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320 Chap. 13. Équations différentielles non linéaires

En déduire que le problème de Cauchy admet une unique solution sur
] 0, +∞ [ .

3. Montrer que si f est solution de (E) sur R, alors f (0) = 0 et f (x) > 0 pour
tout x > 0. En déduire que (E) n’a pas de solution sur R.

4. Résoudre (E) sur ] −∞, 0 [ .

1. (E1) et (E2) sont des équations linéaires du premier ordre.
La solution homogène de (E1) est x → Ax2 et x → −x est solution particulière,
donc la solution générale est x → −x + Ax2.
La solution homogène de (E2) est x → Ax−2 et x → x/3 est solution particulière,
donc la solution générale est x → x/3 + Ax−2.

2. ∀x > 0, x f (x) = 2| f (x)| + x, donc f (x) > 0, et f est strictement croissante.

Trois cas peuvent se présenter :

• Si f > 0, l’équation (E) coïncide avec (E1), donc il existe A tel que pour tout
x, f (x) = −x + Ax2 = x(−1 + Ax). Or A est positif à cause du comportement en

+∞, mais alors f change de signe en 1/A, ce qui est contradictoire.

• Si f < 0, (E) coïncide avec (E2), donc il existe A tel que pour tout x,
f (x) = x/3 + Ax−2. On en déduit que f (x) a pour limite +∞ quand x tend vers

+∞, ce qui est contradictoire.

• Il en résulte qu’il existe x1 > 0 tel que f (x1) = 0 et ∀x < x1, f (x) < 0,

∀x > x1, f (x) > 0.

Sur ] 0, x1 [ , (E) se ramène à (E2), d’où f (x) = x − x13 (pour qu’elle s’annule
3 3x2

en x1). On remarque en outre que fg(x1) = 1.

Sur ] x1, +∞ [ , (E) se ramène à (E1), d’où f (x) = −x + x2
. On observe que

x1

fd (x1) = 1. Par conséquent, f est de classe C 1 sur ] 0, +∞ [ .

Etudions le problème de Cauchy en (x0, y0). On distingue trois cas.

• Si y0 = 0, on doit choisir x1 = x0.
• Si y0 > 0, alors x1 < x0, et ∀x > x1, f (x) = −x + Ax2, avec A = (x0 + y0)x0−2.

Ceci impose la valeur de x1, égale à x02 .
x0 + y0

• Si y0 < 0, alors x0 < x1, et ∀x < x1, f (x) = x/3 + Ax−2, avec

A = x02(y0 − x0/3), d’où x1 = (x02(x0 − 3y0))1/3.

Dans tous les cas, la solution est unique et définie sur ] 0, +∞ [ .

3. En prenant x = 0 dans (E), on obtient f (0) = 0. Comme x f (x) = 2| f (x)| + x,

x > 0 implique f (x) > 0, donc f est strictement croissante sur R+, et comme

f (0) = 0, f est strictement positive sur ] 0, +∞ [ . (E) coïncide donc avec
(E1) sur cet intervalle, donc ∃A, ∀x > 0, f (x) = −x + Ax2. En particulier,
f (x) −−−→ −1, donc f est négative au voisinage de 0 à droite : contradiction.

x x→0

13.3 Exercices d’approfondissement 321

4. Soit y une solution sur ] −∞, 0 [ .

• On suppose d’abord qu’il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel y > 0,

et on note I un tel intervalle maximal. (E) s’écrit x y − 2y = x, donc il existe
A ∈ R tel que y(x) = −x + Ax2 = x(Ax − 1). Cela impose Ax − 1 < 0.

∗ Si A 0, y ne s’annule pas, donc I = ] −∞, 0 [ .

∗ Si A < 0, I = ] 1/A, 0 [ , donc y 0 sur ] −∞, 1/A ] .
Par suite, pour tout x 1/ A, y = x/3 + Bx−2 = x−2(B + x3/3). Comme y doit

s’annuler en 1/ A, on obtient B = − 1 , et la fonction obtenue est de classe C 1
A3
sur ] −∞, 0 [ . 3

• On suppose pour finir que y 0 sur ] −∞, 0 [ . (E) s’écrit x y + 2y = x, donc

xA
y = 3 + x2 , avec A 0.
Inversement, ces trois familles de solutions conviennent.

Exercice 13.11

Centrale PC 2005 K xy
=x+ , y
Soient a > 0 et S le système différentiel x a = y − x2 .

1. On note (x, y) une solution maximale de S. Déterminer l’expression de
ax2 + y2 en fonction de t. Montrer que (x, y) est définie sur un intervalle non

majoré.

2. On suppose désormais a = 1. Exprimer (x, y) sous la forme (r cos u, r sin u),
où r et u sont des fonctions de classe C 1. Déterminer r et u. En déduire une

équation polaire de l’arc décrit par la solution.

Indication de la rédaction : on utilisera le théorème de relèvement suivant :
soit f : I → R2 de classe C 1 telle que ∀t ∈ I , f (t) 2 = 1. Alors il existe
une fonction u : I → R de classe C 1 telle que ∀t ∈ I , f (t) = (cos u(t), sin u(t)).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1. En dérivant ax2 + y2, on obtient :

(ax2 + y2) = 2ax x + 2yy = 2ax2 + 2x2 y + 2y2 − 2yx2 = 2(ax2 + y2) .

La fonction ax2 + y2 est solution de l’équation différentielle linéaire z = 2z, donc
il existe un réel C tel que ∀t, (ax2 + y2)(t) = Ce2t .
On note I = ] b, c [ l’intervalle maximal de définition de (x, y), t0 un point de I .
On suppose que c est fini. Le calcul précédent montre que ax2 + y2 est bornée sur
[ t0, c [ , donc x et y également. En utilisant le système, x et y sont également
bornées sur [ t0, c [ . Comme l’intervalle [ t0, c [ est borné et les fonctions |x | et

cc

|y | sont majorées par une constante, les intégrales x et y sont absolu-

t0 t0

ment convergentes, donc convergentes, ce qui implique que x et y ont une limite

322 Chap. 13. Équations différentielles non linéaires

finie en c. En utilisant le système, il en est de même pour x et y , ce qui per-
met de prolonger la solution (x, y) au point c, ce qui contredit sa maximalité. En
conséquence c = +∞, donc I est non majoré.

2. Le système est autonome, donc on se ramène au problème de Cauchy en t0 = 0.
On pose (x0, y0) = (x(0), y(0)). Si (x0, y0) = (0, 0), le couple de fonctions nulles
est solution du même problème de Cauchy que (x, y) en 0, donc par unicité, x et

y sont les fonctions nulles.

Sinon, d’après 1, ∀t, x(t)2 + y(t)2 = (x02 + y02)e2t . On pose r (t) = x02 + y02et , de

sorte que r est C 1 et la fonction x , y ) est de classe C 1, à valeurs dans le cercle
(
rr
unité. D’après le théorème de relèvement rappelé dans l’énoncé, il existe une fonc-
x y
tion u de classe C1 sur I telle que (r , r) = (cos u, sin u). On pose u0 = u(0) et

r0 = r (0). On a alors x = r cos u − r u sin u et y = r sin u + r u cos u. (S)

équivaut à r cos u − r u sin u = r cos u + r 2 cos u sin u
r sin u + r u cos u = r sin u − r 2 cos2 u

En multipliant la première ligne par − sin u, la deuxième par cos u et en ajoutant,

on obtient en simplifiant par r (∗) u = −r cos u = −r0et cos u, qui est une équa-

tion autonome du premier ordre en u.
Si u0 ≡ p/2 (mod p), alors x0 = 0. Le couple t → (0, y0et ) est solution de S

et prend même valeur que (x, y) en t0 = 0, donc par unicité est égal à (x, y). La

courbe intégrale est une droite.

Sinon, par unicité du problème de Cauchy pour (∗), u ne prend aucune valeur

congrue à p/2 (mod p). La fonction u étant continue, elle reste dans un inter-
forme ] − p + kp, p +
valle de la 22 kp [ . On suppose par exemple x0 > 0. Par
périodicité, cas où u( I) ⊂]− p p obtient alors
on peut se ramener au
, [ . On
22
u(t) dv
−u = r0et , d’où en intégrant de 0 à t : − u0 cos v = r0(et − 1), d’où
cos u

r0(et − 1) = − u (t ) + p + ln(tan( u0 + p On en déduit :
ln(tan( )) 2 )).
p ln(tan( u0 p
2 4 , 4 2 )).

u(t) = 2 Arctan exp(C − r0et ) − 2 avec C = r0 + + 4

On se ramène par rotation à la situation où u0 = 0, auquel cas la courbe intégrale
u p
admet la représentation polaire r = r0 − ln(tan( + )).

2 4

En Maple, on obtient la courbe à l’aide de l’instruction suivante :

plot([1-ln(tan(u/2+Pi/4)),u,u=-Pi..Pi],coords=polar);

ou, avec Mathematica

PolarPlot[1-Log[Tan[t/2+Pi/4]],{t,-Pi, Pi}]