สรุปเนื้อหา วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

สรุป

เนื้อหา
วิชา ค 23201

จัดทำโดย
ด.ญ. พิชชาภา วิถีคลองคืน

ชั้น ม.3 / 1 เลขที่ 32

เสนอ
คุณครูชนาทิพย์ สังข์ประเสริฐ

โรงเรียนสมุทรสาครบูรณะ

สรุปบทที่ 1 เรื่อง เลขยกกำลัง และ
รากที่สองของ n

1. เลขยกกำลัง

1.2 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

บทนิยาม 1
เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า a = a x a x a x a ...
( a คูณกัน n ตัว )


โดย a เป็นฐาน และ n เป็นเลขชี้กำลัง

บทนิยาม 2
เมื่อ a เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 จะได้ว่า a0 = 1

บท-nนิยาม 3
เมื่อ a เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า a-n = 1/na หรือ
1 / -an

ทฤษฎีบทที่ 1
เมื่อ a,b แทนจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 และ m,n แทนจำนวนเต็ม จะได้ว่า

1. a m x a n = am + a n
2. (a m)n = a mn
3. ( ab ) n = an x bn
4. ( a / b ) n = a n / a n
5. a m/ a n = a m - n

1.2การเขียนสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

≤มีเพื่อสะดวกและรวดเร็วในการอ่าน โดยเขียนจำนวนนั้นๆ ในรูป A x 10

เมื่อ 1 A < 10 และ n แทนจำนวนเต็ม เช่น 50,000 = 5 x 10
หรือ 0.0005 = 5 x 10

หลักการสังเกต
ถ้าเลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย เลขชี้กำลังจะมีค่าเป็นบวก
หากเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา เลขชี้กำลังจะมีค่าเป็นลบ

2. รากที่สองในระบบจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

√ ≥2.1 สมบัติของ a เมื่อ a 0

เมื่อ a แทนจำนวนจริงบวกใดๆหรือศูนย์ รากที่สองของ a คือ จำนวนจริงที่ยก
กำลังสองแล้วได้ a
เช่น 3 คือรากที่สองของ 9 เพราะ 3 2= 9
-4 เป็นรากที่สองของ 16 เพราะ (-4)2= 16

เมื่อ a > 0 รากที่สองของ a จะมี 2 ราก คือรากที่สองที่เป็นบวก หรือ

√ √เรียกว่า กรณฑ์ที่สองของ a ( a ) และรากที่สองที่เป็นลบ (- a)
√ √ √เช่น 16 คือ 16 และ - 16

√ √หรือ 4 และ - 4

** เมื่อ a = 0 รากของ a คือ 0 **

ข้อสังเกต
เมื่อรากที่สองของจำนวนเต็มบวกไม่เป็นจำนวนเต็ม รากที่สองของจำนวนเต็มบวกนั้น
เป็นจำนวนอตกรรยะ

กรณฑ์ที่สองของ a 2

≥ √เนื่องจาก a 0 เสมอ ดังนั้น a จึงหาค่าได้ทุกค่าสำหรับจำนวนจริง a

≠ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a ใดๆ 0 เป็นจำนวนจริงบวกเสมอ โดย
ค่าสัมบูรณ์ของ a สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ |a|
นั่นคือ
| a | เท่ากับ a ถ้า a > 0
| a | เท่ากับ -a ถ้า a < 0
| a | เท่ากับ 0 ถ้า a = 0

การดำเนินการเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง

การบวกและการลบ

จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง สามารถบวกหรือลบกันได้โดย
ใช้สมบัติการแจกแจง

การคูณและการหาร

จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง สามารถคูณหรือหารกันโดยใช้
สมบัติดังนี้

การทำส่วนไม่ให้ติดเครื่องหมายรากที่สอง
1. เมื่อตัวส่วนอยู่ในรูปกรณฑ์ที่สองสามารถทำตัวส่วนนั้นให้เป็น
จำนวนเต็มโดยการคูณทั้งตัวเสษและตัวส่วนด้วยจำนวนกรณฑ์ที่สองนั้น

กรณฑ์ที่สองกับการใช้สูตร
1. สูตรผลต่างกำลังสอง คือ a2- b2= (a - b)(a + b)
2. สูตรกำลังสองสมบูรณ์ คือ (a + b) = a2+ 2ab + b 2
3. สูตรผลบวก - ผลต่างกำลังสาม คือ น3 + ล3 = (น+ ล)(น2 - นล + ล2)
น3 - ล3 = (น- ล)(น2+ นล + ล2)
4. สูตรกำลังสามสมบูรณ์ คือ (น+ ล) 3 = น 3 + 3น2ล + 3นล 2 + ล 3

(น - ล)3 = น3 - 3น2ล + 3นล2 - ล 3

√ √การหารากที่สองของจำนวนที่อยู่ในรูปของ ( a + b ) + 2 ab และ ( a + b ) - 2 ab

THE END

บทที่ 2

การแยกตัวประกอบพหุนาม

UNIT 2

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

ให้ A และ B แทนพหุนาม ซึ่งจะได้สูตรในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ดังนี้
1. ผลบวก-ต่างกำลังสาม คือ น 3 + ล 3 = (น+ ล)(น2 - นล + ล2)
น3 - ล 3 = (น- ล)(น2 + นล + ล2)

2.2 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง โดยอาศัยกำลังสองสมบูรณ์


1.จัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณื โดยการเพิ่มพจน์กลางเข้า แล้วลบออก

2.แยกตัวประกอบ โดยวิธีผลต่างกำลังสอง

2.3 พหุนามในรูแกำลังสามสมบูรณ์

คือการแยกตัวประกอบพหุนามด้วยวิธีกำลีงสามสมบูรณ์ โดยมีสูตรดังนี้
(น+ ล) 3 = น 3+ 3น2ล + 3นล2 + ล3
(น - ล)3 = น 3 - 3น2 ล + 3นล2 - ล3

THE END

บทที่ 3
อสมการตัวแปรเดียว

ความหมาย

การแก้อสมการ คือ การหาค่าที่เมื่อแทนในตัวแปรแล้วทำให้
อสมการเป็นจริง

ข้อควรระวัง
ในการแก้อสมการ สิ่งที่ต้องระวังคือ การคูณด้วยจำนวนลบ หรือการย้ายเลขลบ
จากคูณไปหาร หรือจากหารไปคูณ จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายเสมอ
เช่น

สมบัติการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการถ่ายทอด

ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ถ้า a < b แล้ว a + c < b+ c
3. สมบัติการคูณด้วยตัวเท่า
ถ้าคูณด้วยเลขบวก ได้เหมือนเลขปกติ
ถ้า a > b แล้ว 5a > 5b
ถ้าคูณด้วยเลขลบ ต้องกลับเครื่องหมาย
ถ้า a < b แล้ว -5a < -5b

ข้อควรระวัง
ห้าม คูณทั้งสองข้าง จนกว่าจะรู้ว่าตัวที่นำมาคูณจะเป็นบวกหรือลบ เพราะ
ไม่รู้ว่าต้องกลับเครื่องหมายหรือไม่

เราสามารถนำอสมการมาบวกกันได้
กล่าวคือ ถ้า a < b และ c < d แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่้า a + c
<b+d
แต่ไม่สามารถเอามาลบกันได้

การนำอสมการมาคูณกันหรือหารกัน ทำได้เมื่อมีทั้งสองอสมการเป็นค่าบวก
กล่าวคือ ถ้า 0 < a < b และ 0 < c < d แล้ว จะสรุปได้ว่า ac < bd

การนำอสมการมาหารกัน ต้องแบ่งเป็น 2 ขั้น คือ กลับเศษเป็นส่วนก่อน แล้วค่อยเอา
อสมการมาคูณกัน กล่าวคือ 0 < a < b และ 0 < c < d แล้ว ห้ามสรุปได้ว่า a/c < b/d แต่
ต้องสรุปว่า a/d < b/c

ช่วง

คือ เซตของจำนวนทุกจำนวนที่มีค่าตั้งแต่ / ระหว่าง จำนวนที่ระบุ โดยมีระบบสัญลักษณ์
ดังนี้

เราจะสามารถใช้เครื่องหมายดังต่อไปนี้ ได้เหมือนเรื่องเซต ในกรณีที่
โจทย์มีความซับซ้อน หรือาจจะวาดเส้นจำนวนแบบภาพข้างต้น ในการ
ช่วยคิดด้วย

∅" " เรียกว่า เซตว่าง จะใช้ก็

ต่อเมื่ออสมการไม่มีคำตอบ

THE END

THANK YOU FOR READING !