A. Persamaan Lingkaran 1. Pengertian Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang sama disebut dengan jari-jari lingkaran sedangkan titik tertentu disebut pusat lingkaran. 2. Persamaan lingkaran berpusat di (, ) dan jari-jari r Perhatikan gambar dibawah ini yang menunjukkan lingkaran yang berpusat (0,0) dan jari-jari r pada sebuah bidang cartesius. Misal titik (, ) merupakan sembarang titik pada lingkaran. Titik M adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ∆ merupakan segitiga siku-siku di M. Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada ∆ , diperoleh : 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r adalah sebagai berikut : 2 + 2 = 2 Contoh (1) Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) yang berjari-jari 2 Pembahasan : Berjari-jari = 2 2 + 2 = 2 2 + 2 = (2) 2 2 + 2 = 4 Jadi persamaan lingkarannya adalah 2 + 2 = 4 (2) Tentukan jari-jari dari persamaan lingkaran 2 + 2 = 12 Pembahasan : 2 + 2 = 2 2 + 2 = 12 Sehingga 2 = 12 → = √12 = 2√3
(3) Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) melalui titik (−3, 4) Pembahasan : Menentukan jari-jari dengan titik pusat (0,0) melalui titik (−3, 4) 2 + 2 = 2 (−3) 2 + 4 2 = 2 9 + 16 = 2 2 = 25 Jadi persamaan lingkarannya adalah 2 + 2 = 25 3. Persamaan lingkaran berpusat di (, ) dan jari-jari r Perhatikan gambar dibawah ini yang menunjukkan lingkaran yang berpusat di (, ) dan jari-jari r pada sebuah bidang cartesius Misal titik (, ) merupakan sembarang titik pada lingkaran. Titik ′ adalah proyeksi titik P pada sumbu g sehingga ∆ ′ merupakan segitiga siku-siku di ′ . Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada ∆ ′ , diperoleh : 2 = ( ′ ) 2 + ( ′) 2 2 = ( − ) 2 + ( − ) 2 Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan jari-jari r adalah sebagai berikut : ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 Contoh : (1) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1, −3) dan berjari-jari 4 Pembahasan : Berpusat di (1, −3) dan berjari-jari 4 ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 ( − 1) 2 + ( − (−3)) 2 = 4 2 ( − 1) 2 + ( + 3) 2 = 16 atau 2 − 2 + 1 + 2 + 6 + 9 = 16 2 + 2 − 2 + 6 + 1 + 9 − 16 = 0 2 + 2 − 2 + 6 − 6 = 0
(2) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (−5, 6) dan melalui titik (3, −9) Pembahasan : Mencari jari-jari r dari kedua titik = √(2 − 1 ) 2 + (2 − 1 ) 2 = √(3 − (−5)) 2 + ((−9) − 6) 2 = √(8) 2 + (−15) 2 = √64 + 225 = √289 = 17 Jadi persamaan lingkaran berpusat di (−5, 6) dan jari-jari = 17 ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 ( − (−5)) 2 + ( − 6) 2 = (17) 2 ( + 5) 2 + ( − 6) 2 = 289 atau 2 + 10 + 25 + 2 − 12 + 36 = 289 2 + 2 + 10 − 12 + 25 + 36 − 289 = 0 2 + 2 + 10 − 12 − 228 = 0 4. Bentuk umum persamaan lingkaran Persamaan lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 adalah persamaan lingkaran dalam bentuk baku dengan pusat (, ) dan jari-jari r. Jika diuraikan lebih jauh, diperoleh : ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 − 2 = 0 2 + 2 − 2 − 2 + 2 + 2 − 2 = 0 Misalkan = −2 ↔ = − 1 2 = −2 ↔ = − 1 2 = 2 + 2 − 2 ↔ = √ 2 + 2 − Sehingga 2 + 2 + + + = 0 dengan , dan C bilangan real. Lingkaran dengan persamaan 2 + 2 + + + = 0 memiliki Pusat (− 1 2 , − 1 2 ) dan jari-jari = √ 1 4 2 + 1 4 2 −
Contoh : (1) Tentukan pusat dan jari-jari dari suatu persamaan lingkaran 2 + 2 + 6 − 8 − 24 = 0 Pembahasan : Diperoleh = 6 = −8 = −24 Jadi pusat (− 1 2 , − 1 2 ) = (− 1 2 (6), − 1 2 (−8)) = (−3, 4) Pusat (, ) = (−3, 4) jari-jari = √ 2 + 2 − = √(−3) 2 + (4) 2 − (−24) = √49 = 7 (2) Tentukan bahwa 2 + 2 + 2 − 4 − 20 = 0 merupakan persamaan lingkaran dan tentukan titik pusat dan jari-jarinya Pembahasan : Diperoleh = 2 = −4 = −20 Jadi pusat (− 1 2 , − 1 2 ) = (− 1 2 (2), − 1 2 (−4)) = (−1, 2) Pusat (, ) = (−1, 2) jari-jari = √ 2 + 2 − = √(−1) 2 + (2) 2 − (−20) = √25 = 5 5. Kedudukan titik dan garis pada lingkaran a) Kedudukan titik terhadap lingkaran Posisi sembarang titik (, ) terhadap lingkaran 2 + 2 = 2 adalah sebagai berikut : • Titik (, ) terletak di dalam lingkaran jika 2 + 2 < 2 • Titik (, ) terletak pada lingkaran jika 2 + 2 = 2 • Titik (, ) terletak di luar lingkaran jika 2 + 2 > 2 Posisi sembarang titik (, ) terhadap lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 adalah sebagai berikut : • Titik (, ) terletak di dalam lingkaran jika ( − ) 2 + ( − ) 2 < 2 • Titik (, ) terletak pada lingkaran jika ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 • Titik (, ) terletak di luar lingkaran jika ( − ) 2 + ( − ) 2 > 2 Posisi sembarang titik (, ) terhadap lingkaran 2 + 2 + + + = 0 adalah sebagai berikut : • Titik (, ) terletak di dalam lingkaran jika 2 + 2 + + + < 0 • Titik (, ) terletak pada lingkaran jika 2 + 2 + + + = 0 • Titik (, ) terletak di luar lingkaran jika 2 + 2 + + + > 0
b) Kedudukan garis terhadap lingkaran Kedudukan garis : = + terhadap lingkaran ≡ 2 + 2 + + + = 0 adalah sebagai berikut : • Jika > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan • Jika = 0 maka garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung) • Jika < 0 maka garis tidak memotong lingkaran. Dengan D adalah diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi garis g ke lingkaran L dimana : = 2 − 4 Contoh: Tentukan kedudukan garis = 3 − 1 terhadap lingkaran 2 + 2 + 2 + 2 − 4 = 0 Pembasahan : Langkah pertama, kita cari persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis = 3 − 1 kedalam persamaan lingkaran 2 + 2 + 2 + 2 − 4 = 0 2 + 2 + 2 + 2 − 4 = 0 2 + (3 − 1) 2 + 2 + 2(3 − 1) − 4 = 0 2 + 9 2 − 6 + 1 + 2 + 6 − 2 − 4 = 0 10 2 + 2 − 5 = 0 Setelah diperoleh persamaan kuadratnya, kita cari nilai diskriminannya 10 2 + 2 − 5 = 0 diperoleh = 10 ; = 2 = −5 Sehingga = 2 − 4 = (2) 2 − 4(10)(−5) = 222 Karena nilai diskriminannya adalah 222, dan 222 > 0 maka garis = 3 − 1 memotong lingkaran 2 + 2 + 2 + 2 − 4 = 0 di dua titik.
B. Garis singgung Lingkaran Apabila terdapat sebuah garis dan sebuah lingkaran, maka terdapat kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran tersebut yakni garis dapat memotong lingkaran, garis menyinggung lingkaran, dan garis tidak memotong bahkan menyinggung lingkaran. 1. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di (, ) Perhatikan gambar dibawah ini. Titik (1, 1 ) terletak pada lingkaran dan garis g adalah garis yang menyingunggung lingkaran di titik (1, 1 ). Gradien () = 1−0 1−0 = 1 1 . Oleh karena garis g tegak lurus . = −1 ↔ = − 1 = − 1 1 1 . = − 1 1 Substitusikan = − 1 1 ke persamaan garis g. − 1 = ( − 1 ) sehingga diperoleh persamaan singgung lingkaran 2 + 2 = 2 yang melalui titik (1, 1 ) adalah sebagai berikut : − 1 = ( − 1 ) − 1 = − 1 1 ( − 1 ) 1 − 1 2 = −1 + 1 2 1 + 1 = 1 2 + 1 2 1 + 1 = 2 Jadi persamaan garis singgung di titik (1 , 1 ) pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah 1 + 1 = 2 Contoh : (1) Tentukan persamaan garis singgung di titik (−3, 4) pada lingkaran 2 + 2 = 25 Pembahasan : Titik (−3,4) maka 1 = −3 1 = 4 maka persamaan garis singgung 1 + 1 = 2 −3 + 4 = 25
(2) Tentukan persamaan garis singgung di titik (2, −3) pada lingkaran 2 + 2 = 13 Pembahasan : Titik (2,3) maka 1 = 2 1 = −3 maka persamaan garis singgung 1 + 1 = 2 2 − 3 = 13 2. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di (, ) Perhatikan gambar dibawah ini. Titik (1, 1 ) terletak pada lingkaran L dan garis g adalah garis yang menyingunggung lingkaran di titik (1, 1 ). Gradien garis () = 1− 1− Oleh karena garis g tegak lurus PT, maka : . = −1 ↔ = − 1 = − 1 1− 1− = − 1− 1− Substitusikan = − 1− 1− ke persamaan garis g: − 1 = ( − 1 ) Sehingga diperoleh persamaan garis isnggung pada lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 yang melalui titik (1, 1 ) adalah sebagai berikut : ( − )(1 − ) + ( − )(1 − ) = 2 Jika dikatahui persamaan lingkaran bentuk umum, Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 + 2 + + + = 0 dititik (1, 1 ) adalah berikut : 1 + 1 + 1 2 ( + 1 ) + 1 2 ( + 1 ) + = 0
Contoh : (1) Tentukan persamaan garis singgung di titik (2, 4) pada lingkaran ( + 4) 2 + ( − 5) 2 = 37 Pembahasan : ( + 4) 2 + ( − 5) 2 = 37 Diperoleh Pusat (−4, 5) = √37 melalui titik (2, 4) maka 1 = 2 1 = 4 Sehingga PGS ( − )(1 − ) + ( − )(1 − ) = 2 ( − (−4))(2 − (−4)) + ( − 5)(4 − 5) = 37 ( + 4)6 + ( − 5)(−1) = 37 6 + 24 − + 5 = 37 6 − − 8 = 0 (2) Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (−1,1) pada lingkaran 2 + 2 − 4 + 6 − 12 = 0 Pembahasan : 2 + 2 − 4 + 6 − 12 = 0 Diperoleh = −4 ; = 6 = −12 melalui titik (−1, 1) maka 1 = −1 1 = 1 Sehingga PGS 1 + 1 + 1 2 ( + 1 ) + 1 2 ( + 1 ) + = 0 (−1) + (1) + 1 2 (−4)( + (−1)) + 1 2 (6)( + (1)) − 12 = 0 − + − 2 + 2 + 3 + 3 − 12 = 0 −3 + 4 − 7 = 0 3. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m Jika diketahui gradiennya maka bisa menggunakan persamaan garis singgung dari gradien. Untuk menghitungnya, dapat menggunakan rumus seperti dibawah ini : Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran dari Gradien 2 + 2 = 2 = ± √1 + 2 ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 − = ( − ) ± √1 + 2 Contoh (1) Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada lingkaran 2 + 2 = 5 Pembahasan : = ± √1 + 2 = 2 ± (√5)√1 + 2 2
= 2 ± (√5)√5 = 2 ± 5 maka persamaan garis singgungnya adalah = 2 + 5 dan = 2 − 5 (2) Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien −1 dan pada lingkaran 2 + 2 − 4 − 3 = 0 Pembahasan: 2 + 2 − 4 − 3 = 0 diperoleh = 0 ; = −4 = −3 Pusat (− 1 2 , − 1 2 ) = (− 1 2 (0), − 1 2 (−4)) = (0, 2) jari-jari = √ 2 + 2 − = √0 2 + 2 2 − (−3) = √7 Sehingga PGS − = ( − ) ± √1 + 2 − 2 = −1( − 0) ± (√7)√1 + (−1) 2 − 2 = − ± √14 = − + 2 ± √14 maka persamaan garis singgungnya adalah = − + 2 + √14 dan = − + 2 − √14 4. Persamaan garis singgung dari titik di luar lingkaran Untuk mencari persamaan garis singgung ini, pertama kita perlu mencari persamaan garis kutub atau garis polar terlebih dahulu. Oleh karena itu, kita akan mengawali pembahasan mengenai bagaimana mencari persamaan garis kutub atau garis polar pada lingkaran. Persamaan garis kutub atau garis polar titik ( , ) terhadap lingkaran + = Amati gambar dibawah ini. Titik (1 , 2 ) terletak di luar lingkaran 2 + 2 = 2 . Jika dari titik P dibuat garis g dan h sehingga menyinggung lingkaran di titik A dan B maka garis AB disebut garis kutub atau garis polar titik (1 , 1 )
Dari gambar diatas, kita peroleh beberapa hal sebagai berikut : a) Persamaan garis singgung di titik (2 , 2 ) pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah garis g (garis AP) yang mempunyai persamaan 2 + 2 = 2 . Karena titik (1 , 1 ) pada garis g maka berlaku 21 + 21 = 2 . Hal ini berarti bahwa titik (2 , 2 ) terletak pada garis 1 + 1 = 2 ….. (1) b) Persamaan garis singgung di titik (3 , 3 ) pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah garis h (garis BP) yang mempunyai persamaan 3 + 3 = 2 . Karena titik (1 , 1 ) pada garis h maka berlaku 31 + 31 = 2 . Hal ini berarti bahwa titik (3 , 3 ) terletak pada garis 1 + 1 = 2 ….. (2) c) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh kesimpulan bahwa persamaan garis AB adalah 1 + 1 = 2 Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik (1 , 1 ) di luar lingkaran, perlu langkah-langkah sebagai berikut : (1) Menentukan persamaan garis kutub titik (1 , 1 ) terhadap lingkaran. (2) Menentukan koordinat titik potong antara garis kutub dan lingkaran, (3) Menentukan persamaan garis singgung di tiap titik potong antara garis kutub dan lingkaran. (4) Contoh Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran 2 + 2 = 9 dari titik (0, 5) yang terletak di luar lingkaran Pembahasan : Persamaan garis kutub di titik (0,5) terhadap lingkaran 2 + 2 = 9 adalah 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 0 × 5 + 5 × = 9 5 = 9 = 9 5 Perpotong garis = 9 5 dengan lingkaran 2 + 2 = 9 ditentukan dengan mensubtitusikan garis = 9 5 pada lingkaran 2 + 2 = 9 yakni 2 + 2 = 9 2 + ( 9 5 ) 2 = 9 2 = 9 − 81 25
= √ 144 25 = ± 12 5 Sehingga diperoleh titik potong ( 12 5 , 9 5 ) (− 12 5 , 9 5 ) Persamaan garis singgung di A adalah 2 + 2 = 2 12 5 + 9 5 = 9 12 + 9 = 45 4 + 3 = 15 Persamaan garis singgung di B adalah 3 + 3 = 2 − 12 5 + 9 5 = 9 −12 + 9 = 45 −4 + 3 = 15 4 − 3 = −15 Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah 4 + 3 = 15 dan 4 − 3 = −15 5. Garis singgung persekutuan Garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah garis yang menyinggung dua lingkaran sekaligus. Garis singgung persekutuan dua lingkaran terbagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan luar (GSPL) dan garis singgung persekutuan dalam (GSPD) a. Garis singgung persekutuan luar Perhatikan gambar dibawah ini
Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran 1 2 adalah sebagai berikut : = √ 2 − ( − ) 2 dengan d : jarak antara titik pusat lingkaran 1 2 R : Jari-jari lingkaran 1 r : Jari-jari lingkaran 2 Contoh : (1) Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dari gambar dibawah ini Pembahasan = √ 2 − ( − ) 2 = √252 − (12 − 5) 2 = √625 − 49 = √576 = 24 (2) Dua lingkaran saling lepas berjari-jari 8 dan 3 . Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar Pembahasan : = √ 2 − ( − ) 2 = √132 − (8 − 3) 2 = √169 − 25 = √144 = 12
b. Garis singgung persekutuan dalam Perhatikan gambar dibawah ini Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran 1 2 adalah sebagai berikut : = √2 − (1 + 2 ) 2 dengan 1 : Jari-jari lingkaran 1 2 : Jari-jari lingkaran 2 Contoh : (1) Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam pada gambar dibawah ini Pembahasan : = √2 − (1 + 2 ) 2 = √102 − (4 + 2) 2 = √100 − 36 = √64 = 8 (2) Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah Pembahasan : = √ 2 − (1 + 2 ) 2 = √152 − (7 + 2) 2
= √225 − 81 = √144 = 12