02-Tinjauan Analitis Vektor

VEKTOR

B. Tinjauan Vektor Secara Analitis

(1) Pengertian

Vektor satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu satuan.

Vektor basis adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu

koordinat.

Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu: z
i yaitu vetor basis yang searah dengan arah sumbu X positip

j yaitu vetor basis yang searah dengan arah sumbu Y positip  

k yaitu vetor basis yang searah dengan arah sumbu Z positip  y
Menyatakan vektor a secara analitis yaitu
menyatakannya dalam bentuk persamaan dengan x 


komponen i , j dan k dan dinyatakan sebagai

a = a1 i + a2 j + a3 k atau aa12 


a3 

Sebagai pelengkap pemahaman materi, berikut ini diberikan beberapa contoh soal

sebagai berikut : z

01. Gambarlah vector a = 3 i + 5 j + 4 k DG

Jawab EF

4O C y
B3 y
02. Pada gambar balok disamping, nyatakanlah xA 5
vektor-vektor berikut ini dalam bentuk E z G 1
persamaan vektor F
D

(a) EG (b) DC 2O 3C
(c) CE (d) DB B

xA 4
z
Jawab
(a) EG = ED + DG D G
E F
= –3 i + 4 j + 0 k 2O
= –3 i + 4 j xA 4

3C y
B
Vektor

(b) DC = DG + GC z G
= 0i + 4j – 2k D F
= 4j – 2k E
2O
xA 4 3C y
z B

(c) CE = CB + BA + AE D G
= 3i – 4 j + 2k E F

2O 3C y
xA 4 B
(d) DB = DE + EF + FB
= 3i + 4 j – 2k z G
D F
E

2O 3C y
xA 4 B

03. Diketahui balok OABC.DEFG dimana O adalah pusat koordinat Cartesius. Jika
panjang sisi OA = 4 cm, OC = 7 cm dan OD = 5 cm. Tentukanlah :

(a) Persamaan vektor EC

(b) Panjang vektor EC z G
Jawab F
D
(a) EC = ED + DG + GC E 7C
= –4 i + 7 j – 5 k
5
4O y

xA B

(b) EC 2 = EG 2 + GC 2
= ( ED 2 + DG2 ) + GC 2
= (4)2 + (7)2 + (5)2
= 16 + 49 + 25

EC 2 = 90

Jadi EC = 90 = 3 10 cm

Vektor 2

Catatan

Dari contoh soal diatas dapat disimpulkan bahwa jika vektor a = a1 i + a2 j + a3 k

maka panjang vektor a dapat dirumuskan : a = a12  a 2  a 2 .
2 3

A( , , )  b1  a1 
Jika B( , , ) b 2 
maka AB = ( b1 – a1 ) i + ( b2 – a 2 ) j + ( b3 – a 3 ) k =  a 2 

b3  a 3 

Sebagai contoh, akan diuraikan berikut ini:

04. Hitunglah panjang vector a = 6i – 2j + 3k
Jawab

a = 62  (2)2  32 = 36  4  9 = 49 = 7 satuan panjang

05. Diketahui titik A(2, –4, 1) dan B(5, –3, –2). Tentukanlah persamaan vector AB

Jawab

 52   3 
 3  (4)  
AB = =  1  = 3i + j – 3k

  2  1   3

06. Diketahui vector AB = 5i – 2j + 8k. Jika titik B(3, 2, –4) maka tentukanlah

koordinat titik A

Jawab
Misalkan A(x, y, z), maka : AB = (3 – x)i + (2 – y)j + (–4 – z)k
Sehingga 3 – x = 5 didapat x = –2

2 – y = –2 didapat y = 4
–4 – z = –2 didapat z = –12
Jadi A(–2, 4, –12)

(2). Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pada Vektor

Operasi penjumlahan pada atau pengurangan pada vector secara analitis dilakukan
dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya, sehingga :

Jika a = a1 i +a2 j +a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k maka :

a + b = (a1i + a2j + a3k) + (b1i + b2j + b3k) = (a1 + b1)i + (a1 + b1)j + (a1 + b1)k

a – b = (a1i + a2j + a3k) – (b1i + b2j + b3k) = (a1 – b1)i + (a1 – b1)j + (a1 – b1)k
atau :

a+b = aa12  + bb12  = aa21  b 
   
  1 

b

2
a 3  b3  a 3  b3 

Vektor 3

a–b = aa12  – bb12  = aa21  b 
   
  1 

b

2
a 3  b3  a 3  b3 

Jika c adalah bilangan real, maka berlaku :

c.a = c(a1i + a2j + a3k) = ca1i + ca2j + ca3k

atau : c. a = c a 1  =  ca 1 
a 2  ca 2 
 
a 3  ca 3 

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

05. Jika a = 3 i – j + 2 k , b = –4 i + 2 j + 5 k dan c = i + 4 j – 6 k , tentukanlah hasil

dari :

(a) 2 a – b + 3 c (b) a + 2 b – 2 c

Jawab  3   4  1 
(a) 2 a – b + 3 c 2  1    
= –  2  + 3  4 

 2   5   6

 6   4  3 
 2    
= –  2  +  12 

 4   5   18

 6  (4)  3 
 
=   2  2  12 

4  5  (18)

 13 
 
=  8 

 19

= 13 i + 8 j – 19 k

 3   4  1 
 1    
(b) a + 2b – 2c = + 2  2  – 2  4 

 2   5   6

 3   8  2 
 1    
= +  4  –  8 

 2  10   12

 3  (8)  2 
 
=  1 48 

2  10  (12)

Vektor 4

 7
=  5

 24 
= –7 i – 5 j + 24 k

06. Diketahui a = 2 i +3 j + k , b = 3 i – 2 j + k dan c = i + 3 j – 2 k . Tentukanlah

persamaan vector x jika a + 2 x – 3 c = b
Jawab

a + 2x – 3c = b

2  3   3 
3 + 2 x    2
–  9  =

1  6  1 

 3   3  2
 2   – 3
2x = +  9 

 1   6 1

 332 
 
2x =   2  9  3 

1  (6)  1

4
 
2x =  4 

 6

1 4
2  
x =  4 

 6

2
 
x =  2 

 3

x = 2i + 2 j – 3k

07. Diketahui titik P(3, 0, 2), Q(-2, 1, -1) dan R(2, -3, 2) maka tentukanlah vector
hasil dari 3 PR – 2 QR

Jawab

 2  3  2  (2)
3  3  0  
3 PR – 2 QR = – 2   3 1 

 2  2  2  (1)

Vektor 5

 1  4 
= 3  3 – 2  4

 0   3 

 3  8 
=  9 –  8

 0   6 

 11
 
=  1 

  6 

08. Diketahui titik A(4, –3, –2) dan B(2, 1, –3). Jika AB + BC = –9 i + 4 j + 6 k , maka

tentukanlah koordinat titik C
Jawab

Misalkan koordinat C(x, y, z), maka

 2  4   2
   
AB =  1  (3)  =  4 

 3  (2)   1

 x  2  x  2
   1
BC =  y 1  =  y 

z  (3) z  3

 9
 
Sehingga AB + BC =  4 

 6 

 2 x  2  9
    1  
 4  +  y =  4 

  1 z  3  6 

x  2  9  2
 1    
 y  =  4  –  4 

z  3  6    1

x  2  7
 1  
 y  =  0 

z  3  7 

Jadi x – 2 = –7 maka x = –5

y – 2 = 0 maka y = 2

z + 3 = 7 maka z = 4

Vektor 6

SOAL LATIHAN 02

B. Tinjauan Analitis Vektor

01. Pada balok ABCD.EFGH diatas AB searah sumbu y positip, maka persamaan vektor

EC adalah B. 3 i + 5 j – 4 k H G
A. 4 i + 5 j + 3 k D. 4 i – 5 j + 3 k E F
C. -4 i + 5 j – 3 k

E. -3 i + 4 j – 5 k 3D 4C
A5 B

02. Pada balok soal nomor 1 diatas persamaan vektor AH

A. 4 i – 3 j B. -4 i + 3 j C. 4 j – 3 k

D. -4 j + 3 k E. -4 i + 3 k

03. OABC.DEFG adalah sebuah balok dengan O pusat koordinat. Jika titik F(-5, 3, 2)

maka persamaan vektor DB adalah ….

A. -5 i – 3 j + 2 k B. 5 i + 3 j – 2 k C. 5 i – 2 j – 3 k

D. -5 i + 2 j – 3 k E. -5 i + 3 j – 2 k

04. Jika A (2, -3, 4) dan B (-4, 5, -3) maka vektor AB adalah …

A. 6 i – 8 j + 7 k B. –6 i + 8 j – 7 k C. 5 i + 3 j – 2 k

D. 8 i + 3 j – k E. –5 i + 4 j + 3 k

5
05. Diketahui vektor AB =  2  dan A (1, 3, 2) maka koordinat B adalah ….
 
1

A. (4, -1, -3) B. (-4, 1, 3) C. (6, 5, 1)

D. (-6, -5, -1) E. (2, -3, 4)

06. Diketahui vektor a = 2m i + 4 j + 3n k dan vektor b = 6 i + 4 j – 2m k . Jika a = b

maka nilai m + n = ….

A. -1 B. 0 C. 1

D. 3 E. 4

2 1
07. Diketahui a =  1 , dan b =  2  maka vektor x yang memenuhi x + 2 a = 3 b
   3
 3 

adalah

A. i – 3 j + 8 k B. – i + 8 j – 15 k C. 2 i + j – 5 k

D. i – 3 j – 10 k E. 5 i + 3 j – k

Vektor 7

08. Diketahui a = 2 i – j + 3 k , b = – i + 2 j + 3 k dan c = – i +5 j + 6 k . Jika berlaku

hubungan 3 x = 2 b – 3 a + c maka vektor x adalah …

A. 3 i – 2 j + 3 k B. 2 i + 3 j + 3 k C. 2 i – j – 3

k E. 5 i – 3 j + 3 k
D. –3 i + 4 j + k

09. Diketahui vektor a = 3 i – 2 j , b = – i + 4 j dan r = 7 i – 8 j. Jika r = k a + m b,

maka nilai dari k + m = …

A. 1 B. 2 C. 3

D. 4 E. 5

 2 3  2
10. Diketahui s =  4 , t =  1 dan u =  3  Vektor hasil dari s + 2 t – 3 u = ….
   1  2
 5 

A. 9 i – 10 j + 8 k B. 10 i – 15 j + 9 k C. 7 i – 12 j + 5 k

D. 9 i + 8 j – 5 k E. 7 i – 10 j + 9 k

11. Diketahui vektor a = 2 i – 3 j , b = j + 4 k dan c = i – 2 j. Maka resultan dari

operasi vektor 3 a + 2 b – 4 c = ….

A. 2 i + 10 j – k B. 3 i + 2 j – 5 k C. 3 i – 5 k

D. 2 i + j + 8 k E. 2 i + 3 j – 7 k

12. Diketahui A(2, 0, -1), B(-3, 1, 4) dan C(2, -2, 3) maka 2 AB – 3 AC = ….

A. -5 i + 6 j – k B. –10 i + 8 j – 2 k C. 3 i – 5 j + 6 k

D. 3 i + 5 k E. i + 6 k

13 Diketahui vektor a = 4 i + 3 j , b = i – 2 j dan c = i + 9 j . Jika c = p. a + q. b ,

maka nilai p  q = ..

A. -1 B. 2 C. -2

D. 3 E. -3

Vektor 8