บทที่ 2 หลักการนับเบื้องต้น

ห น้ า | 1

เอกสารประกอบการสอน

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ (ค32202)

เรื่อง หลักการนับเบ้ืองต้น

ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 ปีการศกึ ษา 2564

ช่อื -สกลุ ………………………………………………………………………………………
ช้ัน………………..เลขที่……………..

นางสาวนรู ฮายาตี เด็ง
กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเบญจมราชทู ิศ จงั หวัดปัตตานี

ห น้ า | 2

คานา

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ ค32202 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 จดั ทาตาม
มาตรฐานการเรยี นรแู้ ละตัวชีว้ ดั กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรับปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาข้นั พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 โดยคานึงถงึ การส่งเสริมให้ผู้เรียนมีทกั ษะทจ่ี าเป็น สอดคลอ้ ง
กบั การเรยี นรู้ในศตวรรษที่ 21 เปน็ สาคัญ รวมท้งั เนน้ ด้านการวิเคราะห์ การแกป้ ัญหาการคิดสร้างสรรคแ์ ละการ
นาไปประยกุ ต์ใชเ้ พ่อื พฒั นาคณุ ภาพชวี ติ ของตนเอง

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยิง่ วา่ เอกสารประกอบการเรยี นการสอนเล่มนี้ จะเป็นประโยชนต์ อ่ การจดั การเรียนรู้
และเป็นส่วนสาคัญในการพัฒนาคณุ ภาพและมาตรฐานของการศกึ ษา

ห น้ า | 3

บทท่ี 2 หลักการนับเบอื้ งตน้

หลักการนับ เปน็ การนับจานวนวธิ ีท้ังหมดทเ่ี หตกุ ารณอ์ ย่างใดอยา่ งหนึง่ จะเป็นไปได้หรือจานวนวธิ ใี นการ
จดั ชดุ ของส่ิงต่าง ๆ ในการคานวณหาจานวนวิธีทัง้ หมดเท่าทีจ่ ะเปน็ ไปไดข้ องเหตการณ์อย่างหน่ึง สามารถใช้
แผนภาพตน้ ไม้ชว่ ยในการหาคาตอบได้

1.ทบทวนความรู้เดมิ (แผนภาพต้นไม)้

สถานการณท์ ่ี 1 ต้องการเลอื กใสเ่ สื้อ 2 ตัว และกางแกง 3 ตวั ทแ่ี ตกต่างกันได้กีว่ ิธี

แผนภาพต้นไม้

สถานการณท์ ี่ 2 ในการเดินทางจากจังหวดั A ไปจงั หวัด B มีวิธีเดินทางได้ 2 วธิ ี คอื ทางรถยนต์ แลรถไฟ เดินทาง
จากจงั หวัด B ไปจงั หวดั C มวี ธิ ีเดนิ ทางได้ 3 วิธี คือ รถยนต์ รถไฟ และเคร่ืองบิน จงหาจานวนวิธีในการเดินทาง
จากจงั หวดั A ผา่ นจังหวัด B ไป ยงั จังหวดั C

ห น้ า | 4

สถานการณ์ท่ี 3 นกั เรียนคนหน่งึ มกี างเกง 2 ตัวสีต่างกัน เสอื้ สามตวั สีตา่ งกัน นกั เรยี นคนนจี้ ะแต่ง กายด้วย
กางเกง 1 ตวั เสอื้ 1 ตัวได้ต่างๆ กนั กีว่ ธิ ี

2.หลกั มลู ฐานเกย่ี วกบั การนบั

2.1 หลกั การคณู

ถา้ การทางานอย่างหนึ่งประกอบดว้ ยการทางาน k ข้นั ตอน คือขั้นตอนที่ 1 ถงึ ข้นั ตอนท่ี k ตามลาดับ โดย

ที่

การทางานในข้นั ตอนท่ี 1 มวี ิธที าได้ n1 วธิ ี
การทางานในขน้ั ตอนที่ 2 มีวิธีทาได้ n2 วิธี
การทางานในขั้นตอนท่ี 3 มีวิธที าได้ n3 วธิ ี

การทางานในขนั้ ตอนที่ k มีวิธีทาได้ nk วธิ ี
และวธิ ีการทางานในแตล่ ะวิธีแตกต่างกนั แล้ว จานวนวิธที างานนเ้ี ทา่ กบั n1n2n3…nk วธิ ี

สถานการณ์ท่ี 4 นายเอกตอ้ งเดนิ ทางไปบ้านนายเวยี น โดยที่การเดินทางครั้งนม้ี ีเงือ่ นไขว่านายเอกจะตอ้ ง ไปทาง
รถยนต์ แลว้ ไปนัง่ เรือต่อเท่านนั้ จงึ จะถงึ บ้านนายเวยี น ถา้ ทางรถยนตท์ ีจ่ ะโปน้ันมี รถส่วนตัว, รถแท็กซ่ี และ
รถเมล์ ส่วนทางเรอื นน้ั มเี รอื ยนตแ์ ละเรือพาย แล้วอยากทราบว่า นายเอกจะเดินทางไปบ้านนายเวียนไดก้ ว่ี ิธี

ห น้ า | 5

สถานการณ์ที่ 5 นางสาวกระแตต้องการแตง่ ตัว โดยท่ใี นการแต่งตัวแบ่งออกเปน็ 2 ขัน้ ตอน คือ ใส่เสอื้ และ ใส่
กระโปรง ถ้านางสาวกระแตมีเสอื้ อยู่ 5 ตวั และมีกระโปรงอยู่ 3 ตวั แลว้ อยากทราบว่า นางสาวกระแตจะแตง่ ตัว
ไต้กวี่ ธิ ี

สถานการณ์ที่ 6 มกี ลอ่ งอยู่ 4 กลอ่ งแตล่ ะกล่องมีลูกบอลสตี า่ ง ๆ กนั ดงั นี้ กล่องที่ 1 มีลูกบอลสีแดง 10 ลูก กล่อง
ท่ี 2 มีลูกบอลสีดา 6 ลูก กลอ่ งท่ี 3 มีลกู บอลสีขาว 5 ลูก กลอ่ งท่ี 4 มีลูกบอลสนี ้าเงิน 3 ลกู ถา้ หยบิ ลกู บอลจากแต่
ละกล่องมากล่องละ 1 ลกู แล้วจะหยิบลกู บอลได้กวี่ ธิ ี

สถานการณ์ที่ 7 ถา้ ครอบครวั หนงึ่ ต้องการมีบุตร 3 คน แลว้ จงหาจานวนวิธีท่ีจะปรากฏผลได้ทง้ั หมดของ การมี
บตุ รของครอบครัวน้ี

ห น้ า | 6

สถานการณท์ ่ี 8 ถ้าโยนเหรียญ 5 คร้งั แลว้ จงหาจานวนวิธีทจี่ ะปรากฏผลในการโยนเหรยี ญ

แบบฝกึ หัดที่ 1

1. ถ้ากลอ่ งใบหนงึ่ มีบัตรอยู่ 6 ใบ โดยท่แี ต่ละใบที่หมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 เขยี นกากบั อยู่หมายเลขละ 1
ใบ แลว้ จะนาบตั ร 2 ใบ มาวางเรยี งกนั เป็นเลขสองหลักไดก้ วี่ ธิ ี

2. นาย ก, ข และ ค จะขนึ้ ลฟิ ตซ์ ่งึ มที ้งั หมด 3 ตวั จานวนวิธที ่นี าย ก และนาย ข ขน้ึ ด้วยกัน แต่นาย ค ข้นึ
คนเดยี ว มเี ท่ากบั เท่าใด

ห น้ า | 7

3. หอ้ งประชมุ แหง่ หน่ึงมปี ระตูอยู่ 3 ประตู จงหาวธิ ีที่เดินเข้าและเดนิ ออกหอ้ งประชุมนน้ั ถา้ มเี ง่อื นไขดังนี้
1) เดินเข้าและเดนิ ออกประตูใดก็ได้
2) เดินเขา้ และเดนิ ออกประตูห้ามซ้ากนั

4. จะสรา้ งเลข 3 หลกั จากตัวเลข 1, 3, 5, 7 ไดก้ ี่จานวนถ้า
1) ใชเ้ ลขซา้ กนั ไดใ้ นแต่ละหลกั
2) หา้ มใชเ้ ลขซา้ กนั ในแต่ละหลัก

ห น้ า | 8

5. จะสร้างเลข 4 หลกั จากตวั เลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่จานวน ถ้า
1) หา้ มใชเ้ ลขซา้ กันในแต่ละหลกั และเปน็ เลขคี่
2) หา้ มใชเ้ ลขซา้ กนั ในแต่ละหลกั และเปน็ เลขคู่

2.2 หลักการบวก

ถา้ การทางานอยา่ งหนง่ึ มีวิธกี ารทางานได้ k วธิ ี วธิ ที ี่ 1 ถึงวิธที ี่ k

การทางานวธิ ที ่ี 1 ทาได้ n1 วธิ ี
การทางานวธิ ที ี่ 2 ทาได้ n2 วธิ ี

การทางานวิธที ี่ k ทาได้ nk วิธี
และวิธีการทางานในแตล่ ะวิธแี ตกตา่ งกนั แลว้
จานวนวิธที างานนี้ เท่ากับ n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี

ห น้ า | 9

สถานการณ์ที่ 9 หนงั สือกองหน่งึ เปน็ หนงั สือคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 4 เลม่ เลม่ ที่ 1 ถงึ เลม่ ที่ 4 หนงั สอื คณติ ศาสตร์
เพิม่ เติม 6 เลม่ เล่มท่ี 1 ถึงเลม่ ท่ี 6 จงหาจานวนวธิ ที จี่ ะหยิบหนงั สือ 1 เล่ม จากหนงั สือกองน้ี

สถานการณท์ ่ี 10 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่ทั้งสารับทมี่ ี 52 ใบ จงหาจานวนวธิ ีท่จี ะหยบิ ได้แตม้ คงิ หรอื แจค็

สถานการณ์ที่ 11 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่ทั้งสารบั ท่ีมี 52 ใบ จงหาจานวนวธิ ที จี่ ะหยิบได้ไพ่โพดา หรอื โพแดง หรอื
ขา้ วหลามตัด

ห น้ า | 10

สถานการณท์ ่ี 12 ถ้าใชพ้ ยัญชนะ ก, ข, ค, ง ในการสรา้ งรหสั 1 หลกั หรือ 2 หลกั หรอื 3 หลกั หรือ 4 หลักกไ็ ด้
แตห่ า้ มใช้พยัญชนะซ้ากันในแตล่ ะหลัก แล้วจะสร้างรหัสไดก้ ีแ่ บบ

สถานการณ์ท่ี 13 บ้านพักและสถานทท่ี างานของดอนตง้ั อยรู่ ิมฝ่ังแม่นา้ เจา้ พระยา ดอนโดยสารเรือยนต์ไป ทางาน
ตอนเช้าและกลับท่ีพกั ตอนเยน็ ถา้ เรอื ยนต์มสี ามขนาดคือขนาดใหญ่ 3 ลา ขนาดกลาง 5 ลา และขนาดเล็ก 2 ลา
จานวนวิธีทง้ั หมดท่ีดอนโดยสารเรือยนตไ์ ปทางานและกลับบ้านพกั ด้วยเรือขนาดเดยี วกัน แต่ไม่ใช่เรือลาเดยี วกนั
เท่ากับเทา่ ไร

สถานการณ์ที่ 14 การทาสวี งกลม 5 วงที่คลอ้ งกันดังภาพด้วยสีแดง สนี า้ เงิน สีเหลือง สฟี ้า สีส้ม สีดา และสเี ขียว
จานวนวิธที าได้โดยมีเง่อื นไขว่าด้องมีอยา่ งน้อย 2 วงมีสีเหมือนกันเท่ากบั เท่าใด

ห น้ า | 11

แบบฝกึ หดั ที่ 2

1. หยบิ ไพ่ 1 ใบจากไพท่ ั้งสารับท่มี ี 52 ใบ จงหาจานวนวิธที ่จี ะหยบิ ไดไ้ พ่โพดา หรอื ข้าวหลามตัด

2. ถ้าครอบครัวหนึง่ ตอ้ งการมีบตุ ร 3 คน แล้วจงหาจานวนวธิ ีทจ่ี ะได้ลูกสาวหรือลูกชายทั้งหมดของการมี
บตุ รของ ครอบครัวนี้

3. ในการเขยี นตวั เลข 3 หลัก จากเลขโดด 1 ถงึ 7 โดยทเี่ ลขโดดในหลักท้งั สามไม่ซ้ากนั เลย จะมีวิธีเขยี น
ตัวเลขเหลา่ น้ที ี่แสดงจานวนค่ไี ด้กี่วธิ ี

ห น้ า | 12

4. บตี้ อ้ งการเดนิ ทางไปเชียงใหม่ ซ่งึ สามารถไปได้โดยขึ้นรถทัวร์รถไฟ และเครอ่ื งบิน ถา้ ในวนั หนงึ่ ๆ มี
รถทัวร์ไปเชยี งใหม่ 5 เทีย่ ว รถไฟ 3 เทย่ี ว และเครอ่ื งบิน 2 เทย่ี ว บ้ีมวี ธิ ใี นการเดนิ ทางไปเชยี งใหมไ่ ด้
แตกต่างทัง้ หมดก่ีวิธี

5. มหี นงั สือ 6 เลม่ เปน็ ตาราภาษาอังกฤษ 2 เล่ม จะจดั เรยี งบนช้ันหนงั สือไดก้ วี่ ิธี ถา้ หัวแถวและทา้ ยแถว
เป็นตาราภาษาองั กฤษ

ห น้ า | 13

3.แฟกทอเรียล (factorial)

สิ่งที่ควรทราบจากข้อกาหนด

1! = ................................................ = ..........................
2! = ................................................ = .........................
3! = ................................................ = .........................
4! = ................................................ = .........................
5! = ................................................ = .........................
6! = ................................................ = .........................
7! = ................................................ = .........................
8! = ................................................ = .........................
9! = ................................................ = .........................

ห น้ า | 14

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ

1. 53 2. 3
4 2!4

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขยี นผลคูณต่อไปนี้ ใหอ้ ยู่ในรปู ของแฟกทอเรยี ล

1. 9 • 8 2. 13 • 12 • 11 • 1

3. (n + 3) • (n + 2) • (n+ 1) • n 4. (n2 - 4) • (n2 - 1) • n

ห น้ า | 15

ตัวอยา่ งท่ี 3 ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวก แลว้ จงหาผลสาเร็จของ

(n + 3)! (n + )! •(n + 1)!

1. (n + 1)! 2. (n)!

แบบฝกึ หัดท่ี 3
1. จงเขียนผลคูณต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรูปแฟกทอเรียล

1)

2)

3)

4) ( )( )( )

2. จงเขยี นจานวนในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนใี้ หอ้ ยูใ่ นรปู ซ่งึ ไม่มีแฟกทอเรยี ล
1) ( )

ห น้ า | 16

2) ( )

3) ( )
( )

3. จงหาค่าของ n จากสมการตอ่ ไปนี้
1) ( )

2) ( )
( )

ห น้ า | 17

4. วธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน (Permutation)

พจิ ารณาการนาตัวอกั ษร A, B, C มาเรยี งกนั โดยการเรยี งมีลาดบั เป็นสาคัญดงั น้ี
A, B, C A, C, B B, A, C
B, C, A C, A, B C, B, A
ตัวอกั ษร 3 ตัว A, B, C นามาเรยี งไดต้ ่างๆ กัน 6 วิธี
เราเรยี กการจัดเรยี งลาดับโดยมลี าดับเปน็ สาคญั นี้ว่า วธิ ีเรียงสับเปล่ียน (Permutation)

4.1 วิธเี รยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้

 จานวนวธิ ีเรียงสับเปล่ยี นของ n สง่ิ ต่างๆ กัน
กาหนดไดเ้ ปน็ n(n - 1)(n - 2) • . . . • 4 • 3 • 2 • 1 = n!

ตัวอยา่ งท่ี 4 นกั เรยี นจานวน 5 คน เข้าคิวซ้อื บตั รชมดนตรี จะมีวธิ ีเขา้ ควิ ซอ้ื บัตรไดก้ ว่ี ิธี

ตัวอยา่ งท่ี 5 จะสร้างเลข 4 หลกั จากตัวเลข 1, 2, 3, 4 ได้กจ่ี านวน

ห น้ า | 18

ตวั อยา่ งท่ี 6 การจัดลาดับส่งิ ของ 7 ส่งิ ท่ีแตกต่างกนั ในแนวเสน้ ตรงสามารถทาได้กีว่ ิธี

 จานวนวิธีเรยี งสบั เปลย่ี นของ n สิง่ ต่างๆ กนั โดยเรยี งครั้งละ r ส่งิ

เขยี นแทนด้วย Pn,r หรอื nPr โดยที่ 0 < r ≤ n

กาหนดโดย nr n!
(n –

ตัวอย่างท่ี 7 นกั กีฬา 10 คน ว่ิงแข่งขันในระยะ 100 เมตร จงหาจานวนวธิ ที ่จี ะมีผู้ชนะที่ 1, 2 และ 3 ต่างกันกว่ี ธิ ี

ตวั อย่างท่ี 8 จะสร้างเลข 2 หลัก จากตวั เลข 1, 2, 3, 4, 5 ไดก้ จ่ี านวน

ห น้ า | 19

ตัวอย่างท่ี 9 จงหาจานวนวธิ ีในการจดั ลาดับส่งิ ของ 12 ช้ิน จากส่งิ ของทตี่ ่างกัน 24 ช้ิน

ตวั อยา่ งที่ 10 เลือกนกั เรียน 3 คน จากนักเรียนทั้งหมด 20 คน มาเปน็ หัวหน้าห้อง, รองหวั หน้าห้องและ
เลขานุการ ได้กว่ี ธิ ี

 จานวนวิธเี รยี งสับเปลย่ี น n สงิ่ ซงึ่ มี n1, n2, n3, . . . , nk สิ่งเหมอื นกนั

และ n1 + n2 + n3 + . . . + nk = n ในลักษณะโดยรอบหรอื เปน็ วงกลม

จานวนวิธเี รียงลับเปลยี่ น = (n – 1)!
n1! n2! n3! n !

เมือ่ ห.ร.ม. ของ n1, n2, n3, . . . , nk = 1

ตัวอย่างท่ี 11 มีหนงั สอื คณิตศาสตร์ 5 เล่ม เหมือนกนั หนังสอื เคมี 4 เล่ม เหมอื นกนั และหนังสือภาษาไทย 3
เลม่ เหมอื นกนั จะมีวิธนี าหนังสือทั้งหมดมาจดั วางบนช้ันวางหนงั สอื ไดก้ ี่วธิ ี

ห น้ า | 20

ตัวอยา่ งที่ 12 ถ้านา 0, 2, 2, 5, 5, 5, 6 มาสรา้ งจานวน แลว้ ไดจ้ านวนท่ีมคี า่ มากกว่าหนงึ่ ล้านเท่ากบั ก่จี านวน

แบบฝึกหัดท่ี 4
1. มีนักเรียน 5 คน นามาเขา้ แถวถ่ายรูป 3 คน ไดก้ ่วี ธิ ี

2. รา้ นคา้ ตอ้ งการนาแจกนั ท่ีแตกต่างกัน 7 ใบ มาวาง โชวห์ น้าร้านเพยี ง 4 ใบ โดยวางเรยี งกนั ในแนว
เสน้ ตรง จะสามารถจัดวางแจกนั ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี

ห น้ า | 21

3. ตอ้ งการติดสต๊กิ เกอรร์ ปู ดอกไม้ทแี่ ตกต่างกันจานวน 5 แบบ เป็นแถวตรง จะมจี านวนวธิ ีในการติด
สติ๊กเกอร์ไดแ้ ตกตา่ งกันทง้ั หมดก่วี ธิ ี

4. จานวนคาทเี่ กิดจากการสลับท่ขี องตัวอกั ษรของคาวา่ HISTORY มีทั้งหมดทค่ี า เมื่อ
1) ไม่มีเง่ือนไขเพิม่ เติม
2) พยัญชนะทุกตัวอยตู่ ดิ กัน

5. เขยี นรายช่อื พนักงาน 15 คน ลงในสลาก รายชื่อละ 1 ใบ ใส่ลงในภาชนะ แลว้ สุ่มหยิบสลากขึ้นมาคราว
ละหนึ่งใบ สองคร้ัง เพอื่ แจกรางวลั ทห่ี นึง่ และรางวลั ท่สี องตามลาดบั จงหาจานวนวธิ ที เี่ กดิ ขน้ึ ได้ท้งั หมด

ห น้ า | 22

6. มผี ู้ชาย 5 คน และผูห้ ญิง 3 คน ยนื เรียงเป็นแถวตรง จะมีการยืน ท้ังหมดก่วี ิธี เมอ่ื
1) ไมม่ ีข้อกาหนดเพิม่ เตมิ
2) ผู้หญงิ ยนื แยกกนั
3) ผชู้ ายยนื แยกกนั

4.2 วธิ เี รียงสับเปลย่ี นแบบวงกลม

 จานวนวิธเี รยี งสบั เปล่ียนของสิ่งของ n ส่ิง ซงึ่ แตกตา่ งกันท้ังหมดในแนววงกลม
เท่ากับ (n - 1)! วธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 13 จัดคน 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี

ตัวอยา่ งที่ 14 มวี ิธกี ารจัดใหค้ น 7 คน ให้นั่งรบั ประทานอาหารรอบโตะ๊ กลม ซงึ่ มี 7 ท่นี ั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

ห น้ า | 23

4.3 เรยี งเป็นวงกลมแบบพลิกได้

(n – 1)!

จานวนวธิ ี = 2 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 15 นาดอกไมท้ แ่ี ตกตา่ งกนั 20 ดอก มาร้อยเปน็ พวงมาลัย จะได้พวงมาลัยแบบต่างๆ กันได้กี่แบบ

 ถ้ามสี ิ่งของแตกต่างกนั 2 ประเภท ประเภทละ n สิ่ง นาสงิ่ ของทงั้ หมดมาเรยี งสลับกันเป็นวงกลม
ประเภทละ r สิ่ง (r หาร n ลงตวั ) จานวนวธิ ี = r x (n - 1)! x n!

ตวั อยา่ งท่ี 16 ชาย 6 คน หญงิ 6 คน นั่งเปน็ วงกลมไดก้ ่ีวธิ ี ถา้
1) นัง่ สลับกันทีละ 1 คน ระหว่างชายกับหญงิ
2) นงั่ สลับกนั ทีละ 2 คน ระหวา่ งชายกบั หญงิ
3) นงั่ สลับกนั ทีละ 3 คน ระหว่างชายกับหญงิ

ห น้ า | 24

ตัวอย่างท่ี 17 มหี ลอดไฟลักษณะเหมอื นกัน 6 หลอด เป็นหลอดไฟสแี ดง 3 หลอด สีเขยี ว 2 หลอด และสีเหลือง
1 หลอด นาหลอดไฟทั้งหมดมาจัดเรยี งประดับเป็นวงกลมจะประดับได้ต่าง ๆ กนั กว่ี ิธี

แบบฝึกหดั ที่ 5
1. จดั เด็ก 1 คน หญงิ 3 คน และผชู้ าย 3 คน นั่งรอบโตะ๊ กลม โดยท่ีผู้ชายไมน่ ัง่ ตดิ กับเดก็ จะจัดไดท้ ้ังหมดก่ี

วิธี

ห น้ า | 25

2. มคี น 12 คน และมีเกา้ อี้ 7 ตวั จัดเป็นวงกลม จงหาจานวนวธิ ที แี่ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมดในการจดั คนนั่งเก้าอี้ 7
ตัวน้ี (ไม่มเี หลือเก้าอ้ีว่าง)

3. บ่อปลาแหง่ หนึ่งเปน็ วงกลม อนญุ าตให้เขา้ ไปตกปลาไดท้ ลี ะ 4 คน โดยใหน้ ่ังอยรู่ อบบอ่ ถา้ ครอบครัวหน่ึง
มากนั 6 คน จะจดั คนในครอบครัวนีน้ ง่ั รอบบ่อตกปลาได้ทัง้ หมดกวี่ ิธี

4. มีดอกไม้อยู่ 7 ดอก โดยท่แี ตล่ ะดอกมีสแี ตกต่างกัน ถ้านามาร้อยเป็นพวงมาลัย แลว้ จะมีจานวนวิธกี าร
ร้อยพวงมาลยั ก่วี ิธี

ห น้ า | 26

5. มีคน 8 คน ในจานวนนี้มมี นัส สมภพ และวชิ ญา รวมอยูด่ ว้ ย ถา้ ให้คนท้งั หมดนง่ั รอบโต๊ะกลม ตัวหนง่ึ จะมี
วิธีการนัง่ กวี่ ธิ ี เมือ่

1) มนัส สมภพ วชิ ญา น่งั ตดิ กันเสมอ
2) มนัส สมภพ วิชญา นั่งแยกกนั เสมอ
3) มนสั นัง่ ติดกับสมภพ แต่ไม่นั่งตดิ กบั วชิ ญา

5.วิธีจดั หมู่ (Combination)

วธิ จี ัดหมเู่ ปน็ การเลือกสิ่งของออกมาเปน็ หมู่หรอื ชดุ โดยไม่คานึงถงึ ลาดบั เชน่ จัดการแขง่ ขันฟุตบอลจาก
ทีมท่มี ีอยู่ 3 ทมี (A, B, C) โดยให้ทุกทมี ไดพ้ บกนั มวี ธิ จี ดั ไดค้ อื

ทีม A พบกับทีม B
ทมี A พบกบั ทีม C
ทีม B พบกบั ทมี C

ห น้ า | 27

จานวนวิธกี ารจดั หม่ทู าได้ 3 วิธี แตว่ ธิ เี รียงสับเปลี่ยนได้ 6 วธิ ี

 จานวนวธิ ีจดั หมู่ของส่งิ ของทแ่ี ตกตา่ งกัน n สิ่ง โดยเลอื กคราวละ r สงิ่ (0 ≤ r ≤ n)

เทา่ กบั (n n! r! วธิ ี
– r)!

ข้อสังเกต

ตวั อยา่ งที่ 18 จงหาค่าของแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

1. ( ) 2.( )

3.( ) 4.( )

5.( ) 6.( )

ห น้ า | 28

7.( ) 8.( )

ตวั อย่างท่ี 19 ตอ้ งการจดั นักเรยี น 10 คนเปน็ หมู่ หมลู่ ะ 4 คน จะมีวธิ ีจัดไดท้ ้ังหมดกว่ี ิธี

ตัวอย่างที่ 20 มีทีมฟุตบอล 5 ทมี ต้องการจัดการแขง่ ขนั โดยใหท้ กุ ทีมพบกนั จะมกี ารแข่งขนั ทั้งหมดก่คี รั้ง

ตัวอย่างท่ี 21 เลอื กผแู้ ทน 3 คน จากผู้สมัคร 10 คน ได้กี่วิธี

ห น้ า | 29

ตัวอยา่ งที่ 22 มเี หรียญบาท 8 เหรียญ ต้องการแบง่ ให้เดก็ 3 คน โดยทีเดก็ แต่ละคนจะได้รบั เหรยี ญบาท อย่าง
น้อย 1 เหรยี ญ จะมวี ธิ แี บง่ ได้ท้ังหมดกว่ี ธิ ี

ตวั อย่างที่ 23 จงหาจานวนวธิ ีหยิบไพ่ 2 ใบ จากสารับซ่งึ มี 52 ใบ

ตวั อยา่ งท่ี 24 มีหนังสือคณิตศาสตร์ต่างกนั 5 เล่ม นกั เรยี นแตล่ ะคนจะเลือกยมื หนังสือไดไ้ มเ่ กิน 3 เล่ม จงหาว่า
นกั เรียนคนหนงึ่ ๆ จะมีวธิ เี ลอื กยมื หนงั สือไดก้ ว่ี ธิ ี

ห น้ า | 30

ตัวอย่างท่ี 25 มหี นงั สอื คณติ ศาสตร์ต่างกัน 5 เล่ม นักเรียนแตล่ ะคนจะเลอื กยมื หนงั สอื ได้ไมเ่ กิน 3 เล่ม จงหาวา่
นักเรยี นคนหนง่ึ ๆ จะมวี ธิ เี ลอื กยมื หนงั สือไดก้ วี่ ธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 26 ข้อสอบชุดหนึ่งมี 12 ข้อ ใหน้ ักเรยี นทา 8 ข้อ โดยทกุ คนต้องทา 3 ข้อแรก นกั เรียนคนหน่ึง ๆ จะ
เลอื กทาข้อสอบชดุ นไ้ี ด้กวี่ ิธี

ตวั อย่างท่ี 27 ถ้า Cn, r = 126 และ Pn, r = 3,024 จงหา (r - 1)!

ห น้ า | 31

ตวั อยา่ งที่ 28 ถ้า Pn, 4 = 4 x Cn, 5 จงหา Pn + 1, 2

ตัวอย่างท่ี 29 จงหาจานวนวธิ กี ารจดั ตัวอกั ษรในคาว่า “ASIAN” คร้งั ละ 4 ตัว
ตัวอยา่ งท่ี 30 มีชาย 5 คน หญิง 5 คน ต้องการเลอื กชาย 3 คน กบั หญิง 3 คน มาน่ังสลับกันเป็นวงกลมได้กว่ี ธิ ี

ห น้ า | 32

แบบฝกึ หัดที่ 6

1. มปี ากกาอยู่ 12 แท่ง ซึ่งแต่ละแท่งมสี ตี ่างกัน ต้องการหยิบครั้งละ 5 แทง่ โดยทีแ่ ต่ละคร้งั ทีห่ ยิบ จะตอ้ งมี
ปากกาสีน้าเงินอยู่ด้วยเสมอ จงหาวธิ ีการหยิบทงั้ หมด

2. เด็กชายสายฟา้ มหี นงั สอื การ์ตนู 7 เล่ม เดก็ หญงิ ส้มโอมีหนังสือมหี นงั สอื การ์ตูน 9 เลม่ เด็กทั้งสองตเอง
การแลกหนังสือกนั คนละ 2 เลม่ จะมีวธิ ีแลกหนงั สอื ทัง้ สนิ้ ก่ีวธิ ี

3. ในการสอบไลค่ รั้งหนง่ึ อาจารย์ออกขอ้ สอบทงั้ หมด 13 ขอ้ ใหน้ ักเรยี นเลือกทาให้ครบ 10 ขอ้ และใน 5
ขอ้ แรกมีข้อบงั คับเลือก 3 ขอ้ นกั เรียนจะเลือกทาขอ้ สอบได้ท้งั หมดก่ีวิธี

ห น้ า | 33

4. ในการสัมภาษณ์ผูส้ มัครเขา้ ทางานของสานกั งานแหง่ หนึ่ง มผี ู้สมคั รเป็นชาย 5 คนเป็นหญิง 5 คน ถ้าผู้
สัมภาษณ์ตดั สินใจเรียกผสู้ มัครมาสัมภาษณ์เพียง 5 คน โดยเลือกชาย 3 คน และหญิง 2 คน จากผู้สมคั ร
ทง้ั หมดโดยการสมุ่ ดงั นน้ั การจดั ลาดบั เข้าสอบสัมภาษณท์ ีละคน โดยให้ผ้สู มัครทีเ่ ป็นชายเช้าสอบ
ตดิ ต่อกนั จะมีจานวนวิธีเท่ากับเท่าใด

5. ตู้ใบหนงึ่ มีเสื้อสีแดงแบบตา่ ง ๆ กัน 6 ตวั และเส้อื สขี าวแบบตา่ ง ๆ กนั 4 ตวั ถ้าสุม่ เสื้อจากตู้ใบนมี้ า 5 ตัว
ให้มีสคี ละกันแล้ว จงหาจานวนวิธจี ะหยิบเส้ือได้สแี ดงมากกวา่ เส้อื สีขาว

6.ทฤษฎบี ททวนิ าม (Binomial Theorem) ห น้ า | 34

เมื่อ เปน็ จานวนจรงิ เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ และ +( )x

() () () ()

เรยี ก ( ),( ),…,( ) วา่ สมั ประสิทธ์ิทวนิ าม
เรยี กวา่ พจน์ท่ี 1

( ) เรียกว่า พจนท์ ่ี 2
( ) เรยี กว่า พจนท์ ี่ 3

( ) เรียกวา่ พจนท์ ี่ r+1

6.1 พจน์ทัว่ ไปของการกระจาย ( )

เรียกพจนท์ ่ี ของการกระจาย ( ) ว่าพจนท์ ัว่ ไป เขยี นแทนด้วย

()

6.2 พจนก์ ลางของการกระจาย

ถา้ เป็นเลขคู่ พจนก์ ลางจะมีพจนเ์ ดยี ว คือ พจน์ท่ี
ถา้ เปน็ เลขค่ี พจนก์ ลางจะมี 2 พจน์ คือ พจนท์ ่ี และ

ห น้ า | 35

ถา้ นา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) มาบวกกนั เรยี กว่า ผลบวกของสัมประสิทธทิ์ วินาม

() () () () () ()

ข้อสังเกตทไ่ี ด้จากการกระจาย ( )

1. สมั ประสิทธทิ์ วนิ ามท่ีมีค่ามากที่สุด คือ สมั ประสิทธบ์ิ ททวินามของพจนก์ ลาง
2. สัมประสทิ ธ์ทวินามของพจน์กลางของการกระจาย ( ) เมอื่ n เป็นจานวนเต็มค่ี มีคา่ เทา่ กับ

( ) และ ( ) ) เม่ือ n เป็นจานวนเตม็ คู่ มีค่าเทา่ กบั

3. สมั ประสทิ ธท์ วนิ ามของพจน์กลางของการกระจาย (

()

6.3 สามเหลย่ี มปาสคาล (Pascal’s Triangle)

พจิ ารณา ( )

()
( ) ………………………………………………………………………………….
( ) ………………………………………………………………………………….
( ) ………………………………………………………………………………….
( ) ………………………………………………………………………………….
( ) ………………………………………………………………………………….

ห น้ า | 36

เม่อื จดั เฉพาะสัมประสทิ ธ์ทิ วินาม จะได้ลกั ษณะเป็นรูปสามเหล่ยี ม และเรียกวา่ สามเหลี่ยมปาสคาล

1

11

121

13 31

14641

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6

สามเหล่ียมปาสคาลช่วยทาให้การกระจาย ( ) สะดวกและรวดเรว็
ตัวอยา่ งท่ี 31 จงกระจาย ( )

ตัวอยา่ งที่ 32 จงกระจาย ( )

ห น้ า | 37

ตัวอย่างที่ 33 จงกระจาย ( )

ตวั อยา่ งที่ 34 จงกระจาย ( )

จากตัวอย่างจะเห็นว่าสามเหลี่ยมปาสคาลทีปะโยชนช์ ว่ ยในการคานวณ
แตถ่ า้ กรณี n มคี ่ามาก ๆ จาเปน็ ต้องใช้สูตร

เชน่ จงหาพจนท์ ่ี 20 จากการกระจาย ( ()

) จะตอ้ งใช้สูตร

()

หมายถงึ พจนท์ ่ี ดังนน้ั 20 จึงต้องแทนด้วย

ตัวอย่างท่ี 35 จงหาพจนท์ ี่ 4 ของการกระจาย ( )

ห น้ า | 38

ตัวอย่างที่ 36 จงหาพจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย ( )

ตวั อย่างที่ 37 สมั ประสิทธ์ิของ จากการกระจาย ( )

ห น้ า | 39

ตวั อย่างที่ 38 ในการกระจาย ( ) พจน์ท่ไี มม่ ี x อยูเ่ ลยมคี า่ เท่ากับเท่าใด

ตวั อย่างที่ 39 จงหาพจน์กลางของการกระจาย( )

ห น้ า | 40

แบบฝกึ หัด

1. จงใช้ทฤษฎีบททวนิ ามในการกระจาย
1) ( )

2) ( )

3) ( )

2. จงหาพจน์ที่ 3 ของการกระจาย ( )

ห น้ า | 41

3. ใชท้ ฤษฎีบททวินามในการกระจาย 2,048 โดยให้แตล่ ะพจน์ของการกระจายเป็นจานวนเต็มแล้ว พจน์
ทเ่ี ก้าของการกระจายมีค่าเทา่ ใด

4. ในการกระจาย ( ) พจนท์ มี่ ีผลบวกของกาลงั ของ กับกาลงั ของ เท่ากับ -4 มี
สมั ประสิทธิ์เท่ากบั เท่าใด