เซตและเลขยกกำลัง(แก้งาน)

คณิตศาสตร์
เซต
และ

เลขยกกำลัง

น.ส.เกษรินทร์ แสงแจ่ม เลขที่ 16 ม.6/5

เซต

คือ กลุ่มของสิ่ งต่างๆ เช่น เซตของสระในภาษา
อังกฤษ เซตของจังหวัดในภาคกลาง
วิธีการเขียนเซตมี 2 แบบ คือ
แ บ บ แ จ ก แ จ ง ส ม า ชิ ก
ก า ร เ ขี ย น เ ซ ต แ บ บ นี้จ ะ เ ขี ย น ส ม า ชิ ก ทุ ก ตัว ข อ ง เ ซ ต
ลงในวงเล็บปี กกา "{ }" และใช้เครื่องหมายจุลภาค
" , " คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว

Ex.1 A เป็ นเซตของจำนวน
คี่บวกที่น้อยกว่า 10
ตอบ A={1,3,5,7,9}

EX: A เป็ นเซตของจำนวนคี่

บวกที่น้อยกว่า 10 **ทำความเข้าใจ**
ตอบ A = {1,3,5,7,9} ต ร ง นี้เ ร า ค ว ร อ่ า น โ จ ท ย์ดี ๆ
นะคะ โจทย์เขาถามหา
"จำนวนคี่บวก" ที่ "น้อยกว่า
10"
จำนวนคี่บวกก็คือ จำนวนคี่ที่
เป็ นจำนวนเต็มบวก และต้อง
น้อยกว่า10 ตามที่โจทย์ถาม
ห า แ ล ะ คำ ต อ บ ที่ ไ ด้ก็ คื อ
A={1,3,5,7,9}

Ex.2 B เป็ นเซตของ EX.2 B เป็ นเซตของ
จำ น ว น คี่ บ ว ก ที่ น้อ ย ก ว่ า จำนวนคี่บวกที่น้อย
กว่าหรือเท่ากับ 13
หรือเท่ากับ 13
ตอบ B= ตอบ B =
{1,3,5,7,9,11,13}
{1,3,5,7,9,11,13}

เซต

2 . แ บ บ บ อ ก เ งื่ อ น ไ ข
เเงป็ื่อนนกไาขรเเกขี่ียยวนกโับดตยัวใชแ้ตปัวรแนั้ปนรเพแื่ ทอในหส้ทมราาชิบกวแ่าลต้ัววกแำปหรนด
นั้น แ ท น ส ม า ชิ ก ใ ด บ้า ง

Ex.3 A={x | x > 3 และ x Ex.4 A={x | x เป็ น
< 12} จำนวนเต็มบวก และ 2 ≤


x < 11}
* คือ x จะเป็ นเลขอะไร

ก็ได้ที่น้อยกว่า 3 และ
ตอบ A=
มากกว่า 12 {2,3,4,5,6,7,8,9,10}



ตอบ A=
{4,5,6,7,8,9,10,11}

/ / สัญ ลัก ษ ณ์เ กี่ ย ว กับ เ ซ ต

∈∉ แทน เป็ นสมาชิกของเซต
แทน ไม่เป็ นสมาชิกของเซต
Ø หรือ { } แทน การเป็ นเซตว่าง

⊂ แทน เป็ นสับเซตของเซต
⊄ แทน ไม่เป็ นสับเซตของเซต
∪ แทน ยูเนียน คือ การรวมสมาชิกของเซตหลาย
∩เซตมารวมกัน

แทน อินเตอร์เซกชัน

เซต

เพิ่ มเติม

R แทน เซตของจำนวนจริง
Iº แทน จำนวนเต็มศู นย์
I¯แทน เซตของจำนวนเต็มลบ
N แทน เซตของจำนวนนับ
I+ แทน เซตของจำนวนเต็มบวก
> เครื่องหมายน้อยกว่า
< เครื่องหมายมากกว่า
≤ เครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ
≥ |เค" รือ่่อางนหว่มาาโยดนย้อที่ยหกรืวอ่าซึ่หงรื อเท่ ากับ
"
เซตจำกัด คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับศู นย์หรือ
เ ท่ า กับ จำ น ว น เ ต็ ม บ ว ก ใ ด ๆ
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิก
ของเซตได้ (มีมากแบบไม่มีสิ้นสุ ด)
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก

Ex.5 C เป็ นจำนวนคี่ที่
หารด้วย 2 ลงตัว


ตอบ C={ }



เ*พ**ราสะาไเมห่มตีุจทีำ่ นCวเนป็ คนี่ใเดซทตี่หว่าางร
ด้วย 2 ลงตัว

สับเซต

คือ ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

Ex.6
A={1,2}

B={1,2,3,4}



⊄ ⊂


ตอบ A B และ
BA

A เป็ นสับเซตของ B เพราะ A มีเหมือนกับ B ทุกตัว ก็คือ A
มี 1,2 และ B ก็มี 1,2 เช่นกัน
B ไม่เป็ นสับเซตของ A เพราะ B มีไม่เหมือน A ทุกตัว ก็คือ
⊂B มี 1,2,3,4 ส่ วน A มีแค่ 1,2
และถ้าโจทย์ถามว่า {1,2} B ใช่หรือไม่ คำตอบคือใช่
⊂เพราะ B ก็มีทั้ง 1,2

ถ้าโจทย์ถามว่า {1,2,5} B ใช่หรือไม่ คำตอบคือไม่ใช่
⊂เพราะ B ไม่มีเลข 5

{1,2,3,4} B ใช่หรือไม่ คำตอบคือใช่ {1,2,3,4} เป็ นสับ
เซตของ B แต่เป็ นสับเซตไม่แท้ ถ้าหากเหมือนกันทุกตัวจะ
เป็ นสับเซตไม่แท้ทันที
เ{1ห,ม2ือ}นเคป็ รนบสัทบุกเซตัตวขจะอขงาBดหแนลึ่งะตเัป็วนหสรัืบอเสซอตงแหทรื้อก็กีค่ืตอัวถก้็าแไลม่้วแต่
มัน ก็ คื อ สับ เ ซ ต แ ท้

สับเซต

* * จำ น ว น ส ม า ชิ ก * *
n(A) = เป็ นจำนวนสมาชิกในเซต A

Ex. 7 B={1,2,3,4}

n(B)=4

ในส่ วนนี้ก็คือการนับจำนวนสมาชิกธรรมดานะคะ นับว่ามีกี่ตัว
แค่นั้นเลย อย่างในตัวอย่าง ก็คือมี 1,2,3,4 จำนวนสมาชิกมี
ทั้งหมด 4 ตัว

Ex.8 A={1,2,3,3,4,5}

n(A) = 5

ในกรณีที่มีเลขซ้ำให้นับมันเป็ นหนึ่ง ก็คือมีแค่หนึ่งตัว เพราะ
ส า ม ยัง ไ ง ก็ คื อ ส า ม

Ex.9 C={1,2,3,{3}}

n(C)= 4

ถ้าเป็ นแบบนี้ 3 และ {3} เป็ นคนละตัวกัน

***ถ้าเป็ นแบบนี้สามและเซตของสามเป็ นคนละตัวกัน

พาวเวอร์เซต

คือ เซตของสับเซตทั้งหมด

Ex.10 A={1,2}

P(A)={{1},{2},{1,2},Ø}

ก็ คื อ ก า ร แ ย ก ส ม า ชิ ก อ อ ก ม า
สู ตรการหาจำนวนพาวเวอร์เซต

Ex.11 A={1,2}

n(P(A)= 2n(B)

=2²

=4
มใันนจกะางร่าใยช้ใสูนตกรานีร้จทีะ่เทรำาใแห้ยเกราสไมดา้จชิำกนวนที่แน่ชัดมากขึ้นค่ะ แล้วก็

เอกภพสัมพัทธ์

คือ เซตที่กำหนดขอบข่ายในการพิ จารณาสมาชิกของเซตที่
ก ล่ า ว ถึ ง
โดยใช้สัญลักษณ์ = u

Ex.12 u={x | x เป็ นจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 10}
A={x | x เป็ นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

1. เขียนเซต u และเซต A แบบแจกแจงสมาชิก
ตอบ u={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A={1,4,9}
2. เขียนแผนภาพแทนเซต u และเซต A
ตอบ

อิ น เ ต อ ร์เ ซ ก ชัน

∩คือ เซตของสมาชิกที่ซ้ำกัน สัญลักษณ์คือ

Ex.13 A={1,2,4} B={2,4}

∩ตอบ A B={,2,4}

*****หาคำตอบจากเลขที่เหมือนกัน คือ เลขตัวไหนที่ซ้ำกันบ้าง
นั่ น คื อ คำ ต อ บ

ยู เ นี ย น

∪คือ เซตของสมาชิกทั้งหมด สัญลักษณ์ คือ

Ex.14 A={1,2,4} B={2,4}
ตอบ
∪A B={1,2,4}

***** หาคำตอบจากเลขทั้งหมดเลย มีเลขอะไรบ้างนั่นคือคำ
ตอบ

ค อ ม พ ลี เ ม น ต์





คือ จำนวนที่อยู่ภายนอกของวงกลมของแผนภาพ

Ex.15 *สัญลักษณ์ตามภาพ*
ตอบ


u={1,2,3,4,5,6}
A={2,4,6}
ค อ ม พ ลี เ ม น ต์= { 1 , 3 , 5 }

ผ ล ต่ า ง



Ex.16 A={2,4,6,8} B={1,2,4,5,10,20}
ตอบ A-B = {6,8}

B-A = {1,5,10,20}







**A-B คือ มีอยู่ใน A แต่ไม่มีใน B
B-A คือ มีอยู่ใน B แต่ไม่มีใน A

**ถ้ามีเลขไหนซ้ำเหมือน B ให้ตัดทิ้งเลย

แบบฝึ กหัด

แบบฝึ กหัด

เลขยกกำลัง

ความหมายของเลขยกกำลัง
นิยาม ถ้า a เป็ นจำนวนใด ๆ และ n เป็ นจำนวนเต็มบวก“ a ยกกำลัง n “ หรือ “ a
กำลัง n “
เขียนแทนด้วย a กำลัง n มีความหมายดังนี้
a กำลัง n = a*a*a*a*a …..*a (a คูณกัน n ตัว)

จากนิยาม จะเรียก a กำลัง n ว่าเลขยกกำลัง เรียก a ว่า ฐาน และเรียก n ว่า
เลขชี้กำลัง
ตัวอย่าง เช่น

1) 3 กำลัง 4 = 3*3*3*3
มี 3 เป็ น ฐาน และ มี 4 เป็ นเลขชี้กำลัง
2) (-5) กำลัง 3 = -5*-5*-5 มี -5 เป็ นฐานและมี 3 เป็ นเลขชี้กำลัง

ส ม บัติ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลัง

1.สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนเต็ม
บวก เมื่อ a เป็ นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็ นจำนวนเต็มบวก

เช่น 23x 27x 29 = 2 (3 + 7 + 9) = 219
2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนเต็ม
บวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็ นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศู นย์ และ m, n
เป็ นจำนวนเต็มบวกที่ m > n

เช่น 412÷ 43=412-3 = 49
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็ นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศู นย์ และ m, nเป็ น
จำนวนเต็มบวกที่ m = n

นิยาม ถ้า a เป็ นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศู นย์ a0 = 1
เช่น 67÷ 67 = 67-7 = 60 = 1 หรือถ้า (-7)o = 1

เลขยกกำลัง

กรณีที่ 3เมื่อ a เป็ นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศู นย์ และ m, n เป็ น
จำนวนเต็มบวกที่ m < n

เ ช่ น = 1/ 54-9

นิยาม ถ้า a เป็ นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศู นย์ และ n เป็ น
จำนวนเต็มบวก แล้ว

หรือ

เช่น หรือ
3 . ส ม บัติ อื่ น ๆ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลัง
1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็ นเลขยกกำลัง

เมื่อ a ≥0 และ m, n เป็ นจำนวนเต็ม

เ ช่ น

เลขยกกำลัง

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวน
หลาย ๆจำนวน

และ
เมื่อ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เป็ นจำนวนเต็ม
เ ช่ น
3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นเศษส่ วน

เมื่อ a > 0 และ n เป็ นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

เมื่อ a ≠ 0 และ m เป็ นจำนวนเต็มบวก ; n ≥ 2

เลขยกกำลัง

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน
A x 1 0 nกเามืร่ อเ ข1ี ย≤นAจ<ำ1น0วแน ทลี่ มะี ค่ า ม า ก ๆ นิ ย ม เ ขี ย น แ ท น ไ ด้ด้ว ย
รูป n เป็ นจำนวนเต็มบวก เช่น
16,000,000 = 1.6×107 และทำนองเดียวกันการเขียน
จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยๆก็สามารถเขียนในรูป Ax10n ได้เช่น
เดียวกัน แต่ n จะเป็ นจำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016 =
1.6×10-5
หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10n เมื่อ 1≤A<10
แจุดลทะ ศnนิเยป็ มนมจีกำานรวเนลื่เอต็นมตอำย่แาหงนง่่างยไปๆทคาืองใซ้หา้พยิหจารืรอณขวาาว่กีา่ตำแหน่ง
ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะเป็ นบวก และถ้าเลื่อนไปทาง
ขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็ นลบ

เช่น 75000.0=7.5×104

0.000075 = 7.5×10-5

หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ง
เลขชี้กำลังของ 10 จะลดลง n ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย
n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่ มขึ้น n

สรุป
เลขชี้กเลำขลัยง กซึ่กงำตัลวังเเลป็ขนนัก้นาๆรจคูะณคูตณัวตเัวลขขอนั้งนมๆันตเาอมงจแำลนะวเนมื่ขอแองทน a
เป็ นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็ นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a
เป็ นฐานหรือตัวเลข และ n เป็ นเลขชี้กำลัง(an) หรือจะได้ว่า
a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหา
ค่ า เ ล ข ย ก กำ ลัง จ ะ ขึ้น อ ยู่ กับ ส ม บัติ ข อ ง เ ล ข ย ก กำ ลัง ใ น แ ต่ ล ะ
ประเภทด้วย

การบวกเลขยกกำลัง

1 . ก า ร บ ว ก ล บ เ ล ข ย ก กำ ลัง ที่ มี ฐ า น เ ห มื อ น กัน แ ล ะ เ ล ข ย ก กำ ลัง
เท่ากัน ให้นำสัมประสิ ทธิ์ของเลขยกกำลังมาบวกลบกัน

ตัว อ ย่ า ง

เลขยกกำลัง

2.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขยกกำลังไม่
เท่ากันจะนำสัมประสิ ทธิ์มาบวกลบกันไม่ได้ ต้องทำในรูปของ
การแยกตัวประกอบ และดึงตัวประกอบร่วมออก
ตัว อ ย่ า ง

หมายเหตุ
(-2)4 และ -24 มีค่าไม่เท่ากันเพราะ (-2)4 ฐานคือ (-2)

เลขชี้กำลังคือ 4 อ่านว่าลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่ มีค่าเท่ากับ
16
-24 ฐานคือ 2 เลขชี้กำลังคือ 4 อ่านว่าลบของสองกำลังสี่ มีค่า
เท่ากับ -16

แบบฝึ กหัด

แบบฝึ กหัด