BT KSSM Matematik Tambahan Tg 5

MATEMATIK

TAMBAHAN

5TINGKATAN
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA RUKUN NEGARA

Bahawasanya Negara Kita Malaysia
mendukung cita-cita hendak;

Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
seluruh masyarakatnya;

Memelihara satu cara hidup demokrasi;

Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;

Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;

MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan

seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber: Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAKURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

MATEMATIK
TAMBAHAN

Tingkatan 5

PENULIS

Zaini bin Musa
Dr. Wong Mee Kiong
Azizah binti Kamar

Zakry bin Ismail
Nurbaiti binti Ahmad Zaki
Zefry Hanif bin Burham@Borhan

Saripah binti Ahmad

EDITOR

Siti Aida binti Muhamad
Izyani binti Ibrahim

PEREKA BENTUK

Paing Joon Nyong

ILUSTRATOR

Nagehteran A/L Mahendran

ABADI ILMU SDN. BHD.
2020

NO. SIRI BUKU: 0108KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA PENGHARGAAN

KPM2020 ISBN 978-983-2914-67-9 Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
banyak pihak. Sekalung penghargaan dan terima
Cetakan Pertama 2020 kasih kepada semua pihak yang terlibat:
© Kementerian Pendidikan Malaysia
• Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf
Hak cipta terpelihara. Mana-mana bahan dalam Muka Surat, Bahagian Sumber dan
buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula, Teknologi Pendidikan, Kementerian
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan Pendidikan Malaysia.
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang
bentuk atau cara, baik dengan cara elektronik, • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah
mekanik, penggambaran semula mahupun Sedia Kamera, Bahagian Sumber dan
dengan cara perakaman tanpa kebenaran Teknologi Pendidikan, Kementerian
terlebih dahulu daripada Ketua Pengarah Pendidikan Malaysia.
Pelajaran Malaysia, Kementerian Pendidikan
Malaysia. Perundingan tertakluk kepada • Pegawai-pegawai Bahagian Sumber dan
perkiraan royalti atau honorarium. Teknologi Pendidikan serta Bahagian
Pembangunan Kurikulum, Kementerian
Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan Pendidikan Malaysia.
Malaysia oleh:
Abadi Ilmu Sdn. Bhd. • Pengerusi serta ahli panel penilaian dan
(199701033455) (448954-X) peningkatan mutu.
7-13, Infinity Tower,
No. 28, Jalan SS6/3, Kelana Jaya, • GeoGebra
47301 Petaling Jaya,
Selangor Darul Ehsan. • Desmos
Tel: +603-7886 4517   Faks: +603-7886 4512
E-mel: abadiilmu@gmail.com • Semua individu yang terlibat secara langsung
atau tidak langsung dalam penghasilan Buku
Reka Letak dan Atur Huruf: Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 ini.
Abadi Ilmu Sdn. Bhd.
(199701033455) (448954-X)
Muka Taip Teks: Times
Saiz Taip Teks: 11 poin

Dicetak oleh:
World Line Marketing Sdn. Bhd. (1115599-K)
Lot 12, Jalan CJ 1/16,
Kawasan Perindustrian Cheras Jaya,
43200 Cheras,
Selangor Darul Ehsan.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAKandungan v
vii
Pendahuluan
1
Rumus
2
1BAB Sukatan Membulat 5
1.1 Radian 12
1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 20
1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 23
1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 24
Sudut Refleksi 27
Latihan Sumatif
Eksplorasi Matematik 28

2BAB Pembezaan 30
2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 38
2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 49
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 51
2.4 Aplikasi Pembezaan 76
Sudut Refleksi 77
Latihan Sumatif 79
Eksplorasi Matematik
80
3BAB Pengamiran
3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan 82
3.2 Kamiran Tak Tentu 85
3.3 Kamiran Tentu 92
3.4 Aplikasi Pengamiran 111
Sudut Refleksi 114
Latihan Sumatif 115
Eksplorasi Matematik 117

4BAB Pilih Atur dan Gabungan 118
4.1 Pilih Atur
4.2 Gabungan 120
Sudut Refleksi 132
Latihan Sumatif 137
Eksplorasi Matematik 138
139

iii

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA5BAB Taburan Kebarangkalian 140
5.1 Pemboleh Ubah Rawak
5.2 Taburan Binomial 142
5.3 Taburan Normal 152
Sudut Refleksi 166
Latihan Sumatif 184
Eksplorasi Matematik 185
187
6BAB Fungsi Trigonometri
6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 188
6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 190
6.4 Identiti Asas 193
6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 201
6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 211
Sudut Refleksi 215
Latihan Sumatif 222
Eksplorasi Matematik 228
229
7BAB Pengaturcaraan Linear 231
7.1 Model Pengaturcaraan Linear
7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 232
Sudut Refleksi
Latihan Sumatif 234
Eksplorasi Matematik 240
246
8BAB Kinematik Gerakan Linear 247
8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 249
8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear
8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 250
8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear
Sudut Refleksi 252
Latihan Sumatif 260
Eksplorasi Matematik 267
272
Jawapan 275
Glosari 275
Senarai Rujukan 278
Indeks
279
iv 294
295
296

Pendahuluan

Buku Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM ini ditulis berdasarkan Dokumen
Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tambahan Tingkatan 5 yang
disediakan oleh Kementerian Pendidikan Malaysia.

Buku ini diterbitkan bagi melahirkan murid yang mempunyai Kemahiran Abad
Ke-21 dengan menerapkan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT), kemahiran maklumat
dan komunikasi, kemahiran berfikir dan menyelesaikan masalah serta kemahiran interpersonal
dan arah kendiri supaya murid dapat bersaing pada peringkat global. Murid yang menguasai
kemahiran berfikir aras tinggi berupaya untuk mengaplikasikan pengetahuan, kemahiran dan
nilai dalam membuat penaakulan dan refleksi bagi menyelesaikan masalah, membuat keputusan,
berinovasi dan berupaya mencipta sesuatu.

Elemen Merentas Kurikulum (EMK) seperti penggunaan bahasa pengantar yang betul,
kelestarian alam sekitar, nilai-nilai murni, penggunaan sains dan teknologi, semangat patriotik,
berinovasi dan kreatif, keusahawanan, teknologi maklumat dan komunikasi, kelestarian global
dan pendidikan kewangan diaplikasikan secara menyeluruh dalam penghasilan kandungan buku
teks ini. Selain itu, pendekatan STEM diberikan supaya murid berpeluang untuk mengintegrasikan
pengetahuan, kemahiran dan nilai dalam bidang sains, teknologi, kejuruteraan dan matematik.
Buku ini juga memberikan penekanan terhadap penerapan pemikiran komputasional (PK).
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
CIRI-CIRI ISTIMEWA DALAM BUKU INI DAN FUNGSINYA

1Aktiviti Penerokaan Individu Aktiviti yang melibatkan murid secara individu, berpasangan atau
berkumpulan yang menggalakkan murid terlibat secara aktif dalam
1Aktiviti Penerokaan Berpasangan proses pembelajaran.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan Mendedahkan murid dengan soalan-soalan untuk menguji kefahaman
murid mengenai konsep yang dipelajari.
Latihan Kendiri 1.1 Mengandungi soalan-soalan untuk menguji sejauh mana penguasaan
murid terhadap topik yang dipelajari.
Latihan Formatif 1.1 Menyediakan soalan penyelesaian masalah berserta langkah kerja yang
merangkumi situasi kehidupan yang sebenar.
Aplikasi Matematik
Membantu murid mengingat kembali perkara yang telah dipelajari.
Imbas Kembali
Mengemukakan soalan yang memerlukan murid untuk berfikir secara
Sudut Informasi kreatif dan menguji penguasaan murid.
GALERI SEJARAH
Memberikan informasi tambahan kepada murid untuk lebih menguasai
topik yang dipelajari.
Merangkumi penerangan mengenai sejarah perkembangan matematik
dan sumbangan tokoh-tokoh matematik.

Mengandungi aktiviti-aktiviti yang memerlukan perbincangan murid.

v

Akses QRKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAMemaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik dalam
Tip Pintar pengiraan matematik.

AKaedah lternatif Memberikan pendedahan kepada murid mengenai aplikasi teknologi
dalam pembelajaran matematik.
PK
Memberikan pendedahan kepada murid menggunakan peranti mudah
PBP alih dengan mengimbas kod QR.

SUDUT REFLEKSI Membantu dengan memberikan tip-tip yang berkaitan dengan topik
untuk kegunaan murid.
Latihan Sumatif
Menyediakan penyelesaian alternatif untuk soalan-soalan tertentu.
PAK-21
Aktiviti penerokaan yang melibatkan pemikiran komputasional
1.3.1 merangkumi konsep penaakulan logik, algoritma, pengecaman corak,
peniskalaan dan penilaian.
TP 1 TP 2 TP 3
TP 4 TP 5 TP 6 Pembelajaran Berasaskan Projek membolehkan murid mengaplikasikan
pengetahuan dan kemahiran matematik dalam menyelesaikan masalah
STEM yang melibatkan situasi harian.

Kesimpulan mengenai keseluruhan bab yang dipelajari.

Soalan-soalan yang berbentuk KBAR dan KBAT untuk mengetahui
tahap penguasaan murid.

Mengandungi soalan KBAT untuk menguji murid berfikir aras tinggi.

Konsep pembelajaran abad ke-21 diaplikasikan untuk meningkatkan
tahap kefahaman murid.

Mewakili standard pembelajaran untuk setiap bab.

Merangkumi tahap penguasaan bagi setiap soalan.

Aktiviti penerokaan yang menerapkan unsur sains, teknologi,
kejuruteraan dan matematik.

Panduan Mengimbas AR (Augmented Reality)
untuk Animasi Tiga Dimensi yang Interaktif.

Imbas kod QR di sebelah untuk
memuat turun aplikasi.

Gunakan aplikasi tersebut untuk
mengimbas halaman yang mempunyai
ikon AR (halaman 105 dan 106).

vi

Rumus

Bab 1 Sukatan Membulat Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan

Panjang lengkok, s = jq nPr = n!
– r)!
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIALuassektor,L=1 j 2q(n
2
nCr = (n n!
– r)!r!
Rumus Heron = ! s(s – a)(s – b)(s – c),
Rumus secaman, P = n!
s= a+b+c a!b!c!…
2

Bab 2 Pembezaan Bab 5 Taburan Kebarangkalian

y = uv, dy = u ddxv + v ddux P(X = r) = nCr prqn – r, p + q = 1
dx Min, m = np

v ddux – u ddxv s = ! npq
v2
y= u , dy = Z = X–m
v dx s

dy = dy × du Bab 6 Fungsi Trigonometri
dx du dx

Bab 3 Pengamiran sin2 A + kos2 A = 1
sek2 A = 1 + tan2 A
kosek2 A = 1 + kot2 A

Luas di bawah lengkung sin 2A = 2 sin A kos A
kos 2A = kos2 A − sin2 A
∫ = b y dx atau = 2 kos2 A – 1
a = 1 – 2 sin2A

∫ = b x dy tan 2A = 2 tan A
a 1 – tan2 A

Isi padu kisaran sin (A  B) = sin A kos B  kos A sin B
kos (A  B) = kos A kos B  sin A sin B
∫ = b π y 2 dx atau
a tan (A  B) = tan A  tan B
1 tan A tan B
∫ = b π x 2 dy
a

bit.ly/35acQRN Muat turun aplikasi percuma imbasan kod QR daripada Google Play,
App Store atau aplikasi lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas
kod QR dengan aplikasi itu atau layari laman sesawang yang tertera di
sebelah kiri untuk muat turun fail PDF, GeoGebra dan jawapan lengkap.
Kemudian, simpan fail yang dimuat turun bagi kegunaan luar talian.

vii

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIABAB SUKATAN

1 MEMBULAT

Radian
Panjang Lengkok Suatu Bulatan
Luas Sektor Suatu Bulatan
Aplikasi Sukatan Membulat
Senarai
Standard
Pembelajaran

bit.ly/2PMc8G3

Pada abad ke-21, teknologi dan inovasi Euclid (325-265 SM) merupakan seorang
berkembang dengan begitu pesat. ahli matematik Yunani yang berasal dari
Bangunan yang mempunyai reka Alexandria. Beliau dikenali dengan hasil
bentuk yang inovatif akan melonjakkan kerjanya, iaitu The Elements yang membuat
nama sesebuah negara ke tahap kajian mengenai geometri.
yang lebih tinggi. Seseorang arkitek
dapat mereka bentuk suatu bangunan Geometri ialah sebahagian daripada
yang unik dan indah dengan bantuan matematik yang mengambil berat persoalan
peranti yang canggih melalui kreativiti mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif
dan keupayaan inovasi. Namun, dari rajah dan sifat ruang.
bagaimanakah bangunan ini dapat
mencapai keharmonian dan dinamik Untuk maklumat lanjut:
dalam rekaannya? Apakah maklumat
yang diperlukan oleh seorang arkitek bit.ly/2T0pKPR
untuk membina bangunan berbentuk
tembereng major bagi bulatan seperti ini? Kepentingan Bab Ini
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Kemahiran Pegawai Kawalan Trafik
Udara membaca dan mentafsir
radar di Pusat Kawalan Trafik Udara
membolehkan pesawat-pesawat
selamat semasa penerbangan tanpa
berlakunya perlanggaran di udara yang
boleh mengakibatkan kecederaan
dan kematian.
Fungsi odometer di dalam kenderaan
adalah untuk mengukur jarak yang
telah dilalui oleh kenderaan dari awal
sehingga akhir perjalanan dengan
menggunakan lilitan tayar dan
bilangan pusingannya.

Video mengenai Radian Radian
seni bina berbentuk Darjah Degree
bulatan. Pusat bulatan Centre of circle
Jejari Radius
bit.ly/2OCLqOt Tembereng Segment
Sektor Sector
Perimeter Perimeter
Panjang lengkok Arc length
Luas sektor Area of sector

1

1.1 Radian

Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor bulatan yang 10 cm 18
ditandakan pada papan permainan baling damak dengan jejari 20 cm
10 cm dan 20 cm, masing-masing mempunyai panjang lengkok
10 cm dan 20 cm. Perhatikan bahawa dua sektor itu mempunyai 10 cm 10 cm
sudut yang sama. Sudut tersebut ditakrifkan sebagai 1 radian.
1 rad 6
Apakah yang dapat anda katakan tentang ukuran sudut 20 cm
1 radian itu?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam
radian dengan darjah

Dalam sukatan membulat, sistem yang biasa digunakan Sudut Informasi
untuk mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah. Walau
bagaimanapun, dalam beberapa cabang matematik, ukuran • “Rad” ialah singkatan
untuk suatu sukatan membulat tidak sesuai dilakukan dalam bagi “Radian”.
darjah. Oleh itu, satu unit baharu yang dikenali sebagai
radian diperkenalkan untuk menunjukkan saiz suatu sudut. • 1 rad boleh ditulis
sebagai 1r atau 1c.

Lakukan aktiviti penerokaan berikut untuk mengetahui takrifan satu radian dan seterusnya
membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan STEM PK

Tujuan: Menerangkan takrifan satu radian dan seterusnya membuat perkaitan
antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah

Langkah: bit.ly/2QoD7I1
1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah.

2. Setiap kumpulan akan melakukan setiap aktiviti berikut dan catatkan sudut yang
tercangkum di pusat bulatan.

Seret gelongsor a supaya panjang lengkok, s sama dengan jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah dua kali jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah tiga kali jejari bulatan, j.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s membentuk semibulatan.

Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s melalui satu putaran lengkap.

3. Berdasarkan hasil dapatan yang diperoleh, takrifkan sudut yang berukuran 1 radian.
Seterusnya, tuliskan perkaitan antara ukuran radian dengan darjah bagi sudut yang
tercangkum di pusat bulatan.

4. Daripada perkaitan tersebut, berapakah anggaran sudut 1 radian dalam darjah dan
anggaran sudut 1° dalam radian? Bincangkan.

2 1.1.1

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, takrifan satu radian boleh Sukatan Membulat AB
diberikan seperti yang berikut:
GALERI SEJARAH 1
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BSatu radian ialah ukuran sudutB
yang tercangkum di pusat sebuah jj
bulatan oleh lengkok yang sama 1 rad
panjang dengan jejari bulatan itu. OjA

Gottfried Wilhelm

Leibniz merupakan

seorang cendekiawan

Secara amnya, bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari j unit: matematik Jerman yang
Jika panjang lengkok AB = j, maka ˙AOB = 1 radian.
Jika panjang lengkok AB = 2j, maka ˙AOB = 2 radian. memperkenalkan satu
Jika panjang lengkok AB = 3j, maka ˙AOB = 3 radian.
Jika panjang lengkok AB = πj, maka ˙AOB = π radian. kaedah untuk mengira
Jika panjang lengkok AB = 2πj, maka ˙AOB = 2π radian.
π = 3.142 tanpa merujuk
kepada bulatan. Beliau juga

membuktikan bahawa π
boleh ditentukan 4

Perhatikan bahawa AB = 2πj bermaksud OA telah dengan menggunakan
membuat satu putaran lengkap, iaitu OA telah bergerak melalui rumus berikut.
sudut 360°. Hubungan antara ukuran sudut dalam radian dengan
darjah adalah seperti yang berikut. π =1 – 1 + 1 – 1
4 3 5 7
2π rad = 360° 1 1
+ 9 – 11 +…

π rad = 180° Saiz bagi sudut 1 radian
adalah lebih kecil daripada
Jadi, apabila π = 3.142, sudut 60°. Apakah
kelebihan menggunakan
1 rad = 180° ≈ 57.29° sudut dalam radian
π berbanding dengan sudut
π dalam darjah? Bincangkan.
dan 1° = 180° ≈ 0.01746 rad

Contoh 1

Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. Mencari penyelesaian
dalam Contoh 1(b) dengan
[Guna π = 3.142] menggunakan kalkulator
saintifik.
(a) 2  π rad (b) 2.25 rad 1. Tekan
5
2. Tekan
Penyelesaian
3. Skrin akan memaparkan
(a) π rad = 180° (b) π rad = 180°
2 2 180° 180°
5  π rad = 5  π × π 2.25 rad = 2.25 × π

= 2 × 180° = 2.25 × 180°
5 3.142
= 72°
= 128° 54

1.1.1 3

Contoh 2 Tip Pintar

(a) Tukarkan 40° dan 150° kepada radian, dalam sebutan π. Sudut-sudut khusus:
(b) Tukarkan 110° 30 dan 320° kepada radian.
[Guna π = 3.142] Sudut Sudut
dalam dalam
Penyelesaian darjah radian

0° 0

(a) 180° = π rad π (b) 180° = π rad π 30° π
180° 180° 6
40° = 40° × 110° 30 = 110° 30 ×
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 36° π
= 2  π rad 3.142 5
9 = 110° 30 × 180°
45° π
π = 1.929 rad 4
150° = 150° × 180°
320° = 320° × π 60° π
180° 3
5
= 6  π rad 3.142 90° π
180° 2
= 320° ×
180° π
= 5.586 rad 3
270° 2  π

360° 2π

Latihan Kendiri 1.1

1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142]

(a) π rad (b) 3  π rad (c) 0.5 rad (d) 1.04 rad
8 4

2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian, dalam sebutan π.

(a) 18° (b) 120° (c) 225° (d) 300°

Latihan Formatif 1.1 Kuiz bit.ly/2OvH6l0

1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142]

(a) 172 π rad (b) 1 1  π rad (c) 2 rad (d) 4.8 rad
3

2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian. Berikan jawapan betul kepada tiga

tempat perpuluhan. [Guna π = 3.142] (d) 320° 10

(a) 76° (b) 139° (c) 202.5°

3. Dalam setiap rajah berikut, POQ ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O. Tukarkan

setiap sudut POQ yang berikut kepada radian. [Guna π = 3.142]

(a) Q (b) P (c) O Q (d) P

118° P 150.5° O
O 220°
73° O Q Q
4 P 1.1.1

Sukatan Membulat

1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BRajah di sebelah menunjukkan seorang budak perempuan1
sedang bermain buaian. Buaian dengan panjang 2.5 m itu
berayun dan membentuk lengkok suatu bulatan yang melalui 2.5 m
sudut 1.7 rad. Berapakah panjang lengkok yang telah dilalui
oleh budak perempuan itu dalam ayunan tersebut?

Apakah rumus yang perlu digunakan untuk
menyelesaikan masalah ini?

Menentukan panjang lengkok, jejari dan sudut
tercangkum di pusat bulatan

2Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menerbitkan rumus panjang lengkok bagi suatu bulatan berpusat O

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/ecuneh4d
2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah

panjang lengkok AB.

3. Perhatikan panjang lengkok AB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat
bulatan apabila titik A atau titik B itu berubah.
Panjang lengkok minor AB
4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Lilitan bulatan

dan juga Sudut AOB ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama?
360°
5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu
juga berubah atau masih sama?

6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari panjang lengkok minor bagi sebuah bulatan.

7. Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas.

8. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan
yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan.

Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa panjang lengkok berkadaran dengan sudut
pada pusat bulatan.

Panjang lengkok minor AB = Lilitan bulatan B
∠AOB 360°
j
Panjang lengkok minor AB = 2πj θ
q 360° Oj
A

Panjang lengkok minor AB = 2πj × q
360°

dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit.
1.2.1 5

Walau bagaimanapun, jika ˙AOB diukur dalam radian, Sudut Informasi

Panjang lengkok minor AB = Lilitan bulatan B Simbol q yang dibaca
q 2π sebagai “téta” ialah huruf
s 2πj j s kelapan dalam abjad Yunani
q = 2π θ A dan sering kali digunakan
Oj untuk mewakili suatu sudut.
s= 2πj ×q
2π

s = jq

Secara amnya,KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

s = jq Daripada takrifan radian,
bolehkah anda terbitkan
dengan s ialah panjang lengkok bagi sebuah bulatan berjejari rumus s = jq ?
j unit dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh lengkok di
pusat bulatan O.

Contoh 3

Cari panjang lengkok, s bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut.
[Guna π = 3.142]
(a) (b) (c)

Ps s

P
s

5 cm 6 cm 23– π rad O 10 cm Q
Q 140°

O 0.9 rad O Q P



Penyelesaian

(a) Panjang lengkok, s = jq (b) Panjang lengkok, s = jq 2
3
s = 5 × 0.9 s = 6 ×  π

s = 4.5 cm s = 4π

s = 4(3.142)

(c) Sudut ref leks POQ dalam radian s = 12.57 cm

= (360° – 140°) × π Imbas Kembali
180°
3.142 Saiz sudut bagi sudut refleks
= 220° × 180° ialah 180° , q , 360°.

= 3.84 rad

Panjang lengkok, s = jq

s = 10 × 3.84 θ

s = 38.4 cm

6 1.2.1

Sukatan Membulat

Contoh 4 Imbas Kembali AB

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIARajah di sebelah menunjukkanB 1.4 cm C Sektor Lengkok 1
Bsebahagian daripada bulatanmajormajor
berpusat O dan berjejari j cm. 2.6 cm
Diberi ˙AOB = 1.3 rad dan O Sektor
panjang lengkok AB dan BC 1.3 rad minor
masing-masing ialah 2.6 cm A j cm O
dan 1.4 cm. Hitung Lengkok
(a) nilai j, minor
(b) ˙BOC, dalam radian.
Perentas
Tembereng

Penyelesaian

(a) Dalam sektor AOB, (b) Dalam sektor BOC, Akses QR

s = 2.6 cm dan s = 1.4 cm dan j = 2 cm. Mengenal suatu bulatan.

q = 1.3 rad. Jadi, s = jq

Maka, s = jq q= s
s j
j = q 1.4
2
j = 2.6 q =
1.3
j = 2 cm q = 0.7 rad bit.ly/2tPcmnj

Maka, ˙BOC = 0.7 rad.

Latihan Kendiri 1.2

1. Cari panjang lengkok MN, dalam cm, bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut.
[Guna π = 3.142]
(a) (b) M (c) (d)

MN

M 2 rad O 5 cm –56 π rad O M
12 cm 8 cm O
10 cm 2.45 rad
1.1 rad O P

N N N

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. 25 cm E
Diberi panjang lengkok major EF ialah 25 cm dan
˙EOF = 1.284 rad, cari O 1.284 rad
(a) jejari, dalam cm, bulatan itu, F
(b) panjang lengkok minor EF, dalam cm.
[Guna π = 3.142]

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah semibulatan OPQR Q
berjejari 5 cm. Diberi panjang lengkok QR ialah 5.7 cm, hitung
(a) nilai q, dalam radian, 5.7 cm
(b) panjang lengkok PQ, dalam cm. θ
[Guna π = 3.142]
P 5 cm O R
1.2.1
7

Menentukan perimeter tembereng suatu bulatan

Kawasan berwarna pada rim tayar basikal yang berjejari
31 cm dalam rajah di sebelah merupakan tiga tembereng yang
sama saiz bagi sebuah bulatan. Perimeter bagi satu daripada
tembereng itu ialah hasil tambah semua sempadannya.

Dengan menggunakan rumus panjang lengkok,
s = jq dan petua lain yang sesuai, dapatkah anda
menentukan perimeter bagi satu daripada tembereng itu?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Contoh 5 AKaedah lternatif

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah A Untuk mencari panjang
bulatan dengan pusat O dan berjejari 114°
10 cm. Perentas AC mencangkum O perentas AC, lukis satu garis
sudut 114° pada pusat O. Hitung 10 cm OD yang berserenjang
perimeter tembereng berlorek ABC. dengan AC.
[Guna π = 3.142] C B Dalam ∆ COD,

Penyelesaian ˙COD = 114°
2

= 57

Oleh sebab 180° = π rad, maka kita peroleh sin ˙COD = CD
OC
π Jadi, CD = OC sin ˙COD
114° = 114° × 180° = 10 sin 57

= 1.990 rad = 8.3867 cm

Panjang lengkok ABC = jq Oleh itu, AC = 2CD
= 10 × 1.990 = 2(8.3867)
= 19.90 cm
= 16.77 cm

Dengan menggunakan petua kosinus, panjang perentas AC ialah Adakah panjang AC
dapat dicari dengan
AC 2 = 102 + 102 – 2(10)(10) kos 114°
AC = ! 200 – 200 kos 114° menggunakan petua sinus,
= 16.77 cm

Maka, perimeter tembereng berlorek ABC = 19.90 + 16.77 a A = b B = c C?
= 36.67 cm sin sin sin

Latihan Kendiri 1.3

1. Bagi setiap bulatan berpusat O yang berikut, hitung perimeter, dalam cm, tembereng
berlorek ABC. [Guna π = 3.142]
(aA) 62B.c5mradO C ( b) BAC 13–π0r acdmO (c) A120° O B8 cm C ( d) A9 cm O15 Bcm C

8 1.2.2

Sukatan Membulat

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada sebuah P 14 cm AB
bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. Diberi bahawa panjang Q
lengkok PQ ialah 14 cm, cari 7 cm 1
(a) sudut q, dalam darjah, θ
(b) perimeter tembereng berlorek, dalam cm.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA O
B
Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok

Pengetahuan dan kemahiran menukarkan ukuran sudut dalam darjah kepada radian dan
sebaliknya serta menggunakan rumus panjang lengkok, s = jq atau rumus lain yang sesuai boleh
menyelesaikan banyak masalah dalam kehidupan harian yang melibatkan panjang lengkok bagi
suatu bulatan.

Contoh 6 Aplikasi Matematik

Rajah di sebelah menunjukkan kawasan lontaran bagi suatu acara PQ
lontar peluru di sebuah padang sekolah. Kawasan lontaran itu terdiri
daripada dua buah sektor bulatan AOB dan POQ yang berpusat di O. 8m
Diberi bahawa ˙AOB = ˙POQ = 50°, OA = 2 m dan AP = 8 m. Hitung AB
perimeter, dalam m, kawasan berwarna ABQP. [Guna π = 3.142]
2m
Penyelesaian O

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

Kawasan lontaran terdiri daripada Tukarkan sudut 50° kepada radian dan
dua buah sektor bulatan AOB dan gunakan rumus s = jq untuk mencari
POQ berpusat O. panjang lengkok AB dan PQ.
Sektor bulatan AOB berjejari 2 m, Perimeter kawasan berwarna ABQP
AP = 8 m dan ˙AOB = ˙POQ = 50°. boleh ditentukan dengan menambah
semua sempadan kawasan itu.

3 . Melaksanakan strategi

180° = π rad 3.142
180°
50° = 50° ×

= 0.873 rad

Panjang lengkok AB, s = jq Maka, perimeter kawasan berwarna ABQP
s = 2(0.873) = panjang lengkok AB + BQ
s = 1.746 m
+ panjang lengkok PQ + AP
Panjang lengkok PQ, s = jq = 1.746 + 8 + 8.73 + 8
s = 10(0.873) = 26.48 m
s = 8.73 m
9
1.2.2 1.2.3

4 . Membuat refleksi

Panjang lengkok AB = 50°  (2)(3.142)(2) Maka, perimeter kawasan berwarna
360° ABQP
= 1.746 m
= panjang lengkok AB + BQ
Panjang lengkok PQ = 50°  (2)(3.142)(10) + panjang lengkok PQ + AP
360°
= 8.73 m = 1.746 + 8 + 8.73 + 8
= 26.48 m
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Latihan Kendiri 1.4

1. Dalam setiap rajah berikut, hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

(a) (b) (c)

C C O B
5 cm A 10 cm

A 3 cm
4 cm 110°
D O D A 0.5 rad C
OB 3 cm B 1 cm


2. Bandar Raya Washington di Amerika Syarikat dan Bandar Raya Lima di Peru terletak pada
longitud yang sama masing-masing dengan latitud 38.88° U dan 12.04° S. Diberi bumi
yang berbentuk sfera mempunyai jejari 6 371 km, anggarkan jarak, dalam km, di antara dua
bandar raya itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada Fazura O 25 m
trek larian yang berbentuk semibulatan. Fazura ingin 85°
menghantar baton kepada Jamilah yang sedang
menunggu 85° jauhnya dari Fazura. Berapakah jarak Jamilah
yang Fazura perlu lari untuk menghantar baton
kepada Jamilah?

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah tingkap yang 100 cm
terdiri daripada bentuk segi empat tepat dan semibulatan.
Lebar tingkap itu ialah 70 cm dan tinggi tingkap 70 cm
berbentuk segi empat tepat ialah 100 cm. Cari 25 cm
(a) panjang lengkok, dalam cm, tingkap yang berbentuk
semibulatan itu,
(b) perimeter, dalam cm, keseluruhan tingkap itu.

5. Rajah di sebelah menunjukkan rantai yang 160° 25 cm
dipasang pada gegancu hadapan dan belakang
sebuah basikal. Diberi bahawa lilitan gegancu 185°
hadapan dan belakang masing-masing ialah
50.8  cm dan 30.5 cm. Hitung panjang, dalam cm, 1.2.3
rantai basikal itu.

10

Sukatan Membulat

Latihan Formatif 1.2 AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kuiz bit.ly/2L6AZBv
B 1

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. R
Panjang lengkok minor RS ialah 15 cm dan sudut sektor 15 cm O 275°
major ROS ialah 275°. Cari
(a) sudut sektor minor ROS, dalam radian, S
(b) jejari, dalam cm, bulatan itu.

2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor UOV berpusat O. U
Diberi panjang lengkok UV ialah 5 cm dan perimeter sektor
UOV ialah 18 cm. Cari nilai q, dalam radian. Oθ 5 cm
V
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor EOF bagi sebuah
bulatan berpusat O. Diberi bahawa OG = 4 cm dan E
OE = 5  cm, cari
(a) nilai q, dalam radian, 5 cm
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.
O θ GF
4. Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor OPQ dan ORS 4 cm
dengan pusat O dan masing-masing berjejari 2h cm dan
3h cm. Diberi ˙POQ = 0.5 radian dan perimeter kawasan R
berlorek PQSR ialah 18 cm, cari P
(a) nilai h, dalam cm, 2h
(b) beza, dalam cm, antara panjang lengkok RS dan PQ.
O 0.5 rad Q S
3h

5. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada 10 cm M
bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Tangen di O 51° P
titik M dan titik N pada lilitan bulatan itu bertemu
di titik P dan ˙MON = 51°, hitung N
(a) panjang lengkok MN, dalam cm,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

6. Sebuah jam dinding mempunyai bandul dengan panjang 36 cm. Jika bandul itu berayun
melalui sudut 21°, cari jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui bandul itu dalam satu
ayunan lengkap.

7. Rajah di sebelah menunjukkan ukuran bagi sebuah tayar 14 cm
kereta. Berapa jauhkah, dalam m, tayar itu telah bergerak 38 cm
setelah membuat 14 cm
(a) 50 pusingan lengkap?
(b) 1 000 pusingan lengkap?
[Guna π = 3.142]

11

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan

Sekeping piza berjejari 10 cm dipotong kepada 10 potongan
yang sama saiz. Bolehkah anda anggarkan luas permukaan
setiap potongan piza itu?

Apakah rumus yang boleh digunakan untuk menyelesaikan
masalah ini?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Menentukan luas sektor, jejari dan sudut tercangkum di pusat bulatan

Luas sektor sebuah bulatan merupakan rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari.
Aktiviti penerokaan yang berikut menunjukkan cara untuk menerbitkan rumus luas sektor suatu
bulatan dengan menggunakan perisian geometri dinamik GeoGebra.

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Menerbitkan rumus luas sektor suatu bulatan berpusat O

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/kvwsaz9f

2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah luas
sektor minor AOB.

3. Perhatikan luas sektor AOB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat bulatan
apabila titik A atau titik B itu berubah.
Luas sektor minor AOB
4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Luas bulatan dan
Sudut AOB
juga 360° ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama?

5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu
juga berubah atau masih sama?

6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari luas sektor minor bagi sebuah bulatan.
Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas.

7. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan
yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan.

8. Ahli daripada kumpulan yang lain akan memberikan respons terhadap pembentangan
yang dilakukan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa: B
Luas bulatan j
Luas sektor minor AOB = 360°
∠AOB Oθ
Luas sektor minor AOB πj 2 j
q = 360° A

Luas sektor minor AOB = πj 2 × q
360°


dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit.

12 1.3.1

Sukatan Membulat

Walau bagaimanapun, jika ˙AOB = q diukur dalam radian, Akses QR AB

Luas sektor minor AOB Luas bulatan 1
q 2π
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA = B
Bj
L = πj 2 Kaedah lain untuk
q 2π O θL
menerbitkan rumus luas
j
πj 2 A sektor suatu bulatan,
2π 1
L = × q L = 2  j 2q.

L = 1  j 2q
2

Secara amnya,

L = 1  j 2q bit.ly/2XYrKZE
2

dengan L adalah luas sektor bagi sebuah bulatan berjejari j unit
dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh sektor di pusat
bulatan O.

Contoh 7

Cari luas sektor, L bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut. [Guna π = 3.142]
(a) (b) M (c)

MO M

2.2 rad 8 cm O 124°
10 cm
N 1.7 rad 12 cm

O N N

Penyelesaian

(a) Luas sektor, L = 1  j 2q (b) Luas sektor, L = 1  j 2q
2 2
1  (12)2(1.7) 1  (8)2(2.2)
L = 2 L = 2

L = 1  (14 4)(1.7) L = 1  (6 4)(2.2)
2 2
L = 122.4 cm2 L = 70.40 cm2

(c) Sudut ref leks MON dalam radian

= (360° – 124°) × π Sudut Informasi
180°
3.142 Lbuualast, aLnbiaaglaihsuLa=tu21s ej 2kqt,or
= 236° × 180°

= 4.12 rad dengan q ialah sudut dalam

Luas sektor, L = 1  j 2q radian. Oleh sebab s = jq,
2 kita peroleh:
1 1
L = 2  (10)2(4.12) L = 2  j ( jq )

L = 1  (100)(4.12) L = 1  js
2 2

L = 206 cm2

1.3.1 13

Contoh 8 P j cm O
Q θ
Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ yang bersudut q radian
dan berjejari j cm. Diberi luas sektor POQ ialah 35 cm2, cari
(a) nilai j jika q = 0.7 rad,
(b) nilai q jika jejari ialah 11 cm.

Penyelesaian

(a) Luas sektor POQ = 35 cm2 (b) Luas sektor POQ = 35 cm2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
1  j 2q = 35 1  j 2q = 35
2 2
1 1
2  j 2(0.7) = 35 2  (11)2q = 35

j 2 = 35 × 2 1  (121)q = 35
0.7 2
j 2 = 100 35 × 2
q = 121
j = ! 100
q = 0.5785 rad
j = 10 cm

Latihan Kendiri 1.5

1. Bagi setiap sektor bulatan AOB berpusat O yang berikut, tentukan luasnya, dalam cm2.

[Guna π = 3.142]

(a) (b) (c) (d) A
A
O A –35 π rad O 135°
1.1 rad 2.15 rad 10 cm O 20 cm
O
6 cm 5 cm

A B B B B

2. Suatu sektor bulatan berjejari 5 cm mempunyai perimeter 16 cm. Cari luas, dalam cm2,
sektor itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor major EOF E
berpusat O dan berjejari j cm dengan luas 195 cm2. Hitung
(a) nilai j, dalam cm, O j cm
(b) panjang lengkok major EF, dalam cm,
(c) perimeter, dalam cm, sektor major EOF. 3.9 rad F

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW O 10 cm
berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi bahawa luas sektor θV
itu ialah 60 cm2, hitung
(a) nilai q, dalam radian, W
(b) panjang lengkok VW, dalam cm,
(c) perimeter, dalam cm, sektor VOW. 1.3.1

14

Sukatan Membulat

Menentukan luas tembereng suatu bulatan AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BRajah di sebelah menunjukkan sehelai alas meja yang berbentuk1

sebuah bulatan berpusat O dengan corak berbentuk heksagon

terterap di dalamnya. Renda yang dijahit di sekeliling heksagon pula

merupakan tembereng bagi alas meja itu. Apakah maklumat yang O

diperlukan untuk mencari luas setiap renda itu? 1
2
Dengan menggunakan rumus luas sektor, L =  j 2q dan rumus

lain yang bersesuaian, masalah seperti ini boleh diselesaikan dengan

mudah dan cepat.

Contoh 9

Bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut, cari luas, dalam cm2, tembereng PRQ.

[Guna π = 3.142]

(a) (b) Q

QR 3.5 cm

2.2 rad O 4 cm R

O 6 cm P P

Penyelesaian AKaedah lternatif

(a) 2.2 rad = 2.2 × 180° Q
3.142
= 126° 2 S

Luas sektor POQ = 1  j 2q 63°1' P
2 O 6 cm
1
= 2  (6)2(2.2) Dalam ∆ POQ,

= 39.60 cm2 ∠POS = 126° 2
2
1 = 63° 1
Luas ∆ POQ = 2  (OP)(OQ) sin ˙POQ
PS
= 1  (6)(6) sin 126° 2 sin 63° 1 = 6
2
PS = 6 × sin 63° 1
= 14.56 cm2 = 5.3468 cm

Luas tembereng PRQ = 39.60 – 14.56 PQ = 2PS
= 25.04 cm2 = 2 × 5.3468
= 10.6936 cm

(b) Dalam ∆ QOP, sin ˙QOS = QS Q OS = ! 62 – 5.34682
OQ = 2.7224 cm
2 3.5 cm 2 cm
= 3.5 O S Jadi, luas ∆  POQ
1
˙QOS = 34° 51 = 2 × PQ × OS

= 1 × 10.6936 × 2.7224
2
= 14.56 cm2
P
15
1.3.2

Jadi, ˙POQ = (2 × 34° 51) × π Imbas Kembali
180°
3.142
= 69° 42 × 180° C

= 1.217 rad

Luas sektor POQ = 1  j 2q ba
2
1
= 2  (3.5)2(1.217) AcB

= 7.454 cm2 (a) Luas ∆ ABC
MALAYSIA 1
Dalam ∆ POQ, semiperimeter, s = 3.5 + 3.5 + 4 = 2  ab sin C
2
s = 5.5 cm = 1  ac sin B
2
1
Luas ∆ POQ = ! s(s – p)(s – q)(s – o) = 2  bc sin A

= ! 5.5(5.5 – 3.5)(5.5 – 3.5)(5.5 – 4) (b) Rumus luas segi tiga

= ! 5.5(2)(2)(1.5) menggunakan Rumus

Heron:

= ! 33 Luas ∆ ABC
= 5.745 cm2
PENDIDIKAN = ! s(s – a)(s – b)(s – c),
a+b+c
Luas tembereng PRQ = 7.454 – 5.745 dengan s = 2
= 1.709 cm2
ialah semiperimeter.

Latihan Kendiri 1.6

1. Bagi setiap sektor AOB berpusat O yang berikut, cari luas tembereng ACB.

[Guna π = 3.142]

(a) (b) (c) (d) A
KEMENTERIANC A
15 cmAC5 cmC

A B 2–3 π rad C 58° O 9 cm
7 cm 1.5 rad O

O O 10 cm B B B

2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi sebuah bulatan 3 cm M
berpusat O dan berjejari 3 cm. Diberi panjang lengkok minor MN O 5 cm
ialah 5 cm, cari
(a) ˙MON, dalam darjah, N
(b) luas tembereng berlorek, dalam cm2.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor HOK bagi sebuah bulatan H
berpusat O dan berjejari 4 cm. Panjang perentas HK adalah sama K 4 cm O
dengan jejari bulatan itu. Hitung
(a) ˙HOK, dalam radian,
(b) luas tembereng berlorek, dalam cm2.

16 1.3.2

Sukatan Membulat

Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BPengetahuandan kemahiranmenggunakan rumusluas sektor,L=21se jk 2tqoratbaaugriusmuautsulain yang1
sesuai boleh menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan luas bulatan

dalam kehidupan harian.

Contoh 10 Aplikasi Matematik P 120° Q

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kipas kertas M N
yang dibuka sepenuhnya. Bahagian PQNM merupakan O
bahagian yang diliputi dengan kertas. Diberi bahawa
OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 dan ∠POQ = 120°,
hitung luas, dalam cm2, kawasan yang diliputi oleh
kertas itu.

Penyelesaian

1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi

PQNM ialah bahagian yang diliputi Cari panjang OM menggunakan nisbah
dengan kertas apabila sebuah kipas OM : MP = 2 : 3.
kertas dibuka sepenuhnya.
Diberi OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 Tukar 120° kepada radian dan gunakan
dan ∠POQ = 120°.
Cari luas, dalam cm2, kawasan yang rumus L = 1  j 2q untuk mencari luas
diliputi oleh kertas. 2
sektor POQ dan luas sektor MON.

Tolakkan luas sektor MON daripada

luas sektor POQ untuk mencari luas

kawasan yang diliputi oleh kertas.

3 . Melaksanakan strategi

OM = 2 × OP Luas sektor POQ, L = 1  j 2q
5 2
2 1
= 5 × 15 L = 2  (15)2(2.0947)

= 6 cm L = 235.65 cm2
1
q dalam radian = 120° × π Luas sektor MON, L = 2  j 2q
180°
3.142 1
= 120° × 180° L = 2  (6)2(2.0947)

= 2.0947 rad L = 37.70 cm2

Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertas
= 235.65 – 37.70
= 197.95 cm2

1.3.3 17

4 . Membuat refleksi Tip Pintar

Luas sektor POQ, L = 120° × 3.142 × 152
360°
L = 235.65 cm2 A

Luas sektor MON, L = 120° × 3.142 × 62 j
360° O θL B
L = 37.70 cm2

Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertasKEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIAJika q diukur dalam darjah,
= 235.65 – 37.70 maka luas sektor bulatan,
= 197.95 cm2
L= q × π j 2.
360°

Latihan Kendiri 1.7

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah taman SRT yang R
berbentuk semibulatan berpusat O dan berjejari 12 m.
16 m
Kawasan berumput PQR berbentuk sektor bulatan QT

berpusat Q dan berjejari 16 m. Kawasan berwarna
coklat cair pula akan dipagar dan ditanam dengan pokok 14 m

bunga. Diberi panjang lengkok PR ialah 14 m, cari SP O
(a) panjang pagar, dalam m, yang digunakan untuk

memagar kawasan tanaman pokok bunga, 12 m

(b) luas kawasan, dalam m2, tanaman pokok bunga itu.

2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas paip air berjejari 12 cm O
12 cm. Air mengalir melalui paip itu dengan ketinggian h cm h cm E 18 cm F
dan kelebaran mengufuknya, EF ialah 18 cm. Hitung
(a) nilai h,
(b) luas kawasan, dalam cm2, keratan rentas yang
mengandungi air.

3. Rajah di sebelah menunjukkan dua keping cakera

padat masing-masing dengan jejari 11 cm dan 7 cm A R
menyentuh antara satu sama lain di R. Kedua-dua B
7 cm
keping cakera itu terletak di atas garis lurus PDCQ. 11 cm
C
(a) Hitung ˙BAD, dalam darjah. Q
(b) Seterusnya, cari luas, dalam cm2, kawasan berlorek. P
D

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah jam dinding yang 1.3.3
menunjukkan pukul 10:10 pagi. Diberi panjang jarum minit
bagi jam itu ialah 8 cm. Cari
(a) luas sektor, dalam cm2, yang disurih oleh jarum minit
itu apabila waktu menunjukkan jam 10:30 pagi,
(b) sudut gerakan jarum minit itu, dalam radian, jika luas
sektor yang disurihnya ialah 80 cm2.

18

Sukatan Membulat

Latihan Formatif 1.3 AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kuiz bit.ly/2rI5G9f
B1

1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB berpusat O dan B
sektor PAQ berpusat A. Diberi OB = 6 cm, OP = AP,
˙PAQ = 0.5 rad dan panjang lengkok AB ialah 4.2 cm. 6 cm Q 4.2 cm
Hitung
(a) nilai q, dalam radian, O θ
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. P 0.5 rad A

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW dengan V
pusat O dan berjejari 5 cm. Diberi OW = OV = VW, cari
(a) nilai q, dalam radian, θ
(b) luas, dalam cm2, tembereng berlorek VW. O 5 cm

3. Sebuah kon berongga mempunyai jejari 3 cm dan W
tinggi 4 cm. Kon itu dibuka dan dibentangkan untuk Q
membentuk sektor POQ seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah. Diberi ˙POQ = q radian, cari 4 cm O
(a) nilai q, θ
(b) luas, dalam cm2, sektor POQ. P
3 cm

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O K
dan jejari 4 cm. Diberi panjang lengkok minor KL ialah 7 cm. 4 cm
(a) Nyatakan nilai q, dalam radian. O θ 7 cm
(b) Cari luas sektor major KOL, dalam cm2.
L
5. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan yang berjejari 9  cm.
Lengkok minor AB mencangkum sudut 140° pada pusat bulatan A 9 cm
O dengan tangen-tangen di A dan B bertemu di C. Hitung O
(a) AC, dalam cm,
(b) luas, dalam cm2, lelayang OACB, 140°
(c) luas, dalam cm2, sektor minor OAB,
(d) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. B

6. Rajah di sebelah menunjukkan tingkap udara di sebuah dewan. C
PQR ialah lengkok major bagi bulatan berpusat S. Garis OP
dan OR ialah tangen-tangen kepada bulatan itu. Saiz empat Q R
panel yang lain adalah sama dengan panel OPQR. O ialah S 60°
pusat bagi tingkap udara yang menyentuh lengkok PQR di Q. P
Diberi OS = 6 cm dan ˙OSR = 60°. 6 cm
(a) Tunjukkan bahawa RS = 3 cm. O
(b) Hitung luas, dalam cm2, panel OPQR.
(c) Tingkap itu mempunyai simetri putaran di O dengan T
peringkat n, cari nilai n dan luas, dalam cm2, kawasan
berlabel T di antara dua panel. 19

1.4 Aplikasi Sukatan Membulat

Teliti dua situasi dalam kehidupan harian yang berikut.

Pelangi ialah suatu fenomena optik yang merupakan
spektrum berwarna berbentuk gerbang. Pelangi terbentuk
apabila matahari memancarkan cahaya semasa atau
sejurus selepas hujan. Gerbang pelangi seperti yang
ditunjukkan dalam gambar di sebelah merupakan
lengkok bagi sebuah bulatan. Menggunakan rumus yang
telah dipelajari dan bantuan teknologi terkini, bolehkah
anda tentukan panjang lengkoknya itu?
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Keratan rentas bagi terowong kereta api
kebanyakannya berbentuk tembereng major sebuah
bulatan. Bagaimanakah kita boleh mencari panjang
lengkok dan luas keratan rentas bagi terowong kereta
api tersebut?

Kemahiran mengaplikasikan rumus dalam sukatan membulat, iaitu panjang lengkok,
1
s = jq dan luas sektor, L = 2  j 2q, dengan q ialah sudut dalam radian serta rumus yang lain

boleh membantu menyelesaikan masalah seperti dalam dua situasi di atas.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat

Contoh berikut menunjukkan bagaimana rumus dalam sukatan membulat dan rumus lain yang
bersesuaian digunakan untuk menyelesaikan masalah berkaitan keratan rentas terowong kereta
api yang berbentuk tembereng major sebuah bulatan.

Contoh 11 B

Rajah di sebelah menunjukkan tembereng major ABC O
yang mewakili keratan rentas bagi sebuah terowong 4 m 1.8 rad
kereta api dengan pusat O dan jejari 4 m, dengan
keadaan ˙AOC = 1.8 rad. A
[Guna π = 3.142]
(a) Tunjukkan bahawa AC ialah 6.266 m.
(b) Cari panjang lengkok major ABC, dalam m.
(c) Cari luas keratan rentas terowong itu, dalam m2.

C

20 1.4.1

Sukatan Membulat

Penyelesaian O AB

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA(a) 1.8rad=1.8×180° 4 m 1.8 rad 4m 1
B3.142A
= 103° 7 C
B C
Dengan menggunakan petua kosinus, C
AC 2 = OA2 + OC 2 – 2(OA)(OC) kos ˙AOC 4.484 rad
= 42 + 42 – 2(4)(4) kos 103° 7 4m O
A
AC = ! 42 + 42 – 2(4)(4) kos 103° 7
= ! 39.2619 B
= 6.266 m
4.484 rad
(b) Sudut ref leks AOC = 2π − 1.8 O
= 4.484 rad
4 m 1.8 rad
Panjang lengkok major ABC = jq A
= 4 × 4.484
= 17.94 m

(c) Dengan menggunakan rumus luas segi tiga,
1
Luas ∆ AOC = 2 × OA × OC × sin ˙AOC

= 1 × 4 × 4 × sin 103° 7
2
= 7.791 m2

Luas sektor major ABC = 1 j 2q
2
1
= 2 × 42 × 4.484

= 35.87 m2

Maka, luas keratan rentas terowong ialah 7.791 + 35.87 = 43.66 m2

Latihan Kendiri 1.8 O

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah wau bulan yang 20 cm
mempunyai paksi simetri OS. AQB ialah lengkok bagi
sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 20 cm. APBR ialah A P B
sebuah semibulatan berpusat P dan berjejari 16 cm. TRU 16 cm U
pula ialah lengkok sebuah bulatan berpusat S dan berjejari
12 cm. Diberi panjang lengkok TRU ialah 21 cm. Hitung Q
(a) ˙AOB dan ˙TSU, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, wau bulan, T R
(c) luas, dalam cm2, wau bulan. 12 cm S

2. Dalam rajah di sebelah, setiap duit syiling 20 sen mempunyai
jejari yang sama dan tangen kepada dua duit syiling 20 sen yang
lain. Jika luas kawasan berwarna biru ialah 12.842 mm2, cari
jejari, dalam mm, setiap duit syiling itu.

1.4.1 21

Latihan Formatif 1.4 Kuiz bit.ly/2R3qkLO

1. Jejari dan tebal sebiji kek yang berbentuk silinder P Q
masing-masing ialah 11 cm dan 8 cm. Rajah di sebelah 8 cm 11 cm
menunjukkan sepotong kek yang telah dipotong dengan O
keratan rentas seragamnya berbentuk sektor bulatan
POQ dan berjejari 11 cm. Diberi ˙POQ = 40°.
(a) Hitung
(i) perimeter, dalam cm, sektor POQ,
(ii) luas, dalam cm2, sektor POQ,
(iii) isi padu, dalam cm3, sepotong kek itu.
(b) Jika jisim sepotong kek itu ialah 150 gram, hitung
jisim, dalam gram, sebiji kek.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
2. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah kolam A 12 m B
renang dengan kedalaman seragam 1.5 m. ABCD adalah
berbentuk segi empat tepat dengan panjang 12 m dan 8m
lebar 8 m. AED dan BEC pula ialah dua sektor bulatan E
yang sama saiz dengan pusat E. Hitung DC
(a) perimeter, dalam m, lantai kolam renang,
(b) luas, dalam m2, lantai kolam renang,
(c) isi padu, dalam m3, air yang memenuhi kolam renang itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas membulat 10 cm P RQ
seragam bagi sebatang kayu yang terapung di atas air
dengan jejari 46 cm. Titik P dan Q pada kayu itu terletak θ 46 cm
pada permukaan air manakala titik tertinggi R pula ialah O
10 cm di atas permukaan air. Hitung
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang lengkok PRQ, dalam cm,
(c) luas keratan rentas kayu, dalam cm2, di atas permukaan
air itu.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bentuk bagi logo sebuah A B
syarikat aiskrim dari permukaan atas. Bentuk itu terdiri

daripada tiga sektor bulatan AOB, COD dan EOF yang F 30 cm
sama saiz berpusat O dan berjejari 30 cm. Diberi C
˙AOB = ˙COD = ˙EOF = 60°.
O
(a) Hitung

(i) panjang lengkok AB, dalam cm,
(ii) luas sektor COD, dalam cm2,

(iii) perimeter tembereng EF, dalam cm, ED

(iv) luas tembereng EF, dalam cm2.

(b) Logo itu akan dibina dengan konkrit. Jika ketebalan seragam logo itu ialah 5 cm, cari isi
padu konkrit, dalam cm3, yang diperlukan untuk membuat logo itu.
(c) Jika kos konkrit ialah RM0.50 per cm3, cari jumlah kos, dalam RM, untuk membina

logo itu.

22

SUDUT REFLEKSI Sukatan Membulat

SUKATAN MEMBULAT AB

1
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BPenukaran radian kepadaPanjang lengkokLuas sektor suatu bulatan
darjah dan sebaliknya suatu bulatan

180° A A
π j j
O θL C
× Oθ Cs

Radian Darjah B B

× π Panjang lengkok, s = jq Luas sektor, L = 1 j 2q
180° Perimeter tembereng ABC 2
= s + AB Luas tembereng ABC

= L – Luas ∆  AOB

Aplikasi

1. Adakah anda lebih cenderung untuk mengukur sesuatu sudut pada bulatan dalam darjah
daripada radian atau sebaliknya? Tuliskan justifikasi dan rasional untuk pilihan anda itu.

2. Layari Internet untuk mendapatkan jejari, dalam m, bagi enam buah roda Ferris
yang berikut:
(a) Eye on Malaysia (b) Wiener Riesenrad, Vienna (c) The London Eye
(d) Tianjin Eye, China (e) High Roller, Las Vegas (f) The Singapore Flyer
Katakan koordinat bagi pusat setiap roda Ferris itu ialah (0, 0), tentukan
(i) lilitan, dalam m, setiap roda Ferris itu,
(ii) luas kawasan, dalam m2, yang dilitupi oleh setiap roda Ferris itu bagi satu
pusingan lengkap,
(iii) persamaan bagi setiap roda Ferris itu.

23

Latihan Sumatif K
10 cm
1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor KOL bagi bulatan
berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi luas sektor itu ialah θO
60 cm2, hitung TP 2
(a) nilai q, dalam radian,KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA L
(b) perimeter, dalam cm, sektor KOL.
A
2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB bagi bulatan
berpusat O. Diberi AD = DO = OC = CB = 3 cm, cari TP 2 D C B
(a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, 2 rad R
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
O
3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ dan sektor ROS
dengan pusat O. Diberi OP = 4 cm, nisbah OP : OR = 2 : 3 P
dan luas kawasan berlorek ialah 10.8 cm2, cari TP 3
(a) nilai q, dalam radian, 4 cm
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. Oθ

4. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi bulatan Q S
dengan sudut q radian dan jejari j cm. Diberi perimeter M
sektor itu ialah 18 cm dan luasnya ialah 8 cm2. TP 3
(a) Bentukkan sepasang persamaan serentak yang melibatkan N j cm
j dan q. θ
(b) Seterusnya, cari nilai j dan nilai q.
O
5. Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah segi empat sama dengan
sisi 4 cm. PQ ialah lengkok bagi bulatan berpusat C dengan AP B
jejari 5 cm. Cari TP 3 Q 5 cm
(a) ˙PCQ, dalam darjah,
(b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek APQ, D 4 cm C
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek APQ.
R
6. Rajah di sebelah menunjukkan sukuan bagi bulatan Q
berpusat O dan berjejari 10 cm. Q ialah titik pada lengkok
itu dengan keadaan panjang lengkok PQ dan QR adalah P θ
dalam nisbah 2 : 3. Diberi ˙POQ = q radian, cari TP 3 10 cm O
(a) nilai q,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berwarna.

24

Sukatan Membulat

7. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah semibulatan dengan QR AB
pusat O dan berjejari j cm. Diberi panjang lengkok P O j cm S
PQ, QR dan RS adalah sama. Hitung luas, dalam cm2, 1
kawasan berlorek. Berikan jawapan dalam sebutan j.
[Guna π = 3.142] TP 5
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
B 8. Rajah di sebelah menunjukkan sektor VOW bagi bulatanVW
berpusat O. Lengkok VW bagi bulatan itu mencangkum sudut 64 cm 2 rad
2 radian di pusat O. Sektor VOW dilipat untuk membentuk
sebuah kon tegak supaya lengkok VW menjadi lilitan bagi O
tapak kon. Cari tinggi, dalam cm, kon itu. TP 5

9. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan AOBP dengan O P

ialah pusat bulatan dan ∆ APB ialah segi tiga bersudut tegak
π
di P. Diberi AB = 16 cm dan ˙ABP = 6 radian. Cari TP 3 π–6 rad
(a) panjang AP, dalam cm, O
(b) luas, dalam cm2, ∆ ABP, A B

(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

10. Dalam rajah di sebelah, AOB ialah semibulatan berpusat D y
A C (7, 7)
dan AEB ialah lengkok bagi bulatan berpusat C(7, 7).
x y
Persamaan AB ialah 6 + 8 = 1. Hitung TP 4
(a) luas ∆ ABC,
D x–6 + 8–y = 1
(b) ˙ACB, dalam darjah, E
(c) luas, dalam unit2, kawasan berlorek.
O Bx

11. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan ABCDE B C D
berpusat F dan rombus BGDF. Diberi koordinat bagi E, A G (5, 8) E (9, 6)
F dan G masing-masing ialah (9, 6), (5, 6) dan (5, 8) dan
˙BFD = q radian. Hitung TP 5 θ
(a) nilai q, dalam radian, F (5, 6)
(b) luas, dalam unit2, sektor BFD,
(c) luas, dalam unit2, kawasan berlorek.

12. Rajah di sebelah menunjukkan sektor bulatan JKLM berpusat K
M dan dua sektor bulatan JAM dan MBL masing-masing
berpusat A dan B. Diberi sudut major JML ialah 3.8 radian, M
cari TP 4
(a) jejari, dalam cm, sektor bulatan JKLM, J L
(b) perimeter, dalam cm, rantau berlorek, 1 rad 1 rad
(c) luas, dalam cm2, sektor bulatan JAM,
(d) luas, dalam cm2, rantau berlorek. 7 cm 7 cm

AB

25

13. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat O Q
dan berjejari 2 cm terterap dalam sektor PQR bagi
bulatan berpusat P. Garis lurus PQ dan PR ialah A
tangen kepada bulatan masing-masing di titik A dan
titik B. Hitung TP 4 2 cm
(a) panjang, dalam cm, lengkok QR,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek. P 60° O

14. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah B
taman. AOB ialah sektor bagi sebuah bulatan R
berpusat O dan berjejari 18 m dan ACB ialah sebuah
semibulatan dengan diameter AB. Taman itu terdiri
daripada kawasan berumput AOB dan kawasan
pokok bunga berpagar ACB. Diberi bahawa luas bagi
kawasan berumput AOB ialah 243 m2, hitung TP 4
(a) nilai q, dalam radian,
(b) panjang, dalam m, pagar yang diperlukan untuk
memagari kawasan pokok bunga,
(c) luas, dalam m2, kawasan pokok bunga.

15. Hilal mengikat empat buah tin minuman yang
berbentuk silinder tegak dengan seutas tali seperti
yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Jejari
bagi setiap tin itu ialah 5.5 cm. Hitung panjang tali,
dalam cm, yang digunakan oleh Hilal. TP 5
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA A

18 m

Oθ C

B

16. Sekeping aluminium yang berbentuk segi empat tepat berukuran 200 cm dan 110  cm
dibengkokkan untuk membentuk separuh permukaan melengkung silinder. Dua
semibulatan dilekatkan di kedua-dua hujung bentuk itu untuk membuat sebuah bekas
air seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. TP 5

200 cm 200 cm O
110 cm
110 cm P 118° Q

   

Bekas itu diletakkan secara mengufuk dan air dituangkan ke dalamnya. PQ mewakili paras
air di dalam bekas itu dengan O ialah pusat semibulatan dan ˙POQ = 118°.
(a) Tunjukkan bahawa jejari silinder itu ialah 35 cm, betul kepada cm terhampir.
(b) Hitung

(i) luas, dalam cm2, sektor POQ,
(ii) luas, dalam cm2, tembereng berlorek,
(iii) isi padu, dalam liter, air di dalam bekas itu.

26

Sukatan Membulat

17. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma dengan D AB
setiap keratan rentasnya ialah sektor bagi bulatan berjejari
3 cm. AOB dan CED ialah keratan rentas prisma itu 1
dengan A, B, C dan D terletak di atas permukaan lengkung
prisma. Diberi bahawa tinggi prisma itu ialah 4 cm dan
˙CED = 40°, cari TP 4
(a) panjang, dalam cm, lengkok AB,
(b) luas, dalam cm2, sektor AOB,
(c) isi padu, dalam cm3, prisma,
(d) jumlah luas permukaan, dalam cm2, prisma itu.

18. Persatuan Matematik SMK Taman Pagoh Indah
menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk
persatuan itu. Rajah di sebelah menunjukkan logo
berbentuk bulatan dan sektor bulatan yang direka oleh
Wong. Jejari bulatan setiap lengkok ialah 5 cm. Cari TP 4
(a) perimeter, dalam cm, kawasan berwarna logo itu,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berwarna logo itu.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA E 40° C
B
4 cm B

O 3 cm A

M
SK

TI
P

Ahli matematik pada zaman dahulu mendapati bahawa pemalar π ialah nisbah lilitan
suatu bulatan kepada diameternya.
Maklumat di bawah menunjukkan anggaran niai π berdasarkan pendapat empat orang
tokoh matematik yang terkemuka di dunia.

Ahli matematik Greek, Ahli matematik
Archimedes telah Yunani-Romawi,
membuktikan bahawa Ptolemy menunjukkan
10 1 bahawa nilai anggaran
3 71 , π , 3 7 . bagi π ialah 3.1416.

Ahli matematik Ahli matematik
Switzerland, Euler Jerman, Lambert
mendapati bahawa membuktikan bahawa
π 2 1 1 π ialah suatu nombor
6 = 1 + 12 + 22 tak rasional.

+ 1 + 1 + …
32 42

Pada zaman moden hari ini, komputer boleh menilai π hingga sepuluh juta digit.
Teroka nilai π dengan menggunakan perisian geometri dinamik Desmos.

27

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIABAB

2 PEMBEZAAN

Had dan Hubungannya dengan Pembezaan
Pembezaan Peringkat Pertama
Pembezaan Peringkat Kedua
Aplikasi Pembezaan
Senarai
Standard
Pembelajaran

bit.ly/2EOtFa4

28

Bakteria boleh menyebabkan

pelbagai jenis penyakit berbahaya

dan mengancam kehidupan kita. Isaac Newton (1643-1727 TM) dan Gottfried
Von Leibniz (1646-1716 TM) merupakan
Bakteria menghasilkan toksin yang ahli matematik yang mula mempelopori
prinsip asas kalkulus yang terdiri daripada
boleh merosakkan makanan. Makanan pembezaan dan pengamiran.

yang dicemari oleh bakteria akan Kalkulus berasal daripada perkataan
Latin yang bermaksud batu kecil yang
mengakibatkan keracunan makanan digunakan untuk menghitung dan
menyelesaikan suatu permasalahan
dan boleh membawa maut jika tidak matematik pada zaman dahulu.

dirawat dengan segera. Antara Untuk maklumat lanjut:

penyakit yang menyerang manusia bit.ly/2KFSrgc
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
akibat bakteria ialah tifoid, demam dan Kepentingan Bab Ini

pneumonia. Tahukah anda, rumus bagi Sebuah LRT (Light Rapid Transit) yang
bilangan pertumbuhan bakteria, p bergerak dengan kadar perubahan
sesaran terhadap masa menunjukkan
dengan populasi awal ialah 1 500 halaju seketika bagi LRT itu manakala
kadar perubahan halaju terhadap masa
menggunakan rumus menunjukkan pecutan seketika.
( )p = 1 500 Konsep pembezaan digunakan untuk
1 + 5t , dengan t ialah menentukan peredaran darah dalam
t 2 + 30 arteri pada masa tertentu serta jangka
masa bagi penyakit tumor membesar
masa, dalam jam? Bolehkah anda dan mengecil di dalam badan manusia.

tentukan kadar pertumbuhan populasi

bakteria selepas 3 jam? Masalah ini

boleh diselesaikan dengan konsep

pembezaan yang merupakan

sebahagian daripada kalkulus.

Had Limit
Terbitan pertama First derivative
Kecerunan tangen Gradient of tangent
Terbitan kedua Second derivative
Persamaan tangen Equation of tangent
Persamaan normal Equation of normal
Titik pusingan Turning point
Kadar perubahan Rate of change
Video mengenai Penghampiran Approximation
pertumbuhan Stationary point
koloni bakteria. Titik pegun
Titik lengkok balas Point of inflection
bit.ly/364Iwt8

29

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan

Had merupakan konsep asas dalam operasi pembezaan seperti
halaju, v suatu objek pada masa t yang disebut sebagai halaju
seketika. Misalnya, semasa pemanduan, bacaan pada meter
laju kenderaan anda menunjukkan halaju 80 kmj–1.

Apakah yang dimaksudkan dengan bacaan halaju
80 kmj–1 pada meter laju itu? Bagaimanakah nilai 80 kmj–1
ini diperoleh? Dengan kaedah had, kita boleh menentukan
nilai tersebut melalui nilai penghampiran.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Nilai had suatu fungsi apabila pemboleh ubah menghampiri sifar

Pertimbangkan jujukan 1, 1 , 1 , 1 , … dengan sebutan amnya, T
2 3 4
1 1
Tn = n , dengan keadaan n = 1, 2, 3, ... 12–
0 1 2345
Perhatikan graf bagi jujukan itu seperti dalam rajah

di sebelah. Apabila n semakin meningkat tanpa batas,

apakah yang akan terjadi kepada sebutan, T jujukan itu?

Adakah sebutannya semakin menghampiri sifar tetapi bukan

sifar? Bolehkah anda tentukan had bagi jujukan ini? n

Ikuti penerokaan berikut untuk meneroka nilai had suatu
fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar pula.

1Aktiviti Penerokaan Berkumpulan

Tujuan: Meneroka had suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar

Langkah: x 2 + 3x , dengan
x
1. Pertimbangkan fungsi f (x) = domainnya ialah set semua nombor nyata,
kecuali sifar.

2. Tentukan nilai bagi f (0). Adakah anda boleh memperoleh nilai tersebut? Jelaskan.
x 2 + 3x
3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi fungsi f (x) = x apabila x menghampiri

sifar dari arah kiri dan arah kanan. Seterusnya, lakarkan graf y = f (x) dan tentukan nilai
had  x 2 + 3x
bagi x .
x˜0

x – 0.1 – 0.01 – 0.001 – 0.0001 ... 0.0001 0.001 0.01 0.1

f (x)

4. Apakah yang anda boleh katakan tentang keputusan nilai f (0) yang diperoleh dalam
had  x 2 + 3x
langkah 2 dengan nilai x yang diperoleh dalam langkah 3? Bincangkan.
x˜0

30 2.1.1

Pembezaan

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa nilai bagi f (0) tidak dapat ditentukan
0
kerana menghasilkan suatu bentuk tak tentu, iaitu 0 . Oleh sebab had tidak dapat ditentukan

secara penggantian langsung, maka nilai bagi had x 2 + 3x boleh ditentukan seperti yang
x
x˜0
ditunjukkan dalam jadual dan rajah yang berikut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA AB
x f(x) Bf (x)Dengan menggunakan
– 0.1 2.9 2
– 0.01 2.99
– 0.001 2.999 kalkulator grafik, lukis graf
– 0.0001 2.9999 x 2 + 3x
0   6 bagi fungsi f (x) = x
0.0001 3.0001 4
0.001 3.001 3 f (x) = –x–2 –+x–3–x– dan anggarkan nilai bagi
0.01 3.01 2 x
0.1 3.1 3 had f (x). Adakah fungsi f
– 4 –2 0 24
x˜0
tertakrif di x = 0?
Bincangkan kesannya

pada kewujudan had

apabila x menghampiri sifar.

Berdasarkan jadual dan rajah di atas, apabila nilai x semakin menghampiri sifar sama ada
dari arah kiri atau kanan, nilai f (x) menghampiri 3. Jadi, apabila x menghampiri sifar dari salah

satu arah, fungsi f (x) = x 2 + 3x menghampiri 3, iaitu apabila x ˜ 0, x 2 + 3x ˜ 3. Nilai 3 disebut
x x
x 2 + 3x
sebagai had bagi x apabila x menghampiri sifar dan pernyataan ini boleh diringkaskan

dengan tatatanda:

had f (x) = had x 2 + 3x = 3
x
x˜0 x˜0

Secara amnya,

Apabila x menghampiri a, dengan keadaan x ≠ a,
had bagi f (x) ialah L dan ditulis sebagai had  f (x) = L.

x˜a

Cara-cara untuk menentukan had f (x), dengan a  adalah seperti yang berikut:
x˜a

Tentukan nilai had f (x) dengan menggantikan nilai x = a secara langsung ke dalam fungsi f (x). Jika,

f (a) ≠ 0 f (a) = 0
0 0

Nilai had f (x) telah diperoleh, Tentukan had f (x) dengan cara:

x˜a x˜a

iaitu had f (x) = f (a). • Pemfaktoran
• Merasionalkan pengangka atau
x˜a
penyebut fungsi itu.

2.1.1 31

Contoh 1

Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.

(a) had 3 – ! x (b) xh˜ad1 xx 2 –– 11 (c) xh˜ad0 ! x +x1 – 1
x+2
x˜4

Penyelesaian

(a) Gunakan penggantian secara langsung.

3 – ! x 3 – ! 4 3–2 1
x+2 4+2 4+2 6
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA had= = =

x˜4

(b) Apabila x = 1, had x 2 – 1 adalah dalam bentuk tak tentu, 0 .
x – 1 0
x˜1

Jadi, lakukan pemfaktoran dan hapuskan faktor sepunya Lakarkan graf bagi setiap

sebelum melakukan penggantian secara langsung. fungsi yang berikut.
x 2 – 1
had x 2 – 1 (a) f (x) = xx+–11 , x ≠ 1
x – 1 (b) f (x) =
x˜1

= had (x + 1)(x – 1) Faktorkan pengangka dan Daripada graf, cari had bagi
x–1 hapuskan faktor sepunya
x˜1 setiap fungsi itu apabila x
menghampiri 1.

= had (x + 1) Dengan menggunakan
x˜1
perisian geometri dinamik,

=1+1 Penggantian langsung lukis graf bagi setiap fungsi
=2
itu. Adakah perisian tersebut

(c) Apabila melakukan penggantian langsung, bentuk tak tentu, dapat membezakan

0 kedua-dua graf itu? Jelaskan
0
akan diperoleh. Jadi, rasionalkan pengangka bagi pecahan jawapan anda.

dengan mendarabkannya dengan konjugat, iaitu ! x + 1 + 1.

had ! x +1 – 1
x
x˜0
= had

[( )( )]x˜0
! x + 1 – 1 ! x + 1 + 1 Darabkan dengan konjugat bagi pengangka
x ! x + 1 + 1

had (x + 1) – 1
x ! x + 1 + 1
( ) = x˜0 (a – b)(a + b) = a2 – b2
Hapuskan faktor sepunya
( )= had x

x ˜ 0 x ! x + 1 + 1
1
= had f (x)
x ˜ 0 ! x + 1 + 1 f tidak tertakrif
1
= ! 0 + 1 + 1 Penggantian langsung 1 apabila x = 0

= 1 21– f (x) = �––x–+–x–1––––1
+ –1 0
1 1 x
1
= 2 12

32 2.1.1

Pembezaan

Contoh 2

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f(x) f(x) = x–4–x––2–x–2
3
f (x) = x 4 – x 2 , x ≠ 0. Berdasarkan graf, cari
x 2

(a) f (0) (b) xh˜ad0 f (x) (c) xh˜ad2 f (x) AB
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BPenyelesaian0 12x2
–1
(a) Didapati bahawa tiada titik di x = 0. Maka, f (0) tidak
tertakrif di x = 0.

(b) Apabila x ˜ 0 sama ada dari arah kiri atau kanan, f (x) ˜ –1. Maka, had f (x) = –1.
x˜0

(c) Apabila x ˜ 2 sama ada dari arah kiri atau kanan, f (x) ˜ 3. Maka, had f (x) = 3.
x˜2

Latihan Kendiri 2.1

1. Cari had bagi setiap fungsi yang berikut apabila x ˜ 0. (d) ax a+ a
x + 4
(a) x 2 + x – 3 (b) ! x + 1 (c) x – 2

2. Tentukan had bagi setiap fungsi yang berikut.

(a) had  (3x – 1) (b) had  ! 10 – 2x (c) xh˜ad–3  x 2 x++x – 6
x˜0 x ˜ –3 3

(d) had  xx 2 – 6 (e) xh˜ad2  x 2 x– 23–x 4+ 2 (f) xh˜ad0  1 –2x! 2 2–x + 1
– 36 x
x˜6

(g) had   x –4 (h) xh˜ad3  3 –x! –2x3+ 3 (i) xh˜ad–2   ! 5x x+2
! x –2 + 14
x˜4 – 2

3. Cari nilai bagi setiap had yang berikut. (c) had   x 3
 xx  23 – 2x (b) xh˜ad3  2xx 2 2––45xx+– 3 x˜3 – 5x 2 + 6x
(a) had – 4x 3 x 2 – 3x

x˜0

(d) had   5x (e) xh˜ad4   2 –x!– 84– x (f) xh˜ad7  ! x x+–27– 3
x˜0 3 – ! x +
9

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada y
graf fungsi y = f (x).
4 y = f(x)
(a) Berdasarkan graf, 3 5
(i) cari f (0), 2
(ii) tentukan sama ada had f (x) wujud atau tidak. 1
x˜0
Jelaskan. –1 0

(b) Seterusnya, cari
(i) had f (x)
x ˜ –1 x

(ii) had f (x) 33
x˜5

2.1.1

Terbitan pertama suatu fungsi f(x) melalui pembezaan dengan

prinsip pertama y

Tangen kepada suatu lengkung di suatu titik ialah satu garis lurus T(3, 8)
yang menyentuh lengkung pada titik itu. Dalam rajah di sebelah,
garis lurus AT dengan koordinat A dan T masing-masing ialah
(2, 4) dan (3, 8) ialah tangen kepada lengkung y = x 2 di titik A.

Kecerunan tangen AT = y2 − y1 = 8 −4 = 4 y = x2 A(2, 4)
x2 – x1 3 –2 0 x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Bagaimanakah cara untuk mencari kecerunan tangen bagi Sudut Informasi
lengkung y = x 2 di titik yang lain pula, misalnya B(3, 9)?
Kecerunan lengkung
Kecerunan bagi suatu lengkung menggunakan graf adalah juga dikenali sebagai
sukar untuk ditentukan dan hasilnya tidak begitu tepat. Terdapat kecerunan tangen.
kaedah lain yang boleh digunakan untuk mencari kecerunan bagi
suatu lengkung pada titik tertentu, iaitu dengan menggunakan
idea had seperti dalam penerokaan berikut.

2Aktiviti Penerokaan Berkumpulan PAK-21 STEM PK

Tujuan: Meneroka fungsi kecerunan tangen dan kecerunan tangen kepada
lengkung y = x 2 pada titik B(3, 9) dengan menggunakan idea had

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. ggbm.at/z7kumqkk

2. Perhatikan graf y = x 2 dan garis lurus yang melalui titik B(3, 9) dan titik
C(4, 16) pada graf tersebut.

3. Nilai m = 7 mewakili kecerunan bagi garis lurus BC.

4. Gerakkan titik C menghampiri titik B dan perhatikan perubahan pada nilai m.

5. Catatkan perubahan nilai m apabila titik C menghampiri titik B.

6. Katakan koordinat B(3, 9) ialah (x, y) dan koordinat C(4, 16) ialah (x + dx, y + dy), dengan
dx mewakili perubahan dalam nilai x dan dy mewakili perubahan dalam nilai y. Salin dan
lengkapkan jadual berikut.

dx x + dx y + dy dy dy y = x2
dx
1 4 16 7 7 C(x + δx, y + δy)
0.5 3.5 12.25 3.25 δy
0.05
0.005 B(x, y)
δx D(x + δx, y)

7. Apabila dx menghampiri 0, apakah yang berlaku pada nilai dy ? Bandingkan keputusannya
dengan keputusan yang diperoleh dalam langkah 5. dx

Daripada Aktiviti Penerokaan 2, perhatikan bahawa B(x, y) dan C(x + dx, y + dy) ialah dua titik
berhampiran pada lengkung y = x 2.

34 2.1.2

Pembezaan

Jadi, y
C(x + δx, y + δy)
Kecerunan garis lurus BC = CD
BD
(y + dy) – y
= (x + dx) – x C1 δy

dy C2 T AB
dx B(x, y)
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA = y = x2 δx D 2
B
0 x

Apabila titik C menghampiri titik B di sepanjang lengkung,

garis lurus BC berubah dan menjadi BC1, seterusnya menjadi GALERI SEJARAH
BC2, iaitu nilai bagi dx semakin kecil dan menghampiri sifar,
dx ˜ 0. Apabila titik C berada di atas titik B, garis lurus menjadi

tangen di titik B. Oleh itu,

Kecerunan lengkung di B = Kecerunan tangen BT
 ddyx
= Nilai bagi had

dx ˜ 0

Maka, bagi lengkung y = f (x), fungsi kecerunan tangennya Konsep had bagi suatu
 ddxy fungsi mula diperkenalkan
pada sebarang titik boleh ditentukan dengan mencari had . secara eksplisit oleh Sir
ddhxaa˜nd0d iddtaxynddaiskeabnutdesenbgaagnasiitmerbboiltanddyxp.ertama bagi fungsi Isaac Newton. Beliau
dx ˜ 0 menyatakan bahawa had
ialah konsep asas dalam
terhadap x kalkulus dan menjelaskan
konsep utama had ialah
dy = had  ddyx = had   f (x + dx) – f (x) “mendekati dengan lebih
dx dx dekat daripada sebarang
dx ˜ 0 dx ˜ 0 perbezaan yang diberikan”.

Fungsi kecerunan tangen dy ini boleh digunakan untuk
dx
mencari kecerunan tangen kepada suatu lengkung y = f (x) pada
sebarang titik (x, f (x)). Sudut Informasi

Misalnya, pertimbangkan semula lengkung y = f (x) = x 2. • Simbol dx dibaca sebagai
“delta x” yang mewakili
dy = f (x + dx) – f (x) tokokan kecil dalam x.
= (x + dx)2 – x 2
= x 2 + 2x(dx) + (dx)2 – x 2 • Simbol dy dibaca sebagai
= 2x(dx) + (dx)2 “delta y” yang mewakili
Bahagikan kedua-dua tokokan kecil dalam y.
belah persamaan
dy = 2x(dx) + (dx)2 dengan dx
dx dx
= 2x + dx Tip Pintar

Maka, dy bukan bermaksud
dx
dy = had  ddxy dy
dx
dx ˜ 0 bahagi dengan dx tetapi

= had  (2x + dx) dy ialah simbol bagi had
dx ˜ 0 dx

ddyx = 2x + 0 dy apabila dx ˜ 0.
= 2x dx
Fungsi kecerunan tangen

2.1.2 35

Jadi, kecerunan tangen kepada lengkung y = x 2 pada titik B(3, 9) ialah dy = 2x = 2(3) = 6.
dx
dy
Secara amnya, proses untuk menentukan fungsi kecerunan dx atau terbitan pertama bagi suatu
fungsi y = f (x)
dengan menggunakan idea had  ddyx seperti ini disebut sebagai pembezaan

dx ˜ 0

dengan prinsip pertama.

Contoh 3

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIACaridydenganmenggunakanprinsippertamabagisetiapfungsi y = f (x) yang berikut.
dx
(a) y = 3x (b) y = 3x 2 (c) y = 3x 3

Penyelesaian

(a) Diberi y = f (x) = 3x (b) Diberi y = f (x) = 3x 2

dy = f (x + dx) – f (x) dy = f (x + dx) – f (x)
= 3(x + dx)2 – 3x 2
= 3(x + dx) – 3x
= 3[x 2 + 2x(dx) + (dx)2] – 3x 2
= 3x + 3dx – 3x = 3x 2 + 6x(dx) + 3(dx)2 – 3x 2

dy = 3dx dy = 6x(dx) + 3(dx)2
dx = 3 dx = 6x + 3dx

Maka, dy = had  ddxy dy  ddxy
dx dx
dx ˜ 0 Maka, = had

= had  3 dx ˜ 0

dy = dx ˜ 0 = had  (6x + 3dx)
dx dx ˜ 0
3
= 6x + 3(0)
dy = 6x
dx
(c) Diberi y = f (x) = 3x 3
dy = f (x + dx) – f (x) Tip Pintar
= 3(x + dx)3 – 3x 3
= 3(x + dx)(x + dx)2 – 3x 3 Langkah-langkah untuk
= 3(x + dx)[x 2 + 2x(dx) + (dx)2] – 3x 3 menentukan dy bagi
= 3[x 3 + 2x 2(dx) + x(dx)2 + x 2(dx) + 2x(dx)2 + (dx)3] – 3x 3
= 3[x 3 + 3x 2(dx) + 3x(dx)2 + (dx)3] – 3x 3 dx
= 3x 3 + 9x 2(dx) + 9x(dx)2 + 3(dx)3 – 3x 3 sebarang fungsi f (x) dengan
= 9x 2(dx) + 9x(dx)2 + 3(dx)3 prinsip pertama.
ddxy = 9x 2 + 9x(dx) + 3(dx)2 1. Pertimbangkan dua titik

A(x, y) dan B(x + dx, y + dy)
pada lengkung.

Maka, dy = had  ddyx 2. Tentukan dy dengan
dx dy = f (x + dx) – f (x).
dx ˜ 0
3. Dapatkan nisbah dy .
= had  [9x 2 + 9x(dx) + 3(dx)2] dx
dx ˜ 0 dy
4. Ambil had bagi dx
apabila dx ˜ 0.
dy = 9x 2 + 9x(0) + 3(0)2
dx = 9x 2

36 2.1.2

Pembezaan

Latihan Kendiri 2.2

1. Cari dy dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f (x) yang berikut.
dx
(a) y = x (b) y = 5x (c) y = – 4x (d) y = 6x 2
1 1 AB
(e) y = –x 2 (f) y = 2x 3 (g) y = 2  x 2 (h) y = x
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 2
2. Diberi By=2x 2–x+7,caridydenganmenggunakanprinsippertama.
dx

3. Dengan menggunakan prinsip pertama, cari fungsi kecerunan bagi lengkung y = 3 + x – x 2.

Latihan Formatif 2.1 Kuiz bit.ly/36ml2zn

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f (x)
f (x) = x 2 – 4x + 3.
(a) Daripada graf, cari setiap yang berikut.

(i) had f (x) (ii) had f (x) (iii) had f (x) f (x) = x2 – 4x + 3

x ˜ –1 x˜0 x˜1
(v) had f (x) (vi) had f (x) 8
(iv) had f (x) x˜3
x˜2 x˜4

(b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi a jika had f (x) = 8.
x˜a
dy 3
(c) (i) Tentukan fungsi kecerunan tangen, dx bagi graf itu 0 123

dengan menggunakan prinsip pertama. –1–1 x
(ii) Seterusnya, tentukan kecerunan tangen pada titik (4, 3).

2. Cari nilai bagi setiap had yang berikut.

(a) had  (x 2 – 6x + 9) (b) had 3! x 4 – 2x 2 (c) xh˜ad9  x9 2 –– 8x1
x˜0 x˜2

(d) had  x 2 –x – 2 (e) xh˜ad1  xx 3––1x (f) xh˜ad5  x 2 x–27–x2+510
x– 2
x˜2

3. Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.
had  ! 1 ! 1 – ! x +
(a) + 2x – – 2x (b) had  3 x–4 5 (c) had   x 2 – 5x + 6
x˜0 x x˜3 2 – ! x + 1
x˜4

4. (a) Diberi bahawa had   x 2 – k = 4 , cari nilai k.
3x – 6 3
x˜2

(b) Jika had  x 2 – 2x – h = –2, cari nilai bagi h + k.
kx + 2
x ˜ –1

5. Bezakan fungsi berikut terhadap x dengan menggunakan prinsip pertama.
(b) y = x 2 – x (c) y = (x + 1)2 (d) y = 41x
(a) y = 5x – 8

6. Sesaran, s m, bagi seekor tupai yang berlari pada kabel lurus selepas t saat diberi oleh
s(t) = t 2 – 3t, dengan keadaan t > 0. Menggunakan prinsip pertama, cari halaju tupai itu
apabila t = 5.

2.1.2 37

2.2 Pembezaan Peringkat Pertama

Rumus terbitan pertama bagi fungsi y = ax n, dengan a ialah pemalar dan n

ialah integer

Perhatikan semula Contoh 3 pada halaman 36. Fungsi dy Pola
Terbitan pertama bagi fungsi y = 3x, y = 3x 2 dan dx
y = 3x 3 dengan prinsip pertama adalah mengikut y = 3x
pola seperti dalam jadual di sebelah. y = 3x 2 3 3(1x 1 – 1)
y = 3x 3
Daripada pola yang diperoleh, bagi fungsi
y = ax n, dengan a ialah pemalar dan n ialah integer,
kita boleh menerbitkan rumus terbitan pertama bagi
fungsi itu secara induktif seperti yang berikut.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 6x 3(2x 2 – 1)

9x2 3(3x 3 – 1)

Tip Pintar

dy d Bagi y = ax n, dy
dx dx dx
Jika y = ax n, maka = anx n – 1 atau  (ax n) = anx n – 1 • Jika n = 1, =a

Tiga tatatanda yang boleh digunakan untuk menerangkan • Jika n = 0, dy =0
terbitan pertama suatu fungsi y = ax n adalah seperti yang berikut. dx

1 Jika y = 3x 2, maka dy = 6x dy disebut sebagai pembezaan y terhadap x.
dx dx

f (x) dikenali sebagai fungsi kecerunan bagi lengkung

2 Jika f (x) = 3x 2, maka f (x) = 6x y = f (x) kerana fungsi ini boleh digunakan untuk

mencari kecerunan lengkung pada sebarang titik.

3 d  (3x 2) = 6x Jika bezakan 3x 2 terhadap x, hasilnya ialah 6x.
dx

Menentukan terbitan pertama bagi suatu fungsi algebra

Ikuti penerokaan berikut untuk melihat perbandingan antara graf fungsi f (x) dengan graf fungsi
kecerunannya, f (x) menggunakan perisian geometri dinamik Desmos.

3Aktiviti Penerokaan Berkumpulan STEM PK

Tujuan: Membandingkan graf fungsi f (x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x)

Langkah:

1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. bit.ly/2Foq2bu
2. Perhatikan graf f (x) = x 2 yang terpapar pada satah.

3. Klik butang (a, f (a)) untuk melihat koordinat titik sentuh antara graf f (x) dengan
garis tangennya.
d
4. Kemudian, klik butang f (x) = dx [f (x)] untuk melihat graf f (x), iaitu graf fungsi kecerunan

bagi f (x). Seterusnya, klik butang (a, f (a)) untuk melihat koordinat titik pada graf f (x).

38 2.2.1 2.2.2

Pembezaan

5. Seret gelongsor a untuk mengubah titik sentuh antara lengkung f (x) dengan garis tangennya. AB
6. Bandingkan graf fungsi f (x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x). Apakah yang anda
2
boleh katakan tentang kedua-dua graf ini apabila nilai a berubah?
7. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan lengkung y = x 2 pada

koordinat-x yang diberi. Kecerunan lengkung boleh diperoleh dengan melihat koordinat-y
pada titik di graf f (x).
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
BKoordinat-x–3–2–10123

Kecerunan
lengkung

8. Dengan menggunakan rumus terbitan pertama yang telah dipelajari, tentukan fungsi f (x).
Seterusnya, gantikan nilai-nilai koordinat-x daripada jadual di atas ke dalam fungsi f (x)
untuk menyemak dan mengesahkan kecerunan lengkung yang diperoleh dalam langkah 7.

9. Teruskan penerokaan anda dengan fungsi yang lain seperti fungsi kubik, seterusnya
bandingkan jenis serta bentuk graf fungsi itu dengan graf fungsi kecerunannya.

10. Buat satu kesimpulan berdasarkan hasil dapatan anda.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa:
Perbandingan antara graf f (x) dengan graf fungsi kecerunannya, f (x) bagi tiga fungsi
polinomial dalam bentuk y = f (x) = ax n, dengan a = 1 dan kuasa tertinggi polinomial, n = 1, 2
dan 3 dapat dirumuskan seperti berikut.

Graf y = f (x) = x dan Graf y = f (x) = x 2 dan Graf y = f (x) = x 3 dan
y = f (x) = 1 y = f (x) = 2x y = f (x) = 3x 2

y y y = f Ј(x) y y = f Ј(x)
y = f (x) y = f (x) (2, 4)

y = fЈ(x) Parabola y = f (x)

Garis (1, 1) x Parabola 0 x 0x
lurus 0 Lengkung
Garis kubik
lurus

Langkah-langkah untuk menentukan kecerunan bagi lengkung f (x) pada suatu titik pula adalah
seperti berikut.

Cari fungsi kecerunan f (x) bagi fungsi f (x) = ax n Gantikan nilai x ke dalam
terlebih dahulu dengan menggunakan rumus berikut: fungsi kecerunan itu.

Jika f (x) = ax n, dengan a ialah pemalar
dan n ialah integer, maka f (x) = anx n – 1.

2.2.2 39

Proses untuk menentukan fungsi kecerunan f (x) bagi suatu fungsi y = f (x) disebut sebagai
pembezaan. Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama bagi suatu fungsi atau
fungsi terbitan atau pekali pembezaan y terhadap x.

Contoh 4

Bezakan setiap yang berikut terhadap x.
(a) – 32  x 6 (b) y = 15 ! x (c) f (x) = 83x 2
Penyelesaian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
( )(a) d 1 3
dx   – 23  x 6 = – 32  (6x 6 – 1) (b) y = 5 ! x (c) f (x) = 8x 2

( ) = – 32  (6x 5) = 1  x 1 = 3  x –2
= – 4x 5 5 2 8
ddx   – 32  x 6
( ) dy 1 1 1 – 1 f (x) = 3  (–2x –2 – 1)
dx 5 2 8
=    x 2 = – 34  x –3

= 1  x– 21
10
dy 1 f (x) = – 43x 3
dx = 10! x

Contoh 5 Sudut Informasi

( )(a) Jika 3 1
f (x) = 4  x 4, cari f (–1) dan f  3 . Fungsi kecerunan bagi suatu

9 3! x dy lengkung ialah suatu fungsi
dx
(b) Diberi bahawa y = , cari nilai apabila x = 8. manakala kecerunan bagi

suatu lengkung pada titik

Penyelesaian tertentu pula ialah suatu

nilai berangka.

(a) f (x) = 3  x 4 (b) y = 9 3! x Misalnya, bagi lengkung
4
1 y = 2x 3, fungsi kecerunannya
dy
f (x) = 3  (4x 4 – 1) = 9x 3 ialah dx = 2(3x 3 – 1) = 6x 2 dan
4
( ) dy = 9 1 1 – 1 kecerunannya pada titik (1, 2)
dx 3
= 3x 3 x 3 ialah dy = 6(1)2 = 6.
dx
f (–1) = 3(–1)3 = 3x– 32

= –3 Apabila x = 8, dy = 3(8)– 23
( ) ( ) f  13 dx
= 3  1 3
3
1 = 3
= 9 4

Terbitan bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra
pula boleh diperoleh dengan membezakan fungsi itu sebutan demi sebutan secara berasingan.

Jika f (x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka

d [ f (x) ± g(x)] = d [  f (x)] ± d [g(x)]
dx dx dx

40 2.2.2