ALJABAR LINER ELEMENTER KELOMPOK 3 PSPM 2021 C MODUL DIGITAL
KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan rahmat-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah aljabar linear elementer tentang Matriks pada materi Fungsi Determinan dan Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris dengan tepat waktu. Adapun tugas ini dibuat untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linera Elementer. Kami juga berterima kasih kepada Bapak Dosen Drs. Yasifati Hia,M.Si yang sudah memberikan bimbingan dan saran dalam terwujudnya makalah ini. Penulis menyadari bahwa tugas makalah ini masih jauh dari katya sempurna. Oleh karena itu penyusun mohon kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Semua kritik, saran, dan petunjuk yang diberikan akan diterima dengan senang hati. Akhir kata kami mengucapkan terimakasih semoga dapat bermanfaat dan bisa menambah pengetahuan bagi pembaca. Medan, 8 Maret 2023 Penulis Kelompok 3
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.......................................................................................................................... 2 BAB I..................................................................................................................................................... 4 PENDAHULUAN................................................................................................................................. 4 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................................. 4 1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................................................ 4 1.3 Tujuan .......................................................................................................................................... 4 1.4 Manfaat ........................................................................................................................................ 4 BAB II................................................................................................................................................... 5 PEMBAHASAN ................................................................................................................................... 5 2.1 Fungsi Determinan ....................................................................................................................... 5 2.2 Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris........................................................................... 7 BAB III................................................................................................................................................ 11 PENUTUP........................................................................................................................................... 11 3.1 Kesimpulan ................................................................................................................................ 11 3.2 Saran .......................................................................................................................................... 11 DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................................... 13
1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Konsep matriks merupakan salah satu cabang matematika di bidang aljabar linear. Konsep dari suatu matriks berguna untuk menyelesaikan permasalahan dalam ilmu matematika modern, salah satunya adalah penyelesaian permasalahan dengan menggunakan konsep determinan matriks. Determinan adalah sebuah bilangan yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks. Determinan hanya dapat dihitung pada matriks persegi / bujur sangkar (matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama). Determinan merupakan suatu konsep penting dalam mencari invers suatu matriks bujur sangkar. Secara umum berkembang paradigma bahwa determinan merupakan selisih dari hasil kali diagonal-diagonal pada suatu matriks sehingga determinan selalu dikaitkan dengan matriks bujur sangkar karena yang memiliki diagonaldiagonal hanya pada matriks tersebut. Determinan sering digunakan dalam berbagai aplikasi matematika, terutama dalam aljabar linear. Untuk sebuah matriks 2x2 dengan elemenelemennya a,b,c,d, determinan dapat dihitung dengan rumus: [ ] = – 1.2 Rumusan Masalah Yang menjadi rumusan masalah dalam pemaparan materi pada makalah ini adalah: 1. Apa itu determinan pada matriks dan fungsi Determinan pada matriks? 2. Bagaimana cara menghitung Determinan dengan Reduksi Baris? 1.3 Tujuan Yang menjadi tujuan dalam pemaparan materi pada makalah ini adalah: 1. Menjelaskan secara rinci mengenai determinan pada matriks dan Menjelaskan secara rinci mengenai fungsi determinan 2. Dan menjelaskan secara jelas bagaimana cara menghitung determinan dengan menggunakan Reduksi Baris 1.4 Manfaat Manfaat yang dicapai dalam makalah ini adalah: 1. Mengetahui penjelasan mengenai determinan pada matriks serta fungsi dari Determinan 2. Dan mengetahui cara menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Definisi : Permutasi bilangan-bilangan bulat {1, 2, … , }adalah susunan bilanganbilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangi C bilangan-bilangan tersebut. ontoh : BAB II PEMBAHASAN 2.1 Fungsi Determinan Dalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubah matriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil () dengan sebuah matriks . Sebelum kita mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkan beberapa hasil yang menyangkut permutasi. Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3}. Permutasi-permutasi ini adalah (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree). Contoh : 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan {1, 2, … , }, maka kita akan menuliskan (1, 2, … , ). Disini, 1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian, 2 adalah bilangan bulat kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadi dalam permutasi (1,2, … , ) jika sebuah bilangan bulat yang lebih besarmendahuluisebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut:
Definisi : sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil. 1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari 1 dan yang membawa 1 dalam mutasi tersebut. 2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari 2 dan yang membawa 2 dalam mutasi tersebut. Teruskanlah proses penghitungan ini untuk 3, … ,−1. Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut. Contoh : Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi berikut a) (3, 4, 1, 5, 2) b) (4, 2, 5, 3, 1) Jawab: a) Banyaknya invers adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5 b) Banyaknya invers adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7 Contoh : Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1, 2, 3} sebagai genap atau ganjil. Permutasi Banyaknya Invers Klasifikasi (1, 2, 3) 0 Genap (1, 3, 2) 1 Ganjil (2, 1, 3) 1 Ganjil (2, 3, 1) 2 Genap (3, 1, 2) 2 Genap (3, 2, 1) 3 Ganjil
[ 21 11 22 ] 12 11 12 13 11 12 [21 22 23] 21 22 31 32 33 31 32 Teorema 1 : jika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det (A) = 0 Fungsi Determinan Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A. Contoh 5 det [ 11 12] = − 21 22 11 22 12 21 11 12 13 det [21 22 23] = 112233 + 122331 + 132132 31 32 33 −132231 − 122133 − 112332 Caranya sebagai berikut : Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri. Contoh 6 Hitunglah determinan-determinan dari : A. = [ 3 1 ] 4 −2 1 2 3 B. = [−4 5 6] 7 −8 9 Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka : det(A) = (3)(-2) – (1)(4) = -10 dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka : det(B) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240 2.2 Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Teorema 2 : jika A adalah matriks segitiga × , maka det (A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama; yakni det (A) = 1122 … . Teorema 3: Misalkan A adalah sembarang matriks × . Jika ′ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det() ′ = k det(A). Jika ′ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(′) = - det(A). Jika ′ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(′) = det(A). Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower triangular), jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular). Contoh: Sebuah matriks segitiga atas 4 × 4 yang umum mempunyai bentuk 11 12 13 [ 0 22 23 14 24] 0 0 33 0 0 0 34 44 Sebuah matriks segitiga bawah 4 × 4 yang umum mempunyai bentuk ] Contoh: 1 −2 0 [0 1 −1] det (A) = 1 . 1 . 7 = 7 0 0 7 11 0 0 0 21 22 0 0 [ 31 32 33 0 41 42 43 44
Contoh : 1 2 3 A = [0 1 4] = - 2 1 2 1 4 8 12 ¼ 1 1 2 3 1 = [0 1 4 ] = 4 [0 1 4] 1 2 1 0 1 4 2 = [1 2 3] 1 2 1 1 1 2 1 = 4 . (-2) = -8 ditukar 2 = 2 1 2 3 1 2 3 3 = [−2 −3 2] 2 + 23 = [0 1 4] 1 2 1 1 2 1 = -2 Contoh : 1 3 −2 A = [ 2 6 −4 4 8 ] 2 − 21 3 9 1 5 1 1 4 8 1 3 −2 4 Det (A) = [ 0 0 0 0 ] 3 9 1 5 1 1 4 8 Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwa det (A) = 0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai dua baris yang terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ini pada baris yang satu lagi. Jadi, jika matriks kuadrat mempunyai dua baris yang sebanding, maka determinannya sama dengan nol. Karena pertambahan antar baris maka tidak berpengaruh. Karena pertukaran antar baris maka dikali −. Karena operasi perkalian maka kebalikannya dikali 1 2 3 = − [0 1 4] 1 2 1 = - (-2)
[ −1 4 Contoh : ] Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0. −2 8
3.1 Kesimpulan BAB III PENUTUP Berdasarkan informasi yang diberikan, kesimpulan yang dapat diambil dari makalah tersebut ialah Determinan merupakan sebuah bilangan yang terkait dengan suatu matriks. Determinan matriks berfungsi untuk menentukan apakah suatu sistem persamaan linear memiliki solusi unik, tidak ada solusi, atau banyak solusi. Terdapat berbagai cara untuk menghitung determinan matriks, salah satunya adalah dengan menggunakan metode reduksi baris. Metode ini dilakukan dengan mengurangi setiap baris matriks dengan kombinasi linier dari baris lainnya, hingga mendapatkan matriks segitiga atas. Determinan matriks segitiga atas dapat dihitung dengan mengalikan diagonal utamanya. Fungsi determinan memiliki beberapa sifat, di antaranya adalah: • jika suatu matriks memiliki dua baris atau kolom yang sama, maka determinannya adalah nol; • jika dua baris atau kolom pada matriks ditukar, maka nilai determinannya akan berubah tanda; • jika matriks diubah menjadi matriks segitiga atas melalui operasi baris elementer, maka nilai determinannya akan sama dengan hasil kali diagonal utama dari matriks segitiga atas tersebut. Dalam rangka untuk memahami lebih lanjut mengenai determinan dan cara menghitungnya dengan reduksi baris, disarankan untuk mempelajari konsep matriks dan aljabar linear secara menyeluruh. 3.2 Saran Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa determinan matriks adalah konsep penting dalam aljabar linear yang memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti geometri dan fisika. Metode reduksi baris adalah salah satu cara untuk menghitung determinan matriks dengan cepat dan mudah. Namun, penting untuk diingat bahwa metode ini hanya efektif pada matriks yang relatif kecil. Pada matriks yang besar, penggunaan metode ini dapat menjadi sangat rumit dan memakan waktu.
Oleh karena itu, perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk menemukan metode yang lebih efektif untuk menghitung determinan pada matriks yang besar. Terakhir, penulis menyarankan pembaca untuk mempelajari konsep aljabar linear dan matriks secara menyeluruh untuk memahami lebih lanjut tentang determinan dan aplikasinya dalam bidang yang lebih luas. Dengan demikian, diharapkan pengetahuan dan pemahaman tentang determinan matriks dapat meningkat dan dapat diterapkan pada masalah yang lebih kompleks.
LEMBAR KERJA SISWA 1) Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini Tentukan 2A + B 2) Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika determinan matriks A = -8, maka determinan matriks B adalah… 3) Nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah… 4) Hubungan dua matriks seperti di bawah ini : Nilai a yang memenuhi persamaan tersebut adalah… 5) Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut: 6) Diketahui : Tentukan a + b + c! 7) Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini! Diketahui bahwa P = Q adalah. . .
8) Diketahui matriks : Jika matriks A.B = A+C, maka nilai x+y adalah . . . 9) Tentukan determinan dari matriks A berikut ini 10) Diberikan sebuah matriks : Tentukan invers dari matriks P
DAFTAR PUSTAKA Anton, H. (1991). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Yola Sartika Sari, N. N. (2019). Determinan Matriks 2 x n. Jurnal Matematika UNAND, 188- 194.