เอกสารประกอบการเรียน

ทบทวนการแยกตวั ประกอบพหุนามดกี รสี องด้วยวธิ ีต่าง ๆ

1. การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว
ในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a , b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0
ในกรณีท่ี c = 0 พหนุ ำมดีกรีสองตัวแปรเดยี วจะอยใู่ นรูป ax2 + bx สำมำรถใชส้ มบตั ิกำรแจกแจง

แยกตวั ประกอบได้
ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x
วิธที า x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)

= x(x + 2)

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x
วิธที า 4x2 - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)

= 4x(x - 5)

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x2 - 6x
วธิ ที า -4x2 - 6x = -2x(2x + 3)

หรือ -4x2 - 6x = 2x(-2x - 3)

ตัวอย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ -15x2 + 12x

วธิ ีทา -15x2 + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)

= 3x(-5x + 4)

หรือ -15x2 + 12x = (-3x)(-5x) - (-3x)(4)

= -3x(5x - 4)

2. การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว

ในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a = 1 , b และ c เปน็ จำนวนเต็ม c ≠ 0

ในกรณีท่ี a = 1 และ c ≠ 0 พหุนำมดกี รีสองตวั แปรเดียวจะอยู่ในรปู ax2 + bx + c

สำมำรถแยกตวั ประกอบพหนุ ำมในรปู น้ีได้ โดยอำศัยแนวคิดจำกกำรหำผลคูณของพหนุ ำม ดงั ตัวอย่ำงต่อไปนี้

จากการหาผลคูณ (x + 2)(x + 3) ดงั กล่าว จะได้ขนั้ ตอนการแยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6 โดยทา

ขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้

x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [2 + 3 = 5 และ (2) x (3) = 6]

= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]

= (x + 2)x + (x +2)(3)

= (x + 2)(x + 3)

น่ันคอื x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 - x - 20 = x2 + (-1)x + (-2)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] [4 + (-5) = -1 และ (4) x (-5) = -20]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)]
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)
= (x + 5) [x + (-5)]
= (x + 4)(x – 5)

น่ันคอื x2 - x - 20 = (x + 4)(x – 5)
ในกรณที วั่ ไป เรำสำมำรถแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรีสองในรูป x2 + bx + c เมอื่ b , c เป็นจำนวนเตม็ และ
c ≠ 0 ได้ ถำ้ เรำสำมำรถหำ จำนวนเต็มสองจำนวนท่ีคูณกนั ไดเ้ ท่ำกับพจน์ที่เปน็ ค่ำคงตวั คือ c และบวกกนั ได้
เทำ่ กบั สมั ประสิทธิ์ของ x คือ b
ถำ้ ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
ตัวอยา่ งที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 10x + 21
วธิ ที า เนื่องจำก (-3)(-7) = 21

และ (-3) + (-7) = -10
ดังนั้น x2 – 10x + 21 = (x - 3)(x – 7)

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x – 6
วธิ ที า เนื่องจำก (-1)(6) = -6

และ (-1) + (6) = 5
ดังนั้น x2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)

ตวั อย่างที่ 7 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 2x - 24
วธิ ีทา -เน่ืองจำก (4)(-6) = -24

และ (4) + (-6) = -2
ดงั น้ัน x2 – 2x - 24 = (x + 4)(x – 6)

ตัวอย่างท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 2x + 1
วิธที า เนื่องจำก (1)(1) = 1

และ (1) + (1) = 2
ดังน้ัน x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 9

วิธที า เน่ืองจำก (-3)(3) = -9

และ (-3) + (3) = 0

ดังน้ัน x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

สาหรับพหนุ ามดีกรีสอง เช่น x2 + 3x + 1 เนอ่ื งจากไม่มจี านวนเตม็ สองจานวนท่ีคูณกนั ได้ 1 และ

บวกกันได้ 3 ดังน้ัน เราจึงไมส่ ามารถเขียนพหุนาม x2 + 3x + 1 ให้อยใู่ นรปู การคูณของพหุนามดกี รีหนึ่งทมี่ ี

สมั ประสทิ ธเ์ิ ปน็ จานวนเตม็ นั่นคือ เราไม่สามารถแยกตวั ประกอบของ x2 + 3x + 1 ได้

โดยทว่ั ไปแล้ว ในกำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม x2 + bx + c เมอื่ b , c เป็นจำนวนเตม็ และ c ≠ 0

ถำ้ เรำไมส่ ำมำรถหำจำนวนเต็มสองจำนวนท่คี ูณกนั ไดเ้ ท่ำกับ c และบวกกนั ได้เทำ่ กับ b เรำกไ็ ม่สำมำรถแยกตวั

ประกอบของ x2 + bx + c ออกเป็นตัวประกอบที่เป็นพหุนำมดกี รหี นงึ่ ซึ่งมีสมั ประสทิ ธ์เิ ปน็ จำนวนเตม็

3. การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว

ในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a , b และ c เปน็ จานวนเตม็ และ a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0

เพอ่ื ควำมสะดวกในกำรหำข้อสรปุ ของวธิ ีกำรแยกตัวประกอบของพหุนำม ax2 + bx + c เรำจะเรยี ก ax2 ว่ำ

พจนห์ นำ้ เรยี ก bx วำ่ พจน์กลำง และเรียก c วำ่ พจน์หลงั

พจิ ำรณำกำรคูณพหุนำมดกี รีหนง่ึ ตอ่ ไปนโี้ ดยใชส้ มบัตกิ ำรแจกแจง

(2x – 3)(3x + 1) = (2x – 3)(3x) + (2x – 3)(1)

= (6x2 – 9x) + (2x – 3)

= 6x2 + (-9x + 2x) – 3

= 6x2 – 7x – 3

ดงั นั้น ในกำรแยกตัวประกอบของ 6x2 – 7x – 3 จะทำดังนี้

1. หำพหนุ ำมดีกรหี นึง่ สองพหนุ ำมทีค่ ูณกนั แลว้ ได้พจน์หน้ำคอื 6x2 ซ่ึงอำจเป็น 2x กับ 3x หรือ x กบั 6x

เขียนสองพหนุ ำมนั้นเปน็ พจน์หนำ้ ของพหนุ ำมในวงเล็บสองวงเล็บ ดงั น้ี

(2x )(3x ) หรอื (x )(6x )

2. หำจำนวนสองจำนวนท่ีคณู กนั แล้วได้พจน์หลังคือ -3 ซ่งึ อำจเป็น 3 กบั -1 หรือ -3 กบั 1 แล้วเขียน

จำนวนทั้งสองนเ้ี ป็นพจน์หลังของพหุนำมในแต่ละวงเล็บท่ีได้ในข้อ 1. ซ่ึงทำใหเ้ กดิ กรณีท่ีต้องพิจำรณำ 8 กรณี

ดงั นี้

1) (2x + 3)(3x – 1)

2) (2x - 1)(3x + 3)

3) (2x - 3)(3x + 1)

4) (2x + 1)(3x – 3)

5) (x + 3)(6x – 1)

6) (x - 1)(6x + 3)

7) (x + 3)(6x + 1)

8) (x + 1)(6x – 3)

3. นำผลทไี่ ด้ในข้อ 2 มำหำพจนก์ ลำงเปน็ -7x ดงั น้ี

3.1

9x

(2x + 3)(3x – 1) ไดพ้ จน์กลำงเป็น 9x + (-2x) = 7x

-2x

3.2 ได้พจน์กลำงเปน็ (-3x) + 6x = 3x
-3x

(2x - 1)(3x + 3)
6x

3.3 -9x ไดพ้ จน์กลำงเป็น (-9x) + 2x = -7x
(2x - 3)(3x + 1)
2x

จะเหน็ วำ่ เมอ่ื ถงึ กรณีที่ 3) จะได้พจน์กลำงของพหนุ ำมทเ่ี ปน็ ผลคูณเท่ำกบั -7x
ดังน้ันไมต่ อ้ งพิจำรณำกรณีอ่ืน ๆ อกี นนั่ คอื แยกตวั ประกอบของพหนุ ำม 6x2 – 7x – 3
ได้ดังน้ี 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)

ตัวอยา่ งท่ี 10 จงแยกตัวประกอบของ 8x2 – 26x + 15
วธิ ที า เนื่องจำก (2x)(4x) = 8x2 และ (-5)(-3) = 15

(2x)(-3) + (-5)(4x) = -6X + (-20x) = -26x
ดงั น้ัน 8x2 – 26x + 15 = (2x - 5)(4x - 3)

ตวั อย่างท่ี 11 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 + 13x + 10
วธิ ีทา เนื่องจำก (4x)(x) = 4x2 และ (5)(2) = 10

(4x)(2) + (5)(x) = 8X + 5x = 13x
ดังน้ัน 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)

ตัวอยา่ งท่ี 12 จงแยกตวั ประกอบของ 12x2 + 5x - 2
วิธีทา 12x2 + 5x - 2 = (4x - 1)(3x + 2)

ตัวอยา่ งที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ 6x2 - 10x - 4
วธิ ที า 6x2 - 10x - 4 = 2(3x2 – 5x – 2)

= 2(3X + 1)(x – 2)