LIBRO COMPLETO - ESTADISTICA DESCRIPTIVA BASICA ed_1 libro ok 4

Medidas de tendencia central

Ejemplo 02. Dada la siguiente distribución tabulada, determinar la mediana.

Peso (Xi) fi
60 2
65 4
70 7
75 5
80 1
Total 19 (impar)

Solución

Peso (Xi) fi Fi
60 2 2
65 4 6
70 7 13
75 5 18
80 1 19
Total 19

Med  n 1  19 1  10mo ; Por tanto el 10mo valor se contiene en F3 (13)
2 2
el por lo que el valor de la mediana es 70.

Med  70

Caso II (par)

Ejemplo 03. Dada la siguiente distribución no tabulada, determinar la me-
diana.

2, 9, 6, 8, 6, 4, 8, 7, 1, 9, 3, 2 (n = 12)

Solución

Previamente ordenamos los datos, quedando de la siguiente manera:

Estadística Descriptiva Básica ~ 39 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9 (n = 12)

n  n 1 6to  7mo 66
2 2 2
Med  2   6
2

Med  6

Ejemplo 04. Dada la siguiente distribución tabulada, determinar la mediana.

Peso (Xi) fi
60 3
65 4
70 7
75 5
80 1
Total 20 (par)

Solución

Peso (Xi) fi Fi
60 3 3
65 4 7
70 7 14
75 5 19
80 1 20
Total 20

n  n  1 10mo  11vo 70  70 10mo valor
2 2 2
Med  2    70 ; Por tanto el se
2

contiene en F3 (14) y el 11vo valor también se contiene en F3 (14) el por lo que
el valor de la mediana es el promedio de estos dos valores.

Med  70

Estadística Descriptiva Básica ~ 40 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Caso III

En la siguiente tabla de distribución de frecuencias primero determinamos n
2

y según sea el caso lo ubicamos en las frecuencias absolutas acumuladas o
frecuencias relativas acumuladas.

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ 02 ; 04 > 03
[ 04 ; 06 > 05 3 3 0.15 0.15
[ 06 ; 08 > 07
[ 08 ; 10 > 09 2 5 0.10 0.25
[ 10 ; 12 > 11
Total 8 13 0.40 0.65

3 16 0.15 0.80

4 20 0.20 1.00

20 1.00

n  20  10 , ubicamos este valor en la columna de los Fi (buscamos donde
2 2

se contiene).

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ 02 ; 04 > 03
[ 04 ; 06 > 05 3 3 0.15 0.15
[ 06 ; 08 > 07
[ 08 ; 10 > 09 2 5 0.10 0.25
[ 10 ; 12 > 11
Total 8 13 0.40 0.65

3 16 0.15 0.80

4 20 0.20 1.00

20 1.00

 n  FK 1   10  5 
. 2   13  5 
Med  Linf  A    (8)  (2)  9.25
FK  FK 1 

Med  9.25

Estadística Descriptiva Básica ~ 41 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Moda. - La moda inicialmente está dada por el valor en la variable X que se
repite más en la distribución de datos, sin embargo, se puede tener dos modas
o más de dos en la distribución de datos:

Determinación de la Moda para datos no agrupados:
Ejemplo 01: dada la siguiente distribución de datos, determine la moda.

12, 13, 15, 04, 12, 14, 20, 11, 12, 13, 12, 16, 17, 13, 13, 11, 13, 18, 13

La moda en la distribución de datos es 13, debido a que es el valor que mas
se repite.

12, 13, 15, 04, 12, 14, 20, 11, 12, 13, 12, 16, 17, 13, 13, 11, 13, 18, 13

U

X  13 (se repite 6 veces)

La moda no siempre es única, pudiendo existir dos o mas modas en la distri-
bución de datos.

Ejemplo 02: dada la siguiente distribución de pesos (KG) de un grupo de es-
tudiantes, determine la moda

Peso (Xi) fi
60 3
65 4
70 7
75 5
80 1
85 5
Total 25

Estadística Descriptiva Básica ~ 42 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Solución: el valor que más se repite en la distribución es 70, debido a que
existe 7 mediciones de pesos con 70 KG.

Peso (Xi) fi
60 3
65 4
70 7
75 5
80 1
85 5
Total 25

U

X  70

En caso de omitir este registro 70 – 7 , se tendría en la distribución de pesos
dos modas, siendo denominado bimodal. En caso de tener más de dos modas
se denomina multimodal.

Determinación de la Moda para distribuciones tabulares continuas (datos ta-
bulados):

L AU . 1 
 1  2 
X 
x + x

Donde:

Distribución tabular con n intervalos de clase

Intervalos Xi fi
[;>
[;>
[;>
[;>
[;>
[;>

Estadística Descriptiva Básica ~ 43 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

fmo  es la frecuencia absoluta mas alta en la distribución
f1  es la frecuencia absoluta anterior a la frecuencia que contiene a la Moda
f2  es la frecuencia absoluta posterior a la frecuencia que contiene a la Moda

1  fmo  f1
2  fmo  f2

AX  Amplitud de la clase que contiene a la Moda.

LX  Límite inferior de la clase que contiene a la Moda

Media geométrica. - La media geométrica está dado por:

XG  n x1 f1 x f2 x f2 ......xkfk ó XG  n x1 x2 x3 ......xk
2 3

Este tipo de promedio se aplica generalmente cuando se tienen distribuciones
de datos que tienen un crecimiento exponencial, como por ejemplo el creci-
miento poblacional de un determinado lugar. Este se define, como la raíz n-
ésima del producto de todos los valores de la variable.

También la podemos representar como:

1

XG  ( x f1 x f2 x f3 .......xkfk )n
1 2 3

NOTA: En muchas ocasiones, los valores altos de la distribución nos impiden
poder efectuar los cálculos, por lo que es pertinente determinarlo a través de
los logaritmos:

Si se sabe que:

log(a.b) = log a + log b

log(a/b) = log a – log b

log an = n(log a)

Por tanto:

Estadística Descriptiva Básica ~ 44 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

1 1
n
log X G  l o g( x f1 x f2 x f3 .......xkfk )n  l o g( x f1 x f2 x f3 .......xkfk )
1 2 3 1 2 3

 1 (l o g x f1 log x f2  log x f3  ....  l o g x fk )
n 1 2 3 k

Sabiendo que lo podemos expresar en notación compacta:

1 x3 fi l o g xi
n
n
( f1 l o g x1  f2 l o g x2  f3 log  ......  fk l o g xk )   lg X G

, por lo que podemos decir que:

X G = anti log fi l o g xi
n

El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos
de los valores de la variable. El problema se presenta cuando algún valor es
0 lo que causaría que el resultado sea cero ó negativo y exponente de la raíz
par ya que no existe raíz par de un número negativo. Suele utilizarse cuando
los valores de la variable siguen una progresión geométrica, tal es el caso del
crecimiento poblacional, tasas, nº índices, etc.

Media cuadrática

La media cuadrática se determina a partir de los Xi valores al cuadrado multi-
plicado por sus frecuencias absolutas fi. Este proceso permite obtener un
promedio con valor positivo.

x x xX C   f1 2  f1 2  ...  fk 2
 1 1 k

 n

Media armónica

La media armónica nos permite determinar un promedio de una cantidad finita
de números, su uso es recomendado para promediar velocidades, para su
cálculo se tiene las siguientes formulas:

Estadística Descriptiva Básica ~ 45 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Para datos agrupados:

XH  n

 f1  f2  ...  fk 
 x1 x2 xk 
 

Para datos no agrupados:

XH  n

 1  1  ...  1 
 x1 x2 xk 
 

Donde:

k: es el número de datos a promediar

f: es la frecuencia absoluta de los datos

EJEMPLO: Dada la siguiente distribución de datos determinar la Media Armó-
nica:

12, 13, 20, 30, 50, 20, 10

XH  n

 1  1  ...  1 
 x1 x2 xk 
 

XH  1 1 1 7 1 1 1  = 16.92
 12 13 20 1 50 20 10 
   30   

EJEMPLO.- Un vehículo de transporte de la empresa Grael S.A.C. partiendo
de Juliaca se dirige a distribuir mercancías a las ciudades de puno, Ilave y
desaguadero dirigiéndose a puno a 90 km/h, a Ilave 85 km/h y a desaguadero
a 80 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del vehículo de transporte?

Solución:

El vehículo se dirige a tres ciudades por tanto n=3

Estadística Descriptiva Básica ~ 46 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

x1 : velocidad 90 km/h , x2 : velocidad 85 km/h x3 : velocidad 80 km/h

XH  3  XH  84.80 km/h.

 1  1  1 
 90 85 80 

Por tanto, la velocidad promedio del vehículo de transporte será de 84.80
km/h.

Ejercicios resueltos

01.- Dado el presente histograma borroso, correspondiente a los pesos de 30
trabajadores de una empresa industrial, además que se sabe que la am-
plitud intervalica es constante, sabiendo que: X  78 , marca de clase
X 1  50 y las barras se levantan en la fi en valores enteros, debido a
que las frecuencias absolutas no pueden tomar valores en punto deci-
mal.

fi

12
10
08
06
04
02

45 55 65 105 115 Xi: Pesos en KG.

a) Generar la tabla de frecuencias completa

b) Completar el histograma

c) Determinar la moda de los pesos

Estadística Descriptiva Básica ~ 47 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Solución:

Si se sabe que la amplitud A: es constante, X  78 y X1 = 50

Ahora con los datos del enunciado generamos la siguiente distribución de fre-
cuencias incompleta.

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[45 ; 55> 50
[55 ; 65> 30 1
[65 ; 75> 30 1
[75 ; 85>
[85 ; 95>
[95 ; 105>
[105 ; 115>
Total

a) ahora completamos los datos en la distribución de frecuencias

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[45 ; 55> 50
[55 ; 65> 60 2
[65 ; 75> 70
[75 ; 85> 80 f2
[85 ; 95> 90
[95 ; 105> 100 5
[105 ; 115> 110
Total 9

5

f6

2 30 1

30 1

Se ha completado los datos con ayuda del grafico que muestra el enunciado.
Continuamos con la solución, ahora aplicamos:

Estadística Descriptiva Básica ~ 48 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

k ( fi )  n
i 1

2 + f2 + 5 + 9 + 5 + f6 + 2 = 30

f2 + f6 + 23 = 30

f2 + f6 = 30 - 23

f2 + f6 = 7…. (I)

De acuerdo al enunciado se tiene X  78 sabiendo que la media aritmética
es:

 X  k ( fi )(X i ) ; k ( fi )(X i )  78
i 1 i 1

n n

Entonces tenemos:

(2)(50)  (f2 )(60)  (5)(70)  (9)(80)  (5)(90)  (f6 )(100)  (2)(110)  78
30

(100)  (60 f2 )  (350)  (720)  (450)  (100 f6 )  (220)  78
30

(100)  (60 f2 )  (350)  (720)  (450)  (100 f6 )  (220)  (78)(30)
(100)  (60 f2 )  (350)  (720)  (450)  (100 f6 )  (220)  2340

1840  (60 f2 )  (100 f6 )  2340

60 f2  100 f6  2340  1840

60 f2  100 f6  500
Simplificando entre 10 tenemos:

6 f2  10 f6  50 ….(II)

Entonces de I y II se tiene:

6f2 + 10f6 = 50  (-1)( 6f2 + 10f6 = 50 )  -6f2 - 10f6 = -50

f2 + f6 = 7  (6)( f2 + f6 = 7 )  6f2 + 6f6 = 42

Estadística Descriptiva Básica ~ 49 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

-4f6 = -8  f6 = 8
4

Donde:

f6 = 2

Por tanto remplazando en I, se tiene:

f2 + f6 = 7…. (I)

f2 + 2 = 7

f2 = 7-2

Donde:

f2 = 5

La distribución queda completa en la siguiente tabla de frecuencias

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[45 ; 55> 50
[55 ; 65> 60 2 2 2/30 2/30
[65 ; 75> 70
[75 ; 85> 80 5 7 5/30 7/30
[85 ; 95> 90
[95 ; 105> 100 5 12 5/30 12/30
[105 ; 115> 110
Total 9 21 9/30 21/30

5 26 5/30 26/30

2 28 2/30 28/30

2 30 2/30 30/30

30 1

Estadística Descriptiva Básica ~ 50 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

b) Completar el histograma

fi

12
10
08
06
04
02

45 55 65 105 115 Xi: Pesos en KG.

C) Determinar la Moda de los pesos de los 30 trabajadores

L AU . 1 
 1  2 
X 
x + x

Donde:

fmo  es la frecuencia absoluta mas alta en la distribución

f1  es la frecuencia absoluta anterior a la frecuencia que contiene a la Moda
f2  es la frecuencia absoluta posterior a la frecuencia que contiene a la Moda

1  fmo  f1
2  fmo  f2

AX  Amplitud de la clase que contiene a la Moda.

LX  Límite inferior de la clase que contiene a la Moda

Estadística Descriptiva Básica ~ 51 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Reemplazando tenemos:

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[45 ; 55> 50
[55 ; 65> 60 2 2 2/30 2/30
[65 ; 75> 70
[75 ; 85> 80 5 7 5/30 7/30
[85 ; 95> 90
[95 ; 105> 100 5 (f1) 12 5/30 12/30
[105 ; 115> 110
Total 9 (fmo) 21 9/30 21/30

5 (f2) 26 5/30 26/30

2 28 2/30 28/30

2 30 2/30 30/30

30 1

1  9  5  4
2  9 5  4

X  75 + (10) . ( 4 4 4 )


X  80

Interpretación:

Por tanto el peso que tiene mayor presencia en el grupo de 30 trabajadores
es de 80 KG.

02.- Dada la siguiente distribución de frecuencias incompleta

Intervalos Xi Fi hi Hi
[; > 19
[; > 3
[; >
[ ; 24> 5
[; >
13

0.15 0.80

Estadística Descriptiva Básica ~ 52 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Se pide:

a) completar la tabla de distribución de frecuencias, si se sabe que la amplitud
de la distribución es constante.

b) calcular la media aritmética y la mediana.

Solución:

a)

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[; > 19
[; > 33
[; >
[ ; 24> 25
[; >
Total 8 13

f4 0.15 0.80

f5 0.20 1.00

n 1.00

Sabiendo que:

 hk 1
i1 i

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
19
[; > 3 3 3/n

[; > 2 5 2/n

[; > 8 13 8/n

[ ; 24> f4 0.15 0.80

[; > f5 0.20 1.00

Total n 1.00

 hk 1
i1 i

3  2  8  0.15  0.20  1
n n n

Estadística Descriptiva Básica ~ 53 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

13  0.35 1; 13 1 0.35
n n

13  0.65
n

n  20

Ahora determinamos f4 y f5

h4  f4 ; 0.15  f4 ; f4 3
20 20

h5  f5 ; 0.20  f5 ; f5  4
20 20

Ahora tenemos:

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[; > 19
[; > 3 3 0.15 0.15
[; >
[ ; 24> 2 5 0.10 0.25
[; >
Total 8 13 0.40 0.65

3 16 0.15 0.80

4 20 0.20 1.00

20 1.00

Para determinar los valores de los intervalos de clase hacemos uso de las
siguientes formulas (Nota: estas fórmulas se aplican solo cuando la amplitud
es constante).

Y0'  X1  A
2

Y1'  X2  A
2

Estadística Descriptiva Básica ~ 54 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Donde:
A es la amplitud constante de la distribución

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ Y0' ; Y1' > 19-c
[ Y1' +A > 19 3 3 0.15 0.15
[ +A > 19+A
[ +A 24> 19+2A 2 5 0.10 0.25
[; > 19+3A
Total 8 13 0.40 0.65

3 16 0.15 0.80

4 20 0.20 1.00

20 1.00

Nótese que en Xi se realiza la suma “+A”, debido a que A es constante.

Y1'  X2  A ; Y1'  19  A ….(I)
2 2

Y1'  3 A  24 ….(II)
Entonces de (I) y (II) se tiene:

3A  A  19  24
2

3A  A  24  19 ; 3A  A  5
2 2

6A A  5 ; 5A  10
2

A  10
5

A2

Ahora remplazando en:

Estadística Descriptiva Básica ~ 55 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Y1'  X2  A  19  2  18
2 2

Y1'  18

Por tanto Y0'  16
Finalmente, la distribución completa es:

Intervalos Xi fi Fi hi Hi

[ 16 ; 18 > 17 3 3 0.15 0.15

[ 18 ; 20 > 19 2 5 0.10 0.25

[ 20 ; 22 > 21 8 13 0.40 0.65

[ 22 ; 24 > 23 3 16 0.15 0.80

[ 24 ; 26 > 25 4 20 0.20 1.00

Total 20 1.00
b)

Ahora calculamos la media aritmética de la distribución.

X  k ( fi )(X i ) ; reemplazando tenemos:
i 1

n

X  (3)(17)  (2)(19)  (8)(21)  (3)(23)  (4)(25)
20

X  426
20

X  21.3

Ahora calculamos la mediana de la distribución,

Si se sabe que: para determinar el valor de la Mediana se tiene la siguiente
formula:

Estadística Descriptiva Básica ~ 56 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

 n  FK 1 
. 2 
Med  Linf  A  
FK  FK 1 

Dónde:

Linf = Límite inferior de la clase que contiene al Med
n = representa al número total de datos

Fk = Frecuencia absoluta acumulada que contiene al Med
Fk1 = Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase que contiene a la

Med

A = Amplitud de la clase que contiene al Med

n  20  10 Ubicamos en las frecuencias acumuladas, 10 se encuentra den-
2 2

tro de 13, por tanto este es la fila en la tabla que contiene a la Med

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ 16 ; 18 > 17
[ 18 ; 20 > 19 33 0.15 0.15
[ 20 ; 22 > 21
[ 22 ; 24 > 23 2 5(Fk-1) 0.10 0.25
[ 24 ; 26 > 25
Total 8 13(Fk) 0.40 0.65 Med

3 16 0.15 0.80

4 20 0.20 1.00

20 1.00

 n  FK 1  2. 10  5 
. 2  13  5 
Med  Linf  A    Med  20 
FK  FK 1 

Estadística Descriptiva Básica ~ 57 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Med  20  2. 5 
8 

Med  21.25

03.- Dada la siguiente distribución de frecuencias con información parcial

Intervalos Xi fi Fi Hi
[> 9 14
[>
[ 12 > 20
[>
[>
Total

Si se sabe que:
h1 = h5 ; h2 = h4 ; h4 - h5 = 0.1

Se pide:
a) Completar la tabla de distribución de frecuencias
b) Determinar la Media aritmética
c) Determinar la Moda

Estadística Descriptiva Básica ~ 58 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Solución: Medidas de tendencia central
a)
fi Fi hi Hi
Intervalos Xi h1 h1
[> 9 h2 h1+h2
[>
[ 12 > 14 h3 14/20
[>
[> 1
Total 20 1

Del enunciado tenemos:

h2 – h1 = 0.1 ; h1 = h2 – 0.1 …(I)
De la tabla tenemos:

h1 + h2 + h3 = 14 …(II)
20

reemplazando I en II, se tiene:

(h 2  0.1)  h2  h3  14
20

2h2  h3  0.1  0.70

2h2  h3  0.70  0.10

2h2  h3  0.80
h3  0.80  2h2 …(III)
Si se sabe que:

k

hi  1

i 1

Y deduciendo que la distribución es simétrica, entonces:

Estadística Descriptiva Básica ~ 59 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[> 9 h1 h1
[> h2 h1+h2
[ 12 >
[> 14 h3 14/20
[> h2
Total h1 1

20 1

Entonces:

k

 hi  1

i 1

h1  h2  h3  h2  h1  1...(IV)

Reemplazando I y III en IV

(h2  0.1)  h2  (0.80  2 h2 )  h2  (h2  0.1)  1

h2  0.1 h2  0.80  2 h2  h2  h2  0.1  1

2h2  0.60  1

2h2  0.40

h2  0.40
2

h2  0.20

Reemplazando en I, se tiene:

h1  h2  0.1
h1  0.20  0.10
h1  0.10

Estadística Descriptiva Básica ~ 60 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

La distribución se completa quedando así:

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ >9
[> 0.10 h1
[ 12 >
[> 0.20 h1+h2
[>
Total 14 h3 14/20

k 0.20

 hi  1 0.10 1

i 1 20 1

0.10  0.20  h3  0.20  0.10  1
h3  0.60  1
h3  1 0.60
h3  0.40

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[> 9
[> f1 0.10 (h1) 0.10
[ 12 >
[> f2 0.20 (h2) 0.30
[>
Total f3 14 0.40 (h3) 0.70

f4 0.20 (h4) 0.90

f5 0.10 (h5) 1.00

n = 20 1

h1  f1  0.10  f1  f1 2 h2  f2  0.20  f2  f2 4
n 20 n 20

Por simetría f4  4 ; f5  2

Entonces: k fi  n
i 1

2 + 4 +f3 + 4 + 2 = 20

Estadística Descriptiva Básica ~ 61 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

f3 = 8

Intervalos Xi fi Fi hi Hi

[ Y0' +A Y1' 9 2 2 0.10 0.10
>
[ Y1' +A 12 > 4 6 0.20 0.30
8 14 0.40 0.70
[12 > 0.90
1.00
[> 4 18 0.20

[> 2 20 0.10

Total n = 20 1

Ahora determinamos los valores de los intervalos de clase

Y0'  X1  A
2

Y1'  X2  A
2

Entonces:

Y0'  9 A ...(V )
2

Y0'  2 A  12...(VI )

De V y VI se tiene

2A  A  9  12
2

2A  A  12  9
2

2A A 3  4A A 3  3A  6
2 2

A  6
3

A2

Entonces la tabla de frecuencias se completa

Estadística Descriptiva Básica ~ 62 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ 08 10 > 9 0.10
[ 10 12 > 11 2 2 0.10 0.30
[ 12 14 > 13 0.70
[ 14 16 > 15 4 6 0.20 0.90
[ 16 18 > 17 1.00
Total 8 14 0.40

4 18 0.20

2 20 0.10

n = 20 1

b) determinamos la media aritmética

X  k ( fi )(X i ) ; reemplazando tenemos:
i 1

n

X  (2)(9)  (4)(11)  (8)(13)  (4)(15)  (2)(17)
20

X  260
20

X  13

c) determinamos la moda

X Lx  Ax . 1 
 1  2 


Intervalos Xi fi Fi hi Hi
[ 08 10 > 9 0.10
[ 10 12 > 11 2 2 0.10 0.30
[ 12 14 > 13 0.70
[ 14 16 > 15 4 (f1) 6 0.20 0.90
[ 16 18 > 17 1.00
Total 8 (fmo) 14 0.40

4 (f2) 18 0.20

2 20 0.10

n = 20 1

Estadística Descriptiva Básica ~ 63 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

X  12  (2)( (8  8  4  4) )  X  12  (2)( 4 )
4)  (8 8
X  13

04.- En la siguiente distribución de frecuencias f1 = 5 veces el límite inferior del
segundo intervalo de clase y la amplitud es constante.

Intervalos Xi fi Fi
[ ; 4> 18 w
[;> z
[;> 2z
[;> 60
[;> w 220

Se pide determinar:
a) Completar la distribución de frecuencias
b) Determinar la media aritmética
c) Determinar la Mediana
d) Determinar la Moda
e) Determinar si la distribución es simétrica
Solución:
a)

Intervalos Xi fi Fi
[ ; 4> 18 20
[4 ; > z
[;> 2z
[;> 60
[;> 20 220
Total 220

Estadística Descriptiva Básica ~ 64 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

k fi  n Medidas de tendencia central
i 1
fi Fi
20  z  2z  60  20  220 20 20
40 60
3z 100  220 80 140
60 200
3z  220 100 20 220
220
3z  120

z  40

Intervalos Xi
[ ; 4> 18-4A
[4 ; > 18-3A
[;> 18-2A
[;> 18-A
[;> 18
Total

Intervalos Xi fi Fi
18 - 4A 20 20
[ Y ' Y1' (4) > 18 – 3A
0 18 - 2A 40 60
18 - A
[ Y1' (4) +A Y ' > 18 80 140
2
60 200
[ Y ' +A Y ' >
2 3 20 220
22
[ Y ' +A Y ' > 0
3 4

[ Y ' Y ' >
4 5

Total

Cuando la amplitud es constante, entonces se cumple:

Y4'  3A  4
Y4'  4  3A...(I)

Estadística Descriptiva Básica ~ 65 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Y0'  X1  A ; Y1'  X2  A
2 2

Y2'  X3  A ; Y3'  X4  A
2 2

Y4'  X5  A
2

entonces :

Y4'  18  A ...(II)
2

De I y II tenemos:

4 3A  18  A
2

3A  A  18  4
1 2

6A A  14
2

7 A  28

A  28
7

A4

Otra forma

Y0'  4  A...(III)

Y0'  (18  4 A)  A ...(IV)
2

Estadística Descriptiva Básica ~ 66 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Reemplazamos III en IV, ahora tenemos:

(18  4 A)  A  4  A   4A A A  4 18
2 2

3A  A  14  6A  A  14   7 A  28
1 2 2

A  28
7

A4

Intervalos Xi fi Fi
[0 ; 4> 02 20 20
[4 ; 8> 06 40 60
[ 8 ; 12> 10 80 140
[ 12 ; 16 > 14 60 200
[ 16 ; 20 > 18 20 220
Total 220

b) Determinamos la media aritmética

X  k ( fi )(Xi ) ; reemplazando tenemos:
i 1

n

X  (20)(02)  (40)(06)  (80)(10)  (60)(14)  (20)(18)
220

X  2280
220

X  10.3636364

c) Determinamos la Mediana

n  220  110
2 2

Estadística Descriptiva Básica ~ 67 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Intervalos Xi fi Fi Med
[0 ; 4> 02 20 20
[4 ; 8> 06 40 60 (Fk-1)
[ 8 ; 12> 10 80 140 (Fk)
[ 12 ; 16 > 14 60 200
[ 16 ; 20 > 18 20 220
Total 220

 n  FK 1  4. 110  60 
. 2  140  60 
Med  Linf  A    Med  8 
FK  FK 1 

Med  8  2.  50 
 80 

Med  9.25

d) Determinamos la Moda

X Lx Ax . 1 
 1  2 


Intervalos Xi fi Fi
[0 ; 4> 02 20 20
[4 ; 8> 06 40 f1 60
[ 8 ; 12> 10 80 fmo 140
[ 12 ; 16 > 14 60 f2 200
[ 16 ; 20 > 18 20 220
Total 220

Estadística Descriptiva Básica ~ 68 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

X 84 . (80  40)   X 84 . (40) 
 (80  40)  (80  60)   (40)  (20) 
 
XX180.646.6 (40()40()20)




e) Determinar si la distribución es simétrica

Para que la distribución sea simétrica además tiene que cumplir f2 = f4, lo
cual

Es diferente 40  60 , por tanto la distribución no es Simétrica.

5.- Dada la siguiente distribución de frecuencias incompleta, determinar los

valores que faltan ( H 2 y H 4 ) si h2  h3, x  8.4y la amplitud intervalica

es constante.

Intervalos Xi Hi
[;> 0.20
[;> 10 H2
[;> 18 0.80
[ ; 16> H4
[;>

Solución:
Si h2 = h3

Intervalos Xi hi Hi

[;> 0.20 0.20

[;> h2 H2

[ ; > 10 h2 0.80

[ ; 16> 10+A h4 H4

[ ; > 10+2A = 18 h5 1

TOTAL 1

Estadística Descriptiva Básica ~ 69 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Si : h2  0.20  H2 10  2 A  18
y H2  h2  0.80
Entonces :

(0.20  h2 )  h2  0.8 2 A  18 10

2h2  0.20  0.80 2A  8

2h2  0.60 A  8
2
h2  0.60
2 A4

h2  0.30

Remplazando los valores obtenidos se tiene:

Intervalos Xi hi Hi
2 0.20 0.20
[00 ; 04> 6 0.30 0.50
10 0.30 0.80
[04 ; 08> 14 h4 H4
18 h5 1
[08 ; 12> 1

[12 ; 16>

[16 ; 20>

TOTAL

 hk 1
i 1 i

0.20  0.30  0.30  h4  h5  1

h 4  h5  1 0.80

h 4  h5  0.20 ...(I)

 k k
i 1 i 1
x i hi  x entonces : x i hi  8.4

Desarrollando se tiene :

(2)(0.20)  (6)(0.30)  (10)(0.30)  (14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4
0.4  1.8  3  (14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4
5.2  (14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4
(14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4  5.2
(14)(h4 )  (18)(h5 )  3.2 ...(II)

Estadística Descriptiva Básica ~ 70 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

14(h4  h5  0.20)  14h4  14h5  2.8
1(14h4  18h5  3.20)   14h4  18h5  3.20

4h5  0.4

h5  0.4  0.10
4

h5  0.10

Remplazando en I tenemos:

h4  h5  0.20
h4  0.10  0.20
h4  0.20  0.10
h4  0.10

La tabla queda de la siguiente forma:

Intervalos Xi hi Hi
[00 ; 04> 2 0.20 0.20
[04 ; 08> 6 0.30 0.50
[08 ; 12> 10 0.30 0.80
[12 ; 16> 14 0.10 0.90
[16 ; 20> 18 0.10 1
TOTAL 1

Por tanto, los valores de H2 y H4 son:

H2  0.50
H4  0.90

Estadística Descriptiva Básica ~ 71 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

06.- En el problema anterior determinar los valores de h4 y h5, si en este caso
desconocemos el valor de X3= 10

Intervalos Xi Hi
[;> 18 0.20
[;> H2
[;> 0.80
[ ; 16> H4
[;>

Solución:
Si h2 = h3

Intervalos Xi hi Hi
[;> 18 0.20 0.20
[;> h2 H2
[;> h2 0.80
[ ; 16> h4 H4
[;> h5 1
TOTAL 1

Si : h2  0.20  H2
y H2  h2  0.80
Entonces :

(0.20  h2 )  h2  0.8

2h2  0.20  0.80

2h2  0.60

h2  0.60
2

h2  0.30 por tanto h3  0.30

Estadística Descriptiva Básica ~ 72 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Remplazando los valores obtenidos se tiene:

Intervalos Xi hi Hi
[ Y0' ; Y1' > x1 0.20 0.20
[ Y1' ; Y2' > x2 0.30 0.50
[ Y2' ; Y3' > x3 0.30 0.80
[Y3' ; 16> x4 h4 H4
[ Y4' ; Y5' > x5 = 18 h5 1
1
TOTAL

Del cuadro se tiene Y4'  16
Ahora partiendo de que la amplitud es constante, se cumple que:

Y0'  X1  A
2

Y1'  X2  A
2

Y2'  X3  A
2

Y3'  X4  A
2

Y4'  X5  A  Y4'  18  A  16  18  A  A  4(amplitud)
2 2 2

La tabla queda de la siguiente forma:

Intervalos Xi Hi Hi
[00 ; 04> 2 0.20 0.20
[04 ; 08> 6 0.30 0.50
[08 ; 12> 10 0.30 0.80
[12 ; 16> 14 h4 H4
[16 ; 20> 18 h5 1
TOTAL 1

Estadística Descriptiva Básica ~ 73 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Si se sabe que:

 hk 1
i 1 i

0.20  0.30  0.30  h4  h5  1

h4  h5  1  0.80

h4  h5  0.20 ...(I)

Si se sabe que:

 k hi : k  8.4
i 1 i 1
x i  x entonces x i hi

Desarrollando se tiene :

(2)(0.20)  (6)(0.30)  (10)(0.30)  (14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4
0.4  1.8  3  (14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4
5.2  (14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4
(14)(h4 )  (18)(h5 )  8.4  5.2
(14)(h4 )  (18)(h5 )  3.2 ...(II)

14(h4  h5  0.20)  14h4  14h5  2.8
1(14h4  18h5  3.20)   14h4  18h5  3.20

4h5  0.4

h5  0.4  0.10
4

h5  0.10

Remplazando en I tenemos:

h4  h5  0.20
h4  0.10  0.20
h4  0.20  0.10
h4  0.10

Estadística Descriptiva Básica ~ 74 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

La tabla queda de la siguiente forma: Medidas de tendencia central

Intervalos Xi hi Hi
[00 ; 04> 2 0.20 0.20
[04 ; 08> 6 0.30 0.50
[08 ; 12> 10 0.30 0.80
[12 ; 16> 14 0.10 0.90
[16 ; 20> 18 0.10 1
TOTAL 1

Por tanto los valores de H2 y H4 son:
h4  0.10
h5  0.10
07.- Dada la siguiente grafica de bastones sobre las estaturas en (cm) de un
grupo de 40 estudiantes (los bastones se levantan en un punto entero de la
frecuencia absoluta).

fi

12

10

8

6

4

2

150 155 160 165 170 175 180 185 xi : estaturas

a) Determinar la estatura promedio del grupo de estudiantes.
b) Determinar la estatura que es expedido por el 80% de las estaturas.

Estadística Descriptiva Básica ~ 75 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

c) Determinar la estatura que supera al 90% de las estaturas.

Solución:

a) para determinar la estatura promedio, primero generamos la tabla de distri-
bución de frecuencias, a partir de tabla calculamos el promedio con:

 X k fi xi k
i 1 ó X i 1 hi xi

n

Las dos fórmulas conducen al mismo resultado.

Estaturas(Xi) fi Fi hi Hi
150 3
155 8 3 3/40 3/40
160 5
165 10 11 8/40 11/40
170 6
175 3 16 5/40 16/40
180 4
185 1 26 10/40 26/40
Total 40
32 6/40 32/40

35 3/40 35/40

39 4/40 39/40

40 1/40 40/40

1

X  fk x i

i 1 i

n

X  (3)(150)  (8)(155)  (5)(160)  ...  (3)(175)  (4)(180)  (1)(185)
40

X  6590
40

X  164.75

Estadística Descriptiva Básica ~ 76 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

b) Para determinar la estatura que es excedido por el 80% de las estaturas.

Para distribuciones discretas (donde haya ausencia de intervalos de clase)
usamos la siguiente formula:

Pi  (i)(n)
100

Donde Pi lo ubicamos en la frecuencia absoluta acumulada, y el valor en Xi
representa al Pi (Percentil i de la distribución de datos).

P20 80

P20  (20)(40)
100

P20  800  P20  8
100

8 se encuentra dentro de F2, por tanto P20 = 155.

Estaturas(Xi) fi Fi hi Hi
150 3
155 8 3 3/40 3/40
160 5
165 10 11 8/40 11/40
170 6
175 3 16 5/40 16/40
180 4
185 1 26 10/40 26/40
Total 40
32 6/40 32/40

35 3/40 35/40

39 4/40 39/40

40 1/40 40/40

1

c) Ahora para determinar la estatura que supera al 90% de las estaturas.

Pi  (i)(n)
100

Estadística Descriptiva Básica ~ 77 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Donde Pi lo ubicamos en la frecuencia absoluta acumulada, y el valor en Xi
representa al Pi (Percentil i de la distribución de datos).

P90  (90)(40)
100

P90  3600  P90  36
100

36 se encuentra dentro de F7, por tanto P90 = 180.

Estaturas(Xi) fi Fi hi Hi
150 3 F1 =3 3/40 3/40
155 8 F2=11 8/40 11/40
160 5 16 5/40 16/40
165 10 26 10/40 26/40
170 6 32 6/40 32/40
175 3 35 3/40 35/40
180 4 39 4/40 39/40
185 1 40 1/40 40/40
Total 40 1

NOTA: la determinación de los cuartiles en distribuciones discretas y en datos
no tabulados, tienen un tratamiento específico, en función a si la posición de-
terminada es entera o en punto decimal (revisión para el lector).

Estadística Descriptiva Básica ~ 78 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

08.- A continuación se presenta una tabla de frecuencias con cierta informa-
ción incompleta si se sabe que la distribución es simétrica y la amplitud de

clase constante.

Intervalos Xi Hi
[;> 16.5 0.20
[;> 0.30
[;>
[ ;>
[;>
[;>

a) Completar la tabla de frecuencia.

b) Determinar la media aritmética de los datos.

Solución:

Completamos por simetría:

Intervalos Xi hi Hi
[;> 16.5 0.20 0.20
[;> 0.10 0.30
[;> W
[ ;> W
[;> 0.10
[ ; 21> 0.20 1.00
Total 1.00

Estadística Descriptiva Básica ~ 79 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Si se sabe que:

 hk 1
i 1 i

0.20  0.10 W W  0.10  0.20  1

2W  0.60  1

2W  1 0.60  2W  0.40

W  0.40
2

W  0.20

Entonces:

Intervalos Xi hi Hi
[;> 16.5 0.20 0.20
[;> 0.10 0.30
[;> 0.20 0.50
[ ;> 0.20 0.70
[;> 0.10 0.80
[ ; 21> 0.20 1.00
Total 1.00

Ahora completamos los milites de cada clase de acuerdo al siguiente plantea-
miento:

Intervalos Xi hi Hi
[ Y0' ; Y1' > 16.5 0.20 0.20
[ Y1' ; Y2' > 0.10 0.30
[ Y2' ; Y3' > 0.20 0.50
[ Y3' ; Y4' > 0.20 0.70
[21-2A ; 21-
A> 0.10 0.80
[ 21-A ; 21>
0.20 1.00
Total 1.00

Estadística Descriptiva Básica ~ 80 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Ahora partiendo de que la amplitud es constante, se cumple que:

Y0'  X1  A ; Y1'  X2  A ; Y2'  X3  A ; Y3'  X4  A
2 2 2 2

Y4'  X5  A  Y4'  16.5  A ...(I)
2 2

También se cumple que:

Y4'  21  2 A...(II)

De I y II tenemos:

21  2A  16.5  A
2

21  16.5  2A  A
2

4.5  4A A
2

3A  9

A  9  A  3
3

Intervalos Xi hi Hi
[03 ; 06> 4.5 0.20 0.20
[06 ; 09> 7.5 0.10 0.30
[09 ; 12> 10.5 0.20 0.50
[12 ; 15> 13.5 0.20 0.70
[15 ; 18> 16.5 0.10 0.80
[18 ; 21> 19.5 0.20 1.00
Total 1.00

Estadística Descriptiva Básica ~ 81 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

b)
Si se sabe que:

x  k xi hi
i 1

Desarrollando se tiene :

x  (4.5)(0.20)  (7.5)(0.10)  (10.5)(0.20)  ...  (19.5)(0.20)

x  18.85

09.- Dada la siguiente distribución continuación de edades incompleta. Si
f4  3 f 2 , F2  F3  11

Edades fi Fi
[ 18 - 20 > 2
[ 20 - 22 > F2
[ 22 - 24 > 5 F3
[ 24 - 26 >
[ 26 - 28 > 4
Total 15

a) Completar la tabla de frecuencias.
b) Determinar cuántos individuos tienen edades entre 21, 27 años.
c) Determinar cuántos individuos tienen más de 23 años.
d) Determinar la proporción de individuos que tienen más de 23 años.

Estadística Descriptiva Básica ~ 82 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Solución: Medidas de tendencia central

a) Completamos de acuerdo al enunciado Fi
F2
Edades fi F3

[ 18 - 20 > 2 Fi
2
[ 20 - 22 > w 3
8
[ 22 - 24 > 5 11
15
[ 24 - 26 > 3w

[ 26 - 28 > 4

Total 15

n  fk

i 1 i

Desarrollando se tiene :

n  2  w  5  3w  4

15  2  w  5  3w  4  15  11 4w

4w  4

w  4  1
4

w 1

Edades fi
2
[ 18 - 20 >
[ 20 21 22 1
>
[ 22 - 24 > 5
3
[ 24 - 26 >
[ 26 27 28 4
>
Total 15

Estadística Descriptiva Básica ~ 83 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

b) debido a que los valores a encontrar están dentro de cada intervalo se re-
quiere interpolar:

El nº de individuos con edades entre 21, 27 años será: Num_Individuos

Num _ Individuos   22  21  (1)  5  3   28  27  ( 4)  10.5  11
 22  20  28  26

c)

Edades fi Fi hi
2 2 2/15
[ 18 - 20 > 1 3 1/15

[ 20 - 22 > 5 8 5/15
[ 22 23 24
> 3 11 3/15
[ 24 - 26 > 4 15 4/15
15
[ 26 - 28 >

Total

Num _ Individuos   24  23  .(5)  3  4  9.5
 24  22 

Num _ Individuos  9.5  10

Num _ Individuos  10

d)

Num _ Individuos   24  23 . 5    3    4   0.6333
 24  22 15   15   15 

Num _Individuos  0.6333  0.64  porcentualmente multiplicamos por 100

Num _Individuos  (0.64)(100)  64%

10.- A continuación se presenta las estaturas de 20 estudiantes en centíme-
tros del IV semestre de ingeniería metalúrgica de una universidad de la región
de Puno (datos no agrupados).

170 162 154 171 157 156 151 157 160 163

169 170 157 165 179 154 172 164 170 166

Estadística Descriptiva Básica ~ 84 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

a) Determinar la moda de las estaturas.

b) Determinar la mediana de las estaturas.

Solución:

a) Para determinar la moda primero ordenamos los datos en forma ascen-
dente

170 162 154 171 157 156 151 157 160 163

169 170 157 165 179 154 172 164 170 166

Ordenados:

151 154 154 156 157 157 157 160 162 163

164 165 166 169 170 170 170 171 172 179

La Moda de identifica a aquel valor que más se repite en los datos:

En este caso tenemos dos modas (bimodal)

X1  157 y X 2  170

b) para determinar la mediana de las estaturas se hace uso de la siguiente
formula:

Caso II: n par

X n  n 1 X 20  20  1 X 10vo  11vo 163  164
2 2 2  2 2
 2   
2 2

X  163.5

11.- Una empresa textil registra el acopio de prendas como bufandas, chom-
pas y gorras por docena. A continuación se tiene información parcial, solo del
acopio de bufandas registrados durante los años 2015 - 2016.

Estadística Descriptiva Básica ~ 85 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Docenas acopiadas Xi fi Información
2015(Bufandas) 3 adicional.
*Distribución
[- > 12.5 simétrica
f2  f3  25
[- >
C: Constante
[->
K
[ 25 - >
 fi  56
[- > 37.5
[- > i 1

F5  53

F1  f 2  1 5

Docenas acopiadas Fi Información
2016(Bufandas) adicional
9 3
13 C:constante
25 30
Totales 42
65
153

Se pide determinar:

a) Completa las tablas de frecuencias
b) Si la docena de bufandas tuvo un precio permanente de S./ 60.00 durante

todo el periodo (2015 -2016), ¿Cuánto dinero debió asignar para cada
año de acopio de bufandas?
c) Si también durante el mismo periodo (2015-2016) el acopio promedio total
de chompas fue de 157 docenas más que el promedio total de docenas
de bufanda s a un precio de S/. 75 y el promedio total de docenas de
gorras acopiadas fue 30% menos del promedio total de docenas de chom-
pas a un precio de S/ 45. Determinar el costo promedio total entre

Estadística Descriptiva Básica ~ 86 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

docenas de gorras, bufandas y chompas acopiadas durante dicho pe-
riodo.

a) Completa las tablas de frecuencias

Solución:

Docenas acopiadas Xi fi Fi Información adi-
2015 12.5 3 3 cional.
15 *Distribución si-
[ Y0' - Y0' +C> métrica

[Y0' +C - Y0' +2C> +C 12 f2  f3  25

[Y0' +2C - Y0'+3C> +C 13 28 C: Constante
[ 25 - > +C 13 41
[-> +C 12 53 K

 fi  56

i 1

F5  53

[ - > +C=37.5 3 56 F1  f 2  1 5

56

12.5  C  C  C  C  C  37.5

12.5  5C  37.5

5C  37.5  12.5

5C  25

C  25  C  5
5

Partiendo de tenemos: Y1' Y0' C entonces:

Y0' 3C25  Y0' 3(5)25  Y0' 1525
Y0' 2515  Y0' 10

Por tanto: Y1'  Y0'  C  10  5
Y1'  15

Estadística Descriptiva Básica ~ 87 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.

Medidas de tendencia central

Docenas acopia- Xi fi Fi Información
das 2015 33 adicional.
12 15 *Distribución
[ 10 - 15 > 12.5 13 28 simétrica
f2  f3  25
[ 15 - 20 > 17.5
C: Constante
[ 20 - 25 > 22.5
K
[ 25 - 30 > 27.5 13 41
 fi  56
[ 10 - 15 > 32.5 12 53
[ 10 - 15 > 37.5 3 56 i 1

56 F5  53

F1  f 2  1 5

Ahora completamos la siguiente tabla.

Docenas acopiadas 2016 fi Fi Información
adicional
9 3 3 C:constante
9+C 10 13
9+2C 17 30
9+3C 12 42
9+4C = 25 23 65
Totales 88 153
153

Estadística Descriptiva Básica ~ 88 ~ Huanca S., Jhon R & Auquitias C., Gladys M.