Modul Kbm MTK Peminatan Kelas X

MODUL KBM PLUS
1

MODUL KBM PLUS

Sekolah : SMA Unggul Negeri 3 Palembang

Mata pelajaran : Matematika (Peminatan)

Materi Pokok : Vektor

Kelas/Semester : X/ 2

Alokasi Waktu : 14 × 60 menit (14 pertemuan)

KOMPETENSI INTI
KI3: Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan

faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis,
spesifik, detil, dan kompleks berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan
kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab
fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan pada bidang kajian
yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan
masalah
KI4: Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif,
kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif
dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan dari yang
dipelajarinya di sekolah, serta mampu menggunakan metoda sesuai dengan
kaidah keilmuan.

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR
A. Kompetensi Dasar

3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor
dalam ruang berdimendi dua (bidang) dan berdimensi tiga

B. Indikator
1. Menentukan solusi dari masalah kontekstual yang berkaitan dari kesamaan
vektor
2. Menerapkan konsep-konsep operasi dua vektor dalam menyelesaikan masalah
3. Menentukan penyelesaian dari permasalahan operasi aljabar vektor
4. Menerapkan konsep-konsep vektor dalam ruang dimensi tiga
5. Menngoprasikan perkalian skalar dua vektor
6. Menerapkan konsep proyeksi ortogonal suatu vektor

2

PERTEMUAN 1

MATERI : Operasi Vektor
A. Perkalian Vektor
Sifat – sifat perkalian vektor dengan skalar:
1. (− ⃗ ) = −( ⃗ ) = − ⃗
2. ( ⃗ ) = ( ) ⃗ = ( ⃗ ⃗ ⃗⃗)⃗
3. ( ± ) ⃗ = ⃗ ± ⃗
B. Penjumlahan Vektor

.

A+B=?
Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan.
Jadi A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B.
C. Selisih Vektor
Jika ⃗⃗ + = ⃗ maka:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =

D. Vektor Posisi
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗

Soal Latihan
Pilihan ganda (model soal UN atau tes PTN)
1. Jika ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut sebuah

jajar genjang PQRS dengan PQ sejajar SR , maka ⃗ =.....
A. − ⃗ + ⃗ + ⃗
B. − ⃗ − ⃗ + ⃗
C. ⃗ + ⃗ + ⃗
D. ⃗ − ⃗ − ⃗
E. ⃗ − ⃗ + ⃗

3

2. Diketahui persegi panjang OABC dan titik D merupakan titik tengah OA, CD

memotong AB di P. Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ , maka ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dapat dinyatakan

sebagai.....

A. 1 ( ⃗ + ⃗⃗ )

2

B. 1 ( ⃗ + ⃗⃗ )

3

C. 2 ⃗ + 1 ⃗⃗
3
3

D. 1 ⃗ + 2 ⃗⃗
3
3

E. 1 ⃗ + 2 ⃗⃗

2 3

3. Bentuk sederhana dari

{4 ⃗ -(3 ⃗⃗ + 4 ⃗ } − {2 ⃗ + (− ⃗⃗ + ⃗ )} adalah...

A. 2 ⃗ + 2 ⃗⃗ + 5 ⃗

B. 2 ⃗ - 2 ⃗⃗ + 5 ⃗

C. 2 ⃗ + 2 ⃗⃗ - 5 ⃗

D. 2 ⃗ - 2 ⃗⃗ - 5 ⃗

E. 2 ⃗ - 5 ⃗⃗ + 5 ⃗

4. Jika 2 ⃗ + 2 ⃗ = 2 ⃗⃗ − ( ⃗ + 2 ⃗ ), maka |3 ⃗ + 4 ⃗ | sama dengan.....

A. 2| ⃗ |

B. 2| ⃗⃗ |

C. 3| ⃗ |

D. 2| ⃗ |

E. 0

5. Jika titik P, Q, dan R berurut-tutut titik tengah BC, CA, dan AB dari segitiga

ABC serta ⃗ , ⃗⃗ , ⃗ merupakan vektor posisi dari titik A,B,C maka ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ +

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =.....

A. ⃗

B. ⃗⃗

C. ⃗

D. ⃗⃗

E. ⃗ + ⃗

4

Soal Essay
1. Pada persegi panjang ABCD, P dan Q merupakan titik tengah dari AB dan DC.

Jika ABCD merupakan suatu persegi, bukikan bahwa ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ adalah
pernyatan yang benar
2. Pada gambar dibawah, terlihat persegi ABCD. P dan Q titik tengah DC dan
BC.

Buktikan bahwa:

a. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 1 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

2

b. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 1 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

2

3. Diketahui belah ketupat ABCD berikut:

Diagonal-diagonalnya berpotonan di X, jika ˂ABC = 1200, AB = ⃗⃗ dan ⃗

carilah 1 ( ⃗⃗ − ⃗ )
2

5

PERTEMUAN 2

MATERI : Vektor Posisis dan Titik-titik Segaris
A. Vektor Posisi
Perhatikan gambar disamping. Titik P membagi
garis AB dalam rasio m:n, Misalkan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
⃗⃗ , dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ . ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dalam vektor posisi
yaitu:
⃗ + ⃗⃗
⃗ = +
Jika P merupakan titik tengah AB dan m = n, maka
vektor posisi dari ⃗ ditentukan oleh:
1
⃗ = 2 ( ⃗ + )
B. Titik-titik Segaris (kolinear) secara vektor
Tiga buah titik A,B, dan C segaris jika dan hanya jika:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ atau ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ atau ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Dengan k bilangan real tidak nol

SOAL
Pilihan Ganda (Model UN dan Seleksi PTN)
1. Diberikan vektor posisi ⃗ = − ⃗ + 5 ⃗⃗ + 4 ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ − ⃗⃗ − 2 ⃗ , dan ⃗ = 3 ⃗ +

⃗⃗ + ⃗ dari titik P, Q, dan R terhadap titik awal O. Jika titik P,Q, dan R
segaris, maka nilai m dan n berturut-tutut adalah...
A. -3 dan -4
B. -1 dan -4
C. -3 dan 0
D. -1 dan 0
E. 3 dan 0
2. Diketahui ABCD sebuah jajargenjang. Apabila ⃗ , ⃗⃗ , dan ⃗ masing-masing
merupakan vektor posisi dari titik-titik A, B dan C, maka vektor posisi tititk
E yang terletak di tengah-tengah AD adalah...

6

A. ⃗ − 1 ⃗⃗ + 1

22

B. 1 ⃗ − ⃗⃗ + 1

22

C. ⃗ + 1 ⃗⃗ − 1

22

D. ⃗ − 1 ⃗⃗ − 1

22

E. 1 ⃗ + ⃗⃗ − 1

22

3. Perhatika gambar dibawah ini:

CD : DB = 3 : 5, AE : EB = 4 : 1. Jika vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ , maka

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =.....

A. 8 (3 ⃗ + 5 ⃗⃗ )

35

B. 6 (3 ⃗ + 5 ⃗⃗ )

35

C. 5 (3 ⃗ + 5 ⃗⃗ )

35

D. 4 (3 ⃗ + 5 ⃗⃗ )

35

E. 3 (3 ⃗ + 5 ⃗⃗ )

35

4. Jika titik A(x,3,5), B(4,y,1) dan C(2,5,9) merupakan titik-titik ujung dari

posisi terhadap titik pusat O(0,0,0) dan terletak pada satu garis lurus, maka

(x+y) =.....

A. −4

B. −2

C. 1

D. 2

E. 4

7

5. Bidang empat beraturan ABCD dengan panjang sisi 2 cm. Jika vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
⃗ dan ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ , maka panjang vektor ( ⃗ + ⃗⃗ ) =..... cm
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
E. 12

Soal Essay
1. Perhatikan gambar berikut:

M adalah titik tengah dari OA, BP : PM = 2 : 3.
Diberikan vektor posisi dari A ke Bterhadap titik O, yaitu
⃗ dan ⃗⃗ . Tentukan vektor posisi dari P terhadap O

2. Dalam ∆ABC ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ dan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ , jika P, Q, dan R merupakan titik tengah
BC, AC dan AB. Tuliskan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dalam bentuk ⃗ dan ⃗⃗ .

3. Vektor-vektor posisi dari A, B, dan C adalah ⃗ , ⃗⃗ , dan 3 ⃗ + ⃗⃗ .
Tentukanvektor posisi D, E, F yang merupakan titik-titik tengah dari BC,
CA,dan AB dari ∆ABC. G dan H masing-masing membagi 3 bagian yang
sama (G dan H terletak lebih dekat dengan D dan E). Buktikan bahwa G dan
H mempunyai vektor posisis yang saa nyatakan vektor posisisi titik berat
∆ABC dalam ⃗ dan ⃗⃗

8

PERTEMUAN 3

MATERI : Vektor-vektor Tak Sejajar
Berikut ini menunjukan dua vektor tak sejajar ⃗⃗ dan ⃗

Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = p ⃗⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ , dengan dan q konstanta, berdasarkan aturan jajar
genjang diperoleh

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗⃗ + · ⃗

Soal Essay (Melatih Kemampuan Analisis)
1. Pada gambar disamping, OABC sebuah jajar
genjang. Titik D terletak pada perpanjangan
Bcsehingga CD = 3BC. AD bepotonan dengan
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ di E.
a. Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 2 ⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =3 ⃗ . Tuliskan dalam
bentuk ⃗ dan ⃗ setiap vektor berikut.
(i) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(ii) ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(iii) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
b. Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = λ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , tunjukan bahwa ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ +
1 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

4

9

2. Diberikan vektor posisi dari titik dan relatif terhadap pusat , yaitu

5 ⃗ dan 5 ⃗⃗ . Terhadap titik sedemikian hingga ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . titik tenganh
5

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dan terdapat titik sedemikian hingga ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 4 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
7

a. Tunjukan bahwa N terletak pada PL

b. Hitunglah rasio PN : NL.

c. Jika terdapat titik sedemikian hingga ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, tentukan nilai

agar sejajar

3. Diberikan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 3 ⃗ + ⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ , dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 3 ⃗ + 5 ⃗ . Jika P,Q, dan

R Kolinear, tentukan niai n.

4. Titik A dan B mempunyai vetor posisis ⃗ dam ⃗⃗ terhadap titik O.

Diberikan L yang merupakan titik tengah dari OA dan M titik yang

terletak pada perpanjangan OB sedemikian hingga ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗= 3 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . Nyatakan

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ dalam bentuk ⃗ dan ⃗⃗ . Diberikan titik P pada garis LM sedemikian

hingga ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Apabila titik A, P, B segaris, hitunglah nilai λ dan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

5. Perhatikan gambar disamping. Titik Z

merupakan titik perpotongan antar

diagonal segiempat OJKL. Vektor

posisi O dari titik J dan L adalah 5 ⃗

dan 4 ⃗⃗ + ⃗ . Jika ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ = s· ⃗⃗ ⃗ ⃗ dan vektor

posisi K terhadap O adalah 3 ⃗⃗ + 12 ⃗

dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ hitunglah (s + t).

10

PERTEMUAN 4

Materi : Vektor di Bidang R2

A. Panjang Vektor Kolom
Panjang sebuah vektor kolom ⃗ = ( ) dinotasikan oleh | ⃗ | dan ditentukan
oleh:

| ⃗ | = √ 2 + 2

B. Vektor satuan dalam vektor kolom
Vektor satuan dari ⃗ didefiniskan oleh:
⃗
⃗⃗ = | ⃗ |

C. Sifat-sifat operasi vektor kolom

Jika ⃗ = ( 12) dan ⃗⃗ =( 21), maka:

(i) ⃗ + ⃗⃗ = ( 12) + ( 12)= ( 21 + 12),
+

(ii) ⃗ − ⃗⃗ = ( 12) − ( 12)=( 21 − 12),
−

(iii) ⃗ = ( 12)=( 12),

(iv) ⃗ = ⃗⃗ ↔ 1 = 2 dan 1 = 2

Soal (Melatih Kemampuan Analisis)

1. Diketahui ⃗ = 10 ⃗ dan ⃗⃗ = 8 ⃗ + ⃗ . Carilah vektor satuan yag sejajar dengan

vektor ( ⃗ - 3 ⃗⃗ ).

2. Titik-titik A,B, dan C merupakan titik-titik ujung dari vektor posisi ⃗ + 3 ⃗ ,

2⃗⃗⃗⃗ + 5 ⃗ , dan ⃗ − 4 ⃗ . Carilah nilai k apabila:

a. A, B, dan C Segaris

b. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = 7 |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |

3

3. Kordinat titik-titik dari segi enam beraturan adalah A(1,5), B(4,1), C(2,3),

D(0,4), E(-3,0), dan F(-2,2). Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = · ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , carilah nilai n. Apakah ABDE

merupakan jajar genjang?

11

4. OABC merupakan jajar enjang dengan pusat O(0,0) dan titik A(4,6) dan B(8,9).
Jika P dan Q merupakan titik tengah OA dan BC, tunjukan bahwa OPBQ
sebuah jajargenjang.

5. Vektor-vektor posisi dari dua titik A dan B terhadap titik O adalah (−32)dan
(26). Carilah vektor posisi dari titik S apabila:
a. S titik tengah AB
b. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 3 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
c. OSAB merupakan jajar genjang

6. Titik P dan Q mempunyai vektor posisi (15) dan (34) terhadap tititk O.
Diberikan titik R dengan vektor posisi ( 0 )terletak pada perpanjangan PQ.
Hitunglah:
a. Nilai k
b. |2⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |

7. Vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ mempunyai panjang 100 satuan dan berarah (274).
a. Nyatakan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ sebagai vektor kolom
b. Vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ adalah (9294). Tuliskan vektor satuan dalam arah vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

8. Diberikan ⃗ sebuah vektor dengan panjang 10 satuan dengan arah (−34) dan ⃗⃗
mempunyai panjang 15 satuan dan arah (34). carlah vektor ( ⃗ + ⃗⃗ )

12

PERTEMUAN 5

Materi : Vektor di Ruan R3

A. Besar (panjang) Vektor

Misalnya ⃗ =  a1  = 1 ⃗ + 2 ⃗ + 3 ⃗⃗ , panjang vektor ⃗ dinotasikan  ⃗ 
a2 
 a3 

dengan

 ⃗  = a12  a22  a32 .

Jika diketahui vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dengan koordinat titik A ( 1, 1, 1) dan B ( 2,
2, 2) maka modulus/besar/panjang vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dapat dinyatakan sebagai
jarak antara titik A dan B yaitu :

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗  = (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  (z2  z1 )2

B. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan. Vektor

satuan dari vektor ⃗ didefinisikan vektor ⃗ dibagi dengan besar vektor ⃗
sendiri, yang dirumuskan dengan :

⃗
⃗ = | ⃗ |

Soal
Pilihan Ganda (Model Soal UN)
1. Diketahui vektor-vektor ⃗ = 2 ⃗ + 3 ⃗ + ⃗⃗ , ⃗⃗ = 3 ⃗ − 2 ⃗⃗ , dan ⃗ = 2 ⃗ − 5 ⃗⃗ .

Vektor ⃗ + 2 ⃗⃗ − 3 ⃗ adalah...
A. 5 ⃗ + 5 ⃗ − 6 ⃗⃗
B. 8 ⃗ + 5 ⃗ − 6 ⃗⃗
C. 8 ⃗ − 3 ⃗ + 12 ⃗⃗
D. 8 ⃗ − ⃗ + 12 ⃗⃗
E. 8 ⃗ − ⃗ + 10 ⃗⃗

13

−1 3 7
2. Diketahui ⃗ = ( 3 ), ⃗⃗ = ( ), ⃗ = ( 2 ). Jika ( ⃗ + ⃗ ) tegak lurus ⃗⃗

4 −72 −5

maka nilai m adalah...

A. 12

B. 16

C. 18

D. −16

E. −18

3. Diketahui vektor-vektor ⃗ = 2 ⃗ − ⃗ + 4 ⃗⃗ , ⃗⃗ = 5 ⃗ + ⃗ + 3 ⃗⃗ , dan ⃗ = 2 ⃗ + ⃗⃗ .

Jika ( ⃗ + ⃗⃗ )tegak lurus terhadap vektor ⃗ maka nilai vektor ⃗ + ⃗⃗ + ⃗

adalah...

A. 9 ⃗ + ⃗ − 5 ⃗⃗

B. 9 ⃗ + 5 ⃗ + 5 ⃗⃗

C. 9 ⃗ − 5 ⃗⃗

D. 9 ⃗ + 5 ⃗⃗

E. 9 ⃗ + 5 ⃗

4. Diketahui vektor-vektor ⃗ = 2 2 ⃗ − ⃗ + 4 ⃗⃗ , ⃗⃗ = − 2 ⃗ + 2 ⃗ + 8 ⃗⃗ , dan ⃗ =

−2 ⃗ − 6 ⃗ + 2 ⃗⃗ . Jika ( ⃗ + ⃗⃗ )tegak lurus terhadap vektor ⃗ maka nilai t adalah

A. -2 atau 4

3

B. 2 atau 4

3

C. 2 atau –4

3

D. 3 atau 2

E. -3 atau 2

14

5. Diketahui vektor-vektor ⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − 2 ⃗⃗ , ⃗⃗ = 3 ⃗ − 2 ⃗ + ⃗⃗ , dan ⃗ = 3 ⃗ +
5 ⃗ + 2 . Jika ( ⃗ + ⃗⃗ )( ⃗ − ⃗⃗ )tegak lurus terhadap vektor ⃗ maka nilai x
adalah
A. 1

4

B. 1

2

C. 0
D. 2
E. 4
Essay (Melatih Kemampuan Analisis)
1. Buktikan bahwa A(-9, -2, 3), B(3,4,-1), dan C(9,8,11) adalah tititk sudut
segitiga sama kaki.
2. Jika P adalah titik P(1, 3, -1), Q(3,5,0), R(-1,4,1), buktikan bahwa P.Q,R
adalah titik sudut segitiga siku-siku sama kaki.
3. A dan B merupakan tititk berkordinat (2,1,4) dan (5,-5,-2). Arilah koordnat
titik C agar ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 2 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .

3

15

PERTEMUAN 6

Soal Pilihan Ganda (Model Soal UN dan Tes PTN)

1. Diketahui: A(3,2,-1), B(1,-2,1) dan C(7,p-1,-5) segaris untuk nilai p = .....

A. 13

B. 11

C. 5

D. -11

E. -13

2. Diketahui P(1,-2,5), Q(2,-4,4) dan R(-1,2,7). Vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =.....

A. −3 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

B. − 1 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3

C. 1 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3

D. 2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3

E. 3 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3. Diketahui ∆ABC dengan A(4,-1,2), B(1,3,-2), C(1,4,6). Kordinat titik berat

∆ABC adalah.....

A. (2,2,2)

B. (-1,3,3)

C. (-1,3,2)

D. (-3,6,6)

E. (-3,6,3)

4. Vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =(2,0,1) dan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =(1,1,2). Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1 ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , vektor ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =.....
2

A. (-1,0,32)

B. (0,-1,− 3)

2

C. (1, 0, 1)

2

D. (1, -1, 0)

E. (23, 1, 0)

16

5. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C
segaris(kolinear), rasio ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =.....
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 2 : 5
D. 5 : 7
E. 7 : 5

Soal Esssay (Melatih Kemampuan Analisis)
1. Jika P(0,1,3), Q(2,5,7), R(-2,-1,5), hitunglah :

a. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |2
b. | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |2
c. |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |2
2. Diketahui 0(0,0,0), A(5,2,1), B(6,4,6), dan C(1,2,5). Buktikan:
a. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ bangun apakah ?
b. |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |, bangun apakah ?
3. Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , dan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ mewakili vektor-vektor ⃗ , ⃗⃗ , ⃗ dengan ⃗ = 2 ⃗ − ⃗ − 3 ⃗⃗ ,
⃗⃗ = ⃗ − 4 ⃗ + 2 ⃗⃗ , dan ⃗ = −3 ⃗ + 5 ⃗ + ⃗⃗ . Buktikan bahwa D berhimpit
dengan A, dan ∆ABC siku-siku.

17

PERTEMUAN 7

Materi : Perbandingan Bagian dalam Vektor dan Koordinat

A. Pembagian ruas garis denga perbandingan m : n

Suatu titik membagi ruas garis dengan perbandingan ∶ jika ∶

= ∶ jika di dalam , maka ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ mempunyai arah yang

sama, dan mempunyai tanda yang sama. Jika diluar , ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

mempunyai arah yang berlawanan.

Pada gambar :

∶ = ∶ ∶ = ∶ −

∶ = ∶ ( + ) ∶ = ∶ ( − )

B. Rumus Pembagian dalam bentuk vektor

Rumus pembagian bentuk vektor adalah:

⃗⃗ + ⃗
⃗ = +

Jika titik tengah , maka ∶ dan ⃗ = ⃗⃗ + ⃗⃗
2

C. Rumus pembagian dalam bentuk koordinat

Jika ⃗ , ⃗⃗ , dan ⃗ adalah vektor posisi , , dan maka

⃗ = ⃗⃗ + ⃗⃗

+

= 1 [ 2 + 1
+
( ) ( 2) ( 1)]
2 1

dengan = 2+ 1 , = 2+ 1 , = 2+ 1
+ + +

Soal Pilihan Ganda (Model Soal UN dan Tes PTN)
1. Diketahui titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas PQ dan PT :

PQ = 2 : 1. Vektor posisis T adalah...
A. (3,1,12)
B. (3,-1,12)
C. (2,-1,11)
D. (2,0,11)
E. (2,-1,12)

18

2. Diketahui ∆ABC dengan A(1,3,-2), B(5,2,1), C(0,4,4). Kordinat titik berat
∆ABC adalah...
A. (6,9,3)
B. (2,3,1)
C. (3, 29, 23)
D. (2,3,2)
E. (-1,2,2)

3. Diketahui A(3,4,5) dan B(5,7,4). Jika R terletak pada AB dengan rasio AR :
RB = 2 : -1. Koordinat titik R adalah...
A. (7,10,3)
B. (7,-10,3)
C. (3,10,7)
D. (3,-10,7)
E. (-7,10,3)

4. Diketahui A(-4,2,3) dan B(4,8,2). Jika R terletak pada ruas garis AB atau
perpanjanganya dengan AR : RB = 3 : -2, koordinat titik R adalah...
A. (20,-20,0)
B. (20,0,20)
C. (20,20,0)
D. (0,20,20)
E. (-20,20,0)

5. Vektor ⃗ = − ⃗ − 6 ⃗ + 10 ⃗⃗ dan ⃗⃗ = 4 ⃗ − 6 ⃗ + 5 ⃗⃗ merupakan vekror posisi
dari A dan B. Jika Q terletak diantrara A dan B dengan rasio QB : AQ = 2:3,
vektor posisi titik Q adalah...
A. −2 ⃗ + 6 ⃗ − 7 ⃗⃗
B. −2 ⃗ − 6 ⃗ + 7 ⃗⃗
C. ⃗ + 6 ⃗ + 8 ⃗⃗
D. ⃗ − 6 ⃗ + 8 ⃗⃗
E. 2 ⃗ − 6 ⃗ + 7 ⃗⃗

19

Soal Esssay (Melatih Kemampuan Analisis)

1. Titik-titik sudut ∆ABC adalah ( 1, 1, 1), ( 2, 2, 2) dan ( 3, 3, 3).

Buktikan bahwa koordinat titik beratnya adalah

( 1+ 2+ 3 , 1+ 2+ 3 , 1+ 2+ 3 ).
3 3
3

2. Segi empat OABC, D titik tengah dari BC dan G titit tengah AD sedemikian

sehingga AG : GD =2 : 1. Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ , dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ . Tuliskan ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

dan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dalam bentuk ⃗ , ⃗⃗ , ⃗ .

3. The poin P lies on the line AB such that ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 1 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . The position vektors,
4
relativ to and origin O, of the point A,B, and P are ⃗ , ⃗⃗ , ⃗ , respectively, ekpes

⃗ in trem of ⃗ ⃗⃗ . Given that 2 ⃗ dan 3 ⃗ are the position vektors, relative

to O, of the points Q, of the poins Q and, recspectively, show that B,Q, dan

⃗ are collinear.

20

PERTEMUAN 8

Materi : Perkalian Skalar Dua Vektor
A. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar dari ⃗ dan ⃗⃗ adalah bilangan nyata yang ditentukan oleh

⃗ · ⃗⃗ = | ⃗ || ⃗⃗ | cos Ɵ

B. Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Misalkan ⃗ =  x1  dan ⃗⃗ =  x 2  merupakan vektor-vektor di R-2 yang di
 y1   y 2 
   

nyatakan daalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan b

ditentukan

⃗  ⃗⃗ =  x1    x 2  = x1x2 + y1y2
 y1   y 2 
   

perhatikan bahwa nilai atau hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah

jumlah perkalian komponen yang seletak pada vektor a dan b.

Misalkan ⃗ =  x1  dan ⃗⃗ =  x 2  adalah vektor-vektor di R-3 yang
 y1   y 2 
   
 z1   z2 

dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan

vektor b ditentukan oleh rumus:

⃗  ⃗⃗ =  x1   x2   x1x2  y1y2  z1z2
 y1   y2 
   
 z1   z2 

C. Teorema Ortogonalitas

Dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika

dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu sama dengan nol.

Jadi, vektor ⃗ dan ⃗⃗ (|| ⃗ ||  0 dan || ⃗⃗ ||  0) dikatakan saling tegak lurus

(ortogonal) jika dan hanya jika ⃗  ⃗⃗ = 0

21

D. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
1. Sifat Komulatif. ⃗  ⃗⃗ = ⃗⃗  ⃗
2. Sifat Asosiatif. ⃗  ( ⃗⃗  ⃗ )= ( ⃗  ⃗⃗ ) ⃗
3. Sifat Distributif. ⃗  ( ⃗⃗ ± ⃗ )= ( ⃗  ⃗⃗ ) ±( ⃗  ⃗ )

Soal Pilihan Ganda (Model UN dan tes PTN)

1. Diketahui persegi ABCD dengan panjang rusuk 2. Nila ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗  ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗  ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

adalah...

A. −4√2

B. 0

C. 4√2

D. 8

E. 8√2
2. Diketahui ⃗⃗ = (2, −1,1) ⃗ = (−1,1, −1). Vektor ⃗⃗ ⃗ yang panjangnya 1

satuan panjang serta tegak lurus dengan ⃗⃗ dan ⃗ adalah...

A. (0,0,1)

B. (0, 1 √2, 1 √2)
2 2

C. (0, − 1 √2, 1 √2)
2 2

D. ( − 2 , 1 , 32)
3 3

E. ( 2 , 1 , − 32)
3 3

3. Diketahui ⃗ = (2,2, ), ⃗⃗ = (−8, , −5), ⃗ = ( , 4 , 4), dan ⃗ = (2 , 22 −

, 8). Jika ⃗ tegak lurus dengan ⃗⃗ serta ⃗ sejajar dengan ⃗ , maka (y+z)=...

A. -5

B. -1

C. 1

D. 2

E. 5

22

4. Jika | ⃗ | = 8, | ⃗⃗ | = 4 dan | ⃗ − ⃗⃗ | = 6√3 maka | ⃗ + 2 ⃗⃗ | =...
A. 6√2
B. 8√2
C. 2√6
D. 2√7
E. √7

5. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA = 12 dan AB = 5. Jika
⃗⃗ = ⃗⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ , maka ⃗⃗ · ⃗ =...
A. 13
B. 60
C. 144
D. 149
E. 156

Soal Essay (Melatih Kemampuan Analisis)

1. Diketahui tiga buah vektor ⃗ , ⃗⃗ , dan ⃗ sedemikian sehinga ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ = 0.

Jika | ⃗ | = 5, | ⃗⃗ | = 12 dan | ⃗ | = 13, tentukan ⃗ · ⃗⃗ + ⃗⃗ · ⃗ + ⃗ · ⃗ .

21 3
2. ⃗ = (1) , ⃗⃗ = (−1) , dan ⃗ = ( 4 )

15 −2

a. Carilah sebuah vektor ⃗ yang tegak lurus ⃗ dan ⃗⃗

b. Buktikan ⃗ tidak sebidang dengan ⃗ dan ⃗⃗

3. Jika ⃗ · ⃗⃗ = ⃗ · ⃗ dan ⃗ ≠ 0, tulislah hubungan antara ⃗⃗ dan ⃗ .

4. Dketahui ⃗ dan ⃗⃗ adalah dua buah vektor yang bukan no;.

a. Jika | ⃗ |=| ⃗⃗ |, buktikan bahwa ( ⃗ + ⃗⃗ ) dan ( ⃗ − ⃗⃗ ) saling tegak lurus.

b. Jika ⃗ dan ⃗⃗ tegak lurus, buktikn bahwa | ⃗ − ⃗⃗ | = | ⃗ + ⃗⃗ |.

23

PERTEMUAN 9

Materi : (Sudut Antara Dua Vektor)

Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa:

⃗ · ⃗⃗ = | ⃗ || ⃗⃗ | cos Ɵ

Misalkan Ɵ merupakan sudut antara ⃗ dan ⃗⃗ maka:

1. Ɵ = ⃗⃗ · ⃗⃗
| ⃗⃗ || ⃗⃗ |

2. Ɵ = 1 1+ 2 2+ 3 3

√( 12+ 22+ 32)( 12+ 22+ 32)

3. Ɵ = arc cos || ⃗ ⃗⃗ ⃗ |·| ⃗ ⃗⃗ ⃗ || = cos−1 || ⃗ ⃗⃗ ⃗ |·| ⃗ ⃗⃗ ⃗ ||

Soal Pilihan Ganda (model UN dan tes PTN)
1. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

A. 

B. 
2

C. 
3

D. 
6

E. 0
2. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang

dibentuk vektor a dan b sama dengan …

A. 30º

B. 45º

C. 60º

D. 90º

E. 120º

24

3. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u

mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan
v adalah …
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
E. 120
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4

cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara
vektor u dan v adalah …

A. 0

B. 30

C. 45

D. 60

E. 90
5. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang

dibentuk vektor a dan b sama dengan …

A. 30º

B. 60º

C. 120º

D. 45º

E. 90º

6. Diketahui vektor   6   3   3  ,    dan   5   2   3  .
a i j k b 2i  j 3k c i j k

Besar sudut antara vektor  dan    adalah ....
a b c

A. 300

B. 1200

C. 1500

D. 450

E. 900

25

7. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm.

Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara
vektor u dan v adalah …

A. 0

B. 45

C. 90

D. 30

E. 60

8. Diketahui vektor     2  dan   . Besar sudut antara vektor 
a i j 2k bi  j a


dan b adalah ....

A. 1350

B. 600

C. 300

D. 450

E. 1200

Soal Essay (Melatih Kemampuan Analisis)

1. Diketahui (4,1,0), (−2,3,2), (0,1,4) dan (2, −1,0).
a. Tentukan koordinat-koordinat titik , , , dan yang berturut turut
merupakan titik tengah , , dan .
b. Tunjukan bahwa adalah jajar genjang
c. Hitunglah besar sudut-sudutya

2. Jika titik adalah (1,7,0) dan titik adalah (-2,4,3), tentukan koordinat titik
yang membagi garis penghubung dan dengan perbandingan 1:2

26

PERTEMUAN 10

Soal Pilihan Ganda (model UN dan tes PTN)
1. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

A. 

B. 
3

C. 0

D. 
2

E. 
6

2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u

mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan
v adalah …

A. 30
B. 60
C. 120
D. 45
E. 90
3. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut ,
maka nilai sin  = ....

A. 5
7

B. 5 6
12

C. 6 6
7

D. 2 6
7

E. 6
7

27

4. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut ,

maka tan  = ... .

A. 1 5
3

B. 5

14

C. 1 5
14

D. 3 14
14

E. 1 14
5

5. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k.

Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = …

A. –58i – 20j –3k

B. –62i – 23j –3k

C. –58i – 23j –3k

D. –62i – 23j –3k

E. –62i – 20j –3k

  2   1 
6. Diberikan vektor a =  p  dengan p  Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b
 2 2   2 

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

A. 12 7
4

B. 5 7
4

C. 2 7
7

D. 5 7
2

E. 5 7
14

28

7. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x
yang memenuhi adalah …
A. –2 atau 6
B. –4 atau 3
C. 2 atau 6
D. –3 atau 4
E. –6 atau 2

8. Diketahui (1,0, −2), (2,1, −1) dan (2,0, −3). Sudut antara ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ dengan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
adalah...
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
E. 1200

Soal Essay (Melatih Kemampuan Analisis)
1. Tentukan titik ( , , 0) yag terletak pada = di bidang XY sedemikian

sehingga vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ tegak lurus vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . adalah titik pangkal dan B
adalah titik (2,4,-3)
2. Prove that:
a. In a triangle, the lines through the vertices perpendicular to the

oppositesides (called the altides) meet a point.
b. A tetrahedron OABC has two pair of perpendicular opposite edges.

(i) The thrid pair of opposite edges is perpendicular
(ii) The sums of the squares of the lengths of the three pair of opposite

edges are equal.

29

PERTEMUAN 11

Materi : Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor dengan Vektor Lain

A. Proyeksi Skalar Ortogonal pada ⃗ dan ⃗⃗

Proyeksi skalar ortogonal pada ⃗ dan ⃗⃗ ditulis ‖ ⃗ ‖ yang dapat dicari

dengan menggunkan rumus:

‖ ⃗ ‖ = ⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗ |

B. Panjang Proyeksi Vektor Ortogonal ⃗ pada ⃗⃗

Panjang proyeksi vektor ortogonal ⃗ pada ⃗⃗ dapat ditulis sebagai berikut

| ⃗ | = ⃗ ∙ ⃗⃗
| | ⃗⃗ | |

C. Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗⃗

Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗⃗ dapat dicari dengan rumus sebagai

berikut:

⃗ = ⃗ ∙ ⃗⃗ · ⃗⃗
| ⃗⃗ |2

Soal Pilihan Ganda (Model UN dan Tes PTN)

1. Proyeksi vektor ⃗ = − 2 + pada ⃗⃗ = 5 − 4 + 2 adalah...

1 5
3
A. (−4)
2

1 2
4
B. (4)
−1

1 −5
5
C. (4)
−2

−1 4
2
D. (−2)
3

−1 −4
3
E. (2)
−3

30

2. Jika vektor ⃗ = −4 + 3 − 4 , ⃗⃗ = − + + 3 dan ⃗ = 4 − + 4 ,

proyeksi orthogonal ⃗ pada ( ⃗⃗ − ⃗ ) adalah...

A. −5 + 2 −

B. −4 + 4 − 2

C. 2 − 2 +

D. 4 − 4 + 2

E. 6 − 6 + 3

3. Diketahui vektor ⃗ = 2 + − 9 , ⃗⃗ = − + 3 , ⃗ = 3 + 2 + , dan ⃗ =

⃗ + 2 ⃗⃗ . Proyeksi vektor ⃗ padavektor ⃗ adalah...

A. 1 ⃗⃗

2

B. 1 ⃗

4

C. 1 ⃗

2

D. 1 ⃗

7

E. 1 ⃗⃗

7

4. Diketahui vektor ⃗ = − + 4 , ⃗⃗ = 2 + , ⃗ = 3 − 4 , dan ⃗ = ⃗ + ⃗⃗

dengan dan bilangan real tidak nol. Jika ⃗ sejajar ⃗ , maka dan

memenuhi hubungan...

A. 8 − 8 = 0

B. 8 − 11 = 0

C. 11 + 8 = 0

D. 8 + 11 = 0

E. 11 − 8 = 0

23
5. Diketahui vektor ⃗⃗ = (3), ⃗ = ( ), dan panjang proyeksi ⃗⃗ pada ⃗ adalah

21

√14. Nilai adalah...

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

31

−2
6. Proyeksi skalar vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah 6. Vektor ⃗ = (−4) dan ⃗⃗ = ( 1 )

2

dengan | ⃗ | = √89, maka nilai x terkecil adalah...

A. -6

B. -3

C. 3

D. 6

E. 8

34
7. Diketahui vektor ⃗⃗ = ( ) ⃗ = (5). Jika proyeksi skalar orthogonal vektor ⃗⃗

12

pada vektor ⃗ = 4√5, maka =.....

15

A. −5

B. −2

C. −1

2

D. 1

2

E. 2

Soal Essay (Melatih Kemampuan Analisis)

1. Diketahui vektor ⃗ = ( , , −3), ⃗⃗ = (1,2, −2) dan | ⃗ |=33√6. Jika ‖ ⃗ ‖ = 2,
serta Ɵ=˂( ⃗ , ⃗⃗ ) sudut lancip. Tentukanlah nilai dan
−1 1

2. Diberikan ⃗⃗ = ( 1 ) dan ⃗ = (−1). Tentukan:
21

a. Panjang proyeksi vektor ( ⃗⃗ + ⃗ ) terhadap vetor ( ⃗⃗ − ⃗ ).

b. Proyeksi vektor orthogonal ( ⃗⃗ + ⃗ ) terhadap ( ⃗⃗ − ⃗ )

3. Diketahui ⃗ = 2 − 3 + 6 dan ⃗⃗ ⃗ = 4 + 3 . Tentukan:

a. Nilai agar tegak lurus ( ⃗⃗ − ⃗ ).

b. Nilai agar ⃗ + ⃗⃗ ⃗ tegak lurus ⃗⃗ ⃗.

32

PERTEMUAN 12

Soal Pilihan Ganda (Model UN dan PTN)

1. Diketahui vector ⃗ = 4i – 2j + 2k dan vector ⃗⃗ = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector

orthogonal vector ⃗ pada vector ⃗⃗ adalah …
A. i – j + k
B. i – 3j + 2k
C. i – 4j + 4k
D. 2i – j + k
E. 6i – 8j + 6k
2. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ wakil

vector ⃗⃗ , ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ wakil vektor ⃗ , maka proyeksi ⃗⃗ pada ⃗ adalah …

A. 3i – 6 j + 12 k
5
5

B. 3 5 i – 6 j + 12 k

55

C. − 115(5i – 2j + 4k)
D. − 4275(5i – 2j + 4k)

E. 9 (5i – 2j + 4k)
55

3. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ wakil vector ⃗⃗ , ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

wakil vektor ⃗ , maka proyeksi orthogonal ⃗⃗ pada ⃗ adalah …

A. –3i – 6j – 9k

B. i + 2j + 3k

C. 1 i + 2 j + k
3 3

D. –9i – 18j – 27k

E. 3i + 6j + 9k

33

4. Jika vektor ⃗ = –3i – j + xk dan vektor ⃗⃗ = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi

vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah 5, maka nilai x = …
A. –7
B. –6

C. 5

D. 6

E. 7
5. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3,

–2). Proyeksi vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ pada ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ adalah …
A. –12i + 12j – 6k
B. –6i + 4j – 16k
C. –4i + 4j – 2k
D. –6i – 4j + 16k
E. 12i – 12j + 6k

 2 
6. Jika ⃗⃗ ⃗ adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor ⃗ =   3 terhadap vektor ⃗⃗

 4 

=   1 maka ⃗⃗ ⃗ = …
2 ,
  1

1 
A.   1

3 

 2 
B.   4

 2 

 0 
C.   1 

  2

  2
D.  4 

  2

 0 
E. 1 

 2

34

7. Proyeksi vektor ortogonal ⃗ = (1,3,3) pada ⃗⃗ = (4,2,2) adalah …

A. – 4 (2,1,1)
3

B. 4 (2,1,1)
3

C. (2,1,1)
D. –(2,1,1)

E. ( 4 ,1,1)
3

8. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ wakil vektor ⃗⃗ dan

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ wakil vektor ⃗ , maka proyeksi orthogonal vektor ⃗⃗ pada ⃗ adalah …
A. –3i – 6j – 9k
B. –9i – 18j – 27k

C. i + 2j + 3k

D. 3i + 6j + 9k

E. 1 i + 2 j + k
3 3

9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1,–1,–1 ).

Proyeksi vektor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ terhadap ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ adalah …
A. 2i – 4j + 2k
B. i – 2j – k
C. 2i – 4j – 2k
D. i + 2j – k
E. 2i + 4j – 2k
10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan

C(5,0,–3). Proyeksi vektor ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ pada ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ adalah …

A. 1 (3i + j– 2k)
4

B.  3 (3i + j – 2k)
14

C. 3 (3i + j – 2k)
14

D.  3 (3i + j – 2k)
7

E.  1 (3i + j – 2k)
7

35

Soal Essay (Melatih kemampuan Analisis)

1. Diketahui panjang proyeksi vektor ⃗ = −√3 + 3 + dan ⃗⃗ = √3 + +

3 adalah 32. Tentukanlah nilai

2. Diketahui ⃗ = 4 + 2 ⃗⃗ = + dan ˂( ⃗ , ⃗⃗ ) = 1 л.
4

a. Tentukan nilai

b. Untuk > 0,tentukan proyeksi skalar ⃗ pada ⃗⃗

c. Untuk ˂ 0, tentukan proyeksi skalar ⃗ pada ⃗⃗

36

PERTEMUAN 13

Soal Pilihan Ganda (Model Soal UN)

1. Diketahui vektor ⃗⃗ = (2, −2,1) dan ⃗ = (−1,1, −1). vektor ⃗⃗ ⃗ yang

panjangnya 1 satuan tegak lurus pada ⃗⃗ dan tegak lurus pada ⃗ adalah...

A. (0,0,1)

B. (− 1 √2, − 1 √2, 0)
2 2

C. (0, − 1 √2, 1 √2)
2 2

D. (− 2 , 1 , 2)

333

E. (2 , 1 , 2)

333

2. Vektor ⃗ = (4,3), vektor ⃗⃗ = (1,2), dan vektor ⃗ = (5,5). Jika ⃗ = · ⃗ +

· ⃗⃗ , maka nilai = ...

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

E. 3

3. Diketahui titik (3, −1,2) dan (6,2, −5). Titit terletak pada

sedemikian hingga : = 2: 3. Besar sudut antara vektor posisi ⃗ dan ⃗

adalah...

A. л

B. 1 л

2

C. 1л

3

D. 1л

4

E. 0

37

4. Jarak titik (1,2, −3) ke garis yang menghubungkan titik (1,0,2) dan
(2,1,2) adalah...
A. 3√2
B. 3√3
C. 3√5
D. 3√6
E. 6

5. Jika vektor ⃗ dan ⃗⃗ mempunyai panjang yang sama dan vektor ( ⃗ − 2 ⃗⃗ )
tegak lurus terhadap vektor ⃗ , maka besar sudut antara ⃗ dan ⃗⃗ adalah...
A. 00
B. 150
C. 300
D. 450
E. 600

Soal Pilihan Ganda (Model Tes PTN)
6. Diberikan ⃗ (3,1) dan ⃗⃗ (1,2). Jika ( ⃗ − ⃗⃗ ) tegak lurus (2 ⃗ + ⃗⃗ ), maka nilai

3 adalah...
A. -10
B. -5
C. 0
D. 5
E. 10
7. Sebuah vektor ⃗⃗ dengan panjang √10membentuk sudut 450 dengan vektor
⃗ = + 2 , maka vektor ⃗⃗ adalah...
A. 3 − atau −3 −
B. 3 + atau −3 +
C. + 3 atau −3 +
D. − + 3 atau 3 +
E. − − 3 atau −3 −

38

8. Diketahui segitiga dengan (2,1,2), (4, −1,3), dan (2,7,11). Titik D

pada pertengahan dan pada sehingga ⊥ , maka panjang

sama dengan...

A. 1 satuan

B. 2 satuan

C. 3 satuan

D. 4 satuan

E. 5 satuan

12
9. Diketahui vektor ⃗ = ( ) dan ⃗⃗ = ( 1 ) dan panjang proyeksi ⃗ pada ⃗⃗

2 −1

adalah √26. Sudut antara ⃗ dan ⃗⃗ adalah , maka cos α =...

A. 2
3√6

B. 1
3

C. 2
3

D. 2
√6

E. √6
3

10. Bangun ABCD seperti terlihat pada gambar berikut merupakan trapesium

dengan AE = FB

Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 3 − 3 + 4 dan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = − 2 + maka ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =...

A. 4 (3 − 3 + 4 )

17

B. 13 (3 − 3 + 4 )

34

C. 13 (3 − 3 + 4 )

17

D. 5 (3 − 3 + 4 )

11

E. 2 (3 − 3 + 4 )

11

39

PERTEMUAN 14

Soal SBMPTN
1. Diketahui vektor ⃗⃗ dan ⃗ membentuk sudut θ. Jika panjang vektor proyeksi ⃗⃗

pada ⃗ sama dengan dua kali panjang ⃗ , maka perbandingan panjang ⃗⃗

terhadap ⃗ adalah...
A. 1 : 2 cos θ
B. 2 : cos θ

C. 2 cos :1
D. 1 : cos θ
E. cos θ : 2

2. Diketahui (−3,0,0), (0,3,0), dan (0,0,7). Panjang proyeksi ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ke vektor

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ adalah...

A. 3√22

B. √2
2

C. √2
3

D. √2

E. √3
2

3. Diketahui ∆ABC, ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗ . ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ , Jika titik G adalah titik berat ∆ABC, maka

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =...

A. 1 ( ⃗ + ⃗⃗ )

6

B. 1 ( ⃗ + ⃗⃗ )

4

C. 1 ( ⃗ + ⃗⃗ )

2

D. 2 ( ⃗ + ⃗⃗ )

3

E. 3 ( ⃗ + ⃗⃗ )

4

40

4. Diketahui vektor ⃗⃗ = ( , −2, −1) dan ⃗ = ( , , −1). Jika vektor ⃗⃗ tegak
lurus pada ⃗ , maka nilai adalah...
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3

5. Vaktor ⃗⃗ = 4 + + tegak lururs ⃗⃗ ⃗ = 2 − 2 + 3 dan | ⃗⃗ | = 2| ⃗⃗ ⃗|,
maka nilai b memenuhi...
A. 13 2 − 32 + 404
B. 13 2 + 32 − 404
C. 13 2 − 32 − 404
D. 7 2 + 32 + 92
E. 7 2 − 32 − 92

6. Diketahui vektor ⃗⃗ = (1, −3 + 1,2) dan ⃗ = ( 3 − 3 2, 3,0) dengan
−2˂ ˂4. Nilai maksimum ( ⃗⃗ , ⃗ ) sama dengan...
A. 27
B. 8
C. 3
D. 1
E. -24

7. Agar vektor ⃗ = 2 + + dan vektor ⃗⃗ = 3 + 2 + 4 saling tegak
lurus, maka nilai adalah...
A. 5
B. -5
C. -8
D. -9
E. -10

41

8. Diketahui vektor ⃗⃗ = (2, −1,1) dan ⃗ = (−1,1, −1). Vektor ⃗⃗ ⃗ yang

panjangnya 1 satuan, tegak lurus pada ⃗⃗ dan tegak lurus pada ⃗ adalah...

A. (0,0,1)

B. (− 2 , 1 , 2)

333

C. (2 , 1 , − 2)

33 3

D. (0, 1 √2, 1 √2)
2 2

E. (0, − 1 √2, 1 √2)
2 2

42

Kunci Jawaban Pilihan Ganda Modul KBM Plus Matematika Peminatan Kelas X
Semester 2

Pertemuan 1
1. E
2. C
3. D
4. B
5. D

Pertemuan 2
1. A
2. A
3. D
4. E
5. B

Pertemuan 5
1. C
2. E
3. D
4. E
5. A

Pertemuan 6
1. B
2. B
3. A
4. B
5. A

Pertemuan 7
1. B
2. B
3. A
4. C
5. E

Pertemuan 8
1. E
2. B
3. C
4. B
5. C

Pertemuan 9
1. B
2. C
3. B
4. E
5. B
6. B
7. C

43

8. A
Pertemuan 10

1. B
2. D
3. A
4. A
5. C
6. E
7. A
8. D

Pertemuan 11
1. A
2. A
3. C
4. D
5. D
6. C
7. B

Pertemuan 12
1. B
2. C
3. A
4. E
5. C
6. B
7. B
8. A
9. C
10. A

Pertemuan 13
1. C
2. C
3. A
4. B
5. E
6. D
7. D
8. C
9. A
10. C

Pertemuan 14
1. B
2. A
3. C
4. C
5. E
6. B
7. B
8. D

44