น.ส.ณัฐวรา ขอสันติวิวัฒน์ ม.5/1 เลขที่ 16

¤³µÔ à¾ÁèÔ

³°Ñ ÇÃÒ ¢ÍÊѹµÔÇÇÔ ²Ñ ¹















O

fcx ) = y

ง นเ ม เ ① ①②

nnn 01
a>1

o< a <า

i

ง น ลด

* ฟงั ก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชียลเปน็ ฟังกช์ นั 1-1 จาก ไปทั่วถึง + โดยสมบตั ขิ องฟังกช์ นั 1-1 จะได้วา่
= กต็ อ่ เมื่อ =

ซ่งึ เราจะนาสมบัตินไ้ี ปชว่ ยในการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลต่อไป

ัช์กัฟ่ิพัช์กัฟ

แบบฝกึ หดั

×✓

×✓

✓✓

✗✓

✓✓
✓✗

✗✓

✓✗

✓×

✓✓

a >า ร o< a < า

✓×

✓✓

✓✗

✗✗

✗✓

✗✓

a มาก ก า < เม / C มาก ก า

ก าง ลด แคบ

b< a < d < c

4. ถา้ ( ) = 2− และ ( ) = 3 แล้ว จงหาค่า

1. (2) = 2 = g 2. (3) = 33 = 27

2-

11

3. (0) + (0) = 2

4. (4) − (4) = 81 - 1 80
=,
แ
3
{5. (1) ∙ (1) = ✗3 =
2

6. (3) = ÷9 §= × #=
(2)

7. ( ๐ )(1) = f ( 9 " " = f (3) =

fcgcCf 0g ) ( ✗ ) = ×,,

8. ( ๐ )(1) = g Cfc 1) ) = 9 C { ) = โ3

่ํรุง่ํงู๋ญ้ว่ว่ิพ่ว

5. จงหาเซตคาตอบของสมการหรืออสมการต่อไปน้ี

1. 10 = 100 { 2} 2. 3 = 1 { }-3
27
i. ✗ =
× = 102 × 3- 3 -3

10 3 =

i. ✗ = 2

3. 16 = 4 4. (21) = 16 { }i-

2✗ = 2- × "
=
y 2

{i. ✗ =

i. ✗ = -1L

5. 4− = 1 { 3} 6. (21)2 = 64 { -3 }
64

¥ %= [2 × = 26
4

i. ✗ =3 i. ✗ = -3

7. (32) = 81 8. 5 ≤ 125 f เ ม
*64

"" '' s '

(E) = (E) s s

" i. × = 3

( ง ) (=

i. ✗ = -4 { 3}

{ -4 }

×
%)9. ( ) < 641
- i
27 (35)
2 f ลด → ก บ เค องหมาย 10. 125 < ≤ 1 fเม
53
4

g- 2 ✗ < 43 1 ÷% 1 % isi

-2X 73

{× < - " °

{÷} ( :) × s 1 ;)

< ( ;)

3- < ✗ s o

( -3,0 ]

่ิพ่ืรัลุ๋วุ่ง่ิพ่ง

" "

y =a y =a

2 "

9 =a 1 =a

a =3 5

a= 5

•

,

yi. = ✗ ×
3
yi = 5

× "
8 = a- 3
y= a
as1
I 2
= 2
a
16 ✗

a =I (E)yi. =

4

yyy

ย๋

Mk ก จ
. .
/ g.
ค
.
ข
.

y= × /

5= a

"

a

a= 1

5

ะ'

สมการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชียล
1. สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

2 ( ✗ t 2) = 23C ✗ - 2)

2

2✗ + 4 = 3✗ - 6
10 =✗

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ

{ g-5 + 2 ✗ 7✗ = 20

2 = §✗ s 2

¥ 22 l -5 t 2 ✗ )

2 =

§ = -10 + 4 ✗

✗ = -20 t 8 ✗

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ 22x 1 17(2x) 8 0

✗ " 17 " ) t8 =° × = 1g = 2-1

2 . 2 - 12 2

ง2 • 12 ✗ - 17 C 2 × ) +8 ะ O

✗= -1

ใ" 2✗ 3
a ะ2
8 2= =

2 t8 =O

29 s 17 a ✗ =3

C 2a - 1) Ca - 8) = 0

1ga s ,8

ห้

แบบฝึ กหดั
1. ถา้ 4 − = 128 และ 32 + = 81 แลว้ คา่ ของ เทา่ กบั เทา่ ใด

2L ✗ - y 7 27= 128 =
2

2 × -2 y = 7 ①

ิ

32 × + 4 81 = 3

=

2✗ + y ②4= -

① ②- ; -3 y =3

#y าs -

2. ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ โดยท่ี a › 0 และ b › 1 ถา้ ab ba และ b ab3a

แลว้ 20a + 14b เทา่ กบั เทา่ ใด

ab = ba จาก ab = ba
b{
b" {b s J=
a=
b b b" " b ว= 2
a; =.
แทน

b b"" b2
=
b =ง

เ = 4 a- 1 b 2. ง b = 0

8a =2 bcb - 4) ะ0

Ia s #b = ง

2

i. 20 a + 14 b (E)= 2 o t 14 (4)

= 10 + 56

④s
*

คำ

3. จงแกส้ มการ 2 +2 = 5 − 1

(22)

4 2• E)× t1 =0 Hi✗
- 5 (2 =
2
ใ¥
2 ะa × = (2-2) 2 "
:[[ 2 = ci
2 =2

✗ = -4

× 2
=a
2

✗ = 12 °

4 - 5a + 1 = O 2 =2

( ร a - 1) ( a- 1) =O ✗ =O

a = 1,1

4

4. จงแกส้ มการ 5 −3 + 52− = 6 p
5
④

5-3✗ + 52 • 5- × E= ×

5• 5 5

= 25

" ณ ตลอด

นา 5. 5

× 522 + 52 × ✗ะ 2

l 5 ) - = 6๑ 5

า 52 ณ ตลอด ✗ 125

5 =

ง( ✗ t 3 1 25 = 150 o ✗

5 5

✗s 3

ใ 5× =a "

; a - 150 G t 3 1 25 = 0

(a - 2 5) (9 125) =0

-

9 = 25,125

้หูค่นุค้ผ้ห

5. จงแกส้ มการ 23 +1 − 17(22 ) + 2 +3 = 0

" 3 2× " { "

2 × + 8. 2 2 =2

2
( ) ( )2 17 =o =

-

2. ( 2 × - 17 ( 2 " ) t8 =0 ✗= -1

ใ เ น× 23×
2a
2
8= =

292 - 17 a + 8 =0

(2a 1) ( a 8) =° ✗ 3=

- -

1ga = 8

,

6.

{ 2)( ✗ = - ง

0

323 • × - zgq ( a = q✗ g

+ 81 =☐

<1 1 1 17
z4
|- -1
"
{ 39 t 81 - 244 =0
=3
a-

✗ =

9

3 - 244 a +81 =O

2✗ = -1 ( 3 a - 1) Ca - 8 1) =0

✗ ะ -1 §a = 81

2 ,

× = 81 2

9 q=

✗ =2

้หุ่ง๋ัก็ป้หุ้ว

2. อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

✗ ± 2M f
_ ลด
1. ( 2 1)x (3 2 2)x 2

nnnrnnnn

""

Ty( ร (" )

2 - 1) s
2+า - 2

" × +2

p ][( ร2
- 1) s เรา ,.

✗ 3 2✗ + 4

×- >, 4

× s -4

#

9x 8
2. 22 x 1 81

32 ✗ 8 Aแร C- 2 , น)
> .
2. 22×
81 _
"
§>
E)
> HI
1
"
1 ;) "
> (E)

2✗ > y-
✗ > 2-

ห๋ื

3. -s×-
4.
f (µ
ลด
0

2-i. 5 ✗ 23 ✗ t 3 C ✗- 5-

5✗ 2 - 22 ✗ t 8 < O

( 5 ✗ - 2) ( ✗ - 4) < O

+ o - o
+
< | >
2 ,

5 4

0

32C ✗ + 5) ( 5)q_
3. 3 ✗ t t 27 S 0

ใ a ะ 3×+5 - 12 a t 27

sO

(9 - 9) (a - 3) 5 O

×t5 =q = 32 ✗ t5 =

3 3

✗ t5 = -3 ✗ t5 = 1

3✗
=- ✗ = -4

+ • - •
< |
+
y-
|>

3-

[ -4 -3 ]
,

ห่ง้ห้

ฟงั กช์ ันลอการทิ ึม (Logarithmic function)

ฟังกช์ นั ลอการทิ ึมจะเป็นผกผนั (inverse) ของฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล จากนิยามของฟังก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชยี ลคอื

เน่ืองจากฟงั กช์ นั ลอการิทมึ เป็นผกผนั ของฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชียล จงึ ได้นิยามของฟงั ก์ชันลอการทิ ึมคือ

แต่เนือ่ งจากการเขยี นเง่ือนไข ไม่นิยมเขยี นจงึ มีขอ้ ตกลงกนั ว่า กาหนดให้

อ่านวา่ วายเท่ากบั ล็อกเอ็กซ์ฐานเอ

ดงั นน้ั เราจงึ ได้ นิยามของฟังกช์ นั ลอการิทมึ คือ

กราฟของฟังกช์ ันลอการิทมึ โ

"

✗ a=

จะผา่ นจดุ (1,0) เสมอ ดังรปู

Expo Expo ,

• log

•

nnrnnr

fเ ม

ขอ้ สงั เกต จากกราฟ และ จะผ่านจดุ เสมอเพราะว่า
1. กราฟของฟังกช์ ัน เป็นฟงั ก์ชันเพมิ่
2. ถา้ แลว้
เปน็ ฟังกช์ นั ลด
ถ้า แล้ว

ญ่ิพำฺ

3. ฟงั กช์ นั ลอการิทึมเปน็ ฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปถงึ
4. โดยอาศยั สมบัตขิ องฟังก์ชัน 1-1 จะไดว้ ่า

=

5. เนือ่ งจาก กต็ อ่ เมอื่ กต็ อ่ เม่อื

เมื่อเราแทน ด้วย ในสมการหลังจะได้ 2109 25 = 5

เม่อื เราแทน ด้วย ในสมการแรกจะได้
เราจงึ มสี มบัติของลอการทิ ึมเพ่ือใชง้ านคือ

| 0933 = 1

๐7 109aำ y=

yl 1) yะ

10g z 8 = logz 23

"

§= 31

=3

า

_

_

เป ยนฐาน log logga = / 09 a
1°9 b

**

ล่ี

loga✗ = a 7 ×
← y=

แบบฝึกหดั

/ 0g ุ 16 =2

1 09 9 2= -

1 09 แ 8 {=

10g % 10,000 ะ -2

× -3

yก 64 ะ (g)

ะ 3327 =

2

-

4 = (1)

°

1 = 10

งุ่

3. จงหาค่าของลอการทิ ึมโดยใช้สมบตั ิ

=1

= logi }=

ะ0

s log { {=

=✗

= log =5

= log งง÷= {-

/" §=

9= °
,
③,

= /0g 3 ( logz 23) = 10g 33 ะ 1

32

= log ( log , Clogz 29) r = / og 22 =า
,
= logz 109,9

4.

= / og 3 + log 226

=2 + 6 8=

5. ุงโoุไไงงf_ggร| 1ฐาน 10 ไ ยมเ ยน)

Clog= ( logz 23) log log" " - 256
เออ
33 ) t

f |= (3) (4) + / og "
4 ออ

256

= 12 + log 108

= 12 t 8

#= 20

ีขิน่ม้ว๋ํภ์ิบ์ร่ัง

6. pnX-rypmt-n.gs/og,Y'
]- = log =2

T✗ntา rztcy

7.

l |= log า f | |= log
⑦✗ 28 × 325
I 91

= logifo log= 10 = 1

8.

llogz " ) llogs )" - ( log 3 3 32 ) ( logi 32) + ( logp 3) logi 22

2 5

+

( ) ( ง ) §= (4)1-2) -
C-3) t +

= -8 t 2 t 1 = -5

9. 0 /logioนกาอโงน log= ราย =- logi

mn

ป 2 + 1° 9 " /= เ 0เอา " = 10 F = 20

= เอ . ° 9 เอ #

10.

log= " = 10g zl 5- 1) logz= 4 = 2

, ( 5 t log 22 )

1

93 5 lo g3 5 / 0g a 1

11. จงหาค่าของ b =

logab

จารณา 1 = / ° 9s 3

/ °935

51 3 =3

i. ° 9 s

3

(F) =3

ิพ้อุ่ง้ข้ํว

12.

logz 30 + logz ( %) 2- logz ( ญื๋ ) ' + 1092 ( ÷ )

ะ | |5g30 × × 1

✗

ะ = / 0g z 8 =3

%÷ ¥× ×

13. 3

log { log }2 4
ุ
[ 2409 ]1 t 1

}
2s 2

log { 2 log 33 }
ุ

09g/ 2 ะ / og 2 I=

ๆ 2 2

14.

1g ☒ #" '° เ-อง ะ แ|
.
. .. .

% lotilox ,

= / 0g แ 2 = / 0g i 2 Ls

15. 4

logba = 2 logabd s loga b + logad

1 =2 #ะ + 3

logab

i. logab {= {= { µ )= 3 logs 256 glogs นาโน

=

b

16. logz 5 "95 ตน logzq 1°9g 32 #i. 2 + 4 5- 1=
" "
109 zl 092 { Es 3 " s2 /→
° 9 2 32
÷ / 0g cแ-ก
10 9 24 , 5=

=2 =4

ุ๊ฉ๋ิญ๋ํญ

17.

/ ogdabc = logaa + logdb + 109 d C loga C = ำน ะ น

g jอ 1091= logcd #i. = 75
อ+ + dc
5 O

/0g dc I= _ ]ง
-

1 5 30 50

= 10 5- 3-
150

18.

เป ยนฐาน

35× 2 33 i. # ## #y =
2✗ / 0g > log 8

3. = . i. '

log 2 1/0 93 #

2 =3 23

2 ✗ t 5✗ = 1098 g
_
2 =0 / 0g 2 = 109 28

2 ✗ t 5 ✗ -3

(2 × -1) ( ✗ t 3) = O Y ะ3

{ ☒× = , ( { j" ะ #

i. ✗ =

19.

0

97✗ = < 109Y> = ✗ ya2 ✗ =

a

ya2 ✗ / 2× 9

ะ 2 ✗ = ( logz b)
<> ogyG
ะ

log27 b y= b {✗ = "
<> =
( Iog , b)
2

ง่ัร่ีลุ

20.

4 64

0

ำ zlogzb = 2 logzb -4 3' ำ + /29.109 zb ะ 2" .ly/zbt4log,b

2. 2 _ 2

" logzb = logz b- 2 logzb" 4

2_ 3. 2 =

29 + 2 = 2 | 0g 2 b "log µ3.
= 2C 2
2

แทน a ; 4 t2 ะ 2 10 92 b 3. 29 ำ t 2)

= 2C 2

3 s logzb ำ ะ4

2

b s8 a ะ2

คำ

0

32 ✗ " ✗ " ✗ b✗
t3 - 2. 2 a=3 =2
.2 =0
,

( (3 ✗ ) 2 t ✗ ✗2
✗ 2 2- s O ab" zb "
3๑ 2)
a+ -

( × t ✗ ✗✗ s0 ( at 2 b) ( a- b)
3
2. 2 ) ( 3 2- )

✗ × ✗ ✗ =O

3 +2 o2 3 2-

=O

3✗ ✗
=z

า ④ห คม ค ( )เสมอ
.

i. ✗ =☐

✗

f(E)° s 1 " f-

s ( ;)

0 }✗ ] -1

H 1)3);) 1(E)" " so
-
-

° _ •

(1 s " + +

) s: | 1

า 3

E

คุ้งุ้ง่

แบบฝึ กทกั ษะ เร่ืองสมบัตขิ องลอการิทมึ

คำสงั่ จงแสดงวิธีทำ

1. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log6 3 8 7 2 58 log6 3 8 7 2 58
log2 (log 3125) log2 (log 5)

ไ/ 0g6 ( 8 า - 2 ง ) ( 852 t 2 T)

วาง 216 = 63 i. 1

log 63✓ 448 - 232 / 09,5

/ 096 6 = 1 = / °9s 2 #

| |/ 0g z/ °93125

logs

| 0g 2 l / 09g 312 5)

109,5

2. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 7 3 73 4 log 5 2 3 3 77 5400
4
23

ดป รา น- ✗ F + ร3 ปด 77 t านอ
F +☐
g = so t 27 t 2 50 × 27

= 7/ง " 2
% ร> + ร3)
= ( ร> + ร3) ะ CTsot.TT> )

2

:( 5 ร2 t 3 ร2)

i 109 " 552 -3 ร3 552 + 353
,+
( ร> + ร3) ☐ ×

< _50-2 ๆ

ไ" =

ณ25 ร2 t 3 3 ~3C 5 ร2 t 3 ร3)

ะ -1

+3 5) (57 2 = -8

+ 353)

ตฐ C- 1) t C- 8) = -9
#

ูค้ขูรัจูรัจ้ข้ข

3. จงหาค่าสาเรจ็ ของ A= 729 log 138 จงหาค่า log3 A

2 1 log 0.0529 1 log 216
2 3

10g log| 0g 100 t t 3ร 6
ป 0.0529

| 0g (100 × 0.23 × 6)

log 138

/A = 7291091386
1~อgเ 38

/ 09 C 729)

3 "

{ log , > =3

4. จงหาค่าสาเรจ็ ของ # log3 972
log4 3
log3 12
log324 3

109 10g|09,12 '
3 24 - 10g9 72 . 34

3 3

( log 33 t 109,4 ) ( 10g 3 324) - (109,3 + 109,324) Clog 4)
3

109,324 t 10g }4.10/9,324 /- 10934 - 109,3" 109,4

log [ ญื ] = 109,81
,
#= = 4

๋ํก๋ีห่ัว้ห

๖ ๚5. จงหาค่าสาเรจ็ ของ
log16 216 log36108 log81 324
2 log2 9 2 log6 3 o1 log3 6

3 10g 18 { 1°9 10 8 /{ log เอ 8
3 6 ,
g logz 6
µµ
, =

/ 09 36 {= 10 9 66" tlogi /109 เ เอง

2

l3ogg.io/2logz6 { {+ + s 3 +4 + 6 ¥ #.
/ 8
.

{= × =

6. ถา้ logxy x 2 จงหาค่า logxy 4 y logxy 5 x3y2 log xy 3 y
3 x

log {xy = " i. ÷
×
×
/ ๆ"%
log ✗ t log × y = { า×} !
✗
y

1 %°% y . , logxy y ° ×- Hs )= log 7 + logyy ×
. ×y

109 {y = = % 1 :) %)1 ;)
×

10g × ะ 2
y

109 y✗ logy ✗ + logyy % fgs s 21-112
y -
180
ะ

= 2t 1 ilogxyy s }

±3

๋ิบ๋ัษ๋ัว่ํง๋ังู๋งุ๋ง๋ํย่ร

7. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 128log3 2 7 25 12 3
4 log5 8 4 log7 8

2ำ 0g µ ำ25 " log 85

g g

Fs

Y " 23 g 31 09 87
2 b 23

g 4 1 09 z 5 q 10g 27

3 109 25 3 28 log 25 8 21 ° 9 7 = 72
=g 2ะ
22 = 25

15,625 390,6 2 5 49

+ _

15,625 t 390,625 - 49 = 406,207

#

8. กาหนดให้ logxyz x 2 , logxyz xy 3 log xyz x3y2
3 4 จงหาค่า z4

/ °9 9m+ 1 ° 3 / °9
× yz
= ×yz
log xyzzจาก
y y XYZ = 109✗+ Y×yz + 1°9

× yz

3 + 1 ° 9 ×yz Y 3s }1 - +I t 1 ° 9 xyz 2
4 =
- แ

3

i. 109 ×yz Y 2sะ t i. 10g 2 } #= 1 + -

1] xyz

= = 18 t 8 - 17
12
12
1

.
.

4

310g 210g 1i.
×t 4-
22Y 9 ๆ×yz °

×yz ×

( %) (f)%)✗ + × - ±s + 1-
ะ-

6

%=
*

ง้ังุ่

9. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 1 3 4096 log3{1621 log100 (1 log2 512)}
64

/ 09 C1 t log 251 2)
แ

|°9 l 7 t 9) {= logy ไป 4096 ✗ 4

64

เออ

/ ° 9 j} (4096 × 4)

log ( + ;) log i = I-
. ุ
9#

109,81 = Y

10. กาหนดให้ loga x 3 , log b x 3 , logc x 3 , logd x 3
2 4 5 8

จงหาค่า logx abcd logabc x

log { loga ะ b= log c = . 10g d ะ }
✗ ×
s ,
✗
✗

log abcd = log a + logxb + log c + 109 d
✗ ×

✗×

=t +t I=

3

/ °9 abc ✗ ' 1

: .
.
logxabc
109 a + logp +109 c
× ×

1 ÷s

=

§+ +

% #i. + = 2 °9 t 9 งงs 2 #

33 ๆ

ุ๋รุ๋งุ๋งุ๋รุ๋งุ่งุ๋รุ๋งุ่พุ๋ล่ัง

641 log4 5 81 log2 5
11. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 271 log3 5 216 log6 5

10g64 ' 64 " logz " 27127 - " 276 "°9 6 5
5
5 8. 8 °9 35 6- 31°9 6 5

ุ g- 3

64 3109,51 8 - 2 " ° 9,5" 2 ๆ . 33 109,5"

y.

64 5-3 8 - 5-3 2 7. 5- 3

-

/= (64 + 8) = #=

5/3 12> t 1)

2

12. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 41 log16 25 81log2 27

271 log3 2

g 1.gl 09 แ 25 ' 21 °92,2 2 271 ° 932

4 i g ง 109,25 3 10g 2,28 .

%

27 . 3 " °932

4 5' ง / 0g 28 27 × 8

3

}

= 20 ำง(= 2 216

iโ= 4 = b. 35

i. 20 t 6. 35 = 0.1 2
2 16
✗/วง

ิก่วืวุ๋ส๋ํล์ิร

ลอการิทึมสามัญ(Common Logarithm)

10g 0.1 = log เ = -1

10g logอ01 = 1 = -1
.

i. log "เอ n.

.

"

| 0g 1.21 น ตน . z

"ศ

cyr

0 -

ิบ่ย้ัอ่ิอ



ตัวอย่าง 1 จงหาค่าลอการทิ มึ ตอ่ ไปนี้

1. log 5760 = 10g 3)l 5.76 ✗ 10 2. log 0.00648 = /0g l 6.48 ✗ 1 )

log/ 0g= เอง = / 0g 6.48 t log เอง
5.76 t

= 0.764 + 3 = 0 8 1 16 t C- 3)
= 3. ๆ 6g .

/ 09 5 76 0 # 2= - _ 1 8 84

ตัวอยา่ ง 2 กาหนดให้ log N = 3.7566 จงหาคา่ N

| 0g N = 3. 7 5 66 log 10gN = 57 10

= G. 7 5 66 t 3 i. N ะ 5 7 10

= / 0g 5.77 t 10g 103

= / 0g (5.71 × 103)

ตวั อย่าง 3 กาหนดให้ log N = -0.5918 จงหาค่า N

10g N = - 0.5918 log N = 10g 0.256

= 0.4082 + C- 1) i. N ะ 0.256

= / 0g 2.56 t 10g 1

/ 0g " )
= l 2.56 × 10

อ่ิอ่ํ

10g/ 09 36.2 ะ (3.672 × 103)

= log 3.62 ✗ log เอา

= 0 5 5 87 t1
.

= 1. 5 5 87

| 0gวง 3 6. 2 = 1. 5 5 87

✗ ะ antilog A log × s A

f antilog 2 = ✗

| olog ✗ 10g ✗ ะ 2
log เอา ะ 2

จงหาคา่ ของ

= 10 ่ = 10

= เอ " เองs . ราน = 1 o Fo
.

2 t 10g 3 10 1 °9 เอง

= 10 r

102 931°

.

. + เอ

s 100 ✗ 3 = 300

#

= เ อ log9 3 + s

01 log= | อ93 ✗ µ 5

= 3 ×5

s 15
#

5)

Ahtilog ✗ = A 10g l 44.2 ✗ 1 ) ะ 2. 6 4 54

log A log 10g44.2 t 1 s 2. 6 4 54

ะ✗

10g 44,2 = 2. 6 4 54 1-

| 0g 442 = 2.6 4 54

= 1. 6 4 54

#

อ่อ่ย่

6)

ด ป logzst - log เรา + log → 133 ะ 32

log 5 - logt + log 9

10 91 ¥ | (E)"9.

.

i. antilogllog (E) ) ะ #

7) จงหาแอนตลิ อการทิ มึ ของจานวนจริงในขอ้ ต่อไปน้ี
1. log 8 + log 2 – log 4
2. 2log x + log y – 3log z

วธิ ีทำ

② ดป log " logy log '
×+
ด ป log 8 + 10g 2- log 4 2-

)( ÷109 ง × ะ log ง เอง ( ¥× 1

( 1091 ¥ ) ¥" "" "°9
i. antilogclogn g. ) #× ×
.
. .

#

ูรัจ⃝?ูรัจ๋ังุ๋ษ๋ํหูรัจ

ลอกำริทึมธรรมชำติ (Natural Logarithm)

นอกจากลอการิทึมสามัญทีเ่ ป็นท่ีรูจ้ ักแลว้ ยงั มีลอการทิ มึ อีกฐานหน่ึงทมี่ ที ใ่ี ช้และมีประโยชน์

มากตอ่ การศึกษาในระดบั สูง โดยเฉพาะดา้ นสาขาวทิ ยาศาสตร์ คอื ลอการิทมึ ทีม่ ีฐานเท่ากบั

e (จานวนตรรกยะมีคา่ ประมาณ 2.71828)

เรยี กลอการิทึมฐาน e นี้ว่า ลอการิทึมธรรมชาติ หรอื ลอการทิ มึ แบบเนเปียร์(Napierian

logarithm) ในการเขียนลอการทิ มึ ฐาน e นยิ มเขยี น ln x แทน logex

ตวั อย่ำง (1) ln e = 10g ee = เ

(2) ln 1 = 10g logeeะ -1 1= -
e e

(3) ln e2 = 2

(4) ln e= 1

2

การหาค่า ln x เม่อื x เป็นจานวนจรงิ บวก หาได้โดยอาศยั ลอการิทึมสามญั ดงั น้ี

ln x = logex 109 2.7 1 ะ 0.4330
= log x
10g 2.7 18 ะ✗
log e → เป ยนเ น ฐาน เอ

log/ Oq e ะ 27 18 = log x 10g 2.72 .. อ 4 3 46
log 2.718 .

s 0.4 343 # = log x

0.4343 *

= 2.3026 log x

ดงั นั้น ln x = log x = 2.3026 log x

0.4343

ตัวอยำ่ ง จงหาคา่ ของ ln 728 ตัวอยำ่ ง จงหาคา่ ของ loge 0.163
วธิ ีทำ ln 728 = 1°9 e 728
วธิ ที ำ loge 0.163 = /° 9 e 0.163

09= / 7 28 0g|ะ 0.163

loge loge

0.2122 ไทย

= | 0g (7.28 × 102) = log 1.63 t C- 1)

loge 0.4343

| 0g= = - 0.7878
7.28 t 2 O 4 3 43
0.4343
.

ะ - 1.81

s O . 8 6 21 t 2
0.4343

- 1. 59
-

ย็ป่ีล่ั

1. 2. 0

22

093/ 2 = / 0g 36 ✗ { logzl 3- ✗ ) = / 0g 212 ✗ )
C ✗ t 8)

2 = 6✗ /0g 2 F-✗ ะ 109,12 ✗ )

✗ +8

✗ 2- 6 ✗ t 8 =O 2 2

( ราก ) = (2✗ )

2)4)C ✗ -
( ✗- =O 2

✗ = 2,4 3- ✗ = 4✗
#
4✗ 2- ✗ +3 s0

( 4 ✗ - 3) ( ✗ - 1) =O

#✗ 3
=
_
ุ#

3. 4.

093109/ , ( ✗ t 1) ° = 1 1092 ✗ ง /0g ✗ = 1 [ 92 = 1 ]
2
=2

/ 0g ุ C ✗ + 1) = s3

1092C 2 1=

✗)

✗ t1 3 logzi.

y=

✗= ±1

✗ t1 = 64

#✗ = 63 log ✗ 1= | {logz × = -1
,

21✗ = ✗ 2= " #

#= 2 ะ

ว่

5. 6.

/ 0g ba s 1 1 ° 93 × 1 §= 921 ° l -3 ✗ ) = / 0g 22 t log Cz ✓ 1- 2
+
0logab ✗2)
log ×
, 109,1 - 3×7 = log 2
2C 1- ✗ )
,

loga = 3 ✗; อa + =

-3✗ 2)= 2 ( 1- ✗

39 ณตลอด j 3 a2 + 3 = 10 a 2 ✗2- 3 ✗

2- O-

392 - 109 t 3 ( 2 ✗ t 1)( ✗ - 2) =O

=0

{ #✗
ะ-

(39 - 1) la - 3) =0

§a = 3

,

/ ° 93 ✗ 1= | /°93 ✗ =}

3

✗ =3 ✗ = 27

7.

/ og 31/ 0g2 Cx - 1) - 3 ✗ - 1) =1 ( ( g)2 2

✓ ✗ + 1) =
3 ✓2- ×-

logix - - / ogg ix. 1) 3 s 1

☒ + 1 = 4- 4 รIT ☒ 1+ -

mitw[log③ [✗ - -2 ะ -4 ix.li

2 s (-25×-51) 2

1 31 3= = [ 1)
✗ 1-
1 s 4 ( ✗ - 1)

3 ✗ 3- s1 1 44 ✗s -

× = O 4 5✗=
-

±✗ =

4

{AUB ะ } ( § )"× =5

, ตอบ #

๋ัญุ๋งุงุ้ง้ท้ทุคุ๋ร

8.

✗

109 log2- ✗ =4 " "" - 9. ( 2 ) "
2 2
+ 2 0=
1092 (
2

22 2h✗ 9 2- ✗ sO
.
) 4ะ i t2

(E)4. 2" sO

9- 2- t2

( ¥ำ ) ะ 24 = 16 (4.2×-1) (2 × -2)

=0

% =4 2✗ 2- 2 × 2=

✗ = 2

y = 4✗ =

=\/✗ -2 ¥✗ =

า ห ง log วย

f ลด

-

งง

""
=1. 1

logจารณา ห ง

log ]{ l / og , ( ✗ + 1) > log ; 2 / 093 C ✗ + 1) >O

310g C ✗ t 1) ( 2 ✗ +1 > ° 1=

3

✗ +1 ( 32 ✗ >0

✗ <8 o >
< 0
✗ = CO 8)
1 1 ,
#i.
0 8

ัลิพ้ดัล่คูด่ัง๋ืฏ่ังุ้ห

2. ☐ ☐

logllogx.ca - log ×ำ ] 7 log × = 5-
9o ะ
%
log × C 9- log ✗ ำ 71 ✗ =µ

lloglog9 2✗ - 2 7 10 log ✗ ะ 2

✗) ✗ s 102

1- ณ i log2 ( 2- 9 / og ✗ +10 S0

✗) ••

G t - t ,
<
| ,
2 - qa t 10 O
O เ %

เอ

(29 - 5) ( a- 2) G b a

[ ' % ]

เอ เอ

,

i. ab า= เอ" . %
.
. เอ #

3.

log| 0g oo
× < /0g 39 t (1 + 2×+2) t- t

( 4 t 13 7) } ,,

, 25

/ 09/310 × < / [ 9 • (1+2×+2) ]
3g
l 4 + 13 7)

( % 22×
2
✗ @ต C 2 , 5)

+ 137 < 9 t 9 •2 •

2-" × <0

(2 ) 36.2 t 128

✗ 4) ( 2 ✗ 3 2) C0

(2 -

-

× |" 32
2
24 =

✗ =2 ✗ 5=

้อ้อ้หูค่อ

5.

×

จาก C 2- B) ( 2 + ร3) ะ1 ✗ 2- 2 ✗ -16 > -1

2- า 1 2-✗ 2 ✗ - 15 > O

☐2 - s ( ✗ + 3) ( ✗ - 5) >0

2 +☐

"

= (2 + 53)

" C0 ←>
t
12 + ร3) +
logz log-2×-1 6) < (2+53) - 1
1 5
2
3-

1 1

log/C- × 2 +2 ✗ t 1 6) /< / 09 2 12 + 53)
( 2 + ร3) C- cs 3) UC s 8)
,
, ,

×- 2 t 2✗ t 16 <1

PAT 1 ปี 2563

0

☐

1092 " (2 ✗ ) ' °9 × _ ylog 8) อ{ 1092 × → log ร✗ ba = -3 ba s 2
C2 2
t
=2
log ✗ ะ -310g 2
b log ✗ ะ 2 /og 2

ร×. log log✗ = " log ✗ = log 4

. 2

/ร✗ 12 × , ' ° 9 ✗ °98 /= "

2+ _ ✗s2 อ. ✗ 4=
.

2 ✗ 1°9 ✗ = y / 0g 8 #i. ✗ A 1g

=

/0g/ 12 ✗ ° 9✗ = / og ( ylog 8)

10g loglogl✗ . 8 • / 094 //ะ 0.5
2✗ ) = วง
_
310g23~) 1092 นาคคง
10g ✗ . [ log 2 log ะ2 • 210g 2

tlog ✗ ]

110g log2 ✗ s 3 10 92 i 2 / og 2
log✗ ) t 2.

log log110g ✗ า t log2 2<
log2. ✗ 3- 2 0=

ab b 06+ - = b)la +3 b)( a- 2 ะ0

้ห๋ิภ่ง้ห้ข