566. จาก online.fliphtml5.com/lriki/qruu/? fbclid=IwAR30diRfuC4aEkw0UuwDVVinVSYfFwAyD EXPaAGrK8QcQFf9mPxNmP2kQ_aem_AWXCWRcO0 WClUWcDMrKlVXLKsfO0dNQ2MyRCjltmutkmQRZW 3pUnX3yj7572LMBbbCQ#p=3 ครูแรูน็กกับคณิตศาสตร์ขร์องเขา. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสรั. สืบค้น เมื่อ 24 สิงหาคม 2566 จาก www.facebook.com/104575054454326/ posts/pfbid02pX8N6nhnvrQeBEQoc84c3p3Zwi3XN SDSN9KU8gK91jXCHoEMsnShKL9c87cKeMr7l/? mibextid=cr9u03 24 อ้อ้า อ้ า อ้งงอิอิงอิงอิ

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE

ปราชญ์ปญ์ กรณ์ ประโมสี ABOUT ME Pradpagorn Pramosee เบอร์มืร์อมืถือถื อีเอีมล โซเชียชีลมีเมีดียดี ข้อข้มูลมูการติดติต่อต่ 0985588014 [email protected] IG @_miu.melodyyy : : : ประวัติวัผู้ติ ผู้จัดจัทำ นายปราชญ์ปญ์กรณ์ ประโมสี (มิวมิสิค) รหัสนักศึกษา 65040140109 ประวัติวักติารศึกษา กำ ลังลัศึกษาระดับดั ปริญริญาตรี ชั้นชั้ ปีที่ปี ที่ 2 สาขาวิชวิาคณิตศาสตร์ คณะครุศรุาสตร์ มหาวิทวิยาลัยลัราชภัฏภัอุดอุรธานี 25

PYTHAGORAS ทฤษฎีบทพีทาโกรัส BY PRADPAGORN PRAMOSEE